- 文／小風，剛拿到化工系畢業證書的 Swing Dance 愛好者。喜歡把複雜的事情用聽得懂的方式跟大家分享，致力於讓社會了解化學工程的美好。
隔著咖啡廳的落地窗，我望向湛藍的天空，行人魚貫劃過眼簾。一身文青打扮的店員，親切的向我點頭，將手上的衣索比亞日晒冷萃放在被陽光晒得暖烘烘的木紋桌上。我端起咖啡杯，正打算啜飲一口時，眼角餘光卻瞥見了冰塊，我在內心吶喊：「冰塊！冷萃咖啡怎麼會有冰塊？如果用冰塊將手沖熱咖啡冷卻，那叫做日式冰咖啡！怎麼會把這兩個混為一談呢？」
突然間，我意識到一般咖啡廳裡的冷萃咖啡其實很多都是日式冰咖啡假扮的，不然就是價格比其他品項高出許多，顯然冷萃咖啡的成本比日式冰咖啡高。這是為什麼呢？
沖泡咖啡時，發生了什麼事？
沖泡咖啡，就是把水沖入研磨好的咖啡粉，將粉中的化學物質萃取溶出。咖啡粉中的化學物質濃度遠比水中的高，因此咖啡粉和水的接觸就會造成濃度上的「不平衡」（也就是不一致）。從化學的角度來說，
若一個系統不「平衡」（equilibrium），那它必定在往「平衡」的路上。
也就是說，當水跟咖啡粉接觸後，根據當時的溫度、壓力、濃度，會決定出一個新的平衡狀態，隨著時間過去，粉中的化學物質漸漸溶進水中，直到水中各處濃度不再變化時，就是到達平衡了。不過，水剛碰到咖啡粉時不在這個平衡狀態，所以咖啡跟水會自動開始朝著那個平衡狀態前進。
然而，一般沖泡手沖咖啡時，水流入咖啡粉到流出的時間只有 20 秒，系統無法在這麼短的時間內達到平衡，所以要討論影響沖咖啡的條件時，就需要了解系統朝平衡狀態前進的速度有多快，這個學問就稱作「輸送現象」。
輸送現象依據輸送的東西不同，分為三種：動量、能量、質量傳遞。因為沖咖啡是讓咖啡物質傳送入水中，所以我們聚焦在「質量傳遞」（mass transport）。質量傳遞告訴我們，當物質有濃度差異時，它會從濃度高的地方往濃度低的各處擴散出去，而且擴散的速度會跟濃度的差異成正比。換句話說：「質量通量（物質擴散速度）與濃度梯度（化學物質的濃度差）成正比。」這就是所謂的「菲克定律」（Fick’s law）：
\(J_A^*=-cD_{AB} ∇x_A\)
上面公式是兩物質註1 的菲克定律。c 是莫爾濃度、\(D_{AB}\) 是擴散係數、\(J_A^*\) 是莫爾數通量 \(\left (\frac{moles}{cm^2s} \right )\)、\(x_A\) 是莫爾分率、∇ 則表示梯度，也就是 \(x_A\) 在空間中的變化量。
若套用到咖啡沖泡的過程，把熱水沖到研磨好的咖啡粉時，因為咖啡粉裡各種物質的濃度都比熱水高出許多，這些物質便會根據菲克定律，從咖啡粉擴散到熱水中。因此，注入的熱水流出就成了手沖咖啡。
有趣的是，手沖咖啡使用的都是熱水而不是冷水。如果物質是根據菲克定律規範的速度擴散，咖啡粉與水之間的濃度差相同，那麼不論用冷水或熱水沖咖啡，不是應該會有一樣的擴散速度，得到一樣濃的咖啡嗎？但如果上網搜尋用冷水沖泡咖啡，也就是冷萃咖啡的作法，大多會得到要讓冷水與咖啡粉接觸 12 小時以上的答案，這與手沖時熱水流經咖啡粉的 20 秒差了 2160 倍！難道水溫會影響沖泡咖啡的擴散速度嗎？又是怎麼影響的呢？
水溫問題，交給模型來解決
為進一步了解冷熱水萃取咖啡的不同，我們需要知道水溫在咖啡萃取的過程中影響了什麼因素。要解決一個複雜的問題，最好的方法是做適當假設以簡化問題，並嘗試用理論描述觀察現象。這就是所謂的創建「模型」。
由於影響咖啡風味的物質組成十分複雜，為了簡化問題，我們在這裡選擇咖啡因註2 來討論。以濾掛式咖啡為例，實際上，水在流過咖啡粉時必然不會筆直的流下來，但為了簡化，我們可以把裝滿水與咖啡粉的濾袋想像成一道道筆直的咖啡牆與水道重複排列。因為它們是重複排列，所以我們只需要專注於其中一組即可。
取出其中一組（如圖一右圖），右邊是充滿高濃度咖啡因的咖啡牆，左邊則是沒有咖啡因的水道，形成了明顯的濃度差。因此，咖啡因會想從咖啡牆擴散到「最接近的水」，再擴散到「次接近的水」，一路朝水道內部邁進。換句話說，咖啡因在水道中的濃度是不均勻的，而最遠離咖啡牆的位置濃度最低，也就是水道正中間，而擴散的速度會符合菲克定律。
另一方面，除了由右至左的擴散，咖啡因也會垂直移動，但擴散不是主因，而是因為水往低處流，把咖啡因也帶下去了。所以，只要能預估水流動的速度，就能知道咖啡因上下移動的速度。
接著，我們可以切一塊小長方體，想像咖啡因在小長方體內的量不會隨著時間改變 ，所以進出這個長方體的咖啡因必須等量，搭配菲克定律與量出來的水流速度，就可以找出咖啡因出入小長方體的速率及在長方體內的濃度。我們只要換一下長方體的位置，就可以得到新位置的濃度。搭配現成的數值軟體計算，就能找到咖啡因在水道中全部位置的濃度。由於最後沖出的咖啡因濃度會跟濾袋最底部的咖啡因濃度一樣，我們就能利用這個模型，預測沖出來的咖啡因濃度了。
模型建立好之後，我們接下來要回到水溫的問題。在計算過程中，會需要用到五個參數：咖啡粉的粒徑、假想水道的寬度、量出來的水流速度、菲克定律中的擴散係數，以及咖啡因在當前水溫下的溶解度。
假設填充咖啡粉的方式固定、沖泡時間也固定，在只改變水溫的情況下，前三個參數不會隨溫度改變，但後兩個參數就會變化。模型的好處是可以不費吹灰之力的變換這些參數。例如，我們可以用 80℃ 熱水下的參數計算沖出的咖啡因濃度，也可以換成 20℃ 與 50℃ 的參數來計算沖出的咖啡因濃度。
有趣的是，若把咖啡因在不同溫度下的溶解度，與模型計算出的咖啡因濃度重疊，可以看出，不同溫度的咖啡因濃度趨勢與溶解度大致相符！所以，我們終於發現水溫影響沖泡咖啡的重要因素就是：溶解度！
水溫 vs 溶解度 vs 輸送現象
這個結果貌似有點像廢話：「溶解度本來就會隨溫度變化而改變，所以溶解度當然會是影響咖啡因濃度的決定性因素啊！」那我們何必大費周章透過質量傳遞模型來解釋呢？這就是「輸送現象」與「平衡」的差異！
若一個系統不「平衡」，那它必定在往「平衡」的路上。討論系統前進快慢的學問就可以用「輸送現象」來解讀。
溶解度，是已經到達平衡狀態下的討論；質量傳遞，則是告訴我們從當前狀態走向平衡的速度有多快。以沖咖啡的例子來說，如果今天是把咖啡粉浸在水中一整天，那麼你可以預期 24 小時以後，水中各處的咖啡因濃度大致已經相同，也就是濃度達平衡，而這個濃度就會是咖啡因的溶解度。但是，咖啡粉在浸入水中的前 20 秒，一般不會被認為水中各處的濃度已達溶解度。因此，我們要計算的是，在還沒有抵達這個平衡濃度前，只有 20 秒的接觸時間下，有多少咖啡因溶進水裡了。
「溶解度會影響咖啡因濃度」這件事的確不需要透過模型就能理解，但是「『在沖咖啡的 20 秒過程中』，溶解度是咖啡因濃度的『決定性』因素」，就有必要透過輸送現象的模型來解釋了。
模型提供新解方
創建模型的另外一個好處就是給我們天馬行空的機會。用一樣的模型，我們可以回答：「如果硬是用 20℃ 的水萃取咖啡，把咖啡粉加高有用嗎？」
令人驚訝的是，其實不是不行！但實在沒有經濟效益。就咖啡因而言，要達到相同的濃度，需要 1000 倍正常的濾掛式咖啡粉高，大約是 21 公尺，也就是超過四層樓的咖啡高塔。
我們需要更長的時間
為什麼市售的冷萃咖啡可能不是「冷萃」，比較常見的是用熱水沖泡再放冷或加冰塊呢？現實層面是，使用冷萃方法來達到我們想要的濃度所花的時間實在太長了。從前面的說明，我們現在知道，咖啡中的物質在冷水中的溶解度太低了，導致驅動水中傳遞的濃度差太小，根據菲克定律可知擴散的速度會變慢，所以需要很長的時間才能得到夠濃的咖啡。也就是說，冷萃咖啡的時間成本比手沖咖啡加冰塊（也就是「日式冰咖啡」）高多了，難怪冷萃咖啡的價格總是比日式冰咖啡的價格高，或甚至是用日式冰咖啡冒充冷萃！
化學工程——研究日常生活的科學
說到這裡，你對「化工」是不是有了更多認識呢？化工是一門研究生活的科學。與物理、化學不同，化工更著重於理論的應用。我們不只可用菲克定律來解釋冷萃咖啡的祕密，還能用來計算水從咖啡中蒸發的速率，製作出即溶咖啡粉；若討論水以外的有機溶劑對咖啡因與其他化學物質的萃取速率差異，還能設法單獨去除咖啡因，生產無咖啡因的咖啡；若把冷萃咖啡融入低溫高壓的氮氣，更能為冷萃咖啡添加泡泡的綿密口感。
對像我這樣的化學工程師而言，追求生活應用或許不只為了改善生活，更令人興奮的是成功以日常生活的應用體現理論吧！然而，單有理論與模型說服不了工程師，或許理論過度簡化，跟實際情形不同，所以還需要實驗佐證才能使人信服。
有時候做實驗似乎很困難，例如想量出咖啡因濃度，可能要把沖好的咖啡送到與國家合作的大學食品研究室，用高效液相層析法（high performance liquid chromatography, HPLC）定量咖啡因濃度，就像連鎖餐飲業者為了向顧客證明食安與成分分析所出示的檢驗報告一樣。
不過，事情或許能比想像更簡單！下一集〈翡冷萃咖啡的祕密（下）：手機也能測咖啡濃度！〉將告訴你如何透過合理簡化，設計用手機鏡頭與 Matlab 數值軟體估算濃度的方法！
註解
- 兩物質的菲克定律，是指系統中物質 A 的濃度不一樣時，要藉由穿梭在物質 B 之間來移動的情況。如果系統有多於兩種物質，這條算式就不適用。
- 影響咖啡味道與口感的決定性因素不是咖啡因，而是由各種醣類、酯類、有機酸的組成決定，但若要考慮每一種化合物各自的擴散速度，必須定量以決定組成，勢必相當複雜。再者，就算可定量這些物質的含量，因每個人口味不同，也很難將量化結果與咖啡風味連結。所以，若只是要了解水溫如何影響咖啡的質量傳遞，用咖啡因作為計算標的可適度簡化。
參考文獻
- Bird, Stewart, and Lightfoot, Transport Phenomena, 2nd edition, Chapter 18
- 〈冷萃、冰滴、冰美式、氮氣咖啡、日式冰咖啡，你都搞懂了嗎？〉每日頭條
- 責任編輯/竹蜻蜓
