會算「貝氏定理」的人生是彩色的！該如何利用它讓判斷更準確、生活更美好呢？

本文由 建研所 委託，泛科學企劃執行。 

當你走進一棟建築，是否能感受到它對環境的友善？或許不是每個人都意識到，但現今建築不只提供我們居住和工作的空間，更是肩負著重要的永續節能責任。

綠建築標準的誕生，正是為了應對全球氣候變遷與資源匱乏問題，確保建築設計能夠減少資源浪費、降低污染，同時提升我們的生活品質。然而，要成為綠建築並非易事，每一棟建築都需要通過層層關卡，才能獲得標章認證。

為推動環保永續的建築環境，政府自 1999 年起便陸續著手推動「綠建築標章」、「智慧建築標章」以及「綠建材標章」的相關政策。這些標章的設立，旨在透過標準化的建築評估系統，鼓勵建築設計融入生態友善、能源高效及健康安全的原則。並且政府在政策推動時，為鼓勵業界在規劃設計階段即導入綠建築手法，自 2003 年特別辦理優良綠建築作品評選活動。截至 2024 年為止，已有 130 件優良綠建築、31 件優良智慧建築得獎作品，涵蓋學校、醫療機構、公共住宅等各類型建築，不僅提升建築物的整體性能，也彰顯了政府對綠色、智慧建築的重視。

說這麼多，你可能還不明白建築要變「綠」、變「聰明」的過程，要經歷哪些標準與挑戰？

綠建築標章	智慧建築標章	綠建材標章

第一招：依循 EEWH 標準，打造綠建築典範

環境友善和高效率運用資源，是綠建築（green building）的核心理念，但這樣的概念不僅限於外觀或用材這麼簡單，而是涵蓋建築物的整個生命週期，也就是包括規劃、設計、施工、營運和維護階段在內，都要貼合綠建築的價值。

關於綠建築的標準，讓我們先回到 1990 年，當時英國建築研究機構（BRE）首次發布有關「建築研究發展環境評估工具（Building Research Establishment Environmental Assessment Method，BREEAM®）」，是世界上第一個建築永續評估方法。美國則在綠建築委員會成立後，於 1998 年推出「能源與環境設計領導認證」（Leadership in Energy and Environmental Design, LEED）這套評估系統，加速推動了全球綠建築行動。

臺灣在綠建築的制訂上不落人後。由於臺灣地處亞熱帶，氣溫高，濕度也高，得要有一套我們自己的評分規則——臺灣綠建築評估系統「EEWH」應運而生，四個英文字母分別為 Ecology（生態）、Energy saving（節能）、Waste reduction（減廢）以及 Health（健康），分成「合格、銅、銀、黃金和鑽石」共五個等級，設有九大評估指標。

我們就以「台江國家公園」為例，看它如何躍過一道道指標，成為「鑽石級」綠建築的國家公園！

位於臺南市四草大橋旁的「台江國家公園」是臺灣第8座國家公園，也是臺灣唯一的濕地型的國家公園。同時，還是南部行政機關第一座鑽石級的綠建築，其外觀採白色系列，從高空俯瞰，就像在一座小島上座落了許多白色建築群的聚落；從地面看則有臺南鹽山的意象。

因其地形與地理位置的特殊，生物多樣性的保護則成了台江國家公園的首要考量。園區利用既有的魚塭結構，設計自然護岸，保留基地既有的雜木林和灌木草原，並種植原生與誘鳥誘蟲等多樣性植物，採用複層雜生混種綠化。以石籠作為擋土護坡與卵石回填增加了多孔隙，不僅強化了環境的保護力，也提供多樣的生物棲息環境，使這裡成為動植物共生的美好棲地。

第二招：想成綠建築，必用綠建材

要成為一幢優秀好棒棒的綠建築，使用在原料取得、產品製造、應用過程和使用後的再生利用循環中，對地球環境負荷最小、對人類身體健康無害的「綠建材」非常重要。

這種建材最早是在 1988 年國際材料科學研究會上被提出，一路到今日，國際間對此一概念的共識主要包括再使用（reuse）、再循環（recycle）、廢棄物減量（reduce）和低污染（low emission materials）等特性，從而減少化學合成材料產生的生態負荷和能源消耗。同時，使用自然材料與低 VOC（Volatile Organic Compounds，揮發性有機化合物）建材，亦可避免對人體產生危害。

在綠建築標章後，內政部建築研究所也於 2004 年 7 月正式推行綠建材標章制度，以建材生命週期為主軸，提出「健康、生態、高性能、再生」四大方向。舉例來說，為確保室內環境品質，建材必須符合低逸散、低污染、低臭氣等條件；為了防溫室效應的影響，須使用本土材料以節省資源和能源；使用高性能與再生建材，不僅要經久耐用、具高度隔熱和防音等特性，也強調材料本身的再利用性。

在台江國家公園內，綠建材的應用是其獲得 EEWH 認證的重要部分。其不僅在設計結構上體現了生態理念，更在材料選擇上延續了對環境的關懷。園區步道以當地的蚵殼磚鋪設，並利用蚵殼作為建築格柵的填充材料，為鳥類和小生物營造棲息空間，讓「蚵殼磚」不再只是建材，而是與自然共生的橋樑。園區的內部裝修選用礦纖維天花板、矽酸鈣板、企口鋁板等符合綠建材標準的系統天花。牆面則粉刷乳膠漆，整體綠建材使用率為 52.8%。

在日常節能方面，台江國家公園也做了相當細緻的設計。例如，引入樓板下的水面蒸散低溫外氣，屋頂下設置通風空氣層，高處設置排風窗讓熱空氣迅速排出，廊道還配備自動控制的微噴霧系統來降溫。屋頂採用蚵殼與漂流木創造生態棲地，創造空氣層及通風窗引入水面低溫外企，如此一來就能改善事內外氣溫及熱空氣的通風對流，不僅提升了隔熱效果，減少空調需求，讓建築如同「與海共舞」，在減廢與健康方面皆表現優異，展示出綠建築在地化的無限可能。

在綠建材的部分，另外補充獲選為 2023 年優良綠建築的臺南市立九份子國民中小學新建工程，其採用生產過程中二氧化碳排放量較低的建材，比方提高高爐水泥（具高強度、耐久、緻密等特性，重點是發熱量低）的量，並使用能提高混凝土晚期抗壓性、降低混凝土成本與建物碳足跡的「爐石粉」，還用再生透水磚做人行道鋪面。

同樣入選 2023 年綠建築的還有雲林豐泰文教基金會的綠園區，首先，他們捨棄金屬建材，讓高爐水泥使用率達 100%。別具心意的是，他們也將施工開挖的土方做回填，將有高地差的荒地恢復成平坦綠地，本來還有點「工業風」的房舍告別荒蕪，無痛轉綠。

等等，這樣看來建築夠不夠綠的命運，似乎在建材選擇跟設計環節就決定了，是這樣嗎？當然不是，建築是活的，需要持續管理–有智慧的管理。

第三招：智慧管理與科技應用

我們對生態的友善性與資源運用的效率，除了從建築設計與建材的使用等角度介入，也須適度融入「智慧建築」（intelligent buildings）的概念，即運用資通訊科技來提升建築物效能、舒適度與安全性，使空間更人性化。像是透過建築物佈建感測器，用於蒐集環境資料和使用行為，並作為空調、照明等設備、設施運轉操作之重要參考。

為了推動建築與資通訊產業的整合，內政部建築研究所於 2004 年建立了「智慧建築標章」制度，為消費者提供判斷建築物是否善用資通訊感知技術的標準。評估指標經多次修訂，目前是以「基礎設施、維運管理、安全防災、節能管理、健康舒適、智慧創新」等六大項指標作為評估基準。
以節能管理指標為例，為了掌握建築物生命週期中的能耗，需透過系統設備和技術的主動控制來達成低耗與節能的目標，評估重點包含設備效率、節能技術和能源管理三大面向。在健康舒適方面，則在空間整體環境、光環境、溫熱環境、空氣品質、水資源等物理環境，以及健康管理系統和便利服務上進行評估。

樹林藝文綜合大樓在設計與施工過程中，充分展現智慧建築應用綜合佈線、資訊通信、系統整合、設施管理、安全防災、節能管理、健康舒適及智慧創新 8 大指標先進技術，來達成兼顧環保和永續發展的理念，也是利用建築資訊模型（BIM）技術打造的指標性建築，受到國際矚目。

在興建階段，為了保留基地內 4 棵原有老樹，團隊透過測量儀器對老樹外觀進行精細掃描，並將大小等比例匯入 BIM 模型中，讓建築師能清晰掌握樹木與建築物之間的距離，確保施工過程不影響樹木健康。此外，在大樓啟用後，BIM 技術被運用於「電子維護管理系統」，透過 3D 建築資訊模型，提供大樓內設備位置及履歷資料的即時讀取。系統可進行設備的監測和維護，包括保養計畫、異常修繕及耗材管理，讓整棟大樓的全生命週期狀況都能得到妥善管理。

智慧建築導入 BIM 技術的應用，從建造設計擴展至施工和日常管理，使建築生命周期的管理更加智慧化。以 FM 系統 ( Facility Management，簡稱 FM ) 為例，該系統可在雲端進行遠端控制，根據會議室的使用時段靈活調節空調風門，會議期間開啟通往會議室的風門以加強換氣，而非使用時段則可根據二氧化碳濃度調整外氣空調箱的運轉頻率，保持低頻運作，實現節能效果。透過智慧管理提升了節能效益、建築物的維護效率和公共安全管理。

總結

綠建築、綠建材與智慧建築這三大標章共同構建了邁向淨零碳排、居住健康和環境永續的基礎。綠建築標章強調設計與施工的生態友善與節能表現，從源頭減少碳足跡；綠建材標章則確保建材從生產到廢棄的全生命週期中對環境影響最小，並保障居民的健康；智慧建築標章運用科技應用，實現能源的高效管理和室內環境的精準調控，增強了居住的舒適性與安全性。這些標章的綜合應用，讓建築不僅是滿足基本居住需求，更成為實現淨零、促進健康和支持永續的具體實踐。

Dear Abby 是 1956 年開始發行、流傳甚廣的美國顧問專欄，起初的作者 Pauline Phillips 已在 2013 年過世，現由她女兒繼續以同名執筆經營。Dear Abby 經常為讀者提供諮商，為他們解決各種疑難雜症。下面這封讀者來函曾被列入統計學教科書裡，我也常用來作為基本統計學的教材。

「Dear Abby：

妳在專欄寫過女人懷胎266天。這是誰說的？我懷我的寶貝懷了 10 個月又 5 天 (310天)。這一點都不容置疑，因為我知道寶貝是哪天開始懷的。我老公在海軍服役，上次我們只見面一個鐘頭，而且之後就一直到生產前一天再見面，因此寶貝一定是在那個時候懷的。我不喝酒也沒亂劈腿，寶貝不可能不是老公的，請務必修正女人懷胎 266 天的說法，否則我的麻煩大了。

聖地牙哥讀者。」

我把這個材料給學生看，然後引用醫學知識，說受孕至生產時間呈常態分配，其平均數為 266 天、標準差為 16 天，要他們計算女人懷胎最少 310 天的機率，他們算出答案為 0.003 時，都發出會心的微笑。

現在我把這題目略改如下：

某貝氏統計學家與老婆婚姻生活一向平靜無波。某年元旦，兩人慶祝新年，決定生產報國，嗣後依然恢復平靜無波的生活。該年 11 月 7 日，老婆產下一女。

老公是一位統計學家，善於數算，老婆生產後，他推算如果此女確為從他所出，則老婆懷孕時間長達 310 天。根據醫學知識，一般婦女懷孕時間呈常態分配，其平均數為 266 天，標準差為 16 天。老公推算懷胎至少 310 天的機率是 0.003。

統計學家老公算出這個機率後，不禁眉頭一皺。他想：0.003是小機率事件，比統計推論的顯著水平0.05還小很多，怎麼就發生在自己家裡？此機率是由老婆受孕日期在 1 月 1 日的假設推算出來，因機率甚小，依「以否定後件來否定前件」（modus tollens）的命題邏輯，不能接受這個假設，然則難道自己戴綠帽了！當下咬牙切齒，拍桌大罵老婆。

不過老公畢竟有些學問，他再仔細一想：0.003 的機率雖然小，但若樣本夠大，這麼小的機率也會發生在很多人身上。以台灣每年大約有 20 萬新生兒來說，假設大多數為單胞胎自然生產，則每年約有 600 個媽媽懷孕時間會長達 310 天或更久。

大樂透每注中頭獎的機率 0.00000007 比 0.003 要小很多，而經常都有人中獎。相較之下，老婆中到 0.003 機率的大獎，也沒什麼好奇怪的啊。統計學家老公想到這裡，不禁笑開了嘴：這寶貝女兒，說不定還會給自己帶來財運呢。立馬到彩券行買了十張樂透。

第二天樂透開獎，十張全部槓龜，統計學家老公又懊惱起來了。他想：雖然說經常都有人中樂透，偏偏自己從來沒中過，連每期對幾十張統一發票都難得中到 200 元的小獎，哪有說這 0.003 機率的事件就輪到我？畢竟「個人中獎」和「有人中獎」是不同的事件，不能一概而論。那怎麼辦呢？究竟我該不該相信老婆？還是乾脆去查驗 DNA 算了？

貝氏統計學家老公靈光一閃，發現自己面臨的難題其實並沒有那麼簡單，而應該用貝式定理來推算。他這樣想：0.003 是在老婆未出軌的假設下計算的，因此它是一個條件機率：

Pr(產期≥11/7|受孕期=1/1)= 0.003

但對一個貝氏統計學家而言，更該問的問題其實是：既然小孩是在 11 月 7 日出生，那老婆未出軌的機率為何？換句話說，更重要的機率應該是上面那個機率的反機率：

Pr(受孕期=1/1|產期≥11/7)=？

這就是老婆未出軌的後驗機率。以貝氏統計學家的專長，老公知道要算這個後驗機率需要考慮兩個變數：

1. 老婆在 1 月 1 日之後，是否有出軌受孕的機會？假設真正的受孕期是 1 月 1 日之後的第X天。X=0 代表老婆沒出軌，受孕期真的是 1 月 1 日；X>0代表老婆在 1 月 1 日後出軌才受孕。
2. 自己一向對老婆有多少信心？依自己的主觀判斷，老婆未出軌，即 X=0 的機率有多少？假設 X=0 的機率為Y，X>0的機率為 1-Y，則 Y 越接近 1 信心越高，越接近0信心越低。Y是X=0的邊際機率，1-Y是X>0的邊際機率。這邊際機率也就是貝氏定理所謂的先驗機率。

另外，如果我們以D來代表懷孕時間，則不論受孕期X是哪天，小孩在11月7日出生時，D都等於310-X。我們以D<310-X代表產期在11月7日之前，D≥310-X代表產期在11月7日這天或這天之後。

D≥310-X 的機率顯然與X有關，我們用p(X)來代表此一條件機率：p(X)=Pr(D≥310-X|X)。因為懷孕時間呈常態分配：D~N(266,16²)，我們可以導出：

\(p\left ( X \right )= Pr\left ( D\geq 310- X|X \right )= \frac{1}{2}Erf\left ( \frac{44-X}{16 \sqrt{2}} \right )\)

這裡Erf()是誤差函數；當 X=0時，p(0)=0.003。考慮這些變數後，我們可以用下列矩陣來呈現這個貝氏定理問題：

關於貝氏定理的算法，請參考我寫的《會算「貝氏定理」的人生是彩色的！該如何利用它讓判斷更準確、生活更美好呢？》。老公要求的後驗機率是：Pr(受孕期=1/1|產期≥11/7)=Pr(X=0| D≥310-X)。

要求這個機率，首先必須把上表中「行」的條件機率轉化成聯合機率。這個只要記得「聯合機率等於條件機率乘以條件本身的邊際機率」的口訣就可算出如下：

算出聯合機率之後，再用「條件機率等於聯合機率除以條件本身的邊際機率」的口訣就可算出所要求的「列」的條件機率：

Pr(受孕期 =1/1 │產期≧11/7)\(=Pr\left ( X=0 | D\geq 310-X\right )\) \(= \frac{Y p(0)}{Y p(0)+(1-Y)p(X)}\)

把前面算出 p(0) 和 p(X) 套入上式之後，我們可以看到後驗機率 Pr(X=0|D≥310-X) 是X和Y的函數，為了更容易分析這函數，我們先把 Y值固定，再看它如何隨 X值變化。

首先，假設老公對老婆只有Y=0.5的信心，則後驗機率的函數圖形如下：

這個圖顯示如果老公本來就對老婆疑信參半，則當老婆在1月1日之後的一個半月之內有出軌的機會時，老公對老婆的信心會隨著X的增加而急速下降。當出軌的機會X 增加到預產期（1月1日後第 X+266 天）越接近 11 月 7 日時，X>0 顯得越「正常」而 X=0 顯得越「不正常」， 因此老公的信心會越低，疑心越重。特別是當老婆在二月 (X>30) 有出軌的機會時，那意謂著 11 月 7 日正是預產期的一個標準差（16天）之內，老公的信心會降至幾乎為0。

其次，如果老公平常對老婆有極高的信心，例如 Y=0.99，則後驗機率的圖形為

這圖顯示如果老公平常對老婆有充分的信心，則這信心隨著 X 的增加會下降得比較緩慢。即使到二月初才有出軌機會，也就是預產期開始接近 11 月 7 日時，老公對老婆仍然維持著 0.6 以上的信心。甚至當 X=44，即預產期恰恰為 11 月 7 日時，老公的信心仍在 0.37 的水平。

雖然信心不至於完全崩潰，但畢竟也會隨著 X 的增加而減小。老公算出貝氏後驗機率後應該了解，310 天是超乎尋常的懷孕時間，除非本來對老婆就有百分之百的信心，否則信心一定會下降的。雖說這只是「信者恆信，不信者恆不信」的貝氏詮釋，但在這個案例，信者卻必須要完全相信才能恆信，而不信者只要心中有點疑竇，終究會不信。

貝氏統計學者數算到這裡，長嘆了一口氣：「還是去查驗DNA吧！」

本文轉載自作者部落格，原文標題：數算日子的智慧：貝氏統計學家的婚姻難題

許多人說，現在科學這麼發達，為什麼天氣預報總是不準呢？

這裡涉及一個數學問題，稱為「條件機率」。

什麼是條件機率呢？例如我們要確定 6 月 15 日是不是下雨，根據往年資料，下雨的機率有 40% ，不下雨的機率為 60% ，這就稱為「機率」。如果在前一天，天氣預報說 6月15 日下雨，這就稱為「條件」， 在這種條件下， 6 月 15 日真正下雨的機率就稱為「條件概率」。

你哭著對我說，天氣預報裡都是騙人的

天氣預報根據一定的氣象參數推測是否會下雨，由於天氣捉摸不定，即便預報下雨，也有可能是晴天。假設天氣預報的準確率為 90% ，即在預報下雨的情況下，有 90% 的機率下雨，有 10% 的機率不下雨；同樣，在預報不下雨的情況下，有 10% 的機率下雨，有 90% 的機率不下雨。

這樣一來， 6 月 15 日的預報和天氣就有四種可能：預報下雨且真的下雨，預報不下雨但是下雨，預報下雨但是不下雨，預報不下雨且真的不下雨。

我們把四種情況列在下面的表格中，並計算相應的機率。

計算方法就是兩個機率的乘積。例如下雨機率為 40% ，下雨時預報下雨的機率為 90% ，因此預報下雨且下雨這種情況出現的機率為 36% 。同理，我們可以計算出天氣預報下雨但是不下雨的機率為 6% ，二者之和為 42% ，這就是天氣預報下雨的機率。

在這 42% 的可能性中，真正下雨占 36% 的可能，比例為\( 36 \div 42=85.7 \)%，而不下雨的機率為 6% ，占 \( 6 \div 42=14.3 \) %。

也就是說，假設天氣預報的準確率為 90% ，預報下雨的條件下，真正下雨的機率只有 85.7% 。

我們會發現：

預報下雨時是否真的下雨，不光與預報的準確度有關，同時也與這個地區平時下雨的機率有關。

檢查報告說我中獎了，我就真的生病了嗎？

與這個問題類似的是在醫院進行重大疾病檢查時，如果醫生發現異常，一般不會直接斷定生病了，而會建議到大醫院再檢查一次，雖然這兩次檢查可能完全相同。為什麼會這樣呢？

假設有一種重大疾病，患病人群占總人群的比例為\(\frac{1}{7000} \) 。也就是說， 隨機選取一個人，有\(\frac{1}{7000} \) 的機率患有這種疾病，有\(\frac{6999}{7000} \) 的機率沒有患這種疾病。

有一種先進的檢測方法，誤診率只有萬分之一，也就是說，患病的人有\(\frac{1}{10000} \) 的可能性被誤診為健康人，健康人也有\(\frac{1}{10000} \) 的可能性被誤診為患病。

我們要問：在一次檢查得到患病結果的前提下，這個人真正患病的機率有多大？

我們仿照剛才的計算方法，檢測出患病的總機率為：\(\frac{9999}{70000000}+\frac{6999}{70000000} \) \(=\frac{16998}{70000000}\)
而患病且檢測出患病的機率為：\(\frac{9999}{70000000}\)

所以在檢測患病的條件下，真正患病的機率為：\( \frac{9999}{70000000} \div  \frac{16998}{70000000}\) \(=\frac{9999}{16998}\) \( \approx 58.8 \)%

顯而易見，即便是萬分之一誤診的情況，一次檢測也不能完全確定這個人是否患病。

那麼，兩次檢測都是患病的情況又如何呢？

大家要注意，在第一次檢測結果為患病的前提下，此人患病的機率已經不再是所有人群的 \(\frac{1}{7000}\) ，而變為自己的 58.8% ，健康的機率只有 41.2% 。

此處的機率就是條件機率，所以第二次檢測的表格變為：

在兩次檢測都是患病的條件下，此人真正患病的機率為：\(\frac{58.794}{58.794+0.004}\)\(=99.99 \) % 基本確診了。

日常生活超有感──貝式定理

對這個問題進行詳細討論的人是英國數學家貝葉斯。

貝葉斯指出：如果 A 和 B 是兩個相關的事件， A 有發生和不發生兩種可能， B 有 B₁ 、 B₂ 、……、 B_n 共 n 種可能。

那麼在 A 發生的前提下， Bi 發生的機率稱為：條件機率 \( P(B_i|A) \)

要計算這個機率，首先要計算在 Bi 發生的條件下 ，A 發生的機率，公式為：\( P(B_i)P(A|B_i) \)

然後，需要計算事件A發生的總機率：

方法是用每種Bi情況發生的機率與相應情況下A發生的機率相乘，再將乘積相加。
\( P(B_1)P(A_1|B_1)+P(B_2)P(A_2|B_2)+\cdots+P(B_n)P(A_n|B_n) \)

最後，用上述兩個機率相除，完整的貝式定理公式就是：

貝式定理在社會學、統計學、醫學等領域，都發揮著巨大作用。

下次遇到天氣誤報、醫院誤診，不要完全怪氣象臺和醫院啦！有時候這是個數學問題。

——本文摘自《跟著網紅老師玩科學》，2019 年 4 月，時報出版。