我們曾經用等量於自然數尺寸的集合企圖製造更大的集合，結果發現即使把這種尺度的集合聯集無數次（可數有限次） ，得到的還是可數無限集合，這就是說聯集這種運算無法讓N突破其尺寸限制。當所屬集合之間沒有共同元素，也就是它們互不相交時，聯集就相當於加法，所以我們也可以說用加法這種運算無法增加可數無限集合的尺寸，詳細證明過程請參考《公設化集合論的奧秘 (10)》。既然加法不行，那很自然會想到乘法或許可以突破這種限制，因為在算術的領域裡，乘法得出的結果要比加法來得大。

接下來就來尋找這種乘法吧。但有甚麼數學構造相當於集合的乘法呢？相信很多人馬上會想起有個外型看起來很像乘法的東西，那就是笛卡爾乘積（Cartesian Product）：

定義4：對任意集合A和B，我們將笛卡爾乘積A × B定義為集合 {z〡∃a ∃b (a∈A ∧ b∈B) ∧ z = (a, b)}。

仔細一看，這個看起來很熟悉的笛卡爾乘積不就是之前介紹過的序對(a, b)所構成的集合嗎？這個笛卡爾乘積的前半部元素從A得來而後半部的元素則從B而來。

雖然這個定義就像我們所熟知的平面座標系一樣清楚明白，但對真正公設化集合論的內行人來說，她會馬上提出一個質疑，那就是雖然A和B都是集合，但我們無法確定A × B是否也是集合，所以必須在公設系統之內驗明正身。我們之前給過的序對定義為：

定義2： (a, b)= {{a}, {a, b}}

可參考《公設化集合論的奧秘 (8)》

由於a和 b分別屬於A和B集合，所以a, b ∈ A ∪ B。這樣的話，以a和b為元素所形成的集合就會成為A ∪ B的子集，也就是 {a, b} ⊆A ∪ B。而冪集合P(X) 的定義剛好是把X的子集合拿來當成P(X) 的元素，所以我們把A ∪ B看成P(X) 中的X就會得到

{a, b}∈ P (A ∪ B)

同理，更小的集合{a}也是A ∪ B的子集合，{a} ⊆A ∪ B，所以

{a}∈ P (A ∪ B)

以上用紅字標註的兩個集合{a , b}和{a}既然都是P (A ∪ B)的成員，那表示它們兩者所形成的集合{{a}, {a , b}}必定是P (A ∪ B)的子集，也就是

{{a}, {a, b}} ⊆ P (A ∪ B)

仔細觀察會發現左邊的部分正是序對(a, b)，也就是笛卡爾乘積的構成元素z 的基本形態，現在終於知道我們為何要不辭勞苦地繞那麼一大圈，為的就是要得出這個序對的形態，然後才能判別它是否符合集合的合法身分。

把這些定義關係整理一下可以得到：

z = (a, b) = {{a}, {a, b}} ⊆ P (A ∪ B)

再運用一次冪集合到P (A ∪ B)身上，根據它把子集當成元素的規定，我們發現

z = (a, b) = {{a}, {a, b}} ∈ P (P (A ∪ B))

終於把笛卡爾乘積的「真身」找到了，它就是構成A × B的集合形態，把A和B的聯集連續取兩次冪集合之後得到的P (P (A ∪ B))就是以z為元素的笛卡爾乘積。

現在只剩下最後一步確認程序了，那就是P (P (A ∪ B))是否為集合？由於A和B都是集合，所以根據ZF5聯集公設（請參考《公設化集合論的奧秘 (5)》），兩個集合的聯集也是集合，所以A ∪ B是集合沒錯。

再根據ZF7冪集合公設 (請參考《公設化集合論的奧秘 (7) 》) ，把一個集合X的所有子集蒐集起來所構成的類P(X)也是集合，所以P (A ∪ B) 是集合沒錯。(關於類的概念請參考《公設化集合論的奧秘 (12) 》) 現在讓我們根據ZF7把這個程序再 一次用到P (A ∪ B) 身上，結果發現P (P (A ∪ B)) 也仍然是集合。到此我們可以確定笛卡爾乘積A × B 為集合無誤，定義4完全符合ZF公設的「法定」標準。

確定了A × B為集合之後，我們才能放心大膽地測試由自然數集合N所構成的笛卡爾乘積N × N的尺寸是否能突破可數無限的限制，如果N × N連集合都不是的話，那我們就不用這麼辛苦白忙這一大圈了。

最後讓我們檢查一下笛卡爾乘積A × B是否真正捕捉到乘法算術的本質，就用有限集合來實驗一下吧。假設A和B都是由3個元素所構成的集合，比如A = {a, b, c} 而 B = {1, 2, 3} ，那麼A × B = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3), (c, 1), (c, 2), (c, 3)} ，點算一下剛好是9個元素，等於3 × 3，確實是乘法沒錯。

接下來能否找到N × N與N 之間的大小關係呢？我們發現可以找到一個一對一函數從N到N × N，只要取：

ƒ : N → N × N

n → (n, 0)

就成了。可惜ƒ不是映成函數，因為比如(17, 3)這個序對就不在ƒ的值域（range）裡，因此我們目前無法確定N × N 和N是否等量。但我們觀察到一個令人驚喜的現象，那就是當函數是一對一而沒有映成時，不就表示前面的集合N小於或等於後面的集合N × N嗎？因為不映成表示後面的集合N × N 存在著配對之後剩餘的元素，因此它有可能比前面的集合來得大。

於是我們據此做出一個集合之間小於或等於的定義：

定義5：如果在集合A和B之間存在一個一對一函數  ƒ : A→B，則說A小於或等量於B，寫成A ≤ B。相當於〡A〡≤  〡B〡，也就是A的基數小於等於B的基數。

根據以上定義，前面的函數ƒ告訴我們〡N〡≤  〡N × N〡，但若要確定〡N × N〡真的大於〡N〡的話，我們還需要證明N和N × N不等量才行。也就是若〡N〡≤ 〡N × N〡，則必須加上N和N × N不等量這個條件才能說〡N〡<〡N × N〡。

在這緊要關頭我們卻發現有一個函數g：N × N → N恰好是一對一函數，這怎麼可能呢？才剛剛發現〡N〡≤  〡N × N〡，為何半路又殺出一個搗蛋的函數g？口說無憑，我們就把函數g亮出來吧：

g：N × N → N

(n , m) → 2ⁿ3^m

有證據證明這個函數是一對一嗎？有的，根據算術基本定理，任何大於1的正整數都可以唯一分解為依序排列的質數乘積模式如：P₁^aP₂^bP₃^c…P_k^k…，其中P₁ < P₂ < P₃< P_k <… 為由小到大的質數，而a, b, c, …, k 等為正整數。由於值域裡的2和3正好是最小的兩個質數，因此一個序對(n, m)決定一個唯一的2ⁿ3^m值，故知道函數g為一對一函數。根據定義5，〡N × N〡≤ 〡N〡。於是我們同時有〡N〡≤ 〡N × N〡和〡N × N〡≤  〡N〡兩種情況。

如果是任意兩個實數r₁, r₂的話，如果r₁≤ r₂ 且 r₂ ≤ r₁則r₁ = r₂。但對於包含N在內的任意集合來說，以上的算術規則是否仍然正確？也就是如果

〡N〡≤ 〡N × N〡且〡N × N〡≤  〡N〡的話，

〡N〡=〡N × N〡是否成立？

答案是肯定的，這就是著名的施洛德—伯恩斯坦定理（Schröder-Bernstein theorem），它是關於集合尺寸的一個非常重要的定理，我們目前尚未證明它，所以只能暫時假裝它是對的。但施洛德—伯恩斯坦定理一旦成立，我們剛才的美夢就全泡湯了，原本期待笛卡爾乘積可以突破可數無限的藩籬，現在卻得到〡N〡=〡N × N〡這個結論。

不僅如此，我們還能夠進一步證明推廣到任意整數n的笛卡爾乘積C₁ × C₂ × C₃ × C₄ × … × C_n 其尺寸仍然是可數無限。突破可數無限的集合運算方式似乎近在咫尺又瞬間擦身而過，這個施洛德—伯恩斯坦定理的證明又暗藏甚麼玄機？就讓我們下回再分解吧！

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• 本文轉載自科技大觀園，原文為《接棒福三，福衛七號讓天氣預報更準確！》
• 作者／郭雅欣｜科技大觀園特約編輯

2019 年 6 月 25 日，福爾摩沙衛星七號（簡稱福衛七號）在國人的引頸期盼下升空。一年多來（編按：以原文文章發佈時間計算），儘管衛星還沒有全部轉換到預定的軌道，但已經回傳許多資料，這些資料對於天氣預報的精進，帶來很大的助益。中央大學大氣系特聘教授黃清勇及團隊成員楊舒芝教授、陳舒雅博士最近的研究主題，就是福衛七號傳回的資料，對天氣預報能有哪些改善。

掩星觀測的原理

要介紹福衛七號帶來的貢獻，得先從它的上一代──福衛三號說起。福衛三號包含了 6 顆氣象衛星，軌道高度 700~800 公里，以 72 度的傾角繞著地球運轉（繞行軌道與赤道夾角為 72 度）。這些衛星提供氣象資訊的方式，是接收更高軌道（約 20,200 公里）的 GPS 衛星所放出的電波，這些電波在行進到氣象衛星的路程中，會從太空進入大氣，並產生偏折，再由氣象衛星接收。換句話說，氣象衛星接收到的電波並不是走直線傳遞來的，而是因為大氣的折射，產生了偏折，藉由偏折角可推得大氣資訊。

氣象衛星會一邊移動，一邊持續接收電波，直到接收不到為止，在這段過程中，電波穿過的大氣從最高層、較稀薄的大氣，逐漸變為最底層、最接近地面的大氣，科學家能將這段過程中每一層大氣所造成的偏折角，通過計算回推出折射率，而折射率又和大氣溫度、水氣、壓力有關  ，因此可再藉由每個高度的大氣折射率，得出溫濕度垂直分布，這種觀測方式稱為「掩星觀測」。掩星觀測所得到的資料，可以納入數值預報模式，進一步做各種預報分析。 

資料同化──觀測與模式的最佳結合

在將掩星觀測資料納入數值預報模式時，必須先經過「資料同化」的過程。數值預報模式內含動力方程式，可以模擬任何一個位置的氣塊的運動，但是因為大氣環境非常複雜，模擬時不可能納入全部的動力條件，因此模擬結果不一定正確。而另一方面，掩星觀測資料提供的是真實觀測資訊，楊舒芝形容：「觀測就像拿著照相機拍照，不管什麼動力方程式，拍到什麼就是什麼。」但是，觀測的分布是不均勻的—唯有觀測過的位置，我們才會有觀測資料。

所以，我們一手擁有分布不均勻但很真實的觀測資料，另一手擁有很全面但可能不太正確的模式模擬。資料同化就是結合這兩者，找到一個最具代表性的大氣初始分析場，再以這個分析場為起點，去做後續的預報。資料同化正是楊舒芝和陳舒雅的重點工作之一。 

由於掩星觀測取得的資料與大氣的溫度、濕度、壓力有密切關係，因此在預報颱風、梅雨或豪大雨等與水氣量息息相關的天氣時，帶來重要的幫助。黃清勇的團隊針對福衛三號的掩星觀測資料對天氣預報的影響，做了許多模擬與研究，發現在預測颱風或氣旋生成、預報颱風路徑，以及豪大雨的降雨區域及雨量等，納入福衛三號的掩星觀測資料，都能有效提升預報的準確度。

黃清勇進一步說明，由於颱風都是在海面上生成的，而掩星觀測技術仰賴的是繞著地球運行的衛星來收集資料，相較於一般位於陸地上的觀測站，更能夠取得海上大氣資料，因此對於預測颱風的生成有很好的幫助。另一方面，這些資料也能幫助科學家掌握大氣環境，例如對於太平洋高壓的範圍抓得很準確，那麼對颱風路徑的預測自然也會更準。根據團隊的研究，加入福衛三號的掩星觀測資料，平均能將 72 小時颱風路徑預報的誤差減少約 12 公里，相當於改進了 5％。

豪大雨的預測則不只溫濕度等資訊，還需要風場資訊的協助，楊舒芝以 2008 年 6 月 16 日臺灣南部降下豪大雨的事件做為舉例，一般來說豪大雨都發生在山區，但這次的豪大雨卻集中在海岸邊，而且持續時間很久。為了找出合理的預測模式，楊舒芝探討了如何利用掩星觀測資料來修正風場。 

福衛七號接棒觀測

隨著福衛三號的退休，福衛七號傳承了氣象觀測的重責大任。福衛七號也包含了 6 顆氣象衛星，不過它和福衛三號有些不同之處。

福衛三號是以高達 72 度的傾角繞著地球運轉，取得的資料點分布比較均勻，高緯度地區會比低緯度地區密集一些。相較之下，福衛七號的傾角只有 24 度，它所觀測的點集中在南北緯 50 度之間，對臺灣所在的副熱帶及熱帶地區來說，密集度更高；加上福衛七號收集的電波來源除了美國的 GPS 衛星，還增加了俄國的 GLONASS 衛星，這些因素使得在低緯度地區，福衛七號所提供的掩星觀測資料將比福衛三號多出約四倍，每天可達 4,000 筆。

另一方面，福衛七號的軟硬體比起福衛三號更加先進，可以獲得更低層的大氣資料，而因為水氣主要都集中在低層，所以福衛七號對水氣掌握會比福衛三號更具優勢。

從福衛三號到福衛七號，其實模式也在逐漸演進。早期的模式都是納入「折射率」進行同化，而折射率又是從掩星觀測資料測得的偏折角計算出來的。「偏折角」是衛星在做觀測時，最直接觀測到的數據，相較之下，折射率是計算出來的，就像加工過的產品，一定有誤差。因此，近來各國學者在做數值模擬時，愈來愈多都是直接納入偏折角，而不採用折射率。黃清勇解釋：「直接納入偏折角會增加模式計算的複雜度，也會增加運算所需的時間，而預報又是得追著時間跑的工作，因此早期才會以折射率為主。」不過現在由於電腦的運算能力與模式都已經有了進步，因此偏折角逐漸成為主流的選擇。 

福衛七號其實還沒有全部轉換到預定的軌道，不過這一年多來的掩星觀測資料，已經讓中央氣象局對熱帶地區的天氣預報，準確度提升了 4~10％；陳舒雅也以今年 8 月的哈格比颱風為案例，成功地利用福衛七號的掩星觀測資料，模擬出哈格比颱風的生成。

除了福衛七號，還有一顆稱為「獵風者」的實驗型衛星，預計 2022 年將會升空。獵風者的任務是接收從地表反射的 GPS 衛星電波，然後推估風速。可以想見，一旦有了獵風者的加入，我們對大氣環境的掌握度勢必更好，對於颱風等天氣現象的預報也能更加準確。就讓我們一起期待吧！

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