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公設化集合論的奧秘 (3) 摧毀傳統集合論的重磅炸彈 — 羅素詭論

翁 昌黎
・2014/12/09 ・1959字 ・閱讀時間約 4 分鐘 ・SR值 535 ・七年級
伯特蘭·亞瑟·威廉·羅素,第三代羅素伯爵 photo source:wikipedia
伯特蘭·亞瑟·威廉·羅素,第三代羅素伯爵
photo source:wikipedia

文 / 翁昌黎(《孔恩vs.波普》中文譯者)

在數學和邏輯的領域裡有許多詭論存在,所謂詭論就是那種正反答案都有道理,但顯然不可能兩個答案都對。比如我對你說: 「我正在說謊」,如果這句話是真的,那表示我說的是謊話,因此它就是假的。如果這句話是假的,那表示我說了實話,因此這句話又是真的。像這種真假莫辨的語句就構成了詭論。

著名的羅素詭論(Russells paradox)就是一個具有簡單的數學形式,卻帶有強大的破壞力,它困擾了20世紀早期的許多數學家和邏輯學家。雖說羅素詭論終結了被稱為素樸集合論(naïve set theory)的早期數學理論,但這顆炸彈卻促成了以徹美洛為先導的公設化集合論。如果以徹美洛1908年的論文作為分水嶺,那麼素樸集合論的存活期限大約在1870年到1908年之間。

早期的素樸集合論只有兩個公設,一個就是之前談到過的外延公設,它規定兩個集合在什麼情況下可被視為等同的條件—如果它們有相同的成員的話,這一公設仍然被保留在ZF裡。另一個稱之為概括公設(Axiom of Comprehension),它的數學陳述極為簡單,但惹出大麻煩的正是這個公設。它說如果P是一個性質,那麼具有性質P(x) 的所有物體x就構成一個集合,寫成Y = {x: P(x)} 。

但嚴格來講,所謂具有性質P(x)這個表述顯得模糊而又不夠具體,什麼樣的東西可以作為P(x)呢? 它又具有什麼性質? 如果稍加思考我們還是可以從直觀上掌握它的一些特徵。比如我們將範圍限定在自然數,那所有偶數所成的集合就可以寫成E = { x : x 是偶數}。在這個例子裡性質P(x) 說的就是「x 是偶數」,它利用偶數這個性質建造起了E這個集合。來看另一個例子, 所有質數所形成的集合P = { x : x 是質數}= {2, 3, 5, 7, 11…}。這裡所謂的性質P(x)指的就是「x是質數」。

按照上面所舉的兩個例子來看,概括公設還挺好用的,只要將想要的東西用某個性質描述鎖定,然後將符合這個性質的東西通通抓出來放到我們設想的集合裡就萬事大吉了。多麼美妙簡潔的方法,多麼清楚明瞭的數學形式! 從表面上看不到任何破綻也沒有違背常理之處。但到了1901年,羅素不知怎麼地突發奇想,把一池春天的水硬給弄皺了。這個看起來簡單,稍嫌詭異但又不太起眼的東西,最終卻將原先被認為四平八穩的集合論體系給徹底掀翻,所以千萬不要以貌取人。

羅素詭論有何神奇魔力? 它就是在概括公設的許可下利用上述的性質P製造出來的集合,其數學形式相當簡單,依據概括公設,我們可以設計出一個集合R = { X : X X}。這個外表平凡無奇的集合乍看之下讓人有點摸不著頭腦,X ∉ X到底是什麼意思? 如果用麻袋隱喻來理解的話,它說的不就是一個集合不能把自己裝進去嗎,這不是理所當然嗎? 一個袋子怎麼能夠把自己當成元素放進去呢? 這不就像一條蛇想把自己吞進去? 這個看似廢話的集合到底能有什麼破壞性?我們就來研究羅素無聊時製造出來的這個魔怪到底具有什麼性質吧。

用我們之前說過的協會比喻就容易理解了。剛剛說過當時的素樸集合論只有兩條公設—外延公設概括公設,但這兩條「協會登記管理辦法」並沒有說不能把自己登記為自己的社團成員,所以理論上可以存在這樣型態的集合: 中區科學協會 = {中區物理協會,中區生物協會,中區化學協會,中區科學協會} 。像這種把自己登記為自己成員的社團組織就是ā = { X : X X},而不具有這種型態的集合,也就是成員中不包含自己在內的集合就是羅素的集合R = { X : X X}

事情到此似乎已經圓滿解決,羅素製造出來的這種集合顯然沒有異常。雖然「法規」沒有禁止,但一般情況下把自己登記成自己的成員似乎顯得相當怪異,又不是湊人頭黨員,還把自己放進去多數一個人頭,這不是欺詐嗎! 羅素所列舉的性質P(X ∉ X)顯然更符合我們對集合的常識要求,尤其是麻袋比喻下的集合。

但正所謂生死一線間,如果我們繼續往下追問,剛剛羅素的那個集合R是否是它自己的成員呢? 如果是的話則必然R ∈ R,因為R也必須在自己的成員當中。既然它在這個集合裡,那根據定義就要滿足性質P,也就是P(X ∉ X),我們得到R R這個結論。

糟糕,自相矛盾了! 那表示R不能是自己的成員,必須把它趕出這個集合,因此R R才對。可是根據羅素集合的定義R = {X: X X} ,R本身又滿足這個集合所具有的規定,因此必須把R看成是自己的成員,所以R ∈ R。這下可真是裡外不是人了,不論我們把R怎麼擺放,都會得出矛盾,走到這進退維谷的田地,看來原來的素樸集合論是徹底沒救了。

問題到底出在哪裡? 整套現代數學地基的集合論,居然被這個貌不驚人的詭論搞得灰頭土臉瀕臨破產,應該如何解決呢? 只有等下回分解了。

延伸閱讀

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翁 昌黎
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中央大學哲學研究所碩士,曾籌劃本土第一場「認知科學與佛教禪修系統」對話之大型研討會,於1995年6月在法光佛教研究所舉行,並發表文章。後隱居紐西蘭,至今已20載。 長年關注「意識轉變狀態的科學」和「意識本質的科學與哲學」問題,曾與大寶法王辯經教授師拿旺桑結堪布成立「大乘佛教禪修研究中心」。其他研究興趣為「唯識學」、「超個人心理學」、「數理邏輯」、「公設化集合論」和「後設數學」等等。


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讓愛滋與你和平共存,一起掌握 U=U 共識!

careonline_96
・2021/10/28 ・2457字 ・閱讀時間約 5 分鐘
讓愛滋與你和平共存,一起掌握U=U共識!感染科醫師圖解說明

確診感染愛滋病毒,對三十多歲的陳小姐一開始相當衝擊,但是經過抗病毒藥物的穩定治療後,血液中的病毒量大幅降低,已連續數月都控制於驗不到病毒的狀態。

某日回診時,陳小姐問:「醫師,我還有機會懷孕、生小孩嗎?」

「可以喔!」醫師點點頭,肯定地說:「只要能好好治療,繼續將愛滋病毒量維持檢驗不到狀況,便沒有傳染風險,也可以懷孕、生產!」

許多愛滋感染者在確診後,會變得沮喪、自我懷疑,認為自己不能再與他人建立親密關係並承受外界異樣眼光。

台北市立聯合醫院仁愛院區內科部感染科主治醫師顧文瑋醫師指出,其實感染者若能穩定接受服藥治療,便可有效控制且降低血液中的病毒量,轉變如慢性病一般,同樣可以孕育下一代。

穩定治療、定期追蹤、掌握 U = U,愛滋慢性化,醫病勇敢溝通很重要!

愛滋病是由愛滋病毒(Human Immunodeficiency Virus,簡稱HIV)感染,導致病患身體免疫力降低,出現各種疾病症狀,又稱後天免疫缺乏症候群(AIDS)。

從 1980 年代開始,愛滋病與愛滋感染受到全球關注,過去種種迷思導致感染者遭受歧視困境,現今治療進步,愛滋感染已慢性化!

顧文瑋醫師解釋,愛滋病毒主要透過血液、體液傳染,但是傳染力與病毒含量多寡十分有關!「新冠疫情讓大家對病毒量的概念較為清晰!如同感染者的口水、汗水、尿液、糞便等皆不具傳染力。日常中與感染者一起上課、說話、游泳、共餐、洗衣服,都不會遭到傳染。」

此外,目前抗病毒藥物已可有效降低並控制愛滋病毒量。顧文瑋醫師說,根據研究證實,當愛滋感染者接受穩定服藥治療,讓病毒量低到偵測不到時,便不會把愛滋病毒傳給性伴侶,這就是國際重要共識「U = U」。

掌握國際U = U

何謂 U=U?檢測不到愛滋病毒,便不具傳染力

「U = U」中的第一個 U 是 Undetectable,即「檢測不到病毒」;第二個 U 是 Untransmittable,即「不具傳染力」。

顧文瑋醫師說明,愛滋感染者在穩定接受抗病毒治療後,若持續穩定追蹤血液中病毒量,控制於測不到(低於 200 copies/ml)達六個月以上,其傳播病毒的風險是可忽略的。

「後來陳小姐回診時,穩定交往的男朋友也會陪同,主動了解用藥狀況,以及未來懷孕、生產該注意的事項。」顧文瑋醫師分享,「妥善穩定治療,讓愛滋病毒低到測不到,便沒有傳染風險,是非常重要的觀念!」

台灣愛滋防治成績卓越

感染者與醫師攜手向前,掌握 U=U! 台灣愛滋防治成績更卓越!

防治愛滋在世界各國皆是重要的任務,聯合國愛滋病規劃署(UNAIDS)就曾提出 3 個「90-90-90」的目標,希冀 2030 終結愛滋感染,期待朝向完善、全人的愛滋照護前進。

台灣經過多方努力,已達成「90-92-95」的成績,可謂領先亞洲其他國家;表示 90% 愛滋感染者已知自己的感染狀況;92% 已知感染狀況者已穩定接受服藥治療;95% 穩定治療者能有效控制病毒量,達到 U=U!

「我們希望宣導 U = U 的概念,讓愛滋感染者理解抗病毒治療的重要性,只要穩定接受藥物治療,即可將愛滋感染轉成一慢性病,對於感染者來說,也不會持續承受巨大壓力。」顧文瑋醫師強調,「面對愛滋感染是一輩子的事情,如同一般慢性病控制!感染者若有任何治療或身體健康疑問,都可以主動提出與醫療團隊討論,醫師才能根據生活、工作的需求,適時調整藥物。」

主動積極防治愛,讓愛無礙不困難!

主動積極防治愛,讓愛無礙不困難!

除了感染者自身積極治療外,民眾應更加全面理解、認識愛滋感染,並放下過去的焦慮與歧見。目前也越來越多臨床醫師願意主動了解愛滋治療、U=U 國際共識,並加入以人為本的病患照護。醫師們更在意如何為病患提供適合的治療與幫助,看重疾病治療本身而非存有歧視眼光,不論是民眾、醫護、政府與感染者,我們都希望一同營造更友善、平等的環境!

顧文瑋醫師叮嚀,感染愛滋僅有高風險行為,並沒有特定族群之分!民眾應維持單一固定性伴侶,性行為時務必全程正確使用保險套,可同時預防其他性傳染病感染。疾病管制署目前也有提供免費匿名愛滋篩檢,只要有性行為的民眾,建議至少進行一次篩檢;若有無套性行為者,建議每年至少進行一次篩檢;若為高風險感染者,建議每 3 至 6 個月篩檢一次。一旦感染需及早就醫治療,並檢驗愛滋病毒,切勿共用注射針頭、針筒、稀釋液。懷孕婦女需接受愛滋病毒檢查,若確診,便要儘快接受治療、穩定控制病毒量,讓愛無礙不困難。民眾對愛滋感染與愛滋病有任何疑問,務必諮詢專業醫療人員!


更多愛滋衛教資訊,請參考以下協會:

台灣露德協會

台灣基地協會

愛滋感染者權益促進會

台灣愛之希望協會

台灣紅絲帶基金會

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