著名的羅素詭論(Russell’s paradox)就是一個具有簡單的數學形式,卻帶有強大的破壞力,它困擾了20世紀早期的許多數學家和邏輯學家。雖說羅素詭論終結了被稱為素樸集合論(naïve set theory)的早期數學理論,但這顆炸彈卻促成了以徹美洛為先導的公設化集合論。如果以徹美洛1908年的論文作為分水嶺,那麼素樸集合論的存活期限大約在1870年到1908年之間。
早期的素樸集合論只有兩個公設,一個就是之前談到過的外延公設,它規定兩個集合在什麼情況下可被視為等同的條件—如果它們有相同的成員的話,這一公設仍然被保留在ZF裡。另一個稱之為概括公設(Axiom of Comprehension),它的數學陳述極為簡單,但惹出大麻煩的正是這個公設。它說如果P是一個性質,那麼具有性質P(x) 的所有物體x就構成一個集合,寫成Y = {x: P(x)} 。
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但嚴格來講,所謂具有性質P(x)這個表述顯得模糊而又不夠具體,什麼樣的東西可以作為P(x)呢? 它又具有什麼性質? 如果稍加思考我們還是可以從直觀上掌握它的一些特徵。比如我們將範圍限定在自然數,那所有偶數所成的集合就可以寫成E = { x : x 是偶數}。在這個例子裡性質P(x) 說的就是「x 是偶數」,它利用偶數這個性質建造起了E這個集合。來看另一個例子, 所有質數所形成的集合P = { x : x 是質數}= {2, 3, 5, 7, 11…}。這裡所謂的性質P(x)指的就是「x是質數」。
羅素詭論有何神奇魔力? 它就是在概括公設的許可下利用上述的性質P製造出來的集合,其數學形式相當簡單,依據概括公設,我們可以設計出一個集合R = { X : X ∉X}。這個外表平凡無奇的集合乍看之下讓人有點摸不著頭腦,X ∉ X到底是什麼意思? 如果用麻袋隱喻來理解的話,它說的不就是一個集合不能把自己裝進去嗎,這不是理所當然嗎? 一個袋子怎麼能夠把自己當成元素放進去呢? 這不就像一條蛇想把自己吞進去? 這個看似廢話的集合到底能有什麼破壞性?我們就來研究羅素無聊時製造出來的這個魔怪到底具有什麼性質吧。
用我們之前說過的協會比喻就容易理解了。剛剛說過當時的素樸集合論只有兩條公設—外延公設和概括公設,但這兩條「協會登記管理辦法」並沒有說不能把自己登記為自己的社團成員,所以理論上可以存在這樣型態的集合: 中區科學協會 = {中區物理協會,中區生物協會,中區化學協會,中區科學協會} 。像這種把自己登記為自己成員的社團組織就是ā = { X : X ∈X},而不具有這種型態的集合,也就是成員中不包含自己在內的集合就是羅素的集合R = { X : X ∉X}。
不管是大型電腦或個人電腦都需具有「中央處理單元」(central process unit,簡稱 CPU)。CPU 是電腦的「腦」,其電子電路負責處理所有軟體正確運作所需的所有任務,如算術、邏輯、控制、輸入和輸出操作等等。雖然早期的設計即可以讓一個指令同時做兩、三件不同的工作;但為了簡單化,我們在這裡所談的工作將只是執行算術和邏輯運算的工作(arithmetic and logic unit,簡稱 ALU),如將兩個數加在一起。在這一簡化的定義下,CPU 在任何一個時刻均只能執行一件工作而已。
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在個人電腦剛出現只能用於一般事物的處理時,CPU 均能非常勝任地完成任務。但電腦圖形和動畫的出現帶來了第一批運算密集型工作負載後,CPU 開始顯示心有餘而力不足:例如電玩動畫需要應用程式處理數以萬計的像素(pixel),每個像素都有自己的顏色、光強度、和運動等, 使得 CPU 根本沒辦法在短時間內完成這些工作。於是出現了主機板上之「顯示插卡」來支援補助 CPU。
如果在「三跤㧣」選舉之下,選情的激盪從候選人的得票多少看不出來,那要從哪裡看?政治學提供的一個方法是把候選人配對 PK,看是否有一位候選人能在所有的 PK 中取勝。這樣的候選人並不一定存在,如果不存在,那代表有 A 與 B 配對 A 勝,B 與 C 配對 B 勝,C 與 A 配對 C 勝的 A>B>C>A 的情形。這種情形,一般叫做「循環多數」(cyclical majorities),是 18 世紀法國學者孔多塞(Nicolas de Condorcet)首先提出。循環多數的存在意涵選舉結果隱藏了政治動盪。
台大電機系畢業,美國明尼蘇達大學政治學博士,
現任教於美國德州大學奧斯汀校區政府系。
林教授每年均參與中央研究院政治學研究所及政大選研中心
「政治學計量方法研習營」(Institute for Political Methodology)的教學工作,
並每兩年5-6月在台大政治系開授「理性行為分析專論」密集課程。
林教授的中文部落格多為文學、藝術、政治、社會、及文化評論。