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用披薩拼湊出阿基米德的圓面積公式──《無限的力量》

PanSci_96
・2020/11/26 ・2865字 ・閱讀時間約 5 分鐘 ・SR值 554 ・八年級

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首先歡迎今天的主角──披薩。圖/pixabay

在進入細節之前,讓我先說明一下本節中要做的事情。首先,在心中描繪一個圓形的物體,比如說一塊披薩。然後,藉由將這個披薩切成無限多塊並重新排列後,可以神奇地重新組合成一個長方形。因為重組排列切片並不會改變披薩的面積,同時我們也曉得如何求長方形的面積(只要將它的長與寬相乘即可),因此藉助這個策略,就能得到我們想要的答案:一個可以計算圓面積的公式。

為了使上述步驟得以順利進行,我們以英文字母 C 代表圓的周長(披薩最外緣的長度),我們可以用捲尺繞行披薩一圈來測得 C 的值。

另一個我們需要知道的數據是披薩的半徑長度,記做 r,它的定義是從披薩中心到邊緣上任意一點的長度。另外,假如所有的披薩切片都一樣大,且切法都是從中心往邊緣切,那麼 r 就是一塊披薩切片的側邊長度。

我們先將披薩平分成四小片,並把切片重新排列成以下圖形。很顯然地,結果不盡如人意。

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這個新形狀的頂部與底部都是波浪狀的,整體看上去就奇形怪狀。總而言之,這絕對不是一個長方形,因此我們也無法輕易猜到它的面積。這樣看起來,似乎沒有什麼用啊!不過正如所有的電影一樣,英雄在成功之前總是要經歷一些麻煩,此處的失敗也只是在為我們的探索過程增加一些戲劇張力罷了。

然而,在我們進到下一步之前,有兩個事實應該特別指出來,因為在我們的證明裡,它們自始至終都正確。這第一項事實是:新圖形頂邊與底邊的長度都恰好是周長的一半,也就是 \(\frac{C}{2}\)(如上圖所示),而我們所求四方形的長邊長度最後就會等於這個值。第二項事實是,圖形中那兩條傾斜的側邊剛好是一片披薩切片的側邊,因此長度就是 r,且這個長度最後會變成所求四方形的短邊長度。

在上面的操作中,我們之所以看不到任何四方形的影子,是因為這塊披薩還沒被切成足夠多片。如果這一次我們將它平分成八等分,並以相同的方式將切片重排,得到的新圖形就會離四方形的樣子更接近一些。

事實上,重排過後的披薩開始看起來就像是一個平行四邊形(parallelogram)。這結果還不賴,至少圖形頂部與底部那類似波浪的結構也不像之前那麼凹凹凸凸。如此可見,隨著切片數量增加,整個圖形看起來也會越平坦。要注意的是,圖形頂部與底部波浪狀的地方長度仍然是 \(\frac{C}{2}\),而兩端傾斜側邊的長度也依舊是 r。

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為了讓我們的圖形看起來更工整,還可以把最左邊或最右邊的披薩切片再切成一半,並把切下來的半片拼到另一邊去。

現在,整個圖形看上去就更像一個長方形了。當然我們得承認,目前的結果還不夠完美,因為圖形的上下方還是波浪狀的,但至少已經有些進展。

既然增加切片的數目看似對解題有幫助,那就讓我們繼續切下去吧!這一次新圖形是由十六片披薩切片所組成,同時,我們再次對它的側邊進行類似上面的切半搬移處理。最後的結果看起來如下:

總的來說,將披薩平分成越多片,原本波浪狀的部分就變得越平坦。我們可以看到,經過處理後,一系列新的形狀誕生了!而且很神奇地,這些形狀看起來越來越接近方方正正的四方形(即長方形)。由於此四方形是將披薩平分無數次之後的結果,我們就把這個四方形稱做「極限(limiting)」四方形吧!

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編註:我們前面談過很多的「無限(infinity)」是一種趨近的過程,而「極限(limiting)」則是指此趨近過程最終所達到的狀態。比如說:「無論你到天涯海角,我都要追上你」其中,永無休止追的過程是無限的概念,而追到天涯海角時就是那個最終的極限狀態。

前面所做的這一切,就是為了得到這個極限四方形,好讓我們能簡單地透過長乘以寬來算出面積,而剩下來的任務就是找出這個極限四方形的長寬和原本的圓之間存在什麼關係了。

首先,由於組成極限四方形的每一片披薩切片都是由披薩中心切出來的,因此四方形的短邊長度就是原本的圓半徑 r。至於四方形的長邊長度則等於圓周長的一半,這是因為有一半的周長被分配到了四方形的頂邊,另一半則被分配到了底邊。也就是說,長邊的長度等於 \(\frac{C}{2}\)。結合以上兩點,我們便可透過將長邊乘以短邊來得到極限四邊形的面積(以 A 表示),即 \(A = r\times \frac{C}{2} = \frac{rC}{2}\)。最後,因為搬動披薩切片並不會改變它的面積,所以此極限四邊形的面積一定等於原始的圓面積!

以上所得的圓面積公式 \(A = \frac{rC}{2}\) 是由古希臘數學家阿基米德(Archimedes,公元前 287 – 212 年)在他的文章《圓的測量》中首次證明的(他用了類似但更加嚴謹的論證)。

這個證明最創新的部分在於如何運用無限這個概念來協助我們得到答案。當我們只有四片、八片、或十六片披薩時,只能將它們重排成一個波浪狀的不完美圖形。然而,儘管開頭並不順利,隨著切片數不斷增加,我們所得到的圖形也越來越接近長方形。不過這裡必須注意,只有當切片數量達到無限多片時,重組之後的圖形才會完全變成長方形。而這就是微積分背後的關鍵想法:當到達無限以後,所有事情都會變得簡單!

──本文摘自《無限的力量》,旗標出版,2020 年 09 月 09 日
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快!還要更快!讓國家級地震警報更好用的「都會區強震預警精進計畫」
鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2024/01/21 ・2584字 ・閱讀時間約 5 分鐘

本文由 交通部中央氣象署 委託,泛科學企劃執行。

  • 文/陳儀珈

從地震儀感應到地震的震動,到我們的手機響起國家級警報,大約需要多少時間?

臺灣從 1991 年開始大量增建地震測站;1999 年臺灣爆發了 921 大地震,當時的地震速報系統約在震後 102 秒完成地震定位;2014 年正式對公眾推播強震即時警報;到了 2020 年 4 月,隨著技術不斷革新,當時交通部中央氣象局地震測報中心(以下簡稱為地震中心)僅需 10 秒,就可以發出地震預警訊息!

然而,地震中心並未因此而自滿,而是持續擴建地震觀測網,開發新技術。近年來,地震中心執行前瞻基礎建設 2.0「都會區強震預警精進計畫」,預計讓臺灣的地震預警系統邁入下一個新紀元!

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連上網路吧!用建設與技術,換取獲得地震資料的時間

「都會區強震預警精進計畫」起源於「民生公共物聯網數據應用及產業開展計畫」,該計畫致力於跨部會、跨單位合作,由 11 個執行單位共同策畫,致力於優化我國環境與防災治理,並建置資料開放平台。

看到這裡,或許你還沒反應過來地震預警系統跟物聯網(Internet of Things,IoT)有什麼關係,嘿嘿,那可大有關係啦!

當我們將各種實體物品透過網路連結起來,建立彼此與裝置的通訊後,成為了所謂的物聯網。在我國的地震預警系統中,即是透過將地震儀的資料即時傳輸到聯網系統,並進行運算,實現了對地震活動的即時監測和預警。

地震中心在臺灣架設了 700 多個強震監測站,但能夠和地震中心即時連線的,只有其中 500 個,藉由這項計畫,地震中心將致力增加可連線的強震監測站數量,並優化原有強震監測站的聯網品質。

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在地震中心的評估中,可以連線的強震監測站大約可在 113 年時,從原有的 500 個增加至 600 個,並且更新現有監測站的軟體與硬體設備,藉此提升地震預警系統的效能。

由此可知,倘若地震儀沒有了聯網的功能,我們也形同完全失去了地震預警系統的一切。

把地震儀放到井下後,有什麼好處?

除了加強地震儀的聯網功能外,把地震儀「放到地下」,也是提升地震預警系統效能的關鍵做法。

為什麼要把地震儀放到地底下?用日常生活來比喻的話,就像是買屋子時,要選擇鬧中取靜的社區,才不會讓吵雜的環境影響自己在房間聆聽優美的音樂;看星星時,要選擇光害比較不嚴重的山區,才能看清楚一閃又一閃的美麗星空。

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地表有太多、太多的環境雜訊了,因此當地震儀被安裝在地表時,想要從混亂的「噪音」之中找出關鍵的地震波,就像是在搖滾演唱會裡聽電話一樣困難,無論是電腦或研究人員,都需要花費比較多的時間,才能判讀來自地震的波形。

這些環境雜訊都是從哪裡來的?基本上,只要是你想得到的人為震動,對地震儀來說,都有可能是「噪音」!

當地震儀靠近工地或馬路時,一輛輛大卡車框啷、框啷地經過測站,是噪音;大稻埕夏日節放起絢麗的煙火,隨著煙花在天空上一個一個的炸開,也是噪音;台北捷運行經軌道的摩擦與震動,那也是噪音;有好奇的路人經過測站,推了推踢了下測站時,那也是不可忽視的噪音。

因此,井下地震儀(Borehole seismometer)的主要目的,就是盡量讓地震儀「遠離塵囂」,記錄到更清楚、雜訊更少的地震波!​無論是微震、強震,還是來自遠方的地震,井下地震儀都能提供遠比地表地震儀更高品質的訊號。

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地震中心於 2008 年展開建置井下地震儀觀測站的行動,根據不同測站底下的地質條件,​將井下地震儀放置在深達 30~500 公尺的乾井深處。​除了地震儀外,站房內也會備有資料收錄器、網路傳輸設備、不斷電設備與電池,讓測站可以儲存、傳送資料。

既然井下地震儀這麼強大,為什麼無法大規模建造測站呢?簡單來說,這一切可以歸咎於技術和成本問題。

安裝井下地震儀需要鑽井,然而鑽井的深度、難度均會提高時間、技術與金錢成本,因此,即使井下地震儀的訊號再好,若非有國家建設計畫的支援,也難以大量建置。

人口聚集,震災好嚴重?建立「客製化」的地震預警系統!

臺灣人口主要聚集於西半部,然而此區的震源深度較淺,再加上密集的人口與建築,容易造成相當重大的災害。

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許多都會區的建築老舊且密集,當屋齡超過 50 歲時,它很有可能是在沒有耐震規範的背景下建造而成的的,若是超過 25 年左右的房屋,也有可能不符合最新的耐震規範,並未具備現今標準下足夠的耐震能力。 

延伸閱讀:

在地震界有句名言「地震不會殺人,但建築物會」,因此,若建築物的結構不符合地震規範,地震發生時,在同一面積下越密集的老屋,有可能造成越多的傷亡。

因此,對於發生在都會區的直下型地震,預警時間的要求更高,需求也更迫切。

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地震中心著手於人口密集之都會區開發「客製化」的強震預警系統,目標針對都會區直下型淺層地震,可以在「震後 7 秒內」發布地震警報,將地震預警盲區縮小為 25 公里。

111 年起,地震中心已先後完成大臺北地區、桃園市客製化作業模組,並開始上線測試,當前正致力於臺南市的模組,未來的目標為高雄市與臺中市。

永不停歇的防災宣導行動、地震預警技術研發

地震預警系統僅能在地震來臨時警示民眾避難,無法主動保護民眾的生命安全,若人民沒有搭配正確的防震防災觀念,即使地震警報再快,也無法達到有效的防災效果。

因此除了不斷革新地震預警系統的技術,地震中心也積極投入於地震的宣導活動和教育管道,經營 Facebook 粉絲專頁「報地震 – 中央氣象署」、跨部會舉辦《地震島大冒險》特展、《震守家園 — 民生公共物聯網主題展》,讓民眾了解正確的避難行為與應變作為,充分發揮地震警報的效果。

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此外,雖然地震中心預計於 114 年將都會區的預警費時縮減為 7 秒,研發新技術的腳步不會停止;未來,他們將應用 AI 技術,持續強化地震預警系統的效能,降低地震對臺灣人民的威脅程度,保障你我生命財產安全。

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【成語科學】水漲船高:浮力是什麼?為什麼蘇伊士運河會「大排長榮」?
張之傑_96
・2023/10/11 ・1096字 ・閱讀時間約 2 分鐘

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根據教育部編《國語辭典》,這成語的解釋是:「比喻人或事物,隨著憑藉者的地位提升而升高。」你覺得拗口是不是?其實這成語是說,水位高了,水裡的船跟著升高,造兩個句你就更明白了。

油價一漲,民生用品水漲船高,人們的生活開支就增加了。

最近老師教得認真,結果水漲船高,段考成績普遍提高了。

如果水位變低了呢?水裡的船當然跟著降低。當水位低於船隻沒入水中的部份(稱為吃水),船隻就會擱淺。談到這裡,就得談談浮力原理了。

這原理的發現還有個小故事呢!相傳某希臘國王,做了一頂純金王冠。有人密報,金冠攙假。然而秤一下重量,又和當初交給金匠的純金一樣重。國王還是不放心,就請科學家阿基米德鑑定。

阿基米德苦思多日,想不出辦法。一天,他在家裡洗澡,當他進入澡盆時,看見水往外溢,突然悟出:「可以用測定固體在水中排水量的辦法,來確定金冠的比重啊!」他興奮地跳出澡盆,大聲喊著:「尤里卡,尤里卡!」(尤里卡,就是「發現了」的意思)。

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阿基米德驚呼「尤里卡!」。圖/wikimedia

阿基米德把王冠和同等重量的純金,放在兩個容量相同、盛滿水的盆子裡,發現放王冠的盆子,溢出的水比另一盆多些。說明王冠的體積,比相同重量的純金的體積大,證明了王冠並非純金製的,揭露了金匠欺君之罪。

阿基米德因此發現了浮力原理(又稱阿基米德原理):物體在水(液體)中所獲得的浮力,等於物體所排出(開)液體的重量。根據浮力原理,只要水夠深,幾萬噸的船都能浮在水上,因為它排開的水,比船還要重啊!

章老師曾搭乘郵輪經過蘇伊士運河。這條運河寬 205-225 公尺,深 23-24 公尺,所以只要船隻吃水的部份不超過 20 公尺,保證可以通行。章老師搭乘的是艘中小型郵輪,只有 3.5 萬噸,加上 1000 名乘客和 400 位工作人員,吃水可能不到 10 公尺。走在我們前面的,是艘 10 萬噸級的貨輪,也行駛得十分順當。查一下資料,這條運河可以浮起 24 萬噸的船呢!

卡在蘇伊士運河中,造成「大排長榮」的長賜號。圖/wikimedia

那麼 2021 年 3 月間怎會發生蘇伊士運河事件?發生事故的長賜號,總噸位 220,940 噸,寬 58.8 公尺,都在安全值之下。可是運河水深 23-24 公尺,是指中央的航道,靠近岸邊就沒那麼深了。長賜號被強風吹離航道,在岸邊擱淺。這還不說,長賜號全長 399.94 公尺,擱淺時斜著卡在運河中,把整條運河堵住了。

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張之傑_96
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張之傑,字百器,出入文理,著述多樣,其中以科普和科學史較為人知。

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比大還要再大!比「無窮」還要更大是什麼概念?——《不用數字的數學》
經濟新潮社
・2022/09/28 ・2660字 ・閱讀時間約 5 分鐘

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我們都知道無窮(infinity)是什麼。無窮比任何數都更大。當你從一二三不停數下去的時候你會靠近它。它也是萬物甚至更多事物的總和。

我們談到無窮時,一定會想知道一件事:

什麼事物比無窮大?圖/經濟新潮社

比無窮還大?有可能嗎?

這個問題其實真的有答案。它不是開放性問題,也不是陷阱題。答案不是「是」就是「否」,而且我會在這一章的結尾公布答案。

讀者可以先猜猜看,但我們或許應該先訂好遊戲規則,讓大家知道該怎麼思考。

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具體說來,我們需要訂定關於「較大」的規則。我們要怎麼確定自己發現了比無窮更大的事物?如果是有限的量,要分辨某個事物比另一個事物更大相當容易,但碰到無窮時似乎就沒那麼簡單了。我們不希望完全靠感覺判斷,所以必須選擇簡單明瞭的規則,用來判定一個量是否比另一個量「更大」。

配對數量的多寡來判斷哪邊比較「大」

那麼,在一般、有限的狀況下,我們通常怎麼判定「較大」?我們說右邊這一堆比左邊的更大是什麼意思?

右邊這一堆比左邊的更大圖/經濟新潮社

沒錯,用看的就知道。但假設我們遇到一個外星人,這個外星人從沒聽過「更大」、「更多」、「更好」這些概念,我們該如何解釋右邊這堆較大?真的,試試看就知道。這個概念太基本了,其實很難從頭開始解釋。

當我們碰到困難時,數學中有個常用的技巧,就是提出完全相反的問題,看看會有什麼結果。我們要怎麼跟外星人解釋這兩堆的大小相同?

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我們要怎麼跟外星人解釋這兩堆的大小相同?圖/經濟新潮社

我們不能用「相等」這個詞,因為它正是我們要去解釋的東西。這個外星人想了解我們說兩樣事物「相等」或「相同」時是什麼意思,以及它的主要概念是什麼。

有個方法行得通。把兩堆東西並排起來,一個對一個。如果兩兩配對後正好用完,沒有剩餘,表示這兩堆東西大小相同。

如果兩兩配對後正好用完,沒有剩餘,表示這兩堆東西大小相同。圖/經濟新潮社
圖/經濟新潮社

「提出相反問題」的技巧確實有用。只要把這個規則反轉過來,就能得到「較大」的定義。

圖/經濟新潮社

現在問題已經定義清楚了,答案也隨之確定。那麼,世界上有什麼事物比無窮更大?答案是「是」還是「否」?世界上有什麼事物和無窮兩兩配對之後還有剩餘?現在我們可以思考之後猜猜看。

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無窮跟無窮 +1 誰比較大?

我們可以把無窮想成一個深不見底的袋子,裡面裝著無限多個物體。

我們可以從這個袋子裡拿出任意數量的物體,袋子裡也還剩下無限多個。

世界上怎麼可能有其他事物比它更大?好吧,如果是無窮加一呢?

多一個物體看來應該不會對無窮造成什麼影響,但我們用配對規則來確認看看。首先,我們可以把無窮袋中的物體排成一排,這樣比較容易看清楚哪個跟哪個配對。

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如果我們以最顯而易見的方式配對,無窮加一看起來當然更大。

不過要小心!規則指出,兩個事物必須無法正好兩兩配對,才會有一者較大。(最好經常回頭看清楚規則!)還有一種配對方法確實可行,而且兩方都不會有剩餘:

如果你覺得這樣好像在騙人,請花點時間告訴自己,這樣真的沒錯。我們不是把一個物體跟點點點配對,而是把它跟隱藏在點點點中的下一個物體配對。既然兩個袋子都有無限多個物體,不會有物體配對不到,所以兩者大小相同。無窮加一等於無窮!

我來講個故事說明這個結果有多奇怪。

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無窮大飯店!如何塞進無窮 +1 位客人

假設我們在一家非常特別的「無窮大飯店」當櫃臺接待人員。無窮大飯店有無限多間房間。飯店裡有條長長的走廊,沿著走廊有一排房門,連綿不絕地延續下去,無論走多遠都不會結束。走廊沒有盡頭,所以也沒有「無窮號房」或「最後一號房」。當然有一號房,每間房間也都有下一號房。

今天晚上格外忙碌,飯店裡每間房間都住滿了(對,這個世界裡有無限多個人)。如果沿走廊隨意走一段距離,選一扇門敲幾下,就會聽到:「有人!請勿打擾!」無限多間房間,裡面住著無限多個人。

接著有人從外面走進飯店大廳說:「請問還有房間嗎?」我們不是第一天在無窮大飯店工作,當然知道該怎麼做。我們拿起廣播系統麥克風說:「各位來賓,抱歉打擾一下,請各位來賓搬到下一間房間。沒錯,請收拾好行李,走出房門,朝遠離大廳的方向搬到下一間房間。謝謝合作,祝您有個愉快的夜晚。」大家都照做之後,就有房間給新住客了。

無限多間房間,無限多加一位住客,房間跟住客依然正好兩兩配對。無窮加一等於無窮。

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無窮加五、無窮加一兆……都沒關係,這個邏輯全都成立。兩個袋子可以正好配對,可以多裝進一位客人。無窮非常大,任何有限的量根本沒得比。所以我們還沒有找到比無窮更大的事物。

——本文摘自《不用數字的數學:讓我們談談數學的概念,一些你從沒想過的事……激發無窮的想像力!》,2022 年 9 月,經濟新潮社,未經同意請勿轉載。

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