公設化集合論的奧秘(11) 探索神奇的實數尺寸

本文與 BRITA 合作，泛科學企劃執行。

你確定你喝的水真的乾淨嗎？

如果你回到兩百年前，試圖喝一口當時世界上最大城市的飲用水，可能會立刻放下杯子——那水的顏色帶點黃褐，氣味刺鼻，甚至還飄著肉眼可見的雜質。十九世紀倫敦泰晤士河的水，被戲稱為「流動的污水」，當時的人們雖然知道水不乾淨，但卻無力改變，導致霍亂和傷寒等疾病肆虐。

幸運的是，現代自來水處理系統已經讓我們喝不到這種「肉眼可見」的污染物，但問題可還沒徹底解決。面對 21 世紀的飲水挑戰，哪些技術真正有效？

濾水技術：從霍亂危機到高效濾芯

19 世紀的歐洲因為城市人口膨脹與工業發展，面臨了前所未有的水污染挑戰。當時多數城市的供水系統仍然依賴河流、湖泊，甚至未經處理的地下水，導致傳染病肆虐。

1854 年，英國醫生約翰·斯諾（John Snow）透過流行病學調查，發現倫敦某口公共水井與霍亂爆發直接相關，這是歷史上首次確立「飲水與疾病傳播的關聯」。這項發現徹底改變了各國政府對供水系統的態度，促使公衛政策改革，加速了濾水與消毒技術的發展。到了 20 世紀初，英國、美國等國開始在自來水中加入氯消毒，成功降低霍亂、傷寒等水媒傳染病的發生率，這一技術迅速普及，成為現代供水安全的基石。    

 19 世紀末的台灣同樣深受傳染病困擾，尤其是鼠疫肆虐。1895 年割讓給日本後，惡劣的衛生條件成為殖民政府最棘手的問題之一。1896 年，後藤新平出任民政長官，他本人曾參與東京自來水與下水道系統的規劃建設，對公共衛生系統有深厚理解。為改善台灣水源與防疫問題，他邀請了曾參與東京水道工程的英籍技師 W.K. 巴爾頓（William Kinnimond Burton） 來台，規劃現代化的供水設施。在雙方合作下，台灣陸續建立起結合過濾、消毒、儲水與送水功能的設施。到 1917 年，全台已有 16 座現代水廠，有效改善公共衛生，為台灣城市化奠定關鍵基礎。

進入 20 世紀，人們已經可以喝到看起來乾淨的水，但問題真的解決了嗎？ 科學家如今發現，水裡仍然可能殘留奈米塑膠、重金屬、農藥、藥物代謝物，甚至微量的內分泌干擾物，這些看不見、嚐不出的隱形污染，正在成為21世紀的飲水挑戰。也因此，濾水技術迎來了一波科技革新，活性碳吸附、離子交換樹脂、微濾、逆滲透（RO）等技術相繼問世，各有其專長：

• 活性碳吸附：去除氯氣、異味與部分有機污染物

• 離子交換樹脂：軟化水質，去除鈣鎂離子，減少水垢

• 微濾技術、逆滲透（RO）技術：攔截細菌與部分微生物，過濾重金屬與污染物等

這些技術相互搭配，能夠大幅提升飲水安全，然而，無論技術如何進步，濾芯始終是濾水設備的核心。一個設計優良的濾芯，決定了水質能否真正被淨化，而現代濾水器的競爭，正是圍繞著「如何打造更高效、更耐用、更智能的濾芯」展開的。於是，最關鍵的問題就在於到底該如何確保濾芯的效能？

濾芯的壽命與更換頻率：濾水效能的關鍵時刻濾芯，雖然是濾水器中看不見的內部構件，卻是決定水質純淨度的核心。以德國濾水品牌 BRITA 為例，其濾芯技術結合椰殼活性碳和離子交換樹脂，能有效去除水中的氯、除草劑、殺蟲劑及藥物殘留等化學物質，並過濾鉛、銅等重金屬，同時軟化水質，提升口感。

然而，隨著市場需求的增長，非原廠濾芯也悄然湧現，這不僅影響濾水效果，更可能帶來健康風險。據消費者反映，同一網路賣場內便可輕易購得真假 BRITA 濾芯，顯示問題日益嚴重。為確保飲水安全，建議消費者僅在實體官方授權通路或網路官方直營旗艦店購買濾芯，避免誤用來路不明的濾芯產品讓自己的身體當過濾器。

辨識濾芯其實並不難——正品 BRITA 濾芯的紙盒下方應有「台灣碧然德」的進口商貼紙，正面則可看到 BRITA 商標，以及「4週換放芯喝」的標誌。塑膠袋外包裝上同樣印有 BRITA 商標。濾芯本體的上方會有兩個浮雕的 BRITA 字樣，並且沒有拉環設計，底部則標示著創新科技過濾結構。購買時仔細留意這些細節，才能確保濾芯發揮最佳過濾效果，讓每一口水都能保證潔淨安全。

不過，即便是正品濾芯，其效能也非永久不變。隨著使用時間增加，濾芯的孔隙會逐漸被污染物堵塞，導致過濾效果減弱，濾水速度也可能變慢。而且，濾芯在拆封後便接觸到空氣，潮濕的環境可能會成為細菌滋生的溫床。如果長期不更換濾芯，不僅會影響過濾效能，還可能讓積累的微小污染物反過來影響水質，形成「過濾器悖論」（Filter Paradox）：本應淨化水質的裝置，反而成為污染源。為此，BRITA 建議每四週更換一次濾芯，以維持穩定的濾水效果。

為了解決使用者容易忽略更換時機的問題，BRITA 推出了三大智慧提醒機制，確保濾芯不會因過期使用而影響水質：

1. Memo 或 LED 智慧濾芯指示燈：即時監測濾芯狀況，顯示剩餘效能，讓使用者掌握最佳更換時間。

2. QR Code 掃碼電子日曆提醒：掃描包裝外盒上的 QR Code 記錄濾芯的使用時間，自動提醒何時該更換，減少遺漏。

3. LINE 官方帳號自動通知：透過 LINE 推送更換提醒，確保用戶不會因忙碌而錯過更換時機。

在濾水技術日新月異的今天，濾芯已不僅僅是過濾裝置，更是智慧監控的一部分。如何挑選最適合自己需求的濾水設備，成為了健康生活的關鍵。

濾水技術：不僅是進步，更是守護未來

人類對潔淨飲用水的追求，從未停止。19世紀，隨著城市化與工業化發展，水污染問題加劇並引發霍亂等疾病，促使濾水技術迅速發展。20世紀，氯消毒技術普及，進一步保障了水質安全。隨著科技進步，現代濾水技術透過活性碳、離子交換等技術，去除水中的污染物，讓每一口水更加潔淨與安全。

今天，消費者不再單純依賴公共供水系統，而是能根據自身需求選擇適合的濾水設備。例如，BRITA 提供的「純淨全效型濾芯」與「去水垢專家濾芯」可針對不同需求，從去除餘氯、過濾重金屬到改善水質硬度等問題，去水垢專家濾芯的去水垢能力較純淨全效型濾芯提升50%，並通過 SGS 檢測，通過國家標準水質檢測「可生飲」，讓消費者能安心直飲。

然而，隨著環境污染問題的加劇，真正的挑戰在於如何減少水污染，並確保每個人都能擁有乾淨水源。科技不僅是解決問題的工具，更應該成為守護未來的承諾。濾水器不僅是家用設備，它象徵著人類與自然的對話，提醒我們水的純淨不僅是技術的勝利，更是社會的責任和對未來世代的承諾。

*符合濾(淨)水器飲用水水質檢測技術規範所列9項「金屬元素」及15項「揮發性有機物」測試
*僅限使用合格自來水源，且住宅之儲水設備至少每6-12個月標準清洗且無受汙染之虞

有一種說法認為集合論的發明是在1873年12月，精確地說是1873年12月7日，因為那一天康托證明了連續統（continuum）是不可數的，所以應該把那一天當成現代集合論的生日。不論你是否同意這個出生證明，但康托1873年年底所用的證明方法並非後來廣為人知的對角線法，也就是我們在《公設化集合論的奧秘 (11)》所採用的方法，對角線法的提出要到大約19年後的1892年才公諸於眾。

但從那一天起，人類對無限的了解進入了一個全新的階段，我們知道實數（連續統）比自然數還大。在證明實數是不可數之後，我們可否進一步下結論說自然數的冪集合P(N)與實數的尺寸一樣大，因為它們都是不可數集合？在沒發現不可數集合之前，我們原以為無限只有一種，那就是像自然數一樣可以從0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 … 一直往下數沒有盡頭這種無限，直到這種想法被康托的證明方法擊碎。有了這個教訓，我們最好更加謹慎，任何直觀的想法都應該由嚴格的證明來確認，所以尋找證明是必要的工作。

假如要證明實數集合R與P(N) 等量，那麼根據定義1 （請參考《公設化集合論的奧秘 (8)》） ，就必須找到一個一對一且映成的函數F: R → P(N)才行。但這可不是件容易的事，我們如何在浩如星辰的實數和全體自然數的冪集合之間找到這種一一對應呢？先別失望，我們之前介紹的戴德金左集合（請參考《公設化集合論的奧秘 (16)》和《公設化集合論的奧秘 (17)》）或許可以在此危難之際發揮作用。由於戴德金實數是由一堆有理數（實際上是可數無限個）來定義的，這給了我們一個透視實數集合結構的絕佳機會。

既然每個戴德金實數就相當於無限多個有理數的集合，比如0被定義為 {q〡q ∈ Q 且q<0}，也就是所有負有理數的集合，那我們正好可以定義一個一對一的恆等函數，使得每個實數r （相當於一個戴德金左集合）對應到一個相等的有理數子集合：

f: R → P(Q)

 r → r

也就是說定義域R裡裝了哪一堆有理數那我的値域就取同樣一堆有理數來配對，因為這樣一堆有理數正好符合對應域P(Q)的定義條件—全體有理數的子集合。這麼容易就完成證明啦？還是個恆等函數，這也簡單到有點欺負人了吧！

且慢，有兩個問題尚待解決。首先，我們所要證明的函數關係是從 R → P(N)而不是R → P(Q)。其次，R和P(N)等量的條件是找到一個一對一且映成的函數，但我們剛剛找的f: R → P(Q)只滿足一對一的條件卻不映成，這一點可以很容易看出來。由於戴德金實數必定由無限個有理數所構成，因為左集合會往負數方向無限伸展，可是對於P(Q)來說，它顯然也必須包含由有限元素所構成的集合，比如{1/6, 37, 522}就是Q的一個有限子集合，但我們無法找到與之相對應的戴德金實數r。

現在回顧《公設化集合論的奧秘 (14)》裡的定義：

定義5：如果在集合A和B之間存在一個一對一函數ƒ : A→B，則說A小於或等量於B，寫成A ≤ B。相當於〡A〡≤  〡B〡，也就是A的基數小於等於B的基數。

由這個定義得知，我們目前能確定的只是〡R〡≤ 〡P(Q)〡，而不是〡R〡= 〡P(N)〡。證明定理有時候就像擬訂作戰策略，對於無法一次消滅的敵人，你要分段把它逐步吃掉，而不能急於蟒蛇吞象最後把自己噎死。千萬不要輕忽每一次的小進展，那就讓我們把以上成果當成是一個好的開始吧。

有了半壁江山，就想辦法湊出另一半吧！這提醒我們之前提到的施洛德—伯恩斯坦定理（Schröder-Bernstein theorem） ，它的一般表述形式是：

對任意集合A和B，如果〡A〡≤ 〡B〡且〡B〡≤ 〡A〡

則〡A〡=〡B〡。

這個定理的威力在於它允許我們使用和有限數值一樣的方式來辨認集合的尺寸。比如有兩個數a和 b，如果a ≤ b 而且b ≤ a的話，那一定會得出a = b，施洛德—伯恩斯坦定理把這層關係從有限數推廣到不可數無限集合。

此外，這個定理還有一個實際功能，那就是當我們想證明兩個集合等量卻苦於找不到一對一且映成函數時，可以有個更簡潔的辦法。我們只需找到兩個一對一函數，一個從A到B，另一個從B到A就成了，對於許多複雜的集合等量證明來說，這不啻是天降福音。接下來只須稍稍解決一個小問題，那就是之前我們已經證明有理數和自然數一樣多（《公設化集合論的奧秘 (9)》），所以〡Q〡=〡N〡，得到〡P(Q)〡=〡P(N)〡，因此原來的戰鬥成果〡R〡≤ 〡P(Q)〡就可以順理成章地變成〡R〡≤ 〡P(Q)〡=〡P(N)〡，用小學的數學就能得到〡R〡≤ 〡P(N)〡。

以施洛德—伯恩斯坦定理的觀點來看，證明已經完成了一半。接下來我們想要在2^N和R之間建立起一個一對一函數，也就是讓〡2^N 〡≤ 〡R〡成立。我們再次用小學數學來解釋這樣做的理由，在《公設化集合論的奧秘 (15)》我們證明了〡P(N)〡=〡2^N〡，因此只要〡2^N 〡≤ 〡R〡成立，那麼〡P(N)〡≤ 〡R〡就會成立。

這讓我想起一個卡通節目，每次當兩位總在冒險旅途的主角一遇到甚麼災難，只要把兩枚原本一體的神奇戒指結合，就會跑出一個法力無邊的阿拉伯神祇名叫蘇仙，祂的神通可以打退各方的妖魔鬼怪。數學式〡R〡≤ 〡P(N)〡和〡P(N)〡≤ 〡R〡就有如集合論中的神奇戒指，當它們一結合就能招喚出法力無窮的蘇仙讓我們見識到集合論的奇蹟：〡R〡= 〡P(N)〡。

但要如何打造另外一半的戒指呢？我們需要找到一個一對一函數

θ: 2^N → R

之前說過2^N是指以下這種函數類型所成的集合

F: {0, 1, 2, 3, 4…} → {0, 1}

所以我們的目標是找一個這種類型的函數f對應到某個實數r。它的形式就是：

θ: 2^N → R

     f →  r

化繁為簡是數學思考的靈魂，所以在尋找f之前我們先將θ的對應域R做點簡化工作。在《公設化集合論的奧秘 (11)》一文我們已經證明全體實數R的個數和開區間(0, 1)裡的實數一樣多，因此我們可以把目標函數θ: 2^N → R調整為θ: 2^N → (0, 1)，也就是讓2^N 中的元素f對應到(0, 1)間的某個實數即可。這個函數的樣貌如下：

θ: 2^N →(0, 1)

     f →  0.a₀a₁a₂a₃a₄…a_n…

我們之前介紹過 2^N的成員，它的成員是某個函數f，有如一排編上號碼從0一直延伸至無窮的燈泡，每個燈泡可以是亮燈或關閉的狀態，而f就相當於某種特定的亮燈組合方式。比如現在給出一種亮燈組合，它規定只有第一個編號為0的燈點亮，其餘所有的燈都是暗的，這時f函數的値有如下的規律：

f(0) = 1, f(1) = 0, f(2) = 0, f(3) = 0, f(4) = 0,  … f(n) = 0 …

每個不同的函數f代表一種特定的亮燈組合方式。

現在只要把f的第一個函數值f(0)指定為a₀ ，第二個函數值f(1)指定為a₁，第三個值f(2)指定為a₂，依此類推，我們就能夠得到一個介於0和1之間的實數，其小數點之後的位數只由0與1構成。以剛才的函數為例，我們得到a₀ =1, a₁=0, a₂=0, a₃=0… 因此和它對應的實數就是0.100000000…，也就是0.1。顯然如果函數不同f₁ ≠ f₂，則其指定的每個a_n值當然不同，這就導致與其相對應的實數0.a₀a₁a₂a₃a₄…a_n …也不同，於是我們得到 θ(f₁) ≠ θ(f₂)，因此θ為一對一函數。於是我們證明了蘇仙戒指的另一半：

〡2^N 〡= 〡P(N)〡≤ 〡R〡

於是我們所知道的不可數集合的三種形態全部等量，形成一個相當優雅簡潔的集合等式〡R〡= 〡P(N)〡=〡2^N〡。

我們之前用ℵ₀來標示自然數和有理數這種可數無限集合的基數，因此我們有等式：

〡N〡= 〡Q〡= ℵ₀

而對於比ℵ₀還大的不可數集合我們用ℵ₁來表示，因此又有如下的等式：

〡R〡= 〡P(N)〡=〡2^N〡= ℵ₁

經過長期的努力，我們終於將這些主要的無限集合之間的尺寸關係弄清楚了， 但這就是故事的終點了嗎？發揮想像力，朝著變大和變小的方向飛行，兩個有趣的問題又會浮現出來。第一個問題是有比ℵ₁更大的集合嗎？如果有，那要如何才能發現它呢？或者怎樣才能把它製造出來呢？第二個問題是在ℵ₀和ℵ₁之間有沒有一種中等尺寸的無限集合，它既比ℵ₀大但又比ℵ₁小，比如說是否存在一個基數為ℵ_1/2的集合？要回答這些有趣的問題就只有等下回再分解了！

有理數是能夠用分數形式m/n來表達的數，其中m和n為整數且n ≠ 0。雖然到現在為止我們的公設只建構出自然數，但用自然數來建構有理數並不困難，它的基本概念是取序對（m, n）的型態來定義有理數。由於自然數和序對我們都已相當熟悉，況且有理數的概念在直觀上也很容易理解，因此我們並不打算在此介紹和證明如何用自然數定義出有理數的技術細節。可是對實數裡的「另一半」— 無理數來說，情況就大不相同了。

我們很難想像給出任意兩條線段，居然會找不到另一個線段作為衡量前兩者的共同單位。對有些情況來說，不論我們上天下地，卻永遠找不到這個共同單位，這在幾何學上叫做不可通約（incommensurable）。但這種讓古希臘畢氏學派震驚的「知識瘟疫」卻並非雪山靈芝而是隨處可見，比如從任一個正方形劃出對角線就可以根據畢氏定理1² +1² = x² 得出√2這個數，而√2就無法表示成m/n的分數形式。

根據傳說，畢氏學派把無理數的發現視為最高機密並禁止門徒對外洩漏，然而希臘的「斯諾登」希帕蘇斯先生卻冒死對外公佈了這個秘密，因而遭到如同黑社會懲罰臥底一般的待遇—扔到海裡餵魚。我們不知道這個傳說的真實性如何，但這意謂在某個歷史時期公佈某項知識成果的後果可能和今天所謂「洩漏國家機密」的後果沒兩樣。

既然無理數的性質那麼「無理」，可見要用自然數或有理數的概念來對其進行嚴格定義是很困難的。但現代實數系的兩位奠基者康托和德國數學家戴德金（R. Dedekind）雖然從不同的角度和進路用不同的方法來破解這個問題，但他們在推進人類對實數的理解時也同時發展了集合的概念。現在就來看看戴德金最重要的發明—如何用有理數來重新定義實數（因而自然把無理數也包含進去）的偉大創見，它稱之為戴德金切割(Dedekind cut) 。

由於有理數建立在自然數的基礎上，而自然數又建立在集合論的公設上，所以它們早已取得明確的「身分」，現在身分不明且難以被直觀掌握的就剩下無理數了。戴德金切割到底是個甚麼東西呢？首先來看看切割（cut）的定義：

一個切割就是一個序對（A, B），其中A, B ≠ Ø且A 和B不相交（也就是A ∩ B = Ø）。此外A ∪ B = P，也就是說切割是把某個集合P給切開，分成沒有共同元素的A, B兩半。

第二個條件是A的所有元素都比B的元素小，也就是說從數線的觀點來看，A的元素都在B元素的左邊。

滿足上述兩個條件的序對（A, B）就是一個對P集合的切割。由於序對（A, B）是集合，所以一個切割本身就相當於集合。而所謂戴德金切割必須加上第三個條件，那就是序對左邊的A集合沒有最大元素。它的直觀意思是說如果我們用某個點來切開P集合，那麼這個點不在A裡面。

我們現在手頭的武器是全部的有理數，所以可以把集合P用全體有理數Q來替代，那麼戴德金切割就成了把全部有理數分成A, B兩半的序對（A, B） ，所以A ∪ B = Q。由於A與B不相交，因此確定了其中一邊也同時確定了另一邊，習慣上我們用序對左邊的集合A來定義實數，稱之為戴德金左集合（Dedekind left set）。也就是說一個實數就是一堆有理數所形成的戴德金左集合，而全體實數就是這些戴德金左集合所形成的集合。

為了更容易理解戴德金左集合的定義，我們用√2來具體說明。如下圖所示，雖然目前我們尚不知道無理數√2的定義，但我們可以利用畢氏定理將邊長為1的正方形取對角線，然後用圓規將與對角線等長的線段畫到數線上，這樣就標出了長度相當於√2在數線上的位置。

我們發現它正好把大於此數和小於此數的有理數Q分成兩半，紅色部分為所有小於√2的有理數，而藍色部分則為所有大於√2的有理數。紅色部分和藍色部分沒有共同成員，它們的聯集等於全體有理數，所以顯然滿足戴德金切割的第一個條件。而紅色集合內的有理數顯然都在藍色成員的左邊，因此滿足第二個條件。此外以√2為分界的戴德金左集合（紅色部分）顯然沒有最大元素，因為作為分界的√2不屬於有理數，所以第三個條件也滿足了，它是一個戴德金切割。

接下來就看怎麼樣來定義這個特殊的戴德金左集合。有人會說這很容易啊，只要定義 A = {q〡q <√2 且 q∈ Q}不就得了？但請注意，我們目前還不知道√2是甚麼，我們只知道有理數是甚麼東東，正絞盡腦汁想把√2的定義找出來，所以上面對A的定義等於是拿未知的東西來定義未知，也是拿尚待定義的東西來作為定義，這是不可接受的。

為了要避開這種循環定義，我們把上式梢作修改成

A = {q〡q² < 2 且 q ∈ Q}

這樣一來所有的條件就都符合有理數的規定範圍。但仔細一看問題又來了，因為戴德金左集合會一直往負的方向無限延伸，因此越往左其平方值會越來越大，比如：

-2 ∈ Q 且-2∈ A，但顯然 (-2)² > 2，這與A的規定顯然不合。該怎麼辦呢? 只要利用邏輯概念將小於√2的正負數分開處理就行了，因此我們重新把A定義為

A = {q ∈ Q 〡q² < 2 或 q為負數}

如果有耐心地依序檢查，會發現這個定義符合戴德金切割的條件，因而正是用來定義√2的戴德金左集合。

這個看似古怪的定義讓我們可以單憑有理數重新定義出所有實數（尤其是無理數），而且這樣定義出來的無理數完全可以滿足實數所須具備的各種運算和性質，真可謂鬼斧神工。更重要的是透過戴德金切割我們發現，無限集合居然可以用來標定某個特定實數，這實在太神奇了。戴德金左集合宛如實數的基因密碼，透過對這些密碼的識別和辨認達到對實數本身身分的確認。僅管構成生物基因的分子為數眾多但卻是有限的，然而每個戴德金左集合的元素個數卻都是無限，任何一個實數都可以用某個無限集合來唯一確定。

如果你還沒有意識到此中令人驚奇之處，那麼我們再把戴德金切割比喻成商品的條碼，每一個條碼都指向一種特殊的商品。讓我們感到驚異的是，在實數的定義裡，構成每個條碼的信息單元（有理數）竟然不是有限而是無限。

雖然戴德金切割用這種有理數的「無限條碼」奇蹟似地界定出實數，但有些數的意義似乎產生了奇怪的病變。比如自然數0原來是用空集合來定義，所以0 = { } ，可是在戴德金左集合的新包裝下，0 不再是空無一物而成了 {q〡q ∈ Q 且q<0} ，這到底是怎麼回事呢？難道同一個數可以同時由兩個集合來定義嗎？要解開這個難題，這就只有等下回再分解了！