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公設化集合論的奧秘(11) 探索神奇的實數尺寸

翁 昌黎
・2015/02/10 ・2563字 ・閱讀時間約 5 分鐘 ・SR值 540 ・八年級

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credit:pixabay.com
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文 / 翁昌黎(《孔恩vs.波普》中文譯者)

想像你在一個一望無際的沙灘,晶瑩的海岸由近乎純白質地的細沙構成在陽光下閃爍著寶石般的光輝。天空有一條發出橙色亮光的細線,似有似無,那是柏拉圖世界裡的實數線投影到這個神奇星球的擬似影像。

假設每顆沙粒代表一個集合,將這些沙粒灑向這條實數線企圖將它填滿,你會發現這些純白的細沙集合像是消失了一般,完全不影響橙色實數線的顏色,因為沙粒實在太稀少了。

就算你得到一種魔法,能在瞬間將這些無窮沙粒悉數灑在數線上,可是實數線上依然觀察不到白沙的蹤跡,因為它們仍然太過稀少。我們再度向孫悟空的師父菩提祖師求救,請他老人家傳授一個厲害點的法術,可以將剛剛灑出去的每一粒沙都變成等同於這個無窮沙灘世界的所有沙粒。但你將失望地發現,雖然親眼見識了菩提祖師將一沙粒化成無窮沙數世界的絕活,可是實數線上卻依然沒有任何一點斑白的痕跡,就好像這些從無數再化成無數的沙粒憑空消失一樣。

這到底是怎麼回事?理由是它們仍然太過稀少,所以無法蓋住實數線,甚至無法顯示出它們的存在。如果我們能夠把無窮顆沙粒集合和實數線投射到我們這個時空,那你所看到的場景大概就會有如以上的描述,可數無限顆沙粒再變現出可數無限顆沙粒的總合對於實數線來說依然是杯水車薪。

為了證明整個實數集合確實比可數無限集合還大,我們先來觀察一個現象:把(–1, 1)這個實數開區間彎成半圓形,如下圖藍線部分所示。假設藍線左邊的端點是–1,而右邊的端點是1,垂直的紅虛線劃過的點是原點 0,所以垂直紅虛線的左半邊正好是負實數而右半邊則是正實數。

v

從虛擬的圓心處往黑色實數線用紅色虛線連接,你會發現每一個區間(–1, 1)內的數都正好對應到黑線上的另一個實數。而當虛線接近水平線時,左右兩邊對應到黑色數線的絕對值就會變很大,且所對應的實數越來越趨近於(–∞, ∞)。因此(–1, 1)區間內的實數和(–∞, ∞)區間內的實數(等於是R)有一對一且映成的關係。那麼根據定義,(–1, 1)區間裡的實數與全體實數R等量。

假設區間(–1, 1)中所有實數的集合為I,則基數〡I〡=〡R〡,也就是說區間(–1, 1)裡的實數個數與所有實數集合的個數一樣多。以上這個方法稱之為幾何學證明。雖然直觀上沒有問題,但站在集合論的立場,我們應該要想有沒有更嚴格的數學證明呢?這下可傷腦筋了,根據我們目前的數學知識配備,若要證明〡I〡=〡R〡,則需要找到一個從I到R的一對一且映成的函數才行。那麼到哪裡去找這麼個函數呢?

正所謂眾裡尋它千百度,驀然回首那傢伙就在正切函數(tan)處。我們發現當tan的x值趨近於–π/2時,它的y值會向–∞逼近,而當tan 的x值趨近π/2時,它的y值會向∞逼近,而且任何一個x值只對應到一個y值。這不就是說正切函數tan在(–π/2, π/2)與全體實數R之間形成一對一且映成?tan:(–π/2, π/2)→(–∞, ∞)不就是夢寐以求的答案?

但剛剛的幾何證明說的是(–1, 1)→(–∞, ∞)有一對一且映成函數而不是(–π/2, π/2)→(–∞, ∞),眼看就要得手了卻差一步,該怎麼辦呢?只要設法把(–π/2, π/2)變成(–1, 1)不就好了?但我們的野心還要大一些,我們希望把(–π/2, π/2)→(–∞, ∞)的函數變成(0, 1)→(–∞, ∞)的函數,理由待會兒馬上會揭曉。

這個函數首先要把(0, 1)區間裡的每個x轉變成(–π/2, π/2)區間裡的某個y,但因為tan(y)就會把每個y從(–π/2, π/2)映射到(–∞, ∞),因此我們要找的函數就是某個用x來表達的正切函數,我們發現經由線性變換可以找到這個函數。既然我們想把某個(0, 1)區間裡的x變成(–π/2, π/2)區間裡的某個y,於是問題相當於把某個(0, 1)區間裡的x轉換成π/2 (–1, 1)區間裡的某個y,它們的關係式是:

π/2 (a x +b) =y

我們先把π/2提出來,待會兒再放回去,計算上會方便很多,因此:

當x = 0的時候 y= –1,代入式子得到b= –1

當x = 1的時候 y= 1,代入式子得到a= 2

把a和b的值放回關係式得到π/2 (2 x–1) =y 。

就是它了:函數 tan[π/2 (2 x–1)] 可以把(0, 1)區間裡的實數一一對映到所有實數,因此我們用數學分析的方法證明了(0, 1)區間裡的實數和整個實數一樣多,比剛剛的幾何證明方法又進了一步。

這個結果夠驚人的了,這麼小段的(0, 1)區間裡的實數居然和整個R一樣多,但我們更想進一步知道R是否也是可數無限?對於這個問題康托總共給出兩個完全不同證明方法,第一個是在1874年提出的,其中用到集合的排序和有界(bounded)的概念。第二個證明直到1891年才提出,採用的正是康托拿手的對角線證明法,我們就再次來看看康托如何拿這項精妙的數學武器來對付巨大的實數尺吋。

因為剛剛已經證明了R和區間(0, 1)等量,所以只要證明(0, 1)區間裡的實數是否可數就等於證明了R是否可數, 這大大簡化了我們的工作,剛剛些許辛苦還是值得的。由於這個區間內的實數都能用無限小數的展開形式來表示,假設它們的個數是可數的話,那我們就能將區間裡的實數編上序號,比如:

r1 = 0.320059874…

r2 = 0.912533121…

r3 = 0.007213568…

r4 = 0.552418792…

r5 = 0.778451420…

r6 = 0.118841234…

r7 = 0.665590012…

需要注意的是,由於0.99999…等於1,所以在這個可數無限序列裡0.999999…的寫法被排除掉。

現在我們用一種特別的方法來製造一個新的實數x,那就是對任何小數點之後的數進行改裝,凡是遇到1就把它改成2,凡是遇到1以外的數(比如0, 2, 3, 4, 5, 6,  …)就把它改成1。我們拿以上的實數序列作例子,依次取小數點後面的第1, 2, 3, 4, 5, 6, …位,也就是按照對角線的方向來進行改造。

我們看到r1小數點後的第1個位數是3(如紅色數字所示),所以依照規定將其改成1,r2小數點後的第2個位數是1 ,所以依照規定改成2。依此類推,我們得到一個新的實數

x = 0.1211121…

這個數字的特點是它不同於r1,因為小數點後第1位數不相等,它也不等於r2,因為小數點後第2位數不相等。依此類推,我們依照此法製造出來的數字x不等於任何序列中的數字。但它明明是(0, 1)區間裡的實數,所以與一開始的假設相矛盾。我們得到(0, 1)區間裡的實數是不可數這個結論,因此,實數R也是不可數的。

原來,R的個數比可數的N和Q都要來得大。於是一個疑問自然浮現:在《公設化集合論的奧秘 (7)》一文裡,我們也是用對角線法證明了全體自然數N的冪集合P(N) 的元素個數同樣是不可數,那麼自然數冪集合的基數P(N)是否等於實數的基數〡R〡呢? 這兩種不可數集合其尺寸會一樣大嗎?我們又如何知道它們是否有相同的尺寸呢?這些問題只有等下回再分解囉!

文章難易度
翁 昌黎
18 篇文章 ・ 2 位粉絲
中央大學哲學研究所碩士,曾籌劃本土第一場「認知科學與佛教禪修系統」對話之大型研討會,於1995年6月在法光佛教研究所舉行,並發表文章。後隱居紐西蘭,至今已20載。 長年關注「意識轉變狀態的科學」和「意識本質的科學與哲學」問題,曾與大寶法王辯經教授師拿旺桑結堪布成立「大乘佛教禪修研究中心」。其他研究興趣為「唯識學」、「超個人心理學」、「數理邏輯」、「公設化集合論」和「後設數學」等等。

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公設化集合論的奧秘(18) 優雅的等式〡R〡=〡P(N)〡=〡2^N〡
翁 昌黎
・2015/04/02 ・3222字 ・閱讀時間約 6 分鐘 ・SR值 537 ・八年級

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Georg Cantor credit:wiki
Georg Cantor
credit:wiki

有一種說法認為集合論的發明是在1873年12月,精確地說是1873年12月7日,因為那一天康托證明了連續統(continuum)是不可數的,所以應該把那一天當成現代集合論的生日。不論你是否同意這個出生證明,但康托1873年年底所用的證明方法並非後來廣為人知的對角線法,也就是我們在《公設化集合論的奧秘 (11)》所採用的方法,對角線法的提出要到大約19年後的1892年才公諸於眾。

但從那一天起,人類對無限的了解進入了一個全新的階段,我們知道實數(連續統)比自然數還大。在證明實數是不可數之後,我們可否進一步下結論說自然數的冪集合P(N)與實數的尺寸一樣大,因為它們都是不可數集合?在沒發現不可數集合之前,我們原以為無限只有一種,那就是像自然數一樣可以從0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 … 一直往下數沒有盡頭這種無限,直到這種想法被康托的證明方法擊碎。有了這個教訓,我們最好更加謹慎,任何直觀的想法都應該由嚴格的證明來確認,所以尋找證明是必要的工作。

假如要證明實數集合R與P(N) 等量,那麼根據定義1 (請參考《公設化集合論的奧秘 (8)》) ,就必須找到一個一對一且映成的函數F: R → P(N)才行。但這可不是件容易的事,我們如何在浩如星辰的實數和全體自然數的冪集合之間找到這種一一對應呢?先別失望,我們之前介紹的戴德金左集合(請參考《公設化集合論的奧秘 (16)》《公設化集合論的奧秘 (17)》)或許可以在此危難之際發揮作用。由於戴德金實數是由一堆有理數(實際上是可數無限個)來定義的,這給了我們一個透視實數集合結構的絕佳機會。

既然每個戴德金實數就相當於無限多個有理數的集合,比如0被定義為 {q〡q ∈ Q 且q<0},也就是所有負有理數的集合,那我們正好可以定義一個一對一的恆等函數,使得每個實數r (相當於一個戴德金左集合)對應到一個相等的有理數子集合:

f: R → P(Q)

 r → r

也就是說定義域R裡裝了哪一堆有理數那我的値域就取同樣一堆有理數來配對,因為這樣一堆有理數正好符合對應域P(Q)的定義條件—全體有理數的子集合。這麼容易就完成證明啦?還是個恆等函數,這也簡單到有點欺負人了吧!

且慢,有兩個問題尚待解決。首先,我們所要證明的函數關係是從 R → P(N)而不是R → P(Q)。其次,R和P(N)等量的條件是找到一個一對一且映成的函數,但我們剛剛找的f: R → P(Q)只滿足一對一的條件卻不映成,這一點可以很容易看出來。由於戴德金實數必定由無限個有理數所構成,因為左集合會往負數方向無限伸展,可是對於P(Q)來說,它顯然也必須包含由有限元素所構成的集合,比如{1/6, 37, 522}就是Q的一個有限子集合,但我們無法找到與之相對應的戴德金實數r

現在回顧《公設化集合論的奧秘 (14)》裡的定義:

定義5如果在集合A和B之間存在一個一對一函數ƒ : A→B,則說A小於或等量於B,寫成A ≤ B。相當於〡A〡≤  〡B〡,也就是A的基數小於等於B的基數。

由這個定義得知,我們目前能確定的只是〡R〡≤ 〡P(Q)〡,而不是〡R〡= 〡P(N)〡。證明定理有時候就像擬訂作戰策略,對於無法一次消滅的敵人,你要分段把它逐步吃掉,而不能急於蟒蛇吞象最後把自己噎死。千萬不要輕忽每一次的小進展,那就讓我們把以上成果當成是一個好的開始吧。

有了半壁江山,就想辦法湊出另一半吧!這提醒我們之前提到的施洛德—伯恩斯坦定理(Schröder-Bernstein theorem) ,它的一般表述形式是:

對任意集合A和B,如果〡A〡≤ 〡B〡〡B〡≤ 〡A〡

〡A〡=〡B〡

這個定理的威力在於它允許我們使用和有限數值一樣的方式來辨認集合的尺寸。比如有兩個數a和 b,如果a ≤ b 而且b ≤ a的話,那一定會得出a = b,施洛德—伯恩斯坦定理把這層關係從有限數推廣到不可數無限集合。

此外,這個定理還有一個實際功能,那就是當我們想證明兩個集合等量卻苦於找不到一對一且映成函數時,可以有個更簡潔的辦法。我們只需找到兩個一對一函數,一個從A到B,另一個從B到A就成了,對於許多複雜的集合等量證明來說,這不啻是天降福音。接下來只須稍稍解決一個小問題,那就是之前我們已經證明有理數和自然數一樣多(《公設化集合論的奧秘 (9)》),所以〡Q〡=〡N〡,得到〡P(Q)〡=〡P(N)〡,因此原來的戰鬥成果〡R〡≤ 〡P(Q)〡就可以順理成章地變成〡R〡≤ 〡P(Q)〡=〡P(N)〡,用小學的數學就能得到〡R〡≤ 〡P(N)〡

以施洛德—伯恩斯坦定理的觀點來看,證明已經完成了一半。接下來我們想要在2NR之間建立起一個一對一函數,也就是讓〡2N 〡≤ 〡R〡成立。我們再次用小學數學來解釋這樣做的理由,在《公設化集合論的奧秘 (15)》我們證明了〡P(N)〡=〡2N,因此只要〡2N 〡≤ 〡R〡成立,那麼〡P(N)〡≤ 〡R〡就會成立。

這讓我想起一個卡通節目,每次當兩位總在冒險旅途的主角一遇到甚麼災難,只要把兩枚原本一體的神奇戒指結合,就會跑出一個法力無邊的阿拉伯神祇名叫蘇仙,祂的神通可以打退各方的妖魔鬼怪。數學式〡R〡≤ 〡P(N)〡〡P(N)〡≤ 〡R〡就有如集合論中的神奇戒指,當它們一結合就能招喚出法力無窮的蘇仙讓我們見識到集合論的奇蹟:〡R〡= 〡P(N)〡

但要如何打造另外一半的戒指呢?我們需要找到一個一對一函數

θ: 2N → R

之前說過2N是指以下這種函數類型所成的集合

F: {0, 1, 2, 3, 4…} → {0, 1}

所以我們的目標是找一個這種類型的函數f對應到某個實數r。它的形式就是:

θ: 2N → R

     f →  r

化繁為簡是數學思考的靈魂,所以在尋找f之前我們先將θ的對應域R做點簡化工作。在《公設化集合論的奧秘 (11)》一文我們已經證明全體實數R的個數和開區間(0, 1)裡的實數一樣多,因此我們可以把目標函數θ: 2N → R調整為θ: 2N → (0, 1),也就是讓2N 中的元素f對應到(0, 1)間的某個實數即可。這個函數的樣貌如下:

θ: 2N →(0, 1)

     f →  0.a0a1a2a3a4…an

我們之前介紹過 2N的成員,它的成員是某個函數f,有如一排編上號碼從0一直延伸至無窮的燈泡,每個燈泡可以是亮燈或關閉的狀態,而f就相當於某種特定的亮燈組合方式。比如現在給出一種亮燈組合,它規定只有第一個編號為0的燈點亮,其餘所有的燈都是暗的,這時f函數的値有如下的規律:

f(0) = 1, f(1) = 0, f(2) = 0, f(3) = 0, f(4) = 0,  … f(n) = 0 …

每個不同的函數f代表一種特定的亮燈組合方式。

現在只要把f的第一個函數值f(0)指定為a0 ,第二個函數值f(1)指定為a1,第三個值f(2)指定為a2,依此類推,我們就能夠得到一個介於0和1之間的實數,其小數點之後的位數只由0與1構成。以剛才的函數為例,我們得到a0 =1, a1=0, a2=0, a3=0… 因此和它對應的實數就是0.100000000…,也就是0.1。顯然如果函數不同f1 ≠ f2,則其指定的每個an值當然不同,這就導致與其相對應的實數0.a0a1a2a3a4…an …也不同,於是我們得到 θ(f1) ≠ θ(f2),因此θ為一對一函數。於是我們證明了蘇仙戒指的另一半:

〡2N 〡= 〡P(N)〡≤ 〡R〡

於是我們所知道的不可數集合的三種形態全部等量,形成一個相當優雅簡潔的集合等式〡R〡= 〡P(N)〡=〡2N

我們之前用0來標示自然數和有理數這種可數無限集合的基數,因此我們有等式:

〡N〡= 〡Q〡= ℵ0

而對於比0還大的不可數集合我們用1來表示,因此又有如下的等式:

〡R〡= 〡P(N)〡=〡2N〡= ℵ1

經過長期的努力,我們終於將這些主要的無限集合之間的尺寸關係弄清楚了, 但這就是故事的終點了嗎?發揮想像力,朝著變大和變小的方向飛行,兩個有趣的問題又會浮現出來。第一個問題是有比1更大的集合嗎?如果有,那要如何才能發現它呢?或者怎樣才能把它製造出來呢?第二個問題是在01之間有沒有一種中等尺寸的無限集合,它既比0大但又比1小,比如說是否存在一個基數為1/2的集合?要回答這些有趣的問題就只有等下回再分解了!

翁 昌黎
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中央大學哲學研究所碩士,曾籌劃本土第一場「認知科學與佛教禪修系統」對話之大型研討會,於1995年6月在法光佛教研究所舉行,並發表文章。後隱居紐西蘭,至今已20載。 長年關注「意識轉變狀態的科學」和「意識本質的科學與哲學」問題,曾與大寶法王辯經教授師拿旺桑結堪布成立「大乘佛教禪修研究中心」。其他研究興趣為「唯識學」、「超個人心理學」、「數理邏輯」、「公設化集合論」和「後設數學」等等。

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公設化集合論的奧秘(11) 探索神奇的實數尺寸
翁 昌黎
・2015/02/10 ・2563字 ・閱讀時間約 5 分鐘 ・SR值 540 ・八年級

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credit:pixabay.com

文 / 翁昌黎(《孔恩vs.波普》中文譯者)

想像你在一個一望無際的沙灘,晶瑩的海岸由近乎純白質地的細沙構成在陽光下閃爍著寶石般的光輝。天空有一條發出橙色亮光的細線,似有似無,那是柏拉圖世界裡的實數線投影到這個神奇星球的擬似影像。

假設每顆沙粒代表一個集合,將這些沙粒灑向這條實數線企圖將它填滿,你會發現這些純白的細沙集合像是消失了一般,完全不影響橙色實數線的顏色,因為沙粒實在太稀少了。

就算你得到一種魔法,能在瞬間將這些無窮沙粒悉數灑在數線上,可是實數線上依然觀察不到白沙的蹤跡,因為它們仍然太過稀少。我們再度向孫悟空的師父菩提祖師求救,請他老人家傳授一個厲害點的法術,可以將剛剛灑出去的每一粒沙都變成等同於這個無窮沙灘世界的所有沙粒。但你將失望地發現,雖然親眼見識了菩提祖師將一沙粒化成無窮沙數世界的絕活,可是實數線上卻依然沒有任何一點斑白的痕跡,就好像這些從無數再化成無數的沙粒憑空消失一樣。

這到底是怎麼回事?理由是它們仍然太過稀少,所以無法蓋住實數線,甚至無法顯示出它們的存在。如果我們能夠把無窮顆沙粒集合和實數線投射到我們這個時空,那你所看到的場景大概就會有如以上的描述,可數無限顆沙粒再變現出可數無限顆沙粒的總合對於實數線來說依然是杯水車薪。

為了證明整個實數集合確實比可數無限集合還大,我們先來觀察一個現象:把(–1, 1)這個實數開區間彎成半圓形,如下圖藍線部分所示。假設藍線左邊的端點是–1,而右邊的端點是1,垂直的紅虛線劃過的點是原點 0,所以垂直紅虛線的左半邊正好是負實數而右半邊則是正實數。

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從虛擬的圓心處往黑色實數線用紅色虛線連接,你會發現每一個區間(–1, 1)內的數都正好對應到黑線上的另一個實數。而當虛線接近水平線時,左右兩邊對應到黑色數線的絕對值就會變很大,且所對應的實數越來越趨近於(–∞, ∞)。因此(–1, 1)區間內的實數和(–∞, ∞)區間內的實數(等於是R)有一對一且映成的關係。那麼根據定義,(–1, 1)區間裡的實數與全體實數R等量。

假設區間(–1, 1)中所有實數的集合為I,則基數〡I〡=〡R〡,也就是說區間(–1, 1)裡的實數個數與所有實數集合的個數一樣多。以上這個方法稱之為幾何學證明。雖然直觀上沒有問題,但站在集合論的立場,我們應該要想有沒有更嚴格的數學證明呢?這下可傷腦筋了,根據我們目前的數學知識配備,若要證明〡I〡=〡R〡,則需要找到一個從I到R的一對一且映成的函數才行。那麼到哪裡去找這麼個函數呢?

正所謂眾裡尋它千百度,驀然回首那傢伙就在正切函數(tan)處。我們發現當tan的x值趨近於–π/2時,它的y值會向–∞逼近,而當tan 的x值趨近π/2時,它的y值會向∞逼近,而且任何一個x值只對應到一個y值。這不就是說正切函數tan在(–π/2, π/2)與全體實數R之間形成一對一且映成?tan:(–π/2, π/2)→(–∞, ∞)不就是夢寐以求的答案?

但剛剛的幾何證明說的是(–1, 1)→(–∞, ∞)有一對一且映成函數而不是(–π/2, π/2)→(–∞, ∞),眼看就要得手了卻差一步,該怎麼辦呢?只要設法把(–π/2, π/2)變成(–1, 1)不就好了?但我們的野心還要大一些,我們希望把(–π/2, π/2)→(–∞, ∞)的函數變成(0, 1)→(–∞, ∞)的函數,理由待會兒馬上會揭曉。

這個函數首先要把(0, 1)區間裡的每個x轉變成(–π/2, π/2)區間裡的某個y,但因為tan(y)就會把每個y從(–π/2, π/2)映射到(–∞, ∞),因此我們要找的函數就是某個用x來表達的正切函數,我們發現經由線性變換可以找到這個函數。既然我們想把某個(0, 1)區間裡的x變成(–π/2, π/2)區間裡的某個y,於是問題相當於把某個(0, 1)區間裡的x轉換成π/2 (–1, 1)區間裡的某個y,它們的關係式是:

π/2 (a x +b) =y

我們先把π/2提出來,待會兒再放回去,計算上會方便很多,因此:

當x = 0的時候 y= –1,代入式子得到b= –1

當x = 1的時候 y= 1,代入式子得到a= 2

把a和b的值放回關係式得到π/2 (2 x–1) =y 。

就是它了:函數 tan[π/2 (2 x–1)] 可以把(0, 1)區間裡的實數一一對映到所有實數,因此我們用數學分析的方法證明了(0, 1)區間裡的實數和整個實數一樣多,比剛剛的幾何證明方法又進了一步。

這個結果夠驚人的了,這麼小段的(0, 1)區間裡的實數居然和整個R一樣多,但我們更想進一步知道R是否也是可數無限?對於這個問題康托總共給出兩個完全不同證明方法,第一個是在1874年提出的,其中用到集合的排序和有界(bounded)的概念。第二個證明直到1891年才提出,採用的正是康托拿手的對角線證明法,我們就再次來看看康托如何拿這項精妙的數學武器來對付巨大的實數尺吋。

因為剛剛已經證明了R和區間(0, 1)等量,所以只要證明(0, 1)區間裡的實數是否可數就等於證明了R是否可數, 這大大簡化了我們的工作,剛剛些許辛苦還是值得的。由於這個區間內的實數都能用無限小數的展開形式來表示,假設它們的個數是可數的話,那我們就能將區間裡的實數編上序號,比如:

r1 = 0.320059874…

r2 = 0.912533121…

r3 = 0.007213568…

r4 = 0.552418792…

r5 = 0.778451420…

r6 = 0.118841234…

r7 = 0.665590012…

需要注意的是,由於0.99999…等於1,所以在這個可數無限序列裡0.999999…的寫法被排除掉。

現在我們用一種特別的方法來製造一個新的實數x,那就是對任何小數點之後的數進行改裝,凡是遇到1就把它改成2,凡是遇到1以外的數(比如0, 2, 3, 4, 5, 6,  …)就把它改成1。我們拿以上的實數序列作例子,依次取小數點後面的第1, 2, 3, 4, 5, 6, …位,也就是按照對角線的方向來進行改造。

我們看到r1小數點後的第1個位數是3(如紅色數字所示),所以依照規定將其改成1,r2小數點後的第2個位數是1 ,所以依照規定改成2。依此類推,我們得到一個新的實數

x = 0.1211121…

這個數字的特點是它不同於r1,因為小數點後第1位數不相等,它也不等於r2,因為小數點後第2位數不相等。依此類推,我們依照此法製造出來的數字x不等於任何序列中的數字。但它明明是(0, 1)區間裡的實數,所以與一開始的假設相矛盾。我們得到(0, 1)區間裡的實數是不可數這個結論,因此,實數R也是不可數的。

原來,R的個數比可數的N和Q都要來得大。於是一個疑問自然浮現:在《公設化集合論的奧秘 (7)》一文裡,我們也是用對角線法證明了全體自然數N的冪集合P(N) 的元素個數同樣是不可數,那麼自然數冪集合的基數P(N)是否等於實數的基數〡R〡呢? 這兩種不可數集合其尺寸會一樣大嗎?我們又如何知道它們是否有相同的尺寸呢?這些問題只有等下回再分解囉!

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翁 昌黎
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中央大學哲學研究所碩士,曾籌劃本土第一場「認知科學與佛教禪修系統」對話之大型研討會,於1995年6月在法光佛教研究所舉行,並發表文章。後隱居紐西蘭,至今已20載。 長年關注「意識轉變狀態的科學」和「意識本質的科學與哲學」問題,曾與大寶法王辯經教授師拿旺桑結堪布成立「大乘佛教禪修研究中心」。其他研究興趣為「唯識學」、「超個人心理學」、「數理邏輯」、「公設化集合論」和「後設數學」等等。

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公設化集合論的奧秘(16) 戴德金切割與實數的定義
翁 昌黎
・2015/03/16 ・2458字 ・閱讀時間約 5 分鐘 ・SR值 552 ・八年級

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Richard Dedekind
Richard Dedekind

有理數是能夠用分數形式m/n來表達的數,其中m和n為整數且n ≠ 0。雖然到現在為止我們的公設只建構出自然數,但用自然數來建構有理數並不困難,它的基本概念是取序對(m, n)的型態來定義有理數。由於自然數和序對我們都已相當熟悉,況且有理數的概念在直觀上也很容易理解,因此我們並不打算在此介紹和證明如何用自然數定義出有理數的技術細節。可是對實數裡的「另一半」— 無理數來說,情況就大不相同了。

我們很難想像給出任意兩條線段,居然會找不到另一個線段作為衡量前兩者的共同單位。對有些情況來說,不論我們上天下地,卻永遠找不到這個共同單位,這在幾何學上叫做不可通約(incommensurable)。但這種讓古希臘畢氏學派震驚的「知識瘟疫」卻並非雪山靈芝而是隨處可見,比如從任一個正方形劃出對角線就可以根據畢氏定理12 +12 = x2 得出√2這個數,而√2就無法表示成m/n的分數形式。

根據傳說,畢氏學派把無理數的發現視為最高機密並禁止門徒對外洩漏,然而希臘的「斯諾登」希帕蘇斯先生卻冒死對外公佈了這個秘密,因而遭到如同黑社會懲罰臥底一般的待遇—扔到海裡餵魚。我們不知道這個傳說的真實性如何,但這意謂在某個歷史時期公佈某項知識成果的後果可能和今天所謂「洩漏國家機密」的後果沒兩樣。

既然無理數的性質那麼「無理」,可見要用自然數或有理數的概念來對其進行嚴格定義是很困難的。但現代實數系的兩位奠基者康托和德國數學家戴德金(R. Dedekind)雖然從不同的角度和進路用不同的方法來破解這個問題,但他們在推進人類對實數的理解時也同時發展了集合的概念。現在就來看看戴德金最重要的發明—如何用有理數來重新定義實數(因而自然把無理數也包含進去)的偉大創見,它稱之為戴德金切割(Dedekind cut)

由於有理數建立在自然數的基礎上,而自然數又建立在集合論的公設上,所以它們早已取得明確的「身分」,現在身分不明且難以被直觀掌握的就剩下無理數了。戴德金切割到底是個甚麼東西呢?首先來看看切割(cut)的定義:

一個切割就是一個序對(A, B),其中A, B ≠ Ø且A 和B不相交(也就是A ∩ B = Ø)。此外A ∪ B = P,也就是說切割是把某個集合P給切開,分成沒有共同元素的A, B兩半。

第二個條件是A的所有元素都比B的元素小,也就是說從數線的觀點來看,A的元素都在B元素的左邊。

滿足上述兩個條件的序對(A, B)就是一個對P集合的切割。由於序對(A, B)是集合,所以一個切割本身就相當於集合。而所謂戴德金切割必須加上第三個條件,那就是序對左邊的A集合沒有最大元素。它的直觀意思是說如果我們用某個點來切開P集合,那麼這個點不在A裡面。

我們現在手頭的武器是全部的有理數,所以可以把集合P用全體有理數Q來替代,那麼戴德金切割就成了把全部有理數分成A, B兩半的序對(A, B) ,所以A ∪ B = Q。由於A與B不相交,因此確定了其中一邊也同時確定了另一邊,習慣上我們用序對左邊的集合A來定義實數,稱之為戴德金左集合(Dedekind left set)。也就是說一個實數就是一堆有理數所形成的戴德金左集合,而全體實數就是這些戴德金左集合所形成的集合。

為了更容易理解戴德金左集合的定義,我們用√2來具體說明。如下圖所示,雖然目前我們尚不知道無理數√2的定義,但我們可以利用畢氏定理將邊長為1的正方形取對角線,然後用圓規將與對角線等長的線段畫到數線上,這樣就標出了長度相當於√2在數線上的位置。

我們發現它正好把大於此數和小於此數的有理數Q分成兩半,紅色部分為所有小於√2的有理數,而藍色部分則為所有大於√2的有理數。紅色部分和藍色部分沒有共同成員,它們的聯集等於全體有理數,所以顯然滿足戴德金切割的第一個條件。而紅色集合內的有理數顯然都在藍色成員的左邊,因此滿足第二個條件。此外以√2為分界的戴德金左集合(紅色部分)顯然沒有最大元素,因為作為分界的√2不屬於有理數,所以第三個條件也滿足了,它是一個戴德金切割。

未命名

接下來就看怎麼樣來定義這個特殊的戴德金左集合。有人會說這很容易啊,只要定義 A = {q〡q <√2 且 q∈ Q}不就得了?但請注意,我們目前還不知道√2是甚麼,我們只知道有理數是甚麼東東,正絞盡腦汁想把√2的定義找出來,所以上面對A的定義等於是拿未知的東西來定義未知,也是拿尚待定義的東西來作為定義,這是不可接受的。

為了要避開這種循環定義,我們把上式梢作修改成

A = {q〡q2 < 2 且 q ∈ Q}

這樣一來所有的條件就都符合有理數的規定範圍。但仔細一看問題又來了,因為戴德金左集合會一直往負的方向無限延伸,因此越往左其平方值會越來越大,比如:

-2 ∈ Q 且-2∈ A,但顯然 (-2)2 > 2,這與A的規定顯然不合。該怎麼辦呢? 只要利用邏輯概念將小於√2的正負數分開處理就行了,因此我們重新把A定義為

A = {q ∈ Q 〡q2 < 2 或 q為負數}

如果有耐心地依序檢查,會發現這個定義符合戴德金切割的條件,因而正是用來定義√2的戴德金左集合。

這個看似古怪的定義讓我們可以單憑有理數重新定義出所有實數(尤其是無理數),而且這樣定義出來的無理數完全可以滿足實數所須具備的各種運算和性質,真可謂鬼斧神工。更重要的是透過戴德金切割我們發現,無限集合居然可以用來標定某個特定實數,這實在太神奇了。戴德金左集合宛如實數的基因密碼,透過對這些密碼的識別和辨認達到對實數本身身分的確認。僅管構成生物基因的分子為數眾多但卻是有限的,然而每個戴德金左集合的元素個數卻都是無限,任何一個實數都可以用某個無限集合來唯一確定。

如果你還沒有意識到此中令人驚奇之處,那麼我們再把戴德金切割比喻成商品的條碼,每一個條碼都指向一種特殊的商品。讓我們感到驚異的是,在實數的定義裡,構成每個條碼的信息單元(有理數)竟然不是有限而是無限。

雖然戴德金切割用這種有理數的「無限條碼」奇蹟似地界定出實數,但有些數的意義似乎產生了奇怪的病變。比如自然數0原來是用空集合來定義,所以0 = { } ,可是在戴德金左集合的新包裝下,0 不再是空無一物而成了 {q〡q ∈ Q 且q<0} ,這到底是怎麼回事呢?難道同一個數可以同時由兩個集合來定義嗎?要解開這個難題,這就只有等下回再分解了!

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翁 昌黎
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中央大學哲學研究所碩士,曾籌劃本土第一場「認知科學與佛教禪修系統」對話之大型研討會,於1995年6月在法光佛教研究所舉行,並發表文章。後隱居紐西蘭,至今已20載。 長年關注「意識轉變狀態的科學」和「意識本質的科學與哲學」問題,曾與大寶法王辯經教授師拿旺桑結堪布成立「大乘佛教禪修研究中心」。其他研究興趣為「唯識學」、「超個人心理學」、「數理邏輯」、「公設化集合論」和「後設數學」等等。

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公設化集合論的奧秘(15) 突破可數無限的星航艦企業號
翁 昌黎
・2015/03/10 ・2700字 ・閱讀時間約 5 分鐘 ・SR值 525 ・七年級

立即填寫問卷,預約【課程開賣早鳥優惠】與送你【問卷專屬折扣碼】!

 

Christmas Tree, Bokeh Version [362/366]
credit : CC by Tim Sackton @ flickr

延續之前的努力,我們雖然試過聯集(加法)和笛卡爾乘積(乘法),仍然沒能突破可數無限的藩籬,可見如來佛這隻手比我們想像中還要寬。在陷入困境的時刻,忽然想到在數學運算裡,減法和除法會讓數值變小,而加法和乘法會讓數值變大。但哪種運算可以讓數值增加得更「快」一些呢? 我們任意拿兩個數,比如3和5來觀察看看:

3+5 = 8      3×5= 15    35 = 243

我們發現對任意兩個正數,乘法得到的結果比加法得到的結果大,而指數運算得到的結果又比乘法大。依此進行推想,如果在集合運算裡有類似指數運算的話,那它很有可能就是我們得以突破可數無限集合的「星航艦企業號」,問題只剩下:這樣的東西存在嗎?

確實有這樣一個東西,它在日常數學(也就是非基礎數學)裡雖然並不常見,卻是集合論的「常備良藥」。我們就來見識一下它的模樣:

定義6:A和B都是集合,我們定義從A到B的所有函數所成的集合為BA = {F〡F : A→ B為函數}

這個定義很容易讓人誤以為BA指的就是函數 ƒ: A→ B,於是認為BA只不過是函數ƒ 的另一個寫法罷了,但這種誤認卻是致命的。

當我們說函數 ƒ:A→B時,我們說的是某個特定的序對集合ƒ,這些序對的前項由A的元素構成而後項則由B的元素構成,所以函數ƒ的成員由序對形成。

舉個例子就能清楚了,比如A = 2而B = 3。那麼 ƒ 會是怎樣的型態呢?有人心裡可能會嘀咕說2和3不是自然數嗎?它們怎麼能夠充當定義域和對應域來形成函數呢?之所以有這種疑惑是因為集合論的馬步沒蹲扎實所致,才會忘了自然數本身就是集合啊!(請參考《公設化集合論的奧秘 (5)》) 所以自然數2 = {0, 1},自然數3 = {0, 1, 2},因此函數

ƒ: 2 → 3 就是
ƒ: {0, 1} → {0, 1, 2}。

現在我們可以據此定義一個個別函數,比如恆等函數(identity function) ƒi: x → x,它等於序對(0, 0) 和(1, 1) 所形成的集合{(0, 0), (1, 1)}。再比如說常數函數(constant function) ƒc: x → 2,則不論是0還是1,它們的函數值都等於2,所以函數ƒc就等於序對集合{(0, 2), (1, 2)}。

有了以上的例子我們澄清了BA是從A到B的各種可能函數所形成的集合 {ƒi, ƒc, ƒs, …},而不是任何特定函數ƒk。某個特定函數 ƒ: A→ B的成員是序對,但BA的成員則是函數。接下來需要確認的是這個定義是否捕捉到指數的核心本質?我們可以問當A = 2且B = 3時,BA有幾個成員?對於定義域的兩個元素0和1來說,它們各有3種選擇來形成序對,那就是(0, 0)、(0, 1)、(0, 2)和(1, 0)、(1, 1)、(1, 2)。

若要形成任何特定的函數ƒk,就必須從前面三個序對中選出某一個,然後再配上後面序對中的任一個,比如我們從前後都選第一個序對而形成{(0, 0), (1, 0)}這種函數組合。這樣的話所有可能的組合方式共有3+3+3 = 9種,也就是共有9個函數成員,正好是BA=32 = 9。因此對於有限數值來說,BA 的定義與指數運算相契合。

最後為了表明自己是公設化集合論的內行人,請不要忘記驗證BA為「合法」集合。對於任意序對 (a, b),a∈A且 b ∈ B 來說,( a, b) ∈ A X B,由於它們是函數的元素,所以由序對構成的函數F必定是A X B的子集,也就是F ⊆ A X B。由於冪集合是把子集作為元素而形成的集合,所以F ∈ P (A X B) 。我們在《公設化集合論的奧秘 (14)》中已經證明笛卡爾乘積A X B是集合,現在面對A X B 的冪集合P (A X B),我們根據ZF7 冪集合公設得知P (A X B)也是集合,因此P (A X B)的子集BA是集合沒錯。

有了BA這個武器之後,我們發現可以將原先只限於有限數值的指數運算擴展到無限集合,比如說2N。我們想知道這個運算是否能「飛出」可數無限集合的範圍? 對於有限數值的指數運算,我們有明確的規則和定義: 比如 25 就是將2連乘5次,而對任何自然數k,2k就是將2連乘k次。在沒有定義BA之前,我們並不知道2N或2ω代表甚麼意思,但我們現在知道2N是指所有以下這種函數所成的集合:

F: {0, 1, 2, 3, 4…} → {0, 1}

這種集合的對應域很簡單,不過就是0跟1,那它看起來會像甚麼呢? 想像有一排被編上號碼的電燈泡,從最左邊的0號開始一直往右無盡延伸,越往右邊號碼越大,每個函數F就相當於一種亮燈的方式。比如若F定義域裡的所有自然數的値都對應到1,那就相當於燈泡全亮的狀態,反之如果F定義域裡的所有自然數値都對應到0,那就是燈泡全暗的狀態。依此類推,每個特定的F都表示一種亮燈狀態,而這些燈泡的各種明暗組合方式就構成2N集合。

這看起來和我們在《公設化集合論的奧秘 (7)》裡提過的全體自然數的冪集合P(N)很像,所以我們要問: 2N的尺寸是否與P(N)相同? 也就是它們的基數〡P(N)〡與〡2N〡是否相等? 要證明這一點就必須在P(N)與2N之間找到一個一對一且映成的函數ƒ,那樣就證明了〡P(N)〡=〡2N〡。

由於P (N) 的元素是某個自然數的子集A ⊆ N,所以我們的目標是要將某個A(比如{0, 1, 2})與2N的元素之間建立起函數關係,也就是在

ƒ : P(N) → 2N

之間尋找一對一且映成關係。但2N的元素本身就是函數,該如何試當選取以完成這個艱難任務呢? 我們可以試著用特徵函數(characteristic function)來充當2N的元素,其定義如下:

IA: N → {0, 1}

公設化集合15

它的意思是說如果某個x 剛好是A裡的元素,那麼它的函數值等於1,也就是這個編號的燈泡是亮的。反之若x不是A裡的元素,那函數值等於0,也就是這個編號的燈泡是暗的。因此我們可以把函數ƒ 看成是一張書面指令和燈泡明暗組合之間的對應關係,由P(N)裡挑選出來的子集A可以看成是一道指令,它裡面包含的元素就是要點亮的燈號。當這條指令經由ƒ 送到特徵函數IA時,特徵函數就根據A指令佈署亮燈的方式,若函數值為1就是亮燈,若函數值為0就關燈。

我們以A = {0, 1, 2}作例子,A裡的元素等於是指令,讓我們依據指令將那幾個編號(0, 1, 2)的燈泡點亮,因此特徵函數據此進行判別之後就決定了一種亮燈的方式,也就是只有前3盞燈是亮的,而編號2之後的所有燈泡全是暗的。很容易可以看出若指令不同的話,也就是A ≠ B,則亮燈的方式也會有所不同,也就是IA ≠ IB。這就表示

ƒ : P(N) → 2N
A → IA

為一對一函數。反之對任何一種亮燈方式,也就是特徵函數IA,我們都可以找到某個指令A ∈ P(N) 使得ƒ (A) = IA,因此ƒ為映成。既然ƒ 為一對一且映成函數,所以它們等量,也就是〡P(N)〡=〡2N〡。

由於康托的對角線方法已經證明P(N)為不可數集合,因此與它等量的2N也同樣為不可數集合。終於成功了!2N運算讓我們擺脫可數無限的枷鎖而得以遨遊太虛之中,直達玄妙的不可數無限的領地,我們也使得冪集合P (N) 與2N在此相遇。從無限尺寸的觀點來看,它們(P(N)和2N)是同一個東西。在《公設化集合論的奧秘 (11)》裡我們證明了實數也是不可數的,那麼P(N)和2N與實數的尺寸是否一樣大呢?有辦法可以證明嗎?這就只有等下回再分解了。

翁 昌黎
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中央大學哲學研究所碩士,曾籌劃本土第一場「認知科學與佛教禪修系統」對話之大型研討會,於1995年6月在法光佛教研究所舉行,並發表文章。後隱居紐西蘭,至今已20載。 長年關注「意識轉變狀態的科學」和「意識本質的科學與哲學」問題,曾與大寶法王辯經教授師拿旺桑結堪布成立「大乘佛教禪修研究中心」。其他研究興趣為「唯識學」、「超個人心理學」、「數理邏輯」、「公設化集合論」和「後設數學」等等。

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公設化集合論的奧秘(11) 探索神奇的實數尺寸
翁 昌黎
・2015/02/10 ・2563字 ・閱讀時間約 5 分鐘 ・SR值 540 ・八年級

credit:pixabay.com
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文 / 翁昌黎(《孔恩vs.波普》中文譯者)

想像你在一個一望無際的沙灘,晶瑩的海岸由近乎純白質地的細沙構成在陽光下閃爍著寶石般的光輝。天空有一條發出橙色亮光的細線,似有似無,那是柏拉圖世界裡的實數線投影到這個神奇星球的擬似影像。

假設每顆沙粒代表一個集合,將這些沙粒灑向這條實數線企圖將它填滿,你會發現這些純白的細沙集合像是消失了一般,完全不影響橙色實數線的顏色,因為沙粒實在太稀少了。

就算你得到一種魔法,能在瞬間將這些無窮沙粒悉數灑在數線上,可是實數線上依然觀察不到白沙的蹤跡,因為它們仍然太過稀少。我們再度向孫悟空的師父菩提祖師求救,請他老人家傳授一個厲害點的法術,可以將剛剛灑出去的每一粒沙都變成等同於這個無窮沙灘世界的所有沙粒。但你將失望地發現,雖然親眼見識了菩提祖師將一沙粒化成無窮沙數世界的絕活,可是實數線上卻依然沒有任何一點斑白的痕跡,就好像這些從無數再化成無數的沙粒憑空消失一樣。

這到底是怎麼回事?理由是它們仍然太過稀少,所以無法蓋住實數線,甚至無法顯示出它們的存在。如果我們能夠把無窮顆沙粒集合和實數線投射到我們這個時空,那你所看到的場景大概就會有如以上的描述,可數無限顆沙粒再變現出可數無限顆沙粒的總合對於實數線來說依然是杯水車薪。

為了證明整個實數集合確實比可數無限集合還大,我們先來觀察一個現象:把(–1, 1)這個實數開區間彎成半圓形,如下圖藍線部分所示。假設藍線左邊的端點是–1,而右邊的端點是1,垂直的紅虛線劃過的點是原點 0,所以垂直紅虛線的左半邊正好是負實數而右半邊則是正實數。

v

從虛擬的圓心處往黑色實數線用紅色虛線連接,你會發現每一個區間(–1, 1)內的數都正好對應到黑線上的另一個實數。而當虛線接近水平線時,左右兩邊對應到黑色數線的絕對值就會變很大,且所對應的實數越來越趨近於(–∞, ∞)。因此(–1, 1)區間內的實數和(–∞, ∞)區間內的實數(等於是R)有一對一且映成的關係。那麼根據定義,(–1, 1)區間裡的實數與全體實數R等量。

假設區間(–1, 1)中所有實數的集合為I,則基數〡I〡=〡R〡,也就是說區間(–1, 1)裡的實數個數與所有實數集合的個數一樣多。以上這個方法稱之為幾何學證明。雖然直觀上沒有問題,但站在集合論的立場,我們應該要想有沒有更嚴格的數學證明呢?這下可傷腦筋了,根據我們目前的數學知識配備,若要證明〡I〡=〡R〡,則需要找到一個從I到R的一對一且映成的函數才行。那麼到哪裡去找這麼個函數呢?

正所謂眾裡尋它千百度,驀然回首那傢伙就在正切函數(tan)處。我們發現當tan的x值趨近於–π/2時,它的y值會向–∞逼近,而當tan 的x值趨近π/2時,它的y值會向∞逼近,而且任何一個x值只對應到一個y值。這不就是說正切函數tan在(–π/2, π/2)與全體實數R之間形成一對一且映成?tan:(–π/2, π/2)→(–∞, ∞)不就是夢寐以求的答案?

但剛剛的幾何證明說的是(–1, 1)→(–∞, ∞)有一對一且映成函數而不是(–π/2, π/2)→(–∞, ∞),眼看就要得手了卻差一步,該怎麼辦呢?只要設法把(–π/2, π/2)變成(–1, 1)不就好了?但我們的野心還要大一些,我們希望把(–π/2, π/2)→(–∞, ∞)的函數變成(0, 1)→(–∞, ∞)的函數,理由待會兒馬上會揭曉。

這個函數首先要把(0, 1)區間裡的每個x轉變成(–π/2, π/2)區間裡的某個y,但因為tan(y)就會把每個y從(–π/2, π/2)映射到(–∞, ∞),因此我們要找的函數就是某個用x來表達的正切函數,我們發現經由線性變換可以找到這個函數。既然我們想把某個(0, 1)區間裡的x變成(–π/2, π/2)區間裡的某個y,於是問題相當於把某個(0, 1)區間裡的x轉換成π/2 (–1, 1)區間裡的某個y,它們的關係式是:

π/2 (a x +b) =y

我們先把π/2提出來,待會兒再放回去,計算上會方便很多,因此:

當x = 0的時候 y= –1,代入式子得到b= –1

當x = 1的時候 y= 1,代入式子得到a= 2

把a和b的值放回關係式得到π/2 (2 x–1) =y 。

就是它了:函數 tan[π/2 (2 x–1)] 可以把(0, 1)區間裡的實數一一對映到所有實數,因此我們用數學分析的方法證明了(0, 1)區間裡的實數和整個實數一樣多,比剛剛的幾何證明方法又進了一步。

這個結果夠驚人的了,這麼小段的(0, 1)區間裡的實數居然和整個R一樣多,但我們更想進一步知道R是否也是可數無限?對於這個問題康托總共給出兩個完全不同證明方法,第一個是在1874年提出的,其中用到集合的排序和有界(bounded)的概念。第二個證明直到1891年才提出,採用的正是康托拿手的對角線證明法,我們就再次來看看康托如何拿這項精妙的數學武器來對付巨大的實數尺吋。

因為剛剛已經證明了R和區間(0, 1)等量,所以只要證明(0, 1)區間裡的實數是否可數就等於證明了R是否可數, 這大大簡化了我們的工作,剛剛些許辛苦還是值得的。由於這個區間內的實數都能用無限小數的展開形式來表示,假設它們的個數是可數的話,那我們就能將區間裡的實數編上序號,比如:

r1 = 0.320059874…

r2 = 0.912533121…

r3 = 0.007213568…

r4 = 0.552418792…

r5 = 0.778451420…

r6 = 0.118841234…

r7 = 0.665590012…

需要注意的是,由於0.99999…等於1,所以在這個可數無限序列裡0.999999…的寫法被排除掉。

現在我們用一種特別的方法來製造一個新的實數x,那就是對任何小數點之後的數進行改裝,凡是遇到1就把它改成2,凡是遇到1以外的數(比如0, 2, 3, 4, 5, 6,  …)就把它改成1。我們拿以上的實數序列作例子,依次取小數點後面的第1, 2, 3, 4, 5, 6, …位,也就是按照對角線的方向來進行改造。

我們看到r1小數點後的第1個位數是3(如紅色數字所示),所以依照規定將其改成1,r2小數點後的第2個位數是1 ,所以依照規定改成2。依此類推,我們得到一個新的實數

x = 0.1211121…

這個數字的特點是它不同於r1,因為小數點後第1位數不相等,它也不等於r2,因為小數點後第2位數不相等。依此類推,我們依照此法製造出來的數字x不等於任何序列中的數字。但它明明是(0, 1)區間裡的實數,所以與一開始的假設相矛盾。我們得到(0, 1)區間裡的實數是不可數這個結論,因此,實數R也是不可數的。

原來,R的個數比可數的N和Q都要來得大。於是一個疑問自然浮現:在《公設化集合論的奧秘 (7)》一文裡,我們也是用對角線法證明了全體自然數N的冪集合P(N) 的元素個數同樣是不可數,那麼自然數冪集合的基數P(N)是否等於實數的基數〡R〡呢? 這兩種不可數集合其尺寸會一樣大嗎?我們又如何知道它們是否有相同的尺寸呢?這些問題只有等下回再分解囉!

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