翁 昌黎
翁 昌黎
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中央大學哲學研究所碩士,曾籌劃本土第一場「認知科學與佛教禪修系統」對話之大型研討會,於1995年6月在法光佛教研究所舉行,並發表文章。後隱居紐西蘭,至今已20載。 長年關注「意識轉變狀態的科學」和「意識本質的科學與哲學」問題,曾與大寶法王辯經教授師拿旺桑結堪布成立「大乘佛教禪修研究中心」。其他研究興趣為「唯識學」、「超個人心理學」、「數理邏輯」、「公設化集合論」和「後設數學」等等。
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・2015/04/02
在證明實數是不可數之後,我們可否進一步下結論說自然數的冪集合P(N)與實數的尺寸一樣大?在沒發現不可數集合之前,我們原以為無限只有一種,那就是像自然數一樣可以從0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 … 一直往下數沒有盡頭這種無限,直到這種想法被康托的證明方法擊碎。有了這個教訓,我們最好更加謹慎,任何直觀的想法都應該由嚴格的證明來確認,所以尋找證明是必要的工作。
・2015/04/01
想像你在數線上隨意滑動一支沒有厚度的標尺,不論標尺停在何處,總能將這條向兩端無限延伸的數線分割成互不相屬的兩邊。對於我們已知的有理數,它們會在數線上閃爍出細微的光芒,不論標尺停在何處,左右兩邊的有理數會以不同顏色的光亮顯現,所以你可以清楚地分辨標尺所在的位置。比如當你停在原點0時,你會發現所有負有理數在標尺左邊閃著金光,而所有正有理數則在標尺右邊閃著銀光,而無厚度的標尺正是不同光色的分界處。
・2015/03/16
有理數是能夠用分數形式m/n來表達的數,其中m和n為整數且n ≠ 0。雖然到現在為止我們的公設只建構出自然數,但用自然數來建構有理數並不困難,它的基本概念是取序對(m, n)的型態來定義有理數。由於自然數和序對我們都已相當熟悉,況且有理數的概念在直觀上也很容易理解,因此我們並不打算在此介紹和證明如何用自然數定義出有理數的技術細節。可是對實數裡的「另一半」— 無理數來說,情況就大不相同了。
・2015/03/10
當我們說函數 ƒ:A→B時,我們說的是某個特定的序對集合ƒ,這些序對的前項由A的元素構成而後項則由B的元素構成,所以函數ƒ的成員由序對形成。
・2015/02/28
我們曾經用等量於自然數尺寸的集合企圖製造更大的集合,結果發現即使把這種尺度的集合聯集無數次(可數有限次) ,得到的還是可數無限集合。當所屬集合之間沒有共同元素,也就是它們互不相交時,聯集就相當於加法,所以我們也可以說用加法這種運算無法增加可數無限集合的尺寸。既然加法不行,那乘法或許可以突破這種限制?
・2015/02/27
我們在《公設化集合論的奧秘(11)》中已經證明實數是不可數的,也就是說實數比有理數多,但我們並不清楚實數到底比有理數多多少?
・2015/02/11
許多人在學習中學集合論的過程中經常會聽到一個說法,那就是所有的集合都是從宇集(universe)—也就是所有集合所成的集合—裡拿出來的,彷彿先要有個上帝般的宇集,隨後所有的集合才從那裡生出。然而宇集真的存在嗎?
・2015/02/10
想像你在一個一望無際的沙灘,晶瑩的海岸由近乎純白質地的細沙構成,在陽光下閃爍著寶石般的光輝。天空有一條發出橙色亮光的細線,似有似無,那是柏拉圖世界裡的實數線投影到這個神奇星球的擬似影像。
・2015/01/27
如果我們只是接受證明的結果而沒有進一步去思考為什麼,那將喪失對趣味盎然且重要的數學問題探索的熱情,我們很容易退墮成背誦數學教科書的機器和工具。你會讀到許多定義定理和證明,然後繼續面對更多的定理和證明,接著仍然是不知所謂無窮無盡的定理和證明,直到你的頭腦因超負荷而當機或關機,最後以恨死這些鬼東西作為謝幕。
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・2015/01/26
構成了一個一對一且映成的函數關係,因此根據測量集合尺度的定義,Q與N等量,我們證明了有理數和自然數一樣多。經常違背直覺的無限集合還有哪些神奇之處?那只有等下回分解了。
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