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公設化集合論的奧秘(16) 戴德金切割與實數的定義

翁 昌黎
・2015/03/16 ・2458字 ・閱讀時間約 5 分鐘 ・SR值 552 ・八年級

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Richard Dedekind
Richard Dedekind

有理數是能夠用分數形式m/n來表達的數,其中m和n為整數且n ≠ 0。雖然到現在為止我們的公設只建構出自然數,但用自然數來建構有理數並不困難,它的基本概念是取序對(m, n)的型態來定義有理數。由於自然數和序對我們都已相當熟悉,況且有理數的概念在直觀上也很容易理解,因此我們並不打算在此介紹和證明如何用自然數定義出有理數的技術細節。可是對實數裡的「另一半」— 無理數來說,情況就大不相同了。

我們很難想像給出任意兩條線段,居然會找不到另一個線段作為衡量前兩者的共同單位。對有些情況來說,不論我們上天下地,卻永遠找不到這個共同單位,這在幾何學上叫做不可通約(incommensurable)。但這種讓古希臘畢氏學派震驚的「知識瘟疫」卻並非雪山靈芝而是隨處可見,比如從任一個正方形劃出對角線就可以根據畢氏定理12 +12 = x2 得出√2這個數,而√2就無法表示成m/n的分數形式。

根據傳說,畢氏學派把無理數的發現視為最高機密並禁止門徒對外洩漏,然而希臘的「斯諾登」希帕蘇斯先生卻冒死對外公佈了這個秘密,因而遭到如同黑社會懲罰臥底一般的待遇—扔到海裡餵魚。我們不知道這個傳說的真實性如何,但這意謂在某個歷史時期公佈某項知識成果的後果可能和今天所謂「洩漏國家機密」的後果沒兩樣。

既然無理數的性質那麼「無理」,可見要用自然數或有理數的概念來對其進行嚴格定義是很困難的。但現代實數系的兩位奠基者康托和德國數學家戴德金(R. Dedekind)雖然從不同的角度和進路用不同的方法來破解這個問題,但他們在推進人類對實數的理解時也同時發展了集合的概念。現在就來看看戴德金最重要的發明—如何用有理數來重新定義實數(因而自然把無理數也包含進去)的偉大創見,它稱之為戴德金切割(Dedekind cut)

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由於有理數建立在自然數的基礎上,而自然數又建立在集合論的公設上,所以它們早已取得明確的「身分」,現在身分不明且難以被直觀掌握的就剩下無理數了。戴德金切割到底是個甚麼東西呢?首先來看看切割(cut)的定義:

一個切割就是一個序對(A, B),其中A, B ≠ Ø且A 和B不相交(也就是A ∩ B = Ø)。此外A ∪ B = P,也就是說切割是把某個集合P給切開,分成沒有共同元素的A, B兩半。

第二個條件是A的所有元素都比B的元素小,也就是說從數線的觀點來看,A的元素都在B元素的左邊。

滿足上述兩個條件的序對(A, B)就是一個對P集合的切割。由於序對(A, B)是集合,所以一個切割本身就相當於集合。而所謂戴德金切割必須加上第三個條件,那就是序對左邊的A集合沒有最大元素。它的直觀意思是說如果我們用某個點來切開P集合,那麼這個點不在A裡面。

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我們現在手頭的武器是全部的有理數,所以可以把集合P用全體有理數Q來替代,那麼戴德金切割就成了把全部有理數分成A, B兩半的序對(A, B) ,所以A ∪ B = Q。由於A與B不相交,因此確定了其中一邊也同時確定了另一邊,習慣上我們用序對左邊的集合A來定義實數,稱之為戴德金左集合(Dedekind left set)。也就是說一個實數就是一堆有理數所形成的戴德金左集合,而全體實數就是這些戴德金左集合所形成的集合。

為了更容易理解戴德金左集合的定義,我們用√2來具體說明。如下圖所示,雖然目前我們尚不知道無理數√2的定義,但我們可以利用畢氏定理將邊長為1的正方形取對角線,然後用圓規將與對角線等長的線段畫到數線上,這樣就標出了長度相當於√2在數線上的位置。

我們發現它正好把大於此數和小於此數的有理數Q分成兩半,紅色部分為所有小於√2的有理數,而藍色部分則為所有大於√2的有理數。紅色部分和藍色部分沒有共同成員,它們的聯集等於全體有理數,所以顯然滿足戴德金切割的第一個條件。而紅色集合內的有理數顯然都在藍色成員的左邊,因此滿足第二個條件。此外以√2為分界的戴德金左集合(紅色部分)顯然沒有最大元素,因為作為分界的√2不屬於有理數,所以第三個條件也滿足了,它是一個戴德金切割。

未命名

接下來就看怎麼樣來定義這個特殊的戴德金左集合。有人會說這很容易啊,只要定義 A = {q〡q <√2 且 q∈ Q}不就得了?但請注意,我們目前還不知道√2是甚麼,我們只知道有理數是甚麼東東,正絞盡腦汁想把√2的定義找出來,所以上面對A的定義等於是拿未知的東西來定義未知,也是拿尚待定義的東西來作為定義,這是不可接受的。

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為了要避開這種循環定義,我們把上式梢作修改成

A = {q〡q2 < 2 且 q ∈ Q}

這樣一來所有的條件就都符合有理數的規定範圍。但仔細一看問題又來了,因為戴德金左集合會一直往負的方向無限延伸,因此越往左其平方值會越來越大,比如:

-2 ∈ Q 且-2∈ A,但顯然 (-2)2 > 2,這與A的規定顯然不合。該怎麼辦呢? 只要利用邏輯概念將小於√2的正負數分開處理就行了,因此我們重新把A定義為

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A = {q ∈ Q 〡q2 < 2 或 q為負數}

如果有耐心地依序檢查,會發現這個定義符合戴德金切割的條件,因而正是用來定義√2的戴德金左集合。

這個看似古怪的定義讓我們可以單憑有理數重新定義出所有實數(尤其是無理數),而且這樣定義出來的無理數完全可以滿足實數所須具備的各種運算和性質,真可謂鬼斧神工。更重要的是透過戴德金切割我們發現,無限集合居然可以用來標定某個特定實數,這實在太神奇了。戴德金左集合宛如實數的基因密碼,透過對這些密碼的識別和辨認達到對實數本身身分的確認。僅管構成生物基因的分子為數眾多但卻是有限的,然而每個戴德金左集合的元素個數卻都是無限,任何一個實數都可以用某個無限集合來唯一確定。

如果你還沒有意識到此中令人驚奇之處,那麼我們再把戴德金切割比喻成商品的條碼,每一個條碼都指向一種特殊的商品。讓我們感到驚異的是,在實數的定義裡,構成每個條碼的信息單元(有理數)竟然不是有限而是無限。

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雖然戴德金切割用這種有理數的「無限條碼」奇蹟似地界定出實數,但有些數的意義似乎產生了奇怪的病變。比如自然數0原來是用空集合來定義,所以0 = { } ,可是在戴德金左集合的新包裝下,0 不再是空無一物而成了 {q〡q ∈ Q 且q<0} ,這到底是怎麼回事呢?難道同一個數可以同時由兩個集合來定義嗎?要解開這個難題,這就只有等下回再分解了!

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翁 昌黎
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中央大學哲學研究所碩士,曾籌劃本土第一場「認知科學與佛教禪修系統」對話之大型研討會,於1995年6月在法光佛教研究所舉行,並發表文章。後隱居紐西蘭,至今已20載。 長年關注「意識轉變狀態的科學」和「意識本質的科學與哲學」問題,曾與大寶法王辯經教授師拿旺桑結堪布成立「大乘佛教禪修研究中心」。其他研究興趣為「唯識學」、「超個人心理學」、「數理邏輯」、「公設化集合論」和「後設數學」等等。

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快!還要更快!讓國家級地震警報更好用的「都會區強震預警精進計畫」
鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2024/01/21 ・2584字 ・閱讀時間約 5 分鐘

本文由 交通部中央氣象署 委託,泛科學企劃執行。

  • 文/陳儀珈

從地震儀感應到地震的震動,到我們的手機響起國家級警報,大約需要多少時間?

臺灣從 1991 年開始大量增建地震測站;1999 年臺灣爆發了 921 大地震,當時的地震速報系統約在震後 102 秒完成地震定位;2014 年正式對公眾推播強震即時警報;到了 2020 年 4 月,隨著技術不斷革新,當時交通部中央氣象局地震測報中心(以下簡稱為地震中心)僅需 10 秒,就可以發出地震預警訊息!

然而,地震中心並未因此而自滿,而是持續擴建地震觀測網,開發新技術。近年來,地震中心執行前瞻基礎建設 2.0「都會區強震預警精進計畫」,預計讓臺灣的地震預警系統邁入下一個新紀元!

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連上網路吧!用建設與技術,換取獲得地震資料的時間

「都會區強震預警精進計畫」起源於「民生公共物聯網數據應用及產業開展計畫」,該計畫致力於跨部會、跨單位合作,由 11 個執行單位共同策畫,致力於優化我國環境與防災治理,並建置資料開放平台。

看到這裡,或許你還沒反應過來地震預警系統跟物聯網(Internet of Things,IoT)有什麼關係,嘿嘿,那可大有關係啦!

當我們將各種實體物品透過網路連結起來,建立彼此與裝置的通訊後,成為了所謂的物聯網。在我國的地震預警系統中,即是透過將地震儀的資料即時傳輸到聯網系統,並進行運算,實現了對地震活動的即時監測和預警。

地震中心在臺灣架設了 700 多個強震監測站,但能夠和地震中心即時連線的,只有其中 500 個,藉由這項計畫,地震中心將致力增加可連線的強震監測站數量,並優化原有強震監測站的聯網品質。

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在地震中心的評估中,可以連線的強震監測站大約可在 113 年時,從原有的 500 個增加至 600 個,並且更新現有監測站的軟體與硬體設備,藉此提升地震預警系統的效能。

由此可知,倘若地震儀沒有了聯網的功能,我們也形同完全失去了地震預警系統的一切。

把地震儀放到井下後,有什麼好處?

除了加強地震儀的聯網功能外,把地震儀「放到地下」,也是提升地震預警系統效能的關鍵做法。

為什麼要把地震儀放到地底下?用日常生活來比喻的話,就像是買屋子時,要選擇鬧中取靜的社區,才不會讓吵雜的環境影響自己在房間聆聽優美的音樂;看星星時,要選擇光害比較不嚴重的山區,才能看清楚一閃又一閃的美麗星空。

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地表有太多、太多的環境雜訊了,因此當地震儀被安裝在地表時,想要從混亂的「噪音」之中找出關鍵的地震波,就像是在搖滾演唱會裡聽電話一樣困難,無論是電腦或研究人員,都需要花費比較多的時間,才能判讀來自地震的波形。

這些環境雜訊都是從哪裡來的?基本上,只要是你想得到的人為震動,對地震儀來說,都有可能是「噪音」!

當地震儀靠近工地或馬路時,一輛輛大卡車框啷、框啷地經過測站,是噪音;大稻埕夏日節放起絢麗的煙火,隨著煙花在天空上一個一個的炸開,也是噪音;台北捷運行經軌道的摩擦與震動,那也是噪音;有好奇的路人經過測站,推了推踢了下測站時,那也是不可忽視的噪音。

因此,井下地震儀(Borehole seismometer)的主要目的,就是盡量讓地震儀「遠離塵囂」,記錄到更清楚、雜訊更少的地震波!​無論是微震、強震,還是來自遠方的地震,井下地震儀都能提供遠比地表地震儀更高品質的訊號。

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地震中心於 2008 年展開建置井下地震儀觀測站的行動,根據不同測站底下的地質條件,​將井下地震儀放置在深達 30~500 公尺的乾井深處。​除了地震儀外,站房內也會備有資料收錄器、網路傳輸設備、不斷電設備與電池,讓測站可以儲存、傳送資料。

既然井下地震儀這麼強大,為什麼無法大規模建造測站呢?簡單來說,這一切可以歸咎於技術和成本問題。

安裝井下地震儀需要鑽井,然而鑽井的深度、難度均會提高時間、技術與金錢成本,因此,即使井下地震儀的訊號再好,若非有國家建設計畫的支援,也難以大量建置。

人口聚集,震災好嚴重?建立「客製化」的地震預警系統!

臺灣人口主要聚集於西半部,然而此區的震源深度較淺,再加上密集的人口與建築,容易造成相當重大的災害。

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許多都會區的建築老舊且密集,當屋齡超過 50 歲時,它很有可能是在沒有耐震規範的背景下建造而成的的,若是超過 25 年左右的房屋,也有可能不符合最新的耐震規範,並未具備現今標準下足夠的耐震能力。 

延伸閱讀:

在地震界有句名言「地震不會殺人,但建築物會」,因此,若建築物的結構不符合地震規範,地震發生時,在同一面積下越密集的老屋,有可能造成越多的傷亡。

因此,對於發生在都會區的直下型地震,預警時間的要求更高,需求也更迫切。

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地震中心著手於人口密集之都會區開發「客製化」的強震預警系統,目標針對都會區直下型淺層地震,可以在「震後 7 秒內」發布地震警報,將地震預警盲區縮小為 25 公里。

111 年起,地震中心已先後完成大臺北地區、桃園市客製化作業模組,並開始上線測試,當前正致力於臺南市的模組,未來的目標為高雄市與臺中市。

永不停歇的防災宣導行動、地震預警技術研發

地震預警系統僅能在地震來臨時警示民眾避難,無法主動保護民眾的生命安全,若人民沒有搭配正確的防震防災觀念,即使地震警報再快,也無法達到有效的防災效果。

因此除了不斷革新地震預警系統的技術,地震中心也積極投入於地震的宣導活動和教育管道,經營 Facebook 粉絲專頁「報地震 – 中央氣象署」、跨部會舉辦《地震島大冒險》特展、《震守家園 — 民生公共物聯網主題展》,讓民眾了解正確的避難行為與應變作為,充分發揮地震警報的效果。

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此外,雖然地震中心預計於 114 年將都會區的預警費時縮減為 7 秒,研發新技術的腳步不會停止;未來,他們將應用 AI 技術,持續強化地震預警系統的效能,降低地震對臺灣人民的威脅程度,保障你我生命財產安全。

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北極流言終結者:大便冰刀不太好用──2020搞笑諾貝爾材料科學獎
寒波_96
・2020/09/24 ・4287字 ・閱讀時間約 8 分鐘 ・SR值 520 ・七年級

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搞笑諾貝爾獎每年都是新的開始,2020 年也不例外。今年「第 30 次第一屆搞笑諾貝爾獎」的材料科學獎頒給 7 位科學家,得獎理由是發現「冰凍人類大便做成的刀不好用(knives manufactured from frozen human feces do not work well)」。1

人類大便結凍後製成的冰刀,由金屬銼刀處理過邊緣,再置入攝氏−50 度的乾冰強化結構。圖/取自 ref 3

這個實驗其實算是人類學研究,也很有流言終結者的味道。今年 10 個獎項中它與管理學獎:「5 位中國殺手層層轉包,卻都沒有人下手」大概是最引人熱議的。不過為什麼有人想測試,冰凍大便的切割能力呢?起因自一則流傳的北極小故事。

延伸閱讀:疫情也阻止不了的2020搞笑諾貝爾獎!宅在家慶祝這充滿 BUG 的一年

人類學家的北極小故事

小故事的宣傳者不是普通天橋下的說書人,他是加拿大的不列顛哥倫比亞大學(University of British Columbia)的人類學家戴維斯(Wade Davis)。他在 1998 年出版的《Shadows in the Sun》書中記錄一則北極的伊努特人*故事,後來還在幾次演講時提到。

*註:伊努特人或翻譯為因紐特人,或發音類似單字的組合。

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以北極伊努特人為主題的遊戲《永不孤獨》。圖/取自 ref 5

戴維斯自述,這個故事是加拿大北極區的巴芬島,一位伊努特獵人納基塔維克(Olayuk Narqitarvik)告訴他的。事情發生在 1950 年代,那時納基塔維克的爺爺不想隨眾人搬家,一個人留下;其他人為了促使他上路,把裝備、資源通通拿走。

納基塔維克的爺爺突發奇想,缺乏工具,就自己生產!於是他把自己的大便冰凍,做成刀的形狀,再用口水讓邊緣鋒利;接著殺掉一隻路過的狗,用狗的肋骨做成雪橇,又抓到一隻狗拉雪橇,就這麼消失在黑暗之中⋯⋯

這個故事據說流傳甚廣,不過有基本邏輯的人,一聽便能判斷是唬爛的。假如這些事都是由一個人單獨完成,旁邊沒有任何人,他最後又消失在黑暗中,那麼整個過程怎麼可能留下記錄呢?即使是作者戴維斯自己,也認為這則故事的真實性「可疑(apocryphal)」。

話說回來,人類從古至今利用過各種材料製作工具,不管北極小故事有沒有發生過,假如故事內容是真的,也可謂材料科學的一大發現。於是以美國的肯特州立大學為主的一隊科學家,真的進行測試,實驗結果強烈否決大便冰刀的可能性。2, 3

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用大便冰刀和美豬做實驗囉

實驗過程其實不算複雜。一位研究者連續多天,吃高蛋白質、高脂肪的伊努特式傳統食物,然後把大便做成刀的形狀(用模型或是用手塑形),擺在攝氏−20 度到實驗開始為止。實驗開始前先以金屬銼刀把冰刀削利,再浸入攝氏−50 度的乾冰數分鐘,確保實驗時冰刀夠堅硬。

用人類大便製成的冰刀切割豬皮。圖/取自 ref 3

故事中的動物是狗,不過實驗切割的材料不是狗,是豬(在美國做的實驗,所以應該是美豬)。豬皮、豬肉、豬肌腱 3 種材料,先擺在攝氏−20 度很多天,實驗開始前 2 天再移到攝氏 4 度解凍。切割則是在攝氏 10 度左右的環境進行。

實驗結果非常清楚,冰刀連最軟的豬皮都無法無法切割,更不用說比較硬的豬肉、肌腱。即使冰刀一開始非常堅硬,與冷藏取出的美豬接觸後仍開始融化,甚至無法留下刀割的痕跡。另一位吃普通西洋食物的研究者,用一樣的步驟製作冰刀重複實驗,同樣無法成功。

豬皮下方的皮下脂肪,倒是能被冰刀切下一絲絲,但是冰刀接觸皮下脂肪後也迅速融化,無法繼續使用。

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用人類大便製成的冰刀,切割豬皮的結果。冰刀融化後在豬皮表面留下痕跡,卻幾乎無法對豬皮造成傷害。圖/取自 ref 3

沒有任何狗受到傷害

戴維斯為了增加北極小故事的真實感,引用丹麥探險家福祿陳(Peter Freuchen)1953 年自傳的內容。福祿陳自述有一次在冰上被雪困住,他將自己的大便冰凍後作為鑿子,才成功脫困。

論文認為,儘管沒有理由認為福祿陳說謊,但是他的說法真實性存疑。而且就算福祿陳講的是真的,用鑿子除雪和用刀子切肉,難度不可一概而論。假如連最軟的豬皮都無法切割,要穿透一隻完整的狗根本毫無可能。

丹麥探險家福祿陳(左)的北極留影。圖/取自 alchetron

故事中另一段劇情:用口水讓冰刀邊緣變鋒利,論文沒有實際操作,但是強烈懷疑這會有幫助。因為早已知道水結凍製成的冰刀,只要接觸就會開始融化。

一系列實驗證實,用冰凍大便做成的刀肯定無法切割美豬,推論狗應該也沒辦法,所以戴維斯的小故事劇情不可能發生。

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論文主張,人類學家會蒐集大量故事、謠言、口述歷史、都市傳奇等等記錄,有些情節卻不一定符合實際狀況。

人們愛聽千奇百怪的故事,而人類學家應該勇於驗證故事情節的真實性。

此研究在 2019 年發表於專業的考古學期刊《考古科學期刊:報告(Journal of Archaeological Science: Reports)》,由於題材奇妙,當時就引起一陣討論;隔年(2020年)獲得搞笑諾貝爾獎的材料科學獎,又引發一波轟動。

一位得主坐在馬桶上發表得獎感言。圖/取自搞笑諾貝爾獎頒獎影片

北極小故事原作者的反駁

論文在 2019 年發表後,小故事原作者戴維斯寫文章表達意見。從文字看來他不是很高興,他覺得在伊努特傳統文化逐漸消失之際,還有人浪費錢跟時間搞這種研究,實在不可接受。4

戴維斯自稱從未強調過故事情節的真實性,他沒有發表在正式的學術期刊、科學期刊,只在演講與普通文章中提及這個情節可疑、卻有象徵意義的小故事,目的是闡述伊努特人與冰的獨特關係:伊努特人不畏懼寒冷,懂得利用冰,才得以在嚴寒中生存。

儘管宣稱不在意真實性,戴維斯仍然質疑論文的實驗方法,和故事情節不一樣:狗皮和豬皮不同,豬皮切割失敗,不等於狗皮也會失敗;故事中是在冰天雪地下切狗,實驗卻是在攝氏 10 度進行。差異如此明顯,這個實驗一點都不客觀!

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我們歸納一下戴維斯的論點:

第一,實驗根本沒意義,關心伊努特人才有意義。

第二,我從來沒說過那是真的故事。

第三,就算我沒說過故事是真的,實驗也無法證明故事不是真的!

小故事原作者戴維斯 2008 年的 TED 演講。圖/取自 TED

雖然冰刀無用,還是要關心逝去中的傳統文化

戴維斯展現出人類學家對現實人類的關懷姿態,但是他對科學的意見有沒有道理呢?我個人推測,就算改變條件,不會成功的實驗還是不會成功。

即使是在攝氏 10 度下實驗,冰刀的硬度多半不是問題,因為經過攝氏−50 度的乾冰處理,冰刀至少能保持一段時間的堅挺。如果一開始最硬的時候完全切不下去,狀況過更久應該也不會改變。

凍結人類大便製作的冰刀,角度正確的話可以擊倒狗,但是要再取出狗的肋骨,勢必需要切割。豬跟狗的身體當然不一樣,可是冰刀在已經分離過的豬皮組織,都無法留下切割痕跡,難以想像對一條完整的狗還有機會成功。(冰刀在北極可以隨處取材,要是真的能這樣用,探險還要帶那麼多裝備嗎?)

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測試用的動物材料,若是用不久前還活跳跳的動物,殘留的體溫只會讓冰刀加速融化。經過一段時間讓肉體在雪地降溫後,太硬的肉還是會讓冰刀接觸摩擦時融化。處於冷藏狀態的肉,條件或許相對平衡,不過論文的實驗已經證明,切割攝氏 4 度的肉便足以令冰刀融化。

實驗失敗的關鍵,恐怕還是在於切割這件事會毀滅冰刀,只要開始切割,就註定會失敗。

北極伊努特人,與世界各地許多傳統文化正在消逝。圖/取自 ref 5

我想這個看似搞笑的研究背後,至少有兩件事值得認真, 一是科學,另一是人:

第一,故事不用在意真實性,但是仍然可以驗證,小處不可隨便。

第二,大家有興趣能多關注伊努特人,以及現代世界中漸漸消逝的傳統文化。

身為印地安人的遊戲評論員 Daniel Starkey,曾經在主打伊努特文化的遊戲《永不孤獨 (Never Alone,Kisima Inŋitchuŋa》評論中提到:5

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「當我的文化益漸衰弱,我們曾經的一切彷彿也漸漸淡出而變得晦澀朦朧。要接受數百個文化豐富的歷史步入死亡,實在是再簡單不過了」

想看其他?第 30 次第一屆搞笑諾貝爾獎頒獎影片在這裡:

延伸閱讀

  1. 箕形門齒 X 美洲原住民 X 母乳——這三者源自冰河時期的神秘關係是?
  2. 黑曜石8000年前冰原歷險記,旅行1500公里
  3. 兩岸一家親的西伯利亞與北美洲,過去回來又過去的情慾流動
  4. 北境永不遺忘,西伯利亞,美洲人的交流分合
  5. 流言終結者:一場14年的「科普」爆炸!

參考資料

  1. 搞笑諾貝爾獎得主 https://www.improbable.com/ig-about/winners/
  2. Eren, M. I., Bebber, M. R., Norris, J. D., Perrone, A., Rutkoski, A., Wilson, M., & Raghanti, M. A. (2019). Experimental replication shows knives manufactured from frozen human feces do not work. Journal of Archaeological Science: Reports, 27, 102002.
  3. Scientists test to see if knives made from frozen feces can cut animal tissue
  4. The Problem with the Frozen Poop Knife Study
  5. 《Never Alone》:交織遊戲、群族記憶和生命文化的嘗試

本文亦刊載於作者部落格《盲眼的尼安德塔石匠》暨其 facebook 同名專頁

寒波_96
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生命科學碩士、文學與電影愛好者、戳樂黨員,主要興趣為演化,希望把好東西介紹給大家。部落格《盲眼的尼安德塔石器匠》、同名粉絲團《盲眼的尼安德塔石器匠》。

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公設化集合論的奧秘(17) 戴德金切割與系統層級
翁 昌黎
・2015/04/01 ・2980字 ・閱讀時間約 6 分鐘 ・SR值 525 ・七年級

「一沙見世界, 一花視天堂, 無限含於掌, 須臾納永恆。」

威廉. 布萊克(William Blake)

credit:hepatocyte/pixabay
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想像你在數線上隨意滑動一支沒有厚度的標尺,不論標尺停在何處,總能將這條向兩端無限延伸的數線分割成互不相屬的兩邊。對於我們已知的有理數,它們會在數線上閃爍出細微的光芒,不論標尺停在何處,左右兩邊的有理數會以不同顏色的光亮顯現,所以你可以清楚地分辨標尺所在的位置。比如當你停在原點0時,你會發現所有負有理數在標尺左邊閃著金光,而所有正有理數則在標尺右邊閃著銀光,而無厚度的標尺正是不同光色的分界處。

我們把左邊閃著金光的光點命名為A集合,而把右邊閃著銀光的光點稱為B集合,於是序對(A, B)就是所有光點的總集。你既可以說是這個標尺所在的點位決定了左右兩邊的分割(A, B),但同樣可以說特定的分割(A, B)決定了標尺的落點。於是我們發現,一個點不只是一個點,它也相當於左集合A裡無限個發出金色光芒的有理數,點與分割相互決定了對方的存在。這正是為何戴德金左集合可以作為某個實數的身分證或認證條碼,因而被用來作為實數的定義,戴德金切割把我們帶入一個全新的世界。

讓我們頭痛萬分的無理數瞬間找到了歸宿,因為我們用戴德金左集合逼它們現形,可是我們原本熟知的有理數卻出了問題,因為我們忽然發現它們有了兩種定義,因而變成兩種事物。比如以自然數2來說,它原本的定義是 {0, 1} ,也就是由0和1為成員所形成的集合,其存在被配對公設所確認。但當我們用戴德金左集合來重新定義實數時,它變成了 {q ∈ Q〡q < 2} ,也就是所有小於2的有理數的集合,一瞬間它的成員數從2個變成無限多個!

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如果你懷疑這只是個別現象的話,那我們可以逐一檢查每個自然數,比如5, 37或102,你會發現同樣的情況也發生在它們身上,自然數們脫離了原來定義的軌道,戴德金切割讓它們具有了「第二重身分」。分數型式的有理數m/n 也無法倖免,它們的戴德金左集合也與原先用序對的對等類(equivalence class of the ordered pair(m, n) )所下的定義不同。但我們並不打算在此介紹序對對等類所定義的m/n及其運算規則,只是說明用戴德金左集合重新界定實數之後,雖然定義出了原先沒有的無理數,但原本的有理數卻似乎陷入「人格分裂」的窘境。

本來我們的如意算盤是用口袋裡已有的有理數Q (由序對對等類定義)來定義出無理數,在製造出無理數集合I之後,取其聯集Q ∪I 得到實數集合R = Q ∪I。但現在計畫卻泡湯了,我們雖然用戴德金左集合製造出無理數,但原先的有理數卻「質變」了。

要解決這個難題就必須釐清一個觀念,那就是我們無法直接將原本的有理數納入戴德金左集合系統。對於新定義的實數系統來說,原本的有理數並非它的子系統(sub-system),所以也無法直接取它們的聯集Q ∪I來得到實數集合R。這就像是一棟樓房有許多樓層一樣,戴德金左集合所定義的系統和原先的有理數系統不在同一樓層,否則就會造成數系的雙重定義問題。如果把經由戴德金左集合所定義出來的實數看作成品的話,那原先的有理數就相當於原材料,我們透過原材料製作出新的成品(戴德金實數)。

為了更明確這種理論系統的層級差異,我們將實數的一般定義形式r 寫成:

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r = {q〡P (q) 且 q ∈ Q}

其中P (q) 為描述某些與q性質相關的邏輯句式。

用上篇文章的例子來說,若P (q)為「q2 < 2 或 q為負數」這個句式,則r 就是指√2。若將P (q) 改為q < 3,則r 就是指3。

從這個定義形式可以看出戴德金實數與之前的有理數之間存在差別。原本的有理數q ∈ Q屬於前一個定義系統裡的理論存在項,而戴德金實數則是採用先前系統的存在項之後才定義出來的,它們屬於後一個系統(由紅字的r 所構成),也就是它們分屬於不同的理論系統或系統層級。在這樣的系統層級中,q並不等於q。q是前一個系統內的成員,它們就好像是一堆原始材料,用來建構另一個系統層級內的戴德金實數q。經由這樣的分析,我們得以擺脫同一個數卻有兩種不同定義的困境。

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這就好比有天忽然修改了法律,一切原本屬於個人(自然人)能夠從事的行為現在都必須由法人來執行,包括簡單的商品購買或購買房產以及基本資料登記等等,現在都必須以法人的名義來行使了。當然為了便民,所以新的法律也允許原先的自然人用原本的名字登記為法人,然後重新占有財產,但之後的占有關係就要受到新法律的規範了。

比如有一個叫金正恩的人之前用自己的名義買了一棟房子,但根據新的法律,現在個人不能夠再以自然人的形式來擁有房產,所以他可以成立一家公司或成立一個基金會來重新占有這棟房子。但這個金正恩覺得這間房子只是供自住並沒有商業運作上的節稅問題, 所以不想用公司或其他法人形式來登記,這太麻煩了。還好根據新法律,他可以將原先的名字重新登記成法人來占有原本的房屋,這個新法人的內部結構也還是歸他自己控制,名字也叫金正恩,只不過現在他對房屋的占有受新法律對法人的規範所制約罷了。因此現在有了兩個金正恩,一個是原本那個自然人金正恩,根據新法律他無法再擁有房屋了。另一個是受到新法律規定而不得不重新登記成法人的那個金正恩法人,它(法人)可以擁有房產。我們可以用以上的方式來理解不同系統層級中的q和q之間的關係。

邏輯困境被我們用系統層級的差異解決了,但這樣定義出來的戴德金實數能符合原先我們期待它們應該具有的數學性質嗎?那就讓我們來看看如何正確定義它們的基本性質和運算吧。兩個戴德金實數rs 在甚麼條件下相等呢?既然實數被定義為戴德金左集合,那麼我們可以推測,如果兩個實數相等的話那就等於說兩個左集合也相等。果不其然,對於所有有理數q,如果滿足q ∈r 若且唯若q ∈s這個條件,也就是兩個左集合rs有相同元素的話,那我們就說戴德金實數r =s

依照同樣的原理,我們可以定義出rsr < s。按照相同的思路,由戴德金左集合定義出來的的實數r若要比s小,那必然會滿足rs的要求了。因此對任何有理數q,若q ∈r 則q ∈s這個條件滿足的話,我們就將其定義為rs。如果再加上rs這個條件,那我們就可以定義出r < s了。

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你可以自己檢驗一下加法的定義r +s ={p + q〡p∈r 且 q∈ s}是否符合我們對一般算術加法的要求?其中p + q的部分就是我們原來熟悉的有理數的加法,得出答案之後再看看r +s的戴德金左集合是否能得出與原本算術規則符合的另一個實數?至於乘法的定義稍嫌複雜就不在此贅述了。但可以預先通告的是這樣定義出來的戴德金實數完全滿足16個實數公設,而我們目前就是用這16條公設來建構出整個實數系的。

戴德金切割所定義的實數雖然矗立在另一個系統層級上,但它們能夠滿足16個公設而成為建構現代實數系的基石,所以值得多花這些篇幅來概述。除此之外,我們引介戴德金切割的目的在於這個觀念可以幫助我們輕易地解決實數R和自然數冪集合P(N) 之間的尺寸關係,那是我們困惑已久的問題。那麼,這兩種不可數無限集合到底是否等量呢?這就只有等下回再分解了!

翁 昌黎
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中央大學哲學研究所碩士,曾籌劃本土第一場「認知科學與佛教禪修系統」對話之大型研討會,於1995年6月在法光佛教研究所舉行,並發表文章。後隱居紐西蘭,至今已20載。 長年關注「意識轉變狀態的科學」和「意識本質的科學與哲學」問題,曾與大寶法王辯經教授師拿旺桑結堪布成立「大乘佛教禪修研究中心」。其他研究興趣為「唯識學」、「超個人心理學」、「數理邏輯」、「公設化集合論」和「後設數學」等等。