顛覆世界的「電腦」是怎麼誕生的呢？

二十世紀是人類史上科學技術進展最快的世紀。短短的 100 年間，湧現了大量對世界產生重大的影響的科學發現和技術突破，包括電視、飛機、抗生素、基因科學、量子力學……。

但若要評選一項滲透至人們日常生活的所有角落、改變人類生活型態最劇烈的科技發明，則非電腦莫屬。

第一次工業革命是機械與工廠、第二次工業革命是電力、第三次工業革命乃由電腦發明所激起的資訊時代。有著「第四次工業革命」之稱的人工智慧，我們已在深度學習簡史中有所探討。但追本究源，人工智慧所奠基的電腦（計算機）科學，又是怎麼來的？

今天就讓我們來思考一個有趣的問題：電腦是怎麼來的？

ENIAC：情人節誕生的奇蹟

普遍認為最早的通用電腦，是美國賓州大學的莫奇來 （Mauchly）和他的學生埃克特 （Eckert）在 1946 年 2 月 14 日情人節當天所發表的「ENIAC」 。（情人節剛過不久但別再討論單身魯了，人家可是在情人節顛覆世界呢 XD）

ENIAC 計算機在進行每一次運算之前，都須根據運算要求、把不同的元件用人工插接線路的方式連接在一起。將輸入裝置和輸出裝置設好後，才進行通電……啪！一聲，電腦噠噠噠的開始運作。

因為這個電路沒有儲存程式的功能。最早的計算機器僅內涵固定用途的程式，比如一台「計算機器」僅有固定的數學計算程式，除此之外便無其他，無論是文書處理或玩遊戲都不行。若想要改變這台機器的程式，你必須更改線路、結構甚至重新設計機器。

馮．紐曼結構與現代電腦

1945 年 6 月，是現代電腦科學的里程碑。著名的美籍猶太裔數學家馮．紐曼 （John von Neumann） 與多位學者聯名發表了一篇長達 101 頁的報告，其中包括大膽捨棄了十進制、改以二進制運算取代，同時將電腦明確分成五個部分組成（包括：記憶體、控制單元、算術邏輯單元、輸入 / 輸出裝置等），並描述了這五個部分的功能和相互關係，為電腦的邏輯結構設計奠定了基礎。

事實上，EDVAC 報告中最核心的概念即是「可儲存程式的電腦 （Stored Program Computer） 」。如果是一台能儲存程式的電腦，只要一開始先將「文書程式」與「遊戲程式」都載入記憶體中，再告訴電腦去記憶體的哪一個位置開始執行就可以完成，在不需更動硬體的情況下就能讓電腦變得更加有彈性。

1951 年，美國軍方透過馮．紐曼的協助，斥資五十萬美元打造了計算機「EDVAC」。相較於十進位、又須人工插接電路的 ENIAC，可以說 EDVAC 是第一台現代意義的通用計算機，直至今的現代電腦皆仍採用馮．紐曼架構。

在我們介紹馮．紐曼其人其事、與現代電腦的運作原理前，先讓我們重看一次標題所提出的問題：「電腦是怎麼來的？」為什麼馮．紐曼能夠造出這樣的一台電腦？

不少人把馮．紐曼當作是電腦科學的奠基人，有人甚至稱他為「電腦之父」。然而他本人並不接受這個稱號。

馮．紐曼認為他的研究成果是受到了英國數學家圖靈 （Alan Turing） 所啟發，他僅僅是發揚光大圖靈的原始概念。這台「可儲存程式電腦」真正的意義，其實就是通用圖靈機。馮．紐曼將這個概念的創始人公正無私地還予圖靈。

圖靈：可計算理論與圖靈機

好吧這麼來看，如果我們想要瞭解「電腦是怎麼來的？」，勢必得再先去瞭解圖靈這位同樣有著「電腦科學之父」與「人工智慧之父」之稱的偉大學者，與其圖靈機 （Turing Machine） 的理論了。

1934 年，年僅 22 歲的圖靈從劍橋大學畢業、到美國普林斯頓大學攻讀博士學位。二戰爆發後，圖靈在 1939 年被英國皇家海軍招聘，協助軍方成功破譯德國的密碼系統 Enigma，讓英國軍方對德國的軍事計劃瞭如指掌。圖靈小組的傑出工作，更使得盟軍提前至少兩年戰勝納粹。

除了作為一位傑出的密碼學家，在電影沒詳述的部分中，圖靈在電腦科學上的貢獻更是難以抹滅。

1936 年，24 歲的圖靈發表了一篇論文《論可計算數及其在判定問題上的應用》（On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem）。在這篇極富開創性的論文中，圖靈提出了「圖靈機」（Turing Machine） 概念。

「圖靈機」不是一台具體的機器，而是一種運算模型，可製造一種十分簡單但運算能力極強的機械裝置，用來計算所有能想像得到的可計算函數。

圖靈機是闡明現代電腦原理的開山之作，奠定了整個電腦科學的理論基礎。如果說馮紐曼是實際打造出一台現代電腦的電腦之父，其所依據的理論基礎即源自於圖靈機。

但，什麼叫可計算？為什麼圖靈會探討這個問題？實際上，上述關於圖靈論文與圖靈機的介紹，更明確的說法應是：圖靈在 1936 年發布的論文中，對於「哥德爾不完備定理」重新做了論述。相較於哥德爾在證明其不完備定理時、採用的通用算術形式系統，圖靈使用了叫做「圖靈機」的簡單裝置作為代替。

咦，我們這邊又多提到一個人了？！哥德爾……？

哥德爾不完備定理

哥德爾 （Gödel） 被譽為自亞里士多德以來、歷史上最偉大的邏輯學家之一。毫不誇張地說，正是哥德爾使數理邏輯與哲學界發生了極大的革命。

1931 年，19 歲的圖靈進入劍橋大學就讀；但這一年，同時成了撼動數學界的里程碑——奧地利數學家哥德爾提出不完備定理，證明不存在既完備又一致的數學體系，粉碎了無數位數學家追求聖杯的野心。

人類總是渴求著確定的知識，也稱為真理——藉由純數理論與邏輯證明，數學家不斷尋找著真理的可確定性。

哥德爾當年的發現，簡單來說是：「並非所有為真者，皆可循一邏輯演繹過程而得知」。再更直白點就是：「真理的範圍、比我們所能證明的範圍還大。」

數學家乃藉由公理（不證自明、理所當然為真的命題）進行一連串的推理、最後得出數學定理；基本上是活在一個以邏輯演繹為本質的世界。今天突然有人成功證明了：有些數學命題，我們既沒辦法證明它為真，也沒辦法證明它為假……，可想而知，這對於數學界無非是一項沈重的打擊！

五年後的圖靈之所以提出「圖靈機」計算模型，即是以計算機的形式重新演繹了哥德爾的不完備定理，同時補充了判定問題－－是否存在一個程式，能判斷：我們任意輸入的一個程式，是否能在有限的時間內結束步驟？或者會陷入無窮迴圈？（當我們對電腦下兩個指令：【往左後往右】與【往右後往左】，電腦就會陷入無窮的迴圈）

哥德爾的發現，引起了當時重要數學家如希爾伯特與馮．紐曼（還記得這個人嗎? 這位計算機之父早年是希爾伯特的助手）等人的重視。到後來不但啟發了後續眾多數學家、哲學家：若無法使用邏輯演繹完全瞭解宇宙，該何以為繼？更激起圖靈創造出了電腦科學在理論上的濫觴。

但是，為什麼哥德爾會探討這樣的問題呢？因為有人下了戰帖！

誰？就是上上句我們提到的大數學家希爾伯特！

希爾伯特的 23 個問題

希爾伯特 （David Hilbert） 是二十世紀初期德國最偉大的數學家之一。

在世紀之交的 1900 年、一場巴黎國際數學家大會的演講當中，希爾伯特根據 19 世紀的研究成果和發展趨勢，以卓越的洞察力提出了 23 個當時尚未被解開的困難數學問題，並鼓舞年輕數學家積極攻克：

「在我們中間，常常聽到這樣的呼聲：這裡有一個數學問題，去找出它的答案！你能通過純思維找到它，因為在數學中沒有不可知。」（希爾伯特大大按曰：只要解出來就能名留青史噢！）

這就是著名的希爾伯特的 23 個問題。

希爾伯特的 23 個問題對 20 世紀的數學研究起了積極的作用，不但超乎希爾伯特的預期，更未曾預料到從其中衍生而出的電腦科學、將會對世界產生無比重大的影響。

而哥德爾之所以提出不完備定理，想解答的正是這 23 個問題中的第二個問題：算術公理系統的無矛盾性。簡單來說，希爾伯特希望能以一個完美的形式系統，成功證明所有的真理、同時找出所有矛盾的陳述。

在這個問題上，希爾伯特原先堅定地表示：「沒有人能將我們逐出康托爾的樂園。」不僅僅是第二個問題，希爾伯特在 23 個問題中所提出（顯然最在意）的第一個問題連續統假設，也是康托爾的研究中所面臨問題。

康托爾……？請放心，這會是本篇文章中所出現的最後一位人名了。

無限多的危機：康托爾集合論

到目前為止，我們已經使用了許多強烈的形容詞，包括：電腦科學之父、偉大的邏輯學家、數學家……。但在這些學者的研究基礎上，我們不能不提現代數學的奠基者——集合論之父康托爾 （Cantor） 。

令集合 A = {1, 2, 3, 4, 5 }，B = {1, 3, 5, 7, 9}
則 1, 3, 5 同時為集合 A 和 B 的元素，且 A 集合和 B 集合的大小相等。

康托爾可以說是數學史上最富有想像力的數學家之一，其所開創的集合論則可以說是人類最偉大發明之一－－當年康托爾面臨的，正是數學界幾百年幾千年的疑懼：「無限」。

1-1+1-1+1… = 0, 1 還是 1/2？ 0.99999….. = 1？還是 <1？

無限有多大？正整數、整數 （正整數 / 負整數 / 0）、實數（有理數 / 無理數） ……等數系的數量相同嗎？

Z+： ∞ （正整數有無限多個）， Z-： ∞ （負整數有無限多個）， Z： ∞ （整數有無限多個）。
因此： ∞ = 2∞+1 （所有整數個數 = 正整數個數+負整數個數 + 一個 0）， 移項得： -∞ = 1，
故： ∞ = -1 …？！

為了處理「無限」這個長久得不到解決的難題，康托爾在 19 世紀下半葉創立了「集合」理論，證明了各個數系雖然是都是無限多，還是有數量上的差別：

| 正整數 | = | 整數 | = | 有理數 | < | 無理數 | = | 實數 | = | 複數 |

無限多的正整數數量 = 無限多的整數數量 = 無限多的有理數數量 < 無限多的無理數數量 = 無限多的實數數量 = 無限多的複數數量

然而集合論實在太過創新、對於無限的解釋也背離了傳統，剛開始時康托爾受到了嚴厲的譴責與撻伐。

但隨後，許多年輕的數學家開始意識到集合論非常的有用－－基於自然數 （正整數）與集合論，當時一切的數學成果都可以成功被推證出來。

1900 年在國際數學家大會上，法國數學家龐加萊興高采烈地宣稱：「藉助集合論，我們可以建造起整個數學大廈。」1925 年，希爾伯特也提出了「希爾伯特旅館悖論」來應和康托爾的理論。

• 有興趣的讀者歡迎看看這個 Ted Education 製作的淺顯有趣動畫片。

然而康托爾集合論仍然面臨了許多問題。首先是連續統假設－－我們已知：

| 正整數 | = | 整數 | = | 有理數 | < | 無理數 | = | 實數 | = | 複數 |
那麼還有沒有一個數系，介於此二者間呢？

始終證明不出問題、又受到世人無數攻訐的康托爾，晚年發了瘋、死在精神病院中。

但除此之外，集合論還有一個問題是羅素悖論：「這句話是假的。」讀者只要稍加推論就會發現：如果這句話是真的，那麼這句話是假的會成立……？！如果這句話是假的，那這句話就是真的……？！ 這個命題就矛盾了。

羅素悖論應用在集合論的問題即是：如果我們創造一個集合 A，裡面收集了所有不包含在自己這個集合的集合：A = {x|x∉x}。若是 A∈A 成立，則 A 是 A 的集合、使得 A∉A。但若 A∉A，則符合命題，使得 A∈A。

好不容易我們在集合論的基礎上構築起了數學大廈，結果發現集合論也是不完美的。究竟能不能找到一個完備的系統，從上面建築起整個數學的基礎呢？

這樣的系統是否存在呢？希爾伯特除了在 23 個問題中的第一個問題提出「連續統假設」，身為康托爾堅定的擁護者（腦粉），也在第二個問題中提了這樣的難題。

這也接續到我們先前的介紹：再後來哥德爾成功證明了不完備定理、解決了 23 個問題中的第二個問題，到圖靈用「圖靈機」的概念更加簡單明瞭的重新演繹一次哥德爾不完備定理，最後馮．紐曼基於通用圖靈機的概念、建出了第一台具備現代電腦架構雛形的電腦。

哇！「電腦是怎麼來的」居然爬梳出這麼多的問題？

哲學：不懈探究真理的精神

若要探究下去，你知道：康托爾、希爾伯特、哥德爾、馮．紐曼…等人都是德國人嗎（哥德爾和馮．紐曼皆為奧匈帝國人）？19 世紀的德國究竟是一個什麼樣的時代，造就了如此多的數學大家？

事實上，你知道這些數學家同時還有著哲學家的頭銜嗎？更進一步來說，19 世紀知名德國哲學家，尚包括了：黑格爾、叔本華、馬克思、尼采、康德… 毫無疑問地，當時的德國可說是歐洲最具代表性的哲學重鎮。

哲學在西方文化中扮演了非常重要的角色，也是現代科學會出現在歐洲的重要原因。至於西方哲學追求真理的精神，又是起源於何時何處呢？這又要回溯到希臘時期，比如亞里斯多德的三段式證法或畢達哥拉斯學派……。

觀察過往，出現像上述「無限有多大」這樣的數學危機，在人類史上也不是第一次發生了：負數的英文為－－Negative Number、無理數－－Irrational Number、虛數－－Imaginary Number。否定的 （Negative）、不合理的 （Irrational）、想像的 （Imaginary）……。

從這些詞彙中可以看出在探究真理的過程中，人類總是不斷遭遇思想上的困難，卻又能在突破後、成功踏上嶄新的道路。 今天我們思考了一個問題：「電腦是怎麼來的？」，並從中衍生出了更多值得探索的問題：

．數學是邏輯、也是哲學？
．歷史上其他的數學危機有哪些、又是如何被解決的？
．希臘亞里斯多德時代至一戰前的德國，哲學是如何百花齊放？
．無限有多大？
．悲劇性的數學家康托爾為什麼偉大？
．希爾伯特的 23 個問題？
．我們能造出一台判別真理的機器嗎？
．哥德爾不完備定理是什麼？圖靈機呢？
．計算機的電路是怎麼計算和記憶的？
…

沒有了探求宇宙真理的精神，或許工業革命就不會出現在歐洲了？ 人類也不會有科技發展、或者今日的生活。

後續幾篇，我們會繼續用深入淺出的方式一一來討論這些問題，歡迎一起加入這樣的思考訓練吧！

---

本文轉載自寫點科普，請給指教。 《電腦是怎麼來的？（思考訓練）》，歡迎贊助和訂閱Lynn的網站喔。