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顛覆世界的「電腦」是怎麼誕生的呢?

寫點科普,請給指教
・2017/05/18 ・5537字 ・閱讀時間約 11 分鐘 ・SR值 548 ・八年級

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二十世紀是人類史上科學技術進展最快的世紀。短短的 100 年間,湧現了大量對世界產生重大的影響的科學發現和技術突破,包括電視、飛機、抗生素、基因科學、量子力學……。

但若要評選一項滲透至人們日常生活的所有角落、改變人類生活型態最劇烈的科技發明,則非電腦莫屬。

第一次工業革命是機械與工廠、第二次工業革命是電力、第三次工業革命乃由電腦發明所激起的資訊時代。有著「第四次工業革命」之稱的人工智慧,我們已在深度學習簡史中有所探討。但追本究源,人工智慧所奠基的電腦(計算機)科學,又是怎麼來的?

今天就讓我們來思考一個有趣的問題:電腦是怎麼來的?

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ENIAC:情人節誕生的奇蹟

普遍認為最早的通用電腦,是美國賓州大學的莫奇來 (Mauchly)和他的學生埃克特 (Eckert)在 1946 年 2 月 14 日情人節當天所發表的「ENIAC」 。(情人節剛過不久但別再討論單身魯了,人家可是在情人節顛覆世界呢 XD)

ENIAC 計算機在進行每一次運算之前,都須根據運算要求、把不同的元件用人工插接線路的方式連接在一起。將輸入裝置和輸出裝置設好後,才進行通電……啪!一聲,電腦噠噠噠的開始運作。

但現在可能正用電腦看這篇文章的你,好像不需要在開機前把電線插來插去才能使用?

因為這個電路沒有儲存程式的功能。最早的計算機器僅內涵固定用途的程式,比如一台「計算機器」僅有固定的數學計算程式,除此之外便無其他,無論是文書處理或玩遊戲都不行。若想要改變這台機器的程式,你必須更改線路、結構甚至重新設計機器。

馮.紐曼結構與現代電腦

1945 年 6 月,是現代電腦科學的里程碑。著名的美籍猶太裔數學家馮.紐曼 (John von Neumann) 與多位學者聯名發表了一篇長達 101 頁的報告,其中包括大膽捨棄了十進制、改以二進制運算取代,同時將電腦明確分成五個部分組成(包括:記憶體、控制單元、算術邏輯單元、輸入 / 輸出裝置等),並描述了這五個部分的功能和相互關係,為電腦的邏輯結構設計奠定了基礎。

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事實上,EDVAC 報告中最核心的概念即是「可儲存程式的電腦 (Stored Program Computer) 」。如果是一台能儲存程式的電腦,只要一開始先將「文書程式」與「遊戲程式」都載入記憶體中,再告訴電腦去記憶體的哪一個位置開始執行就可以完成,在不需更動硬體的情況下就能讓電腦變得更加有彈性。

1951 年,美國軍方透過馮.紐曼的協助,斥資五十萬美元打造了計算機「EDVAC」。相較於十進位、又須人工插接電路的 ENIAC,可以說 EDVAC 是第一台現代意義的通用計算機,直至今的現代電腦皆仍採用馮.紐曼架構。

在我們介紹馮.紐曼其人其事、與現代電腦的運作原理前,先讓我們重看一次標題所提出的問題:「電腦是怎麼來的?」為什麼馮.紐曼能夠造出這樣的一台電腦?

不少人把馮.紐曼當作是電腦科學的奠基人,有人甚至稱他為「電腦之父」。然而他本人並不接受這個稱號。

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馮.紐曼認為他的研究成果是受到了英國數學家圖靈 (Alan Turing) 所啟發,他僅僅是發揚光大圖靈的原始概念。這台「可儲存程式電腦」真正的意義,其實就是通用圖靈機。馮.紐曼將這個概念的創始人公正無私地還予圖靈。

圖靈:可計算理論與圖靈機

好吧這麼來看,如果我們想要瞭解「電腦是怎麼來的?」,勢必得再先去瞭解圖靈這位同樣有著「電腦科學之父」與「人工智慧之父」之稱的偉大學者,與其圖靈機 (Turing Machine) 的理論了。

1934 年,年僅 22 歲的圖靈從劍橋大學畢業、到美國普林斯頓大學攻讀博士學位。二戰爆發後,圖靈在 1939 年被英國皇家海軍招聘,協助軍方成功破譯德國的密碼系統 Enigma,讓英國軍方對德國的軍事計劃瞭如指掌。圖靈小組的傑出工作,更使得盟軍提前至少兩年戰勝納粹。

--上述是電影《模仿遊戲》的史料。對於圖靈生平有興趣的讀者,可以參考這部向圖靈致敬的電影。 (只是嚴防許多出錯的史實)

除了作為一位傑出的密碼學家,在電影沒詳述的部分中,圖靈在電腦科學上的貢獻更是難以抹滅。

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1936 年,24 歲的圖靈發表了一篇論文《論可計算數及其在判定問題上的應用》(On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem)。在這篇極富開創性的論文中,圖靈提出了「圖靈機」(Turing Machine) 概念。

「圖靈機」不是一台具體的機器,而是一種運算模型,可製造一種十分簡單但運算能力極強的機械裝置,用來計算所有能想像得到的可計算函數。

圖靈機是闡明現代電腦原理的開山之作,奠定了整個電腦科學的理論基礎。如果說馮紐曼是實際打造出一台現代電腦的電腦之父,其所依據的理論基礎即源自於圖靈機。

但,什麼叫可計算?為什麼圖靈會探討這個問題?實際上,上述關於圖靈論文與圖靈機的介紹,更明確的說法應是:圖靈在 1936 年發布的論文中,對於「哥德爾不完備定理」重新做了論述。相較於哥德爾在證明其不完備定理時、採用的通用算術形式系統,圖靈使用了叫做「圖靈機」的簡單裝置作為代替。

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咦,我們這邊又多提到一個人了?!哥德爾……?

哥德爾不完備定理

哥德爾 (Gödel) 被譽為自亞里士多德以來、歷史上最偉大的邏輯學家之一。毫不誇張地說,正是哥德爾使數理邏輯與哲學界發生了極大的革命。

愛因斯坦曾說:我之所以還到研究院來,只是為了與哥德爾一起走路回家。

1931 年,19 歲的圖靈進入劍橋大學就讀;但這一年,同時成了撼動數學界的里程碑——奧地利數學家哥德爾提出不完備定理,證明不存在既完備又一致的數學體系,粉碎了無數位數學家追求聖杯的野心。

人類總是渴求著確定的知識,也稱為真理——藉由純數理論與邏輯證明,數學家不斷尋找著真理的可確定性。

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哥德爾當年的發現,簡單來說是:「並非所有為真者,皆可循一邏輯演繹過程而得知」。再更直白點就是:「真理的範圍、比我們所能證明的範圍還大。」

數學家乃藉由公理(不證自明、理所當然為真的命題)進行一連串的推理、最後得出數學定理;基本上是活在一個以邏輯演繹為本質的世界。今天突然有人成功證明了:有些數學命題,我們既沒辦法證明它為真,也沒辦法證明它為假……,可想而知,這對於數學界無非是一項沈重的打擊!

五年後的圖靈之所以提出「圖靈機」計算模型,即是以計算機的形式重新演繹了哥德爾的不完備定理,同時補充了判定問題--是否存在一個程式,能判斷:我們任意輸入的一個程式,是否能在有限的時間內結束步驟?或者會陷入無窮迴圈?(當我們對電腦下兩個指令:【往左後往右】與【往右後往左】,電腦就會陷入無窮的迴圈)

哥德爾的發現,引起了當時重要數學家如希爾伯特與馮.紐曼(還記得這個人嗎? 這位計算機之父早年是希爾伯特的助手)等人的重視。到後來不但啟發了後續眾多數學家、哲學家:若無法使用邏輯演繹完全瞭解宇宙,該何以為繼?更激起圖靈創造出了電腦科學在理論上的濫觴。

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但是,為什麼哥德爾會探討這樣的問題呢?因為有人下了戰帖!

誰?就是上上句我們提到的大數學家希爾伯特!

希爾伯特的 23 個問題

希爾伯特 (David Hilbert) 是二十世紀初期德國最偉大的數學家之一。

在世紀之交的 1900 年、一場巴黎國際數學家大會的演講當中,希爾伯特根據 19 世紀的研究成果和發展趨勢,以卓越的洞察力提出了 23 個當時尚未被解開的困難數學問題,並鼓舞年輕數學家積極攻克:

「在我們中間,常常聽到這樣的呼聲:這裡有一個數學問題,去找出它的答案!你能通過純思維找到它,因為在數學中沒有不可知。」(希爾伯特大大按曰:只要解出來就能名留青史噢!)

這就是著名的希爾伯特的 23 個問題。

希爾伯特的 23 個問題對 20 世紀的數學研究起了積極的作用,不但超乎希爾伯特的預期,更未曾預料到從其中衍生而出的電腦科學、將會對世界產生無比重大的影響。

而哥德爾之所以提出不完備定理,想解答的正是這 23 個問題中的第二個問題:算術公理系統的無矛盾性。簡單來說,希爾伯特希望能以一個完美的形式系統,成功證明所有的真理、同時找出所有矛盾的陳述。

在這個問題上,希爾伯特原先堅定地表示:「沒有人能將我們逐出康托爾的樂園。」不僅僅是第二個問題,希爾伯特在 23 個問題中所提出(顯然最在意)的第一個問題連續統假設,也是康托爾的研究中所面臨問題。

康托爾……?請放心,這會是本篇文章中所出現的最後一位人名了。

無限多的危機:康托爾集合論

到目前為止,我們已經使用了許多強烈的形容詞,包括:電腦科學之父、偉大的邏輯學家、數學家……。但在這些學者的研究基礎上,我們不能不提現代數學的奠基者——集合論之父康托爾 (Cantor) 。

令集合 A = {1, 2, 3, 4, 5 },B = {1, 3, 5, 7, 9}
則 1, 3, 5 同時為集合 A 和 B 的元素,且 A 集合和 B 集合的大小相等。

康托爾可以說是數學史上最富有想像力的數學家之一,其所開創的集合論則可以說是人類最偉大發明之一--當年康托爾面臨的,正是數學界幾百年幾千年的疑懼:「無限」。

1-1+1-1+1… = 0, 1 還是 1/2? 0.99999….. = 1?還是 <1?

無限有多大?正整數、整數 (正整數 / 負整數 / 0)、實數(有理數 / 無理數) ……等數系的數量相同嗎?

Z+: ∞ (正整數有無限多個), Z-: ∞ (負整數有無限多個), Z: ∞ (整數有無限多個)。
因此: ∞ = 2∞+1 (所有整數個數 = 正整數個數+負整數個數 + 一個 0), 移項得: -∞ = 1,
故: ∞ = -1 …?!

為了處理「無限」這個長久得不到解決的難題,康托爾在 19 世紀下半葉創立了「集合」理論,證明了各個數系雖然是都是無限多,還是有數量上的差別:

| 正整數 | = | 整數 | = | 有理數 | < | 無理數 | = | 實數 | = | 複數 |

無限多的正整數數量 = 無限多的整數數量 = 無限多的有理數數量 < 無限多的無理數數量 = 無限多的實數數量 = 無限多的複數數量

然而集合論實在太過創新、對於無限的解釋也背離了傳統,剛開始時康托爾受到了嚴厲的譴責與撻伐。

但隨後,許多年輕的數學家開始意識到集合論非常的有用--基於自然數 (正整數)與集合論,當時一切的數學成果都可以成功被推證出來。

1900 年在國際數學家大會上,法國數學家龐加萊興高采烈地宣稱:「藉助集合論,我們可以建造起整個數學大廈。」1925 年,希爾伯特也提出了「希爾伯特旅館悖論」來應和康托爾的理論。

然而康托爾集合論仍然面臨了許多問題。首先是連續統假設--我們已知:

| 正整數 | = | 整數 | = | 有理數 | < | 無理數 | = | 實數 | = | 複數 |
那麼還有沒有一個數系,介於此二者間呢?

始終證明不出問題、又受到世人無數攻訐的康托爾,晚年發了瘋、死在精神病院中。

但除此之外,集合論還有一個問題是羅素悖論:「這句話是假的。」讀者只要稍加推論就會發現:如果這句話是真的,那麼這句話是假的會成立……?!如果這句話是假的,那這句話就是真的……?! 這個命題就矛盾了。

羅素悖論應用在集合論的問題即是:如果我們創造一個集合 A,裡面收集了所有不包含在自己這個集合的集合:A = {x|x∉x}。若是 A∈A 成立,則 A 是 A 的集合、使得 A∉A。但若 A∉A,則符合命題,使得 A∈A。

好不容易我們在集合論的基礎上構築起了數學大廈,結果發現集合論也是不完美的。究竟能不能找到一個完備的系統,從上面建築起整個數學的基礎呢?

這樣的系統是否存在呢?希爾伯特除了在 23 個問題中的第一個問題提出「連續統假設」,身為康托爾堅定的擁護者(腦粉),也在第二個問題中提了這樣的難題。

這也接續到我們先前的介紹:再後來哥德爾成功證明了不完備定理、解決了 23 個問題中的第二個問題,到圖靈用「圖靈機」的概念更加簡單明瞭的重新演繹一次哥德爾不完備定理,最後馮.紐曼基於通用圖靈機的概念、建出了第一台具備現代電腦架構雛形的電腦。

哇!「電腦是怎麼來的」居然爬梳出這麼多的問題?

哲學:不懈探究真理的精神

若要探究下去,你知道:康托爾、希爾伯特、哥德爾、馮.紐曼…等人都是德國人嗎(哥德爾和馮.紐曼皆為奧匈帝國人)?19 世紀的德國究竟是一個什麼樣的時代,造就了如此多的數學大家?

事實上,你知道這些數學家同時還有著哲學家的頭銜嗎?更進一步來說,19 世紀知名德國哲學家,尚包括了:黑格爾、叔本華、馬克思、尼采、康德… 毫無疑問地,當時的德國可說是歐洲最具代表性的哲學重鎮。

哲學反映了人類對真理的追求,體現人類的智能與認知極限。因而數學的發展不只是解一些生活問題,而成為一種學問、一種探求真理的道路與哲學手段。

哲學在西方文化中扮演了非常重要的角色,也是現代科學會出現在歐洲的重要原因。至於西方哲學追求真理的精神,又是起源於何時何處呢?這又要回溯到希臘時期,比如亞里斯多德的三段式證法或畢達哥拉斯學派……。

觀察過往,出現像上述「無限有多大」這樣的數學危機,在人類史上也不是第一次發生了:負數的英文為--Negative Number、無理數--Irrational Number、虛數--Imaginary Number。否定的 (Negative)、不合理的 (Irrational)、想像的 (Imaginary)……。

從這些詞彙中可以看出在探究真理的過程中,人類總是不斷遭遇思想上的困難,卻又能在突破後、成功踏上嶄新的道路。 今天我們思考了一個問題:「電腦是怎麼來的?」,並從中衍生出了更多值得探索的問題:

.數學是邏輯、也是哲學?
.歷史上其他的數學危機有哪些、又是如何被解決的?
.希臘亞里斯多德時代至一戰前的德國,哲學是如何百花齊放?
.無限有多大?
.悲劇性的數學家康托爾為什麼偉大?
.希爾伯特的 23 個問題?
.我們能造出一台判別真理的機器嗎?
.哥德爾不完備定理是什麼?圖靈機呢?
.計算機的電路是怎麼計算和記憶的?

沒有了探求宇宙真理的精神,或許工業革命就不會出現在歐洲了? 人類也不會有科技發展、或者今日的生活。

少年啊,你渴望真理嗎?

後續幾篇,我們會繼續用深入淺出的方式一一來討論這些問題,歡迎一起加入這樣的思考訓練吧!


本文轉載自寫點科普,請給指教。 《電腦是怎麼來的?(思考訓練)》,歡迎贊助和訂閱Lynn的網站喔。

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我是Lynn,【寫點科普,請給指教】是一個針對各產業現況進行科普的寫作計畫, 期望能用淺顯易懂的文字,讓讀者瞭解各產業領域的運行規則,以培養思考與觀察力的敏銳。

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人體吸收新突破:SEDDS 的魔力
鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2024/05/03 ・1194字 ・閱讀時間約 2 分鐘

本文由 紐崔萊 委託,泛科學企劃執行。 

營養品的吸收率如何?

藥物和營養補充品,似乎每天都在我們的生活中扮演著越來越重要的角色。但你有沒有想過,這些關鍵分子,可能無法全部被人體吸收?那該怎麼辦呢?答案或許就在於吸收率!讓我們一起來揭開這個謎團吧!

你吃下去的營養品,可以有效地被吸收嗎?圖/envato

當我們吞下一顆膠囊時,這個小小的丸子就開始了一場奇妙的旅程。從口進入消化道,與胃液混合,然後被推送到小腸,最後透過腸道被吸收進入血液。這個過程看似簡單,但其實充滿了挑戰。

首先,我們要面對的挑戰是藥物的溶解度。有些成分很難在水中溶解,這意味著它們在進入人體後可能無法被有效吸收。特別是對於脂溶性成分,它們需要透過油脂的介入才能被吸收,而這個過程相對複雜,吸收率也較低。

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你有聽過「藥物遞送系統」嗎?

為了解決這個問題,科學家們開發了許多藥物遞送系統,其中最引人注目的就是自乳化藥物遞送系統(Self-Emulsifying Drug Delivery Systems,簡稱 SEDDS),也被稱作吸收提升科技。這項科技的核心概念是利用遞送系統中的油脂、界面活性劑和輔助界面活性劑,讓藥物與營養補充品一進到腸道,就形成微細的乳糜微粒,從而提高藥物的吸收率。

自乳化藥物遞送系統,也被稱作吸收提升科技。 圖/envato

還有一點,這些經過 SEDDS 科技處理過的脂溶性藥物,在腸道中形成乳糜微粒之後,會經由腸道的淋巴系統吸收,因此可以繞過肝臟的首渡效應,減少損耗,同時保留了更多的藥物活性。這使得原本難以吸收的藥物,如用於愛滋病或新冠病毒療程的抗反轉錄病毒藥利托那韋(Ritonavir),以及緩解心絞痛的硝苯地平(Nifedipine),能夠更有效地發揮作用。

除了在藥物治療中的應用,SEDDS 科技還廣泛運用於營養補充品領域。許多脂溶性營養素,如維生素 A、D、E、K 和魚油中的 EPA、DHA,都可以通過 SEDDS 科技提高其吸收效率,從而更好地滿足人體的營養需求。

隨著科技的進步,藥品能打破過往的限制,發揮更大的療效,也就相當於有更高的 CP 值。SEDDS 科技的出現,便是增加藥物和營養補充品吸收率的解決方案之一。未來,隨著科學科技的不斷進步,相信會有更多藥物遞送系統 DDS(Drug Delivery System)問世,為人類健康帶來更多的好處。

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民眾黨是未來台灣政治的樞紐?
林澤民_96
・2024/01/30 ・3382字 ・閱讀時間約 7 分鐘

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一、前言

選後的立法院三黨不過半,但民眾黨有八席不分區立委,足以與民進黨或國民黨結成多數聯盟,勢將在國會居於樞紐地位。無獨有偶的是:民眾黨主席柯文哲在總統大選得到 26.5% 的選票,屈居第三,但因其獲得部分藍、綠選民的支持,在選民偏好順序組態的基礎上,它卻也同樣地居於樞紐地位。這個地位,將足以讓柯文哲及民眾黨在選後的台灣政壇持續激盪。

二、柯文哲是「孔多塞贏家」?

這次總統大選,誰能脫穎而出並不是一個特別令人殷盼的問題,更值得關心的問題是藍白綠「三跤㧣」在選民偏好順序組態中的消長。台灣總統大選採多數決選制,多數決選制英文叫 first-past-the-post(FPTP),簡單來講就是票多的贏,票少的輸。在 10 月中藍白合破局之後,賴蕭配會贏已經沒有懸念,但這只是選制定規之下的結果,換了另一個選制,同樣的選情可能就會險象環生。

從另一個角度想:選制是人為的,而選情反映的是社會現實。政治學者都知道天下沒有十全十美的選制;既定的選制推出了一位總統,並不代表選情的張力就會成為過眼雲煙。當三股社會勢力在制度的帷幕後繼續激盪,台灣政治將無法因新總統的誕生而趨於穩定。

圖/作者自製

如果在「三跤㧣」選舉之下,選情的激盪從候選人的得票多少看不出來,那要從哪裡看?政治學提供的一個方法是把候選人配對 PK,看是否有一位候選人能在所有的 PK 中取勝。這樣的候選人並不一定存在,如果不存在,那代表有 A 與 B 配對 A 勝,B 與 C 配對 B 勝,C 與 A 配對 C 勝的 A>B>C>A 的情形。這種情形,一般叫做「循環多數」(cyclical majorities),是 18 世紀法國學者孔多塞(Nicolas de Condorcet)首先提出。循環多數的存在意涵選舉結果隱藏了政治動盪。

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另一方面,如果有一位候選人能在配對 PK 時擊敗所有的其他候選人,這樣的候選人稱作「孔多塞贏家」(Condorcet winner),而在配對 PK 時均被擊敗的候選人則稱作「孔多塞輸家」(Condorcet loser)。三角嘟的選舉若無循環多數,則一定會有孔多塞贏家和孔多塞輸家,然而孔多塞贏家不一定即是多數決選制中贏得選舉的候選人,而多數決選制中贏得選舉的候選人卻可能是孔多塞輸家。

如果多數決選制中贏得選舉的候選人不是孔多塞贏家,那與循環多數一樣,意涵選後政治將不會穩定。

那麼,台灣這次總統大選,有沒有孔多塞贏家?如果有,是多數決選制之下當選的賴清德嗎?我根據戴立安先生調查規劃的《美麗島電子報》追蹤民調第 109 波(1 月 11 日至 12 日),也是選前最後民調的估計,得到的結果令人驚訝:得票墊後的柯文哲很可能是孔多塞贏家,而得票最多的賴清德很可能是孔多塞輸家。果然如此,那白色力量將會持續地激盪台灣政治!

我之前根據美麗島封關前第 101 波估計,侯友宜可能是孔多塞贏家,而賴清德是孔多塞輸家。現在得到不同的結果,顯示了封關期間的三股政治力量的消長。本來藍營期望的棄保不但沒有發生,而且柯文哲選前之夜在凱道浩大的造勢活動,還震驚了藍綠陣營。民調樣本估計出的孔多塞贏家本來就不準確,但短期內的改變,很可能反映了選情的激盪,甚至可能反映了循環多數的存在。

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三、如何從民調樣本估計孔多塞贏家

根據這波民調,總樣本 N=1001 位受訪者中,如果當時投票,會支持賴清德的受訪者共 355 人,佔 35.4%;支持侯友宜的受訪者共 247 人,佔 24.7%。支持柯文哲的受訪者共 200 人,佔 19.9%。

美麗島民調續問「最不希望誰當總統,也絕對不會投給他的候選人」,在會投票給三組候選人的 802 位支持者中,一共有 572 位對這個問題給予了明確的回答。《美麗島電子報》在其網站提供了交叉表如圖:

根據這個交叉表,我們可以估計每一位明確回答了續問的受訪者對三組候選人的偏好順序,然後再依這 572 人的偏好順序組態來判定在兩兩 PK 的情形下,候選人之間的輸贏如何。我得到的結果是:

  • 柯文哲 PK 賴清德:311 > 261(54.4% v. 45.6%)
  • 柯文哲 PK 侯友宜:287 > 285(50.2% v. 49.8%)
  • 侯友宜 PK 賴清德:293 > 279(51.2% v. 48.8%)

所以柯文哲是孔多塞贏家,賴清德是孔多塞輸家。當然我們如果考慮抽樣誤差(4.1%),除了柯文哲勝出賴清德具有統計顯著性之外,其他兩組配對可說難分難解。但在這 N=572 的小樣本中,三位候選人的得票率分別是:賴清德 40%,侯友宜 33%,柯文哲 27%,與選舉實際結果幾乎一模一樣。至少在這個反映了選舉結果的樣本中,柯文哲是孔多塞贏家。依多數決選制,孔多塞輸家賴清德當選。

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不過以上的分析有一個問題:各陣營的支持者中,有不少人無法明確回答「最不希望看到誰當總統,也絕對不會投給他做總統」的候選人。最嚴重的是賴清德的支持者,其「無反應率」(nonresponse rate)高達 34.5%。相對而言,侯友宜、柯文哲的支持者則分別只有 24.1%、23.8% 無法明確回答。為什麼賴的支持者有較多人無法指認最討厭的候選人?一個假設是因為藍、白性質相近,對許多綠營選民而言,其候選人的討厭程度可能難分軒輊。反過來說,藍、白陣營的選民大多數會最討厭綠營候選人,因此指認較無困難。無論如何,把無法明確回答偏好順序的受訪者歸為「遺失值」(missing value)而棄置不用總不是很恰當的做法,在這裡尤其可能會造成賴清德支持者數目的低估。

補救的辦法之一是在「無法明確回答等於無法區別」的假設下,把「遺失值」平分給投票對象之外的其他兩位候選人,也就是假設他們各有 1/2 的機會是無反應受訪者最討厭的候選人。這樣處理的結果,得到

  • 柯文哲 PK 賴清德:389 > 413(48.5% v. 51.5%)
  • 柯文哲 PK 侯友宜:396 > 406(49.4% v. 50.6%)
  • 侯友宜 PK 賴清德:376 > 426(46.9% v. 53.1%)

此時賴清德是孔多塞贏家,而柯文哲是孔多塞輸家。在這 N=802 的樣本中,三位候選人的得票率分別是:賴清德 44%,侯友宜 31%,柯文哲 25%。雖然依多數決選制,孔多塞贏家賴清德當選,但賴的得票率超過實際選舉結果(40%)。用無實證的假設來填補遺失值,反而造成賴清德支持者數目的高估。

如果擔心「無法明確回答等於無法區別」的假設太勉強,補救的辦法之二是把「遺失值」依有反應受訪者選擇最討厭對象的同樣比例,分給投票對象之外的其他兩位候選人。這樣處理的結果,得到

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  • 柯文哲 PK 賴清德:409 > 393(51.0% v. 49.0%)
  • 柯文哲 PK 侯友宜:407 > 395(50.8% v. 49.2%)
  • 侯友宜 PK 賴清德:417 > 385(52.0% v. 48.0%)

此時柯文哲又是孔多塞贏家,而賴清德又是孔多塞輸家了。這個樣本也是 N=802,三位候選人的得票率分別是:賴清德 44%,侯友宜 31%,柯文哲 25%,與上面的結果一樣。

以上三種無反應處理方法都不盡完美。第一種把無反應直接當遺失值丟棄,看似最不可取。然而縮小的樣本裡,三位候選人的支持度與實際選舉結果幾乎完全一致。後兩種以不同的假設補足了遺失值,但卻過度膨脹了賴清德的支持度。如果以樣本中候選人支持度與實際結果的比較來判斷遺失值處理方法的效度,我們不能排斥第一種方法及其結果。

無論如何,在缺乏完全資訊的情況下,我們發現的確有可能多數決輸家柯文哲是孔多塞贏家,而多數決贏家賴清德是孔多塞輸家。因為配對 PK 結果缺乏統計顯著性,我們甚至不能排除循環多數的存在。此後四年,多數決選制產生的總統能否在三角嘟力量的激盪下有效維持政治穩定,值得我們持續觀察。

四、結語

柯文哲之所以可以是孔多塞贏家,是因為藍綠選民傾向於最不希望對方的候選人當總統。而白營的中間偏藍位置,讓柯文哲與賴清德 PK 時,能夠得到大多數藍營選民的奧援而勝出。同樣的,當他與侯友宜 PK 時,他也能夠得到一部份綠營選民的奧援。只要他的支持者足夠,他也能夠勝出。反過來看,當賴清德與侯友宜 PK 時,除非他的基本盤夠大,否則從白營得到的奧援不一定足夠讓他勝出。民調 N=572 的樣本中,賴清德得 40%,侯友宜得 33%,柯文哲得 27%。由於柯的支持者討厭賴清德(52.5%)遠遠超過討厭侯友宜(23.7%),賴雖然基本盤較大,能夠從白營得到的奧援卻不多。而侯雖基本盤較小,卻有足夠的奧援。柯文哲之所以成為孔多塞贏家,賴清德之所以成為孔多塞輸家,都是這些因素的數學結果。

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林澤民_96
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台大電機系畢業,美國明尼蘇達大學政治學博士, 現任教於美國德州大學奧斯汀校區政府系。 林教授每年均參與中央研究院政治學研究所及政大選研中心 「政治學計量方法研習營」(Institute for Political Methodology)的教學工作, 並每兩年5-6月在台大政治系開授「理性行為分析專論」密集課程。 林教授的中文部落格多為文學、藝術、政治、社會、及文化評論。

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數學無聊是誰的錯?數學家其實很幽默?——《數盲、詐騙與偽科學》
大牌出版.出版大牌_96
・2024/01/08 ・2441字 ・閱讀時間約 5 分鐘

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雖然很少有學生小學畢業後還不懂乘法表,但有很多人確實不會算,如果一個人開車的速度是每小時 56 公里,開了 4 小時之後,他就開了 224 公里。要是每公克花生賣 40 美分,而 1 袋花生賣 2.2 美元,那麼,這袋花生裡就有 5.5 公克花生。假如全世界人口中有 1/4 是中國人,其餘的 1/5 是印度人,那麼,印度人在全世界的人口中就占了 3/20,或說是 15%。當然,要理解這些問題,並不像學會算 35×4=140、(2.2)/(0.4)=5.5、1/5×(1–1/4)=3/20=0.15=15% 這麼簡單。對很多小學生來說,這不是自然而然就會的東西,要靠做很多很實用、或是純屬想像的問題,才能進一步學會。

至於估計,學校裡除了教一些四捨五入之外,通常也沒有別的了。四捨五入和合理的估計與真實人生大有關係,但課堂上很少串起這樣的連結。學校不會帶著小學生估計學校砌一面牆要用掉多少塊磚、班上跑最快的人速度多快、班上同學爸爸是禿頭的比例多高、一個人的頭圍與身高之比是多少、要堆出一座高度和帝國大廈等高的塔需要幾枚 5 美分硬幣,還有他們的教室能否容納這些 5 美分硬幣。

幾乎也沒人教歸納推理,也不會用猜測相關性質和規則的角度,來研究數學現象。在小學數學課裡談到非形式邏輯(informal logic)的機率,就跟講到冰島傳說一樣高。當然,也不會有人提到難題、遊戲和謎語。我相信,這是因為很多時候,聰明的 10 歲小孩輕輕鬆鬆就能打敗老師。

數學科普作家葛登能最不遺餘力探索數學和這些遊戲之間的密切關係。他寫了很多極有吸引力的書,也在《科學美國人》撰寫專欄,而這些都是會讓高中生或大學生感到很刺激的課外讀物(前提是有人指定他們去讀的話)。此外,數學家喬治.波利亞(George Polya)的《怎樣解題》(How to Solve It)和《數學與合情判讀》(Mathematics and Plausible Reasoning),或許也屬於這一類。有一本帶有這些人的文風、但屬於較初階的有趣好書,是瑪瑞琳.伯恩斯(Marilyn Burns)所寫的《我恨數學》(The I Hate Mathematics! Book),書裡有很多啟發性的提示,帶領讀者解題與發想各種奇思異想,是小學數學課本裡罕見的內容。

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圖/envato

有太多教科書仍列出太多人名和術語,就算有說明解析,也很少。比方說,教科書上會說加法是一種結合律運算(associative operation),因為(a + b)+ c=a +(b + c)。但很少人會提到非結合律運算,因此,充其量來說,結合律運算的定義是畫蛇添足。不管是結合律或非結合律,你知道了這些資訊之後要怎麼應用?書上還會介紹到其他術語,但除了用粗體字印在書頁中間的小框框裡,看起來很了不起之外,也沒什麼值得提的理由。這些術語滿足了很多人認為,知識就好比一門普通植物學,每種學問都可以在體系中,找到自己的類別和位置。相比之下,把數學當成有用的工具、思維方式或是獲得樂趣的途徑,在多數小學教育課綱中都是很陌生的概念(即使教科書內容不錯也一樣)。

或許有人會認為,在小學階段,可以用電腦軟體,來幫助學生掌握基本的算數原理及相關應用(應用題、估計等等)。可惜的是,目前可用的程式通常是從教科書上擷取無趣的例行練習,轉化成電腦螢幕版本而已。我不知道有任何軟體可用整合、一致且有效的方法,來教算術與解題應用。

小學階段的數學教學品質普遍不佳,最終必會有人怪罪於老師能力不足,而且對數學沒什麼興趣、或不懂欣賞數學。我認為,這當中有一部分又要歸咎於大專院校的師資培養課程中,很少或根本不強調數學。以我自己的教學經驗來說,我教過的學生中,表現最差的是中學生,而不是大學主修數學的學生。準小學老師的數學背景也很糟,很多時候甚至根本沒有相關的數學教學經歷。

而每所小學聘用一、兩位數學專才,在學校裡每天分別到不同班級輔導(或教授)數學,或許可以解決部分問題。有時我認為,如果大學數學教授和小學老師每年可以交換個幾星期,會是個好方法。同樣的,把主修數學的大學生和研究生交到小學老師手裡,不會造成傷害(事實上,後者或許能從前者身上學到一些東西)。而三、四、五年級的小學生則可以在完全適任的老師教導下,接觸到數學謎題與遊戲,將可大大獲益。

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圖/envato

稍微打個岔,謎題與數學之間很有關係,而且相關性會一直延續到大學與研究階段的數學。當然,把謎題換成幽默也通。我在《數學與幽默》(Mathematics and Humor)書中試著說明,數學和幽默都是某種益智遊戲,與猜謎、解題、遊戲和悖論多有共通之處。

數學和幽默都是把概念組合、拆開再拼回來,然後從中得到樂趣。慣用的手法包括並列、歸納、迭代和倒向(比方說「aixelsyd」就是把「dyslexia」﹝閱讀障礙﹞的字序倒過來)。那麼,如果我放寬這個條件,但緊縮另一個條件會怎樣?某一個領域的概念(像是綁辮子),和另一個看來完全不同領域的概念(如某些幾何圖形的對稱性)有什麼共通點?當然,即便不是數盲,可能也不熟悉數學這個面向,因為你必須要先具備一定程度的數學概念,才可以拿來耍弄。其他像獨創性、不協調感以及精簡的表達,對於數學和幽默來說也都同樣重要。

可能有人說過,因為所受訓練之故,數學家有一種特殊的幽默感。他們往往會接受字面意義,但字面上的解讀又常和標準用法的意義不同,因此很好笑。比方說,哪種運動比賽時要蓋臉?答案是,冰上曲棍球以及痲瘋病人拳擊(按:原文「Which two sports have face-offs」,「face-off」其中一個字面意義為「蓋臉」,而這也是冰上曲棍球常用的術語,意指「爭奪球權」)。他們也很沉溺於歸謬法(reductio ad absurdum),或設定極端前提條件然後做邏輯演練,以及各式各樣的字組遊戲。

如果可以透過小學、中學或大學階段的正式數學教育,或是非正式的數學科普書籍,傳達數學有趣的面向。我認為,數盲就不會像現在這麼普遍。

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——本書摘自《數盲、詐騙與偽科學》,2023 年 11 月,大牌出版,未經同意請勿轉載。

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大牌出版.出版大牌_96
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