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公設化集合論的奧秘 (7)為何能比無限大還大?

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文 / 翁昌黎(《孔恩vs.波普》中文譯者)

「聞眾生界不可思議…聞法界不可思議… 聞虛空界不可思議」—大方廣佛華嚴經

如果沒有偉大而極富想像力的數學家康托,那我們迄今為止可能還以為無限大或無窮大就是最大的集合,而且它只有一種型態,就是從1、2、3、4、5一直往下數直到無窮無盡的龐大集合。但令人疑惑的是,所有自然數的集合既然都已經是無限大了,難道還能比它更大?不錯,康托在西元1874年不但找出這個更大的集合,而且還證明了它!

要理解這個比無限大還大的神奇之物,那就要請出ZF集合論的第7個公設—冪集合公設(Axiom of Power Set):

ZF7  X ∃Y ∀z  [z ∈ Y ∀ u (u∈z u X)]

這個公設看起來有點複雜,但我們如果引入一個關於子集合(subset)的定義就能讓問題簡化許多。以上句式中的 z X 的子集,寫成 zX ,它的定義是:∀ u (u∈z → u∈ X),恰好就是冪集合公設的後半部分。我們先按以上定義把冪集合公設改寫成比較簡單的形式:

ZF7 (1) X ∃Y ∀z  [z ∈ Y z X]

經過上面的簡化之後,冪集合公設的意思是:如果我們手頭上已經有某個 X 集合,那麼由 X 集合的所有子集合可以形成另一個新的集合 Y

這個公設讓我們又多了一個製造集合的方法,也就是把手頭上現成集合的子集合全部抓出來,將這些子集合作為元素來形成一個新集合,這就是ZF7所要做的事情。但我們還沒解釋什麼是子集合,根據定義,如果∀ u (u∈z → u∈ X)成立,也就是凡 z 的成員都是 X 的成員的話,那 z 就是 X 的子集合。

我們用個簡單的小集合作例子就容易明白了。假設有個包含1, 2, 3三個自然數的集合當作 X = {1, 2, 3} 。那 X 的子集合是甚麼? 首先 {1, 2, 3 } 是它自己的子集合。因為在這種情況下 z = X ,所以∀ u (u∈ X → u∈ X) 顯然成立,這就相當於說在 X 裡邊的元素必定在 X 裡邊一樣的廢話。進一步觀察發現,將 X= { 1, 2, 3 } 中的成員拿掉幾個,殘留的集合都是 X 的子集合,比如說 {1}、{1, 2}和 {2, 3}等都是。將這些子集合全部蒐集起來登記在 Y 底下所形成的集合就是 X 的冪集合。在以上 X= {1, 2, 3}的例子裡:

Y = { {1, 2, 3}, {1, 2}, {2, 3}, {1, 3}, {1}, {2}, {3}, {  } }

細心的讀者會發現裡面有個空集合,為了邏輯與數學上的嚴密性有必要解釋一下為什麼空集合也是 X 的子集合,但這麼重要的關鍵在許多數學課本裡卻提都不提。

剛剛談到 z X 的子集合是用∀u (u∈z → u∈ X) 來定義,那我們就把空集合 {  } 放到定義中看看符不符合子集合的規定。那就是要看 ∀ u (u∈{  } → u∈ {1, 2, 3})是否為真? 因為{  }中空空如也什麼都沒有,所以條件句u∈{  } → u∈ {1, 2, 3} 的前件u∈{  }對任何 u 來說都為假,因為不存在任何集合能滿足這個條件。因此根據實質涵蘊 → 的定義,前件為假則整個條件句為真,所以∀ u  (u∈ {  } → u∈ {1, 2, 3}) 為真。既然空集合滿足子集合成立的條件,所以我們可以安心地將其納入冪集合的成員裡頭。

好了,現在我們有了製造冪集合的方法,但要它有何用呢? 它有什麼神妙之處? 粗略觀察可以發現冪集合的成員數比原來集合的成員數還多一些,X 集合有3個成員而它的羃集合 Y 有8個成員。那麼如果我們拿剛剛被無限公設所承認的,包含所有自然數的集合來製造冪集合的話會發生什麼事呢?

在有限集合的情況下,冪集合 Y 的成員數鐵定比原來集合 X 的成員數還多。直覺似乎告訴我們既然所有自然數所形成的集合其成員數量已經是無限大那麼它的冪集合成員數量頂多也是無限大,因為不可能有比無限大更大的數量了。照理說兩者的成員數目應該一樣多才對,照這麼說的話那麼ZF7並沒有提供比ZF6更新鮮的東西。

但在羅素詭論的歷史教訓下,我們在數學領域還是對直覺適度存疑比較妥當。還是按照這個假設來做個實驗,看看 X 集合的冪集合 Y 所擁有的成員數目是否跟 X 集合一樣多。方法是這樣的:假設 Y 的成員和自然數的無限集合一樣多,那它的每個成員必然可以跟自然數對上號,那表示我們可以把它們 ( X 所有的子集合) 用S1, S2, S3,…, Sn,… 來編號排列,其中每個Sk (k=1, 2, 3…)都是 X 的子集合。可以用下表來說明:

未命名

現在來解釋一下這個表的意義。因為我們是把整個自然數集合拿來選取子集合,所以凡是被選進某個子集合的自然數就打上1,沒選上的就打 0,這樣每個子集合就可以用由 0, 1所形成的無窮序列來表示,每個序列都被標上序號。我們發現將這個子集合序列的對角線連起來會形成一個獨特的0, 1串列,比如在我們以上的例子裡,對角線串列是用紅色數目字表示的 001000101 …。我們利用這個串列來做個改裝,將其中凡是出現 0 的地方都改成1,凡是出現1的地方都改成 0,這樣就得到一個新的串列(上表藍字部分)S = 110111010…。

這個串列S有一個奇妙的特性,那就是它居然不落在無窮序列 Sk(k=1, 2, 3…  ) 裡面!為什麼呢? 仔細觀看S的變化可以發現它的第一個數字與S1 不同,所以S不是S1第二個數字與S2 不同,所以S也不是S2第三個數字與S3 不同…,也就是說S不可能出現在 Sk(k=1, 2, 3…) 這個無窮序列裡。

聰明的你可能會說,沒關係,把這個不合群的S重新放到Sk裡不就得了!反正Sk是個無窮序列,多一個不多,少一個不少,這樣以上的難題就解決了。先別高興太早,當你把這個S放進無窮序列之後,我們依然可以如法泡製,用同樣方法畫出一條新的對角線,然後得出一個新的0, 1串列,再將其中的 0轉成11再轉成0,於是又得到一個新串列S’。新串列S’ 仍然不在新形成的Sk裡,正所謂魔高一尺道高一丈上有政策下有對策,永遠會出現漏網之魚。

但這隻咬破魚網的小魚S意味著什麼呢? 千萬別小看它,它意味著全體自然數的集合還不夠大,自然數的無限集合無法窮盡由它所形成的冪集合,偉大的知識革命就在那條魚出現之處完成了。它意味自然數冪集合的成員數目居然比自然數的數目還要多!這是個革命性的發現,利用神奇的對角線論證,康托證明了存在著比全體自然數集合—所謂的可數無限(countable infinity)集合還要大的不可數無限(uncountable infinity)集合。跟這個發現相比哥倫布所謂的發現新大陸簡直就像扮家家酒。

無限公設ZF6送給我們第一個無限集合,但它只是可數的無限。ZF7帶給我們製造冪集合的方法,把ZF6的無限集合當成原料,利用ZF7這台神奇數學機器居然成功提煉出超乎想像的不可數無限集合,並將我們的數學知識帶到一個前所未有的嶄新世界。

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關於作者

昌黎

中央大學哲學研究所碩士,曾籌劃本土第一場「認知科學與佛教禪修系統」對話之大型研討會,於1995年6月在法光佛教研究所舉行,並發表文章。後隱居紐西蘭,至今已20載。 長年關注「意識轉變狀態的科學」和「意識本質的科學與哲學」問題,曾與大寶法王辯經教授師拿旺桑結堪布成立「大乘佛教禪修研究中心」。其他研究興趣為「唯識學」、「超個人心理學」、「數理邏輯」、「公設化集合論」和「後設數學」等等。