公設化集合論的奧秘(11) 探索神奇的實數尺寸

本文與 威力暘電子 合作，泛科學企劃執行。

想像一下，當你每天啟動汽車時，啟動的不再只是一台車，而是一百台電腦同步運作。但如果這些「電腦」突然集體當機，後果會有多嚴重？方向盤可能瞬間失靈，安全氣囊無法啟動，整台車就像失控的高科技廢鐵。這樣的「系統崩潰」風險並非誇張劇情，而是真實存在於你我日常的駕駛過程中。

今天，我們將深入探討汽車電子系統「逆天改運」的科學奧秘。究竟，汽車的「大腦」—電子控制單元（ECU），是如何從單一功能，暴增至上百個獨立系統？而全球頂尖的工程師們，又為何正傾盡全力，試圖將這些複雜的系統「砍掉重練」、整合優化？

第一顆「汽車大腦」的誕生

時間回到 1980 年代，當時的汽車工程師們面臨一項重要任務：如何把汽油引擎的每一滴燃油都壓榨出最大動力？「省油即省錢」是放諸四海皆準的道理。他們發現，關鍵其實潛藏在一個微小到幾乎難以察覺的瞬間：火星塞的點火時機，也就是「點火正時」。

如果能把點火的精準度控制在「兩毫秒」以內，這大約是你眨眼時間的百分之一到千分之一！引擎效率就能提升整整一成！這不僅意味著車子開起來更順暢，還能直接省下一成的油耗。那麼，要如何跨過這道門檻？答案就是：「電腦」的加入！

工程師們引入了「微控制器」（Microcontroller），你可以把它想像成一顆專注於特定任務的迷你電腦晶片。它能即時讀取引擎轉速、進氣壓力、油門深度、甚至異常爆震等各種感測器的訊號。透過內建的演算法，在千分之一秒、甚至微秒等級的時間內，精準計算出最佳的點火角度，並立刻執行。

從此，引擎的性能表現大躍進，油耗也更漂亮。這正是汽車電子控制單元（ECU）的始祖—專門負責點火的「引擎控制單元」（Engine Control Unit）。

ECU 的失控暴增與甜蜜的負荷

第一顆 ECU 的成功，在 1980 年代後期點燃了工程師們的想像：「這 ECU 這麼好用，其他地方是不是也能用？」於是，ECU 的應用範圍不再僅限於點火，燃油噴射量、怠速穩定性、變速箱換檔平順度、ABS 防鎖死煞車，甚至安全氣囊的引爆時機……各種功能都交給專屬的 ECU 負責 。

然而，問題來了：這麼多「小電腦」，它們之間該如何有效溝通？

為了解決這個問題，1986 年，德國的博世（Bosch）公司推出了一項劃時代的發明：控制器區域網路（CAN Bus）。你可以將它想像成一條專為 ECU 打造的「神經網路」。各個 ECU 只需連接到這條共用的線路上，就能將訊息「廣播」給其他單元。

更重要的是，CAN Bus 還具備「優先通行」機制。例如，煞車指令或安全氣囊引爆訊號這類攸關人命的重要訊息，絕對能搶先通過，避免因資訊堵塞而延誤。儘管 CAN Bus 解決了 ECU 之間的溝通問題，但每顆 ECU 依然需要獨立的電源線、接地線，並連接各種感測器和致動器。結果就是，一輛汽車的電線總長度可能達到 2 到 4 公里，總重量更高達 50 到 60 公斤，等同於憑空多載了一位乘客的重量。

另一方面，大量的 ECU 與錯綜複雜的線路，也讓「電子故障」開始頻繁登上汽車召回原因的榜首。更別提這些密密麻麻的線束，簡直是設計師和維修技師的惡夢。要檢修這些電子故障，無疑讓人一個頭兩個大。

汽車電子革命：從「百腦亂舞」到集中治理

到了2010年代，汽車電子架構迎來一場大改革，「分區架構（Zonal Architecture）」搭配「中央高效能運算（HPC）」逐漸成為主流。簡單來說，這就像在車內建立「地方政府＋中央政府」的管理系統。

可以想像，整輛車被劃分為幾個大型區域，像是車頭、車尾、車身兩側與駕駛艙，就像數個「大都會」。每個區域控制單元（ZCU）就像「市政府」，負責收集該區所有的感測器訊號、初步處理與整合，並直接驅動該區的馬達、燈光等致動器。區域先自理，就不必大小事都等中央拍板。

而「中央政府」則由車用高效能運算平台（HPC）擔任，統籌負責更複雜的運算任務，例如先進駕駛輔助系統（ADAS）所需的環境感知、物體辨識，或是車載娛樂系統、導航功能，甚至是未來自動駕駛的決策，通通交由車輛正中央的這顆「超級大腦」執行。

乘著這波汽車電子架構的轉型浪潮中， 2008 年成立的台灣本土企業威力暘電子，便精準地切入了這個趨勢，致力於開發整合 ECU 與區域控制器（Domain Controller）功能的模組化平台。他們專精於開發電子排檔、多功能方向盤等各式汽車電子控制模組。為了確保各部件之間的溝通順暢，威力暘提供的解決方案，就像是將好幾個「分區管理員」的職責，甚至一部分「超級大腦」的功能，都整合到一個更強大的硬體平台上。

這些模組不僅擁有強大的晶片運算能力，可同時支援 ADAS 與車載娛樂，還能兼容多種通訊協定，大幅簡化車內網路架構。如此一來，車廠在追求輕量化和高效率的同時，也能顧及穩定性與安全性。

萬無一失的「汽車大腦」：威力暘的四大策略

然而，「做出來」與「做好」之間，還是有差別。要如何確保這顆集結所有功能的「汽車大腦」不出錯？具體來說，威力暘電子憑藉以下四大策略，築起其產品的可靠性與安全性：

1. AUTOSAR ： 導入開放且標準化的汽車軟體架構 AUTOSAR。分為應用層、運行環境層（RTE）和基礎軟體層（BSW）。就像在玩「樂高積木」，ECU 開發者能靈活組合模組，專注在核心功能開發，從根本上提升軟體的穩定性和可靠性。
   
2. V-Model 開發流程：這是一種強調嚴謹、能在早期發現錯誤的軟體開發流程。就像打勾 V 字形般，左側從上而下逐步執行，右側則由下而上層層檢驗，確保每個階段的安全要求都確實落實。
   
3. 基於模型的設計 MBD（Model-Based Design）： 威力暘的工程師們會利用 MatLab®/Simulink® 等工具，把整個 ECU 要控制的系統(如煞車)，用數學模型搭建起來，然後在虛擬環境中進行大量的模擬和測試。這等於在實體 ECU 誕生前，就能在「數位雙生」世界中反覆演練、預先排除設計缺陷，，並驗證安全機制是否有效。
   
4. Automotive SPICE (ASPICE) ： ASPICE 是國際公認的汽車軟體「品質管理系統」，它不直接評估最終 ECU 產品本身的安全性，而是深入檢視團隊在軟體開發的「整個過程」，也就是「方法論」和「管理紀律」是否夠成熟、夠系統化，並只根據數據來評估品質。

既然 ECU 掌管了整輛車的運作，其能否正常運作，自然被視為最優先項目。為此，威力暘嚴格遵循汽車業中一本堪稱「安全聖經」的國際標準：ISO 26262。這套國際標準可視為一本針對汽車電子電氣系統（特別是 ECU）的「超嚴格品管手冊」和「開發流程指南」，從概念、設計、測試到生產和報廢，都詳細規範了每個安全要求和驗證方法，唯一目標就是把任何潛在風險降到最低

有了上述這四項策略，威力暘確保其產品從設計、生產到交付都符合嚴苛的安全標準，才能通過 ISO 26262 的嚴格檢驗。

然而，ECU 的演進並未就此停下腳步。當ECU 的數量開始精簡，「大腦」變得更集中、更強大後，汽車產業又迎來了新一波革命：「軟體定義汽車」（Software-Defined Vehicle, SDV）。

軟體定義汽車 SDV：你的愛車也能「升級」！

未來的汽車，會越來越像你手中的智慧型手機。過去，車輛功能在出廠時幾乎就「定終身」，想升級？多半只能換車。但在軟體定義汽車（SDV）時代，汽車將搖身一變成為具備強大運算能力與高速網路連線的「行動伺服器」，能夠「二次覺醒」、不斷升級。透過 OTA（Over-the-Air）技術，車廠能像推送 App 更新一樣，遠端傳送新功能、性能優化或安全修補包到你的車上。

不過，這種美好願景也將帶來全新的挑戰：資安風險。當汽車連上網路，就等於向駭客敞開潛在的攻擊入口。如果車上的 ECU 或雲端伺服器被駭，輕則個資外洩，重則車輛被遠端鎖定或惡意操控。為了打造安全的 SDV，業界必須遵循像 ISO 21434 這樣的車用資安標準。

威力暘電子運用前面提到的四大核心策略，確保自家產品能符合從 ISO 26262 到 ISO 21434 的國際認證。從品質管理、軟體開發流程，到安全認證，這些努力，讓威力暘的模組擁有最高的網路與功能安全。他們的產品不僅展現「台灣智造」的彈性與創新，也擁有與國際大廠比肩的「車規級可靠度」。憑藉這些實力，威力暘已成功打進日本 YAMAHA、Toyota，以及歐美 ZF、Autoliv 等全球一線供應鏈，更成為 DENSO 在台灣少數核准的控制模組夥伴，以商用車熱系統專案成功打入日系核心供應鏈，並自 2025 年起與 DENSO 共同展開平台化量產，驗證其流程與品質。

毫無疑問，未來車輛將有更多運作交由電腦與 AI 判斷，交由電腦判斷，比交由人類駕駛還要安全的那一天，離我們不遠了。而人類的角色，將從操作者轉為監督者，負責在故障或斷網時擔任最後的保險。透過科技讓車子更聰明、更安全，人類甘願當一個「最弱兵器」，其實也不錯！

有一種說法認為集合論的發明是在1873年12月，精確地說是1873年12月7日，因為那一天康托證明了連續統（continuum）是不可數的，所以應該把那一天當成現代集合論的生日。不論你是否同意這個出生證明，但康托1873年年底所用的證明方法並非後來廣為人知的對角線法，也就是我們在《公設化集合論的奧秘 (11)》所採用的方法，對角線法的提出要到大約19年後的1892年才公諸於眾。

但從那一天起，人類對無限的了解進入了一個全新的階段，我們知道實數（連續統）比自然數還大。在證明實數是不可數之後，我們可否進一步下結論說自然數的冪集合P(N)與實數的尺寸一樣大，因為它們都是不可數集合？在沒發現不可數集合之前，我們原以為無限只有一種，那就是像自然數一樣可以從0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 … 一直往下數沒有盡頭這種無限，直到這種想法被康托的證明方法擊碎。有了這個教訓，我們最好更加謹慎，任何直觀的想法都應該由嚴格的證明來確認，所以尋找證明是必要的工作。

假如要證明實數集合R與P(N) 等量，那麼根據定義1 （請參考《公設化集合論的奧秘 (8)》） ，就必須找到一個一對一且映成的函數F: R → P(N)才行。但這可不是件容易的事，我們如何在浩如星辰的實數和全體自然數的冪集合之間找到這種一一對應呢？先別失望，我們之前介紹的戴德金左集合（請參考《公設化集合論的奧秘 (16)》和《公設化集合論的奧秘 (17)》）或許可以在此危難之際發揮作用。由於戴德金實數是由一堆有理數（實際上是可數無限個）來定義的，這給了我們一個透視實數集合結構的絕佳機會。

既然每個戴德金實數就相當於無限多個有理數的集合，比如0被定義為 {q〡q ∈ Q 且q<0}，也就是所有負有理數的集合，那我們正好可以定義一個一對一的恆等函數，使得每個實數r （相當於一個戴德金左集合）對應到一個相等的有理數子集合：

f: R → P(Q)

 r → r

也就是說定義域R裡裝了哪一堆有理數那我的値域就取同樣一堆有理數來配對，因為這樣一堆有理數正好符合對應域P(Q)的定義條件—全體有理數的子集合。這麼容易就完成證明啦？還是個恆等函數，這也簡單到有點欺負人了吧！

且慢，有兩個問題尚待解決。首先，我們所要證明的函數關係是從 R → P(N)而不是R → P(Q)。其次，R和P(N)等量的條件是找到一個一對一且映成的函數，但我們剛剛找的f: R → P(Q)只滿足一對一的條件卻不映成，這一點可以很容易看出來。由於戴德金實數必定由無限個有理數所構成，因為左集合會往負數方向無限伸展，可是對於P(Q)來說，它顯然也必須包含由有限元素所構成的集合，比如{1/6, 37, 522}就是Q的一個有限子集合，但我們無法找到與之相對應的戴德金實數r。

現在回顧《公設化集合論的奧秘 (14)》裡的定義：

定義5：如果在集合A和B之間存在一個一對一函數ƒ : A→B，則說A小於或等量於B，寫成A ≤ B。相當於〡A〡≤  〡B〡，也就是A的基數小於等於B的基數。

由這個定義得知，我們目前能確定的只是〡R〡≤ 〡P(Q)〡，而不是〡R〡= 〡P(N)〡。證明定理有時候就像擬訂作戰策略，對於無法一次消滅的敵人，你要分段把它逐步吃掉，而不能急於蟒蛇吞象最後把自己噎死。千萬不要輕忽每一次的小進展，那就讓我們把以上成果當成是一個好的開始吧。

有了半壁江山，就想辦法湊出另一半吧！這提醒我們之前提到的施洛德—伯恩斯坦定理（Schröder-Bernstein theorem） ，它的一般表述形式是：

對任意集合A和B，如果〡A〡≤ 〡B〡且〡B〡≤ 〡A〡

則〡A〡=〡B〡。

這個定理的威力在於它允許我們使用和有限數值一樣的方式來辨認集合的尺寸。比如有兩個數a和 b，如果a ≤ b 而且b ≤ a的話，那一定會得出a = b，施洛德—伯恩斯坦定理把這層關係從有限數推廣到不可數無限集合。

此外，這個定理還有一個實際功能，那就是當我們想證明兩個集合等量卻苦於找不到一對一且映成函數時，可以有個更簡潔的辦法。我們只需找到兩個一對一函數，一個從A到B，另一個從B到A就成了，對於許多複雜的集合等量證明來說，這不啻是天降福音。接下來只須稍稍解決一個小問題，那就是之前我們已經證明有理數和自然數一樣多（《公設化集合論的奧秘 (9)》），所以〡Q〡=〡N〡，得到〡P(Q)〡=〡P(N)〡，因此原來的戰鬥成果〡R〡≤ 〡P(Q)〡就可以順理成章地變成〡R〡≤ 〡P(Q)〡=〡P(N)〡，用小學的數學就能得到〡R〡≤ 〡P(N)〡。

以施洛德—伯恩斯坦定理的觀點來看，證明已經完成了一半。接下來我們想要在2^N和R之間建立起一個一對一函數，也就是讓〡2^N 〡≤ 〡R〡成立。我們再次用小學數學來解釋這樣做的理由，在《公設化集合論的奧秘 (15)》我們證明了〡P(N)〡=〡2^N〡，因此只要〡2^N 〡≤ 〡R〡成立，那麼〡P(N)〡≤ 〡R〡就會成立。

這讓我想起一個卡通節目，每次當兩位總在冒險旅途的主角一遇到甚麼災難，只要把兩枚原本一體的神奇戒指結合，就會跑出一個法力無邊的阿拉伯神祇名叫蘇仙，祂的神通可以打退各方的妖魔鬼怪。數學式〡R〡≤ 〡P(N)〡和〡P(N)〡≤ 〡R〡就有如集合論中的神奇戒指，當它們一結合就能招喚出法力無窮的蘇仙讓我們見識到集合論的奇蹟：〡R〡= 〡P(N)〡。

但要如何打造另外一半的戒指呢？我們需要找到一個一對一函數

θ: 2^N → R

之前說過2^N是指以下這種函數類型所成的集合

F: {0, 1, 2, 3, 4…} → {0, 1}

所以我們的目標是找一個這種類型的函數f對應到某個實數r。它的形式就是：

θ: 2^N → R

     f →  r

化繁為簡是數學思考的靈魂，所以在尋找f之前我們先將θ的對應域R做點簡化工作。在《公設化集合論的奧秘 (11)》一文我們已經證明全體實數R的個數和開區間(0, 1)裡的實數一樣多，因此我們可以把目標函數θ: 2^N → R調整為θ: 2^N → (0, 1)，也就是讓2^N 中的元素f對應到(0, 1)間的某個實數即可。這個函數的樣貌如下：

θ: 2^N →(0, 1)

     f →  0.a₀a₁a₂a₃a₄…a_n…

我們之前介紹過 2^N的成員，它的成員是某個函數f，有如一排編上號碼從0一直延伸至無窮的燈泡，每個燈泡可以是亮燈或關閉的狀態，而f就相當於某種特定的亮燈組合方式。比如現在給出一種亮燈組合，它規定只有第一個編號為0的燈點亮，其餘所有的燈都是暗的，這時f函數的値有如下的規律：

f(0) = 1, f(1) = 0, f(2) = 0, f(3) = 0, f(4) = 0,  … f(n) = 0 …

每個不同的函數f代表一種特定的亮燈組合方式。

現在只要把f的第一個函數值f(0)指定為a₀ ，第二個函數值f(1)指定為a₁，第三個值f(2)指定為a₂，依此類推，我們就能夠得到一個介於0和1之間的實數，其小數點之後的位數只由0與1構成。以剛才的函數為例，我們得到a₀ =1, a₁=0, a₂=0, a₃=0… 因此和它對應的實數就是0.100000000…，也就是0.1。顯然如果函數不同f₁ ≠ f₂，則其指定的每個a_n值當然不同，這就導致與其相對應的實數0.a₀a₁a₂a₃a₄…a_n …也不同，於是我們得到 θ(f₁) ≠ θ(f₂)，因此θ為一對一函數。於是我們證明了蘇仙戒指的另一半：

〡2^N 〡= 〡P(N)〡≤ 〡R〡

於是我們所知道的不可數集合的三種形態全部等量，形成一個相當優雅簡潔的集合等式〡R〡= 〡P(N)〡=〡2^N〡。

我們之前用ℵ₀來標示自然數和有理數這種可數無限集合的基數，因此我們有等式：

〡N〡= 〡Q〡= ℵ₀

而對於比ℵ₀還大的不可數集合我們用ℵ₁來表示，因此又有如下的等式：

〡R〡= 〡P(N)〡=〡2^N〡= ℵ₁

經過長期的努力，我們終於將這些主要的無限集合之間的尺寸關係弄清楚了， 但這就是故事的終點了嗎？發揮想像力，朝著變大和變小的方向飛行，兩個有趣的問題又會浮現出來。第一個問題是有比ℵ₁更大的集合嗎？如果有，那要如何才能發現它呢？或者怎樣才能把它製造出來呢？第二個問題是在ℵ₀和ℵ₁之間有沒有一種中等尺寸的無限集合，它既比ℵ₀大但又比ℵ₁小，比如說是否存在一個基數為ℵ_1/2的集合？要回答這些有趣的問題就只有等下回再分解了！

有理數是能夠用分數形式m/n來表達的數，其中m和n為整數且n ≠ 0。雖然到現在為止我們的公設只建構出自然數，但用自然數來建構有理數並不困難，它的基本概念是取序對（m, n）的型態來定義有理數。由於自然數和序對我們都已相當熟悉，況且有理數的概念在直觀上也很容易理解，因此我們並不打算在此介紹和證明如何用自然數定義出有理數的技術細節。可是對實數裡的「另一半」— 無理數來說，情況就大不相同了。

我們很難想像給出任意兩條線段，居然會找不到另一個線段作為衡量前兩者的共同單位。對有些情況來說，不論我們上天下地，卻永遠找不到這個共同單位，這在幾何學上叫做不可通約（incommensurable）。但這種讓古希臘畢氏學派震驚的「知識瘟疫」卻並非雪山靈芝而是隨處可見，比如從任一個正方形劃出對角線就可以根據畢氏定理1² +1² = x² 得出√2這個數，而√2就無法表示成m/n的分數形式。

根據傳說，畢氏學派把無理數的發現視為最高機密並禁止門徒對外洩漏，然而希臘的「斯諾登」希帕蘇斯先生卻冒死對外公佈了這個秘密，因而遭到如同黑社會懲罰臥底一般的待遇—扔到海裡餵魚。我們不知道這個傳說的真實性如何，但這意謂在某個歷史時期公佈某項知識成果的後果可能和今天所謂「洩漏國家機密」的後果沒兩樣。

既然無理數的性質那麼「無理」，可見要用自然數或有理數的概念來對其進行嚴格定義是很困難的。但現代實數系的兩位奠基者康托和德國數學家戴德金（R. Dedekind）雖然從不同的角度和進路用不同的方法來破解這個問題，但他們在推進人類對實數的理解時也同時發展了集合的概念。現在就來看看戴德金最重要的發明—如何用有理數來重新定義實數（因而自然把無理數也包含進去）的偉大創見，它稱之為戴德金切割(Dedekind cut) 。

由於有理數建立在自然數的基礎上，而自然數又建立在集合論的公設上，所以它們早已取得明確的「身分」，現在身分不明且難以被直觀掌握的就剩下無理數了。戴德金切割到底是個甚麼東西呢？首先來看看切割（cut）的定義：

一個切割就是一個序對（A, B），其中A, B ≠ Ø且A 和B不相交（也就是A ∩ B = Ø）。此外A ∪ B = P，也就是說切割是把某個集合P給切開，分成沒有共同元素的A, B兩半。

第二個條件是A的所有元素都比B的元素小，也就是說從數線的觀點來看，A的元素都在B元素的左邊。

滿足上述兩個條件的序對（A, B）就是一個對P集合的切割。由於序對（A, B）是集合，所以一個切割本身就相當於集合。而所謂戴德金切割必須加上第三個條件，那就是序對左邊的A集合沒有最大元素。它的直觀意思是說如果我們用某個點來切開P集合，那麼這個點不在A裡面。

我們現在手頭的武器是全部的有理數，所以可以把集合P用全體有理數Q來替代，那麼戴德金切割就成了把全部有理數分成A, B兩半的序對（A, B） ，所以A ∪ B = Q。由於A與B不相交，因此確定了其中一邊也同時確定了另一邊，習慣上我們用序對左邊的集合A來定義實數，稱之為戴德金左集合（Dedekind left set）。也就是說一個實數就是一堆有理數所形成的戴德金左集合，而全體實數就是這些戴德金左集合所形成的集合。

為了更容易理解戴德金左集合的定義，我們用√2來具體說明。如下圖所示，雖然目前我們尚不知道無理數√2的定義，但我們可以利用畢氏定理將邊長為1的正方形取對角線，然後用圓規將與對角線等長的線段畫到數線上，這樣就標出了長度相當於√2在數線上的位置。

我們發現它正好把大於此數和小於此數的有理數Q分成兩半，紅色部分為所有小於√2的有理數，而藍色部分則為所有大於√2的有理數。紅色部分和藍色部分沒有共同成員，它們的聯集等於全體有理數，所以顯然滿足戴德金切割的第一個條件。而紅色集合內的有理數顯然都在藍色成員的左邊，因此滿足第二個條件。此外以√2為分界的戴德金左集合（紅色部分）顯然沒有最大元素，因為作為分界的√2不屬於有理數，所以第三個條件也滿足了，它是一個戴德金切割。

接下來就看怎麼樣來定義這個特殊的戴德金左集合。有人會說這很容易啊，只要定義 A = {q〡q <√2 且 q∈ Q}不就得了？但請注意，我們目前還不知道√2是甚麼，我們只知道有理數是甚麼東東，正絞盡腦汁想把√2的定義找出來，所以上面對A的定義等於是拿未知的東西來定義未知，也是拿尚待定義的東西來作為定義，這是不可接受的。

為了要避開這種循環定義，我們把上式梢作修改成

A = {q〡q² < 2 且 q ∈ Q}

這樣一來所有的條件就都符合有理數的規定範圍。但仔細一看問題又來了，因為戴德金左集合會一直往負的方向無限延伸，因此越往左其平方值會越來越大，比如：

-2 ∈ Q 且-2∈ A，但顯然 (-2)² > 2，這與A的規定顯然不合。該怎麼辦呢? 只要利用邏輯概念將小於√2的正負數分開處理就行了，因此我們重新把A定義為

A = {q ∈ Q 〡q² < 2 或 q為負數}

如果有耐心地依序檢查，會發現這個定義符合戴德金切割的條件，因而正是用來定義√2的戴德金左集合。

這個看似古怪的定義讓我們可以單憑有理數重新定義出所有實數（尤其是無理數），而且這樣定義出來的無理數完全可以滿足實數所須具備的各種運算和性質，真可謂鬼斧神工。更重要的是透過戴德金切割我們發現，無限集合居然可以用來標定某個特定實數，這實在太神奇了。戴德金左集合宛如實數的基因密碼，透過對這些密碼的識別和辨認達到對實數本身身分的確認。僅管構成生物基因的分子為數眾多但卻是有限的，然而每個戴德金左集合的元素個數卻都是無限，任何一個實數都可以用某個無限集合來唯一確定。

如果你還沒有意識到此中令人驚奇之處，那麼我們再把戴德金切割比喻成商品的條碼，每一個條碼都指向一種特殊的商品。讓我們感到驚異的是，在實數的定義裡，構成每個條碼的信息單元（有理數）竟然不是有限而是無限。

雖然戴德金切割用這種有理數的「無限條碼」奇蹟似地界定出實數，但有些數的意義似乎產生了奇怪的病變。比如自然數0原來是用空集合來定義，所以0 = { } ，可是在戴德金左集合的新包裝下，0 不再是空無一物而成了 {q〡q ∈ Q 且q<0} ，這到底是怎麼回事呢？難道同一個數可以同時由兩個集合來定義嗎？要解開這個難題，這就只有等下回再分解了！