「我和你之間的無限」——五条悟（五條悟）老師的能力竟與一個數學悖論有關！

我們都知道無窮（infinity）是什麼。無窮比任何數都更大。當你從一二三不停數下去的時候你會靠近它。它也是萬物甚至更多事物的總和。

我們談到無窮時，一定會想知道一件事：

比無窮還大？有可能嗎？

這個問題其實真的有答案。它不是開放性問題，也不是陷阱題。答案不是「是」就是「否」，而且我會在這一章的結尾公布答案。

讀者可以先猜猜看，但我們或許應該先訂好遊戲規則，讓大家知道該怎麼思考。

具體說來，我們需要訂定關於「較大」的規則。我們要怎麼確定自己發現了比無窮更大的事物？如果是有限的量，要分辨某個事物比另一個事物更大相當容易，但碰到無窮時似乎就沒那麼簡單了。我們不希望完全靠感覺判斷，所以必須選擇簡單明瞭的規則，用來判定一個量是否比另一個量「更大」。

配對數量的多寡來判斷哪邊比較「大」

那麼，在一般、有限的狀況下，我們通常怎麼判定「較大」？我們說右邊這一堆比左邊的更大是什麼意思？

沒錯，用看的就知道。但假設我們遇到一個外星人，這個外星人從沒聽過「更大」、「更多」、「更好」這些概念，我們該如何解釋右邊這堆較大？真的，試試看就知道。這個概念太基本了，其實很難從頭開始解釋。

當我們碰到困難時，數學中有個常用的技巧，就是提出完全相反的問題，看看會有什麼結果。我們要怎麼跟外星人解釋這兩堆的大小相同？

我們不能用「相等」這個詞，因為它正是我們要去解釋的東西。這個外星人想了解我們說兩樣事物「相等」或「相同」時是什麼意思，以及它的主要概念是什麼。

有個方法行得通。把兩堆東西並排起來，一個對一個。如果兩兩配對後正好用完，沒有剩餘，表示這兩堆東西大小相同。

「提出相反問題」的技巧確實有用。只要把這個規則反轉過來，就能得到「較大」的定義。

現在問題已經定義清楚了，答案也隨之確定。那麼，世界上有什麼事物比無窮更大？答案是「是」還是「否」？世界上有什麼事物和無窮兩兩配對之後還有剩餘？現在我們可以思考之後猜猜看。

無窮跟無窮 +1 誰比較大？

我們可以把無窮想成一個深不見底的袋子，裡面裝著無限多個物體。

我們可以從這個袋子裡拿出任意數量的物體，袋子裡也還剩下無限多個。

世界上怎麼可能有其他事物比它更大？好吧，如果是無窮加一呢？

多一個物體看來應該不會對無窮造成什麼影響，但我們用配對規則來確認看看。首先，我們可以把無窮袋中的物體排成一排，這樣比較容易看清楚哪個跟哪個配對。

如果我們以最顯而易見的方式配對，無窮加一看起來當然更大。

不過要小心！規則指出，兩個事物必須無法正好兩兩配對，才會有一者較大。（最好經常回頭看清楚規則！）還有一種配對方法確實可行，而且兩方都不會有剩餘：

如果你覺得這樣好像在騙人，請花點時間告訴自己，這樣真的沒錯。我們不是把一個物體跟點點點配對，而是把它跟隱藏在點點點中的下一個物體配對。既然兩個袋子都有無限多個物體，不會有物體配對不到，所以兩者大小相同。無窮加一等於無窮！

我來講個故事說明這個結果有多奇怪。

無窮大飯店！如何塞進無窮 +1 位客人

假設我們在一家非常特別的「無窮大飯店」當櫃臺接待人員。無窮大飯店有無限多間房間。飯店裡有條長長的走廊，沿著走廊有一排房門，連綿不絕地延續下去，無論走多遠都不會結束。走廊沒有盡頭，所以也沒有「無窮號房」或「最後一號房」。當然有一號房，每間房間也都有下一號房。

今天晚上格外忙碌，飯店裡每間房間都住滿了（對，這個世界裡有無限多個人）。如果沿走廊隨意走一段距離，選一扇門敲幾下，就會聽到：「有人！請勿打擾！」無限多間房間，裡面住著無限多個人。

接著有人從外面走進飯店大廳說：「請問還有房間嗎？」我們不是第一天在無窮大飯店工作，當然知道該怎麼做。我們拿起廣播系統麥克風說：「各位來賓，抱歉打擾一下，請各位來賓搬到下一間房間。沒錯，請收拾好行李，走出房門，朝遠離大廳的方向搬到下一間房間。謝謝合作，祝您有個愉快的夜晚。」大家都照做之後，就有房間給新住客了。

無限多間房間，無限多加一位住客，房間跟住客依然正好兩兩配對。無窮加一等於無窮。

無窮加五、無窮加一兆……都沒關係，這個邏輯全都成立。兩個袋子可以正好配對，可以多裝進一位客人。無窮非常大，任何有限的量根本沒得比。所以我們還沒有找到比無窮更大的事物。

——本文摘自《不用數字的數學：讓我們談談數學的概念，一些你從沒想過的事……激發無窮的想像力！》，2022 年 9 月，經濟新潮社，未經同意請勿轉載。

繼《鬼滅之刃》後，最火紅的動漫莫過於 MAPPA 出品的《咒術迴戰》。這是一個關於負面情緒會產生詛咒，以及袱除詛咒的咒術師之間的熱血故事。五條悟是早期登場的人物之一，也是與男主角虎杖悠仁，並駕齊驅的高人氣角色，更是戰力與顏質的天花板！

即使是沒看過動畫的人，應該多少都有聽過五條悟造成轟動的絕世美顏。一頭白髮之外，更有著天空般清澈的碧藍雙眼。然而，這雙眼睛，可不只是漂亮而已，更是故事設定中強大的「六眼」，讓五條悟輕鬆獲得戰力天花板的稱號。而粉絲創作貓化的五條悟更是絕世可愛！

然而，白髮碧眼這種設定，在真實世界中，可能不是一個好消息，至少對貓來說！

這裡其實有一大段可歌可泣的遺傳學知識！

講到遺傳學，就勢必得提到基因。所謂的基因，就像是在螢幕後 coding 的工程師可以下達的每一道指令，最終會呈現出獨一無二的個體。

而白貓的白毛，其實是一位化名「 Ｗ 基因」^註2的工程師負責。Ｗ 基因（顯性基因）是 ｗ 基因（隱性基因）的突變，由於會有較強勢的表現，屬於「體染色體顯性遺傳」。因此，只要帶有一個 Ｗ 基因，一定會是一隻白貓！

導致「白毛」及「藍眼」的因素—— Ｗ 基因

但 W 基因的工作，可不是只要複製貼上，當個薪水小偷就好！除了毛色之外，同時也要處理眼睛的顏色。這種身兼多職工程師的職稱，也就是所謂的「多效位基因^註3」。

敏感的讀者應該馬上會發現，好像都跟顏色有關，難道W基因是在顏色部門工作嗎？沒錯！正是！

所謂的顏色，其實是由黑色素堆疊所呈現的。而黑色素細胞就像是工人，會生產、搬運、堆疊黑色素，由於量的不同，最終呈現出不同的顏色。

然而， W 基因在這份工作上，簡直跟流氓沒兩樣！

因為被前輩強迫複寫白毛基因，就把氣出在其他弱小的顏色部門人員身上。W 基因會大大影響黑色素工人的養成、調度、產出，嚴重影響進度，而這種行為稱為「遮蓋^註4」。最終，導致黑色素的減少，而使個體趨向「白化」的表現^註5。

但幸好，顏色部門除了W基因之外，還有許許多多其他工程師在努力工作圓場。這種需要開會大家一起決定的事情，也就是所謂的「多基因遺傳^註6」。

因此，其實白貓不一定有藍眼，五條貓是可遇不可求的！

而顯然地，這種漂亮藍眼的代價是：會對光線較為敏感，也難怪五條貓還是要戴著眼罩或墨鏡！不過即使如此，要領域展開還是沒問題的！

不只管毛色，缺乏「黑色素」將導致耳聾！

W基因影響黑色素細胞其實茲事體大，不要以為有黑色素的只有明顯帶有顏色的毛髮、皮膚與眼睛，其實涉及黑色素細胞的部位，甚至還包含耳朵，更確切地說，是內耳的耳蝸！

那會造成什麼影響呢?

聽到聲音這件事，其實是藉由聲波打入耳蝸，像是一陣衝擊推倒一連串骨牌，由此傳遞神經訊號而引發聽覺。黑色素細胞工人在這邊的工作就是調節離子平衡，好比把倒掉的骨牌重新立好。

而缺乏黑色素細胞的白貓，便是少了這個調節的機制。而造成相關構造發育異常，最終導致先天性耳聾。

這種聽不見的狀況，會隨著白毛跟藍眼的不同組合套餐，而有不同發生的機率。

如果單純是白毛貓，有20%機率聽不見；若是白毛加上一隻藍眼睛，也就是所謂的「異色瞳」或是「陰陽眼」，則有40%。特別的是，若是異色瞳的狀況下，耳聾的通常會是有藍色眼睛那一側的耳朵！若是像五條貓的白毛與雙藍眼，則高達70-80%機率聽不見！

因此，五條貓真的「八成」是聽不到聲音的！

但貓即使聽不見，也不大會影響生活。透過觸鬚與肉墊，還是能充分感受到周遭的狀況。

總結而言，五條貓對光線較為敏感，且很可能聽不到。前者還可以靠戴墨鏡解決，但後者可會大大影響他成為「最強」。但無論如何，不管是人形還是貓形，五條悟在廣大粉絲中肯定永遠都是最強、最帥、最可愛的！

註解

• 註 1：W 基因也就是 white gene 的簡稱，通常會用第一個字母的大寫來表示。
• 註 2：體染色體顯性遺傳（Autosomal dominant inheritance）：對偶基因中若有突變的 A 與正常 a，只要 A 出現則勢必會表現，也就是 AA 或 Aa 都會表現 A 的性狀。
• 註 3：多效位基因（pleiotropic gene）：一個基因可以同時控制兩種以上的性狀。
• 註 4：遮蓋（masking gene）：基因掩蓋了其他基因的表達，就像完全顯性等位基因掩蓋了其隱性對應物的表達一樣。
• 註 5：雖然說白化，但白貓（white cat）與白化貓（Albino cat）是有所不同的，為了避免篇幅過長，且並非本篇重點，因此不多加贅述。
• 註 6：多基因遺傳（Polygenic inheritance）：某一性狀的表現由二個或二個以上的基因決定。例如身高、體重以及膚色。

參考資料

1. Richards J (1999). ASPCA Complete Guide to Cats: Everything You Need to Know About Choosing and Caring for Your Pet. Chronicle Books. p. 71.

2. Strain, G. M. (2007). Deafness in blue-eyed white cats: the uphill road to solving polygenic disorders. Veterinary Journal, 173(3), 471-472.

本文為系列文章，上一篇請見：現代電腦從此展開——馮紐曼與馮紐曼架構 │《電腦簡史》數位時代（十一）

數學能不能判定？圖靈機的源起

在美國那些電腦先驅著手設計電腦之前，英國劍橋大學有位研究所新生已經發表論文，率先指出通用型電腦的可能性。這位學生就是後來有「電腦之父」、「人工智慧之父」等美譽，還在二戰期間發明電腦破解德軍密碼的天才——圖靈。

圖靈撰寫那篇論文的初衷極為特殊，與實際計算毫無關聯。之前介紹過的那些電腦先驅，若不是因為在就學期間經歷計算之苦，就是工作上遇到瓶頸，才會一頭栽入計算機的研究，希望透過機械化與自動化讓計算更快速、更準確。但圖靈都沒遇到這些狀況，他也沒想要解決實務上的技術問題。事實上，他的論文根本無關乎計算，而是要回答一個極為抽象的大哉問：數學是否可以判定？

什麼叫可以判定？這與計算機有什麼關係？要說清楚這來龍去脈，也為了搞懂圖靈所設想出來的通用圖靈機是什麼，得先探究另一個數學問題——「無限」。

無限是什麼？康托爾挑戰數學界千年共識

從亞里斯多德以降，無限向來被視為一種潛無限 (potential infinity)，是進行中的未完成狀態，不能當成實體看待，更不能比較大小，否則就會出現矛盾。

例如伽利略便曾舉出一個悖論：自然數 (1、2、3、……) 與平方數 (1、4、9、……) 哪個比較多？照理說自然數當然遠比平方數還多，可是如果用一個蘿蔔一個坑來想的話，每個自然數都有個平方數與之對應 (1🡪1²、2🡪2²、3🡪3²、……)，表示有多少自然數，就有多少平方數，兩者一樣多，這不就前後矛盾了嗎？因此伽利略主張等於、大於、小於這些關係不能應用於無限。數學王子高斯也嚴正表示：「我反對將無限量看成真實的實體來運用，這在數學之中是永遠不被允許的。無限只是一種說法而已。」這句話可以說代表了所有數學家的共同看法。

沒想到 1874 年，不到 30 歲的德國數學家康托爾 (Georg Cantor) 竟然跳出來說：不對，無限大可以當成實體做比較，而且可區分大小，例如實數的集合就比自然數的集合大！

康托爾當然有所本才敢公然挑戰數學界長久以來的信念，不過他所提出的證明是用集合論的方法，不好解釋，我們改用他後來在 1891 年提出的「對角線法」來做說明。這不只是因為這個方法更簡潔易懂，更因為它影響深遠，啟發圖靈解決了判定問題，也才誕生出極具開創意義的「通用圖靈機」。

騙肖ㄟ，有理數和自然數一樣多？

首先讓我們重溫一下怎麼比較集合的大小。基本上只要集合所含的元素一樣多，它們就是一樣大，例如A={1,2,3}，B={2,4,6}，兩者的元素都是 3 個，所以 A 與 B 大小相等。問題是無限數列沒有止盡，要怎麼數有幾個？沒關係，同樣用一個蘿蔔一個坑的概念，只要兩個集合的元素彼此一一對應，就代表這兩個集合大小相等。所以按照這個定義，伽利略悖論就解決了：自然數的集合與平方數的集合一樣大。

那麼自然數與有理數呢？可以用分數表示的數就是有理數，而光在 0 和 1 之間就有無限個分數，當然是有理數遠多於自然數啊！等等，且看康托爾怎麼巧妙地列出所有有理數：

1/1

1/2、2/1

1/3、2/2、3/1

1/4、2/3、3/2、4/1

…………以此類推

第一行是分子與分母相加為 2 的有理數，第二行是分子與分母相加為 3 的有理數，第三行相加為 4、第四行相加為 5，……以此類推，便可以列出全部的有理數，一個都不漏。然後我們再由上往下，一行一行的由左向右依序為每個有理數編號：1、2、3、4、……，如此一來，有理數不就與自然數一一對應了嗎？所以有理數的集合與自然數的集合也是一樣大。（如果要涵蓋負的有理數，只要依樣放在這個三角形列表的右半部就行了）

到目前為止，我們看到自然數、平方數、有理數這些集合，雖然乍看明明大小不同，結果卻證明無限是不分軒輊的。那麼同樣是無限多的實數，憑什麼就比它們都來得大呢？

比無限大還大？康托爾祭出對角線法

實數除了有理數，還包括無理數，也就是無法用分數表示的數，例如 \(\sqrt{2}\)、π、……等等，所以我們得用小數來列舉實數。先來看 0 與 1 之間的所有實數，也就是純小數。絕大部分的數字小數點後有無限多位數，所以沒辦法像有理數那樣依序一一列舉，不過沒關係，我們就不按大小順序而是任意列舉，例如：

1. 　0.541592653……
2. 　0.041719652……
3. 　0.862235975……
4. 　0.640194231……
5. 　0.234178276……

……

反正我們姑且假設所有純小數都在這張無限長的表格裡了，因此都有個自然數與它對應。現在對角線法要上場了。我們從第一行取小數點後第一個位數，第二行取第二位數，以此類推，可以得到一個小數：0.54217……。然後我們將每個位數都加上 1，會得到一個新的小數：0.65328……。

這個新的小數很特別喔，因為它和每一行的數字都有一個位數不符，表示它絕對不在這張表裡面，也就是這個小數沒被自然數對應到，前面假設所有純小數都在這張表並不成立。

你可能會說：那還不簡單，再把這個新的小數加進去這張表就好啦。可是加了之後，我們仍然可以用剛剛的對角線法，又產生一個不在表中的新數字，因此永遠有自然數對應不到的小數，足以證明小數的集合比自然數還要大。

康托爾把自然數、有理數這類可列舉的數稱為「可數無限」，是最初級的無限，算是第 0 級。小數則是「不可數無限」，是第 1 級無限，比第 0 級無限還要大（註一）。就這樣，長達兩千年的普遍信念，一夕之間被康托爾徹底顛覆了，無限不再是無從比較的概念，而是可以明確區辨的實體。

現在你知道什麼是對角線法，已經可以直接到下一站，看看圖靈如何構思出計算機。不過康托爾還有許多令人驚奇的把戲，何不繼續往下一探究竟，看看自己有多少錯誤的迷思？

無限的無限的無限……——冪集合的威力

我們已經知道無限有分等級，而純小數的無限等級比自然數或有理數還大。那有比純小數更大的無限嗎？例如 0 到 100 之間的實數？既然實數屬於特殊的不可數無限，不能用前面證明有理數與自然數一樣多的列舉對應方式，那麼範圍更大的實數是不是無限等級就比較大？ 

直接宣布答案：不，都一樣大。即使是從負無限大到正無限大，涵蓋所有實數的集合仍然與 0 與 1 之間的純小數一樣大。怎麼證明？如下圖，我們畫一個直徑為 1 的半圓，在它下方畫一條代表往兩端無限延伸的直線。從這條直線上的任一點畫一條線與圓心相連，會與半圓相交於一點。這個點對應到直線上的位置一定會落在 0 與 1 之間，表示任一實數都會有一個純小數與之對應，所以所有實數的集合與純小數的集合一樣大。

講到這裡，你大概會以為無限就分兩種：自然數、有理數這類可數無限屬於第 0 級無限，小數、實數這類不可數無限屬於第 1 級無限。往上不會有更大的無限，畢竟實數都已經涵蓋所有數字了。沒想到康托爾就像魔術師從空無一物的帽子變出兔子般，竟然端出了比第 1 級無限更大的無限：冪集合。

冪是次方的意思。一個包含 n 個元素的集合，它的子集合個數為 2ⁿ，把這些子集合當成元素全部集合在一起，就成為原來那個集合的冪集合。例如集合 A={1,2,3}，那麼 A 的冪集合就是由空集合、{1}、{2}、{3}、{1,2}、{1,3}、{2,3}、{1,2,3}，這 8 個集合為元素所構成的集合。

康托爾於 1891 年證明無限集合的冪集合是更大的無限（註二），例如自然數的集合是第 0 級無限，它的冪集合就是第 1 級無限；同理，實數的冪集合則是第 2 級無限。還沒完喔，實數的冪集合又可以組成更大的冪集合（就像上面舉例的 A 集合，它的冪集合的冪集合就有 2⁸ =256 個元素），而誕生出第 3 級無限。

你會想這樣不是沒完沒了嗎？沒錯，新的冪集合不斷衍生，無限的等級也越來越大，永無止盡。

康托爾掀起巨浪，自己卻反遭吞噬

原本一片渾沌的無限，經康托爾大刀一揮，不但有大小之分，而且宛如侏儸紀公園裡的恐龍，一隻比一隻巨大，更可怕的是完全沒有極限。不過康托爾革命性的創見並未獲得當時的主流認同，尤其他的老師公開嚴厲批判，不但造成康托爾謀求教職不順，更重創他的心靈。

1884 年開始，康托爾數度精神崩潰住院治療。出院後他曾一度放棄數學，轉而研究歷史與神學，但後來還是「雖千萬人吾往矣」，繼續打破無限的迷思，發明出影響深遠的對角線法。1900 年代初期，康托爾的研究成果終於逐漸獲得肯定，無奈 1917 年他最後一次進入療養院時，德國因為一次世界大戰戰情吃緊，實施食物配給。康托爾因此營養不良而健康惡化，隔年就在院內過世，享年73歲。

好了，無限樂園的導覽到此告一段落，下一章我們就要介紹圖靈。他的悲慘命運不下於康托爾，也是做出了無與倫比的貢獻，最後卻以悲劇結束一生。

註一：康托爾相信並不存在大小介於第 0 級與第 1 級之間的無限。但這至今仍無法證明，因此稱為「連續統假設」。

註二：康托爾就是為此而發明對角線法。證明方式與前面證明純小數比自然數多的做法類似，先假設冪集合可以與原來的集合完全對應，再證明冪集合中永遠有對應不到的元素，所以冪集合的無限等級又大一級。