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康托爾誕辰|科學史上的今天:3/3

張瑞棋_96
・2015/03/03 ・960字 ・閱讀時間約 2 分鐘 ・SR值 559 ・八年級

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對數學家與哲學家而言,無限大就像個怪物。哲學碰上無限就會產生一堆悖論,例如芝諾悖論、無限大飯店、⋯⋯等等。無限大更是在數學製造了一堆矛盾,例如:無限序列 1 – 1 + 1 – 1 + ⋯⋯的總和到底是等於 0 或 1、或是 1/2?我們可以讓自然數與平方數的數列彼此一一對應(1→1, 2→4, 3→9, ⋯⋯),但平方數顯然又只占自然數的一小部分,那麼自然數的集合究竟比平方數的集合大還是兩者一樣大?

面對這些令人困惑的矛盾,大家的共識就是:無限只能當作一種概念,一個持續的未完成狀態,所以不能計算或比較大小。數學王子高斯就嚴肅表示:「我反對將無限量看成真實的實體來運用,這在數學之中是永遠不被允許的。無限只是一種說法而已。」直到不信邪的德國數學家康托爾出現,祭出集合論這面照妖鏡,才讓無限這個怪物現出原形,扭轉了千年以來對於無限的認知。

康托爾創立集合論,將無限當成可以一一對應其中元素的集合來處理。經由他無懈可擊的證明,無限的確有大小等級不同之分。自然數、平方數、整數、有理數的集合都是「可數無限」,屬於最初級(第零級)的無限,它們都一樣大。但無理數、實數的集合就是另一種「不可數無限」,硬是比第零級的無限還大,屬於第一級的無限。不只如此,還有更大的無限,一級一級往上沒有止盡。也就是說,世人以為無限是一隻神秘的怪物,但康托爾卻撥開迷霧,指出無限其實是一群數不完的大小不同的怪物。

然而康托爾天才般的洞見卻被當時的學界權威批評為「並無重要意義」、「騙局」。康托爾一方面承受極大的壓力,一方面又受困於自己提出來的疑問──存不存在大小介於第零級與第一級之間的無限?他試圖證明並不存在這樣的無限集合(稱為「連續統假設」),但搏鬥多年卻始終未果,乃數度精神崩潰住院治療。到了一次大戰,因實施食物配給而健康更加惡化,終於在 1918 年於精神療養院中過世,享年 73 歲。

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如今康托爾的貢獻已被普遍認同,他開創的集合論已成為現代數學的基石。大數學家希爾伯特曾捍衛地宣稱:「沒有人能將我們從康托爾為我們創造的樂園中驅逐出去」。他的連續統假設仍列於有待解決的 23 個最重要的數學問題之首,等待後人征服。

本文同時收錄於《科學史上的今天:歷史的瞬間,改變世界的起點》,由究竟出版社出版。

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張瑞棋_96
423 篇文章 ・ 953 位粉絲
1987年清華大學工業工程系畢業,1992年取得美國西北大學工業工程碩士。浮沉科技業近二十載後,退休賦閒在家,當了中年大叔才開始寫作,成為泛科學專欄作者。著有《科學史上的今天》一書;個人臉書粉絲頁《科學棋談》。

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比大還要再大!比「無窮」還要更大是什麼概念?——《不用數字的數學》
經濟新潮社
・2022/09/28 ・2660字 ・閱讀時間約 5 分鐘

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我們都知道無窮(infinity)是什麼。無窮比任何數都更大。當你從一二三不停數下去的時候你會靠近它。它也是萬物甚至更多事物的總和。

我們談到無窮時,一定會想知道一件事:

什麼事物比無窮大?圖/經濟新潮社

比無窮還大?有可能嗎?

這個問題其實真的有答案。它不是開放性問題,也不是陷阱題。答案不是「是」就是「否」,而且我會在這一章的結尾公布答案。

讀者可以先猜猜看,但我們或許應該先訂好遊戲規則,讓大家知道該怎麼思考。

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具體說來,我們需要訂定關於「較大」的規則。我們要怎麼確定自己發現了比無窮更大的事物?如果是有限的量,要分辨某個事物比另一個事物更大相當容易,但碰到無窮時似乎就沒那麼簡單了。我們不希望完全靠感覺判斷,所以必須選擇簡單明瞭的規則,用來判定一個量是否比另一個量「更大」。

配對數量的多寡來判斷哪邊比較「大」

那麼,在一般、有限的狀況下,我們通常怎麼判定「較大」?我們說右邊這一堆比左邊的更大是什麼意思?

右邊這一堆比左邊的更大圖/經濟新潮社

沒錯,用看的就知道。但假設我們遇到一個外星人,這個外星人從沒聽過「更大」、「更多」、「更好」這些概念,我們該如何解釋右邊這堆較大?真的,試試看就知道。這個概念太基本了,其實很難從頭開始解釋。

當我們碰到困難時,數學中有個常用的技巧,就是提出完全相反的問題,看看會有什麼結果。我們要怎麼跟外星人解釋這兩堆的大小相同?

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我們要怎麼跟外星人解釋這兩堆的大小相同?圖/經濟新潮社

我們不能用「相等」這個詞,因為它正是我們要去解釋的東西。這個外星人想了解我們說兩樣事物「相等」或「相同」時是什麼意思,以及它的主要概念是什麼。

有個方法行得通。把兩堆東西並排起來,一個對一個。如果兩兩配對後正好用完,沒有剩餘,表示這兩堆東西大小相同。

如果兩兩配對後正好用完,沒有剩餘,表示這兩堆東西大小相同。圖/經濟新潮社
圖/經濟新潮社

「提出相反問題」的技巧確實有用。只要把這個規則反轉過來,就能得到「較大」的定義。

圖/經濟新潮社

現在問題已經定義清楚了,答案也隨之確定。那麼,世界上有什麼事物比無窮更大?答案是「是」還是「否」?世界上有什麼事物和無窮兩兩配對之後還有剩餘?現在我們可以思考之後猜猜看。

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無窮跟無窮 +1 誰比較大?

我們可以把無窮想成一個深不見底的袋子,裡面裝著無限多個物體。

我們可以從這個袋子裡拿出任意數量的物體,袋子裡也還剩下無限多個。

世界上怎麼可能有其他事物比它更大?好吧,如果是無窮加一呢?

多一個物體看來應該不會對無窮造成什麼影響,但我們用配對規則來確認看看。首先,我們可以把無窮袋中的物體排成一排,這樣比較容易看清楚哪個跟哪個配對。

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如果我們以最顯而易見的方式配對,無窮加一看起來當然更大。

不過要小心!規則指出,兩個事物必須無法正好兩兩配對,才會有一者較大。(最好經常回頭看清楚規則!)還有一種配對方法確實可行,而且兩方都不會有剩餘:

如果你覺得這樣好像在騙人,請花點時間告訴自己,這樣真的沒錯。我們不是把一個物體跟點點點配對,而是把它跟隱藏在點點點中的下一個物體配對。既然兩個袋子都有無限多個物體,不會有物體配對不到,所以兩者大小相同。無窮加一等於無窮!

我來講個故事說明這個結果有多奇怪。

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無窮大飯店!如何塞進無窮 +1 位客人

假設我們在一家非常特別的「無窮大飯店」當櫃臺接待人員。無窮大飯店有無限多間房間。飯店裡有條長長的走廊,沿著走廊有一排房門,連綿不絕地延續下去,無論走多遠都不會結束。走廊沒有盡頭,所以也沒有「無窮號房」或「最後一號房」。當然有一號房,每間房間也都有下一號房。

今天晚上格外忙碌,飯店裡每間房間都住滿了(對,這個世界裡有無限多個人)。如果沿走廊隨意走一段距離,選一扇門敲幾下,就會聽到:「有人!請勿打擾!」無限多間房間,裡面住著無限多個人。

接著有人從外面走進飯店大廳說:「請問還有房間嗎?」我們不是第一天在無窮大飯店工作,當然知道該怎麼做。我們拿起廣播系統麥克風說:「各位來賓,抱歉打擾一下,請各位來賓搬到下一間房間。沒錯,請收拾好行李,走出房門,朝遠離大廳的方向搬到下一間房間。謝謝合作,祝您有個愉快的夜晚。」大家都照做之後,就有房間給新住客了。

無限多間房間,無限多加一位住客,房間跟住客依然正好兩兩配對。無窮加一等於無窮。

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無窮加五、無窮加一兆……都沒關係,這個邏輯全都成立。兩個袋子可以正好配對,可以多裝進一位客人。無窮非常大,任何有限的量根本沒得比。所以我們還沒有找到比無窮更大的事物。

——本文摘自《不用數字的數學:讓我們談談數學的概念,一些你從沒想過的事……激發無窮的想像力!》,2022 年 9 月,經濟新潮社,未經同意請勿轉載。

經濟新潮社
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「我和你之間的無限」——五条悟(五條悟)老師的能力竟與一個數學悖論有關!
數感實驗室_96
・2021/01/01 ・1495字 ・閱讀時間約 3 分鐘 ・SR值 430 ・四年級

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繼《鬼滅之刃》的熱潮後,本季的新番動畫《咒術迴戰》亦來勢洶洶,特別是在動畫揭曉五条悟老師摘下眼罩後帥到天怒人怨的臉,以及近乎犯規的能力後,更引發了許多討論。而我們感興趣的是——五条悟老師的咒術與一個數學悖論有關。

株式會社 MAPPA《咒術迴戰》動畫片段

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在動畫第七集中,五条悟讓對手漏瑚完全無法靠近他的手掌。他說:

「你觸碰到的是,我和你之間的無限。」

沒錯,這個能力和「芝諾悖論」有著異曲同工之妙。芝諾悖論的經典案例是:阿基里斯永遠追不上先起跑的烏龜。聽起來不合理吧?小孩子都能追上眼前的烏龜了,何況是號稱希臘第一勇士的阿基里斯?

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阿基里斯號稱希臘第一勇士《阿基里斯的凱旋》。圖/Wikimedia common

對此,芝諾悖論的說法是,假設阿基里斯跟烏龜之間有一段距離,當阿基里斯花時間跑完這段距離時,烏龜同一時間又走了一小段;阿基里斯再花一點時間跑這一小段,同一時間烏龜又再往前走一小段。不管距離多近,阿基里斯都得再花一點時間去追趕,而同一時間,烏龜又可以再往前跑一點點。

換句話說,「追趕者首先應該達到被追者出發之點」的前提,限制了阿基里斯前進的距離,所以只要烏龜持續前進,阿基里斯永遠都追不到烏龜。
破解這個悖論最快的方法就是帶數字算一次,假設阿基里斯的跑速 10 公尺/秒,烏龜速度則是 0.1 公尺/秒。今天,烏龜先跑 999 公尺,則阿基里斯每次追趕所花的時間分別是:

999÷10 = 99.9 秒
99.9 秒×0.1÷10 = 0.999 秒
0.999 秒×0.1÷10 = 0.00999 秒
……

我們可以得到一個首項 99.9,公比 0.01 的無窮等比數列,雖然因為公比小於 1,它會收斂在約 101,表示阿基里斯花 101 秒就能追上烏龜。但如果就有「幾項」來說,那的確是無限多項,這個就是五条悟老師說的「我和你之間的無限」。

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芝諾悖論的經典案例──阿基里斯與烏龜。圖/Wikipedia

動畫中,五条悟老師運用了這個悖論,讓對手漏瑚彷彿被一隻無形的超慢烏龜擋住,每次只能前進一點點,更重要的是,他的咒術得以讓漏瑚每次前進的時間,沒有因為距離縮短而變小。

阿基里斯之所以能追上烏龜的關鍵是,雖然有無限多項,但後期追趕的時間趨近於零。所以只要漏瑚每次前進的時間依然維持定值,那他就會真的被一隻無形的超慢烏龜擋住,每次前進距離變得無限小,他花了無限多的時間,依然無法移動,宛若靜止。

不愧是有著逆天設定的五條悟老師,連咒術的講解都那麼簡單幾句帶過,數學老師好好講,一堂課都要過去了啦!

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數感實驗室_96
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數感實驗室的宗旨是讓社會大眾「看見數學」。 數感實驗室於 2016 年 4 月成立 Facebook 粉絲頁,迄今超過 44,000 位粉絲追蹤。每天發布一則數學文章,內容包括介紹數學新知、生活中的數學應用、或是數學和文學、藝術等跨領域結合的議題。 詳見網站:http://numeracy.club/ 粉絲專頁:https://www.facebook.com/pg/numeracylab/

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搞懂「通用圖靈機」的第一站——康托爾的「無限樂園」 │《電腦簡史》數位時代(十二)
張瑞棋_96
・2020/12/07 ・3891字 ・閱讀時間約 8 分鐘 ・SR值 532 ・七年級

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本文為系列文章,上一篇請見現代電腦從此展開——馮紐曼與馮紐曼架構 │《電腦簡史》數位時代(十一)

數學能不能判定?圖靈機的源起

在美國那些電腦先驅著手設計電腦之前,英國劍橋大學有位研究所新生已經發表論文,率先指出通用型電腦的可能性。這位學生就是後來有「電腦之父」、「人工智慧之父」等美譽,還在二戰期間發明電腦破解德軍密碼的天才——圖靈。

38 歲的圖靈。圖:Wikipedia

圖靈撰寫那篇論文的初衷極為特殊,與實際計算毫無關聯。之前介紹過的那些電腦先驅,若不是因為在就學期間經歷計算之苦,就是工作上遇到瓶頸,才會一頭栽入計算機的研究,希望透過機械化與自動化讓計算更快速、更準確。但圖靈都沒遇到這些狀況,他也沒想要解決實務上的技術問題。事實上,他的論文根本無關乎計算,而是要回答一個極為抽象的大哉問:數學是否可以判定?

什麼叫可以判定?這與計算機有什麼關係?要說清楚這來龍去脈,也為了搞懂圖靈所設想出來的通用圖靈機是什麼,得先探究另一個數學問題——「無限」。

象徵無限的符號。圖:Wikipedia

無限是什麼?康托爾挑戰數學界千年共識

從亞里斯多德以降,無限向來被視為一種潛無限 (potential infinity),是進行中的未完成狀態,不能當成實體看待,更不能比較大小,否則就會出現矛盾。

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例如伽利略便曾舉出一個悖論:自然數 (1、2、3、……) 與平方數 (1、4、9、……) 哪個比較多?照理說自然數當然遠比平方數還多,可是如果用一個蘿蔔一個坑來想的話,每個自然數都有個平方數與之對應 (1🡪12、2🡪22、3🡪32、……),表示有多少自然數,就有多少平方數,兩者一樣多,這不就前後矛盾了嗎?因此伽利略主張等於、大於、小於這些關係不能應用於無限。數學王子高斯也嚴正表示:「我反對將無限量看成真實的實體來運用,這在數學之中是永遠不被允許的。無限只是一種說法而已。」這句話可以說代表了所有數學家的共同看法。

沒想到 1874 年,不到 30 歲的德國數學家康托爾 (Georg Cantor) 竟然跳出來說:不對,無限大可以當成實體做比較,而且可區分大小,例如實數的集合就比自然數的集合大!

康托爾當然有所本才敢公然挑戰數學界長久以來的信念,不過他所提出的證明是用集合論的方法,不好解釋,我們改用他後來在 1891 年提出的「對角線法」來做說明。這不只是因為這個方法更簡潔易懂,更因為它影響深遠,啟發圖靈解決了判定問題,也才誕生出極具開創意義的「通用圖靈機」。

德國數學家康托爾 (Georg Cantor,1845-1918)。圖:Wikipedia

騙肖ㄟ,有理數和自然數一樣多?

首先讓我們重溫一下怎麼比較集合的大小。基本上只要集合所含的元素一樣多,它們就是一樣大,例如A={1,2,3},B={2,4,6},兩者的元素都是 3 個,所以 A 與 B 大小相等。問題是無限數列沒有止盡,要怎麼數有幾個?沒關係,同樣用一個蘿蔔一個坑的概念,只要兩個集合的元素彼此一一對應,就代表這兩個集合大小相等。所以按照這個定義,伽利略悖論就解決了:自然數的集合與平方數的集合一樣大。

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那麼自然數與有理數呢?可以用分數表示的數就是有理數,而光在 0 和 1 之間就有無限個分數,當然是有理數遠多於自然數啊!等等,且看康托爾怎麼巧妙地列出所有有理數:

1/1

1/2、2/1

1/3、2/2、3/1

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1/4、2/3、3/2、4/1

…………以此類推

第一行是分子與分母相加為 2 的有理數,第二行是分子與分母相加為 3 的有理數,第三行相加為 4、第四行相加為 5,……以此類推,便可以列出全部的有理數,一個都不漏。然後我們再由上往下,一行一行的由左向右依序為每個有理數編號:1、2、3、4、……,如此一來,有理數不就與自然數一一對應了嗎?所以有理數的集合與自然數的集合也是一樣大。(如果要涵蓋負的有理數,只要依樣放在這個三角形列表的右半部就行了)

到目前為止,我們看到自然數、平方數、有理數這些集合,雖然乍看明明大小不同,結果卻證明無限是不分軒輊的。那麼同樣是無限多的實數,憑什麼就比它們都來得大呢?

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比無限大還大?康托爾祭出對角線法

實數除了有理數,還包括無理數,也就是無法用分數表示的數,例如 \(\sqrt{2}\)、π、……等等,所以我們得用小數來列舉實數。先來看 0 與 1 之間的所有實數,也就是純小數。絕大部分的數字小數點後有無限多位數,所以沒辦法像有理數那樣依序一一列舉,不過沒關係,我們就不按大小順序而是任意列舉,例如:

  1.  0.541592653……
  2.  0.041719652……
  3.  0.862235975……
  4.  0.640194231……
  5.  0.234178276……

……

反正我們姑且假設所有純小數都在這張無限長的表格裡了,因此都有個自然數與它對應。現在對角線法要上場了。我們從第一行取小數點後第一個位數,第二行取第二位數,以此類推,可以得到一個小數:0.54217……。然後我們將每個位數都加上 1,會得到一個新的小數:0.65328……。

這個新的小數很特別喔,因為它和每一行的數字都有一個位數不符,表示它絕對不在這張表裡面,也就是這個小數沒被自然數對應到,前面假設所有純小數都在這張表並不成立。

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你可能會說:那還不簡單,再把這個新的小數加進去這張表就好啦。可是加了之後,我們仍然可以用剛剛的對角線法,又產生一個不在表中的新數字,因此永遠有自然數對應不到的小數,足以證明小數的集合比自然數還要大。

康托爾把自然數、有理數這類可列舉的數稱為「可數無限」,是最初級的無限,算是第 0 級。小數則是「不可數無限」,是第 1 級無限,比第 0 級無限還要大(註一)。就這樣,長達兩千年的普遍信念,一夕之間被康托爾徹底顛覆了,無限不再是無從比較的概念,而是可以明確區辨的實體。

現在你知道什麼是對角線法,已經可以直接到下一站,看看圖靈如何構思出計算機。不過康托爾還有許多令人驚奇的把戲,何不繼續往下一探究竟,看看自己有多少錯誤的迷思?

無限的無限的無限……——冪集合的威力

我們已經知道無限有分等級,而純小數的無限等級比自然數或有理數還大。那有比純小數更大的無限嗎?例如 0 到 100 之間的實數?既然實數屬於特殊的不可數無限,不能用前面證明有理數與自然數一樣多的列舉對應方式,那麼範圍更大的實數是不是無限等級就比較大? 

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直接宣布答案:不,都一樣大。即使是從負無限大到正無限大,涵蓋所有實數的集合仍然與 0 與 1 之間的純小數一樣大。怎麼證明?如下圖,我們畫一個直徑為 1 的半圓,在它下方畫一條代表往兩端無限延伸的直線。從這條直線上的任一點畫一條線與圓心相連,會與半圓相交於一點。這個點對應到直線上的位置一定會落在 0 與 1 之間,表示任一實數都會有一個純小數與之對應,所以所有實數的集合與純小數的集合一樣大。

講到這裡,你大概會以為無限就分兩種:自然數、有理數這類可數無限屬於第 0 級無限,小數、實數這類不可數無限屬於第 1 級無限。往上不會有更大的無限,畢竟實數都已經涵蓋所有數字了。沒想到康托爾就像魔術師從空無一物的帽子變出兔子般,竟然端出了比第 1 級無限更大的無限:冪集合

冪是次方的意思。一個包含 n 個元素的集合,它的子集合個數為 2n,把這些子集合當成元素全部集合在一起,就成為原來那個集合的冪集合。例如集合 A={1,2,3},那麼 A 的冪集合就是由空集合、{1}、{2}、{3}、{1,2}、{1,3}、{2,3}、{1,2,3},這 8 個集合為元素所構成的集合。

康托爾於 1891 年證明無限集合的冪集合是更大的無限(註二),例如自然數的集合是第 0 級無限,它的冪集合就是第 1 級無限;同理,實數的冪集合則是第 2 級無限。還沒完喔,實數的冪集合又可以組成更大的冪集合(就像上面舉例的 A 集合,它的冪集合的冪集合就有 28 =256 個元素),而誕生出第 3 級無限。

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你會想這樣不是沒完沒了嗎?沒錯,新的冪集合不斷衍生,無限的等級也越來越大,永無止盡。

康托爾掀起巨浪,自己卻反遭吞噬

原本一片渾沌的無限,經康托爾大刀一揮,不但有大小之分,而且宛如侏儸紀公園裡的恐龍,一隻比一隻巨大,更可怕的是完全沒有極限。不過康托爾革命性的創見並未獲得當時的主流認同,尤其他的老師公開嚴厲批判,不但造成康托爾謀求教職不順,更重創他的心靈。

1884 年開始,康托爾數度精神崩潰住院治療。出院後他曾一度放棄數學,轉而研究歷史與神學,但後來還是「雖千萬人吾往矣」,繼續打破無限的迷思,發明出影響深遠的對角線法。1900 年代初期,康托爾的研究成果終於逐漸獲得肯定,無奈 1917 年他最後一次進入療養院時,德國因為一次世界大戰戰情吃緊,實施食物配給。康托爾因此營養不良而健康惡化,隔年就在院內過世,享年73歲。

好了,無限樂園的導覽到此告一段落,下一章我們就要介紹圖靈。他的悲慘命運不下於康托爾,也是做出了無與倫比的貢獻,最後卻以悲劇結束一生。

註一:康托爾相信並不存在大小介於第 0 級與第 1 級之間的無限。但這至今仍無法證明,因此稱為「連續統假設」。

註二:康托爾就是為此而發明對角線法。證明方式與前面證明純小數比自然數多的做法類似,先假設冪集合可以與原來的集合完全對應,再證明冪集合中永遠有對應不到的元素,所以冪集合的無限等級又大一級。

張瑞棋_96
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1987年清華大學工業工程系畢業,1992年取得美國西北大學工業工程碩士。浮沉科技業近二十載後,退休賦閒在家,當了中年大叔才開始寫作,成為泛科學專欄作者。著有《科學史上的今天》一書;個人臉書粉絲頁《科學棋談》。