康托爾誕辰｜科學史上的今天：3/3

對數學家與哲學家而言，無限大就像個怪物。哲學碰上無限就會產生一堆悖論，例如芝諾悖論、無限大飯店、⋯⋯等等。無限大更是在數學製造了一堆矛盾，例如：無限序列 1 – 1 + 1 – 1 + ⋯⋯的總和到底是等於 0 或 1、或是 1/2？我們可以讓自然數與平方數的數列彼此一一對應（1→1, 2→4, 3→9, ⋯⋯），但平方數顯然又只占自然數的一小部分，那麼自然數的集合究竟比平方數的集合大還是兩者一樣大？

面對這些令人困惑的矛盾，大家的共識就是：無限只能當作一種概念，一個持續的未完成狀態，所以不能計算或比較大小。數學王子高斯就嚴肅表示：「我反對將無限量看成真實的實體來運用，這在數學之中是永遠不被允許的。無限只是一種說法而已。」直到不信邪的德國數學家康托爾出現，祭出集合論這面照妖鏡，才讓無限這個怪物現出原形，扭轉了千年以來對於無限的認知。

康托爾創立集合論，將無限當成可以一一對應其中元素的集合來處理。經由他無懈可擊的證明，無限的確有大小等級不同之分。自然數、平方數、整數、有理數的集合都是「可數無限」，屬於最初級（第零級）的無限，它們都一樣大。但無理數、實數的集合就是另一種「不可數無限」，硬是比第零級的無限還大，屬於第一級的無限。不只如此，還有更大的無限，一級一級往上沒有止盡。也就是說，世人以為無限是一隻神秘的怪物，但康托爾卻撥開迷霧，指出無限其實是一群數不完的大小不同的怪物。

然而康托爾天才般的洞見卻被當時的學界權威批評為「並無重要意義」、「騙局」。康托爾一方面承受極大的壓力，一方面又受困於自己提出來的疑問──存不存在大小介於第零級與第一級之間的無限？他試圖證明並不存在這樣的無限集合（稱為「連續統假設」），但搏鬥多年卻始終未果，乃數度精神崩潰住院治療。到了一次大戰，因實施食物配給而健康更加惡化，終於在 1918 年於精神療養院中過世，享年 73 歲。

如今康托爾的貢獻已被普遍認同，他開創的集合論已成為現代數學的基石。大數學家希爾伯特曾捍衛地宣稱：「沒有人能將我們從康托爾為我們創造的樂園中驅逐出去」。他的連續統假設仍列於有待解決的 23 個最重要的數學問題之首，等待後人征服。

本文同時收錄於《科學史上的今天：歷史的瞬間，改變世界的起點》，由究竟出版社出版。