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康托爾誕辰|科學史上的今天:3/3

對數學家與哲學家而言,無限大就像個怪物。哲學碰上無限就會產生一堆悖論,例如芝諾悖論、無限大飯店、⋯⋯等等。無限大更是在數學製造了一堆矛盾,例如:無限序列 1 – 1 + 1 – 1 + ⋯⋯的總和到底是等於 0 或 1、或是 1/2?我們可以讓自然數與平方數的數列彼此一一對應(1→1, 2→4, 3→9, ⋯⋯),但平方數顯然又只占自然數的一小部分,那麼自然數的集合究竟比平方數的集合大還是兩者一樣大?

面對這些令人困惑的矛盾,大家的共識就是:無限只能當作一種概念,一個持續的未完成狀態,所以不能計算或比較大小。數學王子高斯就嚴肅表示:「我反對將無限量看成真實的實體來運用,這在數學之中是永遠不被允許的。無限只是一種說法而已。」直到不信邪的德國數學家康托爾出現,祭出集合論這面照妖鏡,才讓無限這個怪物現出原形,扭轉了千年以來對於無限的認知。

康托爾創立集合論,將無限當成可以一一對應其中元素的集合來處理。經由他無懈可擊的證明,無限的確有大小等級不同之分。自然數、平方數、整數、有理數的集合都是「可數無限」,屬於最初級(第零級)的無限,它們都一樣大。但無理數、實數的集合就是另一種「不可數無限」,硬是比第零級的無限還大,屬於第一級的無限。不只如此,還有更大的無限,一級一級往上沒有止盡。也就是說,世人以為無限是一隻神秘的怪物,但康托爾卻撥開迷霧,指出無限其實是一群數不完的大小不同的怪物。

然而康托爾天才般的洞見卻被當時的學界權威批評為「並無重要意義」、「騙局」。康托爾一方面承受極大的壓力,一方面又受困於自己提出來的疑問──存不存在大小介於第零級與第一級之間的無限?他試圖證明並不存在這樣的無限集合(稱為「連續統假設」),但搏鬥多年卻始終未果,乃數度精神崩潰住院治療。到了一次大戰,因實施食物配給而健康更加惡化,終於在 1918 年於精神療養院中過世,享年 73 歲。

如今康托爾的貢獻已被普遍認同,他開創的集合論已成為現代數學的基石。大數學家希爾伯特曾捍衛地宣稱:「沒有人能將我們從康托爾為我們創造的樂園中驅逐出去」。他的連續統假設仍列於有待解決的 23 個最重要的數學問題之首,等待後人征服。

本文同時收錄於《科學史上的今天:歷史的瞬間,改變世界的起點》,由究竟出版社出版。


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關於作者

張瑞棋

1987年清華大學工業工程系畢業,1992年取得美國西北大學工業工程碩士。自小喜愛科學新知,浮沉科技業近二十載後,退休賦閒在家,更成為重度閱讀者。當了中年大叔才成為泛科學專欄作者,著有《科學史上的今天》一書,如今又因翻譯《解事者》,而多了個譯者的身分。

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