康托爾誕辰｜科學史上的今天：3/3

我們都知道無窮（infinity）是什麼。無窮比任何數都更大。當你從一二三不停數下去的時候你會靠近它。它也是萬物甚至更多事物的總和。

我們談到無窮時，一定會想知道一件事：

比無窮還大？有可能嗎？

這個問題其實真的有答案。它不是開放性問題，也不是陷阱題。答案不是「是」就是「否」，而且我會在這一章的結尾公布答案。

讀者可以先猜猜看，但我們或許應該先訂好遊戲規則，讓大家知道該怎麼思考。

具體說來，我們需要訂定關於「較大」的規則。我們要怎麼確定自己發現了比無窮更大的事物？如果是有限的量，要分辨某個事物比另一個事物更大相當容易，但碰到無窮時似乎就沒那麼簡單了。我們不希望完全靠感覺判斷，所以必須選擇簡單明瞭的規則，用來判定一個量是否比另一個量「更大」。

配對數量的多寡來判斷哪邊比較「大」

那麼，在一般、有限的狀況下，我們通常怎麼判定「較大」？我們說右邊這一堆比左邊的更大是什麼意思？

沒錯，用看的就知道。但假設我們遇到一個外星人，這個外星人從沒聽過「更大」、「更多」、「更好」這些概念，我們該如何解釋右邊這堆較大？真的，試試看就知道。這個概念太基本了，其實很難從頭開始解釋。

當我們碰到困難時，數學中有個常用的技巧，就是提出完全相反的問題，看看會有什麼結果。我們要怎麼跟外星人解釋這兩堆的大小相同？

我們不能用「相等」這個詞，因為它正是我們要去解釋的東西。這個外星人想了解我們說兩樣事物「相等」或「相同」時是什麼意思，以及它的主要概念是什麼。

有個方法行得通。把兩堆東西並排起來，一個對一個。如果兩兩配對後正好用完，沒有剩餘，表示這兩堆東西大小相同。

「提出相反問題」的技巧確實有用。只要把這個規則反轉過來，就能得到「較大」的定義。

現在問題已經定義清楚了，答案也隨之確定。那麼，世界上有什麼事物比無窮更大？答案是「是」還是「否」？世界上有什麼事物和無窮兩兩配對之後還有剩餘？現在我們可以思考之後猜猜看。

無窮跟無窮 +1 誰比較大？

我們可以把無窮想成一個深不見底的袋子，裡面裝著無限多個物體。

我們可以從這個袋子裡拿出任意數量的物體，袋子裡也還剩下無限多個。

世界上怎麼可能有其他事物比它更大？好吧，如果是無窮加一呢？

多一個物體看來應該不會對無窮造成什麼影響，但我們用配對規則來確認看看。首先，我們可以把無窮袋中的物體排成一排，這樣比較容易看清楚哪個跟哪個配對。

如果我們以最顯而易見的方式配對，無窮加一看起來當然更大。

不過要小心！規則指出，兩個事物必須無法正好兩兩配對，才會有一者較大。（最好經常回頭看清楚規則！）還有一種配對方法確實可行，而且兩方都不會有剩餘：

如果你覺得這樣好像在騙人，請花點時間告訴自己，這樣真的沒錯。我們不是把一個物體跟點點點配對，而是把它跟隱藏在點點點中的下一個物體配對。既然兩個袋子都有無限多個物體，不會有物體配對不到，所以兩者大小相同。無窮加一等於無窮！

我來講個故事說明這個結果有多奇怪。

無窮大飯店！如何塞進無窮 +1 位客人

假設我們在一家非常特別的「無窮大飯店」當櫃臺接待人員。無窮大飯店有無限多間房間。飯店裡有條長長的走廊，沿著走廊有一排房門，連綿不絕地延續下去，無論走多遠都不會結束。走廊沒有盡頭，所以也沒有「無窮號房」或「最後一號房」。當然有一號房，每間房間也都有下一號房。

今天晚上格外忙碌，飯店裡每間房間都住滿了（對，這個世界裡有無限多個人）。如果沿走廊隨意走一段距離，選一扇門敲幾下，就會聽到：「有人！請勿打擾！」無限多間房間，裡面住著無限多個人。

接著有人從外面走進飯店大廳說：「請問還有房間嗎？」我們不是第一天在無窮大飯店工作，當然知道該怎麼做。我們拿起廣播系統麥克風說：「各位來賓，抱歉打擾一下，請各位來賓搬到下一間房間。沒錯，請收拾好行李，走出房門，朝遠離大廳的方向搬到下一間房間。謝謝合作，祝您有個愉快的夜晚。」大家都照做之後，就有房間給新住客了。

無限多間房間，無限多加一位住客，房間跟住客依然正好兩兩配對。無窮加一等於無窮。

無窮加五、無窮加一兆……都沒關係，這個邏輯全都成立。兩個袋子可以正好配對，可以多裝進一位客人。無窮非常大，任何有限的量根本沒得比。所以我們還沒有找到比無窮更大的事物。

——本文摘自《不用數字的數學：讓我們談談數學的概念，一些你從沒想過的事……激發無窮的想像力！》，2022 年 9 月，經濟新潮社，未經同意請勿轉載。

• 本文轉載自數感實驗室 Numeracy Lab

繼《鬼滅之刃》的熱潮後，本季的新番動畫《咒術迴戰》亦來勢洶洶，特別是在動畫揭曉五条悟老師摘下眼罩後帥到天怒人怨的臉，以及近乎犯規的能力後，更引發了許多討論。而我們感興趣的是——五条悟老師的咒術與一個數學悖論有關。

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在動畫第七集中，五条悟讓對手漏瑚完全無法靠近他的手掌。他說：

「你觸碰到的是，我和你之間的無限。」

沒錯，這個能力和「芝諾悖論」有著異曲同工之妙。芝諾悖論的經典案例是：阿基里斯永遠追不上先起跑的烏龜。聽起來不合理吧？小孩子都能追上眼前的烏龜了，何況是號稱希臘第一勇士的阿基里斯？

對此，芝諾悖論的說法是，假設阿基里斯跟烏龜之間有一段距離，當阿基里斯花時間跑完這段距離時，烏龜同一時間又走了一小段；阿基里斯再花一點時間跑這一小段，同一時間烏龜又再往前走一小段。不管距離多近，阿基里斯都得再花一點時間去追趕，而同一時間，烏龜又可以再往前跑一點點。

換句話說，「追趕者首先應該達到被追者出發之點」的前提，限制了阿基里斯前進的距離，所以只要烏龜持續前進，阿基里斯永遠都追不到烏龜。
破解這個悖論最快的方法就是帶數字算一次，假設阿基里斯的跑速 10 公尺／秒，烏龜速度則是 0.1 公尺／秒。今天，烏龜先跑 999 公尺，則阿基里斯每次追趕所花的時間分別是：

999÷10 = 99.9 秒
99.9 秒×0.1÷10 = 0.999 秒
0.999 秒×0.1÷10 = 0.00999 秒
……

我們可以得到一個首項 99.9，公比 0.01 的無窮等比數列，雖然因為公比小於 1，它會收斂在約 101，表示阿基里斯花 101 秒就能追上烏龜。但如果就有「幾項」來說，那的確是無限多項，這個就是五条悟老師說的「我和你之間的無限」。

動畫中，五条悟老師運用了這個悖論，讓對手漏瑚彷彿被一隻無形的超慢烏龜擋住，每次只能前進一點點，更重要的是，他的咒術得以讓漏瑚每次前進的時間，沒有因為距離縮短而變小。

阿基里斯之所以能追上烏龜的關鍵是，雖然有無限多項，但後期追趕的時間趨近於零。所以只要漏瑚每次前進的時間依然維持定值，那他就會真的被一隻無形的超慢烏龜擋住，每次前進距離變得無限小，他花了無限多的時間，依然無法移動，宛若靜止。

不愧是有著逆天設定的五條悟老師，連咒術的講解都那麼簡單幾句帶過，數學老師好好講，一堂課都要過去了啦！

本文為系列文章，上一篇請見：現代電腦從此展開——馮紐曼與馮紐曼架構 │《電腦簡史》數位時代（十一）

數學能不能判定？圖靈機的源起

在美國那些電腦先驅著手設計電腦之前，英國劍橋大學有位研究所新生已經發表論文，率先指出通用型電腦的可能性。這位學生就是後來有「電腦之父」、「人工智慧之父」等美譽，還在二戰期間發明電腦破解德軍密碼的天才——圖靈。

圖靈撰寫那篇論文的初衷極為特殊，與實際計算毫無關聯。之前介紹過的那些電腦先驅，若不是因為在就學期間經歷計算之苦，就是工作上遇到瓶頸，才會一頭栽入計算機的研究，希望透過機械化與自動化讓計算更快速、更準確。但圖靈都沒遇到這些狀況，他也沒想要解決實務上的技術問題。事實上，他的論文根本無關乎計算，而是要回答一個極為抽象的大哉問：數學是否可以判定？

什麼叫可以判定？這與計算機有什麼關係？要說清楚這來龍去脈，也為了搞懂圖靈所設想出來的通用圖靈機是什麼，得先探究另一個數學問題——「無限」。

無限是什麼？康托爾挑戰數學界千年共識

從亞里斯多德以降，無限向來被視為一種潛無限 (potential infinity)，是進行中的未完成狀態，不能當成實體看待，更不能比較大小，否則就會出現矛盾。

例如伽利略便曾舉出一個悖論：自然數 (1、2、3、……) 與平方數 (1、4、9、……) 哪個比較多？照理說自然數當然遠比平方數還多，可是如果用一個蘿蔔一個坑來想的話，每個自然數都有個平方數與之對應 (1🡪1²、2🡪2²、3🡪3²、……)，表示有多少自然數，就有多少平方數，兩者一樣多，這不就前後矛盾了嗎？因此伽利略主張等於、大於、小於這些關係不能應用於無限。數學王子高斯也嚴正表示：「我反對將無限量看成真實的實體來運用，這在數學之中是永遠不被允許的。無限只是一種說法而已。」這句話可以說代表了所有數學家的共同看法。

沒想到 1874 年，不到 30 歲的德國數學家康托爾 (Georg Cantor) 竟然跳出來說：不對，無限大可以當成實體做比較，而且可區分大小，例如實數的集合就比自然數的集合大！

康托爾當然有所本才敢公然挑戰數學界長久以來的信念，不過他所提出的證明是用集合論的方法，不好解釋，我們改用他後來在 1891 年提出的「對角線法」來做說明。這不只是因為這個方法更簡潔易懂，更因為它影響深遠，啟發圖靈解決了判定問題，也才誕生出極具開創意義的「通用圖靈機」。

騙肖ㄟ，有理數和自然數一樣多？

首先讓我們重溫一下怎麼比較集合的大小。基本上只要集合所含的元素一樣多，它們就是一樣大，例如A={1,2,3}，B={2,4,6}，兩者的元素都是 3 個，所以 A 與 B 大小相等。問題是無限數列沒有止盡，要怎麼數有幾個？沒關係，同樣用一個蘿蔔一個坑的概念，只要兩個集合的元素彼此一一對應，就代表這兩個集合大小相等。所以按照這個定義，伽利略悖論就解決了：自然數的集合與平方數的集合一樣大。

那麼自然數與有理數呢？可以用分數表示的數就是有理數，而光在 0 和 1 之間就有無限個分數，當然是有理數遠多於自然數啊！等等，且看康托爾怎麼巧妙地列出所有有理數：

1/1

1/2、2/1

1/3、2/2、3/1

1/4、2/3、3/2、4/1

…………以此類推

第一行是分子與分母相加為 2 的有理數，第二行是分子與分母相加為 3 的有理數，第三行相加為 4、第四行相加為 5，……以此類推，便可以列出全部的有理數，一個都不漏。然後我們再由上往下，一行一行的由左向右依序為每個有理數編號：1、2、3、4、……，如此一來，有理數不就與自然數一一對應了嗎？所以有理數的集合與自然數的集合也是一樣大。（如果要涵蓋負的有理數，只要依樣放在這個三角形列表的右半部就行了）

到目前為止，我們看到自然數、平方數、有理數這些集合，雖然乍看明明大小不同，結果卻證明無限是不分軒輊的。那麼同樣是無限多的實數，憑什麼就比它們都來得大呢？

比無限大還大？康托爾祭出對角線法

實數除了有理數，還包括無理數，也就是無法用分數表示的數，例如 \(\sqrt{2}\)、π、……等等，所以我們得用小數來列舉實數。先來看 0 與 1 之間的所有實數，也就是純小數。絕大部分的數字小數點後有無限多位數，所以沒辦法像有理數那樣依序一一列舉，不過沒關係，我們就不按大小順序而是任意列舉，例如：

1. 　0.541592653……
2. 　0.041719652……
3. 　0.862235975……
4. 　0.640194231……
5. 　0.234178276……

……

反正我們姑且假設所有純小數都在這張無限長的表格裡了，因此都有個自然數與它對應。現在對角線法要上場了。我們從第一行取小數點後第一個位數，第二行取第二位數，以此類推，可以得到一個小數：0.54217……。然後我們將每個位數都加上 1，會得到一個新的小數：0.65328……。

這個新的小數很特別喔，因為它和每一行的數字都有一個位數不符，表示它絕對不在這張表裡面，也就是這個小數沒被自然數對應到，前面假設所有純小數都在這張表並不成立。

你可能會說：那還不簡單，再把這個新的小數加進去這張表就好啦。可是加了之後，我們仍然可以用剛剛的對角線法，又產生一個不在表中的新數字，因此永遠有自然數對應不到的小數，足以證明小數的集合比自然數還要大。

康托爾把自然數、有理數這類可列舉的數稱為「可數無限」，是最初級的無限，算是第 0 級。小數則是「不可數無限」，是第 1 級無限，比第 0 級無限還要大（註一）。就這樣，長達兩千年的普遍信念，一夕之間被康托爾徹底顛覆了，無限不再是無從比較的概念，而是可以明確區辨的實體。

現在你知道什麼是對角線法，已經可以直接到下一站，看看圖靈如何構思出計算機。不過康托爾還有許多令人驚奇的把戲，何不繼續往下一探究竟，看看自己有多少錯誤的迷思？

無限的無限的無限……——冪集合的威力

我們已經知道無限有分等級，而純小數的無限等級比自然數或有理數還大。那有比純小數更大的無限嗎？例如 0 到 100 之間的實數？既然實數屬於特殊的不可數無限，不能用前面證明有理數與自然數一樣多的列舉對應方式，那麼範圍更大的實數是不是無限等級就比較大？ 

直接宣布答案：不，都一樣大。即使是從負無限大到正無限大，涵蓋所有實數的集合仍然與 0 與 1 之間的純小數一樣大。怎麼證明？如下圖，我們畫一個直徑為 1 的半圓，在它下方畫一條代表往兩端無限延伸的直線。從這條直線上的任一點畫一條線與圓心相連，會與半圓相交於一點。這個點對應到直線上的位置一定會落在 0 與 1 之間，表示任一實數都會有一個純小數與之對應，所以所有實數的集合與純小數的集合一樣大。

講到這裡，你大概會以為無限就分兩種：自然數、有理數這類可數無限屬於第 0 級無限，小數、實數這類不可數無限屬於第 1 級無限。往上不會有更大的無限，畢竟實數都已經涵蓋所有數字了。沒想到康托爾就像魔術師從空無一物的帽子變出兔子般，竟然端出了比第 1 級無限更大的無限：冪集合。

冪是次方的意思。一個包含 n 個元素的集合，它的子集合個數為 2ⁿ，把這些子集合當成元素全部集合在一起，就成為原來那個集合的冪集合。例如集合 A={1,2,3}，那麼 A 的冪集合就是由空集合、{1}、{2}、{3}、{1,2}、{1,3}、{2,3}、{1,2,3}，這 8 個集合為元素所構成的集合。

康托爾於 1891 年證明無限集合的冪集合是更大的無限（註二），例如自然數的集合是第 0 級無限，它的冪集合就是第 1 級無限；同理，實數的冪集合則是第 2 級無限。還沒完喔，實數的冪集合又可以組成更大的冪集合（就像上面舉例的 A 集合，它的冪集合的冪集合就有 2⁸ =256 個元素），而誕生出第 3 級無限。

你會想這樣不是沒完沒了嗎？沒錯，新的冪集合不斷衍生，無限的等級也越來越大，永無止盡。

康托爾掀起巨浪，自己卻反遭吞噬

原本一片渾沌的無限，經康托爾大刀一揮，不但有大小之分，而且宛如侏儸紀公園裡的恐龍，一隻比一隻巨大，更可怕的是完全沒有極限。不過康托爾革命性的創見並未獲得當時的主流認同，尤其他的老師公開嚴厲批判，不但造成康托爾謀求教職不順，更重創他的心靈。

1884 年開始，康托爾數度精神崩潰住院治療。出院後他曾一度放棄數學，轉而研究歷史與神學，但後來還是「雖千萬人吾往矣」，繼續打破無限的迷思，發明出影響深遠的對角線法。1900 年代初期，康托爾的研究成果終於逐漸獲得肯定，無奈 1917 年他最後一次進入療養院時，德國因為一次世界大戰戰情吃緊，實施食物配給。康托爾因此營養不良而健康惡化，隔年就在院內過世，享年73歲。

好了，無限樂園的導覽到此告一段落，下一章我們就要介紹圖靈。他的悲慘命運不下於康托爾，也是做出了無與倫比的貢獻，最後卻以悲劇結束一生。

註一：康托爾相信並不存在大小介於第 0 級與第 1 級之間的無限。但這至今仍無法證明，因此稱為「連續統假設」。

註二：康托爾就是為此而發明對角線法。證明方式與前面證明純小數比自然數多的做法類似，先假設冪集合可以與原來的集合完全對應，再證明冪集合中永遠有對應不到的元素，所以冪集合的無限等級又大一級。