Loading [MathJax]/extensions/tex2jax.js

0

0
0

文字

分享

0
0
0

公設化集合論的奧秘 (8) 如何打造「測量」集合的武器?

翁 昌黎
・2015/01/07 ・2817字 ・閱讀時間約 5 分鐘 ・SR值 568 ・九年級
相關標籤:

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

5430142804_b5ca65584f_z

文 / 翁昌黎(《孔恩vs.波普》中文譯者)

在之前的幾篇文章裡,我們用無限公設引入了第一個無限集合—全體自然數的集合N,之後又利用康托神奇的對角線方法證明了有一種集合的元素個數居然超過了全體自然數所形成的集合。按照直覺,我們可以輕易對有限集合的大小,也就是其所屬成員或元素的個數進行比較:比如集合A = {1, 4, 7}和集合B = {1, 2, 3, 4}。A有三個元素而B有四個元素,所以B比A大,意思是說B所含的元素比A所含的元素多。你會發現只要有小學低年級的數數能力就能夠判斷出每個有限集合的大小,方法就是細數每個集合元素的個數,即使元素個數很多,但只要你有足夠的時間和耐心,應該不太費腦筋就能完成這個任務。

但對於無限集合又如何呢?比如N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7…}和所有偶數集合E ={2, 4, 6, 8, 10…},到底哪個集合大?對此我們可以進行幾種猜測。首先,按照對有限集合的經驗,你會發現E比N少了許多元素,1、3、 5、 7、 9等奇數在E中都沒有出現,而且實際上整個奇數的無限集合O= {1, 3, 5, 7…}在E裡都付之闕如。因此我們似乎可以「合理」推斷N一定比E大,否則怎麼解釋那些「消失」的元素呢?

但若細想又會發現N和E的元素可以一直往後無盡延伸,既然兩者都沒有盡頭的話,那麼說N比E大又顯得不太合理,兩者應該一樣大才對啊!可是比N少了無限個元素的E怎麼可能和N一樣大呢? 或者有人乾脆說既然兩者都沒有盡頭那就表示無法比較,能夠作出比較的只能是具有某個數值的有限集合。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

我們到底該何去何從?問題在於之前我們僅僅基於直覺和經驗而對有限集合的大小進行常識判斷,但我們並沒有提出一套標準和程序來衡量或測量集合的大小,此外我們對無限集合根本缺乏任何直觀經驗。世界上沒有人真的把自然數從頭到尾都數過一遍,要全數過了才叫作具有經驗。在純粹理論的世界裡,我們不能依賴經驗和直觀來確保知識的正確性,反之必須提出一套精確的概念和標準程序才行,這讓我們再次向康托求救。

他所採取的策略是用函數的對應關係來處理無限集合的大小。但在描述嚴格的函數定義之前,我們先簡述一下康托的原始構想。康托認為對任何集合來說,不一定非得把集合的所有家當(元素個數)統計加總之後才能做比較,我們可以讓兩個集合之間的成員一一配對,然後觀察依序配對之後哪個集合還有多餘的成員沒找到「搭檔」。這種配對類似一種抵消過程,抵消之後還殘留有多餘成員的集合就「勝出」。真不愧是一個聰明合理的辦法,一方面對有限集合來說,它的結果和小學生數數的方法完全一致,而額外的紅利是它還可以用來處理無限集合。

正所謂「工欲善其事,必先利其器」,要理解康托這個「隱藏家產」的數學策略首先要引入一個有利的數學武器,那就是如何定義兩個集合之間的等量關係,定義如下:

定義1   對任意兩個集合A和B,如果存在一個一對一(one-to-one )且映成(onto)的函數(function)ƒ : A→B,則稱A與B等量(equinumerous),寫成A≈B

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

其中A稱為函數ƒ的定義域(Domain),B 稱為函數ƒ的對應域(Co-domain)。那麼函數是個甚麼東東呢?通常的說法認為函數ƒ是建立在A和B兩個集合之間的對應關係,中學數學一般寫成y=ƒ(x),其中 x∈A且  y ∈ B,函數ƒ被認為是一個變動的y值,這個y因x的變化而不斷改變其值。

但回顧一下來時遙遙路,公設化集合論這門最嚴格的數學分支其基本原則是只允許用成員關係 ∈ 來討論集合(嚴格來講這句話只對ZF系統有效,若是另一套NBG系統則允許我們談論集合和真類)。現在半路忽然殺出函數這個異鄉人,我們該如何面對?對應關係雖不難理解,但它看起來有點抽象,更麻煩的的是雖然A和B都是集合,但這個抽象的所謂對應關係ƒ也是集合嗎?怎麼看都不太像,而且到目前尚未發現成員關係∈在函數的運算中佔有核心位置!

還好在抽象代數(或稱近世代數))和高等分析學裡對於函數有另一種表達方式,更常用來描述函數ƒ的是序對 (x , y)而不是對應關係y=ƒ(x) 。在代數或分析學的課本裡,函數經常被寫成類似這種形式:ƒ= {(x, y)| x∈A, y ∈ B, P(x, y)}。這樣寫之後函數的本質變得更加清晰具體了,一個函數 ƒ 是所有序對(x , y)所形成的集合,其中x是A的成員而y是B的成員,但必須滿足一個條件: 那就是每一個A集合的成員只能對應到一個B集合的成員,不能一個對兩個或更多個。用數學符號來表達就是:若  (x, y) = (x, z) ,則y=z。以 ƒ0:N→N為例,如果 ƒ0( 1 )=1且ƒ0(1)=2,那麼 ƒ0就不符合函數的資格,因為ƒ0讓1同時對應到兩個值。但函數卻可以允許像

ƒ1(1)=3,ƒ1(4)=3,ƒ1(10)=3,ƒ1(17)=3這種多對一的情況。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

現在先停下腳步來解釋一下序對的性質。既然說是序對(ordered pairs),表示其成員間的前後次序是相當重要的。在集合裡,{a, b}和{b, a}被視為是相同的集合,換句話說,元素的前後次序對集合來說並不重要。但 (a, b)和(b, a)並非兩個相同的序對,它們代表兩個完全不同的物件。如果用序對來表示平面座標系裡的一個點,那(2,3)和(3,2)並不是同一個點,這是序對與集合之間的重大差別。

目前有了一點進展,我們讓函數從抽象的對應關係還原成某些序對的集合,接下來我們繼續追問一個問題:以序對為元素所形成的集合本身是集合嗎?答案的關鍵在於序對首先必須是集合才行,如果序對不是集合的話,那我們就無法將它們蒐集起來形成集合,這是公設化集合論的基本裝置。

因此要破解函數的真身首先必須破解序對的真身,當我們知道序對的真實身分之後,也就同時知道函數的真實身分了,因為函數是由序對所形成的集合。如果你只是一直望著序對 ( x, y)發呆,那很難看出甚麼端倪,我們需要一個破解序對的方法才行。波蘭數學家暨邏輯學家庫拉托夫斯基(Kuratowski)在1921年給出了目前使用最廣的用集合來界定序對的定義:

定義2   (a, b)= {{a}, {a, b}}

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

這個定義讓序對(a, b)可以寫成集合的形式。根據配對公設,{a}和{a, b}都是集合,再使用一次配對公設,把{a}和{a, b}抓起來形成的集合{{a}, {a, b}}也是集合,因此(a, b)是集合沒錯。通過了第一關,但我們仍然要進一步確認,這個定義是否符合我們期待序對應該擁有的性質,那就是我們可以根據前後兩個元素的選取而確定一個特定的集合。也就是我們要證明:

定理1  x, y, u, v都是集合,若(x, y)=(u, v),則x=u且y=v。

你可以先試著把它證明出來,我們把這個工作留待下回分解。但目前先「假裝」這個定理是正確的,之所以需要「假裝」,是因為在邏輯與數學的世界裡,除了公設和定義之外,任何的語句陳述未經證明都是可疑的,不可以想當然爾,也不能直覺認定,希望讀者們能養成這種多疑的「好習慣」。

透過上述的定義和定理,我們已經成功地把序對(x, y)轉化成合法的集合,但由於函數就是序對,所以經過這兩道手續之後我們已經成功地為函數取得集合的「身分證」。以後當我們使用函數或談到函數時,就完全可以把它們視同集合一樣。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

從理論的觀點來看,這是個重大的進展,因為我們原先的目標是想要找到恰當的工具來測量集合的大小,而這項工具正是函數。現在我們進一步得知,這把測量「尺標」本身就是某種特定的集合。那麼要如何用函數這把尺標來測量集合的大小,尤其是無限集合的大小呢?只好等下回再分解了。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----
文章難易度
翁 昌黎
18 篇文章 ・ 5 位粉絲
中央大學哲學研究所碩士,曾籌劃本土第一場「認知科學與佛教禪修系統」對話之大型研討會,於1995年6月在法光佛教研究所舉行,並發表文章。後隱居紐西蘭,至今已20載。 長年關注「意識轉變狀態的科學」和「意識本質的科學與哲學」問題,曾與大寶法王辯經教授師拿旺桑結堪布成立「大乘佛教禪修研究中心」。其他研究興趣為「唯識學」、「超個人心理學」、「數理邏輯」、「公設化集合論」和「後設數學」等等。

0

0
0

文字

分享

0
0
0
無聲殺手潛伏一年才確診?輕鏈型類澱粉沉積症到底多難察覺?
careonline_96
・2025/07/18 ・2467字 ・閱讀時間約 5 分鐘

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

圖 / 照護線上

「有位中年男性患者最初因嚴重蛋白尿前往腎臟科就診,經腎臟切片確診為輕鏈型類澱粉沉積症後,轉診至血液腫瘤科。」成大醫院內科部血液科李欣學醫師表示,「患者相當配合,積極接受治療,後續也進行自體幹細胞移植以鞏固療效。」

患者的蛋白尿從每天8至9克顯著下降至大約1克,顯示腎臟功能明顯改善。患者的體重、營養狀態逐步恢復,整體生活品質大幅提升。至今已超過六年,腎功能仍維持穩定,疾病控制良好。由此可見早期診斷與積極治療的重要性,讓患者能維持正常生活。

什麼是輕鏈型類澱粉沉積症?

輕鏈型類澱粉沉積症(Light Chain Amyloidosis, AL)是一種與骨髓漿細胞異常增生有關的疾病,較常出現在中老年族群。正常情況下,漿細胞位於骨髓內,負責製造抗體,而當漿細胞出現異常(例如產生基因變異)就可能會異常增生,並持續產生過多輕鏈蛋白質(輕鏈是抗體的片斷),這些異常的輕鏈蛋白質會形成不可溶性的類澱粉纖維,進而沉積於體內各種器官中,影響其功能,甚至可能危及生命。

什麼是輕鏈型類澱粉沉積症?
圖 / 照護線上

類澱粉沉積症症狀多變 早期診斷挑戰高

輕鏈型類澱粉沉積症的症狀與沉積部位有關,常見影響的器官和臨床表現:

-----廣告,請繼續往下閱讀-----
  • 腎臟:受影響時可能出現蛋白尿(泡沫尿)、水腫、腎衰竭
  • 心臟:受影響時可能出現胸痛、呼吸困難、心律不整、心衰竭等。更有可能因為突發的心律不整或心跳停止而造成猝死。
  • 腸胃道:受影響時可能引發腹瀉、消化不良、舌頭腫大等
  • 神經系統:受影響時可能出現手腳麻木、姿態性低血壓、運動或感覺異常等
  • 皮膚:受影響時,可能出現不明原因的瘀斑或影響凝血功能。
輕鏈型類澱粉沉積症恐影響全身器官
圖 / 照護線上

由於輕鏈型類澱粉沉積症的表現多樣且不具特異性,診斷難度較高。許多病患是在其他科別追蹤一段時間後懷疑類澱粉沉積症,進而轉診至血液科檢查治療。李欣學醫師指出,根據研究顯示,患者出現症狀後,常需要經過半年至一年以上的時間,輾轉各科就診才最終確定診斷。由於延誤診治導致器官受損,也會增加治療難度。

臨床上若懷疑類澱粉沉積症,必須透過組織切片確定診斷,例如皮膚切片、腎臟切片、心內膜切片、神經切片等。李欣學醫師說,透過病理檢查確認類澱粉沉積後,還需要進行血液及尿液蛋白電泳分析,確認是否有異常的單株輕鏈蛋白(Light chain monoclonal gammopathy)。此外會進行骨髓檢查,以評估漿細胞是否異常增生。

四合一藥物治療成新標準 早期治療效果好

目前輕鏈型類澱粉沉積症的治療目標,是從源頭減少異常蛋白質的產生,並盡可能恢復受影響器官的功能。李欣學醫師解釋,由於主要致病機制來自骨髓內異常漿細胞的增生,治療策略需針對漿細胞進行控制。

輕鏈型類澱粉沉積症該如何治療
圖 / 照護線上

輕鏈型類澱粉沉積症的治療方式與多發性骨髓瘤(Multiple Myeloma)類似,主要是抑制異常漿細胞,常用藥物包括蛋白酶體抑制劑、免疫調節藥物、類固醇、CD38 單株抗體、化學治療等。美國 NCCN 治療指引建議,輕鏈型類澱粉沉積症患者應在第一線積極使用四合一藥物治療組合。相較於過去的三合一藥物治療組合,四合一藥物治療組合更能有效抑制異常漿細胞,進而提升治療反應與器官功能恢復的機會。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

接受治療後,體內已沉積的類澱粉需要時間才能逐漸被代謝,部分受損的器官功能有機會恢復。然而,若病程已進展至器官長期損傷,即使成功抑制異常漿細胞,器官功能仍可能無法完全復原。因此,及早診斷與治療是提升病患預後的重要關鍵!

筆記重點整理

  • 輕鏈型類澱粉沉積症是一種與漿細胞異常有關的疾病,常見於中老年族群。當漿細胞發生基因突變,異常增生並過度產生輕鏈蛋白質時,這些異常蛋白可能形成不可溶性的類澱粉纖維,沉積於體內各器官,進而影響其功能,嚴重時甚至危及生命。
  • 由於輕鏈型類澱粉沉積症的表現多樣且不具特異性,診斷難度較高。研究顯示,患者出現症狀後,常會經過一、兩年以上才會確定診斷,由於器官受損,也會增加治療難度。
  • 輕鏈型類澱粉沉積症的治療目標是從源頭減少異常蛋白質的產生,並盡可能恢復受影響器官的功能。美國治療指引建議,輕鏈型類澱粉沉積症患者應在第一線積極使用四合一藥物治療組合。相較於過去的三合一藥物治療組合,四合一藥物治療組合更能有效抑制異常漿細胞,進而提升治療反應與器官功能恢復的機會。
-----廣告,請繼續往下閱讀-----

討論功能關閉中。

0

0
0

文字

分享

0
0
0
傳統開胸手術太風險?微創支架手術不用開胸也能修補血管
careonline_96
・2025/07/16 ・2818字 ・閱讀時間約 5 分鐘

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

圖 / 照護線上

「六年前,有位八十多歲的老先生因為突發性劇烈胸痛被送到急診室,檢查發現急性主動脈剝離,於是接受緊急全開胸的胸主動脈置換手術。」林口長庚心臟血管外科主任陳紹緯教授表示,「雖然胸口留下了一道三十公分的傷口,但是也挽回寶貴的生命,如今患者已高齡近九十歲。」

這次住院的原因是患者主動脈弓的血管瘤快速擴大至 6 公分,需要再次手術。陳紹緯教授解釋,傳統的手術方式需要再次打開胸骨三十公分的傷口,搭配體外心肺循環機,在手術過程中須讓心跳停止,並將體溫降至攝氏二十度以保護腦部才能完成手術。過去替代的主動脈支架手術包括煙囪或開窗手術,滲漏風險及手術失敗比例都相當高。

所幸林口長庚心臟血管外科團隊引進新型一體成型胸主動脈分支支架,是近期美國 FDA 核准可臨床應用的胸主動脈分支支架,可在維持患者腦部動脈血流的狀況下,以微創方式處理主動脈弓血管瘤,避免傳統開胸及心臟停止,降低手術風險與恢復時間,為台灣心臟血管外科治療開創嶄新里程碑。

微創胸主動脈分支支架手術不開胸、心臟不停跳
圖 / 照護線上

「病患術後影像顯示支架位置良好,雙側頸動脈血流順暢,主動脈瘤已完全被支架隔絕。」主刀醫師陳紹緯教授表示,「林口長庚醫院是目前台灣少數有能力進行分支支架手術的醫學中心,特別是針對複雜性主動脈弓血管瘤零區病人,手術經驗已領先亞洲一流醫學中心,整個手術過程不需要 30 公分的開胸傷口,僅需經由腹股溝、頸動脈、腋下的小切口,在複合式混成手術房完成,手術時間及出血量都顯著減少。對高齡、高風險病人而言,可顯著降低手術風險。」

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

微創胸主動脈分支支架手術 提升成功率、漸少併發症

主動脈是人體最大的血管,長時間承受血流的衝擊。陳紹緯教授說,當主動脈壁老化、發生病變之後,主動脈可能像氣球一般逐漸膨大,形成主動脈瘤(aortic aneurysm)。隨著主動脈瘤逐漸膨大,破裂風險也越來越高。

主動脈瘤的危險因子包括年長、男性、抽菸及家族病史等。陳紹緯教授說,主動脈瘤大多沒有症狀,讓患者毫不自覺,但是當主動脈瘤破裂時,可能導致突發性劇烈胸痛、腹痛,並因為大量內出血而休克,危及性命。

主動脈瘤可能出現在升主動脈、主動脈弓、降主動脈、腹主動脈。由於主動脈弓的構造較複雜,以往大多要採用傳統開胸手術來處理位於主動脈弓的主動脈瘤。陳紹緯教授說,手術過程中必須使用體外心肺循環機,讓心跳停止,並將體溫降至攝氏二十度以保護腦部。

如果要採用主動脈支架手術,便得利用人工血管進行外科繞道手術,或利用小血管支架進行血管內「煙囪支架手術」。陳紹緯教授說,若採外科繞道手術,便需經由額外刀口進行;若採「煙囪支架手術」,則會增加主動脈支架滲漏的風險。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----
胸主動脈分支支架手術提升成功率
圖 / 照護線上

新式胸主動脈分支支架具有內建的分支設計,帶來革命性的突破,能夠在維持患者腦部動脈血流的同時,以微創方式治療複雜主動脈弓疾病,避免傳統開胸及心臟停止!陳紹緯教授解釋,在置放主動脈支架後,可利用內建的導絲引導小支架,以維持血流。由於採用一體成型設計的新技術,能夠降低滲漏和移位的風險,且不需額外手術刀口,可顯著縮短手術時間、減少術後疼痛、降低手術風險、減少併發症、縮短恢復期。

陳紹緯教授說,「胸主動脈分支支架手術會在複合式混成手術房進行,這種一站式手術環境,配備先進影像導引系統,可以即時進行 3D 影像重組,利用術中即時的高解析度影像導引,達到精準定位,整體手術成功關鍵在於詳細的術前規劃及團隊成員在手術中的精準操作。」

微創胸主動脈分支支架手術開創治療新紀元
圖 / 照護線上

林口長庚醫院心臟血管外科團隊成功引進胸主動脈分支支架系統,標誌台灣在主動脈疾病治療領域的重大突破。陳紹緯教授表示,這項技術對於解剖結構適合的患者而言,是微創、高效且長期可靠的治療方式,尤其適合外科手術高風險患者,為他們提供了過去難以想像的治療可能性。

微創胸主動脈分支支架手術為複雜主動脈弓病變提供了全新治療選擇,其微創特性大幅降低了患者的手術風險,也代表台灣的心臟血管治療邁入新紀元!

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

筆記重點整理

  • 當主動脈壁老化、發生病變之後,主動脈可能像氣球一般逐漸膨大,形成主動脈瘤。危險因子包括年長、男性、抽菸及家族病史等。主動脈瘤大多沒有症狀,讓患者毫不自覺,但是當主動脈瘤破裂時,可能導致突發性劇烈胸痛、腹痛,並因為大量內出血而休克,危及性命。
  • 由於主動脈弓的構造較複雜,以往大多要採用傳統開胸手術來處理位於主動脈弓的主動脈瘤。手術過程中必須使用體外心肺循環機,讓心跳停止,並將體溫降至攝氏二十度以保護腦部。
  • 新式胸主動脈分支支架具有內建的分支設計,帶來革命性的突破。在置放主動脈支架後,可利用內建的導絲引導小支架,以維持血流。由於採用一體成型設計的新技術,能夠降低滲漏和移位的風險,且不需額外手術刀口,可顯著縮短手術時間、減少術後疼痛、降低手術風險、減少併發症、縮短恢復期。
  • 微創胸主動脈分支支架手術是微創、高效且長期可靠的治療方式,為複雜主動脈弓病變提供了全新選擇。尤其適合外科手術高風險患者,為他們提供了過去難以想像的治療可能性。
-----廣告,請繼續往下閱讀-----

討論功能關閉中。

0

1
1

文字

分享

0
1
1
量子電腦的計算是怎麼一回事?
賴昭正_96
・2025/07/15 ・6405字 ・閱讀時間約 13 分鐘

  • 作者 / 賴昭正 前清大化學系教授、系主任、所長,IBM 研究顧問化學家;合創科學月刊

因為我們確信量子系統一般無法在傳統電腦上有效模擬,量子運算未來最重要的應用可能是量子系統的電腦模擬。——David Deutsch「量子計算之父」

量子革命啟航,2025 年迎來國際量子年。圖 / unsplash

量子物理學誕生於 1900 年初期,源自普朗克(Max Planck)及愛因斯坦(Albert Einstein)等人為了解釋古典物理學無法解釋的黑體輻射和光電效應,提出能量「量化」的奇怪觀念。1920 年代,玻爾(Niels Bohr)、薛定諤 (Erwin Schrödinger)、海森堡( Werner Heisenberg)、玻恩(Max Born)和狄拉克(Paul Dirac)等物理學家為量子力學建立了更完整的數學框架,從而形成了微觀世界的物理理論。最近由於以它為基礎的計算技術不斷有「突破」性的進展,聯合國便迫不及待宣布 2025 年為國際量子科學技術
年。

筆者在芝加哥大學攻讀的是量子化學,博士班資格考試選的是物理化學、無機化學、及物理系的物理數學,論文用的理論工具是「量子」物理,實驗工具是「計算機」,因此應該是位「量子計算機」專家了,但慚愧的是:儘管市面上已經出現許多有關量子計算機的報導,但筆者除了知道其所用的物理原理(參看「延伸閱讀」)外,卻完全不知所云!

查了一下台灣兩大科普雜誌,發現《科學月刊》與《泛科學》都沒報導過!顯然這不是一篇容易寫的科普文章。但因其重要性,及對科普的喜好,在猛 K 一個月後,筆者謹在此先野人獻曝,報導點心得,望能拋磚引玉將來有專家為我們寫一篇更詳細及深入的介紹。在進入本文之前,得預先警告:筆者深深了解數學公式會嚇跑讀者,但是幾經考慮後,覺得不用點數學顯然不能點出量子計算機的骨髓。對數學不感興趣的讀者事實上不需要深入了解:只要從那些數學中看出量子計算機的運算不是確定性的「加減乘除」、而是操縱或然率的「量子物質狀態」改變(「量子位元」一節)即可。如果真的不想看到數學公式,可以跳過「量子閘」及「量子計算機」二節。

量子計算機的起源

20 世紀 80 年代初,美國阿貢國家實驗室(Argonne National Laboratory)貝尼奧夫(Paul Benioff)發表四篇量子計算基礎的開創性論文,證明計算機可以按照量子力學定律運行;費曼(Richard Feynman)獨立提出了量子計算的想法,認為基於量子原理的計算機可以高效地模擬量子系統,克服對於一般電腦來說難度呈指數級增長的計算任務。1985 年牛津大學物理學家德意志(David Deutsch)以費曼和貝尼奧夫的思想為基礎,提出了通用量子計算的概念,並設計出一個適用於量子計算機的演算法。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

要了解這些量子計算想法之前,我們得先了解一下現行的(傳統)計算機。

傳統計算機

人類因為有 10 個指頭,所以採用十位元的運算方法,即 0,1,…9;9 再加 1 就進位成 10(借用別人的手指)。當初設計計算機的人也許因為只有兩根手指的關係,卻採用「二位元」(bit)的運算方法,即 0 與 1;1 再加 1 就進位成 10(= 十位元的 2)。事實上這樣的計算法在電路設計上是比較容易的:接近 0 伏特的電壓(通常稱為「低」)表示邏輯 0,而較高的電壓(通常稱為「高」)表示邏輯 1。計算機就是靠這樣的線路及所謂「邏輯閘」(logic gate)來達成計算的任務,如圖一:2 個「二位元」數 A2A1 及 B2B1 相加的計算機線路圖。

圖 / 作者提供

「邏輯閘」的目的是將輸入(input)依照所設計的邏輯改成單一的輸出(output)。例如將(0,1)輸入「AND 閘」,圖一的邏輯表告訴我們它將輸出 0;(1,1)將輸出 1,…。又如將(0,1)輸入「XOR 閘」,它將輸出 1;(1,1)將輸出 0,…。讀者應該不難用圖一的線路計算出 10+11=101(O3O2O1);10+01=011;11+11=110;…。

如果要增加「二位元」的數目[如 3 個「二位元」、4 個「二位元」…,或 8 個「二位元」的「位元組」(byte)],只要重複複製圖一 a 及 a′ 之間的線路,將它連在最後一個 a′ 上即可。所以(傳統)計算機的設計是透過「邏輯閘」操縱「二位元」來達到計算的目的。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

所以要使用傳統計算機來「解決問題」如微積分方程式或製定更好投資策略時,必須先將它們「改寫成」加減乘除及簡單邏輯(如 x 則 y)的「運算問題」。

量子位元

量子計算機也是採用「二位元」的運作,但其「二位元」非常不同於上面所提到之「二位元」:

(1)它的 0 與 1 不是電壓的不同,而是物質狀態的不同,稱為 |0> 與 |1>;

(2)它可以有同時存在於 |0> 與 |1> 的「量子疊加」狀態(quantum superposition state,註一),例如 |x>=α|0>+β|1>(|α|2+|β|2=1);

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

(3)當你去測量時,因「波函數坍縮」(wave function collapse)只能得到或然率分別為 |α|2 及 |β|2 的 |0>或 |1> 狀態而已,不能有中間的混合態!

這樣的「二位元」因為具有量子物理的特性,因此稱之為「量子位元」(qubit)。原子的自旋(spin)就是具有這樣的特性,因此可作為量子計算機的「量子位元」。

等一等,電壓不是也可以模擬(1)及(2)嗎?例如 0 代表 0 伏特電壓,1 代表 5 伏特電壓,那麼 0.8(4伏特電壓)不是代表由 80% 的 5 伏特電壓和 20% 的 0 伏特電壓組成的嗎?原則上不錯,但就出現了一個實際設計上的問題:電壓一定要很穩定(註二)。這事實上正也是量子計算機設計上的最大挑戰之一:如何保持「量子位元」的穩定?設計高品質的「量子位元」極具挑戰性:如果「量子位元」與其環境沒有充分隔離,它就會遭受「量子退相干擾」(quantum decoherence),在計算中引入雜訊、錯誤、或崩潰。當然,電壓是沒辦法模擬(3)的:如果允許「疊加」態,測量電壓只能得到「疊加」電壓 4 伏特,不可能量到 0 伏特或 5 伏特。但事實上更嚴重的問題是:電壓沒辦法模仿兩個「量子位元」的「量子糾纏」(quantum entanglement)態:

χ>=12(00>+11>)

這狀態是由兩個「量子位元」組成的,而每個「量子位元」是由兩個狀態組成,因此理論上應該共有四個狀態(00, 01, 10, 11)才對;但上式中卻缺少了 |01> 及 |10> 兩個狀態!

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

量子(邏輯)

量子計算機的設計與傳統計算機類似,不同的是它用「量子邏輯閘」(quantum logic gate)來操縱「量子位元」。在量子電路模型中,「量子邏輯閘」(或簡稱「量子閘」)是在某些量子位元上運行的基本量子電路,它們是量子電路的組成部分,就像傳統邏輯閘是傳統數位電路的組成部分一樣。在介紹「量子閘」之前,因為「量子位元」可以同時存在於 |0> 與 |1> 之間的狀態,因此用向量(vector)及矩陣(matrix)來表示將比較方便。例如以 |0> 及 |1> 為基底向量(basis vector,可以想成傳統上的 XY 座標軸),「量子位元」|0>、|1>、|x>=α|0>+β|1>將分別為:

如果用向量來表示量子位元,那麼「量子閘」將是一矩陣。

傳統計算機中的「NOT 閘」將 1 改成 0 輸出、0 改成 1 輸出,量子計算機中也有類似的「NOT 量子閘」能將 |0> 改成 |1> 輸出、|1> 改成 |0> 輸出、上面的 |x> 改成:

1α2+β2[βα]

輸出。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

「阿達瑪閘」(Hadamard gate) 是一基本量子閘,它能將量子位元從單一的確定狀態(|0⟩ 或 |1⟩)轉換為測量任一結果均為 50% 機率的量子疊加態(參見圖二)。「CNOT 閘」是一雙量子位元操作閘:

[1000010000010010]

作用於 H|0> 及另一 |0> 結合的雙量子位元可以得到一量子糾纏態,其電路圖為

圖 / 作者提供

量子計算機

在結論前讓我們在此以一實際的例子來說明量子計算機可能提供的優勢。為了避免難懂的數學,我們在這裡只能用一最簡單的、不實用、但在開發量子演算法技術上佔有很重要歷史地位的例子:1985 年「量子計算之父」所提出的德意志演算法。德意志演算法用量子計算機解決了一個簡單的問題:給一只能輸入 0 或 1、只能傳回 0 或 1 的函數 f(x),我們如何知道 f(0) 是否等於 f(1)?

圖 / 作者提供

圖三告訴我們如果用傳統的計算機,我們必須用 0 及 1 分別詢問這個函數兩次才可能得到答案:0 表示 f(0)=f(1);1 表示 f(0)≠f(1)。但因為量子位元可以有疊加狀態,我們可以先透過「阿達瑪閘」將 |0> 轉變成 |0> 及 |1> 疊加態後再詢問

-----廣告,請繼續往下閱讀-----
Q f : [ ( 1 ) f ( 0 ) 0 0 ( 1 ) f ( 1 ) ]

得到答案後再透過一次「阿達瑪閘」,我們就可以測量結果:如果測得 |0> 則表示 f(0)=f(1); 測得 |1> 則表示 f(0)≠f(1)。有興趣的讀者不妨親自演算一下,驗證筆者沒有算錯(註三)。

德意志演算法利用了量子力學的疊加性及波函數的干涉性,成功地只詢問一次就得到了答案,所以我們可以在這裡吹噓:量子計算機只要用傳統計算機一半的時間就可以解決問題。事實上 Lov Grover 1996 年提出一個搜尋(註四)演算法證明了:當傳統計算機需要使用 ~N 次詢問才能得到答案,量子計算卻只要使用 次求值,就能以高機率找到產生特定輸出值之黑盒函數的唯一輸入(註五):也就是說如果傳統計算機需要 100 年,量子計算機只需要 10 年!所以量子計算機將全面改變我們的…(請讀者填空)。但這不是好像看到一隻黑烏鴉,就說全世界烏鴉都是黑的一樣嗎?

結論

希望在瞰完本文後,讀者對量子計算機有初步的了解,不再只是個空洞的名詞而已。像其它新興科技一樣,我們將時常看到充滿著樂觀、承諾、與「突破」的報導,如去年底谷歌(Google)宣稱「(新的量子晶片)在不到五分鐘的時間內完成了一個「標準基準計算」(standard benchmark computation),而當今最快的超級電腦則需要 1025 年―這個數字遠遠超過了宇宙的年齡」,及最近微軟(Microsoft)發布了全球首款採用拓撲核心架構的量子晶片,謂創建了更穩定、可擴展的量子位元,「有望」讓量子計算機「更接近」解決複雜問題。

但我們都知道量子物理已經有百年的歷史,這知識為我們創造了空前的社會繁榮,因此我們不免要問:以它為基礎的量子計算機科技,為什麼經過了 40 年還是只停留在完成「標準基準計算」、「有望」、更接近」、…等等「空談」的階段,交不出一張實用的成績單(註六)?…什麼時候它才能真正為我們解決一有「突破」就被提到的複雜問題,如增強網路安全,徹底改變材料科學、新藥、和醫學的研發,優化財務模型、製定更好的投資策略等等承諾?

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

量子計算之父德意志說:「因為我們確信量子系統一般無法在傳統電腦上有效模擬,量子運算未來最重要的應用可能是量子系統的電腦模擬。」諾貝爾物理獎得主費曼也持相同的看法。現在報章雜誌的報導都是渉及量子計算機所面臨的硬件設計挑戰;但翻閱證明其可行性的演算法後,筆者覺得如何將上面所提到之巨觀世界的實用問題,「改寫成」能利用量子運算獨特功能來解決之微觀世界的量子系統,可能才是一項更重大千萬倍的挑戰!

圖 / US National Weather Service

這使筆者想起了核融發電的問題。第一顆使用核子分裂的原子彈於 1945 年 8 月在日本廣島爆炸,6 年後年美國愛達荷州的實驗增殖反應器用核分裂產生可用電力,又三年後蘇聯的奧布寧斯克核電廠將核能所產生的電連結到電網。1952 年 11 月 1 日美國在馬紹爾群島引爆了第一顆氫彈。氫同位素核融反應除了比核分裂釋放更多的能量外,不會產生有害的長期放射性廢物;加上氫或氘在自然界中既便宜又豐富,為一種長期、可持續、經濟和安全的發電能源燃料,因此核融發電成為 1950 年代後期全世界先進國家追求的目標;報張雜誌三不五時便有「突破」的報導;但 1960 年到現在,65 年過去了,我們還是「祇聞樓梯響,不見人下來」,甭說看不到一座實用的核融發電廠,能勉強收支平衡的實驗就算是「突破」了。筆者認為量子計算機很可能將步其後塵:雷聲大雨點小、或根本不下雨(註七)!

註解:

  • (註一)許多科普文章多用「丟擲硬幣來比喻」,謂在空中旋轉之硬幣就是同時存在於正、反兩面的狀態。這顯然完全不懂量子物理:在空中旋轉之硬幣從來沒有同時存在於兩種狀態,它只是很快地在兩種狀態中轉來轉去而已!
  • (註二)正是因為要避免這一問題,所以傳統計算機設計採用「有」與「沒有」的二元電壓。不只如此,早期的計算機為了偵測錯誤,8 位元的位元組還多加了一位冗餘位元(詳閱「錯誤訊息的偵測與修正」,科學月刊 2009 年 3 月號或《我愛科學》)。
  • (註三)先謝了。但請注意:筆者忽略了要求或然率等於 1 的常數如 1/2。
  • (註四)在未以任何特定方式排序或組織的N項資料庫中尋找特定項目。
  • (註五)因為傳統計算機每次只能問一項,所以大約要問 N 次才能得到答案;量子計算機可以「疊加」態一次詢問所有的項目,但因天下沒有白吃的飯,所以每次詢問只能得到或然率的答案,需要重複詢問 ~N 才能將或然率提高到相當肯定的地步。
  • (註六)寫到這裡筆者突然了解為什麼一直對量子計算機「突破」的報導不感興趣:一則沒有新理論,再則好像全是空談,沒有解決實際問題的內容。
  • (註七)2023 年 5 月,領導微軟量子運算工作的副總裁、「技術院士」 Matthias Troyer 在《ACM 通訊》上撰寫了一篇題為「擺脫炒作與實用性:切實實現量子優勢」(Disentangling Hype from Practicality: On Realistically Achieving Quantum Advantage)的論文,指出量子電腦能夠提供有意義優勢的應用數量比某些人認為的要有限;謂量子電腦只有在解決小數據問題時才能真正發揮其指數級加速的作用。他補充說:「其餘的都是美麗的理論,但不會付諸實踐」。

延伸閱讀:

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

討論功能關閉中。

賴昭正_96
47 篇文章 ・ 59 位粉絲
成功大學化學工程系學士,芝加哥大學化學物理博士。在芝大時與一群留學生合創「科學月刊」。一直想回國貢獻所學,因此畢業後不久即回清大化學系任教。自認平易近人,但教學嚴謹,因此獲有「賴大刀」之惡名!於1982年時當選爲 清大化學系新一代的年青首任系主任兼所長;但壯志難酬,兩年後即辭職到美留浪,IBM顧問研究化學家退休 。晚期曾回台蓋工廠及創業,均應「水土不服」而鎩羽而歸。正式退休後,除了開始又爲科學月刊寫文章外,全職帶小孫女(半歲起);現已成七歲之小孫女的BFF(2015)。首先接觸到泛科學是因爲它轉載我的科學月刊上的一篇文章「愛因斯坦的最大的錯誤一宇宙論常數」。