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搞懂「通用圖靈機」的第一站——康托爾的「無限樂園」 │《電腦簡史》數位時代(十二)

張瑞棋_96
・2020/12/07 ・3891字 ・閱讀時間約 8 分鐘 ・SR值 532 ・七年級

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本文為系列文章,上一篇請見現代電腦從此展開——馮紐曼與馮紐曼架構 │《電腦簡史》數位時代(十一)

數學能不能判定?圖靈機的源起

在美國那些電腦先驅著手設計電腦之前,英國劍橋大學有位研究所新生已經發表論文,率先指出通用型電腦的可能性。這位學生就是後來有「電腦之父」、「人工智慧之父」等美譽,還在二戰期間發明電腦破解德軍密碼的天才——圖靈。

38 歲的圖靈。圖:Wikipedia

圖靈撰寫那篇論文的初衷極為特殊,與實際計算毫無關聯。之前介紹過的那些電腦先驅,若不是因為在就學期間經歷計算之苦,就是工作上遇到瓶頸,才會一頭栽入計算機的研究,希望透過機械化與自動化讓計算更快速、更準確。但圖靈都沒遇到這些狀況,他也沒想要解決實務上的技術問題。事實上,他的論文根本無關乎計算,而是要回答一個極為抽象的大哉問:數學是否可以判定?

什麼叫可以判定?這與計算機有什麼關係?要說清楚這來龍去脈,也為了搞懂圖靈所設想出來的通用圖靈機是什麼,得先探究另一個數學問題——「無限」。

象徵無限的符號。圖:Wikipedia

無限是什麼?康托爾挑戰數學界千年共識

從亞里斯多德以降,無限向來被視為一種潛無限 (potential infinity),是進行中的未完成狀態,不能當成實體看待,更不能比較大小,否則就會出現矛盾。

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例如伽利略便曾舉出一個悖論:自然數 (1、2、3、……) 與平方數 (1、4、9、……) 哪個比較多?照理說自然數當然遠比平方數還多,可是如果用一個蘿蔔一個坑來想的話,每個自然數都有個平方數與之對應 (1🡪12、2🡪22、3🡪32、……),表示有多少自然數,就有多少平方數,兩者一樣多,這不就前後矛盾了嗎?因此伽利略主張等於、大於、小於這些關係不能應用於無限。數學王子高斯也嚴正表示:「我反對將無限量看成真實的實體來運用,這在數學之中是永遠不被允許的。無限只是一種說法而已。」這句話可以說代表了所有數學家的共同看法。

沒想到 1874 年,不到 30 歲的德國數學家康托爾 (Georg Cantor) 竟然跳出來說:不對,無限大可以當成實體做比較,而且可區分大小,例如實數的集合就比自然數的集合大!

康托爾當然有所本才敢公然挑戰數學界長久以來的信念,不過他所提出的證明是用集合論的方法,不好解釋,我們改用他後來在 1891 年提出的「對角線法」來做說明。這不只是因為這個方法更簡潔易懂,更因為它影響深遠,啟發圖靈解決了判定問題,也才誕生出極具開創意義的「通用圖靈機」。

德國數學家康托爾 (Georg Cantor,1845-1918)。圖:Wikipedia

騙肖ㄟ,有理數和自然數一樣多?

首先讓我們重溫一下怎麼比較集合的大小。基本上只要集合所含的元素一樣多,它們就是一樣大,例如A={1,2,3},B={2,4,6},兩者的元素都是 3 個,所以 A 與 B 大小相等。問題是無限數列沒有止盡,要怎麼數有幾個?沒關係,同樣用一個蘿蔔一個坑的概念,只要兩個集合的元素彼此一一對應,就代表這兩個集合大小相等。所以按照這個定義,伽利略悖論就解決了:自然數的集合與平方數的集合一樣大。

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那麼自然數與有理數呢?可以用分數表示的數就是有理數,而光在 0 和 1 之間就有無限個分數,當然是有理數遠多於自然數啊!等等,且看康托爾怎麼巧妙地列出所有有理數:

1/1

1/2、2/1

1/3、2/2、3/1

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1/4、2/3、3/2、4/1

…………以此類推

第一行是分子與分母相加為 2 的有理數,第二行是分子與分母相加為 3 的有理數,第三行相加為 4、第四行相加為 5,……以此類推,便可以列出全部的有理數,一個都不漏。然後我們再由上往下,一行一行的由左向右依序為每個有理數編號:1、2、3、4、……,如此一來,有理數不就與自然數一一對應了嗎?所以有理數的集合與自然數的集合也是一樣大。(如果要涵蓋負的有理數,只要依樣放在這個三角形列表的右半部就行了)

到目前為止,我們看到自然數、平方數、有理數這些集合,雖然乍看明明大小不同,結果卻證明無限是不分軒輊的。那麼同樣是無限多的實數,憑什麼就比它們都來得大呢?

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比無限大還大?康托爾祭出對角線法

實數除了有理數,還包括無理數,也就是無法用分數表示的數,例如 \(\sqrt{2}\)、π、……等等,所以我們得用小數來列舉實數。先來看 0 與 1 之間的所有實數,也就是純小數。絕大部分的數字小數點後有無限多位數,所以沒辦法像有理數那樣依序一一列舉,不過沒關係,我們就不按大小順序而是任意列舉,例如:

  1.  0.541592653……
  2.  0.041719652……
  3.  0.862235975……
  4.  0.640194231……
  5.  0.234178276……

……

反正我們姑且假設所有純小數都在這張無限長的表格裡了,因此都有個自然數與它對應。現在對角線法要上場了。我們從第一行取小數點後第一個位數,第二行取第二位數,以此類推,可以得到一個小數:0.54217……。然後我們將每個位數都加上 1,會得到一個新的小數:0.65328……。

這個新的小數很特別喔,因為它和每一行的數字都有一個位數不符,表示它絕對不在這張表裡面,也就是這個小數沒被自然數對應到,前面假設所有純小數都在這張表並不成立。

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你可能會說:那還不簡單,再把這個新的小數加進去這張表就好啦。可是加了之後,我們仍然可以用剛剛的對角線法,又產生一個不在表中的新數字,因此永遠有自然數對應不到的小數,足以證明小數的集合比自然數還要大。

康托爾把自然數、有理數這類可列舉的數稱為「可數無限」,是最初級的無限,算是第 0 級。小數則是「不可數無限」,是第 1 級無限,比第 0 級無限還要大(註一)。就這樣,長達兩千年的普遍信念,一夕之間被康托爾徹底顛覆了,無限不再是無從比較的概念,而是可以明確區辨的實體。

現在你知道什麼是對角線法,已經可以直接到下一站,看看圖靈如何構思出計算機。不過康托爾還有許多令人驚奇的把戲,何不繼續往下一探究竟,看看自己有多少錯誤的迷思?

無限的無限的無限……——冪集合的威力

我們已經知道無限有分等級,而純小數的無限等級比自然數或有理數還大。那有比純小數更大的無限嗎?例如 0 到 100 之間的實數?既然實數屬於特殊的不可數無限,不能用前面證明有理數與自然數一樣多的列舉對應方式,那麼範圍更大的實數是不是無限等級就比較大? 

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直接宣布答案:不,都一樣大。即使是從負無限大到正無限大,涵蓋所有實數的集合仍然與 0 與 1 之間的純小數一樣大。怎麼證明?如下圖,我們畫一個直徑為 1 的半圓,在它下方畫一條代表往兩端無限延伸的直線。從這條直線上的任一點畫一條線與圓心相連,會與半圓相交於一點。這個點對應到直線上的位置一定會落在 0 與 1 之間,表示任一實數都會有一個純小數與之對應,所以所有實數的集合與純小數的集合一樣大。

講到這裡,你大概會以為無限就分兩種:自然數、有理數這類可數無限屬於第 0 級無限,小數、實數這類不可數無限屬於第 1 級無限。往上不會有更大的無限,畢竟實數都已經涵蓋所有數字了。沒想到康托爾就像魔術師從空無一物的帽子變出兔子般,竟然端出了比第 1 級無限更大的無限:冪集合

冪是次方的意思。一個包含 n 個元素的集合,它的子集合個數為 2n,把這些子集合當成元素全部集合在一起,就成為原來那個集合的冪集合。例如集合 A={1,2,3},那麼 A 的冪集合就是由空集合、{1}、{2}、{3}、{1,2}、{1,3}、{2,3}、{1,2,3},這 8 個集合為元素所構成的集合。

康托爾於 1891 年證明無限集合的冪集合是更大的無限(註二),例如自然數的集合是第 0 級無限,它的冪集合就是第 1 級無限;同理,實數的冪集合則是第 2 級無限。還沒完喔,實數的冪集合又可以組成更大的冪集合(就像上面舉例的 A 集合,它的冪集合的冪集合就有 28 =256 個元素),而誕生出第 3 級無限。

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你會想這樣不是沒完沒了嗎?沒錯,新的冪集合不斷衍生,無限的等級也越來越大,永無止盡。

康托爾掀起巨浪,自己卻反遭吞噬

原本一片渾沌的無限,經康托爾大刀一揮,不但有大小之分,而且宛如侏儸紀公園裡的恐龍,一隻比一隻巨大,更可怕的是完全沒有極限。不過康托爾革命性的創見並未獲得當時的主流認同,尤其他的老師公開嚴厲批判,不但造成康托爾謀求教職不順,更重創他的心靈。

1884 年開始,康托爾數度精神崩潰住院治療。出院後他曾一度放棄數學,轉而研究歷史與神學,但後來還是「雖千萬人吾往矣」,繼續打破無限的迷思,發明出影響深遠的對角線法。1900 年代初期,康托爾的研究成果終於逐漸獲得肯定,無奈 1917 年他最後一次進入療養院時,德國因為一次世界大戰戰情吃緊,實施食物配給。康托爾因此營養不良而健康惡化,隔年就在院內過世,享年73歲。

好了,無限樂園的導覽到此告一段落,下一章我們就要介紹圖靈。他的悲慘命運不下於康托爾,也是做出了無與倫比的貢獻,最後卻以悲劇結束一生。

註一:康托爾相信並不存在大小介於第 0 級與第 1 級之間的無限。但這至今仍無法證明,因此稱為「連續統假設」。

註二:康托爾就是為此而發明對角線法。證明方式與前面證明純小數比自然數多的做法類似,先假設冪集合可以與原來的集合完全對應,再證明冪集合中永遠有對應不到的元素,所以冪集合的無限等級又大一級。

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張瑞棋_96
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1987年清華大學工業工程系畢業,1992年取得美國西北大學工業工程碩士。浮沉科技業近二十載後,退休賦閒在家,當了中年大叔才開始寫作,成為泛科學專欄作者。著有《科學史上的今天》一書;個人臉書粉絲頁《科學棋談》。

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量子革命來襲!一分鐘搞定傳統電腦要花數千萬年的難題!你的電腦是否即將被淘汰?
PanSci_96
・2024/10/17 ・2050字 ・閱讀時間約 4 分鐘

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量子電腦:解碼顛覆未來科技的關鍵

2023 年,Google 發表了一項引人注目的研究成果,顯示人類現有最強大的超級電腦 Frontier 需要花費 47 年才能完成的計算任務,Google 所研發的量子電腦 Sycamore 只需幾秒鐘便能完成。這項消息震驚了科技界,也再次引發了量子電腦的討論。

那麼,量子電腦為什麼如此強大?它能否徹底改變我們對計算技術的認知?

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量子電腦是什麼?

量子電腦是一種基於量子力學運作的新型計算機,它與我們熟悉的傳統電腦截然不同。傳統電腦的運算是建立在「位元」(bits)的基礎上,每個位元可以是 0 或 1,這種二進位制運作方式使得計算過程變得線性且單向。然而,量子電腦使用的是「量子位元」(qubits),其運算邏輯則是基於量子力學中的「疊加」與「糾纏」等現象,這使得量子位元能同時處於 0 和 1 的疊加狀態。

這意味著,量子電腦能夠在同一時間進行多個計算,從而大幅提高運算效率。對於某些非常複雜的問題,例如氣候模型、金融分析,甚至質因數分解,傳統電腦可能需要數千年才能完成的運算任務,量子電腦只需數分鐘甚至更短時間便可完成。

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Google、IBM 和量子競賽

Google 和 IBM 是目前在量子計算領域中競爭最為激烈的兩大科技公司。Google 的 Sycamore 量子電腦已經展示出極高的計算速度,令傳統超級電腦相形見絀。IBM 則持續投入量子電腦的研究,並推出了超過 1000 個量子位元的系統,預計到 2025 年,IBM 的量子電腦將擁有超過 4000 個量子位元。

除此之外,世界各國和企業都爭相投入這場「量子霸權」的競賽,台灣的量子國家隊也不例外,積極尋求量子計算方面的突破。這場量子競賽,將決定未來的計算技術格局。

量子電腦的核心原理

量子電腦之所以能如此快速,是因為它利用了量子力學中的「疊加態」和「糾纏態」。簡單來說,傳統電腦的位元只能是 0 或 1 兩種狀態,而量子位元則可以同時處於 0 和 1 兩種狀態的疊加,這使得量子電腦可以在同一時間內同時進行多次計算。

舉例來說,如果一台電腦需要處理一個要花 330 年才能解決的問題,量子電腦只需 10 分鐘便可解決。如果問題變得更複雜,傳統電腦需要 3300 年才能解決,量子電腦只需再多花一分鐘便能完成。

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此外,量子電腦中使用的量子閘(quantum gates)類似於傳統電腦中的邏輯閘,但它能進行更複雜的運算。量子閘可以改變量子位元的量子態,進而完成計算過程。例如,Hadamard 閘能將量子位元轉變為疊加態,使其進行平行計算。

量子電腦能大幅縮短複雜問題的計算時間,利用量子閘進行平行運算。圖/envato

計算的效率

除了硬體技術的進步,量子電腦的強大運算能力也依賴於量子演算法。當前,最著名的兩種量子演算法分別是 Grover 演算法與 Shor 演算法。

Grover 演算法主要用於搜尋無序資料庫,它能將運算時間從傳統電腦的 N 遞減至 √N,這使得資料搜索的效率大幅提升。舉例來說,傳統電腦需要花費一小時才能完成的搜索,量子電腦只需幾分鐘甚至更短時間便能找到目標資料。

Shor 演算法則專注於質因數分解。這對於現代加密技術至關重要,因為目前網路上使用的 RSA 加密技術正是基於質因數分解的困難性。傳統電腦需要數千萬年才能破解的加密,量子電腦只需幾秒鐘便可破解。這也引發了全球對後量子密碼學(PQC)的研究,因為一旦量子電腦大規模應用,現有的加密系統將面臨極大的威脅。

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量子電腦的挑戰:退相干與材料限制

儘管量子電腦具有顛覆性的運算能力,但其技術發展仍面臨諸多挑戰。量子位元必須保持在「疊加態」才能進行運算,但量子態非常脆弱,容易因環境中的微小干擾而坍縮成 0 或 1,這種現象被稱為「量子退相干」。量子退相干導致量子計算無法穩定進行,因此,如何保持量子位元穩定是量子電腦發展的一大難題。

目前,科學家們正在探索多種材料和技術來解決這一問題,例如超導體和半導體技術,並嘗試研發更穩定且易於量產的量子電腦硬體。然而,要實現大規模的量子計算應用,仍需克服諸多技術瓶頸。

量子電腦對未來生活的影響

量子電腦的快速發展將為未來帶來深遠的影響。它不僅將推動科學研究的進步,例如藥物設計、材料科學和天文物理等領域,還可能徹底改變我們的日常生活。例如,交通運輸、物流優化、金融風險管理,甚至氣候變遷預測,都有望因量子計算的應用而變得更加精確和高效。

然而,量子計算的發展也帶來了一些潛在的風險。隨著量子電腦逐漸成熟,現有的加密技術可能會被徹底摧毀,全球的資訊安全體系將面臨巨大挑戰。因此,各國政府和企業已經開始研究新的加密方法,以應對量子時代的來臨。

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PanSci_96
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民眾黨是未來台灣政治的樞紐?
林澤民_96
・2024/01/30 ・3382字 ・閱讀時間約 7 分鐘

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一、前言

選後的立法院三黨不過半,但民眾黨有八席不分區立委,足以與民進黨或國民黨結成多數聯盟,勢將在國會居於樞紐地位。無獨有偶的是:民眾黨主席柯文哲在總統大選得到 26.5% 的選票,屈居第三,但因其獲得部分藍、綠選民的支持,在選民偏好順序組態的基礎上,它卻也同樣地居於樞紐地位。這個地位,將足以讓柯文哲及民眾黨在選後的台灣政壇持續激盪。

二、柯文哲是「孔多塞贏家」?

這次總統大選,誰能脫穎而出並不是一個特別令人殷盼的問題,更值得關心的問題是藍白綠「三跤㧣」在選民偏好順序組態中的消長。台灣總統大選採多數決選制,多數決選制英文叫 first-past-the-post(FPTP),簡單來講就是票多的贏,票少的輸。在 10 月中藍白合破局之後,賴蕭配會贏已經沒有懸念,但這只是選制定規之下的結果,換了另一個選制,同樣的選情可能就會險象環生。

從另一個角度想:選制是人為的,而選情反映的是社會現實。政治學者都知道天下沒有十全十美的選制;既定的選制推出了一位總統,並不代表選情的張力就會成為過眼雲煙。當三股社會勢力在制度的帷幕後繼續激盪,台灣政治將無法因新總統的誕生而趨於穩定。

圖/作者自製

如果在「三跤㧣」選舉之下,選情的激盪從候選人的得票多少看不出來,那要從哪裡看?政治學提供的一個方法是把候選人配對 PK,看是否有一位候選人能在所有的 PK 中取勝。這樣的候選人並不一定存在,如果不存在,那代表有 A 與 B 配對 A 勝,B 與 C 配對 B 勝,C 與 A 配對 C 勝的 A>B>C>A 的情形。這種情形,一般叫做「循環多數」(cyclical majorities),是 18 世紀法國學者孔多塞(Nicolas de Condorcet)首先提出。循環多數的存在意涵選舉結果隱藏了政治動盪。

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另一方面,如果有一位候選人能在配對 PK 時擊敗所有的其他候選人,這樣的候選人稱作「孔多塞贏家」(Condorcet winner),而在配對 PK 時均被擊敗的候選人則稱作「孔多塞輸家」(Condorcet loser)。三角嘟的選舉若無循環多數,則一定會有孔多塞贏家和孔多塞輸家,然而孔多塞贏家不一定即是多數決選制中贏得選舉的候選人,而多數決選制中贏得選舉的候選人卻可能是孔多塞輸家。

如果多數決選制中贏得選舉的候選人不是孔多塞贏家,那與循環多數一樣,意涵選後政治將不會穩定。

那麼,台灣這次總統大選,有沒有孔多塞贏家?如果有,是多數決選制之下當選的賴清德嗎?我根據戴立安先生調查規劃的《美麗島電子報》追蹤民調第 109 波(1 月 11 日至 12 日),也是選前最後民調的估計,得到的結果令人驚訝:得票墊後的柯文哲很可能是孔多塞贏家,而得票最多的賴清德很可能是孔多塞輸家。果然如此,那白色力量將會持續地激盪台灣政治!

我之前根據美麗島封關前第 101 波估計,侯友宜可能是孔多塞贏家,而賴清德是孔多塞輸家。現在得到不同的結果,顯示了封關期間的三股政治力量的消長。本來藍營期望的棄保不但沒有發生,而且柯文哲選前之夜在凱道浩大的造勢活動,還震驚了藍綠陣營。民調樣本估計出的孔多塞贏家本來就不準確,但短期內的改變,很可能反映了選情的激盪,甚至可能反映了循環多數的存在。

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三、如何從民調樣本估計孔多塞贏家

根據這波民調,總樣本 N=1001 位受訪者中,如果當時投票,會支持賴清德的受訪者共 355 人,佔 35.4%;支持侯友宜的受訪者共 247 人,佔 24.7%。支持柯文哲的受訪者共 200 人,佔 19.9%。

美麗島民調續問「最不希望誰當總統,也絕對不會投給他的候選人」,在會投票給三組候選人的 802 位支持者中,一共有 572 位對這個問題給予了明確的回答。《美麗島電子報》在其網站提供了交叉表如圖:

根據這個交叉表,我們可以估計每一位明確回答了續問的受訪者對三組候選人的偏好順序,然後再依這 572 人的偏好順序組態來判定在兩兩 PK 的情形下,候選人之間的輸贏如何。我得到的結果是:

  • 柯文哲 PK 賴清德:311 > 261(54.4% v. 45.6%)
  • 柯文哲 PK 侯友宜:287 > 285(50.2% v. 49.8%)
  • 侯友宜 PK 賴清德:293 > 279(51.2% v. 48.8%)

所以柯文哲是孔多塞贏家,賴清德是孔多塞輸家。當然我們如果考慮抽樣誤差(4.1%),除了柯文哲勝出賴清德具有統計顯著性之外,其他兩組配對可說難分難解。但在這 N=572 的小樣本中,三位候選人的得票率分別是:賴清德 40%,侯友宜 33%,柯文哲 27%,與選舉實際結果幾乎一模一樣。至少在這個反映了選舉結果的樣本中,柯文哲是孔多塞贏家。依多數決選制,孔多塞輸家賴清德當選。

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不過以上的分析有一個問題:各陣營的支持者中,有不少人無法明確回答「最不希望看到誰當總統,也絕對不會投給他做總統」的候選人。最嚴重的是賴清德的支持者,其「無反應率」(nonresponse rate)高達 34.5%。相對而言,侯友宜、柯文哲的支持者則分別只有 24.1%、23.8% 無法明確回答。為什麼賴的支持者有較多人無法指認最討厭的候選人?一個假設是因為藍、白性質相近,對許多綠營選民而言,其候選人的討厭程度可能難分軒輊。反過來說,藍、白陣營的選民大多數會最討厭綠營候選人,因此指認較無困難。無論如何,把無法明確回答偏好順序的受訪者歸為「遺失值」(missing value)而棄置不用總不是很恰當的做法,在這裡尤其可能會造成賴清德支持者數目的低估。

補救的辦法之一是在「無法明確回答等於無法區別」的假設下,把「遺失值」平分給投票對象之外的其他兩位候選人,也就是假設他們各有 1/2 的機會是無反應受訪者最討厭的候選人。這樣處理的結果,得到

  • 柯文哲 PK 賴清德:389 > 413(48.5% v. 51.5%)
  • 柯文哲 PK 侯友宜:396 > 406(49.4% v. 50.6%)
  • 侯友宜 PK 賴清德:376 > 426(46.9% v. 53.1%)

此時賴清德是孔多塞贏家,而柯文哲是孔多塞輸家。在這 N=802 的樣本中,三位候選人的得票率分別是:賴清德 44%,侯友宜 31%,柯文哲 25%。雖然依多數決選制,孔多塞贏家賴清德當選,但賴的得票率超過實際選舉結果(40%)。用無實證的假設來填補遺失值,反而造成賴清德支持者數目的高估。

如果擔心「無法明確回答等於無法區別」的假設太勉強,補救的辦法之二是把「遺失值」依有反應受訪者選擇最討厭對象的同樣比例,分給投票對象之外的其他兩位候選人。這樣處理的結果,得到

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  • 柯文哲 PK 賴清德:409 > 393(51.0% v. 49.0%)
  • 柯文哲 PK 侯友宜:407 > 395(50.8% v. 49.2%)
  • 侯友宜 PK 賴清德:417 > 385(52.0% v. 48.0%)

此時柯文哲又是孔多塞贏家,而賴清德又是孔多塞輸家了。這個樣本也是 N=802,三位候選人的得票率分別是:賴清德 44%,侯友宜 31%,柯文哲 25%,與上面的結果一樣。

以上三種無反應處理方法都不盡完美。第一種把無反應直接當遺失值丟棄,看似最不可取。然而縮小的樣本裡,三位候選人的支持度與實際選舉結果幾乎完全一致。後兩種以不同的假設補足了遺失值,但卻過度膨脹了賴清德的支持度。如果以樣本中候選人支持度與實際結果的比較來判斷遺失值處理方法的效度,我們不能排斥第一種方法及其結果。

無論如何,在缺乏完全資訊的情況下,我們發現的確有可能多數決輸家柯文哲是孔多塞贏家,而多數決贏家賴清德是孔多塞輸家。因為配對 PK 結果缺乏統計顯著性,我們甚至不能排除循環多數的存在。此後四年,多數決選制產生的總統能否在三角嘟力量的激盪下有效維持政治穩定,值得我們持續觀察。

四、結語

柯文哲之所以可以是孔多塞贏家,是因為藍綠選民傾向於最不希望對方的候選人當總統。而白營的中間偏藍位置,讓柯文哲與賴清德 PK 時,能夠得到大多數藍營選民的奧援而勝出。同樣的,當他與侯友宜 PK 時,他也能夠得到一部份綠營選民的奧援。只要他的支持者足夠,他也能夠勝出。反過來看,當賴清德與侯友宜 PK 時,除非他的基本盤夠大,否則從白營得到的奧援不一定足夠讓他勝出。民調 N=572 的樣本中,賴清德得 40%,侯友宜得 33%,柯文哲得 27%。由於柯的支持者討厭賴清德(52.5%)遠遠超過討厭侯友宜(23.7%),賴雖然基本盤較大,能夠從白營得到的奧援卻不多。而侯雖基本盤較小,卻有足夠的奧援。柯文哲之所以成為孔多塞贏家,賴清德之所以成為孔多塞輸家,都是這些因素的數學結果。

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資料來源

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林澤民_96
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台大電機系畢業,美國明尼蘇達大學政治學博士, 現任教於美國德州大學奧斯汀校區政府系。 林教授每年均參與中央研究院政治學研究所及政大選研中心 「政治學計量方法研習營」(Institute for Political Methodology)的教學工作, 並每兩年5-6月在台大政治系開授「理性行為分析專論」密集課程。 林教授的中文部落格多為文學、藝術、政治、社會、及文化評論。

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數學無聊是誰的錯?數學家其實很幽默?——《數盲、詐騙與偽科學》
大牌出版.出版大牌_96
・2024/01/08 ・2441字 ・閱讀時間約 5 分鐘

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雖然很少有學生小學畢業後還不懂乘法表,但有很多人確實不會算,如果一個人開車的速度是每小時 56 公里,開了 4 小時之後,他就開了 224 公里。要是每公克花生賣 40 美分,而 1 袋花生賣 2.2 美元,那麼,這袋花生裡就有 5.5 公克花生。假如全世界人口中有 1/4 是中國人,其餘的 1/5 是印度人,那麼,印度人在全世界的人口中就占了 3/20,或說是 15%。當然,要理解這些問題,並不像學會算 35×4=140、(2.2)/(0.4)=5.5、1/5×(1–1/4)=3/20=0.15=15% 這麼簡單。對很多小學生來說,這不是自然而然就會的東西,要靠做很多很實用、或是純屬想像的問題,才能進一步學會。

至於估計,學校裡除了教一些四捨五入之外,通常也沒有別的了。四捨五入和合理的估計與真實人生大有關係,但課堂上很少串起這樣的連結。學校不會帶著小學生估計學校砌一面牆要用掉多少塊磚、班上跑最快的人速度多快、班上同學爸爸是禿頭的比例多高、一個人的頭圍與身高之比是多少、要堆出一座高度和帝國大廈等高的塔需要幾枚 5 美分硬幣,還有他們的教室能否容納這些 5 美分硬幣。

幾乎也沒人教歸納推理,也不會用猜測相關性質和規則的角度,來研究數學現象。在小學數學課裡談到非形式邏輯(informal logic)的機率,就跟講到冰島傳說一樣高。當然,也不會有人提到難題、遊戲和謎語。我相信,這是因為很多時候,聰明的 10 歲小孩輕輕鬆鬆就能打敗老師。

數學科普作家葛登能最不遺餘力探索數學和這些遊戲之間的密切關係。他寫了很多極有吸引力的書,也在《科學美國人》撰寫專欄,而這些都是會讓高中生或大學生感到很刺激的課外讀物(前提是有人指定他們去讀的話)。此外,數學家喬治.波利亞(George Polya)的《怎樣解題》(How to Solve It)和《數學與合情判讀》(Mathematics and Plausible Reasoning),或許也屬於這一類。有一本帶有這些人的文風、但屬於較初階的有趣好書,是瑪瑞琳.伯恩斯(Marilyn Burns)所寫的《我恨數學》(The I Hate Mathematics! Book),書裡有很多啟發性的提示,帶領讀者解題與發想各種奇思異想,是小學數學課本裡罕見的內容。

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圖/envato

有太多教科書仍列出太多人名和術語,就算有說明解析,也很少。比方說,教科書上會說加法是一種結合律運算(associative operation),因為(a + b)+ c=a +(b + c)。但很少人會提到非結合律運算,因此,充其量來說,結合律運算的定義是畫蛇添足。不管是結合律或非結合律,你知道了這些資訊之後要怎麼應用?書上還會介紹到其他術語,但除了用粗體字印在書頁中間的小框框裡,看起來很了不起之外,也沒什麼值得提的理由。這些術語滿足了很多人認為,知識就好比一門普通植物學,每種學問都可以在體系中,找到自己的類別和位置。相比之下,把數學當成有用的工具、思維方式或是獲得樂趣的途徑,在多數小學教育課綱中都是很陌生的概念(即使教科書內容不錯也一樣)。

或許有人會認為,在小學階段,可以用電腦軟體,來幫助學生掌握基本的算數原理及相關應用(應用題、估計等等)。可惜的是,目前可用的程式通常是從教科書上擷取無趣的例行練習,轉化成電腦螢幕版本而已。我不知道有任何軟體可用整合、一致且有效的方法,來教算術與解題應用。

小學階段的數學教學品質普遍不佳,最終必會有人怪罪於老師能力不足,而且對數學沒什麼興趣、或不懂欣賞數學。我認為,這當中有一部分又要歸咎於大專院校的師資培養課程中,很少或根本不強調數學。以我自己的教學經驗來說,我教過的學生中,表現最差的是中學生,而不是大學主修數學的學生。準小學老師的數學背景也很糟,很多時候甚至根本沒有相關的數學教學經歷。

而每所小學聘用一、兩位數學專才,在學校裡每天分別到不同班級輔導(或教授)數學,或許可以解決部分問題。有時我認為,如果大學數學教授和小學老師每年可以交換個幾星期,會是個好方法。同樣的,把主修數學的大學生和研究生交到小學老師手裡,不會造成傷害(事實上,後者或許能從前者身上學到一些東西)。而三、四、五年級的小學生則可以在完全適任的老師教導下,接觸到數學謎題與遊戲,將可大大獲益。

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圖/envato

稍微打個岔,謎題與數學之間很有關係,而且相關性會一直延續到大學與研究階段的數學。當然,把謎題換成幽默也通。我在《數學與幽默》(Mathematics and Humor)書中試著說明,數學和幽默都是某種益智遊戲,與猜謎、解題、遊戲和悖論多有共通之處。

數學和幽默都是把概念組合、拆開再拼回來,然後從中得到樂趣。慣用的手法包括並列、歸納、迭代和倒向(比方說「aixelsyd」就是把「dyslexia」﹝閱讀障礙﹞的字序倒過來)。那麼,如果我放寬這個條件,但緊縮另一個條件會怎樣?某一個領域的概念(像是綁辮子),和另一個看來完全不同領域的概念(如某些幾何圖形的對稱性)有什麼共通點?當然,即便不是數盲,可能也不熟悉數學這個面向,因為你必須要先具備一定程度的數學概念,才可以拿來耍弄。其他像獨創性、不協調感以及精簡的表達,對於數學和幽默來說也都同樣重要。

可能有人說過,因為所受訓練之故,數學家有一種特殊的幽默感。他們往往會接受字面意義,但字面上的解讀又常和標準用法的意義不同,因此很好笑。比方說,哪種運動比賽時要蓋臉?答案是,冰上曲棍球以及痲瘋病人拳擊(按:原文「Which two sports have face-offs」,「face-off」其中一個字面意義為「蓋臉」,而這也是冰上曲棍球常用的術語,意指「爭奪球權」)。他們也很沉溺於歸謬法(reductio ad absurdum),或設定極端前提條件然後做邏輯演練,以及各式各樣的字組遊戲。

如果可以透過小學、中學或大學階段的正式數學教育,或是非正式的數學科普書籍,傳達數學有趣的面向。我認為,數盲就不會像現在這麼普遍。

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——本書摘自《數盲、詐騙與偽科學》,2023 年 11 月,大牌出版,未經同意請勿轉載。

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大牌出版.出版大牌_96
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