公設化集合論的奧秘(13) 追查有理數失蹤之謎

本文與 高柏科技 合作，泛科學企劃執行。

當我們談論能擊敗輝達（NVIDIA）、Google、微軟，甚至是 Meta 的存在，究竟是什麼？答案或許並非更強大的 AI，也不是更高速的晶片，而是你看不見、卻能瞬間讓伺服器崩潰的「熱」。

 2024 年底至 2025 年初，搭載 Blackwell 晶片的輝達伺服器接連遭遇過熱危機，傳聞 Meta、Google、微軟的訂單也因此受到影響。儘管輝達已經透過調整機櫃設計來解決問題，但這場「科技 vs. 熱」的對決，才剛剛開始。 

不僅僅是輝達，微軟甚至嘗試將伺服器完全埋入海水中，希望藉由洋流降溫；而更激進的做法，則是直接將伺服器浸泡在冷卻液中，來一場「浸沒式冷卻」的實驗。

但這些方法真的有效嗎？安全嗎？從大型數據中心到你手上的手機，散熱已經成為科技業最棘手的難題。本文將帶各位跟著全球散熱專家 高柏科技，一同看看如何用科學破解這場高溫危機！

運算=發熱？為何電腦必然會發熱？

這並非新問題，1961年物理學家蘭道爾在任職於IBM時，就提出了「蘭道爾原理」（Landauer Principle），他根據熱力學提出，當進行計算或訊息處理時，即便是理論上最有效率的電腦，還是會產生某些形式的能量損耗。因為在計算時只要有訊息流失，系統的熵就會上升，而隨著熵的增加，也會產生熱能。

換句話說，當計算是不可逆的時候，就像產品無法回收再利用，而是進到垃圾場燒掉一樣，會產生許多廢熱。

要解決問題，得用科學方法。在一個系統中，我們通常以「熱設計功耗」（TDP，Thermal Design Power）來衡量電子元件在正常運行條件下產生的熱量。一般來說，TDP 指的是一個處理器或晶片運作時可能會產生的最大熱量，通常以瓦特（W）為單位。也就是說，TDP 應該作為這個系統散熱的最低標準。每個廠商都會公布自家產品的 TDP，例如AMD的CPU 9950X，TDP是170W，GeForce RTX 5090則高達575W，伺服器用的晶片，則可能動輒千瓦以上。

散熱不僅是AI伺服器的問題，電動車、儲能設備、甚至低軌衛星，都需要高效散熱技術，這正是高柏科技的專長。

「導熱介面材料（TIM）」：提升散熱效率的關鍵角色

在電腦世界裡，散熱的關鍵就是把熱量「交給」導熱效率高的材料，而這個角色通常是金屬散熱片。但散熱並不是簡單地把金屬片貼在晶片上就能搞定。

現實中，晶片表面和散熱片之間並不會完美貼合，表面多少會有細微間隙，而這些縫隙如果藏了空氣，就會變成「隔熱層」，阻礙熱傳導。

為了解決這個問題，需要一種關鍵材料，導熱介面材料（TIM，Thermal Interface Material）。它的任務就是填補這些縫隙，讓熱可以更加順暢傳遞出去。可以把TIM想像成散熱高速公路的「匝道」，即使主線有再多車道，如果匝道堵住了，車流還是無法順利進入高速公路。同樣地，如果 TIM 的導熱效果不好，熱量就會卡在晶片與散熱片之間，導致散熱效率下降。

那麼，要怎麼提升 TIM 的效能呢？很直覺的做法是增加導熱金屬粉的比例。目前最常見且穩定的選擇是氧化鋅或氧化鋁，若要更高效的散熱材料，則有氮化鋁、六方氮化硼、立方氮化硼等更高級的選項。

典型的 TIM 是由兩個成分組成：高導熱粉末（如金屬或陶瓷粉末）與聚合物基質。大部分散熱膏的特點是流動性好，盡可能地貼合表面、填補縫隙。但也因為太「軟」了，受熱受力後容易向外「溢流」。或是造成基質和熱源過分接觸，高分子在高溫下發生熱裂解。這也是為什麼有些導熱膏使用一段時間後，會出現乾裂或表面變硬。

為了解決這個問題，高柏科技推出了凝膠狀的「導熱凝膠」，說是凝膠，但感覺起來更像黏土。保留了可塑性、但更有彈性、更像固體。因此不容易被擠壓成超薄，比較不會熱裂解、壽命也比較長。

OK，到這裡，「匝道」的問題解決了，接下來的問題是：這條散熱高速公路該怎麼設計？你會選擇氣冷、水冷，還是更先進的浸沒式散熱呢？

液冷與 3D VC 散熱技術：未來高效散熱方案解析

傳統的散熱方式是透過風扇帶動空氣經過散熱片來移除熱量，也就是所謂的「氣冷」。但單純的氣冷已經達到散熱效率的極限，因此現在的散熱技術有兩大發展方向。

其中一個方向是液冷，熱量在經過 TIM 後進入水冷頭，水冷頭內的不斷流動的液體能迅速帶走熱量。這種散熱方式效率好，且增加的體積不大。唯一需要注意的是，萬一元件損壞，可能會因為漏液而損害其他元件，且系統的成本較高。如果你對成本有顧慮，可以考慮另一種方案，「3D VC」。

3D VC 的原理很像是氣冷加液冷的結合。3D VC 顧名思義，就是把均溫板層層疊起來，變成3D結構。雖然均溫板長得也像是一塊金屬板，原理其實跟散熱片不太一樣。如果看英文原文的「Vapor Chamber」，直接翻譯是「蒸氣腔室」。

在均溫板中，會放入容易汽化的工作流體，當流體在熱源處吸收熱量後就會汽化，當熱量被帶走，汽化的流體會被冷卻成液體並回流。這種利用液體、氣體兩種不同狀態進行熱交換的方法，最大的特點是：導熱速度甚至比金屬的熱傳導還要更快、熱量的分配也更均勻，不會有熱都聚集在入口（熱源處）的情況，能更有效降溫。

整個 3DVC 的設計，是包含垂直的熱導管和水平均溫板的 3D 結構。熱導管和均溫板都是採用氣、液兩向轉換的方式傳遞熱量。導熱管是電梯，能快速把散熱工作帶到每一層。均溫板再接手將所有熱量消化掉。最後當空氣通過 3DVC，就能用最高的效率帶走熱量。3DVC 跟水冷最大的差異是，工作流體移動的過程經過設計，因此不用插電，成本僅有水冷的十分之一。但相對的，因為是被動式散熱，其散熱模組的體積相對水冷會更大。

從 TIM 到 3D VC，高柏科技一直致力於不斷創新，並多次獲得國際專利。為了進一步提升 3D VC 的散熱效率並縮小模組體積，高柏科技開發了6項專利技術，涵蓋系統設計、材料改良及結構技術等方面。經過設計強化後，均溫板不僅保有高導熱性，還增強了結構強度，顯著提升均溫速度及耐用性。

隨著散熱技術不斷進步，有人提出將整個晶片組或伺服器浸泡在冷卻液中的「浸沒式冷卻」技術，將主機板和零件完全泡在不導電的特殊液體中，許多冷卻液會選擇沸點較低的物質，因此就像均溫板一樣，可以透過汽化來吸收掉大量的熱，形成泡泡向上浮，達到快速散熱的效果。

然而，因為水會導電，因此替代方案之一是氟化物。雖然效率差了一些，但至少可以用。然而氟化物的生產或廢棄時，很容易產生全氟/多氟烷基物質 PFAS，這是一種永久污染物，會對環境產生長時間影響。目前各家廠商都還在試驗新的冷卻液，例如礦物油、其他油品，又或是在既有的液體中添加奈米碳管等特殊材質。

另外，把整個主機都泡在液體裡面的散熱邏輯也與原本的方式大相逕庭。如何重新設計液體對流的路線、如何讓氣泡可以順利上浮、甚至是研究氣泡的出現會不會影響元件壽命等等，都還需要時間來驗證。

高柏科技目前已將自家產品提供給各大廠商進行相容性驗證，相信很快就能推出更強大的散熱模組。

有理數是能夠用分數形式m/n來表達的數，其中m和n為整數且n ≠ 0。雖然到現在為止我們的公設只建構出自然數，但用自然數來建構有理數並不困難，它的基本概念是取序對（m, n）的型態來定義有理數。由於自然數和序對我們都已相當熟悉，況且有理數的概念在直觀上也很容易理解，因此我們並不打算在此介紹和證明如何用自然數定義出有理數的技術細節。可是對實數裡的「另一半」— 無理數來說，情況就大不相同了。

我們很難想像給出任意兩條線段，居然會找不到另一個線段作為衡量前兩者的共同單位。對有些情況來說，不論我們上天下地，卻永遠找不到這個共同單位，這在幾何學上叫做不可通約（incommensurable）。但這種讓古希臘畢氏學派震驚的「知識瘟疫」卻並非雪山靈芝而是隨處可見，比如從任一個正方形劃出對角線就可以根據畢氏定理1² +1² = x² 得出√2這個數，而√2就無法表示成m/n的分數形式。

根據傳說，畢氏學派把無理數的發現視為最高機密並禁止門徒對外洩漏，然而希臘的「斯諾登」希帕蘇斯先生卻冒死對外公佈了這個秘密，因而遭到如同黑社會懲罰臥底一般的待遇—扔到海裡餵魚。我們不知道這個傳說的真實性如何，但這意謂在某個歷史時期公佈某項知識成果的後果可能和今天所謂「洩漏國家機密」的後果沒兩樣。

既然無理數的性質那麼「無理」，可見要用自然數或有理數的概念來對其進行嚴格定義是很困難的。但現代實數系的兩位奠基者康托和德國數學家戴德金（R. Dedekind）雖然從不同的角度和進路用不同的方法來破解這個問題，但他們在推進人類對實數的理解時也同時發展了集合的概念。現在就來看看戴德金最重要的發明—如何用有理數來重新定義實數（因而自然把無理數也包含進去）的偉大創見，它稱之為戴德金切割(Dedekind cut) 。

由於有理數建立在自然數的基礎上，而自然數又建立在集合論的公設上，所以它們早已取得明確的「身分」，現在身分不明且難以被直觀掌握的就剩下無理數了。戴德金切割到底是個甚麼東西呢？首先來看看切割（cut）的定義：

一個切割就是一個序對（A, B），其中A, B ≠ Ø且A 和B不相交（也就是A ∩ B = Ø）。此外A ∪ B = P，也就是說切割是把某個集合P給切開，分成沒有共同元素的A, B兩半。

第二個條件是A的所有元素都比B的元素小，也就是說從數線的觀點來看，A的元素都在B元素的左邊。

滿足上述兩個條件的序對（A, B）就是一個對P集合的切割。由於序對（A, B）是集合，所以一個切割本身就相當於集合。而所謂戴德金切割必須加上第三個條件，那就是序對左邊的A集合沒有最大元素。它的直觀意思是說如果我們用某個點來切開P集合，那麼這個點不在A裡面。

我們現在手頭的武器是全部的有理數，所以可以把集合P用全體有理數Q來替代，那麼戴德金切割就成了把全部有理數分成A, B兩半的序對（A, B） ，所以A ∪ B = Q。由於A與B不相交，因此確定了其中一邊也同時確定了另一邊，習慣上我們用序對左邊的集合A來定義實數，稱之為戴德金左集合（Dedekind left set）。也就是說一個實數就是一堆有理數所形成的戴德金左集合，而全體實數就是這些戴德金左集合所形成的集合。

為了更容易理解戴德金左集合的定義，我們用√2來具體說明。如下圖所示，雖然目前我們尚不知道無理數√2的定義，但我們可以利用畢氏定理將邊長為1的正方形取對角線，然後用圓規將與對角線等長的線段畫到數線上，這樣就標出了長度相當於√2在數線上的位置。

我們發現它正好把大於此數和小於此數的有理數Q分成兩半，紅色部分為所有小於√2的有理數，而藍色部分則為所有大於√2的有理數。紅色部分和藍色部分沒有共同成員，它們的聯集等於全體有理數，所以顯然滿足戴德金切割的第一個條件。而紅色集合內的有理數顯然都在藍色成員的左邊，因此滿足第二個條件。此外以√2為分界的戴德金左集合（紅色部分）顯然沒有最大元素，因為作為分界的√2不屬於有理數，所以第三個條件也滿足了，它是一個戴德金切割。

接下來就看怎麼樣來定義這個特殊的戴德金左集合。有人會說這很容易啊，只要定義 A = {q〡q <√2 且 q∈ Q}不就得了？但請注意，我們目前還不知道√2是甚麼，我們只知道有理數是甚麼東東，正絞盡腦汁想把√2的定義找出來，所以上面對A的定義等於是拿未知的東西來定義未知，也是拿尚待定義的東西來作為定義，這是不可接受的。

為了要避開這種循環定義，我們把上式梢作修改成

A = {q〡q² < 2 且 q ∈ Q}

這樣一來所有的條件就都符合有理數的規定範圍。但仔細一看問題又來了，因為戴德金左集合會一直往負的方向無限延伸，因此越往左其平方值會越來越大，比如：

-2 ∈ Q 且-2∈ A，但顯然 (-2)² > 2，這與A的規定顯然不合。該怎麼辦呢? 只要利用邏輯概念將小於√2的正負數分開處理就行了，因此我們重新把A定義為

A = {q ∈ Q 〡q² < 2 或 q為負數}

如果有耐心地依序檢查，會發現這個定義符合戴德金切割的條件，因而正是用來定義√2的戴德金左集合。

這個看似古怪的定義讓我們可以單憑有理數重新定義出所有實數（尤其是無理數），而且這樣定義出來的無理數完全可以滿足實數所須具備的各種運算和性質，真可謂鬼斧神工。更重要的是透過戴德金切割我們發現，無限集合居然可以用來標定某個特定實數，這實在太神奇了。戴德金左集合宛如實數的基因密碼，透過對這些密碼的識別和辨認達到對實數本身身分的確認。僅管構成生物基因的分子為數眾多但卻是有限的，然而每個戴德金左集合的元素個數卻都是無限，任何一個實數都可以用某個無限集合來唯一確定。

如果你還沒有意識到此中令人驚奇之處，那麼我們再把戴德金切割比喻成商品的條碼，每一個條碼都指向一種特殊的商品。讓我們感到驚異的是，在實數的定義裡，構成每個條碼的信息單元（有理數）竟然不是有限而是無限。

雖然戴德金切割用這種有理數的「無限條碼」奇蹟似地界定出實數，但有些數的意義似乎產生了奇怪的病變。比如自然數0原來是用空集合來定義，所以0 = { } ，可是在戴德金左集合的新包裝下，0 不再是空無一物而成了 {q〡q ∈ Q 且q<0} ，這到底是怎麼回事呢？難道同一個數可以同時由兩個集合來定義嗎？要解開這個難題，這就只有等下回再分解了！

對數學家與哲學家而言，無限大就像個怪物。哲學碰上無限就會產生一堆悖論，例如芝諾悖論、無限大飯店、⋯⋯等等。無限大更是在數學製造了一堆矛盾，例如：無限序列 1 – 1 + 1 – 1 + ⋯⋯的總和到底是等於 0 或 1、或是 1/2？我們可以讓自然數與平方數的數列彼此一一對應（1→1, 2→4, 3→9, ⋯⋯），但平方數顯然又只占自然數的一小部分，那麼自然數的集合究竟比平方數的集合大還是兩者一樣大？

面對這些令人困惑的矛盾，大家的共識就是：無限只能當作一種概念，一個持續的未完成狀態，所以不能計算或比較大小。數學王子高斯就嚴肅表示：「我反對將無限量看成真實的實體來運用，這在數學之中是永遠不被允許的。無限只是一種說法而已。」直到不信邪的德國數學家康托爾出現，祭出集合論這面照妖鏡，才讓無限這個怪物現出原形，扭轉了千年以來對於無限的認知。

康托爾創立集合論，將無限當成可以一一對應其中元素的集合來處理。經由他無懈可擊的證明，無限的確有大小等級不同之分。自然數、平方數、整數、有理數的集合都是「可數無限」，屬於最初級（第零級）的無限，它們都一樣大。但無理數、實數的集合就是另一種「不可數無限」，硬是比第零級的無限還大，屬於第一級的無限。不只如此，還有更大的無限，一級一級往上沒有止盡。也就是說，世人以為無限是一隻神秘的怪物，但康托爾卻撥開迷霧，指出無限其實是一群數不完的大小不同的怪物。

然而康托爾天才般的洞見卻被當時的學界權威批評為「並無重要意義」、「騙局」。康托爾一方面承受極大的壓力，一方面又受困於自己提出來的疑問──存不存在大小介於第零級與第一級之間的無限？他試圖證明並不存在這樣的無限集合（稱為「連續統假設」），但搏鬥多年卻始終未果，乃數度精神崩潰住院治療。到了一次大戰，因實施食物配給而健康更加惡化，終於在 1918 年於精神療養院中過世，享年 73 歲。

如今康托爾的貢獻已被普遍認同，他開創的集合論已成為現代數學的基石。大數學家希爾伯特曾捍衛地宣稱：「沒有人能將我們從康托爾為我們創造的樂園中驅逐出去」。他的連續統假設仍列於有待解決的 23 個最重要的數學問題之首，等待後人征服。

本文同時收錄於《科學史上的今天：歷史的瞬間，改變世界的起點》，由究竟出版社出版。