公設化集合論的奧秘(13) 追查有理數失蹤之謎

有理數是能夠用分數形式m/n來表達的數，其中m和n為整數且n ≠ 0。雖然到現在為止我們的公設只建構出自然數，但用自然數來建構有理數並不困難，它的基本概念是取序對（m, n）的型態來定義有理數。由於自然數和序對我們都已相當熟悉，況且有理數的概念在直觀上也很容易理解，因此我們並不打算在此介紹和證明如何用自然數定義出有理數的技術細節。可是對實數裡的「另一半」— 無理數來說，情況就大不相同了。

我們很難想像給出任意兩條線段，居然會找不到另一個線段作為衡量前兩者的共同單位。對有些情況來說，不論我們上天下地，卻永遠找不到這個共同單位，這在幾何學上叫做不可通約（incommensurable）。但這種讓古希臘畢氏學派震驚的「知識瘟疫」卻並非雪山靈芝而是隨處可見，比如從任一個正方形劃出對角線就可以根據畢氏定理1² +1² = x² 得出√2這個數，而√2就無法表示成m/n的分數形式。

根據傳說，畢氏學派把無理數的發現視為最高機密並禁止門徒對外洩漏，然而希臘的「斯諾登」希帕蘇斯先生卻冒死對外公佈了這個秘密，因而遭到如同黑社會懲罰臥底一般的待遇—扔到海裡餵魚。我們不知道這個傳說的真實性如何，但這意謂在某個歷史時期公佈某項知識成果的後果可能和今天所謂「洩漏國家機密」的後果沒兩樣。

既然無理數的性質那麼「無理」，可見要用自然數或有理數的概念來對其進行嚴格定義是很困難的。但現代實數系的兩位奠基者康托和德國數學家戴德金（R. Dedekind）雖然從不同的角度和進路用不同的方法來破解這個問題，但他們在推進人類對實數的理解時也同時發展了集合的概念。現在就來看看戴德金最重要的發明—如何用有理數來重新定義實數（因而自然把無理數也包含進去）的偉大創見，它稱之為戴德金切割(Dedekind cut) 。

由於有理數建立在自然數的基礎上，而自然數又建立在集合論的公設上，所以它們早已取得明確的「身分」，現在身分不明且難以被直觀掌握的就剩下無理數了。戴德金切割到底是個甚麼東西呢？首先來看看切割（cut）的定義：

一個切割就是一個序對（A, B），其中A, B ≠ Ø且A 和B不相交（也就是A ∩ B = Ø）。此外A ∪ B = P，也就是說切割是把某個集合P給切開，分成沒有共同元素的A, B兩半。

第二個條件是A的所有元素都比B的元素小，也就是說從數線的觀點來看，A的元素都在B元素的左邊。

滿足上述兩個條件的序對（A, B）就是一個對P集合的切割。由於序對（A, B）是集合，所以一個切割本身就相當於集合。而所謂戴德金切割必須加上第三個條件，那就是序對左邊的A集合沒有最大元素。它的直觀意思是說如果我們用某個點來切開P集合，那麼這個點不在A裡面。

我們現在手頭的武器是全部的有理數，所以可以把集合P用全體有理數Q來替代，那麼戴德金切割就成了把全部有理數分成A, B兩半的序對（A, B） ，所以A ∪ B = Q。由於A與B不相交，因此確定了其中一邊也同時確定了另一邊，習慣上我們用序對左邊的集合A來定義實數，稱之為戴德金左集合（Dedekind left set）。也就是說一個實數就是一堆有理數所形成的戴德金左集合，而全體實數就是這些戴德金左集合所形成的集合。

為了更容易理解戴德金左集合的定義，我們用√2來具體說明。如下圖所示，雖然目前我們尚不知道無理數√2的定義，但我們可以利用畢氏定理將邊長為1的正方形取對角線，然後用圓規將與對角線等長的線段畫到數線上，這樣就標出了長度相當於√2在數線上的位置。

我們發現它正好把大於此數和小於此數的有理數Q分成兩半，紅色部分為所有小於√2的有理數，而藍色部分則為所有大於√2的有理數。紅色部分和藍色部分沒有共同成員，它們的聯集等於全體有理數，所以顯然滿足戴德金切割的第一個條件。而紅色集合內的有理數顯然都在藍色成員的左邊，因此滿足第二個條件。此外以√2為分界的戴德金左集合（紅色部分）顯然沒有最大元素，因為作為分界的√2不屬於有理數，所以第三個條件也滿足了，它是一個戴德金切割。

接下來就看怎麼樣來定義這個特殊的戴德金左集合。有人會說這很容易啊，只要定義 A = {q〡q <√2 且 q∈ Q}不就得了？但請注意，我們目前還不知道√2是甚麼，我們只知道有理數是甚麼東東，正絞盡腦汁想把√2的定義找出來，所以上面對A的定義等於是拿未知的東西來定義未知，也是拿尚待定義的東西來作為定義，這是不可接受的。

為了要避開這種循環定義，我們把上式梢作修改成

A = {q〡q² < 2 且 q ∈ Q}

這樣一來所有的條件就都符合有理數的規定範圍。但仔細一看問題又來了，因為戴德金左集合會一直往負的方向無限延伸，因此越往左其平方值會越來越大，比如：

-2 ∈ Q 且-2∈ A，但顯然 (-2)² > 2，這與A的規定顯然不合。該怎麼辦呢? 只要利用邏輯概念將小於√2的正負數分開處理就行了，因此我們重新把A定義為

A = {q ∈ Q 〡q² < 2 或 q為負數}

如果有耐心地依序檢查，會發現這個定義符合戴德金切割的條件，因而正是用來定義√2的戴德金左集合。

這個看似古怪的定義讓我們可以單憑有理數重新定義出所有實數（尤其是無理數），而且這樣定義出來的無理數完全可以滿足實數所須具備的各種運算和性質，真可謂鬼斧神工。更重要的是透過戴德金切割我們發現，無限集合居然可以用來標定某個特定實數，這實在太神奇了。戴德金左集合宛如實數的基因密碼，透過對這些密碼的識別和辨認達到對實數本身身分的確認。僅管構成生物基因的分子為數眾多但卻是有限的，然而每個戴德金左集合的元素個數卻都是無限，任何一個實數都可以用某個無限集合來唯一確定。

如果你還沒有意識到此中令人驚奇之處，那麼我們再把戴德金切割比喻成商品的條碼，每一個條碼都指向一種特殊的商品。讓我們感到驚異的是，在實數的定義裡，構成每個條碼的信息單元（有理數）竟然不是有限而是無限。

雖然戴德金切割用這種有理數的「無限條碼」奇蹟似地界定出實數，但有些數的意義似乎產生了奇怪的病變。比如自然數0原來是用空集合來定義，所以0 = { } ，可是在戴德金左集合的新包裝下，0 不再是空無一物而成了 {q〡q ∈ Q 且q<0} ，這到底是怎麼回事呢？難道同一個數可以同時由兩個集合來定義嗎？要解開這個難題，這就只有等下回再分解了！

對數學家與哲學家而言，無限大就像個怪物。哲學碰上無限就會產生一堆悖論，例如芝諾悖論、無限大飯店、⋯⋯等等。無限大更是在數學製造了一堆矛盾，例如：無限序列 1 – 1 + 1 – 1 + ⋯⋯的總和到底是等於 0 或 1、或是 1/2？我們可以讓自然數與平方數的數列彼此一一對應（1→1, 2→4, 3→9, ⋯⋯），但平方數顯然又只占自然數的一小部分，那麼自然數的集合究竟比平方數的集合大還是兩者一樣大？

面對這些令人困惑的矛盾，大家的共識就是：無限只能當作一種概念，一個持續的未完成狀態，所以不能計算或比較大小。數學王子高斯就嚴肅表示：「我反對將無限量看成真實的實體來運用，這在數學之中是永遠不被允許的。無限只是一種說法而已。」直到不信邪的德國數學家康托爾出現，祭出集合論這面照妖鏡，才讓無限這個怪物現出原形，扭轉了千年以來對於無限的認知。

康托爾創立集合論，將無限當成可以一一對應其中元素的集合來處理。經由他無懈可擊的證明，無限的確有大小等級不同之分。自然數、平方數、整數、有理數的集合都是「可數無限」，屬於最初級（第零級）的無限，它們都一樣大。但無理數、實數的集合就是另一種「不可數無限」，硬是比第零級的無限還大，屬於第一級的無限。不只如此，還有更大的無限，一級一級往上沒有止盡。也就是說，世人以為無限是一隻神秘的怪物，但康托爾卻撥開迷霧，指出無限其實是一群數不完的大小不同的怪物。

然而康托爾天才般的洞見卻被當時的學界權威批評為「並無重要意義」、「騙局」。康托爾一方面承受極大的壓力，一方面又受困於自己提出來的疑問──存不存在大小介於第零級與第一級之間的無限？他試圖證明並不存在這樣的無限集合（稱為「連續統假設」），但搏鬥多年卻始終未果，乃數度精神崩潰住院治療。到了一次大戰，因實施食物配給而健康更加惡化，終於在 1918 年於精神療養院中過世，享年 73 歲。

如今康托爾的貢獻已被普遍認同，他開創的集合論已成為現代數學的基石。大數學家希爾伯特曾捍衛地宣稱：「沒有人能將我們從康托爾為我們創造的樂園中驅逐出去」。他的連續統假設仍列於有待解決的 23 個最重要的數學問題之首，等待後人征服。

本文同時收錄於《科學史上的今天：歷史的瞬間，改變世界的起點》，由究竟出版社出版。

我們曾經用等量於自然數尺寸的集合企圖製造更大的集合，結果發現即使把這種尺度的集合聯集無數次（可數有限次） ，得到的還是可數無限集合，這就是說聯集這種運算無法讓N突破其尺寸限制。當所屬集合之間沒有共同元素，也就是它們互不相交時，聯集就相當於加法，所以我們也可以說用加法這種運算無法增加可數無限集合的尺寸，詳細證明過程請參考《公設化集合論的奧秘 (10)》。既然加法不行，那很自然會想到乘法或許可以突破這種限制，因為在算術的領域裡，乘法得出的結果要比加法來得大。

接下來就來尋找這種乘法吧。但有甚麼數學構造相當於集合的乘法呢？相信很多人馬上會想起有個外型看起來很像乘法的東西，那就是笛卡爾乘積（Cartesian Product）：

定義4：對任意集合A和B，我們將笛卡爾乘積A × B定義為集合 {z〡∃a ∃b (a∈A ∧ b∈B) ∧ z = (a, b)}。

仔細一看，這個看起來很熟悉的笛卡爾乘積不就是之前介紹過的序對(a, b)所構成的集合嗎？這個笛卡爾乘積的前半部元素從A得來而後半部的元素則從B而來。

雖然這個定義就像我們所熟知的平面座標系一樣清楚明白，但對真正公設化集合論的內行人來說，她會馬上提出一個質疑，那就是雖然A和B都是集合，但我們無法確定A × B是否也是集合，所以必須在公設系統之內驗明正身。我們之前給過的序對定義為：

定義2： (a, b)= {{a}, {a, b}}

可參考《公設化集合論的奧秘 (8)》

由於a和 b分別屬於A和B集合，所以a, b ∈ A ∪ B。這樣的話，以a和b為元素所形成的集合就會成為A ∪ B的子集，也就是 {a, b} ⊆A ∪ B。而冪集合P(X) 的定義剛好是把X的子集合拿來當成P(X) 的元素，所以我們把A ∪ B看成P(X) 中的X就會得到

{a, b}∈ P (A ∪ B)

同理，更小的集合{a}也是A ∪ B的子集合，{a} ⊆A ∪ B，所以

{a}∈ P (A ∪ B)

以上用紅字標註的兩個集合{a , b}和{a}既然都是P (A ∪ B)的成員，那表示它們兩者所形成的集合{{a}, {a , b}}必定是P (A ∪ B)的子集，也就是

{{a}, {a, b}} ⊆ P (A ∪ B)

仔細觀察會發現左邊的部分正是序對(a, b)，也就是笛卡爾乘積的構成元素z 的基本形態，現在終於知道我們為何要不辭勞苦地繞那麼一大圈，為的就是要得出這個序對的形態，然後才能判別它是否符合集合的合法身分。

把這些定義關係整理一下可以得到：

z = (a, b) = {{a}, {a, b}} ⊆ P (A ∪ B)

再運用一次冪集合到P (A ∪ B)身上，根據它把子集當成元素的規定，我們發現

z = (a, b) = {{a}, {a, b}} ∈ P (P (A ∪ B))

終於把笛卡爾乘積的「真身」找到了，它就是構成A × B的集合形態，把A和B的聯集連續取兩次冪集合之後得到的P (P (A ∪ B))就是以z為元素的笛卡爾乘積。

現在只剩下最後一步確認程序了，那就是P (P (A ∪ B))是否為集合？由於A和B都是集合，所以根據ZF5聯集公設（請參考《公設化集合論的奧秘 (5)》），兩個集合的聯集也是集合，所以A ∪ B是集合沒錯。

再根據ZF7冪集合公設 (請參考《公設化集合論的奧秘 (7) 》) ，把一個集合X的所有子集蒐集起來所構成的類P(X)也是集合，所以P (A ∪ B) 是集合沒錯。(關於類的概念請參考《公設化集合論的奧秘 (12) 》) 現在讓我們根據ZF7把這個程序再 一次用到P (A ∪ B) 身上，結果發現P (P (A ∪ B)) 也仍然是集合。到此我們可以確定笛卡爾乘積A × B 為集合無誤，定義4完全符合ZF公設的「法定」標準。

確定了A × B為集合之後，我們才能放心大膽地測試由自然數集合N所構成的笛卡爾乘積N × N的尺寸是否能突破可數無限的限制，如果N × N連集合都不是的話，那我們就不用這麼辛苦白忙這一大圈了。

最後讓我們檢查一下笛卡爾乘積A × B是否真正捕捉到乘法算術的本質，就用有限集合來實驗一下吧。假設A和B都是由3個元素所構成的集合，比如A = {a, b, c} 而 B = {1, 2, 3} ，那麼A × B = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3), (c, 1), (c, 2), (c, 3)} ，點算一下剛好是9個元素，等於3 × 3，確實是乘法沒錯。

接下來能否找到N × N與N 之間的大小關係呢？我們發現可以找到一個一對一函數從N到N × N，只要取：

ƒ : N → N × N

n → (n, 0)

就成了。可惜ƒ不是映成函數，因為比如(17, 3)這個序對就不在ƒ的值域（range）裡，因此我們目前無法確定N × N 和N是否等量。但我們觀察到一個令人驚喜的現象，那就是當函數是一對一而沒有映成時，不就表示前面的集合N小於或等於後面的集合N × N嗎？因為不映成表示後面的集合N × N 存在著配對之後剩餘的元素，因此它有可能比前面的集合來得大。

於是我們據此做出一個集合之間小於或等於的定義：

定義5：如果在集合A和B之間存在一個一對一函數  ƒ : A→B，則說A小於或等量於B，寫成A ≤ B。相當於〡A〡≤  〡B〡，也就是A的基數小於等於B的基數。

根據以上定義，前面的函數ƒ告訴我們〡N〡≤  〡N × N〡，但若要確定〡N × N〡真的大於〡N〡的話，我們還需要證明N和N × N不等量才行。也就是若〡N〡≤ 〡N × N〡，則必須加上N和N × N不等量這個條件才能說〡N〡<〡N × N〡。

在這緊要關頭我們卻發現有一個函數g：N × N → N恰好是一對一函數，這怎麼可能呢？才剛剛發現〡N〡≤  〡N × N〡，為何半路又殺出一個搗蛋的函數g？口說無憑，我們就把函數g亮出來吧：

g：N × N → N

(n , m) → 2ⁿ3^m

有證據證明這個函數是一對一嗎？有的，根據算術基本定理，任何大於1的正整數都可以唯一分解為依序排列的質數乘積模式如：P₁^aP₂^bP₃^c…P_k^k…，其中P₁ < P₂ < P₃< P_k <… 為由小到大的質數，而a, b, c, …, k 等為正整數。由於值域裡的2和3正好是最小的兩個質數，因此一個序對(n, m)決定一個唯一的2ⁿ3^m值，故知道函數g為一對一函數。根據定義5，〡N × N〡≤ 〡N〡。於是我們同時有〡N〡≤ 〡N × N〡和〡N × N〡≤  〡N〡兩種情況。

如果是任意兩個實數r₁, r₂的話，如果r₁≤ r₂ 且 r₂ ≤ r₁則r₁ = r₂。但對於包含N在內的任意集合來說，以上的算術規則是否仍然正確？也就是如果

〡N〡≤ 〡N × N〡且〡N × N〡≤  〡N〡的話，

〡N〡=〡N × N〡是否成立？

答案是肯定的，這就是著名的施洛德—伯恩斯坦定理（Schröder-Bernstein theorem），它是關於集合尺寸的一個非常重要的定理，我們目前尚未證明它，所以只能暫時假裝它是對的。但施洛德—伯恩斯坦定理一旦成立，我們剛才的美夢就全泡湯了，原本期待笛卡爾乘積可以突破可數無限的藩籬，現在卻得到〡N〡=〡N × N〡這個結論。

不僅如此，我們還能夠進一步證明推廣到任意整數n的笛卡爾乘積C₁ × C₂ × C₃ × C₄ × … × C_n 其尺寸仍然是可數無限。突破可數無限的集合運算方式似乎近在咫尺又瞬間擦身而過，這個施洛德—伯恩斯坦定理的證明又暗藏甚麼玄機？就讓我們下回再分解吧！