公設化集合論的奧秘(13) 追查有理數失蹤之謎

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「一尺之棰，日取其半，萬世不竭」       莊子

如果我們把莊子以上的想法稍作改變，不要把木棍每天鋸掉一半，而是在本該鋸掉的地方刻上一道細線，這樣一直刻劃下去，有一天是否能把木棍劃滿呢？如果你拿一枝美工刀實際去做的話，幾秒鐘刻上一道刀痕，估計木棍很快就會佈滿刀的刻跡，因為刻痕是有寬度的。若是刻痕真能像幾何學所說的那樣寬度等於零的話，直覺上木棍或許不會被蓋滿，在取1/2不斷縮小的眾多段落裡總是會有間隙存在。

但如果增加刀痕的切刻密度，比如把棍子按1/3比例切刻，然後將被切成1/3的部分再切1/3這樣無限執行下去呢？若將1/4, 1/5, 1/6, …, 1/n , … 的切刻比例都加進來如法炮製呢？你的直觀還能那麼確定棍子不會被刻痕佈滿嗎？

讓我們回到那個由無限顆白沙顆粒所形成的海灘，還有那條發出橙色亮光的實數線，數學證明告訴我們，這些與有理數等量的沙粒確實無法填滿實數線（請參考《公設化集合論的奧秘(11)》），同理以上的方法也無法將刻痕佈滿莊子家那根棍子。

僅管我們在《公設化集合論的奧秘(11)》中已經證明實數是不可數的，也就是說實數比有理數多，但我們並不清楚實數到底比有理數多多少？將這些美麗的白沙填充到橙色的實數彩虹時，彩虹到底變白了多少？是整個實數彩虹都呈現灰白狀，還是只有白色的帶狀，或者更像量子力學的双狹縫實驗中的細干涉條紋線呢？

答案我們前文已經說過，實數彩虹完全不會改變顏色，那似乎暗示無限顆白沙就像憑空消失一樣，即使請菩提祖師加持讓每顆沙粒再變成無窮的沙粒也於事無補，無數美麗的白沙消失在實數線的橙光之中。於是我們面臨一宗最詭異的疑案，這些數量等同於一切有理數的美麗白沙為何消失了？它們跑到哪裡去了？有數學上的方法能說明這個怪異現象嗎？

要破解這件玄案，首先要知道無數白沙失蹤等同於有理數失蹤，因為它們是等量的，有著相同的基數。所以我們的目標是要追查失蹤的有理數，看它們為何消失，但一個好的偵探不會被表象蒙蔽，或許這些有理數並沒有消失，只是被藏了起來罷了，甚麼情況下能將這麼多的東西藏起來？除非有比它們多得多的東西將其淹沒，所以我們才看不到有理數，讓我們來驗證這個猜測是否屬實。

由於已經證明整體實數跟（0, 1）區間裡的實數一樣多，所以只要處理開區間（0, 1）就相當於處理了整個實數。假設這個區間內所有有理數的集合為S，因為其尺寸為可數無限，所以我們可以將其成員編碼成S={x₁, x₂, x₃,…}，S就是灑到實數線上的沙粒集合。接著找一段1/10長的開區間I₁將第一粒沙x₁包住，然後用更小的一段 1/100長的開區間I₂將第二粒沙x₂包住，依此類推，我們用10ⁿ 長的開區間I_n來覆蓋第x_n粒沙。這樣做的結果就是用來覆蓋S元素的區間總長必定大於x₁, x₂, x₃, …的總和，因為每段I_n總是把某個x_n覆蓋住。

現在我們把所有的I_n加起來看看占有多少比例，它等於：

1/10 + 1/10² + 1/10³ +… + 1/10ⁿ   +… = 1/9

用簡單的等比級數公式就可以得出以上的結果。這個結果令人驚訝，因為我們發現沙粒的總和S頂多只占有區間的1/9，其餘的部分都不屬於S，合理的猜測就是8/9以上的區域屬於無理數的領地。

但更驚爆的事情還在後面，第一個開區間I₁的長度1/10是我們任意選取的，我們可以選得更小，比如說1/10²同樣可以包住x₁，之後的區間長度也是依比例遞減。這樣覆蓋S所有元素的開區間總合就等於：

∑I_n = 1/10² + 1/10³ + 1/10⁴ … + 1/10ⁿ   +… = 1/90

經過這個調整，有理數S所占的比例只剩不到1/90，其餘89/90以上的區域都是無理數。

敏銳的讀者已經發現，我們可以將選取的覆蓋區間不斷縮小，因而有理數集合S所占實數區間（0, 1）的比例也就會依照1/900, 1/9000, 1/90000逐漸下降而最後趨近於0。難怪那麼多沙粒都消失不見，原來與實數相比它們所占的比例是零。

這是甚麼意思呢？這是不可數無限集合最深奧難解的性質之一，雖然同屬於無限集合，但若把有理數全數放到實數堆裡的話，它們將完全被淹沒而看不到蹤影。有理數的「數量」跟實數相比實在太過渺小，幾乎可以忽略不計，這就是整個白沙星球「失蹤」的真正原因。

經由以上的推演，我們不但證明了實數比有理數多，還進一步知道由於它們之間懸殊的比例，導致有理數無法被觀察到而造成失蹤的假象。那麼這種遠遠超出我們直觀經驗的不可數無限集合 R和由全體自然數集合N所形成冪集合 P (N) 是否一樣大呢？我們能找到方法來證明它們誰大誰小嗎？這只有等下回再分解了！