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公設化集合論的奧秘(13) 追查有理數失蹤之謎

翁昌黎・2015/02/27 ・1766字・閱讀時間約 3 分鐘・SR值 528 ・七年級

credit:wiki
「一尺之棰，日取其半，萬世不竭」莊子

如果我們把莊子以上的想法稍作改變，不要把木棍每天鋸掉一半，而是在本該鋸掉的地方刻上一道細線，這樣一直刻劃下去，有一天是否能把木棍劃滿呢？如果你拿一枝美工刀實際去做的話，幾秒鐘刻上一道刀痕，估計木棍很快就會佈滿刀的刻跡，因為刻痕是有寬度的。若是刻痕真能像幾何學所說的那樣寬度等於零的話，直覺上木棍或許不會被蓋滿，在取1/2不斷縮小的眾多段落裡總是會有間隙存在。

但如果增加刀痕的切刻密度，比如把棍子按1/3比例切刻，然後將被切成1/3的部分再切1/3這樣無限執行下去呢？若將1/4, 1/5, 1/6, …, 1/n , … 的切刻比例都加進來如法炮製呢？你的直觀還能那麼確定棍子不會被刻痕佈滿嗎？

讓我們回到那個由無限顆白沙顆粒所形成的海灘，還有那條發出橙色亮光的實數線，數學證明告訴我們，這些與有理數等量的沙粒確實無法填滿實數線（請參考《公設化集合論的奧秘(11)》），同理以上的方法也無法將刻痕佈滿莊子家那根棍子。

僅管我們在《公設化集合論的奧秘(11)》中已經證明實數是不可數的，也就是說實數比有理數多，但我們並不清楚實數到底比有理數多多少？將這些美麗的白沙填充到橙色的實數彩虹時，彩虹到底變白了多少？是整個實數彩虹都呈現灰白狀，還是只有白色的帶狀，或者更像量子力學的双狹縫實驗中的細干涉條紋線呢？

答案我們前文已經說過，實數彩虹完全不會改變顏色，那似乎暗示無限顆白沙就像憑空消失一樣，即使請菩提祖師加持讓每顆沙粒再變成無窮的沙粒也於事無補，無數美麗的白沙消失在實數線的橙光之中。於是我們面臨一宗最詭異的疑案，這些數量等同於一切有理數的美麗白沙為何消失了？它們跑到哪裡去了？有數學上的方法能說明這個怪異現象嗎？

要破解這件玄案，首先要知道無數白沙失蹤等同於有理數失蹤，因為它們是等量的，有著相同的基數。所以我們的目標是要追查失蹤的有理數，看它們為何消失，但一個好的偵探不會被表象蒙蔽，或許這些有理數並沒有消失，只是被藏了起來罷了，甚麼情況下能將這麼多的東西藏起來？除非有比它們多得多的東西將其淹沒，所以我們才看不到有理數，讓我們來驗證這個猜測是否屬實。

由於已經證明整體實數跟（0, 1）區間裡的實數一樣多，所以只要處理開區間（0, 1）就相當於處理了整個實數。假設這個區間內所有有理數的集合為S，因為其尺寸為可數無限，所以我們可以將其成員編碼成S={x₁, x₂, x₃,…}，S就是灑到實數線上的沙粒集合。接著找一段1/10長的開區間I₁將第一粒沙x₁包住，然後用更小的一段 1/100長的開區間I₂將第二粒沙x₂包住，依此類推，我們用10ⁿ 長的開區間I_n來覆蓋第x_n粒沙。這樣做的結果就是用來覆蓋S元素的區間總長必定大於x₁, x₂, x₃, …的總和，因為每段I_n總是把某個x_n覆蓋住。

現在我們把所有的I_n加起來看看占有多少比例，它等於：

1/10 + 1/10² + 1/10³ +… + 1/10ⁿ+… = 1/9

用簡單的等比級數公式就可以得出以上的結果。這個結果令人驚訝，因為我們發現沙粒的總和S頂多只占有區間的1/9，其餘的部分都不屬於S，合理的猜測就是8/9以上的區域屬於無理數的領地。

但更驚爆的事情還在後面，第一個開區間I₁的長度1/10是我們任意選取的，我們可以選得更小，比如說1/10²同樣可以包住x₁，之後的區間長度也是依比例遞減。這樣覆蓋S所有元素的開區間總合就等於：

∑I_n = 1/10² + 1/10³ + 1/10⁴ … + 1/10ⁿ+… = 1/90

經過這個調整，有理數S所占的比例只剩不到1/90，其餘89/90以上的區域都是無理數。

敏銳的讀者已經發現，我們可以將選取的覆蓋區間不斷縮小，因而有理數集合S所占實數區間（0, 1）的比例也就會依照1/900, 1/9000, 1/90000逐漸下降而最後趨近於0。難怪那麼多沙粒都消失不見，原來與實數相比它們所占的比例是零。

這是甚麼意思呢？這是不可數無限集合最深奧難解的性質之一，雖然同屬於無限集合，但若把有理數全數放到實數堆裡的話，它們將完全被淹沒而看不到蹤影。有理數的「數量」跟實數相比實在太過渺小，幾乎可以忽略不計，這就是整個白沙星球「失蹤」的真正原因。

經由以上的推演，我們不但證明了實數比有理數多，還進一步知道由於它們之間懸殊的比例，導致有理數無法被觀察到而造成失蹤的假象。那麼這種遠遠超出我們直觀經驗的不可數無限集合 R和由全體自然數集合N所形成冪集合 P (N) 是否一樣大呢？我們能找到方法來證明它們誰大誰小嗎？這只有等下回再分解了！

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翁昌黎

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中央大學哲學研究所碩士，曾籌劃本土第一場「認知科學與佛教禪修系統」對話之大型研討會，於1995年6月在法光佛教研究所舉行，並發表文章。後隱居紐西蘭，至今已20載。長年關注「意識轉變狀態的科學」和「意識本質的科學與哲學」問題，曾與大寶法王辯經教授師拿旺桑結堪布成立「大乘佛教禪修研究中心」。其他研究興趣為「唯識學」、「超個人心理學」、「數理邏輯」、「公設化集合論」和「後設數學」等等。

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撰文｜許世穎

「造父」是周穆王的專屬司機，也是現在「趙」姓的始祖。以它為名的「造父變星」則是標準燭光的一種，讓我們可以量測外星系的距離。這幫助哈柏發現了宇宙膨脹，大大開拓了人們對宇宙的視野。然而發現這件事情的天文學家勒梅特卻沒有獲得她該有的榮譽。

宇宙中的距離指引：標準燭光

經過了三篇文章的鋪陳以後，我們終於要離開銀河系，開始量測銀河系以外的星系距離。在前作＜天有多大？宇宙中的距離（3）—「人口普查」＞中，介紹了距離和亮度的關係。想像一支燃燒中、正在發光的蠟燭。距離愈遠，發出來的光照射到的範圍就愈大，看起來就會愈暗。

我們把「所有發射出來的光」稱為「光度」，而用「亮度」來描述實際上看到的亮暗程度，而它們之間的關係就是平方反比。一旦我們知道一支蠟燭的光度，再搭配我們看到的亮度，很自然地就可以推算出這支蠟燭所在區域的距離。

舉例來說，我們可以在台北望遠鏡觀測金門上的某支路燈亮度。如果能夠找到到那支路燈的規格書，得知這支路燈的光度，就可以用亮度、光度來得到這支路燈的距離。如果英國倫敦也安裝了這支路燈，那我們也可以用一樣的方法來得知倫敦離我們有多遠。

我們把「知道光度的天體」稱為「標準燭光（Standard Candle）」。可是下一個問題馬上就來了：我們哪知道誰是標準燭光啊？經過許多的研究、推論、歸納、計算等方法，我們還是可以去「猜」出一些標準燭光的候選。接下來，我們就來實際認識一個最著名的標準燭光吧！

「造父」與「造父變星」

「造父」是中國的星官之一。傳說中，「造父」原本是五帝之一「顓頊」的後代。根據《史記‧本紀‧秦本紀》記載：造父很會駕車，因此當了西周天子周穆王的專屬司機。後來徐偃王叛亂，造父駕車載周穆王火速回城平亂。平亂後，周穆王把「趙城」（現在的中國山西省洪洞縣一帶）封給造父，而後造父就把他的姓氏就從本來地「嬴」改成了「趙」。因此，造父可是趙姓的始祖呢！（《史記‧本紀‧秦本紀》：造父以善御幸於周繆王……徐偃王作亂，造父為繆王御，長驅歸周，一日千里以救亂。繆王以趙城封造父，造父族由此為趙氏。）

回到星官「造父」上。造父是「北方七宿」中「危宿」的一員（圖一），位於西洋星座中的「仙王座（Cepheus）」。一共有五顆恆星（造父一到造父五），清代的星表《儀象考成》又加了另外五顆（造父增一到造父增五）。^[3]

英籍荷蘭裔天文學家約翰‧古德利克（John Goodricke，1764-1786）幼年因為發燒而失聰，也無法說話。1784 年古德利克（John Goodricke，1764-1786）發現「造父一」的光度會變化，代表它是一顆「變星（Variable）」。2 年後，年僅 22 歲的他就當選了英國皇家學會的會員。卻在 2 週後就就不幸因病去世。^[4]

造父一這顆變星的星等在 3.48 至 4.73 間週期性地變化，變化週期大約是 5.36 天（圖二）。經由後人持續的觀測，發現了更多不同的變星。其中一群變星的性質（週期、光譜類型、質量……等）與造父一接近，因此將這一類變星統稱為「造父變星（Cepheid Variable）」。^[5]

圖二：造父一的亮度變化圖。橫軸可以看成時間，縱軸可以看成亮度。圖片來源：ThomasK Vbg^[5]

勒維特定律：週光關係

時間接著來到 1893 年，年僅 25 歲的亨麗埃塔‧勒維特（Henrietta Leavitt，1868-1921）她在哈佛大學天文台的工作。當時的哈佛天文台台長愛德華‧皮克林（Edward Pickering，1846-1919）為了減少人事開銷，將負責計算的男性職員換成了女性（當時的薪資只有男性的一半）。^[6]

這些「哈佛計算員（Harvard computers）」（圖三）的工作就是將已經拍攝好的感光板拿來分析、計算、紀錄等。這些計算員們在狹小的空間中分析龐大的天文數據，然而薪資卻比當時一般文書工作來的低。以勒維特來說，她的薪資是時薪 0.3 美元。順帶一提，這相當於現在時薪 9 美元左右，約略是台灣最低時薪的 1.5 倍。^[6][7][8]

勒維特接到的目標是「變星」，工作就是量測、記錄那些感光板上變星的亮度。她在麥哲倫星雲中標示了上千個變星，包含了 47 顆造父變星。從這些造父變星的數據中她注意到：這些造父變星的亮度變化週期與它們的平均亮度有關！愈亮的造父變星，變化的週期就愈久。麥哲倫星雲離地球的距離並不遠，可以利用視差法量測出距離。用距離把亮度還原成光度以後，就能得到一個「光度與週期」的關係（圖四），稱為「週光關係（Period-luminosity relation）」，又稱為「勒維特定律（Leavitt’s Law）」。藉由週光關係，搭配觀測到的造父變星變化週期，就能得知它的平均光度，能把它當作一支標準燭光！^[6][8][10]

圖四：造父變星的週光關係。縱軸為平均光度，橫軸是週期。光度愈大，週期就愈久。圖片來源：NASA ^[11]

從「造父變星」與「宇宙膨脹」

發現造父變星的週光關係的數年後，埃德溫‧哈柏（Edwin Hubble，1889-1953）就在 M31 仙女座大星系中也發現了造父變星（圖五）。數個世紀以來，人們普遍認為 M31 只是銀河系中的一個天體。但在哈柏觀測造父變星之後才發現， M31 的距離遠遠遠遠超出銀河系的大小，最終確認了 M31 是一個獨立於銀河系之外的星系，也更進一步開拓了人類對宇宙尺度的想像。後來哈柏利用造父變星，得到了愈來愈多、愈來愈遠的星系距離。發現距離我們愈遠的星系，就以愈快的速度遠離我們。從中得到了「宇宙膨脹」的結論。^[10]

圖五：M31 仙女座大星系裡的造父變星亮度隨時間改變。圖片來源：NASA/ESA/STSci/AURA/Hubble Heritage Team ^[1]

造父變星作為量測銀河系外星系距離的重要工具，然而勒維特卻沒有獲得該有的榮耀與待遇。當時的週光關係甚至是時任天文台的台長自己掛名發表的，而勒維特只作為一個「負責準備工作」的角色出現在該論文的第一句話。哈柏自己曾數度表示勒維特應受頒諾貝爾獎。1925 年，諾貝爾獎的評選委員之一打算將她列入提名，才得知勒維特已經因為癌症逝世了三年，由於諾貝爾獎原則上不會頒給逝世的學者，勒維特再也無法獲得這個該屬於她的殊榮。^[12]