公設化集合論的奧秘(13) 追查有理數失蹤之謎

本文與 威力暘電子 合作，泛科學企劃執行。

想像一下，當你每天啟動汽車時，啟動的不再只是一台車，而是一百台電腦同步運作。但如果這些「電腦」突然集體當機，後果會有多嚴重？方向盤可能瞬間失靈，安全氣囊無法啟動，整台車就像失控的高科技廢鐵。這樣的「系統崩潰」風險並非誇張劇情，而是真實存在於你我日常的駕駛過程中。

今天，我們將深入探討汽車電子系統「逆天改運」的科學奧秘。究竟，汽車的「大腦」—電子控制單元（ECU），是如何從單一功能，暴增至上百個獨立系統？而全球頂尖的工程師們，又為何正傾盡全力，試圖將這些複雜的系統「砍掉重練」、整合優化？

第一顆「汽車大腦」的誕生

時間回到 1980 年代，當時的汽車工程師們面臨一項重要任務：如何把汽油引擎的每一滴燃油都壓榨出最大動力？「省油即省錢」是放諸四海皆準的道理。他們發現，關鍵其實潛藏在一個微小到幾乎難以察覺的瞬間：火星塞的點火時機，也就是「點火正時」。

如果能把點火的精準度控制在「兩毫秒」以內，這大約是你眨眼時間的百分之一到千分之一！引擎效率就能提升整整一成！這不僅意味著車子開起來更順暢，還能直接省下一成的油耗。那麼，要如何跨過這道門檻？答案就是：「電腦」的加入！

工程師們引入了「微控制器」（Microcontroller），你可以把它想像成一顆專注於特定任務的迷你電腦晶片。它能即時讀取引擎轉速、進氣壓力、油門深度、甚至異常爆震等各種感測器的訊號。透過內建的演算法，在千分之一秒、甚至微秒等級的時間內，精準計算出最佳的點火角度，並立刻執行。

從此，引擎的性能表現大躍進，油耗也更漂亮。這正是汽車電子控制單元（ECU）的始祖—專門負責點火的「引擎控制單元」（Engine Control Unit）。

ECU 的失控暴增與甜蜜的負荷

第一顆 ECU 的成功，在 1980 年代後期點燃了工程師們的想像：「這 ECU 這麼好用，其他地方是不是也能用？」於是，ECU 的應用範圍不再僅限於點火，燃油噴射量、怠速穩定性、變速箱換檔平順度、ABS 防鎖死煞車，甚至安全氣囊的引爆時機……各種功能都交給專屬的 ECU 負責 。

然而，問題來了：這麼多「小電腦」，它們之間該如何有效溝通？

為了解決這個問題，1986 年，德國的博世（Bosch）公司推出了一項劃時代的發明：控制器區域網路（CAN Bus）。你可以將它想像成一條專為 ECU 打造的「神經網路」。各個 ECU 只需連接到這條共用的線路上，就能將訊息「廣播」給其他單元。

更重要的是，CAN Bus 還具備「優先通行」機制。例如，煞車指令或安全氣囊引爆訊號這類攸關人命的重要訊息，絕對能搶先通過，避免因資訊堵塞而延誤。儘管 CAN Bus 解決了 ECU 之間的溝通問題，但每顆 ECU 依然需要獨立的電源線、接地線，並連接各種感測器和致動器。結果就是，一輛汽車的電線總長度可能達到 2 到 4 公里，總重量更高達 50 到 60 公斤，等同於憑空多載了一位乘客的重量。

另一方面，大量的 ECU 與錯綜複雜的線路，也讓「電子故障」開始頻繁登上汽車召回原因的榜首。更別提這些密密麻麻的線束，簡直是設計師和維修技師的惡夢。要檢修這些電子故障，無疑讓人一個頭兩個大。

汽車電子革命：從「百腦亂舞」到集中治理

到了2010年代，汽車電子架構迎來一場大改革，「分區架構（Zonal Architecture）」搭配「中央高效能運算（HPC）」逐漸成為主流。簡單來說，這就像在車內建立「地方政府＋中央政府」的管理系統。

可以想像，整輛車被劃分為幾個大型區域，像是車頭、車尾、車身兩側與駕駛艙，就像數個「大都會」。每個區域控制單元（ZCU）就像「市政府」，負責收集該區所有的感測器訊號、初步處理與整合，並直接驅動該區的馬達、燈光等致動器。區域先自理，就不必大小事都等中央拍板。

而「中央政府」則由車用高效能運算平台（HPC）擔任，統籌負責更複雜的運算任務，例如先進駕駛輔助系統（ADAS）所需的環境感知、物體辨識，或是車載娛樂系統、導航功能，甚至是未來自動駕駛的決策，通通交由車輛正中央的這顆「超級大腦」執行。

乘著這波汽車電子架構的轉型浪潮中， 2008 年成立的台灣本土企業威力暘電子，便精準地切入了這個趨勢，致力於開發整合 ECU 與區域控制器（Domain Controller）功能的模組化平台。他們專精於開發電子排檔、多功能方向盤等各式汽車電子控制模組。為了確保各部件之間的溝通順暢，威力暘提供的解決方案，就像是將好幾個「分區管理員」的職責，甚至一部分「超級大腦」的功能，都整合到一個更強大的硬體平台上。

這些模組不僅擁有強大的晶片運算能力，可同時支援 ADAS 與車載娛樂，還能兼容多種通訊協定，大幅簡化車內網路架構。如此一來，車廠在追求輕量化和高效率的同時，也能顧及穩定性與安全性。

萬無一失的「汽車大腦」：威力暘的四大策略

然而，「做出來」與「做好」之間，還是有差別。要如何確保這顆集結所有功能的「汽車大腦」不出錯？具體來說，威力暘電子憑藉以下四大策略，築起其產品的可靠性與安全性：

1. AUTOSAR ： 導入開放且標準化的汽車軟體架構 AUTOSAR。分為應用層、運行環境層（RTE）和基礎軟體層（BSW）。就像在玩「樂高積木」，ECU 開發者能靈活組合模組，專注在核心功能開發，從根本上提升軟體的穩定性和可靠性。
   
2. V-Model 開發流程：這是一種強調嚴謹、能在早期發現錯誤的軟體開發流程。就像打勾 V 字形般，左側從上而下逐步執行，右側則由下而上層層檢驗，確保每個階段的安全要求都確實落實。
   
3. 基於模型的設計 MBD（Model-Based Design）： 威力暘的工程師們會利用 MatLab®/Simulink® 等工具，把整個 ECU 要控制的系統(如煞車)，用數學模型搭建起來，然後在虛擬環境中進行大量的模擬和測試。這等於在實體 ECU 誕生前，就能在「數位雙生」世界中反覆演練、預先排除設計缺陷，，並驗證安全機制是否有效。
   
4. Automotive SPICE (ASPICE) ： ASPICE 是國際公認的汽車軟體「品質管理系統」，它不直接評估最終 ECU 產品本身的安全性，而是深入檢視團隊在軟體開發的「整個過程」，也就是「方法論」和「管理紀律」是否夠成熟、夠系統化，並只根據數據來評估品質。

既然 ECU 掌管了整輛車的運作，其能否正常運作，自然被視為最優先項目。為此，威力暘嚴格遵循汽車業中一本堪稱「安全聖經」的國際標準：ISO 26262。這套國際標準可視為一本針對汽車電子電氣系統（特別是 ECU）的「超嚴格品管手冊」和「開發流程指南」，從概念、設計、測試到生產和報廢，都詳細規範了每個安全要求和驗證方法，唯一目標就是把任何潛在風險降到最低

有了上述這四項策略，威力暘確保其產品從設計、生產到交付都符合嚴苛的安全標準，才能通過 ISO 26262 的嚴格檢驗。

然而，ECU 的演進並未就此停下腳步。當ECU 的數量開始精簡，「大腦」變得更集中、更強大後，汽車產業又迎來了新一波革命：「軟體定義汽車」（Software-Defined Vehicle, SDV）。

軟體定義汽車 SDV：你的愛車也能「升級」！

未來的汽車，會越來越像你手中的智慧型手機。過去，車輛功能在出廠時幾乎就「定終身」，想升級？多半只能換車。但在軟體定義汽車（SDV）時代，汽車將搖身一變成為具備強大運算能力與高速網路連線的「行動伺服器」，能夠「二次覺醒」、不斷升級。透過 OTA（Over-the-Air）技術，車廠能像推送 App 更新一樣，遠端傳送新功能、性能優化或安全修補包到你的車上。

不過，這種美好願景也將帶來全新的挑戰：資安風險。當汽車連上網路，就等於向駭客敞開潛在的攻擊入口。如果車上的 ECU 或雲端伺服器被駭，輕則個資外洩，重則車輛被遠端鎖定或惡意操控。為了打造安全的 SDV，業界必須遵循像 ISO 21434 這樣的車用資安標準。

威力暘電子運用前面提到的四大核心策略，確保自家產品能符合從 ISO 26262 到 ISO 21434 的國際認證。從品質管理、軟體開發流程，到安全認證，這些努力，讓威力暘的模組擁有最高的網路與功能安全。他們的產品不僅展現「台灣智造」的彈性與創新，也擁有與國際大廠比肩的「車規級可靠度」。憑藉這些實力，威力暘已成功打進日本 YAMAHA、Toyota，以及歐美 ZF、Autoliv 等全球一線供應鏈，更成為 DENSO 在台灣少數核准的控制模組夥伴，以商用車熱系統專案成功打入日系核心供應鏈，並自 2025 年起與 DENSO 共同展開平台化量產，驗證其流程與品質。

毫無疑問，未來車輛將有更多運作交由電腦與 AI 判斷，交由電腦判斷，比交由人類駕駛還要安全的那一天，離我們不遠了。而人類的角色，將從操作者轉為監督者，負責在故障或斷網時擔任最後的保險。透過科技讓車子更聰明、更安全，人類甘願當一個「最弱兵器」，其實也不錯！

有理數是能夠用分數形式m/n來表達的數，其中m和n為整數且n ≠ 0。雖然到現在為止我們的公設只建構出自然數，但用自然數來建構有理數並不困難，它的基本概念是取序對（m, n）的型態來定義有理數。由於自然數和序對我們都已相當熟悉，況且有理數的概念在直觀上也很容易理解，因此我們並不打算在此介紹和證明如何用自然數定義出有理數的技術細節。可是對實數裡的「另一半」— 無理數來說，情況就大不相同了。

我們很難想像給出任意兩條線段，居然會找不到另一個線段作為衡量前兩者的共同單位。對有些情況來說，不論我們上天下地，卻永遠找不到這個共同單位，這在幾何學上叫做不可通約（incommensurable）。但這種讓古希臘畢氏學派震驚的「知識瘟疫」卻並非雪山靈芝而是隨處可見，比如從任一個正方形劃出對角線就可以根據畢氏定理1² +1² = x² 得出√2這個數，而√2就無法表示成m/n的分數形式。

根據傳說，畢氏學派把無理數的發現視為最高機密並禁止門徒對外洩漏，然而希臘的「斯諾登」希帕蘇斯先生卻冒死對外公佈了這個秘密，因而遭到如同黑社會懲罰臥底一般的待遇—扔到海裡餵魚。我們不知道這個傳說的真實性如何，但這意謂在某個歷史時期公佈某項知識成果的後果可能和今天所謂「洩漏國家機密」的後果沒兩樣。

既然無理數的性質那麼「無理」，可見要用自然數或有理數的概念來對其進行嚴格定義是很困難的。但現代實數系的兩位奠基者康托和德國數學家戴德金（R. Dedekind）雖然從不同的角度和進路用不同的方法來破解這個問題，但他們在推進人類對實數的理解時也同時發展了集合的概念。現在就來看看戴德金最重要的發明—如何用有理數來重新定義實數（因而自然把無理數也包含進去）的偉大創見，它稱之為戴德金切割(Dedekind cut) 。

由於有理數建立在自然數的基礎上，而自然數又建立在集合論的公設上，所以它們早已取得明確的「身分」，現在身分不明且難以被直觀掌握的就剩下無理數了。戴德金切割到底是個甚麼東西呢？首先來看看切割（cut）的定義：

一個切割就是一個序對（A, B），其中A, B ≠ Ø且A 和B不相交（也就是A ∩ B = Ø）。此外A ∪ B = P，也就是說切割是把某個集合P給切開，分成沒有共同元素的A, B兩半。

第二個條件是A的所有元素都比B的元素小，也就是說從數線的觀點來看，A的元素都在B元素的左邊。

滿足上述兩個條件的序對（A, B）就是一個對P集合的切割。由於序對（A, B）是集合，所以一個切割本身就相當於集合。而所謂戴德金切割必須加上第三個條件，那就是序對左邊的A集合沒有最大元素。它的直觀意思是說如果我們用某個點來切開P集合，那麼這個點不在A裡面。

我們現在手頭的武器是全部的有理數，所以可以把集合P用全體有理數Q來替代，那麼戴德金切割就成了把全部有理數分成A, B兩半的序對（A, B） ，所以A ∪ B = Q。由於A與B不相交，因此確定了其中一邊也同時確定了另一邊，習慣上我們用序對左邊的集合A來定義實數，稱之為戴德金左集合（Dedekind left set）。也就是說一個實數就是一堆有理數所形成的戴德金左集合，而全體實數就是這些戴德金左集合所形成的集合。

為了更容易理解戴德金左集合的定義，我們用√2來具體說明。如下圖所示，雖然目前我們尚不知道無理數√2的定義，但我們可以利用畢氏定理將邊長為1的正方形取對角線，然後用圓規將與對角線等長的線段畫到數線上，這樣就標出了長度相當於√2在數線上的位置。

我們發現它正好把大於此數和小於此數的有理數Q分成兩半，紅色部分為所有小於√2的有理數，而藍色部分則為所有大於√2的有理數。紅色部分和藍色部分沒有共同成員，它們的聯集等於全體有理數，所以顯然滿足戴德金切割的第一個條件。而紅色集合內的有理數顯然都在藍色成員的左邊，因此滿足第二個條件。此外以√2為分界的戴德金左集合（紅色部分）顯然沒有最大元素，因為作為分界的√2不屬於有理數，所以第三個條件也滿足了，它是一個戴德金切割。

接下來就看怎麼樣來定義這個特殊的戴德金左集合。有人會說這很容易啊，只要定義 A = {q〡q <√2 且 q∈ Q}不就得了？但請注意，我們目前還不知道√2是甚麼，我們只知道有理數是甚麼東東，正絞盡腦汁想把√2的定義找出來，所以上面對A的定義等於是拿未知的東西來定義未知，也是拿尚待定義的東西來作為定義，這是不可接受的。

為了要避開這種循環定義，我們把上式梢作修改成

A = {q〡q² < 2 且 q ∈ Q}

這樣一來所有的條件就都符合有理數的規定範圍。但仔細一看問題又來了，因為戴德金左集合會一直往負的方向無限延伸，因此越往左其平方值會越來越大，比如：

-2 ∈ Q 且-2∈ A，但顯然 (-2)² > 2，這與A的規定顯然不合。該怎麼辦呢? 只要利用邏輯概念將小於√2的正負數分開處理就行了，因此我們重新把A定義為

A = {q ∈ Q 〡q² < 2 或 q為負數}

如果有耐心地依序檢查，會發現這個定義符合戴德金切割的條件，因而正是用來定義√2的戴德金左集合。

這個看似古怪的定義讓我們可以單憑有理數重新定義出所有實數（尤其是無理數），而且這樣定義出來的無理數完全可以滿足實數所須具備的各種運算和性質，真可謂鬼斧神工。更重要的是透過戴德金切割我們發現，無限集合居然可以用來標定某個特定實數，這實在太神奇了。戴德金左集合宛如實數的基因密碼，透過對這些密碼的識別和辨認達到對實數本身身分的確認。僅管構成生物基因的分子為數眾多但卻是有限的，然而每個戴德金左集合的元素個數卻都是無限，任何一個實數都可以用某個無限集合來唯一確定。

如果你還沒有意識到此中令人驚奇之處，那麼我們再把戴德金切割比喻成商品的條碼，每一個條碼都指向一種特殊的商品。讓我們感到驚異的是，在實數的定義裡，構成每個條碼的信息單元（有理數）竟然不是有限而是無限。

雖然戴德金切割用這種有理數的「無限條碼」奇蹟似地界定出實數，但有些數的意義似乎產生了奇怪的病變。比如自然數0原來是用空集合來定義，所以0 = { } ，可是在戴德金左集合的新包裝下，0 不再是空無一物而成了 {q〡q ∈ Q 且q<0} ，這到底是怎麼回事呢？難道同一個數可以同時由兩個集合來定義嗎？要解開這個難題，這就只有等下回再分解了！

對數學家與哲學家而言，無限大就像個怪物。哲學碰上無限就會產生一堆悖論，例如芝諾悖論、無限大飯店、⋯⋯等等。無限大更是在數學製造了一堆矛盾，例如：無限序列 1 – 1 + 1 – 1 + ⋯⋯的總和到底是等於 0 或 1、或是 1/2？我們可以讓自然數與平方數的數列彼此一一對應（1→1, 2→4, 3→9, ⋯⋯），但平方數顯然又只占自然數的一小部分，那麼自然數的集合究竟比平方數的集合大還是兩者一樣大？

面對這些令人困惑的矛盾，大家的共識就是：無限只能當作一種概念，一個持續的未完成狀態，所以不能計算或比較大小。數學王子高斯就嚴肅表示：「我反對將無限量看成真實的實體來運用，這在數學之中是永遠不被允許的。無限只是一種說法而已。」直到不信邪的德國數學家康托爾出現，祭出集合論這面照妖鏡，才讓無限這個怪物現出原形，扭轉了千年以來對於無限的認知。

康托爾創立集合論，將無限當成可以一一對應其中元素的集合來處理。經由他無懈可擊的證明，無限的確有大小等級不同之分。自然數、平方數、整數、有理數的集合都是「可數無限」，屬於最初級（第零級）的無限，它們都一樣大。但無理數、實數的集合就是另一種「不可數無限」，硬是比第零級的無限還大，屬於第一級的無限。不只如此，還有更大的無限，一級一級往上沒有止盡。也就是說，世人以為無限是一隻神秘的怪物，但康托爾卻撥開迷霧，指出無限其實是一群數不完的大小不同的怪物。

然而康托爾天才般的洞見卻被當時的學界權威批評為「並無重要意義」、「騙局」。康托爾一方面承受極大的壓力，一方面又受困於自己提出來的疑問──存不存在大小介於第零級與第一級之間的無限？他試圖證明並不存在這樣的無限集合（稱為「連續統假設」），但搏鬥多年卻始終未果，乃數度精神崩潰住院治療。到了一次大戰，因實施食物配給而健康更加惡化，終於在 1918 年於精神療養院中過世，享年 73 歲。

如今康托爾的貢獻已被普遍認同，他開創的集合論已成為現代數學的基石。大數學家希爾伯特曾捍衛地宣稱：「沒有人能將我們從康托爾為我們創造的樂園中驅逐出去」。他的連續統假設仍列於有待解決的 23 個最重要的數學問題之首，等待後人征服。

本文同時收錄於《科學史上的今天：歷史的瞬間，改變世界的起點》，由究竟出版社出版。

「一尺之棰，日取其半，萬世不竭」       莊子

如果我們把莊子以上的想法稍作改變，不要把木棍每天鋸掉一半，而是在本該鋸掉的地方刻上一道細線，這樣一直刻劃下去，有一天是否能把木棍劃滿呢？如果你拿一枝美工刀實際去做的話，幾秒鐘刻上一道刀痕，估計木棍很快就會佈滿刀的刻跡，因為刻痕是有寬度的。若是刻痕真能像幾何學所說的那樣寬度等於零的話，直覺上木棍或許不會被蓋滿，在取1/2不斷縮小的眾多段落裡總是會有間隙存在。

但如果增加刀痕的切刻密度，比如把棍子按1/3比例切刻，然後將被切成1/3的部分再切1/3這樣無限執行下去呢？若將1/4, 1/5, 1/6, …, 1/n , … 的切刻比例都加進來如法炮製呢？你的直觀還能那麼確定棍子不會被刻痕佈滿嗎？

讓我們回到那個由無限顆白沙顆粒所形成的海灘，還有那條發出橙色亮光的實數線，數學證明告訴我們，這些與有理數等量的沙粒確實無法填滿實數線（請參考《公設化集合論的奧秘(11)》），同理以上的方法也無法將刻痕佈滿莊子家那根棍子。

僅管我們在《公設化集合論的奧秘(11)》中已經證明實數是不可數的，也就是說實數比有理數多，但我們並不清楚實數到底比有理數多多少？將這些美麗的白沙填充到橙色的實數彩虹時，彩虹到底變白了多少？是整個實數彩虹都呈現灰白狀，還是只有白色的帶狀，或者更像量子力學的双狹縫實驗中的細干涉條紋線呢？

答案我們前文已經說過，實數彩虹完全不會改變顏色，那似乎暗示無限顆白沙就像憑空消失一樣，即使請菩提祖師加持讓每顆沙粒再變成無窮的沙粒也於事無補，無數美麗的白沙消失在實數線的橙光之中。於是我們面臨一宗最詭異的疑案，這些數量等同於一切有理數的美麗白沙為何消失了？它們跑到哪裡去了？有數學上的方法能說明這個怪異現象嗎？

要破解這件玄案，首先要知道無數白沙失蹤等同於有理數失蹤，因為它們是等量的，有著相同的基數。所以我們的目標是要追查失蹤的有理數，看它們為何消失，但一個好的偵探不會被表象蒙蔽，或許這些有理數並沒有消失，只是被藏了起來罷了，甚麼情況下能將這麼多的東西藏起來？除非有比它們多得多的東西將其淹沒，所以我們才看不到有理數，讓我們來驗證這個猜測是否屬實。

由於已經證明整體實數跟（0, 1）區間裡的實數一樣多，所以只要處理開區間（0, 1）就相當於處理了整個實數。假設這個區間內所有有理數的集合為S，因為其尺寸為可數無限，所以我們可以將其成員編碼成S={x₁, x₂, x₃,…}，S就是灑到實數線上的沙粒集合。接著找一段1/10長的開區間I₁將第一粒沙x₁包住，然後用更小的一段 1/100長的開區間I₂將第二粒沙x₂包住，依此類推，我們用10ⁿ 長的開區間I_n來覆蓋第x_n粒沙。這樣做的結果就是用來覆蓋S元素的區間總長必定大於x₁, x₂, x₃, …的總和，因為每段I_n總是把某個x_n覆蓋住。

現在我們把所有的I_n加起來看看占有多少比例，它等於：

1/10 + 1/10² + 1/10³ +… + 1/10ⁿ   +… = 1/9

用簡單的等比級數公式就可以得出以上的結果。這個結果令人驚訝，因為我們發現沙粒的總和S頂多只占有區間的1/9，其餘的部分都不屬於S，合理的猜測就是8/9以上的區域屬於無理數的領地。

但更驚爆的事情還在後面，第一個開區間I₁的長度1/10是我們任意選取的，我們可以選得更小，比如說1/10²同樣可以包住x₁，之後的區間長度也是依比例遞減。這樣覆蓋S所有元素的開區間總合就等於：

∑I_n = 1/10² + 1/10³ + 1/10⁴ … + 1/10ⁿ   +… = 1/90

經過這個調整，有理數S所占的比例只剩不到1/90，其餘89/90以上的區域都是無理數。

敏銳的讀者已經發現，我們可以將選取的覆蓋區間不斷縮小，因而有理數集合S所占實數區間（0, 1）的比例也就會依照1/900, 1/9000, 1/90000逐漸下降而最後趨近於0。難怪那麼多沙粒都消失不見，原來與實數相比它們所占的比例是零。

這是甚麼意思呢？這是不可數無限集合最深奧難解的性質之一，雖然同屬於無限集合，但若把有理數全數放到實數堆裡的話，它們將完全被淹沒而看不到蹤影。有理數的「數量」跟實數相比實在太過渺小，幾乎可以忽略不計，這就是整個白沙星球「失蹤」的真正原因。

經由以上的推演，我們不但證明了實數比有理數多，還進一步知道由於它們之間懸殊的比例，導致有理數無法被觀察到而造成失蹤的假象。那麼這種遠遠超出我們直觀經驗的不可數無限集合 R和由全體自然數集合N所形成冪集合 P (N) 是否一樣大呢？我們能找到方法來證明它們誰大誰小嗎？這只有等下回再分解了！