0

0
0

文字

分享

0
0
0

公設化集合論的奧秘(13) 追查有理數失蹤之謎

翁 昌黎
・2015/02/27 ・1766字 ・閱讀時間約 3 分鐘 ・SR值 528 ・七年級

credit:wiki
credit:wiki

「一尺之棰,日取其半,萬世不竭」       莊子

如果我們把莊子以上的想法稍作改變,不要把木棍每天鋸掉一半,而是在本該鋸掉的地方刻上一道細線,這樣一直刻劃下去,有一天是否能把木棍劃滿呢?如果你拿一枝美工刀實際去做的話,幾秒鐘刻上一道刀痕,估計木棍很快就會佈滿刀的刻跡,因為刻痕是有寬度的。若是刻痕真能像幾何學所說的那樣寬度等於零的話,直覺上木棍或許不會被蓋滿,在取1/2不斷縮小的眾多段落裡總是會有間隙存在。

但如果增加刀痕的切刻密度,比如把棍子按1/3比例切刻,然後將被切成1/3的部分再切1/3這樣無限執行下去呢?若將1/4, 1/5, 1/6, …, 1/n , … 的切刻比例都加進來如法炮製呢?你的直觀還能那麼確定棍子不會被刻痕佈滿嗎?

讓我們回到那個由無限顆白沙顆粒所形成的海灘,還有那條發出橙色亮光的實數線,數學證明告訴我們,這些與有理數等量的沙粒確實無法填滿實數線(請參考《公設化集合論的奧秘(11)》),同理以上的方法也無法將刻痕佈滿莊子家那根棍子。

僅管我們在《公設化集合論的奧秘(11)》中已經證明實數是不可數的,也就是說實數比有理數多,但我們並不清楚實數到底比有理數多多少?將這些美麗的白沙填充到橙色的實數彩虹時,彩虹到底變白了多少?是整個實數彩虹都呈現灰白狀,還是只有白色的帶狀,或者更像量子力學的双狹縫實驗中的細干涉條紋線呢?

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

答案我們前文已經說過,實數彩虹完全不會改變顏色,那似乎暗示無限顆白沙就像憑空消失一樣,即使請菩提祖師加持讓每顆沙粒再變成無窮的沙粒也於事無補,無數美麗的白沙消失在實數線的橙光之中。於是我們面臨一宗最詭異的疑案,這些數量等同於一切有理數的美麗白沙為何消失了?它們跑到哪裡去了?有數學上的方法能說明這個怪異現象嗎?

要破解這件玄案,首先要知道無數白沙失蹤等同於有理數失蹤,因為它們是等量的,有著相同的基數。所以我們的目標是要追查失蹤的有理數,看它們為何消失,但一個好的偵探不會被表象蒙蔽,或許這些有理數並沒有消失,只是被藏了起來罷了,甚麼情況下能將這麼多的東西藏起來?除非有比它們多得多的東西將其淹沒,所以我們才看不到有理數,讓我們來驗證這個猜測是否屬實。

由於已經證明整體實數跟(0, 1)區間裡的實數一樣多,所以只要處理開區間(0, 1)就相當於處理了整個實數。假設這個區間內所有有理數的集合為S,因為其尺寸為可數無限,所以我們可以將其成員編碼成S={x1, x2, x3,…},S就是灑到實數線上的沙粒集合。接著找一段1/10長的開區間I1將第一粒沙x1包住,然後用更小的一段 1/100長的開區間I2將第二粒沙x2包住,依此類推,我們用10n 長的開區間In來覆蓋第xn粒沙。這樣做的結果就是用來覆蓋S元素的區間總長必定大於x1, x2, x3, …的總和,因為每段In總是把某個xn覆蓋住。

現在我們把所有的In加起來看看占有多少比例,它等於:

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

1/10 + 1/102 + 1/103 +… + 1/10n   +… = 1/9

用簡單的等比級數公式就可以得出以上的結果。這個結果令人驚訝,因為我們發現沙粒的總和S頂多只占有區間的1/9,其餘的部分都不屬於S,合理的猜測就是8/9以上的區域屬於無理數的領地。

但更驚爆的事情還在後面,第一個開區間I1的長度1/10是我們任意選取的,我們可以選得更小,比如說1/102同樣可以包住x1,之後的區間長度也是依比例遞減。這樣覆蓋S所有元素的開區間總合就等於:

∑In = 1/102 + 1/103 + 1/104 … + 1/10n   +… = 1/90

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

經過這個調整,有理數S所占的比例只剩不到1/90,其餘89/90以上的區域都是無理數。

敏銳的讀者已經發現,我們可以將選取的覆蓋區間不斷縮小,因而有理數集合S所占實數區間(0, 1)的比例也就會依照1/900, 1/9000, 1/90000逐漸下降而最後趨近於0。難怪那麼多沙粒都消失不見,原來與實數相比它們所占的比例是零。

這是甚麼意思呢?這是不可數無限集合最深奧難解的性質之一,雖然同屬於無限集合,但若把有理數全數放到實數堆裡的話,它們將完全被淹沒而看不到蹤影。有理數的「數量」跟實數相比實在太過渺小,幾乎可以忽略不計,這就是整個白沙星球「失蹤」的真正原因。

經由以上的推演,我們不但證明了實數比有理數多,還進一步知道由於它們之間懸殊的比例,導致有理數無法被觀察到而造成失蹤的假象。那麼這種遠遠超出我們直觀經驗的不可數無限集合 R和由全體自然數集合N所形成冪集合 P (N) 是否一樣大呢?我們能找到方法來證明它們誰大誰小嗎?這只有等下回再分解了!

-----廣告,請繼續往下閱讀-----
文章難易度
翁 昌黎
18 篇文章 ・ 4 位粉絲
中央大學哲學研究所碩士,曾籌劃本土第一場「認知科學與佛教禪修系統」對話之大型研討會,於1995年6月在法光佛教研究所舉行,並發表文章。後隱居紐西蘭,至今已20載。 長年關注「意識轉變狀態的科學」和「意識本質的科學與哲學」問題,曾與大寶法王辯經教授師拿旺桑結堪布成立「大乘佛教禪修研究中心」。其他研究興趣為「唯識學」、「超個人心理學」、「數理邏輯」、「公設化集合論」和「後設數學」等等。

0

4
0

文字

分享

0
4
0
快!還要更快!讓國家級地震警報更好用的「都會區強震預警精進計畫」
鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2024/01/21 ・2584字 ・閱讀時間約 5 分鐘

本文由 交通部中央氣象署 委託,泛科學企劃執行。

  • 文/陳儀珈

從地震儀感應到地震的震動,到我們的手機響起國家級警報,大約需要多少時間?

臺灣從 1991 年開始大量增建地震測站;1999 年臺灣爆發了 921 大地震,當時的地震速報系統約在震後 102 秒完成地震定位;2014 年正式對公眾推播強震即時警報;到了 2020 年 4 月,隨著技術不斷革新,當時交通部中央氣象局地震測報中心(以下簡稱為地震中心)僅需 10 秒,就可以發出地震預警訊息!

然而,地震中心並未因此而自滿,而是持續擴建地震觀測網,開發新技術。近年來,地震中心執行前瞻基礎建設 2.0「都會區強震預警精進計畫」,預計讓臺灣的地震預警系統邁入下一個新紀元!

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

連上網路吧!用建設與技術,換取獲得地震資料的時間

「都會區強震預警精進計畫」起源於「民生公共物聯網數據應用及產業開展計畫」,該計畫致力於跨部會、跨單位合作,由 11 個執行單位共同策畫,致力於優化我國環境與防災治理,並建置資料開放平台。

看到這裡,或許你還沒反應過來地震預警系統跟物聯網(Internet of Things,IoT)有什麼關係,嘿嘿,那可大有關係啦!

當我們將各種實體物品透過網路連結起來,建立彼此與裝置的通訊後,成為了所謂的物聯網。在我國的地震預警系統中,即是透過將地震儀的資料即時傳輸到聯網系統,並進行運算,實現了對地震活動的即時監測和預警。

地震中心在臺灣架設了 700 多個強震監測站,但能夠和地震中心即時連線的,只有其中 500 個,藉由這項計畫,地震中心將致力增加可連線的強震監測站數量,並優化原有強震監測站的聯網品質。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

在地震中心的評估中,可以連線的強震監測站大約可在 113 年時,從原有的 500 個增加至 600 個,並且更新現有監測站的軟體與硬體設備,藉此提升地震預警系統的效能。

由此可知,倘若地震儀沒有了聯網的功能,我們也形同完全失去了地震預警系統的一切。

把地震儀放到井下後,有什麼好處?

除了加強地震儀的聯網功能外,把地震儀「放到地下」,也是提升地震預警系統效能的關鍵做法。

為什麼要把地震儀放到地底下?用日常生活來比喻的話,就像是買屋子時,要選擇鬧中取靜的社區,才不會讓吵雜的環境影響自己在房間聆聽優美的音樂;看星星時,要選擇光害比較不嚴重的山區,才能看清楚一閃又一閃的美麗星空。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

地表有太多、太多的環境雜訊了,因此當地震儀被安裝在地表時,想要從混亂的「噪音」之中找出關鍵的地震波,就像是在搖滾演唱會裡聽電話一樣困難,無論是電腦或研究人員,都需要花費比較多的時間,才能判讀來自地震的波形。

這些環境雜訊都是從哪裡來的?基本上,只要是你想得到的人為震動,對地震儀來說,都有可能是「噪音」!

當地震儀靠近工地或馬路時,一輛輛大卡車框啷、框啷地經過測站,是噪音;大稻埕夏日節放起絢麗的煙火,隨著煙花在天空上一個一個的炸開,也是噪音;台北捷運行經軌道的摩擦與震動,那也是噪音;有好奇的路人經過測站,推了推踢了下測站時,那也是不可忽視的噪音。

因此,井下地震儀(Borehole seismometer)的主要目的,就是盡量讓地震儀「遠離塵囂」,記錄到更清楚、雜訊更少的地震波!​無論是微震、強震,還是來自遠方的地震,井下地震儀都能提供遠比地表地震儀更高品質的訊號。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

地震中心於 2008 年展開建置井下地震儀觀測站的行動,根據不同測站底下的地質條件,​將井下地震儀放置在深達 30~500 公尺的乾井深處。​除了地震儀外,站房內也會備有資料收錄器、網路傳輸設備、不斷電設備與電池,讓測站可以儲存、傳送資料。

既然井下地震儀這麼強大,為什麼無法大規模建造測站呢?簡單來說,這一切可以歸咎於技術和成本問題。

安裝井下地震儀需要鑽井,然而鑽井的深度、難度均會提高時間、技術與金錢成本,因此,即使井下地震儀的訊號再好,若非有國家建設計畫的支援,也難以大量建置。

人口聚集,震災好嚴重?建立「客製化」的地震預警系統!

臺灣人口主要聚集於西半部,然而此區的震源深度較淺,再加上密集的人口與建築,容易造成相當重大的災害。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

許多都會區的建築老舊且密集,當屋齡超過 50 歲時,它很有可能是在沒有耐震規範的背景下建造而成的的,若是超過 25 年左右的房屋,也有可能不符合最新的耐震規範,並未具備現今標準下足夠的耐震能力。 

延伸閱讀:

在地震界有句名言「地震不會殺人,但建築物會」,因此,若建築物的結構不符合地震規範,地震發生時,在同一面積下越密集的老屋,有可能造成越多的傷亡。

因此,對於發生在都會區的直下型地震,預警時間的要求更高,需求也更迫切。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

地震中心著手於人口密集之都會區開發「客製化」的強震預警系統,目標針對都會區直下型淺層地震,可以在「震後 7 秒內」發布地震警報,將地震預警盲區縮小為 25 公里。

111 年起,地震中心已先後完成大臺北地區、桃園市客製化作業模組,並開始上線測試,當前正致力於臺南市的模組,未來的目標為高雄市與臺中市。

永不停歇的防災宣導行動、地震預警技術研發

地震預警系統僅能在地震來臨時警示民眾避難,無法主動保護民眾的生命安全,若人民沒有搭配正確的防震防災觀念,即使地震警報再快,也無法達到有效的防災效果。

因此除了不斷革新地震預警系統的技術,地震中心也積極投入於地震的宣導活動和教育管道,經營 Facebook 粉絲專頁「報地震 – 中央氣象署」、跨部會舉辦《地震島大冒險》特展、《震守家園 — 民生公共物聯網主題展》,讓民眾了解正確的避難行為與應變作為,充分發揮地震警報的效果。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

此外,雖然地震中心預計於 114 年將都會區的預警費時縮減為 7 秒,研發新技術的腳步不會停止;未來,他們將應用 AI 技術,持續強化地震預警系統的效能,降低地震對臺灣人民的威脅程度,保障你我生命財產安全。

文章難易度

討論功能關閉中。

鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
193 篇文章 ・ 297 位粉絲
充滿能量的泛科學品牌合作帳號!相關行銷合作請洽:contact@pansci.asia

1

0
0

文字

分享

1
0
0
公設化集合論的奧秘(16) 戴德金切割與實數的定義
翁 昌黎
・2015/03/16 ・2458字 ・閱讀時間約 5 分鐘 ・SR值 552 ・八年級

Richard Dedekind
Richard Dedekind

有理數是能夠用分數形式m/n來表達的數,其中m和n為整數且n ≠ 0。雖然到現在為止我們的公設只建構出自然數,但用自然數來建構有理數並不困難,它的基本概念是取序對(m, n)的型態來定義有理數。由於自然數和序對我們都已相當熟悉,況且有理數的概念在直觀上也很容易理解,因此我們並不打算在此介紹和證明如何用自然數定義出有理數的技術細節。可是對實數裡的「另一半」— 無理數來說,情況就大不相同了。

我們很難想像給出任意兩條線段,居然會找不到另一個線段作為衡量前兩者的共同單位。對有些情況來說,不論我們上天下地,卻永遠找不到這個共同單位,這在幾何學上叫做不可通約(incommensurable)。但這種讓古希臘畢氏學派震驚的「知識瘟疫」卻並非雪山靈芝而是隨處可見,比如從任一個正方形劃出對角線就可以根據畢氏定理12 +12 = x2 得出√2這個數,而√2就無法表示成m/n的分數形式。

根據傳說,畢氏學派把無理數的發現視為最高機密並禁止門徒對外洩漏,然而希臘的「斯諾登」希帕蘇斯先生卻冒死對外公佈了這個秘密,因而遭到如同黑社會懲罰臥底一般的待遇—扔到海裡餵魚。我們不知道這個傳說的真實性如何,但這意謂在某個歷史時期公佈某項知識成果的後果可能和今天所謂「洩漏國家機密」的後果沒兩樣。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

既然無理數的性質那麼「無理」,可見要用自然數或有理數的概念來對其進行嚴格定義是很困難的。但現代實數系的兩位奠基者康托和德國數學家戴德金(R. Dedekind)雖然從不同的角度和進路用不同的方法來破解這個問題,但他們在推進人類對實數的理解時也同時發展了集合的概念。現在就來看看戴德金最重要的發明—如何用有理數來重新定義實數(因而自然把無理數也包含進去)的偉大創見,它稱之為戴德金切割(Dedekind cut)

由於有理數建立在自然數的基礎上,而自然數又建立在集合論的公設上,所以它們早已取得明確的「身分」,現在身分不明且難以被直觀掌握的就剩下無理數了。戴德金切割到底是個甚麼東西呢?首先來看看切割(cut)的定義:

一個切割就是一個序對(A, B),其中A, B ≠ Ø且A 和B不相交(也就是A ∩ B = Ø)。此外A ∪ B = P,也就是說切割是把某個集合P給切開,分成沒有共同元素的A, B兩半。

第二個條件是A的所有元素都比B的元素小,也就是說從數線的觀點來看,A的元素都在B元素的左邊。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

滿足上述兩個條件的序對(A, B)就是一個對P集合的切割。由於序對(A, B)是集合,所以一個切割本身就相當於集合。而所謂戴德金切割必須加上第三個條件,那就是序對左邊的A集合沒有最大元素。它的直觀意思是說如果我們用某個點來切開P集合,那麼這個點不在A裡面。

我們現在手頭的武器是全部的有理數,所以可以把集合P用全體有理數Q來替代,那麼戴德金切割就成了把全部有理數分成A, B兩半的序對(A, B) ,所以A ∪ B = Q。由於A與B不相交,因此確定了其中一邊也同時確定了另一邊,習慣上我們用序對左邊的集合A來定義實數,稱之為戴德金左集合(Dedekind left set)。也就是說一個實數就是一堆有理數所形成的戴德金左集合,而全體實數就是這些戴德金左集合所形成的集合。

為了更容易理解戴德金左集合的定義,我們用√2來具體說明。如下圖所示,雖然目前我們尚不知道無理數√2的定義,但我們可以利用畢氏定理將邊長為1的正方形取對角線,然後用圓規將與對角線等長的線段畫到數線上,這樣就標出了長度相當於√2在數線上的位置。

我們發現它正好把大於此數和小於此數的有理數Q分成兩半,紅色部分為所有小於√2的有理數,而藍色部分則為所有大於√2的有理數。紅色部分和藍色部分沒有共同成員,它們的聯集等於全體有理數,所以顯然滿足戴德金切割的第一個條件。而紅色集合內的有理數顯然都在藍色成員的左邊,因此滿足第二個條件。此外以√2為分界的戴德金左集合(紅色部分)顯然沒有最大元素,因為作為分界的√2不屬於有理數,所以第三個條件也滿足了,它是一個戴德金切割。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

未命名

接下來就看怎麼樣來定義這個特殊的戴德金左集合。有人會說這很容易啊,只要定義 A = {q〡q <√2 且 q∈ Q}不就得了?但請注意,我們目前還不知道√2是甚麼,我們只知道有理數是甚麼東東,正絞盡腦汁想把√2的定義找出來,所以上面對A的定義等於是拿未知的東西來定義未知,也是拿尚待定義的東西來作為定義,這是不可接受的。

為了要避開這種循環定義,我們把上式梢作修改成

A = {q〡q2 < 2 且 q ∈ Q}

這樣一來所有的條件就都符合有理數的規定範圍。但仔細一看問題又來了,因為戴德金左集合會一直往負的方向無限延伸,因此越往左其平方值會越來越大,比如:

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

-2 ∈ Q 且-2∈ A,但顯然 (-2)2 > 2,這與A的規定顯然不合。該怎麼辦呢? 只要利用邏輯概念將小於√2的正負數分開處理就行了,因此我們重新把A定義為

A = {q ∈ Q 〡q2 < 2 或 q為負數}

如果有耐心地依序檢查,會發現這個定義符合戴德金切割的條件,因而正是用來定義√2的戴德金左集合。

這個看似古怪的定義讓我們可以單憑有理數重新定義出所有實數(尤其是無理數),而且這樣定義出來的無理數完全可以滿足實數所須具備的各種運算和性質,真可謂鬼斧神工。更重要的是透過戴德金切割我們發現,無限集合居然可以用來標定某個特定實數,這實在太神奇了。戴德金左集合宛如實數的基因密碼,透過對這些密碼的識別和辨認達到對實數本身身分的確認。僅管構成生物基因的分子為數眾多但卻是有限的,然而每個戴德金左集合的元素個數卻都是無限,任何一個實數都可以用某個無限集合來唯一確定。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

如果你還沒有意識到此中令人驚奇之處,那麼我們再把戴德金切割比喻成商品的條碼,每一個條碼都指向一種特殊的商品。讓我們感到驚異的是,在實數的定義裡,構成每個條碼的信息單元(有理數)竟然不是有限而是無限。

雖然戴德金切割用這種有理數的「無限條碼」奇蹟似地界定出實數,但有些數的意義似乎產生了奇怪的病變。比如自然數0原來是用空集合來定義,所以0 = { } ,可是在戴德金左集合的新包裝下,0 不再是空無一物而成了 {q〡q ∈ Q 且q<0} ,這到底是怎麼回事呢?難道同一個數可以同時由兩個集合來定義嗎?要解開這個難題,這就只有等下回再分解了!

所有討論 1
翁 昌黎
18 篇文章 ・ 4 位粉絲
中央大學哲學研究所碩士,曾籌劃本土第一場「認知科學與佛教禪修系統」對話之大型研討會,於1995年6月在法光佛教研究所舉行,並發表文章。後隱居紐西蘭,至今已20載。 長年關注「意識轉變狀態的科學」和「意識本質的科學與哲學」問題,曾與大寶法王辯經教授師拿旺桑結堪布成立「大乘佛教禪修研究中心」。其他研究興趣為「唯識學」、「超個人心理學」、「數理邏輯」、「公設化集合論」和「後設數學」等等。

0

0
0

文字

分享

0
0
0
公設化集合論的奧秘(13) 追查有理數失蹤之謎
翁 昌黎
・2015/02/27 ・1766字 ・閱讀時間約 3 分鐘 ・SR值 528 ・七年級

credit:wiki
credit:wiki

「一尺之棰,日取其半,萬世不竭」       莊子

如果我們把莊子以上的想法稍作改變,不要把木棍每天鋸掉一半,而是在本該鋸掉的地方刻上一道細線,這樣一直刻劃下去,有一天是否能把木棍劃滿呢?如果你拿一枝美工刀實際去做的話,幾秒鐘刻上一道刀痕,估計木棍很快就會佈滿刀的刻跡,因為刻痕是有寬度的。若是刻痕真能像幾何學所說的那樣寬度等於零的話,直覺上木棍或許不會被蓋滿,在取1/2不斷縮小的眾多段落裡總是會有間隙存在。

但如果增加刀痕的切刻密度,比如把棍子按1/3比例切刻,然後將被切成1/3的部分再切1/3這樣無限執行下去呢?若將1/4, 1/5, 1/6, …, 1/n , … 的切刻比例都加進來如法炮製呢?你的直觀還能那麼確定棍子不會被刻痕佈滿嗎?

讓我們回到那個由無限顆白沙顆粒所形成的海灘,還有那條發出橙色亮光的實數線,數學證明告訴我們,這些與有理數等量的沙粒確實無法填滿實數線(請參考《公設化集合論的奧秘(11)》),同理以上的方法也無法將刻痕佈滿莊子家那根棍子。

僅管我們在《公設化集合論的奧秘(11)》中已經證明實數是不可數的,也就是說實數比有理數多,但我們並不清楚實數到底比有理數多多少?將這些美麗的白沙填充到橙色的實數彩虹時,彩虹到底變白了多少?是整個實數彩虹都呈現灰白狀,還是只有白色的帶狀,或者更像量子力學的双狹縫實驗中的細干涉條紋線呢?

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

答案我們前文已經說過,實數彩虹完全不會改變顏色,那似乎暗示無限顆白沙就像憑空消失一樣,即使請菩提祖師加持讓每顆沙粒再變成無窮的沙粒也於事無補,無數美麗的白沙消失在實數線的橙光之中。於是我們面臨一宗最詭異的疑案,這些數量等同於一切有理數的美麗白沙為何消失了?它們跑到哪裡去了?有數學上的方法能說明這個怪異現象嗎?

要破解這件玄案,首先要知道無數白沙失蹤等同於有理數失蹤,因為它們是等量的,有著相同的基數。所以我們的目標是要追查失蹤的有理數,看它們為何消失,但一個好的偵探不會被表象蒙蔽,或許這些有理數並沒有消失,只是被藏了起來罷了,甚麼情況下能將這麼多的東西藏起來?除非有比它們多得多的東西將其淹沒,所以我們才看不到有理數,讓我們來驗證這個猜測是否屬實。

由於已經證明整體實數跟(0, 1)區間裡的實數一樣多,所以只要處理開區間(0, 1)就相當於處理了整個實數。假設這個區間內所有有理數的集合為S,因為其尺寸為可數無限,所以我們可以將其成員編碼成S={x1, x2, x3,…},S就是灑到實數線上的沙粒集合。接著找一段1/10長的開區間I1將第一粒沙x1包住,然後用更小的一段 1/100長的開區間I2將第二粒沙x2包住,依此類推,我們用10n 長的開區間In來覆蓋第xn粒沙。這樣做的結果就是用來覆蓋S元素的區間總長必定大於x1, x2, x3, …的總和,因為每段In總是把某個xn覆蓋住。

現在我們把所有的In加起來看看占有多少比例,它等於:

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

1/10 + 1/102 + 1/103 +… + 1/10n   +… = 1/9

用簡單的等比級數公式就可以得出以上的結果。這個結果令人驚訝,因為我們發現沙粒的總和S頂多只占有區間的1/9,其餘的部分都不屬於S,合理的猜測就是8/9以上的區域屬於無理數的領地。

但更驚爆的事情還在後面,第一個開區間I1的長度1/10是我們任意選取的,我們可以選得更小,比如說1/102同樣可以包住x1,之後的區間長度也是依比例遞減。這樣覆蓋S所有元素的開區間總合就等於:

∑In = 1/102 + 1/103 + 1/104 … + 1/10n   +… = 1/90

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

經過這個調整,有理數S所占的比例只剩不到1/90,其餘89/90以上的區域都是無理數。

敏銳的讀者已經發現,我們可以將選取的覆蓋區間不斷縮小,因而有理數集合S所占實數區間(0, 1)的比例也就會依照1/900, 1/9000, 1/90000逐漸下降而最後趨近於0。難怪那麼多沙粒都消失不見,原來與實數相比它們所占的比例是零。

這是甚麼意思呢?這是不可數無限集合最深奧難解的性質之一,雖然同屬於無限集合,但若把有理數全數放到實數堆裡的話,它們將完全被淹沒而看不到蹤影。有理數的「數量」跟實數相比實在太過渺小,幾乎可以忽略不計,這就是整個白沙星球「失蹤」的真正原因。

經由以上的推演,我們不但證明了實數比有理數多,還進一步知道由於它們之間懸殊的比例,導致有理數無法被觀察到而造成失蹤的假象。那麼這種遠遠超出我們直觀經驗的不可數無限集合 R和由全體自然數集合N所形成冪集合 P (N) 是否一樣大呢?我們能找到方法來證明它們誰大誰小嗎?這只有等下回再分解了!

-----廣告,請繼續往下閱讀-----
文章難易度
翁 昌黎
18 篇文章 ・ 4 位粉絲
中央大學哲學研究所碩士,曾籌劃本土第一場「認知科學與佛教禪修系統」對話之大型研討會,於1995年6月在法光佛教研究所舉行,並發表文章。後隱居紐西蘭,至今已20載。 長年關注「意識轉變狀態的科學」和「意識本質的科學與哲學」問題,曾與大寶法王辯經教授師拿旺桑結堪布成立「大乘佛教禪修研究中心」。其他研究興趣為「唯識學」、「超個人心理學」、「數理邏輯」、「公設化集合論」和「後設數學」等等。

0

1
1

文字

分享

0
1
1
康托爾誕辰|科學史上的今天:3/3
張瑞棋_96
・2015/03/03 ・960字 ・閱讀時間約 2 分鐘 ・SR值 559 ・八年級

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

對數學家與哲學家而言,無限大就像個怪物。哲學碰上無限就會產生一堆悖論,例如芝諾悖論、無限大飯店、⋯⋯等等。無限大更是在數學製造了一堆矛盾,例如:無限序列 1 – 1 + 1 – 1 + ⋯⋯的總和到底是等於 0 或 1、或是 1/2?我們可以讓自然數與平方數的數列彼此一一對應(1→1, 2→4, 3→9, ⋯⋯),但平方數顯然又只占自然數的一小部分,那麼自然數的集合究竟比平方數的集合大還是兩者一樣大?

面對這些令人困惑的矛盾,大家的共識就是:無限只能當作一種概念,一個持續的未完成狀態,所以不能計算或比較大小。數學王子高斯就嚴肅表示:「我反對將無限量看成真實的實體來運用,這在數學之中是永遠不被允許的。無限只是一種說法而已。」直到不信邪的德國數學家康托爾出現,祭出集合論這面照妖鏡,才讓無限這個怪物現出原形,扭轉了千年以來對於無限的認知。

康托爾創立集合論,將無限當成可以一一對應其中元素的集合來處理。經由他無懈可擊的證明,無限的確有大小等級不同之分。自然數、平方數、整數、有理數的集合都是「可數無限」,屬於最初級(第零級)的無限,它們都一樣大。但無理數、實數的集合就是另一種「不可數無限」,硬是比第零級的無限還大,屬於第一級的無限。不只如此,還有更大的無限,一級一級往上沒有止盡。也就是說,世人以為無限是一隻神秘的怪物,但康托爾卻撥開迷霧,指出無限其實是一群數不完的大小不同的怪物。

然而康托爾天才般的洞見卻被當時的學界權威批評為「並無重要意義」、「騙局」。康托爾一方面承受極大的壓力,一方面又受困於自己提出來的疑問──存不存在大小介於第零級與第一級之間的無限?他試圖證明並不存在這樣的無限集合(稱為「連續統假設」),但搏鬥多年卻始終未果,乃數度精神崩潰住院治療。到了一次大戰,因實施食物配給而健康更加惡化,終於在 1918 年於精神療養院中過世,享年 73 歲。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

如今康托爾的貢獻已被普遍認同,他開創的集合論已成為現代數學的基石。大數學家希爾伯特曾捍衛地宣稱:「沒有人能將我們從康托爾為我們創造的樂園中驅逐出去」。他的連續統假設仍列於有待解決的 23 個最重要的數學問題之首,等待後人征服。

本文同時收錄於《科學史上的今天:歷史的瞬間,改變世界的起點》,由究竟出版社出版。

張瑞棋_96
423 篇文章 ・ 923 位粉絲
1987年清華大學工業工程系畢業,1992年取得美國西北大學工業工程碩士。浮沉科技業近二十載後,退休賦閒在家,當了中年大叔才開始寫作,成為泛科學專欄作者。著有《科學史上的今天》一書;個人臉書粉絲頁《科學棋談》。

0

0
0

文字

分享

0
0
0
公設化集合論的奧秘(13) 追查有理數失蹤之謎
翁 昌黎
・2015/02/27 ・1766字 ・閱讀時間約 3 分鐘 ・SR值 528 ・七年級

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

credit:wiki
credit:wiki

「一尺之棰,日取其半,萬世不竭」       莊子

如果我們把莊子以上的想法稍作改變,不要把木棍每天鋸掉一半,而是在本該鋸掉的地方刻上一道細線,這樣一直刻劃下去,有一天是否能把木棍劃滿呢?如果你拿一枝美工刀實際去做的話,幾秒鐘刻上一道刀痕,估計木棍很快就會佈滿刀的刻跡,因為刻痕是有寬度的。若是刻痕真能像幾何學所說的那樣寬度等於零的話,直覺上木棍或許不會被蓋滿,在取1/2不斷縮小的眾多段落裡總是會有間隙存在。

但如果增加刀痕的切刻密度,比如把棍子按1/3比例切刻,然後將被切成1/3的部分再切1/3這樣無限執行下去呢?若將1/4, 1/5, 1/6, …, 1/n , … 的切刻比例都加進來如法炮製呢?你的直觀還能那麼確定棍子不會被刻痕佈滿嗎?

讓我們回到那個由無限顆白沙顆粒所形成的海灘,還有那條發出橙色亮光的實數線,數學證明告訴我們,這些與有理數等量的沙粒確實無法填滿實數線(請參考《公設化集合論的奧秘(11)》),同理以上的方法也無法將刻痕佈滿莊子家那根棍子。

僅管我們在《公設化集合論的奧秘(11)》中已經證明實數是不可數的,也就是說實數比有理數多,但我們並不清楚實數到底比有理數多多少?將這些美麗的白沙填充到橙色的實數彩虹時,彩虹到底變白了多少?是整個實數彩虹都呈現灰白狀,還是只有白色的帶狀,或者更像量子力學的双狹縫實驗中的細干涉條紋線呢?

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

答案我們前文已經說過,實數彩虹完全不會改變顏色,那似乎暗示無限顆白沙就像憑空消失一樣,即使請菩提祖師加持讓每顆沙粒再變成無窮的沙粒也於事無補,無數美麗的白沙消失在實數線的橙光之中。於是我們面臨一宗最詭異的疑案,這些數量等同於一切有理數的美麗白沙為何消失了?它們跑到哪裡去了?有數學上的方法能說明這個怪異現象嗎?

要破解這件玄案,首先要知道無數白沙失蹤等同於有理數失蹤,因為它們是等量的,有著相同的基數。所以我們的目標是要追查失蹤的有理數,看它們為何消失,但一個好的偵探不會被表象蒙蔽,或許這些有理數並沒有消失,只是被藏了起來罷了,甚麼情況下能將這麼多的東西藏起來?除非有比它們多得多的東西將其淹沒,所以我們才看不到有理數,讓我們來驗證這個猜測是否屬實。

由於已經證明整體實數跟(0, 1)區間裡的實數一樣多,所以只要處理開區間(0, 1)就相當於處理了整個實數。假設這個區間內所有有理數的集合為S,因為其尺寸為可數無限,所以我們可以將其成員編碼成S={x1, x2, x3,…},S就是灑到實數線上的沙粒集合。接著找一段1/10長的開區間I1將第一粒沙x1包住,然後用更小的一段 1/100長的開區間I2將第二粒沙x2包住,依此類推,我們用10n 長的開區間In來覆蓋第xn粒沙。這樣做的結果就是用來覆蓋S元素的區間總長必定大於x1, x2, x3, …的總和,因為每段In總是把某個xn覆蓋住。

現在我們把所有的In加起來看看占有多少比例,它等於:

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

1/10 + 1/102 + 1/103 +… + 1/10n   +… = 1/9

用簡單的等比級數公式就可以得出以上的結果。這個結果令人驚訝,因為我們發現沙粒的總和S頂多只占有區間的1/9,其餘的部分都不屬於S,合理的猜測就是8/9以上的區域屬於無理數的領地。

但更驚爆的事情還在後面,第一個開區間I1的長度1/10是我們任意選取的,我們可以選得更小,比如說1/102同樣可以包住x1,之後的區間長度也是依比例遞減。這樣覆蓋S所有元素的開區間總合就等於:

∑In = 1/102 + 1/103 + 1/104 … + 1/10n   +… = 1/90

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

經過這個調整,有理數S所占的比例只剩不到1/90,其餘89/90以上的區域都是無理數。

敏銳的讀者已經發現,我們可以將選取的覆蓋區間不斷縮小,因而有理數集合S所占實數區間(0, 1)的比例也就會依照1/900, 1/9000, 1/90000逐漸下降而最後趨近於0。難怪那麼多沙粒都消失不見,原來與實數相比它們所占的比例是零。

這是甚麼意思呢?這是不可數無限集合最深奧難解的性質之一,雖然同屬於無限集合,但若把有理數全數放到實數堆裡的話,它們將完全被淹沒而看不到蹤影。有理數的「數量」跟實數相比實在太過渺小,幾乎可以忽略不計,這就是整個白沙星球「失蹤」的真正原因。

經由以上的推演,我們不但證明了實數比有理數多,還進一步知道由於它們之間懸殊的比例,導致有理數無法被觀察到而造成失蹤的假象。那麼這種遠遠超出我們直觀經驗的不可數無限集合 R和由全體自然數集合N所形成冪集合 P (N) 是否一樣大呢?我們能找到方法來證明它們誰大誰小嗎?這只有等下回再分解了!

-----廣告,請繼續往下閱讀-----
文章難易度
翁 昌黎
18 篇文章 ・ 4 位粉絲
中央大學哲學研究所碩士,曾籌劃本土第一場「認知科學與佛教禪修系統」對話之大型研討會,於1995年6月在法光佛教研究所舉行,並發表文章。後隱居紐西蘭,至今已20載。 長年關注「意識轉變狀態的科學」和「意識本質的科學與哲學」問題,曾與大寶法王辯經教授師拿旺桑結堪布成立「大乘佛教禪修研究中心」。其他研究興趣為「唯識學」、「超個人心理學」、「數理邏輯」、「公設化集合論」和「後設數學」等等。