- 文/郭君逸 │國立台灣師範大學數學系副教授、魔術方塊收藏家
- 本文轉載自 UniMath《為什麼紙吸管總是插不進去,但塑膠吸管可以?》
近幾年國內環保意識抬頭,因為塑膠吸管不能回收,造成大量的垃圾,所以環保署在 2019 年 7 月起禁用一次性塑膠吸管,不少飲料店紛紛改用成本高出許多的紙吸管,咖啡廳、餐廳則改用可重複清洗使用的金屬吸管,金屬吸管通常都是內用,直接放入杯中,不用插,所以還好……
但紙吸管就常常讓人覺得非常難用,插到爛掉還插不進去,為什麼呢?
讓我們從這些年吸管的演變開始說起。
台灣的街頭常常人手一杯手搖飲,珍珠奶茶更是紅遍全球。在二十幾年前,很多手搖飲料店的飲料杯就像現在麥當勞裝可樂的杯子一樣,是紙杯蓋上塑膠蓋,然後插「圓柱狀」的吸管。
直到葉益芳先生發明了封口機後,手搖飲逐漸換成如今常見的封口杯,隨意放置飲料也不會流出來,非常方便。全面換成封口杯之後,有一樣東西也跟著產生微妙變化,那就是「吸管」。
吸管的一端必須變尖,方便直接插穿杯子的封口膜。
筆者前幾天買了一杯珍奶,結果吸管都插爛了還插不進去,加上天氣炎熱,火氣一上來索性就不喝了,滿腦子一直在想「為什麼吸管越來越難插」,直到我發現原因寫完這篇文章,珍奶就這樣放在研究室的桌上還沒喝,應該已經壞了……
高中的時候大家可能都學過二次曲線,雖然課程內容著重在代數上的運算,大部份老師或多或少還是會提一下古典幾何中的圓錐截痕,或稱圓錐曲線,例如下圖展示平面在雙圓錐上產生的各種截痕。
當雙圓錐退化成圓柱,此時的截痕就會變成這樣,看起來有點像一根吸管被切了一刀。
但是,你手中的吸管真的長這樣嗎?
這裡先考考大家,吸管從側面看過去,長相會是下列哪一個圖?
答案是 D!
什麼!!!怎麼跟圓錐截痕不一樣?!
因為…吸管就不是圓錐截痕啊!吸管就不是圓錐截痕啊!吸管就不是圓錐截痕啊!
答案違背我們直覺的原因在於,吸管用剪刀剪或用裁刀裁切時,吸管會先被刀壓扁,然後才直直剪過去,最後吸管的彈性,會再讓它彈回來形成空心柱體。
用數學來看吸管
剪裁前的吸管本身是圓柱(設半徑為 1 ),將之直立於 xy-平面利用參數式來描述吸管截痕曲線的話,它會是
r(t) = <cos t, sin t, z(t)>
這種形式,t 是繞圓的角度,觀察重點在於高度 z 是多少了。若是圓柱截痕,截平面 45 度切下去的話,即是用平面 z=x 來切,此時 r(t) = <cos t, sin t, cost>。調整 t 的範圍,可以畫出下面的 3D 圖。
但問題在於剪吸管時,吸管會先被剪刀壓扁,再沿 z=x 剪過去,也就是 z 隨著 x 等比例增加,然後吸管再彈回,此時就好像將這張壓扁的紙貼在圓柱上,換句話說在固定一個高度 z 時吸管回復至圓形的狀態,亦即圓參數式中的角度隨著 z(t) = t 做變化,所以截面曲線就是 r(t) = <cos t, sin t, t>,畫出來的3D 吸管如下圖。
從吸管的側面看過去,相當於投影在 xz-平面,即為 z=cos-1 x 的圖形。吸管橫擺也可以說成 z=cos x 或 z=sin x 週期函數中的一部分。
你知道大多數吸管並不是切 45 度嗎?
因為這樣切最後會剩太多飲料吸不起來,造成浪費。一般會介於 25 度至 40 度之間較恰當。例如下圖中吸管大約是切 37 度左右。若將吸管直著擺,尖端從側面看,斜率最大,所以插吸管時,應該要垂直插最省力。
很多人將原因歸咎於紙製吸管比較軟,然而真相恐怕並非如此。紙浸了水後的確會變軟,但還沒插進杯裡的紙吸管其實是硬的,甚至比塑膠吸管硬多了。
最主要的原因還是在於形狀,紙吸管的切面是橢圓,而不像塑膠吸管一樣有個尖尾。
為什麼紙吸管的切面是橢圓形呢?
相較於塑膠,紙的彈性沒那麼大,被裁刀重重一壓就扁了,回復不了圓柱狀,除了造型不好看,恐怕壓扁的吸管也不好用。因此,紙吸管的生產過程是在不變形的情況下鋸斷,或是使用雷射切割,故其截面接近我們課本所說的橢圓。因為沒有「尖端」,所以非常難插。
所以紙吸管到底要怎麼用才好?
在此有個小建議,讀者以後拿到紙吸管,先不要急著插,先用剪刀剪一下,就會好插很多;而使用紙吸管的飲料店,也可以在櫃枱準備把剪刀和方格紙,平時沒事剪剪吸管順便畫三角函數,要衛生一點的話就讓顧客自己剪,方便、省錢、環保還可以學數學,可說是一舉數得啊!
- 本文轉載自 UniMath《為什麼紙吸管總是插不進去,但塑膠吸管可以?》