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為什麼紙吸管總是插不進去?你可以這樣做!

UniMath_96
・2020/09/26 ・2795字 ・閱讀時間約 5 分鐘 ・SR值 422 ・四年級

國民法官生存指南:用足夠的智識面對法庭裡的一切。

圖/UniMath

近幾年國內環保意識抬頭,因為塑膠吸管不能回收,造成大量的垃圾,所以環保署在 2019 年 7 月起禁用一次性塑膠吸管,不少飲料店紛紛改用成本高出許多的紙吸管,咖啡廳、餐廳則改用可重複清洗使用的金屬吸管,金屬吸管通常都是內用,直接放入杯中,不用插,所以還好……

但紙吸管就常常讓人覺得非常難用,插到爛掉還插不進去,為什麼呢?

讓我們從這些年吸管的演變開始說起。

台灣的街頭常常人手一杯手搖飲,珍珠奶茶更是紅遍全球。在二十幾年前,很多手搖飲料店的飲料杯就像現在麥當勞裝可樂的杯子一樣,是紙杯蓋上塑膠蓋,然後插「圓柱狀」的吸管。

圖/UniMath

直到葉益芳先生發明了封口機後,手搖飲逐漸換成如今常見的封口杯,隨意放置飲料也不會流出來,非常方便。全面換成封口杯之後,有一樣東西也跟著產生微妙變化,那就是「吸管」。

吸管的一端必須變尖,方便直接插穿杯子的封口膜。

筆者前幾天買了一杯珍奶,結果吸管都插爛了還插不進去,加上天氣炎熱,火氣一上來索性就不喝了,滿腦子一直在想「為什麼吸管越來越難插」,直到我發現原因寫完這篇文章,珍奶就這樣放在研究室的桌上還沒喝,應該已經壞了……

高中的時候大家可能都學過二次曲線,雖然課程內容著重在代數上的運算,大部份老師或多或少還是會提一下古典幾何中的圓錐截痕,或稱圓錐曲線,例如下圖展示平面在雙圓錐上產生的各種截痕。

平面在雙圓錐上產生的截痕。圖/Wikimedia

當雙圓錐退化成圓柱,此時的截痕就會變成這樣,看起來有點像一根吸管被切了一刀。

平面在圓柱上產生的截痕。圖/UniMath

但是,你手中的吸管真的長這樣嗎?

這裡先考考大家,吸管從側面看過去,長相會是下列哪一個圖?

圖/UniMath

答案是 D!

什麼!!!怎麼跟圓錐截痕不一樣?!

因為…吸管就不是圓錐截痕啊!吸管就不是圓錐截痕啊!吸管就不是圓錐截痕啊!

答案違背我們直覺的原因在於,吸管用剪刀剪或用裁刀裁切時,吸管會先被刀壓扁,然後才直直剪過去,最後吸管的彈性,會再讓它彈回來形成空心柱體

用數學來看吸管 

剪裁前的吸管本身是圓柱(設半徑為 1 ),將之直立於 xy-平面利用參數式來描述吸管截痕曲線的話,它會是

r(t) = <cos t, sin t, z(t)>

這種形式,t 是繞圓的角度,觀察重點在於高度 z 是多少了。若是圓柱截痕,截平面 45 度切下去的話,即是用平面 z=x 來切,此時 r(t) = <cos t, sin t, cost>。調整 t 的範圍,可以畫出下面的 3D 圖。

圖/UniMath

但問題在於剪吸管時,吸管會先被剪刀壓扁,再沿 z=x 剪過去,也就是 z 隨著 x 等比例增加,然後吸管再彈回,此時就好像將這張壓扁的紙貼在圓柱上,換句話說在固定一個高度 z 時吸管回復至圓形的狀態,亦即圓參數式中的角度隨著 z(t) = t 做變化,所以截面曲線就是 r(t) = <cos t, sin t, t>,畫出來的3D 吸管如下圖。

圖/UniMath

從吸管的側面看過去,相當於投影在 xz-平面,即為 z=cos-1 x 的圖形。吸管橫擺也可以說成 z=cos x 或 z=sin x 週期函數中的一部分。

圖/UniMath

你知道大多數吸管並不是切 45 度嗎?

因為這樣切最後會剩太多飲料吸不起來,造成浪費。一般會介於 25 度至 40 度之間較恰當。例如下圖中吸管大約是切 37 度左右。若將吸管直著擺,尖端從側面看,斜率最大,所以插吸管時,應該要垂直插最省力

圖/UniMath

很多人將原因歸咎於紙製吸管比較軟,然而真相恐怕並非如此。紙浸了水後的確會變軟,但還沒插進杯裡的紙吸管其實是硬的,甚至比塑膠吸管硬多了。

最主要的原因還是在於形狀,紙吸管的切面是橢圓,而不像塑膠吸管一樣有個尖尾。

紙吸管經常插到爛掉都插不進去。圖/UniMath

為什麼紙吸管的切面是橢圓形呢?

相較於塑膠,紙的彈性沒那麼大,被裁刀重重一壓就扁了,回復不了圓柱狀,除了造型不好看,恐怕壓扁的吸管也不好用。因此,紙吸管的生產過程是在不變形的情況下鋸斷,或是使用雷射切割,故其截面接近我們課本所說的橢圓。因為沒有「尖端」,所以非常難插。

所以紙吸管到底要怎麼用才好?

在此有個小建議,讀者以後拿到紙吸管,先不要急著插,先用剪刀剪一下,就會好插很多;而使用紙吸管的飲料店,也可以在櫃枱準備把剪刀和方格紙,平時沒事剪剪吸管順便畫三角函數,要衛生一點的話就讓顧客自己剪,方便、省錢、環保還可以學數學,可說是一舉數得啊!

 紙吸管剪一下也可以輕鬆插入。圖/UniMath
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用這劑補好新冠預防保護力!免疫功能低下病患防疫新解方—長效型單株抗體適用於「免疫低下族群預防」及「高風險族群輕症治療」
鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2023/01/19 ・2882字 ・閱讀時間約 6 分鐘

本文由 台灣感染症醫學會 合作,泛科學企劃執行。

  • 審稿醫生/ 台灣感染症醫學會理事長 王復德

「好想飛出國~」這句話在長達近 3 年的「鎖國」後終於實現,然而隨著各國陸續解封、確診消息頻傳,讓民眾再度興起可能染疫的恐慌,特別是一群本身自體免疫力就比正常人差的病友。

全球約有 2% 的免疫功能低下病友,包括血癌、接受化放療、器官移植、接受免疫抑制劑治療、HIV 及先天性免疫不全的患者…等,由於自身免疫問題,即便施打新冠疫苗,所產生的抗體和保護力仍比一般人低。即使施打疫苗,這群病人一旦確診,因免疫力低難清除病毒,重症與死亡風險較高,加護病房 (ICU) 使用率是 1.5 倍,死亡率則是 2 倍。

進一步來看,部分免疫低下病患因服用免疫抑制劑,使得免疫功能與疫苗保護力下降,這些藥物包括高劑量類固醇、特定免疫抑制之生物製劑,或器官移植後預防免疫排斥的藥物。國外臨床研究顯示,部分病友打完疫苗後的抗體生成情況遠低於常人,以器官移植病患來說,僅有31%能產生抗體反應。

疫苗保護力較一般人低,靠「被動免疫」補充抗新冠保護力

為什麼免疫低下族群打疫苗無法產生足夠的抗體?主因為疫苗抗體產生的機轉,是仰賴身體正常免疫功能、自行激化主動產生抗體,這即為「主動免疫」,一般民眾接種新冠疫苗即屬於此。相比之下,免疫低下病患因自身免疫功能不足,難以經由疫苗主動激化免疫功能來保護自身,因此可採「被動免疫」方式,藉由外界輔助直接投以免疫低下病患抗體,給予保護力。

外力介入能達到「被動免疫」的有長效型單株抗體,可改善免疫低下病患因原有治療而無法接種疫苗,或接種疫苗後保護力較差的困境,有效降低確診後的重症風險,保護力可持續長達 6 個月。另須注意,單株抗體不可取代疫苗接種,完成單株抗體注射後仍需維持其他防疫措施。

長效型單株抗體緊急授權予免疫低下患者使用 有望降低感染與重症風險

2022 年美、法、英、澳及歐盟等多國緊急使用授權用於 COVID-19 免疫低下族群暴露前預防,台灣也在去年 9 月通過緊急授權,免疫低下患者專用的單株抗體,在接種疫苗以外多一層保護,能降低感染、重症與死亡風險。

從臨床數據來看,長效型單株抗體對免疫功能嚴重不足的族群,接種後六個月內可降低 83% 感染風險,效力與安全性已通過臨床試驗證實,證據也顯示該藥品針對 Omicron、BA.4、BA.5 等變異株具療效。

六大類人可公費施打 醫界呼籲民眾積極防禦

台灣提供對 COVID-19 疫苗接種反應不佳之免疫功能低下者以降低其染疫風險,根據 2022 年 11 月疾管署公布的最新領用方案,符合施打的條件包含:

一、成人或 ≥ 12 歲且體重 ≥ 40 公斤,且;
二、六個月內無感染 SARS-CoV-2,且;
三、一周內與 SARS-CoV-2 感染者無已知的接觸史,且;
四、且符合下列條件任一者:

(一)曾在一年內接受實體器官或血液幹細胞移植
(二)接受實體器官或血液幹細胞移植後任何時間有急性排斥現象
(三)曾在一年內接受 CAR-T 治療或 B 細胞清除治療 (B cell depletion therapy)
(四)具有效重大傷病卡之嚴重先天性免疫不全病患
(五)具有效重大傷病卡之血液腫瘤病患(淋巴肉瘤、何杰金氏、淋巴及組織其他惡性瘤、白血病)
(六)感染HIV且最近一次 CD4 < 200 cells/mm3 者 。

符合上述條件之病友,可主動諮詢醫師。多數病友施打後沒有特別的不適感,少數病友會有些微噁心或疲倦感,為即時處理發生率極低的過敏性休克或輸注反應,需於輸注時持續監測並於輸注後於醫療單位觀察至少 1 小時。

目前藥品存放醫療院所部分如下,完整名單請見公費COVID-19複合式單株抗體領用方案

  • 北部

台大醫院(含台大癌症醫院)、台北榮總、三軍總醫院、振興醫院、馬偕醫院、萬芳醫院、雙和醫院、和信治癌醫院、亞東醫院、台北慈濟醫院、耕莘醫院、陽明交通大學附設醫院、林口長庚醫院、新竹馬偕醫院

  • 中部

         大千醫院、中國醫藥大學附設醫院、台中榮總、彰化基督教醫療財團法人彰化基督教醫院

  • 南部/東部

台大雲林醫院、成功大學附設醫院、奇美醫院、高雄長庚醫院、高雄榮總、義大醫院、高雄醫學大學附設醫院、花蓮慈濟

除了預防 也可用於治療確診者

長效型單株抗體不但可以增加免疫低下者的保護力,還可以用來治療「具重症風險因子且不需用氧」的輕症病患。根據臨床數據顯示,只要在出現症狀後的 5 天內投藥,可有效降低近七成 (67%) 的住院或死亡風險;如果是3天內投藥,則可大幅減少到近九成 (88%) 的住院或死亡風險,所以把握黃金時間盡早治療是關鍵。

  • 新冠治療藥物比較表:
藥名Evusheld
長效型單株抗體
Molnupiravir
莫納皮拉韋
Paxlovid
帕克斯洛維德
Remdesivir
瑞德西韋
作用原理結合至病毒的棘蛋白受體結合區域,抑制病毒進入人體細胞干擾病毒的基因序列,導致複製錯亂突變蛋白酵素抑制劑,阻斷病毒繁殖抑制病毒複製所需之酵素的活性,從而抑制病毒增生
治療方式單次肌肉注射(施打後留觀1小時)口服5天口服5天靜脈注射3天
適用對象發病5天內、具有重症風險因子、未使用氧氣之成人與兒童(12歲以上且體重至少40公斤)的輕症病患。發病5天內、具有重症風險因子、未使用氧氣之成人與兒童(12歲以上且體重至少40公斤)的輕症病患。發病5天內、具有重症風險因子、未使用氧氣之成人(18歲以上)的輕症病患。發病7天內、具有重症風險因子、未使用氧氣之成人與孩童(年齡大於28天且體重3公斤以上)的輕症病患。
*Remdesivir用於重症之適用條件和使用天數有所不同
注意事項病毒變異株藥物交互作用孕婦哺乳禁用輸注反應

免疫低下病友需有更多重的防疫保護,除了戴口罩、保持社交距離、勤洗手、減少到公共場所等非藥物性防護措施外,按時接種COVID-19疫苗,仍是最具效益之傳染病預防介入措施。若有符合施打長效型單株抗體資格的病患,應主動諮詢醫師,經醫師評估用藥效益與施打必要性。

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史上最早金屬吸管——5000年前一組8人喝啤酒?
寒波_96
・2022/02/07 ・3857字 ・閱讀時間約 8 分鐘

湖中女神:「請問你掉的是金吸管,銀吸管,還是紙吸管?」
考古學家:「我只要塑膠吸管,塑膠吸管是人類最偉大的發明。」

前幾年台灣政府限制使用塑膠吸管後,好些人響應環保號召,隨身攜帶金屬吸管。最近有論文報告,發現已知最古老的金屬吸管,以高貴的金、銀打造,距今有 5000 年之久。古代人使用金屬吸管的目的當然不是環保,是享樂。

啤酒 8 人一桶,保證群聚感染。圖/參考資料 1

超過一公尺的金屬管,是權杖還是吸管?

這批「吸管」出土於北高加索的梅科普遺址(Maikop),而且早在公元 1897 年就重現於世。它們來自一座豪華墓葬(kurgan),是豐富陪葬品的一部分。照現代的認知,這座墓葬距今約 5000 年,被歸類為青銅時代早期。

墓中陪葬的金屬長管共有 8 根,擺在長眠的墓主附近。它們由金、銀打造,金屬原料被打薄成大薄片,再捲起來成管狀。每根長度 112 公分,直徑約 1 公分,管壁厚度介於 0.27 到 0.70 mm,重量約 200 公克。

梅科普遺址出土,由金、銀製成,長度超過一公尺的「權杖」?圖/參考資料 1

超過一公尺的金屬管並非一體成型,而是多段組合而成。4 根包含較短的二或三段銀管,其中 2 根上有小隻銀牛的雕像裝飾;另外 4 根則包括金管和銀管,其中 2 根上有金牛雕像。金牛與銀牛皆為實心,長度 7 到 9 公分,中間穿孔插在管上,可以滑動調整位置。

一開始挖掘的考古學家,聖彼得堡大學的 Nikolai Veselovsky 判斷,這組金屬管是古代大人物用的權杖,後來還有其他學者提出不同見解,覺得是出巡用大棒棒之類的(法西斯?)。但是他們都無法解釋,為什麼權杖要大費周章做成空心的。

新發表的論文認為應該是「吸管」,使用時過濾器方向朝下,可移動的金牛、銀牛是倒立的。圖/參考資料 1

新發表的論文則提出幾點證據,認為這組「權杖」應該是吸管,目的是讓大家一起吸啤酒。如此判斷的證據,來自與中東地區考古的比較。

咕咕咕咕嘟嘟嘟嘟,用吸管逸樂的歷史

啤酒的歷史也許非常早。早於植物被馴化,農業誕生、人類定居形成農村以前,黎凡特(現今的以色列、黎巴嫩與周圍一帶)的納圖夫文化(Natufian)疑似已經有人發酵穀物,釀造啤酒。反正酒的歷史,淵遠流長。

至於吸管的歷史,不可考。用管子吸液體,應該不是太難的發明,但是如果以麥稈、蘆葦等材質作為吸管,幾乎不可能留下考古紀錄。

如今已知最早的吸管並非實體,而是留在印章上的圖案,來自伊拉克北部的 Gawra XII,以及伊朗西部的 Chogha Mish 這些位於中東的遺址,超過五千年。

1 是烏爾王室墓葬中,以吸管共享飲料的圖像;2 是普阿比女王墓葬中,包金的蘆葦吸管;3 是普阿比女王墓葬中,包金和青金石的銀西管;4 是 Tell Asmar 出土的過濾器; 5 是敘利亞的 Chagar Bazar 出土的過濾器。圖/參考資料 1

六千年前過後,美索不達米亞的蘇美等古文化,漸漸發展出初步的古文明,也顯現出逸樂的跡象。幾處距今 4000 多年的貴氣墓葬,描繪宴會的場景中,可以見到一群人用長吸管喝飲料。

蘇美人常用的吸管材質應該是蘆葦,也有豪華版的包金蘆葦。烏爾(Ur)的普阿比女王(Queen Puabi)距今約 4600 年的華麗墓葬中,便出土金箔包覆的蘆葦桿,長度 124 公分、直徑 1 公分。另外還有 2 根類似的吸管,一根銅製,另一根銀製,上頭包金,2 根都有青金石裝飾。

烏魯克(Uruk)等地,則出土過吸管上的動物裝飾小雕像。

梅科普遺址出土金屬長管的一截尖端,推測是浸入啤酒中,作為過濾器使用。圖/參考資料 1

和普阿比女王墓葬同時期的 Tell Asmar 留下一組飲用設備,包括碗、長管、過濾器。過濾器通常為銅製的窄椎體,安裝在蘆葦吸管的前端,浸入液體過濾啤酒中的雜質,可以拆卸重複使用。

一組八人咕咕咕咕咕咕咕咕,第九個人沒酒喝!?

上述位於今日伊拉克境內的多處遺址,出土的長管們,可以肯定作為吸管之用,它們的型態和北高加索的金屬長管十分相似。

另外北高加索的金屬管內,疑似作為過濾器的部分,也發現裡頭殘留大麥澱粉顆粒和植物矽酸體(phytolith)。綜合推論,這組金屬管應該也是作為吸管使用,曾用於吸食啤酒。

梅科普遺址出土,1 是銀製過濾器;2、3 為大麥的澱粉顆粒;4 為椴樹(lime tree)的花粉粒;5 為穀物的植物矽酸體。圖/參考資料 1

早在公元 1897 年便被發掘的梅科普遺址,後來成為廣布北高加索地區,梅科普文化的代表性遺址。此一文化介於新石器時代晚期(或銅石並用時期)到青銅時代早期,過去常認為以畜牧業為主要生產方式。

然而該遺址其實也出土大量石製鐮刀、儲存容器,這些都是農業生產的特徵。當時的人,無疑具備用大麥等穀物釀酒的條件。

超過一公尺的金屬吸管如何使用?參考距今 4000 年左右,敘利亞的 Tell Bagüz 遺址的狀況,論文推測可能是將 8 支吸管插在大酒桶裡,同時讓 8 個人圍一圈一起喝酒(第 9 個人沒酒喝!),是宴會的項目之一。

梅科普遺址的吸管上的金牛、銀牛。圖/參考資料 1

考慮到不少吸管是陪葬品,而葬禮是人類最重要的聚會形式之一,古人也可能會在葬禮中痛飲一輪,再把吸管組陪葬。不論如何,這都是某種享受與奢華的展現。

穿越文明疆界的啤酒社交風俗

這類社交場合,也伴隨體液交流,可想而知是群聚感染的溫床,不過當然不能用現代公衛標準要求古代人。

另一點有趣的是,要用超過一公尺的吸管吸到啤酒,肺活量想必不能太差;比起倒出來用酒杯痛飲,吸管的飲酒效率應該差很多,為什麼不倒出來喝呢?(想想李白用吸管啜飲美酒的畫面……好違和)

位於北高加索的梅科普,距離當時美索不達米亞的文明中心有段距離,兩地卻存在一樣的共享啤酒文化。圖/修改自 google map

我猜有個可能理由是促進社交,辦流水席吃吃喝喝,是不同時空的文化,維繫組織運作的一大共通手段。大家圍一圈喝酒,人際交流的意義不遜於飲酒本身(8 個人同時吸一大桶酒,佔著位置不吸大概也不會被發現,嘻嘻),這樣設計的目的,也許本來就是避免參與者喝的太多、太快,而忽略社交。

有趣的是,長吸管共飲是四、五千年前,中東文化發達地區流行的風尚。以中東古文明的視角觀之,距離數百公里的高加索北部可謂化外之地,但是這批邊緣人也存在使用金、銀吸管的風俗(順帶證實他們金屬加工的手藝相當優秀),與中東文明中心類似。啤酒文化的交流與傳播,顯然能穿越空間的阻礙。

延伸閱讀

參考資料

  1. Trifonov, V., Petrov, D., & Savelieva, L. (2022). Party like a Sumerian: reinterpreting the ‘sceptres’ from the Maikop kurgan. Antiquity, 1-18.
  2. Oldest known drinking straws identified

本文亦刊載於作者部落格《盲眼的尼安德塔石匠》暨其 facebook 同名專頁

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寒波_96
178 篇文章 ・ 704 位粉絲
生命科學碩士、文學與電影愛好者、戳樂黨員,主要興趣為演化,希望把好東西介紹給大家。部落格《盲眼的尼安德塔石器匠》、同名粉絲團《盲眼的尼安德塔石器匠》。

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度量衡革命,計算方法也跟著全新革命│《電腦簡史》 齒輪時代(十七)
張瑞棋_96
・2020/06/15 ・3220字 ・閱讀時間約 6 分鐘 ・SR值 560 ・八年級

法國大革命後,重新制定度量衡,一律改成十進位的公制。沒想到就連時間、角度也都要改,但如此一來,三角函數就得重新計算。一位法國數學家突法奇想,將工廠製造大頭針的方法用來計算對數表與三角函數表。這個分工合作的方法影響深遠,不但美國太空總署初期的太空任務仍然沿用,也啟發了一位英國數學家設計第一台真正的計算機。

本文為系列文章,上一篇請見:從加減到乘除,四則計算器終於現身│《電腦簡史》 齒輪時代(十六)

法國大革命,度量衡也要革命

歷史總是不斷重演,當天災與人禍的雙重壓力到達頂點,往往造成政權更替。 1780 年代,法國因為連續乾旱與極端氣候導致糧食不足、民不聊生,一般人民更無力繳稅給地主、教會與政府。然而王公貴族與教會等上層階級卻幾乎無需繳稅,人民早已憤恨不平。

另一方面,法國為了支持美國脫離英國獨立,也派軍參與美國獨立戰爭,導致政府財政更加困難。為了增加稅收,王室於 1789 年召開由教士、貴族與平民組成的三級會議,希望透過決議,名正言順地向貴族與教會加徵土地稅。不過貴族與教會不願放棄既得利益,百般阻撓,積怨已深的平民代表乾脆自組國民會議,號召制憲。國王立即派兵鎮壓,結果反而激起法國大革命,成功推翻帝制,建立歐洲第一個民主共和國。

在全面除舊布新的改革聲浪下,國民議會要求法國科學院制定一套十進位制的全新度量衡,做為全國統一的標準。 1791 年,法國科學院定義出公尺的長度與公斤的大小,再據以制定長度、面積、體積、重量等單位,這套十進位制的公制便一直沿用至今,通行全世界。

十進位制的時鐘,大指針顯示 03:16:86,小指針顯示24小時制的 07:34。圖/wikipedia

蝦咪,圓周變成 400 度,三角函數怎麼辦?

除此之外,任何傳統非十進位的方式,在當時學者的眼中,也都不科學。所以複雜的貨幣單位(害得巴斯卡不得不發明加法器)要改成十進位,甚至傳統六十進位的時間單位也得改,改為一天 10 小時、一小時 100 分鐘、一分鐘 100 秒。不僅如此,就連圓周 360 度也改為 400 度。這麼一來直角不再是 90 度,而是 100 度,從古希臘以降的三角函數全亂了,勢必得重新計算數值。

三角函數表對數表一樣重要,除了用於天文計算,航海導航、土地測量也都需要用到。法國大革命後,百廢待興,重新測繪地籍圖也是其中一項首要之務,更急需新定義的三角函數。

這項重責大任落到了數學家德普羅尼 (Gaspard de Prony)身上。他不僅要製作全新的三角函數表,也打算重新編製對數表,而且精確度要提高到前所未有的程度。這意謂著表格裡的數值比以往切分得更細,也就是說要塞進更多數字,而且每個數字要算到小數點後更多位數(至少 14 位數以上)。

Gaspard de Prony

數學家德普羅尼 (Gaspard de Prony, 1955 – 1839)。圖/Wikipedia

這當然是件浩大的工程。當年納皮爾憑花了十幾年的時間,才算出 90 頁的對數表,如今德普羅尼所面對的計算量,至少是納皮爾的千百倍以上。德普羅尼雖然是帶領著一個團隊,但即使大家分頭計算,也要算到地老天荒;而且讓法國數學家完全投入單調重複的計算工作,根本是浪費他們的才能。面對這個不可能的任務,德普羅尼突然靈光一閃,想到蘇格蘭經濟學家亞當·斯密 (Adam Smith)所寫的《國富論》(The Wealth of Nations)。

工廠有作業員,計算何不用計算員?

《國富論》出版於 1776 年,堪稱奠定現代經濟學、同時也是影響最深遠的經典著作。這本書主要闡述市場運作彷彿有隻「看不見的手」在指導,使得全體國民致力於追求個人利益的同時,也促進了群體的福祉裡面。除了市場面,亞當·斯密也論及生產方式,主張專業分工才能提高生產效率。

他舉大頭針工廠為例,大頭針的製造過程大致可分為把鐵絲拉長、拉直、裁剪、削尖、拋光、結合針頭等步驟。相較於讓每個工人從頭到尾一手包辦,改成讓每個工人只專注於其中一項製程,反而能大幅提升生產效率。

1762 年《百科全書》(Diderot’s Encyclopédie)中有關工廠分工的版畫。圖/wikimedia

德普羅尼認為這也可以套用到對數表與三角函數表的計算。於是他把計算工作拆分成三個階段:

  • 第一階段只需要五、六位數學家,他們負責將對數與三角函數轉換為適當的多項式函數,並決定計算的數值範圍,以及精確到小數點幾位。
  • 第二階段由七、八位學生拆解多項式函數,直到算出固定差值,就可以做出「差分法」的計算工作表,留給下個階段的人計算(可參見底下說明)。
  • 大量的計算工作都在第三階段,由六十到八十位計算員執行 。這些計算員只要會加法就可以了,不需懂數學;其中不少人原本是宮廷的美髮師,大革命後便失業了,而被德普羅尼找來當計算員。事實上 “computer” 這個字在代表電腦之前,原來就是指專門負責計算的人。他們只要根據計算工作表上的數字,逐格填入累加的結果,就能算出所需要的函數值。

武林秘笈無用武之地,武功心法成後世典範

從 1793 年開始,德普羅尼帶著團隊以這種分工合作的方法,於 1796 年就完成多達二十萬個對數的對數表(前十萬個算到小數點後 19 位,後十萬個到第 24 位),與精確到千分之一度的三角函數表

不過法國大革命後,派系互鬥,政局幾無寧日,德普羅尼遲遲未能獲得經費印刷成冊。1804 年拿破崙廢除共和,即位皇帝沒多久後,就將時間與圓周角度恢復成舊制,新三角函數表已毫無用處。而太過精確的對數表,在實際應用上也不需要,因此德普羅尼等於白忙一場,多達十七冊的數值表手稿從此束之高閣,收藏在法國科學院的圖書館內。

德普羅尼的曠世之作雖然未能在當代發揮作用,但是他以生產線專業分工的方式,處理大量計算工作的創舉,卻成為後世的典範。在現代電腦出現之前,這個方式被廣泛運用於大型專案,例如美國太空總署初期的太空計畫,便雇用了大量女性當計算員。(電影《關鍵少數》(Hidden Figures)的主角便是其中幾位卓越的非裔女性。)

電影《關鍵少數》就是描述美國太空總署初期的太空計畫中,這些計算員的故事。圖/imdb

另一方面,深藏在法國科學院內的十七冊手稿,仍等待著有緣人發現它的真諦。十幾年後,一位來自英國的青年數學家來到法國科學院,才得知這份寶典的存在;他將從中獲得啟示,著手打造史上第一部真正的計算機。


小教室:差分法

如果知道兩個函數值之間的差值,也就是f(x+1) = f(x) + D,那麼只要不斷累加差值 D,便能推算出多項式函數的所有答案,這就是差分法。

f(x) = x2 + x + 41 這個函數為例f(x+1) = (x+1)2+(x+1)+41 = x2+2x+1+x+1+41 = f(x)+(2x+2) ,2x+2為第一階差值。再對 f’(x)=2x+2如法炮製,可得出 f’(x+1) = f’(x)+2,即第二階差值固定為 2。

  x  

 函數值

x2 + x + 41

第一階差值

2x+2

第二階差值

2

0 41 2 2
1 43 4 2
2 47 6 2
3 53 8 2
4 61 10 2
5 71 12 2

知道第二階差值等於 2 ,就可以不斷累加,得出第一階差值:2、4、6、8、10、……。

然後從 x = 0 的函數值 f(0) = 41 開始,再不斷累加第一階差值,即 f(1)=41+2=43; f(2)=43+4=47; f(3)=47+6=53;…… 以此類推,一直計算到所需要的位數為止。

二次函數的固定差值出現在第二階,三次函數則出現在第三階,以此類推。所以任何多項式函數一定可以用差分法算出答案。這個方法不用乘法,光靠加法就能算出任何多項式函數的值,因此不用懂數學也能幫忙計算。

  • 註:此處舉例的函數是出自大數學家歐拉(Leonhard Euler)於 1772 年發現的質數公式,前 40 個函數值都是質數。
張瑞棋_96
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1987年清華大學工業工程系畢業,1992年取得美國西北大學工業工程碩士。浮沉科技業近二十載後,退休賦閒在家,當了中年大叔才開始寫作,成為泛科學專欄作者。著有《科學史上的今天》一書;個人臉書粉絲頁《科學棋談》。