為什麼紙吸管總是插不進去？你可以這樣做！

• 作者／賴昭正｜前清大化學系教授、系主任、所長；合創科學月刊

我擔心人工智慧可能會完全取代人類。如果人們能設計電腦病毒，那麼就會有人設計出能夠自我改進和複製的人工智慧。 這將是一種超越人類的新生命形式。

——史蒂芬．霍金（Stephen Hawking）　英國理論物理學家

大約在八十年前，當第一台數位計算機出現時，一些電腦科學家便一直致力於讓機器具有像人類一樣的智慧；但七十年後，還是沒有機器能夠可靠地提供人類程度的語言或影像辨識功能。誰又想到「人工智慧」（Artificial Intelligent，簡稱 AI）的能力最近十年突然起飛，在許多（所有？）領域的測試中擊敗了人類，正在改變各個領域——包括假新聞的製造與散佈——的生態。

圖形處理單元（graphic process unit，簡稱 GPU）是這場「人工智慧」革命中的最大助手。它的興起使得九年前還是個小公司的 Nvidia（英偉達）股票從每股不到 $5，上升到今天（5 月 24 日）每股超過 $1000（註一）的全世界第三大公司，其創辦人（之一）兼首席執行官、出生於台南的黃仁勳（Jenson Huang）也一躍成為全世界排名 20 內的大富豪、台灣家喻戶曉的名人！可是多少人了解圖形處理單元是什麼嗎？到底是時勢造英雄，還是英雄造時勢？

在回答這問題之前，筆者得先聲明筆者不是學電腦的，因此在這裡所能談的只是與電腦設計細節無關的基本原理。筆者認為將原理轉成實用工具是專家的事，不是我們外行人需要了解的；但作為一位現在的知識分子或公民，了解基本原理則是必備的條件：例如了解「能量不滅定律」就可以不用仔細分析，即可判斷永動機是騙人的；又如現在可攜帶型冷氣機充斥市面上，它們不用往室外排廢熱氣，就可以提供屋內冷氣，讀者買嗎？

CPU 與 GPU

不管是大型電腦或個人電腦都需具有「中央處理單元」（central process unit，簡稱 CPU）。CPU 是電腦的「腦」，其電子電路負責處理所有軟體正確運作所需的所有任務，如算術、邏輯、控制、輸入和輸出操作等等。雖然早期的設計即可以讓一個指令同時做兩、三件不同的工作；但為了簡單化，我們在這裡所談的工作將只是執行算術和邏輯運算的工作（arithmetic and logic unit，簡稱 ALU），如將兩個數加在一起。在這一簡化的定義下，CPU 在任何一個時刻均只能執行一件工作而已。

在個人電腦剛出現只能用於一般事物的處理時，CPU 均能非常勝任地完成任務。但電腦圖形和動畫的出現帶來了第一批運算密集型工作負載後，CPU 開始顯示心有餘而力不足：例如電玩動畫需要應用程式處理數以萬計的像素（pixel），每個像素都有自己的顏色、光強度、和運動等, 使得 CPU 根本沒辦法在短時間內完成這些工作。於是出現了主機板上之「顯示插卡」來支援補助 CPU。

1999 年，英偉達將其一「具有集成變換、照明、三角形設定／裁剪、和透過應用程式從模型產生二維或三維影像的單晶片處理器」（註二）定位為「世界上第一款 GPU」，「GPU」這一名詞於焉誕生。不像 CPU，GPU 可以在同一個時刻執行許多算術和邏輯運算的工作，快速地完成圖形和動畫的變化。

依序計算和平行計算

一部電腦 CPU 如何計算 7×5+6/3 呢？因每一時刻只能做一件事，所以其步驟為：

• 計算 7×5；
• 計算 6/3；
• 將結果相加。

總共需要 3 個運算時間。但如果我們有兩個 CPU 呢？很多工作便可以同時（平行）進行：

• 同時計算 7×5 及 6/3；
• 將結果相加。

只需要 2 個運算時間,比單獨的 CPU 減少了一個。這看起來好像沒節省多少時間，但如果我們有 16 對 a×b 要相加呢？單獨的 CPU 需要 31 個運算的時間（16 個 × 的運算時間及 15 個 + 的運算時間），而有 16 個小 CPU 的 GPU 則只需要 5 個運算的時間（1 個 × 的運算時間及 4 個 + 的運算時間）！

現在就讓我們來看看為什麼稱 GPU 為「圖形」處理單元。圖一左圖《我愛科學》一書擺斜了，如何將它擺正成右圖呢？ 一句話：「將整個圖逆時針方向旋轉 θ 即可」。但因為左圖是由上百萬個像素點（座標 x, y）組成的，所以這句簡單的話可讓 CPU 忙得不亦樂乎了：每一點的座標都必須做如下的轉換

x’ = x cosθ + y sinθ

y’ = -x sinθ+ y cosθ

即每一點均需要做四個 × 及兩個 + 的運算！如果每一運算需要 10^-6 秒，那麼讓《我愛科學》一書做個簡單的角度旋轉，便需要 6 秒，這豈是電動玩具畫面變化所能接受的？

人類的許多發明都是基於需要的關係，因此電腦硬件設計家便開始思考：這些點轉換都是獨立的，為什麼我們不讓它們同時進行（平行運算，parallel processing）呢？於是專門用來處理「圖形」的處理單元出現了——就是我們現在所知的 GPU。如果一個 GPU 可以同時處理 10⁶ 運算，那上圖的轉換只需 10^-6 秒鐘！

GPU 的興起

GPU 可分成兩種：

• 整合式圖形「卡」（integrated graphics）是內建於 CPU 中的 GPU，所以不是插卡，它與 CPU 共享系統記憶體，沒有單獨的記憶體組來儲存圖形／視訊，主要用於大部分的個人電腦及筆記型電腦上；早期英特爾（Intel）因為不讓插卡 GPU 侵蝕主機的地盤，在這方面的研發佔領先的地位，約佔 68% 的市場。
• 獨立顯示卡（discrete graphics）有不與 CPU 共享的自己專用內存；由於與處理器晶片分離，它會消耗更多電量並產生大量熱量；然而，也正是因為有自己的記憶體來源和電源，它可以比整合式顯示卡提供更高的效能。

2007 年，英偉達發布了可以在獨立 GPU 上進行平行處理的軟體層後，科學家發現獨立 GPU 不但能夠快速處理圖形變化，在需要大量計算才能實現特定結果的任務上也非常有效，因此開啟了為計算密集型的實用題目編寫 GPU 程式的領域。如今獨立 GPU 的應用範圍已遠遠超出當初圖形處理，不但擴大到醫學影像和地震成像等之複雜圖像和影片編輯及視覺化，也應用於駕駛、導航、天氣預報、大資料庫分析、機器學習、人工智慧、加密貨幣挖礦、及分子動力學模擬（註三）等其它領域。獨立 GPU 已成為人工智慧生態系統中不可或缺的一部分，正在改變我們的生活方式及許多行業的遊戲規則。英特爾在這方面發展較遲，遠遠落在英偉達（80%）及超微半導體公司（Advance Micro Devices Inc.，19%，註四）之後，大約只有 1% 的市場。

事實上現在的中央處理單元也不再是真正的「單元」，而是如圖二可含有多個可以同時處理運算的核心（core）單元。GPU 犧牲大量快取和控制單元以獲得更多的處理核心，因此其核心功能不如 CPU 核心強大，但它們能同時高速執行大量相同的指令，在平行運算中發揮強大作用。現在電腦通常具有 2 到 64 個核心；GPU 則具有上千、甚至上萬的核心。

結論

我們一看到《我愛科學》這本書，不需要一點一點地從左上到右下慢慢掃描,即可瞬間知道它上面有書名、出版社等，也知道它擺斜了。這種「平行運作」的能力不僅限於視覺，它也延伸到其它感官和認知功能。例如筆者在清華大學授課時常犯的一個毛病是：嘴巴在講，腦筋思考已經不知往前跑了多少公里，常常為了追趕而越講越快，將不少學生拋到腦後！這不表示筆者聰明，因為研究人員發現我們的大腦具有同時處理和解釋大量感官輸入的能力。

人工智慧是一種讓電腦或機器能夠模擬人類智慧和解決問題能力的科技，因此必須如人腦一樣能同時並行地處理許多資料。學過矩陣（matrix）的讀者應該知道，如果用矩陣和向量（vector）表達，上面所談到之座標轉換將是非常簡潔的（註五）。而矩陣和向量計算正是機器學習（machine learning）演算法的基礎！也正是獨立圖形處理單元最強大的功能所在！因此我們可以了解為什麼 GPU 會成為人工智慧開發的基石：它們的架構就是充分利用並行處理，來快速執行多個操作，進行訓練電腦或機器以人腦之思考與學習的方式處理資料——稱為「深度學習」（deep learning）。

黃仁勳在 5 月 22 日的發布業績新聞上謂：「下一次工業革命已經開始了：企業界和各國正與英偉達合作，將價值數萬億美元的傳統資料中心轉變為加速運算及新型資料中心——人工智慧工廠——以生產新商品『人工智慧』。人工智慧將為每個產業帶來顯著的生產力提升，幫助企業降低成本和提高能源效率，同時擴大收入機會。」

附錄

人工智慧的實用例子：下面一段是微軟的「copilot」代書、谷歌的「translate」代譯之「one paragraph summary of GPU and AI」。讀完後，讀者是不是認為筆者該退休了？

GPU（圖形處理單元）和 AI（人工智慧）之間的協同作用徹底改變了高效能運算領域。GPU 具有平行處理能力，特別適合人工智慧和機器學習所需的複雜資料密集運算。這導致了影像和視訊處理等領域的重大進步，使自動駕駛和臉部辨識等技術變得更加高效和可靠。NVIDIA 開發的平行運算平台 CUDA 進一步提高了 GPU 的效率，使開發人員能夠透過將人工智慧問題分解為更小的、可管理的、可同時處理的任務來解決這些問題。這不僅加快了人工智慧研究的步伐，而且使其更具成本效益，因為 GPU 可以在很短的時間內執行與多個 CPU 相同的任務。隨著人工智慧的不斷發展，GPU 的角色可能會變得更加不可或缺，推動各產業的創新和新的可能性。大腦透過神經元網路實現這一目標，這些神經元網路可以獨立但有凝聚力地工作，使我們能夠執行複雜的任務，例如駕駛、導航、觀察交通信號、聽音樂並同時規劃我們的路線。此外，研究表明，與非人類動物相比，人類大腦具有更多平行通路，這表明我們的神經處理具有更高的複雜性。這個複雜的系統證明了我們認知功能的卓越適應性和效率。我們可以一邊和朋友聊天一邊走在街上，一邊聽音樂一邊做飯，或一邊聽講座一邊做筆記。人工智慧是模擬人類腦神經網路的科技，因此必須能同時並行地來處理許多資料。研究人員發現了人腦通訊網路具有一個在獼猴或小鼠中未觀察獨特特徵：透過多個並行路徑傳輸訊息,因此具有令人難以置信的多任務處理能力。

註解

（註一）當讀者看到此篇文章時，其股票已一股換十股，現在每一股約在 $100 左右。

（註二）組裝或升級過個人電腦的讀者或許還記得「英偉達精視 256」（GeForce 256）插卡吧?

（註三）筆者於 1984 年離開清華大學到 IBM 時，就是參加了被認為全世界使用電腦時間最多的量子化學家、IBM「院士（fellow）」Enrico Clementi 的團隊：因為當時英偉達還未有可以在 GPU 上進行平行處理的軟體層，我們只能自己寫軟體將 8 台中型電腦（非 IBM 品牌！）與一大型電腦連接來做平行運算，進行分子動力學模擬等的科學研究。如果晚生 30 年或許就不會那麼辛苦了?

（註四）補助個人電腦用的 GPU 品牌到 2000 年時只剩下兩大主導廠商：英偉達及 ATI（Array Technology Inc.）。後者是出生於香港之四位中國人於 1985 年在加拿大安大略省成立，2006 年被超微半導體公司收購，品牌於 2010 年被淘汰。超微半導體公司於 2014 年 10 月提升台南出生之蘇姿豐（Lisa Tzwu-Fang Su）博士為執行長後，股票從每股 $4 左右，上升到今天每股超過 $160，其市值已經是英特爾的兩倍，完全擺脫了在後者陰影下求生存的小眾玩家角色，正在挑戰英偉達的 GPU 市場。順便一題：超微半導體公司現任總裁（兼 AI 策略負責人）為出生於台北的彭明博（Victor Peng）；與黃仁勳及蘇姿豐一樣，也是小時候就隨父母親移居到美國。

（註五）或。

延伸閱讀

• 「熱力學與能源利用」，《科學月刊》，1982 年 3 月號；收集於《我愛科學》（華騰文化有限公司，2017 年 12 月出版），轉載於「嘉義市政府全球資訊網」。
• 「網路安全技術與比特幣」，《科學月刊》，2020 年 11 月號；轉載於「善科教育基金會」的《科技大補帖》專欄。

湖中女神：「請問你掉的是金吸管，銀吸管，還是紙吸管？」
考古學家：「我只要塑膠吸管，塑膠吸管是人類最偉大的發明。」

前幾年台灣政府限制使用塑膠吸管後，好些人響應環保號召，隨身攜帶金屬吸管。最近有論文報告，發現已知最古老的金屬吸管，以高貴的金、銀打造，距今有 5000 年之久。古代人使用金屬吸管的目的當然不是環保，是享樂。

超過一公尺的金屬管，是權杖還是吸管？

這批「吸管」出土於北高加索的梅科普遺址（Maikop），而且早在公元 1897 年就重現於世。它們來自一座豪華墓葬（kurgan），是豐富陪葬品的一部分。照現代的認知，這座墓葬距今約 5000 年，被歸類為青銅時代早期。

墓中陪葬的金屬長管共有 8 根，擺在長眠的墓主附近。它們由金、銀打造，金屬原料被打薄成大薄片，再捲起來成管狀。每根長度 112 公分，直徑約 1 公分，管壁厚度介於 0.27 到 0.70 mm，重量約 200 公克。

超過一公尺的金屬管並非一體成型，而是多段組合而成。4 根包含較短的二或三段銀管，其中 2 根上有小隻銀牛的雕像裝飾；另外 4 根則包括金管和銀管，其中 2 根上有金牛雕像。金牛與銀牛皆為實心，長度 7 到 9 公分，中間穿孔插在管上，可以滑動調整位置。

一開始挖掘的考古學家，聖彼得堡大學的 Nikolai Veselovsky 判斷，這組金屬管是古代大人物用的權杖，後來還有其他學者提出不同見解，覺得是出巡用大棒棒之類的（法西斯？）。但是他們都無法解釋，為什麼權杖要大費周章做成空心的。

新發表的論文則提出幾點證據，認為這組「權杖」應該是吸管，目的是讓大家一起吸啤酒。如此判斷的證據，來自與中東地區考古的比較。

咕咕咕咕嘟嘟嘟嘟，用吸管逸樂的歷史

啤酒的歷史也許非常早。早於植物被馴化，農業誕生、人類定居形成農村以前，黎凡特（現今的以色列、黎巴嫩與周圍一帶）的納圖夫文化（Natufian）疑似已經有人發酵穀物，釀造啤酒。反正酒的歷史，淵遠流長。

至於吸管的歷史，不可考。用管子吸液體，應該不是太難的發明，但是如果以麥稈、蘆葦等材質作為吸管，幾乎不可能留下考古紀錄。

如今已知最早的吸管並非實體，而是留在印章上的圖案，來自伊拉克北部的 Gawra XII，以及伊朗西部的 Chogha Mish 這些位於中東的遺址，超過五千年。

六千年前過後，美索不達米亞的蘇美等古文化，漸漸發展出初步的古文明，也顯現出逸樂的跡象。幾處距今 4000 多年的貴氣墓葬，描繪宴會的場景中，可以見到一群人用長吸管喝飲料。

蘇美人常用的吸管材質應該是蘆葦，也有豪華版的包金蘆葦。烏爾（Ur）的普阿比女王（Queen Puabi）距今約 4600 年的華麗墓葬中，便出土金箔包覆的蘆葦桿，長度 124 公分、直徑 1 公分。另外還有 2 根類似的吸管，一根銅製，另一根銀製，上頭包金，2 根都有青金石裝飾。

烏魯克（Uruk）等地，則出土過吸管上的動物裝飾小雕像。

和普阿比女王墓葬同時期的 Tell Asmar 留下一組飲用設備，包括碗、長管、過濾器。過濾器通常為銅製的窄椎體，安裝在蘆葦吸管的前端，浸入液體過濾啤酒中的雜質，可以拆卸重複使用。

一組八人咕咕咕咕咕咕咕咕，第九個人沒酒喝！？

上述位於今日伊拉克境內的多處遺址，出土的長管們，可以肯定作為吸管之用，它們的型態和北高加索的金屬長管十分相似。

另外北高加索的金屬管內，疑似作為過濾器的部分，也發現裡頭殘留大麥澱粉顆粒和植物矽酸體（phytolith）。綜合推論，這組金屬管應該也是作為吸管使用，曾用於吸食啤酒。

早在公元 1897 年便被發掘的梅科普遺址，後來成為廣布北高加索地區，梅科普文化的代表性遺址。此一文化介於新石器時代晚期（或銅石並用時期）到青銅時代早期，過去常認為以畜牧業為主要生產方式。

然而該遺址其實也出土大量石製鐮刀、儲存容器，這些都是農業生產的特徵。當時的人，無疑具備用大麥等穀物釀酒的條件。

超過一公尺的金屬吸管如何使用？參考距今 4000 年左右，敘利亞的 Tell Bagüz 遺址的狀況，論文推測可能是將 8 支吸管插在大酒桶裡，同時讓 8 個人圍一圈一起喝酒（第 9 個人沒酒喝！），是宴會的項目之一。

考慮到不少吸管是陪葬品，而葬禮是人類最重要的聚會形式之一，古人也可能會在葬禮中痛飲一輪，再把吸管組陪葬。不論如何，這都是某種享受與奢華的展現。

穿越文明疆界的啤酒社交風俗

這類社交場合，也伴隨體液交流，可想而知是群聚感染的溫床，不過當然不能用現代公衛標準要求古代人。

另一點有趣的是，要用超過一公尺的吸管吸到啤酒，肺活量想必不能太差；比起倒出來用酒杯痛飲，吸管的飲酒效率應該差很多，為什麼不倒出來喝呢？（想想李白用吸管啜飲美酒的畫面……好違和）

我猜有個可能理由是促進社交，辦流水席吃吃喝喝，是不同時空的文化，維繫組織運作的一大共通手段。大家圍一圈喝酒，人際交流的意義不遜於飲酒本身（8 個人同時吸一大桶酒，佔著位置不吸大概也不會被發現，嘻嘻），這樣設計的目的，也許本來就是避免參與者喝的太多、太快，而忽略社交。

有趣的是，長吸管共飲是四、五千年前，中東文化發達地區流行的風尚。以中東古文明的視角觀之，距離數百公里的高加索北部可謂化外之地，但是這批邊緣人也存在使用金、銀吸管的風俗（順帶證實他們金屬加工的手藝相當優秀），與中東文明中心類似。啤酒文化的交流與傳播，顯然能穿越空間的阻礙。

延伸閱讀

• 短篇 5000年前仰韶文化，東方最早的啤酒與大麥
• 短篇 14600年前世界最早的麵包，那時還沒有農業
• 起司、優格與馬奶酒：歐亞草原的乳製品，開啟遊牧民族新時代！
• 追尋馴化馬的起源：歐亞草原西部，4200年前
• 西班牙青銅時代，銀冠女王與她的男性戰士？

參考資料

1. Trifonov, V., Petrov, D., & Savelieva, L. (2022). Party like a Sumerian: reinterpreting the ‘sceptres’ from the Maikop kurgan. Antiquity, 1-18.
2. Oldest known drinking straws identified

本文亦刊載於作者部落格《盲眼的尼安德塔石匠》暨其 facebook 同名專頁。

法國大革命後，重新制定度量衡，一律改成十進位的公制。沒想到就連時間、角度也都要改，但如此一來，三角函數就得重新計算。一位法國數學家突法奇想，將工廠製造大頭針的方法用來計算對數表與三角函數表。這個分工合作的方法影響深遠，不但美國太空總署初期的太空任務仍然沿用，也啟發了一位英國數學家設計第一台真正的計算機。

本文為系列文章，上一篇請見：從加減到乘除，四則計算器終於現身│《電腦簡史》 齒輪時代（十六）

法國大革命，度量衡也要革命

歷史總是不斷重演，當天災與人禍的雙重壓力到達頂點，往往造成政權更替。 1780 年代，法國因為連續乾旱與極端氣候導致糧食不足、民不聊生，一般人民更無力繳稅給地主、教會與政府。然而王公貴族與教會等上層階級卻幾乎無需繳稅，人民早已憤恨不平。

另一方面，法國為了支持美國脫離英國獨立，也派軍參與美國獨立戰爭，導致政府財政更加困難。為了增加稅收，王室於 1789 年召開由教士、貴族與平民組成的三級會議，希望透過決議，名正言順地向貴族與教會加徵土地稅。不過貴族與教會不願放棄既得利益，百般阻撓，積怨已深的平民代表乾脆自組國民會議，號召制憲。國王立即派兵鎮壓，結果反而激起法國大革命，成功推翻帝制，建立歐洲第一個民主共和國。

在全面除舊布新的改革聲浪下，國民議會要求法國科學院制定一套十進位制的全新度量衡，做為全國統一的標準。 1791 年，法國科學院定義出公尺的長度與公斤的大小，再據以制定長度、面積、體積、重量等單位，這套十進位制的公制便一直沿用至今，通行全世界。

蝦咪，圓周變成 400 度，三角函數怎麼辦？

除此之外，任何傳統非十進位的方式，在當時學者的眼中，也都不科學。所以複雜的貨幣單位（害得巴斯卡不得不發明加法器）要改成十進位，甚至傳統六十進位的時間單位也得改，改為一天 10 小時、一小時 100 分鐘、一分鐘 100 秒。不僅如此，就連圓周 360 度也改為 400 度。這麼一來直角不再是 90 度，而是 100 度，從古希臘以降的三角函數全亂了，勢必得重新計算數值。

三角函數表與對數表一樣重要，除了用於天文計算，航海導航、土地測量也都需要用到。法國大革命後，百廢待興，重新測繪地籍圖也是其中一項首要之務，更急需新定義的三角函數。

這項重責大任落到了數學家德普羅尼 （Gaspard de Prony）身上。他不僅要製作全新的三角函數表，也打算重新編製對數表，而且精確度要提高到前所未有的程度。這意謂著表格裡的數值比以往切分得更細，也就是說要塞進更多數字，而且每個數字要算到小數點後更多位數（至少 14 位數以上）。

數學家德普羅尼 （Gaspard de Prony, 1955 – 1839）。圖/Wikipedia

這當然是件浩大的工程。當年納皮爾憑花了十幾年的時間，才算出 90 頁的對數表，如今德普羅尼所面對的計算量，至少是納皮爾的千百倍以上。德普羅尼雖然是帶領著一個團隊，但即使大家分頭計算，也要算到地老天荒；而且讓法國數學家完全投入單調重複的計算工作，根本是浪費他們的才能。面對這個不可能的任務，德普羅尼突然靈光一閃，想到蘇格蘭經濟學家亞當·斯密 （Adam Smith）所寫的《國富論》（The Wealth of Nations）。

工廠有作業員，計算何不用計算員？

《國富論》出版於 1776 年，堪稱奠定現代經濟學、同時也是影響最深遠的經典著作。這本書主要闡述市場運作彷彿有隻「看不見的手」在指導，使得全體國民致力於追求個人利益的同時，也促進了群體的福祉裡面。除了市場面，亞當·斯密也論及生產方式，主張專業分工才能提高生產效率。

他舉大頭針工廠為例，大頭針的製造過程大致可分為把鐵絲拉長、拉直、裁剪、削尖、拋光、結合針頭等步驟。相較於讓每個工人從頭到尾一手包辦，改成讓每個工人只專注於其中一項製程，反而能大幅提升生產效率。

德普羅尼認為這也可以套用到對數表與三角函數表的計算。於是他把計算工作拆分成三個階段：

• 第一階段只需要五、六位數學家，他們負責將對數與三角函數轉換為適當的多項式函數，並決定計算的數值範圍，以及精確到小數點幾位。
• 第二階段由七、八位學生拆解多項式函數，直到算出固定差值，就可以做出「差分法」的計算工作表，留給下個階段的人計算（可參見底下說明）。
• 大量的計算工作都在第三階段，由六十到八十位計算員執行 。這些計算員只要會加法就可以了，不需懂數學；其中不少人原本是宮廷的美髮師，大革命後便失業了，而被德普羅尼找來當計算員。事實上 “computer” 這個字在代表電腦之前，原來就是指專門負責計算的人。他們只要根據計算工作表上的數字，逐格填入累加的結果，就能算出所需要的函數值。

武林秘笈無用武之地，武功心法成後世典範

從 1793 年開始，德普羅尼帶著團隊以這種分工合作的方法，於 1796 年就完成多達二十萬個對數的對數表（前十萬個算到小數點後 19 位，後十萬個到第 24 位），與精確到千分之一度的三角函數表。

不過法國大革命後，派系互鬥，政局幾無寧日，德普羅尼遲遲未能獲得經費印刷成冊。1804 年拿破崙廢除共和，即位皇帝沒多久後，就將時間與圓周角度恢復成舊制，新三角函數表已毫無用處。而太過精確的對數表，在實際應用上也不需要，因此德普羅尼等於白忙一場，多達十七冊的數值表手稿從此束之高閣，收藏在法國科學院的圖書館內。

德普羅尼的曠世之作雖然未能在當代發揮作用，但是他以生產線專業分工的方式，處理大量計算工作的創舉，卻成為後世的典範。在現代電腦出現之前，這個方式被廣泛運用於大型專案，例如美國太空總署初期的太空計畫，便雇用了大量女性當計算員。（電影《關鍵少數》（Hidden Figures）的主角便是其中幾位卓越的非裔女性。）

另一方面，深藏在法國科學院內的十七冊手稿，仍等待著有緣人發現它的真諦。十幾年後，一位來自英國的青年數學家來到法國科學院，才得知這份寶典的存在；他將從中獲得啟示，著手打造史上第一部真正的計算機。

小教室：差分法

如果知道兩個函數值之間的差值，也就是f(x+1) = f(x) + D，那麼只要不斷累加差值 D，便能推算出多項式函數的所有答案，這就是差分法。

以 f(x) = x² + x + 41 這個函數為例^註；f(x+1) = (x+1)²+(x+1)+41 = x²+2x+1+x+1+41 = f(x)+(2x+2) ，2x+2為第一階差值。再對 f’(x)=2x+2如法炮製，可得出 f’(x+1) = f’(x)+2，即第二階差值固定為 2。

知道第二階差值等於 2 ，就可以不斷累加，得出第一階差值：2、4、6、8、10、……。

然後從 x = 0 的函數值 f(0) = 41 開始，再不斷累加第一階差值，即 f(1)=41+2=43； f(2)=43+4=47； f(3)=47+6=53；…… 以此類推，一直計算到所需要的位數為止。

二次函數的固定差值出現在第二階，三次函數則出現在第三階，以此類推。所以任何多項式函數一定可以用差分法算出答案。這個方法不用乘法，光靠加法就能算出任何多項式函數的值，因此不用懂數學也能幫忙計算。

• 註：此處舉例的函數是出自大數學家歐拉（Leonhard Euler）於 1772 年發現的質數公式，前 40 個函數值都是質數。