〈玉山與陝西的距離──探討于右任是否看得見故鄉？〉——2019數感盃／國中組佳作

• 文／郭君逸 │國立台灣師範大學數學系副教授、魔術方塊收藏家
• 本文轉載自 UniMath《為什麼紙吸管總是插不進去，但塑膠吸管可以？》

近幾年國內環保意識抬頭，因為塑膠吸管不能回收，造成大量的垃圾，所以環保署在 2019 年 7 月起禁用一次性塑膠吸管，不少飲料店紛紛改用成本高出許多的紙吸管，咖啡廳、餐廳則改用可重複清洗使用的金屬吸管，金屬吸管通常都是內用，直接放入杯中，不用插，所以還好……

但紙吸管就常常讓人覺得非常難用，插到爛掉還插不進去，為什麼呢？

讓我們從這些年吸管的演變開始說起。

台灣的街頭常常人手一杯手搖飲，珍珠奶茶更是紅遍全球。在二十幾年前，很多手搖飲料店的飲料杯就像現在麥當勞裝可樂的杯子一樣，是紙杯蓋上塑膠蓋，然後插「圓柱狀」的吸管。

直到葉益芳先生發明了封口機後，手搖飲逐漸換成如今常見的封口杯，隨意放置飲料也不會流出來，非常方便。全面換成封口杯之後，有一樣東西也跟著產生微妙變化，那就是「吸管」。

吸管的一端必須變尖，方便直接插穿杯子的封口膜。

筆者前幾天買了一杯珍奶，結果吸管都插爛了還插不進去，加上天氣炎熱，火氣一上來索性就不喝了，滿腦子一直在想「為什麼吸管越來越難插」，直到我發現原因寫完這篇文章，珍奶就這樣放在研究室的桌上還沒喝，應該已經壞了……

高中的時候大家可能都學過二次曲線，雖然課程內容著重在代數上的運算，大部份老師或多或少還是會提一下古典幾何中的圓錐截痕，或稱圓錐曲線，例如下圖展示平面在雙圓錐上產生的各種截痕。

當雙圓錐退化成圓柱，此時的截痕就會變成這樣，看起來有點像一根吸管被切了一刀。

但是，你手中的吸管真的長這樣嗎？

這裡先考考大家，吸管從側面看過去，長相會是下列哪一個圖？

答案是 D！

什麼！！！怎麼跟圓錐截痕不一樣？！

因為…吸管就不是圓錐截痕啊！吸管就不是圓錐截痕啊！吸管就不是圓錐截痕啊！

答案違背我們直覺的原因在於，吸管用剪刀剪或用裁刀裁切時，吸管會先被刀壓扁，然後才直直剪過去，最後吸管的彈性，會再讓它彈回來形成空心柱體。

用數學來看吸管 

剪裁前的吸管本身是圓柱（設半徑為 1 ），將之直立於 xy-平面利用參數式來描述吸管截痕曲線的話，它會是

r(t) = <cos t, sin t, z(t)>

這種形式，t 是繞圓的角度，觀察重點在於高度 z 是多少了。若是圓柱截痕，截平面 45 度切下去的話，即是用平面 z=x 來切，此時 r(t) = <cos t, sin t, cost>。調整 t 的範圍，可以畫出下面的 3D 圖。

但問題在於剪吸管時，吸管會先被剪刀壓扁，再沿 z=x 剪過去，也就是 z 隨著 x 等比例增加，然後吸管再彈回，此時就好像將這張壓扁的紙貼在圓柱上，換句話說在固定一個高度 z 時吸管回復至圓形的狀態，亦即圓參數式中的角度隨著 z(t) = t 做變化，所以截面曲線就是 r(t) = <cos t, sin t, t>，畫出來的3D 吸管如下圖。

從吸管的側面看過去，相當於投影在 xz-平面，即為 z=cos^-1 x 的圖形。吸管橫擺也可以說成 z=cos x 或 z=sin x 週期函數中的一部分。

你知道大多數吸管並不是切 45 度嗎？

因為這樣切最後會剩太多飲料吸不起來，造成浪費。一般會介於 25 度至 40 度之間較恰當。例如下圖中吸管大約是切 37 度左右。若將吸管直著擺，尖端從側面看，斜率最大，所以插吸管時，應該要垂直插最省力。

很多人將原因歸咎於紙製吸管比較軟，然而真相恐怕並非如此。紙浸了水後的確會變軟，但還沒插進杯裡的紙吸管其實是硬的，甚至比塑膠吸管硬多了。

最主要的原因還是在於形狀，紙吸管的切面是橢圓，而不像塑膠吸管一樣有個尖尾。

為什麼紙吸管的切面是橢圓形呢？

相較於塑膠，紙的彈性沒那麼大，被裁刀重重一壓就扁了，回復不了圓柱狀，除了造型不好看，恐怕壓扁的吸管也不好用。因此，紙吸管的生產過程是在不變形的情況下鋸斷，或是使用雷射切割，故其截面接近我們課本所說的橢圓。因為沒有「尖端」，所以非常難插。

所以紙吸管到底要怎麼用才好？

在此有個小建議，讀者以後拿到紙吸管，先不要急著插，先用剪刀剪一下，就會好插很多；而使用紙吸管的飲料店，也可以在櫃枱準備把剪刀和方格紙，平時沒事剪剪吸管順便畫三角函數，要衛生一點的話就讓顧客自己剪，方便、省錢、環保還可以學數學，可說是一舉數得啊！

• 本文轉載自 UniMath《為什麼紙吸管總是插不進去，但塑膠吸管可以？》

法國大革命後，重新制定度量衡，一律改成十進位的公制。沒想到就連時間、角度也都要改，但如此一來，三角函數就得重新計算。一位法國數學家突法奇想，將工廠製造大頭針的方法用來計算對數表與三角函數表。這個分工合作的方法影響深遠，不但美國太空總署初期的太空任務仍然沿用，也啟發了一位英國數學家設計第一台真正的計算機。

本文為系列文章，上一篇請見：從加減到乘除，四則計算器終於現身│《電腦簡史》 齒輪時代（十六）

法國大革命，度量衡也要革命

歷史總是不斷重演，當天災與人禍的雙重壓力到達頂點，往往造成政權更替。 1780 年代，法國因為連續乾旱與極端氣候導致糧食不足、民不聊生，一般人民更無力繳稅給地主、教會與政府。然而王公貴族與教會等上層階級卻幾乎無需繳稅，人民早已憤恨不平。

另一方面，法國為了支持美國脫離英國獨立，也派軍參與美國獨立戰爭，導致政府財政更加困難。為了增加稅收，王室於 1789 年召開由教士、貴族與平民組成的三級會議，希望透過決議，名正言順地向貴族與教會加徵土地稅。不過貴族與教會不願放棄既得利益，百般阻撓，積怨已深的平民代表乾脆自組國民會議，號召制憲。國王立即派兵鎮壓，結果反而激起法國大革命，成功推翻帝制，建立歐洲第一個民主共和國。

在全面除舊布新的改革聲浪下，國民議會要求法國科學院制定一套十進位制的全新度量衡，做為全國統一的標準。 1791 年，法國科學院定義出公尺的長度與公斤的大小，再據以制定長度、面積、體積、重量等單位，這套十進位制的公制便一直沿用至今，通行全世界。

蝦咪，圓周變成 400 度，三角函數怎麼辦？

除此之外，任何傳統非十進位的方式，在當時學者的眼中，也都不科學。所以複雜的貨幣單位（害得巴斯卡不得不發明加法器）要改成十進位，甚至傳統六十進位的時間單位也得改，改為一天 10 小時、一小時 100 分鐘、一分鐘 100 秒。不僅如此，就連圓周 360 度也改為 400 度。這麼一來直角不再是 90 度，而是 100 度，從古希臘以降的三角函數全亂了，勢必得重新計算數值。

三角函數表與對數表一樣重要，除了用於天文計算，航海導航、土地測量也都需要用到。法國大革命後，百廢待興，重新測繪地籍圖也是其中一項首要之務，更急需新定義的三角函數。

這項重責大任落到了數學家德普羅尼 （Gaspard de Prony）身上。他不僅要製作全新的三角函數表，也打算重新編製對數表，而且精確度要提高到前所未有的程度。這意謂著表格裡的數值比以往切分得更細，也就是說要塞進更多數字，而且每個數字要算到小數點後更多位數（至少 14 位數以上）。

數學家德普羅尼 （Gaspard de Prony, 1955 – 1839）。圖/Wikipedia

這當然是件浩大的工程。當年納皮爾憑花了十幾年的時間，才算出 90 頁的對數表，如今德普羅尼所面對的計算量，至少是納皮爾的千百倍以上。德普羅尼雖然是帶領著一個團隊，但即使大家分頭計算，也要算到地老天荒；而且讓法國數學家完全投入單調重複的計算工作，根本是浪費他們的才能。面對這個不可能的任務，德普羅尼突然靈光一閃，想到蘇格蘭經濟學家亞當·斯密 （Adam Smith）所寫的《國富論》（The Wealth of Nations）。

工廠有作業員，計算何不用計算員？

《國富論》出版於 1776 年，堪稱奠定現代經濟學、同時也是影響最深遠的經典著作。這本書主要闡述市場運作彷彿有隻「看不見的手」在指導，使得全體國民致力於追求個人利益的同時，也促進了群體的福祉裡面。除了市場面，亞當·斯密也論及生產方式，主張專業分工才能提高生產效率。

他舉大頭針工廠為例，大頭針的製造過程大致可分為把鐵絲拉長、拉直、裁剪、削尖、拋光、結合針頭等步驟。相較於讓每個工人從頭到尾一手包辦，改成讓每個工人只專注於其中一項製程，反而能大幅提升生產效率。

德普羅尼認為這也可以套用到對數表與三角函數表的計算。於是他把計算工作拆分成三個階段：

• 第一階段只需要五、六位數學家，他們負責將對數與三角函數轉換為適當的多項式函數，並決定計算的數值範圍，以及精確到小數點幾位。
• 第二階段由七、八位學生拆解多項式函數，直到算出固定差值，就可以做出「差分法」的計算工作表，留給下個階段的人計算（可參見底下說明）。
• 大量的計算工作都在第三階段，由六十到八十位計算員執行 。這些計算員只要會加法就可以了，不需懂數學；其中不少人原本是宮廷的美髮師，大革命後便失業了，而被德普羅尼找來當計算員。事實上 “computer” 這個字在代表電腦之前，原來就是指專門負責計算的人。他們只要根據計算工作表上的數字，逐格填入累加的結果，就能算出所需要的函數值。

武林秘笈無用武之地，武功心法成後世典範

從 1793 年開始，德普羅尼帶著團隊以這種分工合作的方法，於 1796 年就完成多達二十萬個對數的對數表（前十萬個算到小數點後 19 位，後十萬個到第 24 位），與精確到千分之一度的三角函數表。

不過法國大革命後，派系互鬥，政局幾無寧日，德普羅尼遲遲未能獲得經費印刷成冊。1804 年拿破崙廢除共和，即位皇帝沒多久後，就將時間與圓周角度恢復成舊制，新三角函數表已毫無用處。而太過精確的對數表，在實際應用上也不需要，因此德普羅尼等於白忙一場，多達十七冊的數值表手稿從此束之高閣，收藏在法國科學院的圖書館內。

德普羅尼的曠世之作雖然未能在當代發揮作用，但是他以生產線專業分工的方式，處理大量計算工作的創舉，卻成為後世的典範。在現代電腦出現之前，這個方式被廣泛運用於大型專案，例如美國太空總署初期的太空計畫，便雇用了大量女性當計算員。（電影《關鍵少數》（Hidden Figures）的主角便是其中幾位卓越的非裔女性。）

另一方面，深藏在法國科學院內的十七冊手稿，仍等待著有緣人發現它的真諦。十幾年後，一位來自英國的青年數學家來到法國科學院，才得知這份寶典的存在；他將從中獲得啟示，著手打造史上第一部真正的計算機。

小教室：差分法

如果知道兩個函數值之間的差值，也就是f(x+1) = f(x) + D，那麼只要不斷累加差值 D，便能推算出多項式函數的所有答案，這就是差分法。

以 f(x) = x² + x + 41 這個函數為例^註；f(x+1) = (x+1)²+(x+1)+41 = x²+2x+1+x+1+41 = f(x)+(2x+2) ，2x+2為第一階差值。再對 f’(x)=2x+2如法炮製，可得出 f’(x+1) = f’(x)+2，即第二階差值固定為 2。

知道第二階差值等於 2 ，就可以不斷累加，得出第一階差值：2、4、6、8、10、……。

然後從 x = 0 的函數值 f(0) = 41 開始，再不斷累加第一階差值，即 f(1)=41+2=43； f(2)=43+4=47； f(3)=47+6=53；…… 以此類推，一直計算到所需要的位數為止。

二次函數的固定差值出現在第二階，三次函數則出現在第三階，以此類推。所以任何多項式函數一定可以用差分法算出答案。這個方法不用乘法，光靠加法就能算出任何多項式函數的值，因此不用懂數學也能幫忙計算。

• 註：此處舉例的函數是出自大數學家歐拉（Leonhard Euler）於 1772 年發現的質數公式，前 40 個函數值都是質數。

儘管充斥錯誤，托勒密星表仍沿用一千四百多年，直到十六世紀末才由第谷耗費二十年的光陰，以裸眼觀測天體，重新繪製，為克卜勒發現行星運動三大定律鋪好道路。惟世人皆不知，在第谷星表之前一百六十年，中亞地區就有人繪製了可與之媲美的星表；而這位天文學家竟是帖木兒之孫，曾統治帖木兒帝國的兀魯伯（Ulugh Beg, 1394－1449, 或譯烏魯伯格）。

兀魯伯的父親是帖木兒的四子，於1405年繼位後，將帖木兒帝國的國都遷往赫拉特，而於1409年將原來的國都撒馬爾罕（位於今烏茲別克）交給兀魯伯管轄。酷愛數學、天文，還會創作詩歌的兀魯伯將撒馬爾罕建設成學術昌盛、人文薈萃的城市，並於1429年建造了巨大的天文台，吸引精通天文、數學的伊斯蘭學者前來。

圓形建築的兀魯伯天文台高35米、直徑50米，內有各種當時最先進的觀測儀器，以及一具半徑達36米的巨大六分儀，為此地面還得往下挖11米。鑒於過往的星表都是修訂自托勒密星表，兀魯伯決定帶領天文學家從零開始，逐一標定，終於在1437年完成自托勒密之後，第一份完全憑實際觀測製作而成的星表，也是當時最精確的星表，其中包括了1018顆恆星的位置，以及日、月與五大行星的運行資料。

兀魯伯算出恆星年應為365天5小時49分15秒，只比正確數字多了25秒，比後來哥白尼的估算還準。他還算出地軸的傾斜角度是23.52度，也是優於第谷的估算。在數學方面，他建立的三角函數表精確到至少小數點以下八位。
然而兀魯伯的政治、軍事手段遠不如他的科學天份。1447年，他因父親過世而繼承王位；但第二年赫拉特總督叛變，兀魯伯率兵征討卻敗戰而返，不料他的長子竟也趁此叛變，意圖篡位。兀魯伯因此遭到拘禁，直到1449年的今天終被自己的兒子下令處死。

兀魯伯死後，天文台即遭到破壞而荒廢，直到1908年才被俄國的考古學家找到。而他製作的星表雖然有流傳下來，卻在歐洲的圖書館中蒙塵，等到第谷死後五十年才被重新發現。令人不禁感嘆人類的天文學進展不知因此遲了多少年哪！

本文同時收錄於《科學史上的今天：歷史的瞬間，改變世界的起點》，由究竟出版社出版。