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〈玉山與陝西的距離──探討于右任是否看得見故鄉?〉——2019數感盃/國中組佳作

數感實驗室_96
・2019/05/23 ・2004字 ・閱讀時間約 4 分鐘 ・SR值 532 ・七年級
相關標籤: 三角函數 (5)

數感盃青少年寫作競賽」提供國中、高中職學生在培養數學素養後,一個絕佳的發揮舞台。本競賽鼓勵學生跨領域學習,運用數學知識,培養及展現邏輯思考與文字撰寫的能力,盼提升臺灣青少年科普寫作的風氣以及對數學的興趣。

本文為 2019數感盃青少年寫作競賽 / 高中職組專題報導類佳作 之作品,為盡量完整呈現學生之作品樣貌,本文除首圖及標點符號、錯字之外並未進行其他大幅度編修。

作者:陳佳儀、葉又銘│臺北市立龍門國中

從台灣最高峰玉山,是否能眺望陝西?圖/wikipedia

望故鄉
「葬我於高山之上兮,望我故鄉;故鄉不可見兮,永不能忘。
葬我於高山之上兮,望我大陸;大陸不可見兮,只有痛哭。
天蒼蒼,野茫茫,天之上,國有殤!」

2012年于右任的書法十四屏在北京銀座拍賣,以 747.5 萬元人民幣成交,創下了近代草書書法作品拍賣紀錄。于右任到底是誰呢?或許你曾到過鼎泰豐用餐,它的商號招牌便是在 40年前由創辦人向于右任求來的墨寶;又或許你曾看過許多國小大禮堂的「養天地之正氣,法古今之完人」的對聯;又或者台電帳單上的「台灣電力公司」字樣、行天宮國立歷史博物館東海大學等機關名稱題署,可說身邊處處有于右任的字跡作品。

被譽為當代草聖的美髯公于右任,書法藝術自成一家,也是當代標準草書的制定者。個性平易近人,很多人慕名前來求字,而他總是滿口答應,也不談金錢,瀟灑的揮毫、贈與,所以,才可以在全台各地發現他墨寶的蹤跡。那麼,問題來了,為何這樣一位注重名節、兩袖清風的溫和儒家長者,臨終前會寫出如此悲憤的詩句呢?

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于右任是現今陝西咸陽市三原縣人,自幼便失恃,依親大伯母養育照顧,十歲進入私塾,而後苦學有成,年少時即被譽為西北奇才,並在十九歲時與夫人高仲林成親。于右任 25歲中舉後,理當可以在朝廷中謀得一官半職,過著安逸的生活,卻因悲憫飢民,作詩嘲諷時政而被通緝,流亡上海投入革命事業,成為孫中山的忠實追隨者,參與了無數次反抗清廷的革命與政變,是國民黨的元老級成員。之後於國共內戰時,因身為當時政壇及文壇領袖(監察院長及標準草書制定者),遭當時的蔣介石總統以為維持國民政府「正統」的名義,半強行挾持至台灣,渡海後因思念身在大陸的妻兒、親友,創作了許多有關思念故鄉的詩作與散文。其中,<望故鄉>是他將自己生前的渴望寄託在詩句之中,希望死後將他葬在高山之上,遙望中國故土。這次我們就是要探討,于右任在他所盼望的台灣最高的高山之上,是否見得到他朝思暮想的故鄉故土?若是見不到,他視線所及最遠又能到何地?

以地心O為圓心,地表至地心大略距離 6370km為半徑,玉山山底為A點,主峰峰頂為B點,並設可見最遠距離為C點,欲求弧AC之長度。線段AB為玉山高度 4km,加上線段AO(也就是半徑),使線段BO為直角三角形斜邊線,經B點作圓O的切線,交圓O於C點,以線段BC、線段CO為兩股長,形成直角三角形BOC,角BCO為直角。已知線段CO長 6370km,線段BO長 (6370+4) = 6374km,由畢氏定理可知線段BC長度約為 225.778653km。
再求X

\sin{X}=\frac{225.778653}{6374}=0.035422

X=\sin^{-1}(0.35422)=2.029956

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弧AC長度為 2× 6370× 2.029956÷ 360= 225.6854km

從數學算式可以證實,于右任並不只是看不到他在陝西的故鄉而已,他的視線範圍連台灣海峽都跨不過去(玉山位處於南投信義鄉,離距離台灣最近的廈門市都有 308公里左右)。

事實上,詩人最終沒有埋骨在玉山遠望家鄉,而是葬在陽明山,而當時政府立於玉山于右任紀念銅像,也在 1996年被毀損。也許已故去的右老並不在乎這些,于右任一生寫下千餘首詩篇,從年少時意氣昂揚的「書生報國無他物,唯有手中筆如刀」。在臺灣居閒職時,對當時執政者蔣經國先生的期許「計利當計天下利,求名應求萬世名」。和對遙遠故鄉結髮妻子的懷念「白頭夫妻白頭淚」。我們上幾代的許多長輩們即使流落異鄉也難以忘懷孕育自己生長、付出青春熱血和理念的土地。這是時代的悲劇,但是對鄉土國家的依戀,一直是于右任詩中的精神魂魄。在數學學理與現實中「故鄉不可見兮」、「大陸不可見兮」,然而他詩句中卻仍然寫下「葬我於高山之上兮」,即使看不到,仍然盼望著近一些、再近一些,再讓自己的視線放遠一點,望其故鄉、望其大陸、願其——歸鄉。

更多 2019數感盃青少年寫作競賽內容,歡迎參考 2019數感盃特輯、數感實驗室官網粉絲頁喔。

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數感實驗室_96
76 篇文章 ・ 50 位粉絲
數感實驗室的宗旨是讓社會大眾「看見數學」。 數感實驗室於 2016 年 4 月成立 Facebook 粉絲頁,迄今超過 44,000 位粉絲追蹤。每天發布一則數學文章,內容包括介紹數學新知、生活中的數學應用、或是數學和文學、藝術等跨領域結合的議題。 詳見網站:http://numeracy.club/ 粉絲專頁:https://www.facebook.com/pg/numeracylab/

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ECU: 汽車大腦的演化與挑戰
鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2025/07/02 ・3793字 ・閱讀時間約 7 分鐘

本文與 威力暘電子 合作,泛科學企劃執行。

想像一下,當你每天啟動汽車時,啟動的不再只是一台車,而是一百台電腦同步運作。但如果這些「電腦」突然集體當機,後果會有多嚴重?方向盤可能瞬間失靈,安全氣囊無法啟動,整台車就像失控的高科技廢鐵。這樣的「系統崩潰」風險並非誇張劇情,而是真實存在於你我日常的駕駛過程中。

今天,我們將深入探討汽車電子系統「逆天改運」的科學奧秘。究竟,汽車的「大腦」—電子控制單元(ECU),是如何從單一功能,暴增至上百個獨立系統?而全球頂尖的工程師們,又為何正傾盡全力,試圖將這些複雜的系統「砍掉重練」、整合優化?

第一顆「汽車大腦」的誕生

時間回到 1980 年代,當時的汽車工程師們面臨一項重要任務:如何把汽油引擎的每一滴燃油都壓榨出最大動力?「省油即省錢」是放諸四海皆準的道理。他們發現,關鍵其實潛藏在一個微小到幾乎難以察覺的瞬間:火星塞的點火時機,也就是「點火正時」。

如果能把點火的精準度控制在「兩毫秒」以內,這大約是你眨眼時間的百分之一到千分之一!引擎效率就能提升整整一成!這不僅意味著車子開起來更順暢,還能直接省下一成的油耗。那麼,要如何跨過這道門檻?答案就是:「電腦」的加入!

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工程師們引入了「微控制器」(Microcontroller),你可以把它想像成一顆專注於特定任務的迷你電腦晶片。它能即時讀取引擎轉速、進氣壓力、油門深度、甚至異常爆震等各種感測器的訊號。透過內建的演算法,在千分之一秒、甚至微秒等級的時間內,精準計算出最佳的點火角度,並立刻執行。

從此,引擎的性能表現大躍進,油耗也更漂亮。這正是汽車電子控制單元(ECU)的始祖—專門負責點火的「引擎控制單元」(Engine Control Unit)。

汽車電子控制單元的始祖—專門負責點火的「引擎控制單元」(Engine Control Unit)/ 圖片來源:shutterstock

ECU 的失控暴增與甜蜜的負荷

第一顆 ECU 的成功,在 1980 年代後期點燃了工程師們的想像:「這 ECU 這麼好用,其他地方是不是也能用?」於是,ECU 的應用範圍不再僅限於點火,燃油噴射量、怠速穩定性、變速箱換檔平順度、ABS 防鎖死煞車,甚至安全氣囊的引爆時機……各種功能都交給專屬的 ECU 負責 。

然而,問題來了:這麼多「小電腦」,它們之間該如何有效溝通?

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為了解決這個問題,1986 年,德國的博世(Bosch)公司推出了一項劃時代的發明:控制器區域網路(CAN Bus)。你可以將它想像成一條專為 ECU 打造的「神經網路」。各個 ECU 只需連接到這條共用的線路上,就能將訊息「廣播」給其他單元。

更重要的是,CAN Bus 還具備「優先通行」機制。例如,煞車指令或安全氣囊引爆訊號這類攸關人命的重要訊息,絕對能搶先通過,避免因資訊堵塞而延誤。儘管 CAN Bus 解決了 ECU 之間的溝通問題,但每顆 ECU 依然需要獨立的電源線、接地線,並連接各種感測器和致動器。結果就是,一輛汽車的電線總長度可能達到 2 到 4 公里,總重量更高達 50 到 60 公斤,等同於憑空多載了一位乘客的重量。

另一方面,大量的 ECU 與錯綜複雜的線路,也讓「電子故障」開始頻繁登上汽車召回原因的榜首。更別提這些密密麻麻的線束,簡直是設計師和維修技師的惡夢。要檢修這些電子故障,無疑讓人一個頭兩個大。

大量的 ECU 與錯綜複雜的線路,也讓「電子故障」開始頻繁登上汽車召回原因的榜首。/圖片來源:shutterstock

汽車電子革命:從「百腦亂舞」到集中治理

到了2010年代,汽車電子架構迎來一場大改革,「分區架構(Zonal Architecture)」搭配「中央高效能運算(HPC)」逐漸成為主流。簡單來說,這就像在車內建立「地方政府+中央政府」的管理系統。

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可以想像,整輛車被劃分為幾個大型區域,像是車頭、車尾、車身兩側與駕駛艙,就像數個「大都會」。每個區域控制單元(ZCU)就像「市政府」,負責收集該區所有的感測器訊號、初步處理與整合,並直接驅動該區的馬達、燈光等致動器。區域先自理,就不必大小事都等中央拍板。

而「中央政府」則由車用高效能運算平台(HPC)擔任,統籌負責更複雜的運算任務,例如先進駕駛輔助系統(ADAS)所需的環境感知、物體辨識,或是車載娛樂系統、導航功能,甚至是未來自動駕駛的決策,通通交由車輛正中央的這顆「超級大腦」執行。

乘著這波汽車電子架構的轉型浪潮中, 2008 年成立的台灣本土企業威力暘電子,便精準地切入了這個趨勢,致力於開發整合 ECU 與區域控制器(Domain Controller)功能的模組化平台。他們專精於開發電子排檔、多功能方向盤等各式汽車電子控制模組。為了確保各部件之間的溝通順暢,威力暘提供的解決方案,就像是將好幾個「分區管理員」的職責,甚至一部分「超級大腦」的功能,都整合到一個更強大的硬體平台上。

這些模組不僅擁有強大的晶片運算能力,可同時支援 ADAS 與車載娛樂,還能兼容多種通訊協定,大幅簡化車內網路架構。如此一來,車廠在追求輕量化和高效率的同時,也能顧及穩定性與安全性。

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2008 年威力暘電子致力於開發整合 ECU 與區域控制器(Domain Controller)功能的模組化平台 /圖片來源:shutterstock

萬無一失的「汽車大腦」:威力暘的四大策略

然而,「做出來」與「做好」之間,還是有差別。要如何確保這顆集結所有功能的「汽車大腦」不出錯?具體來說,威力暘電子憑藉以下四大策略,築起其產品的可靠性與安全性:

  1. AUTOSAR : 導入開放且標準化的汽車軟體架構 AUTOSAR。分為應用層、運行環境層(RTE)和基礎軟體層(BSW)。就像在玩「樂高積木」,ECU 開發者能靈活組合模組,專注在核心功能開發,從根本上提升軟體的穩定性和可靠性。
  2. V-Model 開發流程:這是一種強調嚴謹、能在早期發現錯誤的軟體開發流程。就像打勾 V 字形般,左側從上而下逐步執行,右側則由下而上層層檢驗,確保每個階段的安全要求都確實落實。
  3. 基於模型的設計 MBD(Model-Based Design) 威力暘的工程師們會利用 MatLab®/Simulink® 等工具,把整個 ECU 要控制的系統(如煞車),用數學模型搭建起來,然後在虛擬環境中進行大量的模擬和測試。這等於在實體 ECU 誕生前,就能在「數位雙生」世界中反覆演練、預先排除設計缺陷,,並驗證安全機制是否有效。
  4. Automotive SPICE (ASPICE) : ASPICE 是國際公認的汽車軟體「品質管理系統」,它不直接評估最終 ECU 產品本身的安全性,而是深入檢視團隊在軟體開發的「整個過程」,也就是「方法論」和「管理紀律」是否夠成熟、夠系統化,並只根據數據來評估品質。

既然 ECU 掌管了整輛車的運作,其能否正常運作,自然被視為最優先項目。為此,威力暘嚴格遵循汽車業中一本堪稱「安全聖經」的國際標準:ISO 26262。這套國際標準可視為一本針對汽車電子電氣系統(特別是 ECU)的「超嚴格品管手冊」和「開發流程指南」,從概念、設計、測試到生產和報廢,都詳細規範了每個安全要求和驗證方法,唯一目標就是把任何潛在風險降到最低

有了上述這四項策略,威力暘確保其產品從設計、生產到交付都符合嚴苛的安全標準,才能通過 ISO 26262 的嚴格檢驗。

然而,ECU 的演進並未就此停下腳步。當ECU 的數量開始精簡,「大腦」變得更集中、更強大後,汽車產業又迎來了新一波革命:「軟體定義汽車」(Software-Defined Vehicle, SDV)。

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軟體定義汽車 SDV:你的愛車也能「升級」!

未來的汽車,會越來越像你手中的智慧型手機。過去,車輛功能在出廠時幾乎就「定終身」,想升級?多半只能換車。但在軟體定義汽車(SDV)時代,汽車將搖身一變成為具備強大運算能力與高速網路連線的「行動伺服器」,能夠「二次覺醒」、不斷升級。透過 OTA(Over-the-Air)技術,車廠能像推送 App 更新一樣,遠端傳送新功能、性能優化或安全修補包到你的車上。

不過,這種美好願景也將帶來全新的挑戰:資安風險。當汽車連上網路,就等於向駭客敞開潛在的攻擊入口。如果車上的 ECU 或雲端伺服器被駭,輕則個資外洩,重則車輛被遠端鎖定或惡意操控。為了打造安全的 SDV,業界必須遵循像 ISO 21434 這樣的車用資安標準。

威力暘電子運用前面提到的四大核心策略,確保自家產品能符合從 ISO 26262 到 ISO 21434 的國際認證。從品質管理、軟體開發流程,到安全認證,這些努力,讓威力暘的模組擁有最高的網路與功能安全。他們的產品不僅展現「台灣智造」的彈性與創新,也擁有與國際大廠比肩的「車規級可靠度」。憑藉這些實力,威力暘已成功打進日本 YAMAHA、Toyota,以及歐美 ZF、Autoliv 等全球一線供應鏈,更成為 DENSO 在台灣少數核准的控制模組夥伴,以商用車熱系統專案成功打入日系核心供應鏈,並自 2025 年起與 DENSO 共同展開平台化量產,驗證其流程與品質。

毫無疑問,未來車輛將有更多運作交由電腦與 AI 判斷,交由電腦判斷,比交由人類駕駛還要安全的那一天,離我們不遠了。而人類的角色,將從操作者轉為監督者,負責在故障或斷網時擔任最後的保險。透過科技讓車子更聰明、更安全,人類甘願當一個「最弱兵器」,其實也不錯!

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為什麼紙吸管總是插不進去?你可以這樣做!
UniMath_96
・2020/09/26 ・2795字 ・閱讀時間約 5 分鐘 ・SR值 422 ・四年級

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圖/UniMath

近幾年國內環保意識抬頭,因為塑膠吸管不能回收,造成大量的垃圾,所以環保署在 2019 年 7 月起禁用一次性塑膠吸管,不少飲料店紛紛改用成本高出許多的紙吸管,咖啡廳、餐廳則改用可重複清洗使用的金屬吸管,金屬吸管通常都是內用,直接放入杯中,不用插,所以還好……

但紙吸管就常常讓人覺得非常難用,插到爛掉還插不進去,為什麼呢?

讓我們從這些年吸管的演變開始說起。

台灣的街頭常常人手一杯手搖飲,珍珠奶茶更是紅遍全球。在二十幾年前,很多手搖飲料店的飲料杯就像現在麥當勞裝可樂的杯子一樣,是紙杯蓋上塑膠蓋,然後插「圓柱狀」的吸管。

圖/UniMath

直到葉益芳先生發明了封口機後,手搖飲逐漸換成如今常見的封口杯,隨意放置飲料也不會流出來,非常方便。全面換成封口杯之後,有一樣東西也跟著產生微妙變化,那就是「吸管」。

吸管的一端必須變尖,方便直接插穿杯子的封口膜。

筆者前幾天買了一杯珍奶,結果吸管都插爛了還插不進去,加上天氣炎熱,火氣一上來索性就不喝了,滿腦子一直在想「為什麼吸管越來越難插」,直到我發現原因寫完這篇文章,珍奶就這樣放在研究室的桌上還沒喝,應該已經壞了……

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高中的時候大家可能都學過二次曲線,雖然課程內容著重在代數上的運算,大部份老師或多或少還是會提一下古典幾何中的圓錐截痕,或稱圓錐曲線,例如下圖展示平面在雙圓錐上產生的各種截痕。

平面在雙圓錐上產生的截痕。圖/Wikimedia

當雙圓錐退化成圓柱,此時的截痕就會變成這樣,看起來有點像一根吸管被切了一刀。

平面在圓柱上產生的截痕。圖/UniMath

但是,你手中的吸管真的長這樣嗎?

這裡先考考大家,吸管從側面看過去,長相會是下列哪一個圖?

圖/UniMath

答案是 D!

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什麼!!!怎麼跟圓錐截痕不一樣?!

因為…吸管就不是圓錐截痕啊!吸管就不是圓錐截痕啊!吸管就不是圓錐截痕啊!

答案違背我們直覺的原因在於,吸管用剪刀剪或用裁刀裁切時,吸管會先被刀壓扁,然後才直直剪過去,最後吸管的彈性,會再讓它彈回來形成空心柱體

用數學來看吸管 

剪裁前的吸管本身是圓柱(設半徑為 1 ),將之直立於 xy-平面利用參數式來描述吸管截痕曲線的話,它會是

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r(t) = <cos t, sin t, z(t)>

這種形式,t 是繞圓的角度,觀察重點在於高度 z 是多少了。若是圓柱截痕,截平面 45 度切下去的話,即是用平面 z=x 來切,此時 r(t) = <cos t, sin t, cost>。調整 t 的範圍,可以畫出下面的 3D 圖。

圖/UniMath

但問題在於剪吸管時,吸管會先被剪刀壓扁,再沿 z=x 剪過去,也就是 z 隨著 x 等比例增加,然後吸管再彈回,此時就好像將這張壓扁的紙貼在圓柱上,換句話說在固定一個高度 z 時吸管回復至圓形的狀態,亦即圓參數式中的角度隨著 z(t) = t 做變化,所以截面曲線就是 r(t) = <cos t, sin t, t>,畫出來的3D 吸管如下圖。

圖/UniMath

從吸管的側面看過去,相當於投影在 xz-平面,即為 z=cos-1 x 的圖形。吸管橫擺也可以說成 z=cos x 或 z=sin x 週期函數中的一部分。

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圖/UniMath

你知道大多數吸管並不是切 45 度嗎?

因為這樣切最後會剩太多飲料吸不起來,造成浪費。一般會介於 25 度至 40 度之間較恰當。例如下圖中吸管大約是切 37 度左右。若將吸管直著擺,尖端從側面看,斜率最大,所以插吸管時,應該要垂直插最省力

圖/UniMath

很多人將原因歸咎於紙製吸管比較軟,然而真相恐怕並非如此。紙浸了水後的確會變軟,但還沒插進杯裡的紙吸管其實是硬的,甚至比塑膠吸管硬多了。

最主要的原因還是在於形狀,紙吸管的切面是橢圓,而不像塑膠吸管一樣有個尖尾。

紙吸管經常插到爛掉都插不進去。圖/UniMath

為什麼紙吸管的切面是橢圓形呢?

相較於塑膠,紙的彈性沒那麼大,被裁刀重重一壓就扁了,回復不了圓柱狀,除了造型不好看,恐怕壓扁的吸管也不好用。因此,紙吸管的生產過程是在不變形的情況下鋸斷,或是使用雷射切割,故其截面接近我們課本所說的橢圓。因為沒有「尖端」,所以非常難插。

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所以紙吸管到底要怎麼用才好?

在此有個小建議,讀者以後拿到紙吸管,先不要急著插,先用剪刀剪一下,就會好插很多;而使用紙吸管的飲料店,也可以在櫃枱準備把剪刀和方格紙,平時沒事剪剪吸管順便畫三角函數,要衛生一點的話就讓顧客自己剪,方便、省錢、環保還可以學數學,可說是一舉數得啊!

 紙吸管剪一下也可以輕鬆插入。圖/UniMath
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UniMath_96
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度量衡革命,計算方法也跟著全新革命│《電腦簡史》 齒輪時代(十七)
張瑞棋_96
・2020/06/15 ・3220字 ・閱讀時間約 6 分鐘 ・SR值 560 ・八年級

法國大革命後,重新制定度量衡,一律改成十進位的公制。沒想到就連時間、角度也都要改,但如此一來,三角函數就得重新計算。一位法國數學家突法奇想,將工廠製造大頭針的方法用來計算對數表與三角函數表。這個分工合作的方法影響深遠,不但美國太空總署初期的太空任務仍然沿用,也啟發了一位英國數學家設計第一台真正的計算機。

本文為系列文章,上一篇請見:從加減到乘除,四則計算器終於現身│《電腦簡史》 齒輪時代(十六)

法國大革命,度量衡也要革命

歷史總是不斷重演,當天災與人禍的雙重壓力到達頂點,往往造成政權更替。 1780 年代,法國因為連續乾旱與極端氣候導致糧食不足、民不聊生,一般人民更無力繳稅給地主、教會與政府。然而王公貴族與教會等上層階級卻幾乎無需繳稅,人民早已憤恨不平。

另一方面,法國為了支持美國脫離英國獨立,也派軍參與美國獨立戰爭,導致政府財政更加困難。為了增加稅收,王室於 1789 年召開由教士、貴族與平民組成的三級會議,希望透過決議,名正言順地向貴族與教會加徵土地稅。不過貴族與教會不願放棄既得利益,百般阻撓,積怨已深的平民代表乾脆自組國民會議,號召制憲。國王立即派兵鎮壓,結果反而激起法國大革命,成功推翻帝制,建立歐洲第一個民主共和國。

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在全面除舊布新的改革聲浪下,國民議會要求法國科學院制定一套十進位制的全新度量衡,做為全國統一的標準。 1791 年,法國科學院定義出公尺的長度與公斤的大小,再據以制定長度、面積、體積、重量等單位,這套十進位制的公制便一直沿用至今,通行全世界。

十進位制的時鐘,大指針顯示 03:16:86,小指針顯示24小時制的 07:34。圖/wikipedia

蝦咪,圓周變成 400 度,三角函數怎麼辦?

除此之外,任何傳統非十進位的方式,在當時學者的眼中,也都不科學。所以複雜的貨幣單位(害得巴斯卡不得不發明加法器)要改成十進位,甚至傳統六十進位的時間單位也得改,改為一天 10 小時、一小時 100 分鐘、一分鐘 100 秒。不僅如此,就連圓周 360 度也改為 400 度。這麼一來直角不再是 90 度,而是 100 度,從古希臘以降的三角函數全亂了,勢必得重新計算數值。

三角函數表對數表一樣重要,除了用於天文計算,航海導航、土地測量也都需要用到。法國大革命後,百廢待興,重新測繪地籍圖也是其中一項首要之務,更急需新定義的三角函數。

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這項重責大任落到了數學家德普羅尼 (Gaspard de Prony)身上。他不僅要製作全新的三角函數表,也打算重新編製對數表,而且精確度要提高到前所未有的程度。這意謂著表格裡的數值比以往切分得更細,也就是說要塞進更多數字,而且每個數字要算到小數點後更多位數(至少 14 位數以上)。

Gaspard de Prony

數學家德普羅尼 (Gaspard de Prony, 1955 – 1839)。圖/Wikipedia

這當然是件浩大的工程。當年納皮爾憑花了十幾年的時間,才算出 90 頁的對數表,如今德普羅尼所面對的計算量,至少是納皮爾的千百倍以上。德普羅尼雖然是帶領著一個團隊,但即使大家分頭計算,也要算到地老天荒;而且讓法國數學家完全投入單調重複的計算工作,根本是浪費他們的才能。面對這個不可能的任務,德普羅尼突然靈光一閃,想到蘇格蘭經濟學家亞當·斯密 (Adam Smith)所寫的《國富論》(The Wealth of Nations)。

工廠有作業員,計算何不用計算員?

《國富論》出版於 1776 年,堪稱奠定現代經濟學、同時也是影響最深遠的經典著作。這本書主要闡述市場運作彷彿有隻「看不見的手」在指導,使得全體國民致力於追求個人利益的同時,也促進了群體的福祉裡面。除了市場面,亞當·斯密也論及生產方式,主張專業分工才能提高生產效率。

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他舉大頭針工廠為例,大頭針的製造過程大致可分為把鐵絲拉長、拉直、裁剪、削尖、拋光、結合針頭等步驟。相較於讓每個工人從頭到尾一手包辦,改成讓每個工人只專注於其中一項製程,反而能大幅提升生產效率。

1762 年《百科全書》(Diderot’s Encyclopédie)中有關工廠分工的版畫。圖/wikimedia

德普羅尼認為這也可以套用到對數表與三角函數表的計算。於是他把計算工作拆分成三個階段:

  • 第一階段只需要五、六位數學家,他們負責將對數與三角函數轉換為適當的多項式函數,並決定計算的數值範圍,以及精確到小數點幾位。
  • 第二階段由七、八位學生拆解多項式函數,直到算出固定差值,就可以做出「差分法」的計算工作表,留給下個階段的人計算(可參見底下說明)。
  • 大量的計算工作都在第三階段,由六十到八十位計算員執行 。這些計算員只要會加法就可以了,不需懂數學;其中不少人原本是宮廷的美髮師,大革命後便失業了,而被德普羅尼找來當計算員。事實上 “computer” 這個字在代表電腦之前,原來就是指專門負責計算的人。他們只要根據計算工作表上的數字,逐格填入累加的結果,就能算出所需要的函數值。

武林秘笈無用武之地,武功心法成後世典範

從 1793 年開始,德普羅尼帶著團隊以這種分工合作的方法,於 1796 年就完成多達二十萬個對數的對數表(前十萬個算到小數點後 19 位,後十萬個到第 24 位),與精確到千分之一度的三角函數表

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不過法國大革命後,派系互鬥,政局幾無寧日,德普羅尼遲遲未能獲得經費印刷成冊。1804 年拿破崙廢除共和,即位皇帝沒多久後,就將時間與圓周角度恢復成舊制,新三角函數表已毫無用處。而太過精確的對數表,在實際應用上也不需要,因此德普羅尼等於白忙一場,多達十七冊的數值表手稿從此束之高閣,收藏在法國科學院的圖書館內。

德普羅尼的曠世之作雖然未能在當代發揮作用,但是他以生產線專業分工的方式,處理大量計算工作的創舉,卻成為後世的典範。在現代電腦出現之前,這個方式被廣泛運用於大型專案,例如美國太空總署初期的太空計畫,便雇用了大量女性當計算員。(電影《關鍵少數》(Hidden Figures)的主角便是其中幾位卓越的非裔女性。)

電影《關鍵少數》就是描述美國太空總署初期的太空計畫中,這些計算員的故事。圖/imdb

另一方面,深藏在法國科學院內的十七冊手稿,仍等待著有緣人發現它的真諦。十幾年後,一位來自英國的青年數學家來到法國科學院,才得知這份寶典的存在;他將從中獲得啟示,著手打造史上第一部真正的計算機。

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小教室:差分法

如果知道兩個函數值之間的差值,也就是f(x+1) = f(x) + D,那麼只要不斷累加差值 D,便能推算出多項式函數的所有答案,這就是差分法。

f(x) = x2 + x + 41 這個函數為例f(x+1) = (x+1)2+(x+1)+41 = x2+2x+1+x+1+41 = f(x)+(2x+2) ,2x+2為第一階差值。再對 f’(x)=2x+2如法炮製,可得出 f’(x+1) = f’(x)+2,即第二階差值固定為 2。

  x  

 函數值

x2 + x + 41

第一階差值

2x+2

第二階差值

2

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0 41 2 2
1 43 4 2
2 47 6 2
3 53 8 2
4 61 10 2
5 71 12 2

知道第二階差值等於 2 ,就可以不斷累加,得出第一階差值:2、4、6、8、10、……。

然後從 x = 0 的函數值 f(0) = 41 開始,再不斷累加第一階差值,即 f(1)=41+2=43; f(2)=43+4=47; f(3)=47+6=53;…… 以此類推,一直計算到所需要的位數為止。

二次函數的固定差值出現在第二階,三次函數則出現在第三階,以此類推。所以任何多項式函數一定可以用差分法算出答案。這個方法不用乘法,光靠加法就能算出任何多項式函數的值,因此不用懂數學也能幫忙計算。

  • 註:此處舉例的函數是出自大數學家歐拉(Leonhard Euler)於 1772 年發現的質數公式,前 40 個函數值都是質數。
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張瑞棋_96
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1987年清華大學工業工程系畢業,1992年取得美國西北大學工業工程碩士。浮沉科技業近二十載後,退休賦閒在家,當了中年大叔才開始寫作,成為泛科學專欄作者。著有《科學史上的今天》一書;個人臉書粉絲頁《科學棋談》。