帝王天文學家之死｜科學史上的今天：10/27

• 作者／仰望天空的智人｜目前為高三自學生，在升上高三的那個暑假，毅然決 然走上自學的道路。希望在有限的青春，不要只是僅追求紙上的對錯，而是時時刻刻的詢問世界，「為什麼？」。

從三本著作了解克卜勒的天文物理觀

在歷史長河中，天文學家們提出了各種五花八門的理論，嘗試理解天上六顆讓人捉摸不定的行星，但唯有一個人的理論能夠毫無誤差¹的精準預測，時至今日仍舊屹立不搖，他的名字是——約翰尼斯．克卜勒 (Johannes Kepler) 。

克卜勒是第谷．布拉赫 (Tycho Brahe) 的得意助手，生前時，他鼓舞了同時代的伽利略公布真相，在死後，也啟發一百年後的牛頓建立了牛頓三大運動定律。

而克卜勒一生的天文成就被萃取成了「克卜勒三大定律」，最終被寫入到了現今的物理課本中。

克卜勒一生發表了許多影響後世的劃時代著作，涵蓋數學、天文、光學，現在，請讓我們將視野聚焦在三本克卜勒的天文鉅作：《宇宙的秘密》、《新天文學》、《世界的和諧》，分別象徵著，開始、轉折、結束，仔細端詳三個不同時期的克卜勒，如何逐漸完整他的「天文物理觀」。

《宇宙的秘密》：最早公開支持哥白尼理論的書籍之一

原先主張地心說的托勒密認為：行星是繞行地球在固定的球殼上一層又一層，如同洋蔥一般，自從古希臘後裔托勒密完成他的《天文學大成》開始， 一千多年以來，地心說一直都是西方天文學的主宰。

而 16 世紀時，主張日心說的哥白尼認為行星其實是繞行太陽，所有行星都和太陽冥冥之中都遵守著一個「通則」，且每個行星都和太陽保持著特定的比例關係。

• 延伸閱讀：讓世人驚呆了的「日心說」在提出的開始，根本就不受重視？！——《全球科技大歷史》

1595 年，身為講師的克卜勒，在授課的時候畫出了正三角形鑲嵌在圓形裡的示意圖，他突然靈光一閃，如果他在正三角形裡面又多鑲嵌一個小圓，這樣兩個圓就會有了比例的關係了！這不就像是哥白尼概念中提到的「每個行星和太陽都有特定的比例關係」嗎？

當時，哥白尼沒有解釋每個行星保持特定比例的原因，但現在克卜勒隱約領悟並認為「上帝是用幾何創造宇宙的」。

因此克卜勒開始展開了自己的調查，但他發現在二維平面上是行不通的，他又問了自己一次：「為何上帝只創造了水星、金星、地球、火星、木星、土星，這六顆行星？」

他聯想到了三維空間中的正多面體只有五種，克卜勒高興極了，他認為上帝是用「幾何」當作建材，並藉此來聯繫各個行星。

到了 1597 年，克卜勒發表《宇宙的秘密》（Mysterium Cosmographicum），這是克卜勒的第一本天文作品，同時也是歷史上第一本公開認同哥白尼理論的書籍，他迫不及待把自己發現的宇宙秘密隨機寄給其他天文學家，想要了解真正的專家將會如何看待自己引以為傲的觀點。

堪比古代交友軟體，一本書牽起了三人緣分

其中一本《宇宙的秘密》輾轉來到了義大利，到了一位還不有名的數學教授手中，這位數學教授告訴克卜勒：「我已經身為哥白尼的信徒很久了，私下也收集了一些能夠證明地球運動的物理現象唷！」克卜勒被他像是「回音」的名字逗樂，而這位數學教授的名字是——伽利略．伽利萊 (Galileo Galilei) 。

克卜勒鼓勵伽利略公開他的發現：「要對自己有信心啊！如果你是正確的話，或許一些學者會離你遠去，但真相就是最好的證據！」雖然克卜勒沒有馬上收到伽利略的回信，但未來兩人將會一起在不同地方，合作並支持哥白尼的日心說。

• 延伸閱讀：伽利略誕辰｜科學史上的今天：2/15

此外，也有一本書來到了第谷．布拉赫 (Tycho Brahe) 的手中，雖然第谷不認同克卜勒的觀點，但第谷看出了克卜勒的才華，並認為克卜勒擁有卓越的數學能力，只要擁有少數資料就能夠獨自建立預測模型。

雖然第谷回信稱讚克卜勒的巧妙的推測，但第谷認為哥白尼的觀測資料不太精確，因此第谷邀請克卜勒到自己的天文台工作，希望克卜勒能夠好好善用他更精準的觀測資料。

克卜勒獲得進入到當時一流天文台的機會，開始了他長達 20 幾年的天文研究。

《新天文學》：等面積定律的起源

《新天文學》（Astronomia Nova）在當時是一本與眾不同的天文書籍，它只單一討論一個行星的運動，克卜勒認為只要了解火星的運動，就等於了解其他行星的運動，但克卜勒卻沒有想到，了解單一行星的運動將會是一條崎嶇難行的道路。

克卜勒一直在思考如何將哥白尼的概念帶入到火星的運動上，首先，他根據行星「在近日點較快，在遠日點較慢」的物理現象了設立了距離規則：行星運行速度和行星到太陽的距離是反比關係。

克卜勒進一步將所有火星到太陽的距離加總起來，說明這就是火星繞行一周掃過的面積，面積能夠代表著火星走過的時間，克卜勒此時建立了我們今日熟知的第二定律「等面積」概念：相同時間內，行星掃過相同的面積。

《新天文學》：什麼？軌道不是圓的！

然而，當克卜勒將自己發現的「新穎物理方法」嘗試應用在偏心圓上時，卻出現了誤差，不過克卜勒心中沒有一絲動搖，他將結果和實際觀測資料比對，推測出火星軌道應該是「非圓」。

真正的軌道比想像中的扁平狹長，克卜勒用肉球來比喻，這就如同從肉球中間擠壓出來的形狀，克卜勒暫稱這個非圓軌跡為「卵形 (oval) 」。

1604 年，克卜勒寫信給自己的朋友，向他抱怨自己已經嘗試了 20 種不同的方法來產生卵形軌跡，卻產生出了和偏心圓相反的誤差。克卜勒推測真正的軌跡就會在圓形和卵形之間，並開始針對這個誤差專研，他認為自己距離真正的軌跡不遠了。

就在克卜勒窮途末路的時候，他突然從誤差中看到了一個常見的數字，一個克卜勒之前在修正火星距離中，曾出現過的數字。

在之前嘗試偏心圓的時，克卜勒發現偏心圓所得到的模型距離和實際觀測值會有誤差，需要經過一個簡單的修正才會符合觀測值，就在此刻他領悟到了這個修正的意義，這就是火星運行的秘密，具有物理意義的「徑向擺盪」，而從當今的數學視角來看，克卜勒的修正就是橢圓在極座標的距離公式： 1+ecosθ

克卜勒是個傑出的數學家，他雖然知道這是橢圓，但他不相信行星的秘密是如此簡單的圓錐曲線，他試圖用其他方法解釋徑向擺盪，但各種方法都沒辦法像橢圓一樣毫無誤差的精準預測。

1605 年，克卜勒領悟到橢圓本身就能代表行星運行的物理現象，他找到了「橢圓軌跡」的規則：行星以橢圓軌跡繞行太陽，而太陽在其中一個焦點上。

如今，這項橢圓的規則也成為了我們所說的克卜勒第一定律。

但克卜勒工作還沒有完成，他該思考究竟要如何說服當時的其他天文學家，直至 1609 年，克卜勒終於發表了《新天文學》，細心拆解了托勒密和第谷的行星系統，並建立了最精準的橢圓軌跡模型，克卜勒成了世上第一個「摸清行星運動的天文學家」

現在，我們已經知道《宇宙的秘密》、《新天文學》在天文學中的關鍵角色，下一篇文章中，我們將從《世界的和諧》這本書，找到最後一條定律的源頭，完成克卜勒成為星空立法者的最後一哩路……

• 在紛亂、窮苦的人間，三本書，讓克卜勒成為「星空的立法者」（下）

註解

1. 克卜勒認為第谷觀測資料的誤差最大到兩角分，而克卜勒用橢圓預測出來的火星位置都是角秒的誤差，由於克卜勒的預測結果都在觀測值的誤差內，基本上能夠說克卜勒的預測幾乎等同於實際觀測。

參考資料

1. Aiton, E.J. (1969). Kepler’s second Law of Planetary Motion. Isis A Journal of the History of Science Society, 60, 75-90.
2. Wilson, C. (1968). Kepler’s derivation of the elliptical path. Isis A Journal of the History of Science Society, 59, 5-25
3. Gingerich, O. (1972). Johannes Kepler and the New Astronomy. Quarterly Journal of the Royal Astronomical Society, 13, 346-373
4. James, R.V. (1999). Johannes Kepler and the New Astronomy. New York：Oxford University Press
5. 姚珩、黃瑞秋 (2003)。克卜勒行星橢圓定律的初始內涵。科學教育月刊，第 256 期， 第 33-45 頁。
6. 姚珩 (2004)。行星面積定律的建立。科學教育月刊，第 257 期，第 32-38 頁。
7. International LaRouche Youth Movement. (2006). Presentation of Kepler’s Astronomia Nova.
8. 維基百科：Rudolphine Tables、Harmonices Mundi、Johannes Kepler、Musica universalis

• 文／郭君逸 │國立台灣師範大學數學系副教授、魔術方塊收藏家
• 本文轉載自 UniMath《為什麼紙吸管總是插不進去，但塑膠吸管可以？》

近幾年國內環保意識抬頭，因為塑膠吸管不能回收，造成大量的垃圾，所以環保署在 2019 年 7 月起禁用一次性塑膠吸管，不少飲料店紛紛改用成本高出許多的紙吸管，咖啡廳、餐廳則改用可重複清洗使用的金屬吸管，金屬吸管通常都是內用，直接放入杯中，不用插，所以還好……

但紙吸管就常常讓人覺得非常難用，插到爛掉還插不進去，為什麼呢？

讓我們從這些年吸管的演變開始說起。

台灣的街頭常常人手一杯手搖飲，珍珠奶茶更是紅遍全球。在二十幾年前，很多手搖飲料店的飲料杯就像現在麥當勞裝可樂的杯子一樣，是紙杯蓋上塑膠蓋，然後插「圓柱狀」的吸管。

直到葉益芳先生發明了封口機後，手搖飲逐漸換成如今常見的封口杯，隨意放置飲料也不會流出來，非常方便。全面換成封口杯之後，有一樣東西也跟著產生微妙變化，那就是「吸管」。

吸管的一端必須變尖，方便直接插穿杯子的封口膜。

筆者前幾天買了一杯珍奶，結果吸管都插爛了還插不進去，加上天氣炎熱，火氣一上來索性就不喝了，滿腦子一直在想「為什麼吸管越來越難插」，直到我發現原因寫完這篇文章，珍奶就這樣放在研究室的桌上還沒喝，應該已經壞了……

高中的時候大家可能都學過二次曲線，雖然課程內容著重在代數上的運算，大部份老師或多或少還是會提一下古典幾何中的圓錐截痕，或稱圓錐曲線，例如下圖展示平面在雙圓錐上產生的各種截痕。

當雙圓錐退化成圓柱，此時的截痕就會變成這樣，看起來有點像一根吸管被切了一刀。

但是，你手中的吸管真的長這樣嗎？

這裡先考考大家，吸管從側面看過去，長相會是下列哪一個圖？

答案是 D！

什麼！！！怎麼跟圓錐截痕不一樣？！

因為…吸管就不是圓錐截痕啊！吸管就不是圓錐截痕啊！吸管就不是圓錐截痕啊！

答案違背我們直覺的原因在於，吸管用剪刀剪或用裁刀裁切時，吸管會先被刀壓扁，然後才直直剪過去，最後吸管的彈性，會再讓它彈回來形成空心柱體。

用數學來看吸管 

剪裁前的吸管本身是圓柱（設半徑為 1 ），將之直立於 xy-平面利用參數式來描述吸管截痕曲線的話，它會是

r(t) = <cos t, sin t, z(t)>

這種形式，t 是繞圓的角度，觀察重點在於高度 z 是多少了。若是圓柱截痕，截平面 45 度切下去的話，即是用平面 z=x 來切，此時 r(t) = <cos t, sin t, cost>。調整 t 的範圍，可以畫出下面的 3D 圖。

但問題在於剪吸管時，吸管會先被剪刀壓扁，再沿 z=x 剪過去，也就是 z 隨著 x 等比例增加，然後吸管再彈回，此時就好像將這張壓扁的紙貼在圓柱上，換句話說在固定一個高度 z 時吸管回復至圓形的狀態，亦即圓參數式中的角度隨著 z(t) = t 做變化，所以截面曲線就是 r(t) = <cos t, sin t, t>，畫出來的3D 吸管如下圖。

從吸管的側面看過去，相當於投影在 xz-平面，即為 z=cos^-1 x 的圖形。吸管橫擺也可以說成 z=cos x 或 z=sin x 週期函數中的一部分。

你知道大多數吸管並不是切 45 度嗎？

因為這樣切最後會剩太多飲料吸不起來，造成浪費。一般會介於 25 度至 40 度之間較恰當。例如下圖中吸管大約是切 37 度左右。若將吸管直著擺，尖端從側面看，斜率最大，所以插吸管時，應該要垂直插最省力。

很多人將原因歸咎於紙製吸管比較軟，然而真相恐怕並非如此。紙浸了水後的確會變軟，但還沒插進杯裡的紙吸管其實是硬的，甚至比塑膠吸管硬多了。

最主要的原因還是在於形狀，紙吸管的切面是橢圓，而不像塑膠吸管一樣有個尖尾。

為什麼紙吸管的切面是橢圓形呢？

相較於塑膠，紙的彈性沒那麼大，被裁刀重重一壓就扁了，回復不了圓柱狀，除了造型不好看，恐怕壓扁的吸管也不好用。因此，紙吸管的生產過程是在不變形的情況下鋸斷，或是使用雷射切割，故其截面接近我們課本所說的橢圓。因為沒有「尖端」，所以非常難插。

所以紙吸管到底要怎麼用才好？

在此有個小建議，讀者以後拿到紙吸管，先不要急著插，先用剪刀剪一下，就會好插很多；而使用紙吸管的飲料店，也可以在櫃枱準備把剪刀和方格紙，平時沒事剪剪吸管順便畫三角函數，要衛生一點的話就讓顧客自己剪，方便、省錢、環保還可以學數學，可說是一舉數得啊！

• 本文轉載自 UniMath《為什麼紙吸管總是插不進去，但塑膠吸管可以？》

• 文／仰望天空的智人│目前為高三自學生，在升上高三的那個暑假，毅然決然走上自學的道路。希望在有限的青春，不要只是僅追求紙上的對錯，而是時時刻刻的詢問世界，「為什麼？」。

上物理課教到克卜勒（Johannes Kepler）的三大定律時，老師特別也介紹了對克卜勒的定律有很大貢獻的 第谷．布拉赫（Tycho Brahe）。

第谷是一位丹麥的貴族，鼻子因為決鬥而失去了一部分，擁有當時資料最多、最精準的天文台。他的助手約翰尼斯．克卜勒（Johannes Kepler）之後會靠著這些資料，成功地發現橢圓行星軌道。可惜第谷去世的早，無緣見證到克卜勒的曠世巨著《新天文學》的出版。

課堂投影片上，老師放了一張畫作，其中第谷用右手指著牆上的小洞。我心中很快地列出了某些想像，認為第谷是一位腦袋內建「量角器」、每天有閒情逸致仰望天空的貴族。

等到我有了機會研究更多有關第谷的資料時，才赫然發現，當初看到的畫作，就已經揭露了第谷在烏蘭尼堡（Uraniborg）的多種精密觀星儀器。

一幅畫帶你認識第谷如何觀星

介紹第谷時，無法忽視這張雕刻畫，裡面有著他一生的研究心血。它出自於第谷在西元 1598 年出版《Astronomiae Instauratae Mechanica》（中譯：新天文學儀器）中的雕刻畫，畫裡清楚地繪畫出第谷的儀器，並隱含了他的觀星技術。

回到稍早的西元 1597 年，第谷因為和新繼位的丹麥國王克里斯蒂安四世（Christian IV）長期的爭執無法解決，最終被迫離開了哥本哈根。第谷帶著儀器，暫時借住到貴族朋友海因里希．蘭卓（Heinrich Rantzau） 的城堡。

在流亡的這一年中，他完成了此書，希望藉此讓國王了解他的貢獻以及放棄他的損失。但丹麥國王並不領情，最後第谷將此書獻給了神聖羅馬帝國魯道夫二世（Rudolf II），並很快地獲得了賞識，第谷因此得以設立新的天文台，進而邀請克卜勒加入。後來沿用多個世紀、精準的「魯道夫星表」（Tabulae Rudolphinae）也是由此為開端建立的。

第谷如何獲得魯道夫二世的青睞？他的書中又提到了哪些觀星的技術呢？我們可以從雕刻畫裡的內容談起。

畫中透露了第谷擁有三種主要的觀星儀器分別為：四分儀（Quadrant）、六分儀（Sextant）、渾天儀（Armillary）。每一種儀器都有各自特殊的用處。

四分儀：建立天體的絕對座標

四分儀，顧名思義，儀器角度為全圓周的四分之一，即 90 度。90度是地平線到天頂的範圍，方便直接從地平線開始量測，是所有天體量測的基準。第谷以四分儀建立精準的天體座標。

在畫作中，佔據最大版面的壁畫四分儀（Mural Quadrant），就是第谷在烏蘭尼堡的主力觀察儀器，長期固定面對著子午線，進行天體座標的測量與修正，半徑 1.94 公尺的龐大身軀上刻滿了細緻的刻度。需要三個人協作，一人看緯度，一人看時間，一人指揮，才能夠完成觀測。此儀器精度可達 10 角秒，遠遠超越人類的裸眼極限。

除了定點觀測外，第谷也設計了另一個室外四分儀，用來觀察太陽相對繞行的位置。此儀器擁有和壁畫四分儀一樣半徑（1.94公尺）的方形設計，它能旋轉到任意方位。特別的是第谷選用鐵材來製作方形四分儀，堪稱所有儀器中的傑作，堅固、輕巧、可移動、同時又兼具驚人的 10 角秒精準度。

六分儀：量測天體間的角度差

六分儀，儀器角度為全圓周的六分之一，即 60 度。特別的是它並不是測量物體水平或垂直角度，而是測量物體在天空中的角度差。可以再透過幾何運算與其他測量資訊，來獲得相對天體座標。

第谷設計六分儀時，利用 60 度結構與等腰三角形的特性，簡化了許多繁複的幾何運算，並透過經年累月的重複量測，讓這身長 1.55 公尺的龐大儀器精度仍可達 24 角秒。

渾天儀：協助進行座標轉換

渾天儀，為一個大型的活動圓形儀器，內部由多個圓環組成天球外框，能夠同時決定黃道面、天球赤道面、子午線以及天極。主要會有兩個環一個代表黃道，一個代表天球赤道，也象徵著自轉和公轉，再加上其他輔助環代表行星、垂直面等等。

在當時因為沒有電腦，因此有兩者的微調需要經過複雜的幾何運算，為了簡化問題，才有了這類型的儀器。渾天儀較為類似輔助儀器，方便占星學家做座標轉換，不像是四分儀或六分儀為直接觀測儀器。

第谷在此儀器上的創新在於，當時的天文學家都是以黃道面當作他們的天體基準面；但第谷認為，從天極得到的緯度要轉換到天球赤道坐標系相當不便，於是他將基準面設定為天球赤道面。如此可以透過模擬地球自轉來簡化觀測儀器的操作，直接同時量測出天體的赤經與赤緯，也因為這樣的設計，讓後人認為第谷是發明望遠鏡赤道儀的天文學家。

渾天儀全部圓環皆以鐵材製作，龐大沉重的結構能夠在天極軸上精準又平衡地旋轉，在當時的製作工藝是相當大的挑戰，第谷設計了獨一無二的軸承，解決了天極軸旋轉的問題。因此，此觀星巨獸直徑達 1.55 公尺，但觀測精度卻可達 1 角分。

天文儀器的改良：刻度小還要再更小

第谷嘗試了多種特殊創新的刻度劃分，包括設計了游標卡尺的前身「Nonius」，但他最終選擇了「橫向刻度」（Transversal Scale）作為每個儀器的標準刻度劃分。

除了圓周刻度劃分外，第谷在圓周兩側的刻度間交錯畫上斜線，並刻上橫向刻度，他巧妙的運用截線定理，讓刻度劃分並不再侷限於圓周上，更能夠藉由儀器的圓周寬度來增加刻度劃分。

舉例來說，第谷的壁畫四分儀，半徑 194 公分，一度的圓周長約有 3.4 公分，劃分成六格，每格長約 0.5 公分，代表 10 角分。0.5 公分的圓周已經無法再劃分到更小，橫向刻度就能夠派上用場了，第谷將四分儀的圓周寬度設計約 13 公分，因此兩側 10 分角刻度間隔的對角線約為 13 公分，再細分 10 格，使得刻度來到 1 角分。

此時每角分間隔 1.3 公分，此間隔足夠讓第谷再劃分 6 格，使得刻度來到 10 角秒，每 10 秒角間隔 0.2 公分，裸眼可以輕鬆識別此間隔，達到裸眼 10 角秒的觀測精度。

排除觀測者造成的誤差

從累積多年觀測經驗中，第谷體悟到：如果觀察者無法精準的觀測星體，再精準的儀器也是徒勞。

當時人們靠著「針孔」來對準目標物，他很快地發現，觀察者無法每次都用單眼將目標物的中心對準在孔洞裡，因此造成了 8 角分的誤差，這對於擁有精度 1 角分儀器的第谷來說，實在是太過荒謬了。

因此他發明了「無視差瞄準器」（Parallax-free Sight），讓觀察者用雙眼通過兩側隙縫，觀察目標物通過前方的圓柱孔，當物體都在左右眼的隙縫裡，這就是完美對準。

不只是嶄新的天文儀器，讓觀測不再受人眼所限

普遍人類裸眼最多只能看到 1 角分，第谷當時最好的四分儀就已經能夠看到 10 角秒的精度了，持續領先當時眾多天文學家 100 年，直到 1660 年代開始發展天文望遠鏡。

第谷是一位相信客觀中立的科學家，嘗試用他超精密的觀星儀器，來探索困擾當時天文學家的誤差。他深信著精準資料給予的結果，而建立了介於地心與日心之間的「第谷模型」，讓克卜勒在這基礎上，更進一步建立了完整的行星軌跡模型。他並且推論，如果地球繞行太陽的話，應該能夠觀察到星星的視差，殊不知星星與地球的距離超乎了當時人類的想像，視差小於 1 角秒，這超過人類肉眼的極限。

但一切都無妨，在第谷之後的 200 年，人類首次測量到天鵝座 61， 313.6 毫角秒的視差。距離地球 10 光年，星星不再是天空中遙不可及的光點，人類會繼續一步一步的了解天空的每個角落。

參考資料

1. Chapman,A.,1989,Tycho Brahe – Instrument designer, observer and mechanician,J. Br. Astron. Assoc,99（2）,70-77
2. Tycho Brahe,1598, Astronomiae Instauratae Mechanica