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帝王天文學家之死|科學史上的今天:10/27

張瑞棋_96
・2015/10/27 ・911字 ・閱讀時間約 1 分鐘 ・SR值 497 ・六年級

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儘管充斥錯誤,托勒密星表仍沿用一千四百多年,直到十六世紀末才由第谷耗費二十年的光陰,以裸眼觀測天體,重新繪製,為克卜勒發現行星運動三大定律鋪好道路。惟世人皆不知,在第谷星表之前一百六十年,中亞地區就有人繪製了可與之媲美的星表;而這位天文學家竟是帖木兒之孫,曾統治帖木兒帝國的兀魯伯(Ulugh Beg, 1394-1449, 或譯烏魯伯格)。

兀魯伯雕像。圖片來源:Pinterest

兀魯伯的父親是帖木兒的四子,於1405年繼位後,將帖木兒帝國的國都遷往赫拉特,而於1409年將原來的國都撒馬爾罕(位於今烏茲別克)交給兀魯伯管轄。酷愛數學、天文,還會創作詩歌的兀魯伯將撒馬爾罕建設成學術昌盛、人文薈萃的城市,並於1429年建造了巨大的天文台,吸引精通天文、數學的伊斯蘭學者前來。

圓形建築的兀魯伯天文台高35米、直徑50米,內有各種當時最先進的觀測儀器,以及一具半徑達36米的巨大六分儀,為此地面還得往下挖11米。鑒於過往的星表都是修訂自托勒密星表,兀魯伯決定帶領天文學家從零開始,逐一標定,終於在1437年完成自托勒密之後,第一份完全憑實際觀測製作而成的星表,也是當時最精確的星表,其中包括了1018顆恆星的位置,以及日、月與五大行星的運行資料。

兀魯伯算出恆星年應為365天5小時49分15秒,只比正確數字多了25秒,比後來哥白尼的估算還準。他還算出地軸的傾斜角度是23.52度,也是優於第谷的估算。在數學方面,他建立的三角函數表精確到至少小數點以下八位。
然而兀魯伯的政治、軍事手段遠不如他的科學天份。1447年,他因父親過世而繼承王位;但第二年赫拉特總督叛變,兀魯伯率兵征討卻敗戰而返,不料他的長子竟也趁此叛變,意圖篡位。兀魯伯因此遭到拘禁,直到1449年的今天終被自己的兒子下令處死。

兀魯伯死後,天文台即遭到破壞而荒廢,直到1908年才被俄國的考古學家找到。而他製作的星表雖然有流傳下來,卻在歐洲的圖書館中蒙塵,等到第谷死後五十年才被重新發現。令人不禁感嘆人類的天文學進展不知因此遲了多少年哪!

本文同時收錄於《科學史上的今天:歷史的瞬間,改變世界的起點》,由究竟出版社出版。

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張瑞棋_96
423 篇文章 ・ 631 位粉絲
1987年清華大學工業工程系畢業,1992年取得美國西北大學工業工程碩士。浮沉科技業近二十載後,退休賦閒在家,當了中年大叔才開始寫作,成為泛科學專欄作者。著有《科學史上的今天》一書;個人臉書粉絲頁《科學棋談》。

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鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2022/11/01 ・2113字 ・閱讀時間約 4 分鐘

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鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
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在紛亂、窮苦的人間,三本書,讓克卜勒成為「星空的立法者」(上)
活躍星系核_96
・2020/11/06 ・3957字 ・閱讀時間約 8 分鐘 ・SR值 498 ・六年級

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  • 作者/仰望天空的智人|目前為高三自學生,在升上高三的那個暑假,毅然決 然走上自學的道路。希望在有限的青春,不要只是僅追求紙上的對錯,而是時時刻刻的詢問世界,「為什麼?」。

從三本著作了解克卜勒的天文物理觀

在歷史長河中,天文學家們提出了各種五花八門的理論,嘗試理解天上六顆讓人捉摸不定的行星,但唯有一個人的理論能夠毫無誤差1的精準預測,時至今日仍舊屹立不搖,他的名字是——約翰尼斯.克卜勒 (Johannes Kepler) 。

克卜勒是第谷.布拉赫 (Tycho Brahe) 的得意助手,生前時,他鼓舞了同時代的伽利略公布真相,在死後,也啟發一百年後的牛頓建立了牛頓三大運動定律。

而克卜勒一生的天文成就被萃取成了「克卜勒三大定律」,最終被寫入到了現今的物理課本中。

克卜勒肖像。圖/Wikimedia common

克卜勒一生發表了許多影響後世的劃時代著作,涵蓋數學、天文、光學,現在,請讓我們將視野聚焦在三本克卜勒的天文鉅作:《宇宙的秘密》、《新天文學》、《世界的和諧》,分別象徵著,開始、轉折、結束,仔細端詳三個不同時期的克卜勒,如何逐漸完整他的「天文物理觀」。

《宇宙的秘密》:最早公開支持哥白尼理論的書籍之一

原先主張地心說的托勒密認為:行星是繞行地球在固定的球殼上一層又一層,如同洋蔥一般,自從古希臘後裔托勒密完成他的《天文學大成》開始, 一千多年以來,地心說一直都是西方天文學的主宰。

而 16 世紀時,主張日心說的哥白尼認為行星其實是繞行太陽,所有行星都和太陽冥冥之中都遵守著一個「通則」,且每個行星都和太陽保持著特定的比例關係。

在《天體運行論》的日心說模型中,哥白尼認為太陽是宇宙的中心,地球與其他行星一起繞著太陽轉。圖/De revolutionibus orbium coelestium 。

1595 年,身為講師的克卜勒,在授課的時候畫出了正三角形鑲嵌在圓形裡的示意圖,他突然靈光一閃,如果他在正三角形裡面又多鑲嵌一個小圓,這樣兩個圓就會有了比例的關係了!這不就像是哥白尼概念中提到的「每個行星和太陽都有特定的比例關係」嗎?

當時,哥白尼沒有解釋每個行星保持特定比例的原因,但現在克卜勒隱約領悟並認為「上帝是用幾何創造宇宙的」。

因此克卜勒開始展開了自己的調查,但他發現在二維平面上是行不通的,他又問了自己一次:「為何上帝只創造了水星、金星、地球、火星、木星、土星,這六顆行星?」

他聯想到了三維空間中的正多面體只有五種,克卜勒高興極了,他認為上帝是用「幾何」當作建材,並藉此來聯繫各個行星。

克卜勒的正多面體宇宙模型,克卜勒認為有 5 個正多面體可以被裝進一個大球體之中,並對應於當時已知的 6 個行星。圖/Wikimedia common

到了 1597 年,克卜勒發表《宇宙的秘密》(Mysterium Cosmographicum),這是克卜勒的第一本天文作品,同時也是歷史上第一本公開認同哥白尼理論的書籍,他迫不及待把自己發現的宇宙秘密隨機寄給其他天文學家,想要了解真正的專家將會如何看待自己引以為傲的觀點。

堪比古代交友軟體,一本書牽起了三人緣分

其中一本《宇宙的秘密》輾轉來到了義大利,到了一位還不有名的數學教授手中,這位數學教授告訴克卜勒:「我已經身為哥白尼的信徒很久了,私下也收集了一些能夠證明地球運動的物理現象唷!」克卜勒被他像是「回音」的名字逗樂,而這位數學教授的名字是——伽利略.伽利萊 (Galileo Galilei) 。

克卜勒鼓勵伽利略公開他的發現:「要對自己有信心啊!如果你是正確的話,或許一些學者會離你遠去,但真相就是最好的證據!」雖然克卜勒沒有馬上收到伽利略的回信,但未來兩人將會一起在不同地方,合作並支持哥白尼的日心說。

《宇宙的秘密》讓克卜勒認識了第谷(左)與伽利略(右)。圖/giphy

此外,也有一本書來到了第谷.布拉赫 (Tycho Brahe) 的手中,雖然第谷不認同克卜勒的觀點,但第谷看出了克卜勒的才華,並認為克卜勒擁有卓越的數學能力,只要擁有少數資料就能夠獨自建立預測模型。

雖然第谷回信稱讚克卜勒的巧妙的推測,但第谷認為哥白尼的觀測資料不太精確,因此第谷邀請克卜勒到自己的天文台工作,希望克卜勒能夠好好善用他更精準的觀測資料。

克卜勒獲得進入到當時一流天文台的機會,開始了他長達 20 幾年的天文研究。

《新天文學》:等面積定律的起源

《新天文學》(Astronomia Nova)在當時是一本與眾不同的天文書籍,它只單一討論一個行星的運動,克卜勒認為只要了解火星的運動,就等於了解其他行星的運動,但克卜勒卻沒有想到,了解單一行星的運動將會是一條崎嶇難行的道路。

克卜勒一直在思考如何將哥白尼的概念帶入到火星的運動上,首先,他根據行星「在近日點較快,在遠日點較慢」的物理現象了設立了距離規則:行星運行速度和行星到太陽的距離是反比關係。

在等面積定律中,太陽與火星的連線,會在相同的時間掃過一樣大的面積。圖/by RJHall , via Wikimedia Commons

克卜勒進一步將所有火星到太陽的距離加總起來,說明這就是火星繞行一周掃過的面積,面積能夠代表著火星走過的時間,克卜勒此時建立了我們今日熟知的第二定律「等面積」概念:相同時間內,行星掃過相同的面積。

《新天文學》:什麼?軌道不是圓的!

然而,當克卜勒將自己發現的「新穎物理方法」嘗試應用在偏心圓上時,卻出現了誤差,不過克卜勒心中沒有一絲動搖,他將結果和實際觀測資料比對,推測出火星軌道應該是「非圓」。

真正的軌道比想像中的扁平狹長,克卜勒用肉球來比喻,這就如同從肉球中間擠壓出來的形狀,克卜勒暫稱這個非圓軌跡為「卵形 (oval) 」。

1604 年,克卜勒寫信給自己的朋友,向他抱怨自己已經嘗試了 20 種不同的方法來產生卵形軌跡,卻產生出了和偏心圓相反的誤差。克卜勒推測真正的軌跡就會在圓形和卵形之間,並開始針對這個誤差專研,他認為自己距離真正的軌跡不遠了。

克卜勒行星橢圓模型的刻畫。圖/英譯版《新天文學》內頁

就在克卜勒窮途末路的時候,他突然從誤差中看到了一個常見的數字,一個克卜勒之前在修正火星距離中,曾出現過的數字。

在之前嘗試偏心圓的時,克卜勒發現偏心圓所得到的模型距離和實際觀測值會有誤差,需要經過一個簡單的修正才會符合觀測值,就在此刻他領悟到了這個修正的意義,這就是火星運行的秘密,具有物理意義的「徑向擺盪」,而從當今的數學視角來看,克卜勒的修正就是橢圓在極座標的距離公式: 1+ecosθ

克卜勒是個傑出的數學家,他雖然知道這是橢圓,但他不相信行星的秘密是如此簡單的圓錐曲線,他試圖用其他方法解釋徑向擺盪,但各種方法都沒辦法像橢圓一樣毫無誤差的精準預測。

橢圓定律中:行星沿著自己的橢圓軌道環繞著太陽運轉,而太陽位在橢圓的其中一個焦點的位置。圖/by RJHall, via Wikimedia Commons

1605 年,克卜勒領悟到橢圓本身就能代表行星運行的物理現象,他找到了「橢圓軌跡」的規則:行星以橢圓軌跡繞行太陽,而太陽在其中一個焦點上。

如今,這項橢圓的規則也成為了我們所說的克卜勒第一定律。

但克卜勒工作還沒有完成,他該思考究竟要如何說服當時的其他天文學家,直至 1609 年,克卜勒終於發表了《新天文學》,細心拆解了托勒密和第谷的行星系統,並建立了最精準的橢圓軌跡模型,克卜勒成了世上第一個「摸清行星運動的天文學家」

現在,我們已經知道《宇宙的秘密》、《新天文學》在天文學中的關鍵角色,下一篇文章中,我們將從《世界的和諧》這本書,找到最後一條定律的源頭,完成克卜勒成為星空立法者的最後一哩路……

註解

  1. 克卜勒認為第谷觀測資料的誤差最大到兩角分,而克卜勒用橢圓預測出來的火星位置都是角秒的誤差,由於克卜勒的預測結果都在觀測值的誤差內,基本上能夠說克卜勒的預測幾乎等同於實際觀測。

參考資料

  1. Aiton, E.J. (1969). Kepler’s second Law of Planetary Motion. Isis A Journal of the History of Science Society, 60, 75-90.
  2. Wilson, C. (1968). Kepler’s derivation of the elliptical path. Isis A Journal of the History of Science Society, 59, 5-25
  3. Gingerich, O. (1972). Johannes Kepler and the New Astronomy. Quarterly Journal of the Royal Astronomical Society, 13, 346-373
  4. James, R.V. (1999). Johannes Kepler and the New Astronomy. New York:Oxford University Press
  5. 姚珩、黃瑞秋 (2003)。克卜勒行星橢圓定律的初始內涵。科學教育月刊,第 256 期, 第 33-45 頁。
  6. 姚珩 (2004)。行星面積定律的建立。科學教育月刊,第 257 期,第 32-38 頁。
  7. International LaRouche Youth Movement. (2006). Presentation of Kepler’s Astronomia Nova.
  8. 維基百科:Rudolphine TablesHarmonices MundiJohannes KeplerMusica universalis
活躍星系核_96
752 篇文章 ・ 96 位粉絲
活躍星系核(active galactic nucleus, AGN)是一類中央核區活動性很強的河外星系。這些星系比普通星系活躍,在從無線電波到伽瑪射線的全波段裡都發出很強的電磁輻射。 本帳號發表來自各方的投稿。附有資料出處的科學好文,都歡迎你來投稿喔。 Email: contact@pansci.asia

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為什麼紙吸管總是插不進去?你可以這樣做!
UniMath_96
・2020/09/26 ・2795字 ・閱讀時間約 5 分鐘 ・SR值 422 ・四年級

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圖/UniMath

近幾年國內環保意識抬頭,因為塑膠吸管不能回收,造成大量的垃圾,所以環保署在 2019 年 7 月起禁用一次性塑膠吸管,不少飲料店紛紛改用成本高出許多的紙吸管,咖啡廳、餐廳則改用可重複清洗使用的金屬吸管,金屬吸管通常都是內用,直接放入杯中,不用插,所以還好……

但紙吸管就常常讓人覺得非常難用,插到爛掉還插不進去,為什麼呢?

讓我們從這些年吸管的演變開始說起。

台灣的街頭常常人手一杯手搖飲,珍珠奶茶更是紅遍全球。在二十幾年前,很多手搖飲料店的飲料杯就像現在麥當勞裝可樂的杯子一樣,是紙杯蓋上塑膠蓋,然後插「圓柱狀」的吸管。

圖/UniMath

直到葉益芳先生發明了封口機後,手搖飲逐漸換成如今常見的封口杯,隨意放置飲料也不會流出來,非常方便。全面換成封口杯之後,有一樣東西也跟著產生微妙變化,那就是「吸管」。

吸管的一端必須變尖,方便直接插穿杯子的封口膜。

筆者前幾天買了一杯珍奶,結果吸管都插爛了還插不進去,加上天氣炎熱,火氣一上來索性就不喝了,滿腦子一直在想「為什麼吸管越來越難插」,直到我發現原因寫完這篇文章,珍奶就這樣放在研究室的桌上還沒喝,應該已經壞了……

高中的時候大家可能都學過二次曲線,雖然課程內容著重在代數上的運算,大部份老師或多或少還是會提一下古典幾何中的圓錐截痕,或稱圓錐曲線,例如下圖展示平面在雙圓錐上產生的各種截痕。

平面在雙圓錐上產生的截痕。圖/Wikimedia

當雙圓錐退化成圓柱,此時的截痕就會變成這樣,看起來有點像一根吸管被切了一刀。

平面在圓柱上產生的截痕。圖/UniMath

但是,你手中的吸管真的長這樣嗎?

這裡先考考大家,吸管從側面看過去,長相會是下列哪一個圖?

圖/UniMath

答案是 D!

什麼!!!怎麼跟圓錐截痕不一樣?!

因為…吸管就不是圓錐截痕啊!吸管就不是圓錐截痕啊!吸管就不是圓錐截痕啊!

答案違背我們直覺的原因在於,吸管用剪刀剪或用裁刀裁切時,吸管會先被刀壓扁,然後才直直剪過去,最後吸管的彈性,會再讓它彈回來形成空心柱體

用數學來看吸管 

剪裁前的吸管本身是圓柱(設半徑為 1 ),將之直立於 xy-平面利用參數式來描述吸管截痕曲線的話,它會是

r(t) = <cos t, sin t, z(t)>

這種形式,t 是繞圓的角度,觀察重點在於高度 z 是多少了。若是圓柱截痕,截平面 45 度切下去的話,即是用平面 z=x 來切,此時 r(t) = <cos t, sin t, cost>。調整 t 的範圍,可以畫出下面的 3D 圖。

圖/UniMath

但問題在於剪吸管時,吸管會先被剪刀壓扁,再沿 z=x 剪過去,也就是 z 隨著 x 等比例增加,然後吸管再彈回,此時就好像將這張壓扁的紙貼在圓柱上,換句話說在固定一個高度 z 時吸管回復至圓形的狀態,亦即圓參數式中的角度隨著 z(t) = t 做變化,所以截面曲線就是 r(t) = <cos t, sin t, t>,畫出來的3D 吸管如下圖。

圖/UniMath

從吸管的側面看過去,相當於投影在 xz-平面,即為 z=cos-1 x 的圖形。吸管橫擺也可以說成 z=cos x 或 z=sin x 週期函數中的一部分。

圖/UniMath

你知道大多數吸管並不是切 45 度嗎?

因為這樣切最後會剩太多飲料吸不起來,造成浪費。一般會介於 25 度至 40 度之間較恰當。例如下圖中吸管大約是切 37 度左右。若將吸管直著擺,尖端從側面看,斜率最大,所以插吸管時,應該要垂直插最省力

圖/UniMath

很多人將原因歸咎於紙製吸管比較軟,然而真相恐怕並非如此。紙浸了水後的確會變軟,但還沒插進杯裡的紙吸管其實是硬的,甚至比塑膠吸管硬多了。

最主要的原因還是在於形狀,紙吸管的切面是橢圓,而不像塑膠吸管一樣有個尖尾。

紙吸管經常插到爛掉都插不進去。圖/UniMath

為什麼紙吸管的切面是橢圓形呢?

相較於塑膠,紙的彈性沒那麼大,被裁刀重重一壓就扁了,回復不了圓柱狀,除了造型不好看,恐怕壓扁的吸管也不好用。因此,紙吸管的生產過程是在不變形的情況下鋸斷,或是使用雷射切割,故其截面接近我們課本所說的橢圓。因為沒有「尖端」,所以非常難插。

所以紙吸管到底要怎麼用才好?

在此有個小建議,讀者以後拿到紙吸管,先不要急著插,先用剪刀剪一下,就會好插很多;而使用紙吸管的飲料店,也可以在櫃枱準備把剪刀和方格紙,平時沒事剪剪吸管順便畫三角函數,要衛生一點的話就讓顧客自己剪,方便、省錢、環保還可以學數學,可說是一舉數得啊!

 紙吸管剪一下也可以輕鬆插入。圖/UniMath
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兀魯伯雕像。圖片來源:Pinterest

兀魯伯的父親是帖木兒的四子,於1405年繼位後,將帖木兒帝國的國都遷往赫拉特,而於1409年將原來的國都撒馬爾罕(位於今烏茲別克)交給兀魯伯管轄。酷愛數學、天文,還會創作詩歌的兀魯伯將撒馬爾罕建設成學術昌盛、人文薈萃的城市,並於1429年建造了巨大的天文台,吸引精通天文、數學的伊斯蘭學者前來。

圓形建築的兀魯伯天文台高35米、直徑50米,內有各種當時最先進的觀測儀器,以及一具半徑達36米的巨大六分儀,為此地面還得往下挖11米。鑒於過往的星表都是修訂自托勒密星表,兀魯伯決定帶領天文學家從零開始,逐一標定,終於在1437年完成自托勒密之後,第一份完全憑實際觀測製作而成的星表,也是當時最精確的星表,其中包括了1018顆恆星的位置,以及日、月與五大行星的運行資料。

兀魯伯算出恆星年應為365天5小時49分15秒,只比正確數字多了25秒,比後來哥白尼的估算還準。他還算出地軸的傾斜角度是23.52度,也是優於第谷的估算。在數學方面,他建立的三角函數表精確到至少小數點以下八位。
然而兀魯伯的政治、軍事手段遠不如他的科學天份。1447年,他因父親過世而繼承王位;但第二年赫拉特總督叛變,兀魯伯率兵征討卻敗戰而返,不料他的長子竟也趁此叛變,意圖篡位。兀魯伯因此遭到拘禁,直到1449年的今天終被自己的兒子下令處死。

兀魯伯死後,天文台即遭到破壞而荒廢,直到1908年才被俄國的考古學家找到。而他製作的星表雖然有流傳下來,卻在歐洲的圖書館中蒙塵,等到第谷死後五十年才被重新發現。令人不禁感嘆人類的天文學進展不知因此遲了多少年哪!

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