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破解密碼到模仿遊戲——圖靈那些不可說或無人識的貢獻│《電腦簡史》數位時代(十四)

張瑞棋_96
・2021/01/11 ・6534字 ・閱讀時間約 13 分鐘 ・SR值 559 ・八年級

本文為系列文章,上一篇請見:搞懂「通用圖靈機」的終站——它的誕生與意義 │《電腦簡史》數位時代(十三)

奇謎機

1938 年 6 月,圖靈以不到兩年的時間,在普林斯頓大學取得博士學位。馮紐曼有意留他下來當研究助理(與電腦無關,此時馮紐曼對電腦還沒產生興趣),但圖靈放棄這個工作機會,選擇返回母校劍橋大學擔任研究員,打算之後再申請教職。不料才過了一年,「政府代碼及密碼研究院」(Government Code and Cypher School) 就徵召他為國效力。

顧名思義,這個部門就是專門破解各種加密的情報。以往的加密方式都是以人工參照密碼表,將原來的字母改用別的符號代替,變化有限,還可以用腦力推敲破解。不過從 1920 年代開始出現機器加密,複雜度大增,越來越不容易破解。尤其德軍所用的「奇謎機」 (Enigma,也譯為「恩尼格瑪機」),更是令人束手無策。

I型奇謎機 (Enigma I)。圖:Wikipedia

奇謎機約一台打字機大小,主要靠三片轉盤與一個反射器變換字母。三片轉盤彼此相扣,每片都有 26 個金屬接觸點代表不同字母;在鍵盤上輸入字母後,訊號經過三片轉盤抵達反射器,再從這三片轉盤走不同路徑返回,變換成另一個字母。每輸入一個字母後,第一片轉盤便轉一格,轉完一圈即帶動第二片轉盤轉一格,然後第二片轉盤也是如此帶動第三片轉盤。

這個設計可以讓同一個字母每次都置換成不同字母,看似毫無規律,難以破解。而且每天調換三片轉盤的位置,所以一共會有 26 x 26 x 26 x 6 = 105,456 種電路變化。加上德軍又多設了類似電話交換機的接線板,可以任意讓兩個字母互換,任選 6 組就有一千億種組合,使得所有變化的可能性達萬兆以上,可以說沒有破解的可能。不過法國的情報人員於 1932 年取得接線板 9、10兩個月的設定指示,為破解工作開啟了契機。

波蘭人

其實就算掌握了接線板的接法,要破解轉盤的十萬種電路變化,仍是件不可能的任務。當時希特勒才剛掌權不久,尚未暴露侵略野心,而英、法兩國又都認定德國軍備受到凡爾賽合約限制,因此都沒有認真對待這份奇謎機的情報。反倒是波蘭過去的亡國之恨記憶猶新,如今左右兩旁的德國與蘇聯仍虎視眈眈,因此非常積極的研究這份情報,試圖破解德軍的加密系統。

奇謎機的轉盤設計使得加密方式每次都不同。圖:Wikipedia

所幸德軍也自恃奇謎機無法破解,竟將當日的轉盤初始設定置於電報開頭,而且重複兩次,例如三個轉盤分別設在 B、T、F 的話,就將 ”BTFBTF” 加密,可能變成 “RCOMIA”。德軍認為這麼做萬無一失,但波蘭學者經由大量比對德軍電報,還是找出其中規律,推敲出奇謎機的運作方式。

他們於 1938 年造出模擬奇謎機的「炸彈機」(Bomba,波蘭文炸彈之意,因為運作起來滴答作響,有如定時炸彈),共有六台,各代表轉盤六種排列組合中的一種,然後讓它們同時運作,再挑出符合電報內容的一種。

布萊切利莊園

可惜才過一個月,德軍於 1938 年底又多加了兩片轉盤,變成從五片中任選三片,共有 60 種可能組合。同時接線板互換的字母也從 6 組變為 10 組,使得變化高達 1.5 億兆。原來的炸彈機已派不上用場,波蘭束手無策,只得向盟國請求合力破解。

無奈破解之道尚無頭緒,德軍就已經在 1939 年 9 月閃電入侵波蘭。英、法兩國直到此時才大夢初醒,正式向德國宣戰,同時徵召包括圖靈在內的許多數學家進駐布萊切利莊園 (Bletchley Park),努力破解奇謎機。雖然波蘭人的研究成果讓他們不必從零開始,但若不能把天文數字般的可能組合縮小範圍,一切仍是枉然。

所幸實際上並沒有那麼多變化。因為同一部奇謎機除了加密,也要解密收到的訊息,所以同樣狀態下,若 A 加密為 S,則輸入 S 也會轉成 A;而且每個字母一定不會加密成本身,也就是祕文中的 A 在原文絕對不是 A。這就減少了許多可能性。另外,德軍的有恃無恐再次留下破口,他們沒料到電報中固定出現的「天氣」、「希特勒萬歲」等關鍵字成為破解的線索。

圖靈的炸彈機

圖靈從這些基礎出發,運用數理邏輯排除更多不可能的組合,然後把測試比對的工作轉化成機械程序,設計出英國自己的炸彈機 (Bombe)。1940 年 3 月,第一部原型機完工,高、寬各約兩米,有 108 個輪鼓,每 3 個一組,模擬 36 種奇謎機轉盤的組合。兩個月後,炸彈機首度破解德軍的加密訊息,雖然是幾個星期前的情報,已經沒有軍事價值,卻足已證明圖靈的設計可行,只不過需要更強大的計算能力。

布萊切利莊園的炸彈機 (Bombe)。圖:Wikipedia

8 月,團隊中的另一位數學家魏奇曼 (Gordon Welchman) 設計出「對角線板」,針對字母兩兩配對的特性,自動排除不需要的嘗試,大幅縮短破解的時間。於是隨著更多部加裝對角線板的炸彈機上線運作,破解德軍電報的效率逐漸提高,到了 1941 年中,已經可以在 36 小時內解譯出電報內容。

這對英國的存亡極為重要,因為此時美國仍保持中立,尚未派軍到歐洲戰場。英國艦隊與補給船屢屢被德國潛艇攻擊,卻一籌莫展,情勢越來越危急。如今破譯了德軍的通訊內容,得以掌握其軍事佈署,終於能避開潛艇攻擊,延續國家元氣。

不過從 1942 年 2 月開始,炸彈機突然怎麼樣也無法正確算出奇謎機的設定。原來德國海軍察覺有異,於是在奇謎機上又多裝了一片轉盤。所幸這第四片轉盤是固定的,無法抽換,所以電路的變化只有原來的 26 倍。只不過目前布萊切利莊園已經是用 30 部炸彈機在處理,哪有能力再重新設計,而且得生產出 780 部!

美國之行

英國不得不尋求美國協助,但就得將布萊切利莊園的研究成果與美軍分享,才能讓美國同意幫忙製造炸彈機。於是圖靈奉命於 11 月前往華府,傳授相關技術細節,並協調英美雙方如何共同打造炸彈機。

圖靈此行還肩負另一項任務:開發語音加密的技術。除了電報,有更多的溝通協調、下達命令、……等等,是透過電話進行。為了避免重要機密遭敵方竊聽,勢必也要對語音加密才行。

對於加密/解密已相當熟稔的圖靈當然是第一人選,而美國的貝爾實驗室則是電話系統的龍頭廠商,雙方若能攜手合作必能事半功倍。因此圖靈結束華府的協調工作後,即於 1943 年 1 月轉往紐約的貝爾實驗室。 

圖靈並不知道此時貝爾實驗室的史提畢茲正在打造內插值計算機,這是美國第一部可程式化的數位計算機,圖靈肯定會有興趣。可惜貝爾實驗室組織龐大,不同專案有各自的隔間,圖靈在這裡待了兩個月,竟然沒有與同一棟大樓中的史提畢茲認識,否則不知會蹦出怎樣的火花。

1936 年的貝爾實驗室大樓;中間有高架鐵路穿越。圖:Wikipedia

與夏農的每日茶敘

不過圖靈倒是結識了電腦史上更為關鍵的人物,那就是與他有許多共通之處的夏農。夏農與圖靈相差四歲,兩人都有開創性的真知灼見,也都有計算機的實務經驗。

1936 年,圖靈在〈論可計算數〉這篇論文中,揭示了通用計算機的基礎架構;此時夏農正在 MIT 操作微分分析儀。1937 年,夏農在他的碩士論文中首創邏輯電路的理論基礎;此時圖靈也在普林斯頓打造了簡單的二進位電子乘法器。而當圖靈在布萊切利莊園努力破解德軍密碼時,夏農也正從密碼學出發,發展影響深遠的「資訊理論」(他曾指出:「密碼其實和帶有雜訊的通訊系統相去不遠。」)。

由於戰時嚴格的保密規定,圖靈不得透露關於布萊切利莊園的一切,但這無礙於他與夏農很快發現有共同興趣,且彼此心智相近而惺惺相惜。他們幾乎每天下午茶的時間,都在貝爾實驗室的自助餐廳碰面討論電腦的可能性。圖靈分享他論文中的通用圖靈機,夏農更是大膽提出將音樂之類的文化事物輸入電腦,兩人大談機器能否模仿人類大腦運作。

當時電晶體都還沒發明,但圖靈的機械程序與夏農的邏輯電路,都是超越技術層面的普遍性原則,因此他們兩人於 1943 年 1 月中到 3 月中這兩個月的交鋒,應該是史上首次針對人工智慧的論辯。七年之後,圖靈將提出區辨人機的「圖靈測試」,夏農則提出如何教電腦下棋,還打造了一隻走迷宮的電子老鼠。

「魚」與「巨像」

在圖靈來美國出差前幾個月,當年啟發他想出圖靈機的老師紐曼也加入布萊切利莊園。這是因為柏林最高指揮部於 1942 年中開始使用另一套基於二進位的加密系統與陸軍聯繫,炸彈機派不上用場,英國急須開發另一部二進位的計算機,以破解這套暱稱為「魚」的加密系統。紐曼便因其數學專長而被招募進來領導研發工作。

第一代原型機於 1943 年 1 月開始建造,但 2 月德軍又提升「魚」的複雜度,以致機器還未造好就已過時。若要及時破解新的加密系統,計算機的運算速度必須大幅提升,而這唯有用真空管取代繼電器,完全用電子訊號運算才可能做到。於是紐曼團隊著手打造全新的計算機「巨像一號」(Mark 1 Colossus),由來自英國郵政總局的工程師弗勞爾斯 (Tommy Flowers) 負責設計。

圖靈雖然一開始沒有參與設計,但巨像一號是沿用他在出差美國之前,所建立的數學模型,所以當圖靈於 1943 年 3 月返回布萊切利莊園後,除了繼續研究語音加密,也同時擔任巨像團隊的諮詢顧問。

巨像一號於 1943 年底完工,共用了 1,600 個真空管,資料以打孔紙帶輸入,還能透過切換開關與纜線設定不同程式,成為史上第一台可程式化的數位式電子計算機。果然,諾曼團隊於 1944 年 2 月便開始破解「魚」的訊息。他們繼續打造速度快五倍的「巨像二號」,及時於 6 月 1 日上線破解德軍情報,盟軍才能於 6 月 6 日發起諾曼地登陸,成功展開決定性的一役。

「巨像二號」計算機。圖:Wikipedia

打造馮紐曼架構之電腦

二次大戰結束後,布萊切利莊園立下大功的成員默默回歸原來的工作崗位或教職,但圖靈沒有回去劍橋大學,而是被「國家物理實驗室」(National Physical Laboratory) 延攬。原來實驗主任收到馮紐曼的〈EDVAC 報告初稿〉後,決定要根據裡面建議的馮紐曼架構,開發英國自己的通用型電腦 ACE (Automatic Computing Engine),因而找上兼具理論與實務經驗的圖靈。

〈EDVAC 報告初稿〉提到他們美國團隊採用自己開發的水銀延遲線做為記憶裝置,問題是國家物理實驗室並沒有這樣的工程團隊,圖靈只能找曾一起在布萊切利莊園共事的弗勞爾斯幫忙開發水銀延遲線。但弗勞爾斯已回郵政總局,須優先處理電信網路事宜,無法全力配合。眼見 ACE 的進度延宕無解,深感挫折的圖靈終於在 1947 年中求去。

在此同時,被延攬至曼徹斯特大學的紐曼也有意打造新一代電腦。他與馮紐曼本為舊識,於是主動向他索取〈EDVAC 報告初稿〉,也爭取到英國皇家學會贊助研發經費。紐曼還找回當初巨像團隊的部分成員,另外特別招募威廉斯 (F. C. Williams) 加入,因為他所發明的「威廉斯管」(Williams tube) 更勝水銀延遲線。

威廉斯管利用陰極射線管的電子束打在螢光幕上所產生的電荷變化,代表 0 與 1 來記錄資料。這種方式寫入與讀取資料的速度比水銀延遲線快非常多,而且還可以隨時存取任一區塊的資料,省卻等待的時間。

利用陰極射線管紀錄資料的「威廉斯管」。圖:Wikipedia

曼徹斯特一號

1948年中,簡化版的先導機型「曼徹斯特寶寶」(Manchester Baby) 完工。它雖然暱稱為寶寶,卻是個長 5.2 公尺、高 2.2 公尺,重達一噸的龐然大物;不過如果把僅有 550 個真空管與 1,024 位元的記憶容量看成大腦,倒是蠻名符其實的。 6 月 21 日,曼徹斯特寶寶成功執行了一個 17 行的程式,算出 218 的最大因數,不但驗證了威廉斯管的可行性,也成為第一部預存程式的數位電腦

紐曼請圖靈寫第二支測試程式,順便藉此邀他一起來打造完整版的「曼徹斯特一號」(Manchester Mark 1)。圖靈答應了,不過電腦的整體架構已大致底定,沒有多少空間讓他發揮,他便負責設計程式及編寫《程式設計師手冊》。

曼徹斯特一號於 1949 年 4 月成功上線,直到 1950 年 8 月技轉給英國政府支持的弗蘭提企業 (Ferranti) 後,功成身退。圖靈也未再涉足電腦的設計開發,而是將興趣轉向胚胎學的研究。心智與生命是人類的兩大奧秘,他可以用機械程序描述心智的運作,現在他也想找出胚胎分裂生長的背後法則。

曼徹斯特一號。圖:Wikipedia

模仿遊戲

1950 年 10 月,哲學期刊《心智》(Mind) 刊出了圖靈的論文〈計算機器和智能〉(Computing Machinery and Intelligence)。這是他在參與曼徹斯特一號的開發時,閒暇之餘重拾電腦與心智的思辨,所寫成的論文;著名的「圖靈測試」便是源自於此。

文章開頭便問:「機器能思考嗎?」要回答這個問題得先定義「機器」與「思考」,但既然很難有共同認可的明確定義,圖靈提出一個猜測性別的模仿遊戲來檢視這個問題。這個遊戲由一人扮演審訊員,他要猜出隔壁房間的兩個人誰是男性、誰是女性。審訊員可以問他們任何問題,女性一定會誠實回答;男性則會假冒女性,設法欺騙審訊員。他們的回答都是透過電傳打字傳遞出來,所以審訊員只能從文字內容做出判斷。

現在,把這位男性換成一部機器的話,機器也能騙過審訊員嗎?用這個問題取代「機器能思考嗎?」,就可以有明確的判斷標準了。後來圖靈在 1952 年 1 月播出的對談節目中,把模仿遊戲簡化為電腦要設法讓審訊員相信它是真人,這就成為現今判別人工智慧程度的圖靈測試了。

原始版本的模仿遊戲。圖:Wikipedia

圖靈之死

這個廣播節目播出後過了九天,圖靈的住處遭竊。警方很快從指紋查出一名慣竊,原來他認識圖靈於耶誕節前才在街頭邂逅的男友,才來闖空門。他在偵訊過程中告訴警方圖靈與他朋友的性伴侶關係,圖靈因此以嚴重猥褻罪的罪名遭到起訴。

圖靈同意接受治療以換取緩刑,而所謂治療就是注射荷爾蒙以消弭性衝動,結果他不但變成性無能,還長出胸部。但圖靈似乎若無其事的繼續他的生物研究,直到 1954 年 6 月 8 日——他 42 歲生日前兩週,被發現死於家中,死因是氰化物中毒。

究竟圖靈是蓄意自殺,或是如他母親認定的是做實驗不小心誤食的意外?圖靈死前的確沒有任何輕生的徵兆,也沒留下遺書,然而他卻在 2 月時特地立了新的遺囑。此外他在床頭留下那顆咬了幾口的蘋果,不禁讓人想到他喜愛的迪士尼卡通《白雪公主與七矮人》中的場景,不過警方並未做化驗,無從得知蘋果是否塗了氰化物。

無論如何,除了他的朋友同事感到震驚,圖靈的死訊在外界卻是波瀾不興。由於英國政府堅持保密,外界仍不知道是布萊切利莊園團隊破解了德軍密碼,自然也不知道圖靈間接拯救了多少生命。

〈論可計算數〉這篇重要的論文被歸為數學領域,只有少數人看出它在電腦發展上的重大意義。「模仿遊戲」在電腦才剛起步的當時,更只像是空想的哲學思辨,無關乎真正的電腦。而外界所知的電腦中,曼徹斯特一號並非由他主導,他一手設計的 ACE 電腦後來又由別人接手完工,光環全不在他身上。

遲來的正義

1966 年,「計算機協會」(Association for Computing Machinery) 終於設立了「圖靈獎」以紀念他的貢獻。至於他在二次大戰的功績,要到 1970 年代才為世人所知。2009 年,在超過三萬人的連署請願下,英國首相終於代表國家對圖靈當年因同性戀所受的刑罰公開道歉;但他的罪名要到 2013 年底,才由英國女王正式宣布赦免。

座落於布萊切利莊園的圖靈紀念雕像。圖:Wikipedia

回頭來看,英國政府於 1952 年將圖靈判刑的這一年,恰巧也是英國電腦發展落後美國的分水嶺。從巨像、曼徹斯特、ACE,乃至弗蘭提,這一系列電腦原本都還領先美國,但是自從馮紐曼的 IAS 與摩爾電機學院的 EDVAC 分別於 1952 年的 1、2 月啟用後,英國就被遠遠拋在後頭了。自此,無論是技術層面或是實際應用,整個電腦產業盡由美國所主導。


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張瑞棋_96
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1987年清華大學工業工程系畢業,1992年取得美國西北大學工業工程碩士。浮沉科技業近二十載後,退休賦閒在家,當了中年大叔才開始寫作,成為泛科學專欄作者。著有《科學史上的今天》一書;個人臉書粉絲頁《科學棋談》。


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既是科學家,也是樂團鼓手!──專訪數學物理學家程之寧

研之有物│中央研究院_96
・2022/03/11 ・5978字 ・閱讀時間約 12 分鐘

本文轉載自中央研究院研之有物,泛科學為宣傳推廣執行單位。

  • 採訪撰文|郭雅欣、簡克志
  • 美術設計|林洵安、蔡宛潔

在學術與搖滾的多重維度上行走

還記得美劇《The Big Bang Theory》嗎?劇中常常出現的物理名詞「弦論」,是描述物理世界基本結構的理論。中央研究院「研之有物」專訪院內數學研究所程之寧研究員,她正是研究弦論的科學家,也是熱愛音樂的搖滾樂團鼓手,這種跨領域身份並不衝突,兩邊都需要創造力與紀律。由於天生斜槓的性格,讓程之寧在數學和物理領域大展身手,透過數學的深入探討,她試圖將弦論更往前推進。最近程之寧更跨足到人工智慧領域,為學界提供理論物理上的貢獻。

中研院數學所程之寧研究員,主要研究 K3 曲面(特殊的四維空間)的弦論,她發現模函數和有限對稱群之間有 23 個新的數學關聯,稱之為「伴影月光猜想」(Umbral Moonshine)。圖/研之有物

萬有理論和難以捉摸的「月光」

世界從那裡來呢?物理世界的本質是什麼呢?回答這樣的大哉問,一直是理論物理學家所追求的目標。從牛頓力學(日常應用)、廣義相對論(探討很重的物質)到量子力學(探討很小的物質),隨著物理學不斷發展,我們似乎一步步接近答案,但至今卻還未走到終點。

舉例來說,如果有個東西很重又很小,就像「黑洞」,或是大爆炸時的宇宙,我們要怎麼用數學描述?於是科學家試圖整合廣義相對論和量子力學,找出所謂的「萬有理論」(Theory of Everything)──能完全解釋物理世界基本結構的核心理論。

程之寧研究的「弦論」就企圖發展成這樣一個萬有理論。弦論一如其名的「玄妙」,它設定宇宙所有的粒子都是由一段段「能量弦線」所組成,每一種基本粒子的振動模式不同,產生不同的粒子特性。

「人類一直以來的夢想之一就是,如果能用一句話解釋所有事情,那該有多麼美好。」中研院數學所研究員程之寧說道。

程之寧的研究牽涉到數學上的「月光猜想」(Moonshine)與弦論中 K3 曲面的連結。月光猜想是存在於模函數係數與特殊群之間的數學關聯,程之寧與其研究夥伴共發現了 23 個新的關連,並稱之為「伴影月光猜想」(Umbral Moonshine)。

基於弦論的假設,我們的世界是十維的,除了人們在日常生活中可以感知到的 3+1 維(空間+時間),還有六維是因為尺寸太小而無法用肉眼觀察的,這些看不到的維度影響著物理世界,最終也產生了我們這個物理世界所需的各種條件與特性。

綜觀程之寧的研究,橫跨了物理與數學兩個領域,她笑稱自己「天生斜槓」。在學術上,程之寧原先喜歡文學,之後卻走上數理研究的道路;在音樂上,程之寧喜愛搖滾樂,至今仍在自己的樂團裡擔任鼓手。

她如何看待自己一路走來的各種轉折?游徜在數學與物理之間,她又對這兩個領域的連結有怎樣的體會?在與「研之有物」的訪談中,程之寧侃侃而談她的經歷、想法,以及對學術研究的熱忱所在。

在弦論的設定中,宇宙所有的粒子都是由一段段「能量弦線」所組成,每一種基本粒子的振動模式不同,產生不同的粒子特性。圖/iStock
  • 請問您是如何對數學及物理產生興趣?從何時開始?

一開始考大學時,其實我想去念中文系(笑)。不過,因為我高中是選理組,而且只念了一兩年,對文科考試比較沒把握,加上對工程科系沒興趣,最後就選擇臺大物理系就讀。

後來發生兩個轉折,第一個是我很認真的去修了大學中文系的課,結果發現真的沒有想像中容易。第二個就是我發現物理系的課還蠻有趣的,像量子力學和相對論,讓我覺得還想再多學一點、多知道一點。

我開始覺得如果念完臺大物理系就停下來,好像有一種小說沒讀完的感覺,所以就想繼續讀碩士班。那時還沒有覺得自己會走上學術研究的路,單純抱著想把故事看完的想法。

  • 後來是如何接觸到弦論?弦論是如何引起您的興趣?

後來我去荷蘭念碩士,指導教授是諾貝爾物理獎得主 Gerard ’t Hooft。他其實蠻不認同弦論,但他對於如何處理量子力學與相對論很有興趣。

當時 ’t Hooft 教授在建議我碩士題目時就說:「你也知道我不太認為弦論是一條正確的道路,不過聽說弦論最近真的在量子重力這一塊有一些成果。不如妳去讀一讀,看看是不是真的有一些東西在那裡,也可以比較一下其他量子重力理論。」

在我很認真的比較各個量子重力理論之後,就變成弦論派了(笑)。’t Hooft 教授對此也保持開放態度,他有幾個不錯的博士生後來也變成弦論學家,之後我在 Erik Verlinde 的指導下念博士時,就完全以弦論為研究主題了。

  • 研究理論物理會影響您對現實世界的理解嗎?

蠻多人會問我說,妳學了量子力學,是不是就會比較了解這個世界不是非黑即白?或問我量子力學跟宗教是不是有關?可是我覺得我分得很開,我不會去做這樣的連結,我還是活在現實裡,走路時大部分都在專注於自己不要跌倒之類的。

如果真的要講,我蠻感激我們的存在,因為我所學的東西讓我知道這是沒有必然性的。我們能這樣以一種人形的很奇怪的生物的形式存在,然後在這樣一個環境過一輩子,是機率很低的事情,而且我還蠻開心我是當人,而不是奇怪的阿米巴蟲或外星生物!有些人會從這裡連結到宗教或轉世,但我不會,我就停在這裡。

  • 來談談您的研究,伴影月光猜想與 K3 曲面弦論之間是什麼關係?

弦論中有很多的可能性,我們可以挑選特定的四維,然後假設這四維空間是個 K3 曲面。例如說,我們可以把兩個甜甜圈乘起來,在上面做特殊的奇異點,來製造出一個 K3 曲面。這個曲面有一些很有趣的對稱性。從弦論的角度來講,我們可以透過這個過程,找出一個解釋為何有伴影月光猜想的框架。

「把維度乘起來」這個概念很難想像,但這在數學上是成立的。我舉例一個我們能想像的「乘起來」:如果有一個空間是一條線,另一個空間是一個圓,乘起來就變成一個圓柱形,從一個方向剖面可以切出圓,另一個方向則切出線。而在數學上,不管幾維,能不能在紙上畫的出來,都可以這樣操作。

程之寧向「研之有物」採訪團隊解釋「把維度乘起來」的概念。圖/研之有物
  • 如何透過計算,發現捉摸不定的「月光」?

有時候這看似湊巧,一個數學上的函數正好就是弦論某個問題的答案。但其實並不是真的那麼巧,弦論看起來很有彈性,好像什麼都可以解釋,但它其實有非常多結構及限制。

當我在計算一個弦論理論時,它的內部結構可能原本就具有某些特定的性質,然後我再去觀察數學中,有這樣性質的函數可能就只有一兩個,只要再初步算一下,就能知道哪一個是答案。弦論學家日常的計算常常是這樣的,所以這是巧合嗎?是也不是。

  • 您曾經發現 23 個新的伴影月光猜想,您對這類題目特別有興趣嗎?

我覺得數學有兩種,有些數學家喜歡系統性的事情,就像蓋房子一樣,在數學裡建造一個很美麗、非常有系統性的結構,可以把很多事情都放入這個結構來理解。

另一種比較少數的,就是喜歡獵奇,去收集分類奇奇怪怪的特殊東西,例如有這些性質的函數在哪裡?可能你算出來就是 5 個,你也不知道為什麼。月光猜想很明顯就屬於這一類。

兩種的樂趣感覺是不一樣的,我覺得應該都很棒,但我可能是屬於偏好獵奇的這種。

  • 您的研究連結了物理上的弦論與數學上的月光猜想,您怎麼看待這兩個知識體系的互動?

弦論是一個需要很多數學理論配合的物理理論,它是一個有點繁複的框架,我們什麼都要會一些,才能看懂這個理論。當你把許多不一樣的學門的知識加起來,有時候就會在某一個學門──例如幾何──有意想不到的收穫。

弦論在數學上也扮演探索與找尋新方向的角色,讓數學家有新的發現。雖然最後數學定理的證明還是得仰賴傳統數學方法,但在這二三十年間,我們一直從弦論身上找尋數學研究的新方向或有趣的猜想,看到了弦論與數學之間的互動。

數學家有兩種,一種人喜歡建立美麗又有系統性的結構,另一種人喜歡尋找和收集奇怪特殊的數學物件(比如函數),程之寧表示自己屬於後者。圖/研之有物
  • 剛才一開始提到,您高中只念了一兩年,是因為對學校沒有興趣嗎?

其實我一直都覺得上學很無聊。我小時候臺灣教育和現在很不一樣,一班 50 幾個人,老師必須盡量軍事化管理,大家最好都一模一樣,比較好管理。我和學校一直處於互相磨合的狀況,我自認已經努力配合學校,但學校一直覺得我在反抗,這可能是一個認知上的差別。

舉例來說,我小學的時候不想睡午覺,可是老師說大家都一定要睡午覺,不睡午覺的人要罰抄課文,所以我早上到學校時就會把已經抄好的課文交給老師。我覺得我這樣做是在配合老師的規定,可是以老師的立場會覺得我在反抗,學校教育中我遇到了很多類似的情況。

還有就是不喜歡高中的升學氛圍,同學和老師好像都只有一個活著的目標,就是「考大學」。我當時無法習慣升學氛圍,感覺好像活在平行宇宙一樣。

  • 高中休學後,您去唱片行工作,可否談談當時的想法?

我國中開始聽音樂,這是我除了看書之外的重要興趣,我也很快就喜歡上了搖滾樂。高中休學的時候,我唯一的謀生技能可能就是我對音樂的各類知識吧!所以我就去了唱片行,這是唯一一個我會做又有興趣的工作,還好那時候還有很多唱片行(笑)。

  • 對音樂的熱忱,讓您與朋友共組了樂團,並擔任鼓手。您是否比較過樂團生活和學術研究之間的異同之處?

有些人覺得我這樣很跳 tone,但我自己覺得還好。音樂和學術都是我發自內心覺得好玩的東西,兩者也有相同之處,例如它們都需要創造性,也都有需要了解的框架。數學需要嚴謹的證明,音樂演奏也需要遵循結構,例如不能掉拍。

音樂領域還有一點和數學類似──玩樂團的圈子也是以男性為主。我們樂團則是只有一個男生,其他都是女生,可能我真的天生對框架有點遲鈍,玩團之後才發現:「怎麼大家都是男生?」

程之寧表示,學術界仍有許多性別不平等問題未受重視。圖/研之有物
  • 也就是說,目前數學學術圈仍是男性主導,在研究路上,您有因為性別而感受到一些衝擊或眼光嗎?您怎麼面對?

有。那感覺很明顯,日復一日地要去面對,尤其是年紀還比較輕、還必須每一天去證明自己的能力的時候,特別有感。

我遇到時的反應就是,在心裡暗罵一句髒話,然後繼續做我要做的事。我不會想改變別人的想法,感覺那是浪費時間,就算環境給我的阻礙是這樣,我還是繼續去做該做的事。

可是有些事情沒那麼簡單,現在我也當過老師,有時候會看到年輕女生在學術界因為性別而被欺負,或遭到不公平待遇、甚至騷擾。

對此我感到心痛,覺得為何我們學術領域還是這樣的狀況?甚至為什麼性騷擾至今還是一個議題?可以確定的是,學術界許多性別不平等問題未受到重視。

  • 您現在已經有傑出的研究成果,還會因為性別而遭受質疑嗎?

我現在比較會遇到一個狀況反而是來自學生的質疑。我在荷蘭阿姆斯特丹大學教書時,有時候學生會因為我是女教授,而且我的外表在許多歐洲人眼中看起來就像小妹妹,所以比較容易去挑我的毛病。

在課堂上,下面坐的可能都是男學生,只有一兩個女學生,那個氣氛就會變得很奇怪。例如說偶爾會聽到學生評論我的身材或樣貌。

我有和其他一些在歐洲或美國的女性教授聊過這樣的問題,似乎不少人都有類似的不太愉快的經驗。感覺不是很好。

  • 看到您最近的研究和人工智慧(AI)有關,為何會想往這個方向發展?

我有兩個動機。一個就是我真的想深入了解人工智慧。我也可以像普羅大眾,看看 AI 下圍棋,讚嘆「哇!好厲害!」這樣就好,可是我覺得我一定可以真的去理解它,這可能就是數學家的自大吧!

另一方面,我知道對科學研究來說,未來 AI 將會是一個非常重要的工具。這是「在職訓練」的概念,我可能會用到這個新工具,或以後我可能會需要教這樣的課,因為學生是下一代的科學家。因為這些原因,我覺得我需要去訓練自己使用新的工具。在我的領域裡,也有一些有趣的、還沒被解答的科學問題,是 AI 有可能幫得上忙的,我看到了一些潛力。

  • 弦論和 AI 感覺差距很大,AI 也可以應用到弦論的研究嗎?

乍看之下,弦論的確比較抽象,也不像其他許多實驗會產生大量數據。但其實弦論有大量的可能性,我認為使用 AI 來在這些巨量的可能性當中搜尋特別有趣的理論,是一個有潛力能夠加深我們對弦論理解的新的研究方法。

而且 AI 的應用絕不僅限於巨量資料。如果是面對一些比較新的挑戰,在沒有現成的演算法可以用的情形之下,可以自己做出需要的功能嗎?這過程我覺得也非常很有趣,而且應該是會有成果的一條路。這種不是那麼顯而易見的事情,我覺得很有挑戰性,也蠻好玩的。

除了用 AI 來幫助物理跟數學的研究之外,我也試著物理研究當做靈感來源,找出新的 AI 的可能性,我覺得這也是一個很有趣的研究方向。我現在有和 AI 的學者合作,嘗試做出一些創新的演算法,真的還蠻有趣的。

  • AI 對您而言是全新的領域,您如何面對跨領域遇到的門檻?

一開始會覺得真的要去碰這個新的領域嗎?其實現在也還是偶爾會有這樣的懷疑。我在弦論領域可能已經是專家,但去了一個新的領域,我學得不會比二十歲的人快,要怎麼去跟人家競爭?是不是在浪費時間?

但也會想,與其想這麼多,不如先做再說。到目前為止我做了兩年多,感覺還蠻好的,我有學到東西,也有做出小小的貢獻。

其實我還蠻感激有這樣的學習機會。對我來說當科學家最大的好處就是,去搞懂一個新的東西就是工作的一部分。當科學家雖然蠻辛苦,但就結果論來說,我還蠻開心能當一位科學家!

延伸閱讀

  1. Moonshine Master Toys With String Theory | Quanta Magazine
  2. Mathematicians Chase Moonshine’s Shadow | Quanta Magazine
  3. 林正洪教授演講 一 怪物與月光(Monster and Moonshine),《數學傳播》

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研之有物│中央研究院_96
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