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度量衡革命,計算方法也跟著全新革命│《電腦簡史》 齒輪時代(十七)

張瑞棋_96
・2020/06/15 ・3220字 ・閱讀時間約 6 分鐘 ・SR值 560 ・八年級

法國大革命後,重新制定度量衡,一律改成十進位的公制。沒想到就連時間、角度也都要改,但如此一來,三角函數就得重新計算。一位法國數學家突法奇想,將工廠製造大頭針的方法用來計算對數表與三角函數表。這個分工合作的方法影響深遠,不但美國太空總署初期的太空任務仍然沿用,也啟發了一位英國數學家設計第一台真正的計算機。

本文為系列文章,上一篇請見:從加減到乘除,四則計算器終於現身│《電腦簡史》 齒輪時代(十六)

法國大革命,度量衡也要革命

歷史總是不斷重演,當天災與人禍的雙重壓力到達頂點,往往造成政權更替。 1780 年代,法國因為連續乾旱與極端氣候導致糧食不足、民不聊生,一般人民更無力繳稅給地主、教會與政府。然而王公貴族與教會等上層階級卻幾乎無需繳稅,人民早已憤恨不平。

另一方面,法國為了支持美國脫離英國獨立,也派軍參與美國獨立戰爭,導致政府財政更加困難。為了增加稅收,王室於 1789 年召開由教士、貴族與平民組成的三級會議,希望透過決議,名正言順地向貴族與教會加徵土地稅。不過貴族與教會不願放棄既得利益,百般阻撓,積怨已深的平民代表乾脆自組國民會議,號召制憲。國王立即派兵鎮壓,結果反而激起法國大革命,成功推翻帝制,建立歐洲第一個民主共和國。

在全面除舊布新的改革聲浪下,國民議會要求法國科學院制定一套十進位制的全新度量衡,做為全國統一的標準。 1791 年,法國科學院定義出公尺的長度與公斤的大小,再據以制定長度、面積、體積、重量等單位,這套十進位制的公制便一直沿用至今,通行全世界。

十進位制的時鐘,大指針顯示 03:16:86,小指針顯示24小時制的 07:34。圖/wikipedia

蝦咪,圓周變成 400 度,三角函數怎麼辦?

除此之外,任何傳統非十進位的方式,在當時學者的眼中,也都不科學。所以複雜的貨幣單位(害得巴斯卡不得不發明加法器)要改成十進位,甚至傳統六十進位的時間單位也得改,改為一天 10 小時、一小時 100 分鐘、一分鐘 100 秒。不僅如此,就連圓周 360 度也改為 400 度。這麼一來直角不再是 90 度,而是 100 度,從古希臘以降的三角函數全亂了,勢必得重新計算數值。

三角函數表對數表一樣重要,除了用於天文計算,航海導航、土地測量也都需要用到。法國大革命後,百廢待興,重新測繪地籍圖也是其中一項首要之務,更急需新定義的三角函數。

這項重責大任落到了數學家德普羅尼 (Gaspard de Prony)身上。他不僅要製作全新的三角函數表,也打算重新編製對數表,而且精確度要提高到前所未有的程度。這意謂著表格裡的數值比以往切分得更細,也就是說要塞進更多數字,而且每個數字要算到小數點後更多位數(至少 14 位數以上)。

Gaspard de Prony

數學家德普羅尼 (Gaspard de Prony, 1955 – 1839)。圖/Wikipedia

這當然是件浩大的工程。當年納皮爾憑花了十幾年的時間,才算出 90 頁的對數表,如今德普羅尼所面對的計算量,至少是納皮爾的千百倍以上。德普羅尼雖然是帶領著一個團隊,但即使大家分頭計算,也要算到地老天荒;而且讓法國數學家完全投入單調重複的計算工作,根本是浪費他們的才能。面對這個不可能的任務,德普羅尼突然靈光一閃,想到蘇格蘭經濟學家亞當·斯密 (Adam Smith)所寫的《國富論》(The Wealth of Nations)。

工廠有作業員,計算何不用計算員?

《國富論》出版於 1776 年,堪稱奠定現代經濟學、同時也是影響最深遠的經典著作。這本書主要闡述市場運作彷彿有隻「看不見的手」在指導,使得全體國民致力於追求個人利益的同時,也促進了群體的福祉裡面。除了市場面,亞當·斯密也論及生產方式,主張專業分工才能提高生產效率。

他舉大頭針工廠為例,大頭針的製造過程大致可分為把鐵絲拉長、拉直、裁剪、削尖、拋光、結合針頭等步驟。相較於讓每個工人從頭到尾一手包辦,改成讓每個工人只專注於其中一項製程,反而能大幅提升生產效率。

1762 年《百科全書》(Diderot’s Encyclopédie)中有關工廠分工的版畫。圖/wikimedia

德普羅尼認為這也可以套用到對數表與三角函數表的計算。於是他把計算工作拆分成三個階段:

  • 第一階段只需要五、六位數學家,他們負責將對數與三角函數轉換為適當的多項式函數,並決定計算的數值範圍,以及精確到小數點幾位。
  • 第二階段由七、八位學生拆解多項式函數,直到算出固定差值,就可以做出「差分法」的計算工作表,留給下個階段的人計算(可參見底下說明)。
  • 大量的計算工作都在第三階段,由六十到八十位計算員執行 。這些計算員只要會加法就可以了,不需懂數學;其中不少人原本是宮廷的美髮師,大革命後便失業了,而被德普羅尼找來當計算員。事實上 “computer” 這個字在代表電腦之前,原來就是指專門負責計算的人。他們只要根據計算工作表上的數字,逐格填入累加的結果,就能算出所需要的函數值。

武林秘笈無用武之地,武功心法成後世典範

從 1793 年開始,德普羅尼帶著團隊以這種分工合作的方法,於 1796 年就完成多達二十萬個對數的對數表(前十萬個算到小數點後 19 位,後十萬個到第 24 位),與精確到千分之一度的三角函數表

不過法國大革命後,派系互鬥,政局幾無寧日,德普羅尼遲遲未能獲得經費印刷成冊。1804 年拿破崙廢除共和,即位皇帝沒多久後,就將時間與圓周角度恢復成舊制,新三角函數表已毫無用處。而太過精確的對數表,在實際應用上也不需要,因此德普羅尼等於白忙一場,多達十七冊的數值表手稿從此束之高閣,收藏在法國科學院的圖書館內。

德普羅尼的曠世之作雖然未能在當代發揮作用,但是他以生產線專業分工的方式,處理大量計算工作的創舉,卻成為後世的典範。在現代電腦出現之前,這個方式被廣泛運用於大型專案,例如美國太空總署初期的太空計畫,便雇用了大量女性當計算員。(電影《關鍵少數》(Hidden Figures)的主角便是其中幾位卓越的非裔女性。)

電影《關鍵少數》就是描述美國太空總署初期的太空計畫中,這些計算員的故事。圖/imdb

另一方面,深藏在法國科學院內的十七冊手稿,仍等待著有緣人發現它的真諦。十幾年後,一位來自英國的青年數學家來到法國科學院,才得知這份寶典的存在;他將從中獲得啟示,著手打造史上第一部真正的計算機。


小教室:差分法

如果知道兩個函數值之間的差值,也就是f(x+1) = f(x) + D,那麼只要不斷累加差值 D,便能推算出多項式函數的所有答案,這就是差分法。

f(x) = x2 + x + 41 這個函數為例f(x+1) = (x+1)2+(x+1)+41 = x2+2x+1+x+1+41 = f(x)+(2x+2) ,2x+2為第一階差值。再對 f’(x)=2x+2如法炮製,可得出 f’(x+1) = f’(x)+2,即第二階差值固定為 2。

  x  

 函數值

x2 + x + 41

第一階差值

2x+2

第二階差值

2

04122
14342
24762
35382
461102
571122

知道第二階差值等於 2 ,就可以不斷累加,得出第一階差值:2、4、6、8、10、……。

然後從 x = 0 的函數值 f(0) = 41 開始,再不斷累加第一階差值,即 f(1)=41+2=43; f(2)=43+4=47; f(3)=47+6=53;…… 以此類推,一直計算到所需要的位數為止。

二次函數的固定差值出現在第二階,三次函數則出現在第三階,以此類推。所以任何多項式函數一定可以用差分法算出答案。這個方法不用乘法,光靠加法就能算出任何多項式函數的值,因此不用懂數學也能幫忙計算。

  • 註:此處舉例的函數是出自大數學家歐拉(Leonhard Euler)於 1772 年發現的質數公式,前 40 個函數值都是質數。

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張瑞棋_96
423 篇文章 ・ 353 位粉絲
1987年清華大學工業工程系畢業,1992年取得美國西北大學工業工程碩士。浮沉科技業近二十載後,退休賦閒在家,當了中年大叔才開始寫作,成為泛科學專欄作者。著有《科學史上的今天》一書;個人臉書粉絲頁《科學棋談》。


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揭開人體的基因密碼!——「基因定序」是實現精準醫療的關鍵工具

科技魅癮_96
・2021/11/16 ・1998字 ・閱讀時間約 4 分鐘

為什麼有些人吃不胖,有些人沒抽菸卻得肺癌,有些人只是吃個感冒藥就全身皮膚紅腫發癢?這一切都跟我們的基因有關!無論是想探究生命的起源、物種間的差異,乃至於罹患疾病、用藥的風險,都必須從了解基因密碼著手,而揭開基因密碼的關鍵工具就是「基因定序」技術。

揭開基因密碼的關鍵工具就是「基因定序」技術。圖/科技魅癮提供

基因定序對人類生命健康的意義

在歷史上,DNA 解碼從 1953 年的華生(James Watson)與克里克(Francis Crick)兩位科學家確立 DNA 的雙螺旋結構,闡述 DNA 是以 4 個鹼基(A、T、C、G)的配對方式來傳遞遺傳訊息,並逐步發展出許多新的研究工具;1990 年,美國政府推動人類基因體計畫,接著英國、日本、法國、德國、中國、印度等陸續加入,到了 2003 年,人體基因體密碼全數解碼完成,不僅是人類探索生命的重大里程碑,也成為推動醫學、生命科學領域大躍進的關鍵。原本這項計畫預計在 2005 年才能完成,卻因為基因定序技術的突飛猛進,使得科學家得以提前完成這項壯舉。

提到基因定序技術的發展,早期科學家只能測量 DNA 跟 RNA 的結構單位,但無法排序;直到 1977 年,科學家桑格(Frederick Sanger)發明了第一代的基因定序技術,以生物化學的方式,讓 DNA 形成不同長度的片段,以判讀測量物的基因序列,成為日後定序技術的基礎。為了因應更快速、資料量更大的基因定序需求,出現了次世代定序技術(NGS),將 DNA 打成碎片,並擴增碎片到可偵測的濃度,再透過電腦大量讀取資料並拼裝序列。不僅更快速,且成本更低,讓科學家得以在短時間內讀取數百萬個鹼基對,解碼許多物種的基因序列、追蹤病毒的變化行蹤,也能用於疾病的檢測、預防及個人化醫療等等。

在疾病檢測方面,儘管目前 NGS 並不能找出全部遺傳性疾病的原因,但對於改善個體健康仍有積極的意義,例如:若透過基因檢測,得知將來罹患糖尿病機率比別人高,就可以透過健康諮詢,改變飲食習慣、生活型態等,降低發病機率。又如癌症基因檢測,可分為遺傳性的癌症檢測及癌症組織檢測:前者可偵測是否有單一基因的變異,導致罹癌風險增加;後者則針對是否有藥物易感性的基因變異,做為臨床用藥的參考,也是目前精準醫療的重要應用項目之一。再者,基因檢測後續的生物資訊分析,包含基因序列的註解、變異位點的篩選及人工智慧評估變異點與疾病之間的關聯性等,對臨床醫療工作都有極大的助益。

基因定序有助於精準醫療的實現。圖/科技魅癮提供

建立屬於臺灣華人的基因庫

每個人的基因背景都不同,而不同族群之間更存在著基因差異,使得歐美國家基因庫的資料,幾乎不能直接應用於亞洲人身上,這也是我國自 2012 年發起「臺灣人體生物資料庫」(Taiwan biobank),希望建立臺灣人乃至亞洲人的基因資料庫的主因。而 2018 年起,中央研究院與全臺各大醫院共同發起的「臺灣精準醫療計畫」(TPMI),希望建立臺灣華人專屬的基因數據庫,促進臺灣民眾常見疾病的研究,並開發專屬華人的基因型鑑定晶片,促進我國精準醫療及生醫產業的發展。

目前招募了 20 萬名臺灣人,這些民眾在入組時沒有被診斷為癌症患者,超過 99% 是來自中國不同省分的漢族移民人口,其中少數是臺灣原住民。這是東亞血統個體最大且可公開獲得的遺傳數據庫,其中,漢族的全部遺傳變異中,有 21.2% 的人攜帶遺傳疾病的隱性基因;3.1% 的人有癌症易感基因,比一般人罹癌風險更高;87.3% 的人有藥物過敏的基因標誌。這些訊息對臨床診斷與治療都相當具實用性,例如:若患者具有某些藥物不良反應的特殊基因型,醫生在開藥時就能使用替代藥物,避免病人服藥後產生嚴重的不良反應。

基因時代大挑戰:個資保護與遺傳諮詢

雖然高科技與大數據分析的應用在生醫領域相當熱門,但有醫師對於研究結果能否運用在臨床上,存在著道德倫理的考量,例如:研究用途的資料是否能放在病歷中?個人資料是否受到法規保護?而且技術上各醫院之間的資料如何串流?這些都需要資通訊科技(ICT)產業的協助,而醫師本身相關知識的訓練也需與時俱進。對醫院端而言,建議患者做基因檢測是因為出現症狀,希望找到原因,但是如何解釋以及病歷上如何註解,則是另一項重要議題。

從人性觀點來看,在技術更迭演進的同時,對於受測者及其家人的心理支持及社會資源是否相應產生?回到了解病因的初衷,在知道自己體內可能有遺傳疾病的基因變異時,家庭成員之間的情感衝擊如何解決、是否有對應的治療方式等,都是值得深思的議題,也是目前遺傳諮詢門診中會詳細解說的部分。科技的初衷是為了讓人類的生活變得更好,因此,基因檢測如何搭配專業的遺傳諮詢系統,以及法規如何在科學發展與個資保護之間取得平衡,將是下一個基因時代的挑戰。

更多內容,請見「科技魅癮」:https://charmingscitech.pse.is/3q66cw

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科技魅癮_96
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《科技魅癮》的前身為1973年初登場的《科學發展》月刊,每期都精選1個國際關注的科技議題,邀請1位國內資深學者擔任客座編輯,並訪談多位來自相關領域的科研菁英,探討該領域在臺灣及全球的研發現況及未來發展,盼可藉此增進國內研發能量。 擋不住的魅力,戒不了的讀癮,盡在《科技魅癮》