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基礎交互作用與原力(第四部曲):原力決選——阿宅物理(7)

科學大抖宅_96
・2017/12/21 ・4202字 ・閱讀時間約 8 分鐘 ・SR值 575 ・九年級

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在沒有很久以前、也沒那麼遙遠的銀河系裡……[1]
為找出原力的祕密,我們探索了作為基礎交互作用的電磁力弱力、強力重力。然而,原力並不在其中,我們心裡也忍不住起了疑惑……

星際大戰開頭必備的跑馬燈。(圖片來源

在前三回,我們討論了目前已知的四種基礎交互作用(電磁力弱力、強力重力),以及它們的基本原理。很可惜地,當中並沒有原力。不過,在這四種基礎交互作用中,有沒有可能存在著與原力性質類似的力呢?

交互作用的距離

原力最為人熟悉的用途之一,是能隔空取物。在《星際大戰第五部曲:帝國大反擊》(舊三部曲的第二集),絕地大師尤達便向年輕的主角路克示範原力,將太空船從沼澤裡升起;類似的情節也反覆出現在星際大戰各集之中。

沼澤邊的尤達和路克。source:IMDb

針對這一特點,我們可以從既有的基礎交互作用性質,做一些比對和猜測。以前曾提及的電磁力、弱力、強力和重力,適用範圍其實各有不同。弱力和強力基本上只作用在比原子更小的尺度;電磁力和重力則不受距離限制,整個宇宙都是它們的發揮空間。除此之外,各交互作用的強度也大不相同;在四者皆能產生作用的距離下,強力最強,電磁力次之,弱力排第三,重力最微弱。若以表格呈現,大致如下:

交互作用 傳遞粒子 作用範圍(公尺) 作用強度(比例)[2]
強力 膠子 10-15 10
電磁力 光子 10-2
弱力 W、Z粒子 10-18 10-13
重力 重力子(尚未觀測到) 10-42

從上表看來,既然原力可以遠距離移動物品,作用範圍極短的弱力跟強力只能出局了。而根據我們日常生活經驗,重力和電磁力也確實能夠從很遠的地方就發揮作用。例如,地球磁場雖然是在地球內部生成,卻能夠影響我們手中的指南針;我們從高樓丟出物品,地心引力可以隔空作用使其下墜。

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遺憾的是,雖然重力和電磁力原則上都可以對遠處物體作用,人類卻不具有操控重力的能力和技術。若想利用重力做到如星際大戰電影中自由移動物體的效果,要麼學《航海王》的海軍大將藤虎借助重力果實的能力,抑或等待我們對重力有更深層的了解,才有一絲希望。

《航海王》裡,海軍大將藤虎施展重力果實能力。(圖片來自《航海王》動畫)

相較之下,我們對電磁力倒是有一定程度的掌握。俄羅斯裔荷蘭兼英國物理學家安德烈.蓋姆(Andre Geim)便曾利用水的反磁性[3]成功使青蛙漂浮在空中,並因此得到西元 2000 年的搞笑諾貝爾物理獎[4]。只不過,電磁力的使用很大程度受到物體所帶電荷、或物體本身性質的限制,要作為原力並不是那麼理想。

  • 利用強大磁場以及水的反磁性,使青蛙漂浮在空中。

交互作用的統合

提到重力和電磁力的作用範圍都是無限遠這件事,或許會讓不少人回想起(並沒有),根據以前國、高中物理課所學,重力和電磁力,似乎有不少相似的地方。例如,兩個質點間的重力/電磁力大小,跟其質量(電荷)乘積成正比、和彼此距離平方成反比;再者,兩者也都以光速傳遞。如果你有這樣的疑惑,那麼你想的跟物理學家想的,其實概念相去不遠。

愛因斯坦在完成相對論之後,晚年花費大量時間與精力,想要把當時已知的基礎交互作用──重力和電磁力──統合在一起。這不是突發奇想,類似的事情在歷史上也曾發生過:電和磁相關的物理現象一度被人們認為分屬兩個不同領域,直到十九世紀後半,馬克士威(James Clerk Maxwell)以統一的架構描述二者,電和磁才合併為電磁力。只要簡單搜尋一下馬克士威方程組(Maxwell’s equations),就會發現它同時包含了電場和磁場,而且兩者互相影響。

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很可惜地,愛因斯坦的嘗試以失敗作終;至今也沒有人成功合併重力和電磁力。以後見之明來看,愛因斯坦是註定要失敗的:在他的年代,物理學家對弱交互作用所知不多,強交互作用更尚未被發現。少了兩種基礎交互作用可以參考,愛因斯坦、或其他任何人,都不可能在資訊不足的狀況下統合電磁力和重力。事實上,在四種交互作用中,重力是最難被整合在一起的。根據前面的表格,我們可以看到重力跟其他作用力相比,微弱到不可思議的地步!要如何在同一個理論下,自然地統合重力和其他力,讓物理學家傷透了腦筋(但這還不是最麻煩的)。

愛因斯坦曾嘗試統合重力和電磁力,不過並未得到令人滿意的成果。 圖/Pixabay

愛因斯坦的未竟之業,在 1960 年代終於有了轉機。因著格拉肖(Sheldon Glashow)、薩拉姆(Abdus Salam)和溫伯格(Steven Weinberg)等人的努力,電磁力和弱力被成功統合為電弱交互作用(electroweak interaction)[5]。兩者乍看雖差距甚大,但在極微小的尺度(或夠高的能量)下,卻能夠被表述為電弱交互作用的不同面向。類似於,在日常的磁力實驗(想像我們拿兩個磁鐵互相靠近),我們只看到磁鐵的互相吸引或排斥,好像跟電沒什麼關係;但在某些狀況、或特別設計的實驗下,我們就能觀測到磁場和電場互相影響的情形。同樣地,只要尺度夠小,看似非常不同的電磁力和弱力,都可以用電弱交互作用一併描述。

儘管在統合基礎交互作用的目標上有了初步進展,強力和重力卻依然故我、獨立存在,不跟弱力和電磁力發生關係。這部份也跟人類的科學技術有關──強力和重力預期要在更小(遠超目前人類實驗所能及)的尺度,才會顯現出它們跟其他交互作用的連結。換言之,我們不但沒辦法從實驗得到太多暗示,即使我們有了好的理論,也難以驗證其正確性。這都有待未來物理學家的持續挑戰。

交互作用統合示意圖。縱軸代表宇宙年齡;右方則標示該宇宙年齡對應的粒子能量。縱軸越往上表示宇宙年齡越小、對應粒子能量越高(尺度越小)。我們現在實驗所能達成的能量,最高只到 10000 GeV(1013 電子伏特)這個量級,也就是只能檢驗到宇宙誕生後約 10 的負十幾次方秒時的物理現象;當時電磁交互作用和弱交互作用仍是合在一起的。(圖片來源

原力的最可能候選?

那麼,原力還有沒有其他特徵,可以讓我們更好地跟現有的交互作用比對呢?在《星際大戰第四部曲:曙光乍現》裡,歐比王對天行者路克是這麼解釋的:「(原力)是所有生物形成的力場,它在環境中,在我們身上,它維繫銀河於不墜。」根據歐比王的形容,國外鄉民紛紛猜測,原力一定是指萬用膠帶!「畢竟萬用膠帶(跟原力一樣)也有光明面和黑暗面,還可以把東西黏捆聚集在一起……」

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歐比王(右)跟年輕的路克(左)解釋原力。

不過,若說到基礎交互作用,重力似乎最符合「維繫銀河於不墜」的描述。我們知道,就是因為太陽龐大的引力,太陽系裡的所有行星才能繞著太陽轉,形成一個系統;銀河系裡的所有恆星系統,也都在重力作用下圍繞銀河系中心運行。又或者說,整個宇宙的演化,乃至星系、恆星,和行星的生成,重力都扮演了關鍵性的角色。如果硬要在四種基礎交互作用中選出一種充當原力,重力可說是最恰當的候選者。不過其實,要保持宇宙的現有樣貌,四種交互作用缺一不可;組成我們身體的原子,也同時受到所有交互作用的影響。

交互作用和心靈控制

等等!星際大戰中,原力可不只是拿來搬搬石頭、維繫銀河這麼簡單。在《星際大戰第七部曲:原力覺醒》裡,女主角芮甚至用原力改變帝國風暴兵的心智,而得以從拘禁中逃脫。這是怎麼回事?重力做得到嗎?

確實,就我們目前所有的科學知識來說,用基礎交互作用來操縱心靈這種事是無法想像的。所以,我們只能腦洞全開,設想如下的腦補極大化三部曲,分別對應到括號裡三個非常困難的科學問題。

一、假設我們跟海軍大將藤虎一樣吃了重力果實,或用某種科學技術,可以自由控制重力的大小和方向,壓過其他交互作用的影響並操縱所有物體,包括原子和次原子粒子。(我們有可能操控重力嗎?)

二、假設人的意念和思考完全由大腦決定,或說,由大腦的原子結構決定。儘管現實上,我們對於大腦原子結構如何能產生意識幾乎一無所知。(意識從何而來?)

三、那麼或許,能夠自由控制重力以操縱大腦的原子結構,就等於能夠自由操縱人的思想。(思想和記憶如何對應到大腦組成及其原子結構?)

這邊必須強調,以上三個問題,沒有任何一個在近未來看得到顯著進展。在此的討論純為原力探尋之旅做個補完。

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原力探尋之旅的終點

我們在〈基礎交互作用與原力〉系列共四篇文章中,討論了目前已知的四種交互作用,以及它們的統合;很可惜地,它們並無法完美對應到星際大戰中的原力。雖然不能排除未來發現新的基礎交互作用的可能性,但其擁有原力全部特徵的機會恐怕是微乎其微。

絕地大師尤達在《星際大戰第五部曲:帝國大反擊》曾形容:「生命創造原力,使之成長。」或許這樣的描述,更適合留在文本裡,與七龍珠的「氣」、火影忍者的「查克拉」、或是聖鬥士星矢的「小宇宙」互相對照吧。願原力與你同在!

注解:

  • [1] 請參考電影〈星際大戰(Star Wars)〉。該系列電影開頭總會有 “A long time ago in a galaxy far, far away….” 的跑馬燈字幕。
  • [2] 必須注意的是,交互作用強度實際上依情況而定,這邊的數字只是大概,而非精確數字。
  • [3] 反磁性(Diamagnetism)指的是,當某些物質處於外加磁場中,其內部會感應生成相反方向的磁場,使得該物質對外部磁場產生排斥現象。
  • [4] 他更因「在二維石墨烯材料的開創性實驗」獲頒 2010 年的諾貝爾物理獎,成為至今唯一一位既獲得搞笑諾貝爾獎,也獲頒諾貝爾獎的得主。
  • [5] 三人因此得到 1979 年的諾貝爾物理獎。

參考資料:

  • David Griffiths (2008) Introduction to Elementary Particles, Second Edition.
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科學大抖宅_96
36 篇文章 ・ 1853 位粉絲
在此先聲明,這是本名。小時動漫宅,長大科學宅,故稱大抖宅。物理系博士後研究員,大學兼任助理教授。人文社會議題鍵盤鄉民。人生格言:「我要成為阿宅王!」科普工作相關邀約請至 https://otakuphysics.blogspot.com/

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從「衛生紙」開始的環保行動:一起愛地球,從 i 開始
鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2024/12/03 ・1592字 ・閱讀時間約 3 分鐘

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你是否也曾在抽衛生紙的瞬間,心頭閃過「這會不會讓更多森林消失」的擔憂?當最後一張衛生紙用完,內心的愧疚感也油然而生……但先別急著責怪自己,事實上,使用木製品和紙張也能很永續!只要我們選對來源、支持永續木材,你的每一個購物決策,都能將對地球的影響降到最低。

二氧化碳是「植物的食物」:碳的循環旅程

樹木的主食是水與二氧化碳,它們從空氣中吸收二氧化碳,並利用這些碳元素形成枝葉與樹幹。最終這些樹木會被砍伐,切成木材或搗成紙漿,用於各種紙張與木製品的製造。

木製品在到達其使用年限後,無論是被燃燒還是自然分解,都會重新釋放出二氧化碳。不過在碳循環中,這些釋出的二氧化碳,來自於原本被樹木「吸收」的那些二氧化碳,因此並不會增加大氣中的碳總量。

只要我們持續種植新樹,碳循環就能不斷延續,二氧化碳在不同型態間流轉,而不會大量增加溫室氣體在大氣中的總量。因為具備循環再生的特性,讓木材成為相對環保的資源。

但,為了木製品而砍伐森林,真的沒問題嗎?當然會有問題!

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從吸碳到固碳的循環

砍對樹,很重要

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不論是黃碳問題,還是要確保雨林珍貴的生物多樣性不被影響,經營得當的人工永續林,能將對環境的影響降到最低,是紙漿和木材的理想來源。永續林的經營者通常需要注重環境保護與生態管理,確保砍下每顆樹木後,都有新的樹木接續成長。木材反覆在同一片土地上生成,因此不用再砍伐更多的原始林。在這樣的循環經營下,我們才能不必冒著破壞原始林的風險,繼續享用木製品。

人工永續林的經營者需要注重環境保護與生態管理,確保砍下每顆樹木後,都有新的樹木接續成長。

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鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
214 篇文章 ・ 312 位粉絲
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解析韋伯太空望遠鏡第一批影像背後的科學意義
EASY天文地科小站_96
・2022/07/14 ・4350字 ・閱讀時間約 9 分鐘

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  • 作者:林彥興|EASY 天文地科小站主編、清大天文所碩士生,努力在陰溝中仰望繁星

萬眾矚目的詹姆士韋伯太空望遠鏡,在經過半年的校準與測試後,終於公開了它拍攝到的第一批成果。這些五彩斑斕、美麗絕倫的照片究竟是什麼樣的天體,照片的背後又有哪些深藏的意義?就讓我們一起深入解密,韋伯的第一批照片吧!

韋伯望遠鏡是什麼?

詹姆士.韋伯太空望遠鏡是美國、歐洲與加拿大太空總署合作開發的新一代旗艦級紅外線太空望遠鏡,也是無數天文學家夢寐以求、能幫助人類破解許多未解天文迷團的利器。

韋伯的研發其實早從 1996 年就已經開始,但是由於開發時遇到諸多困難,導致嚴重的預算超支與進度延宕,這台耗資上百億美金的超級望遠鏡,直到去年年底才終於從法屬圭亞那發射中心,用一枚亞利安 5 號運載火箭發射升空,前往距離地球 150 萬公里的日地第二拉格朗日點。

拉格朗日點是什麼?

日地拉格朗日點一共有五個。當物體在這些點上,其受到來自太陽與地球的重力恰到好處,因此太空船只需要少量的燃料,就可以長期與地球和太陽保持穩定的相對位置,可謂是地球軌道附近的風水寶地。

而韋伯繞行的,是位於地球後方的第二拉格朗日點,簡稱 L2。之所以選擇這裡,是因為只有 L2 的位置剛好會讓地球、太陽、月亮都在同一側,而這三個星體正是天文望遠鏡的主要紅外線光害來源。位在 L2 的韋伯,就可以用它的遮陽帆一次把三顆星體全部擋住,認真凝望遠方而不受干擾,因此 L2 可以說是觀測宇宙的絕佳地點。升空的幾個月之間,韋伯已經完成一系列的儀器校準工作,一步步把望遠鏡調整到最佳狀態。

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相比知名前輩「哈伯太空望遠鏡」,韋伯的優勢不只是擁有比哈伯大六倍的鏡面,更重要的是它是以紅外線為主力觀測波段。宇宙膨脹造成嚴重紅移,但哈伯望遠鏡的守備範圍主要是可見光,波長範圍是 90 – 2500 奈米,可說是鞭長莫及啊。

這時換上以波長 600 – 28500 奈米的紅外線為守備範圍的韋伯,就可以讓我們看到更遙遠、更古老的宇宙。此外,同一個天體在可見光和紅外線看起來,往往長得相當不一樣。這個強大的紅外線觀測能力,正是韋伯最引以為傲的武器。

作為深具儀式感的第一批科學影像,韋伯這次公布的影像分別對應四個主要科學主題:早期宇宙星系演化恆星的生命循環系外行星

1. 早期宇宙—— 星系團 SMACS 0723 與重力透鏡效應

星系團 SMACS 0723。圖/Webb Space Telescope

畫面中心黃白色的天體,是由成百上千的星系共同組成的星系團 SMACS 0723。在韋伯之前,哈伯太空望遠鏡就曾經花費數個禮拜的時間拍攝這個星系團。然而擁有更大鏡面、更精良儀器的韋伯,僅用了 12.5 個小時就拍出了解析度更高、畫面品質更好的照片,讓我們看到許多以前難以辨識的黯淡星系。可見哈伯與韋伯在觀測能力上的差距。

對天文學家來說,圖中最令人興奮的其實不是前景壯闊的星系團,而是後方這些經過重力透鏡扭曲和放大的小小星系們。星系團龐大的質量扭曲了周圍的時空,讓整個星系團好像一塊巨大的放大鏡一樣,可以偏折和聚焦通過的星光,稱為「重力透鏡效應」。

當星系團後方更遙遠、更古老的星系發出的光線通過星系團時,就會被星系團的重力透鏡效應偏折和聚焦,形成而圖中無數弧形的扭曲影像。

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紅圈為照片上受重力透鏡影響的區域之一,可以看到星系被拉長。

這些仍在襁褓中的小小星系,往往正在快速的孕育新的恆星,或是互相合併,因此有著混沌不規則的形狀。離我們越遠的星體發出的光,需要越長的時間才能到達我們的眼中。因此研究這些遙遠且古老的星系,能幫助天文學家理解宇宙早期的模樣。

2. 星系演化——史蒂芬五重奏(Stephan’s Quintet)

上一張照片讓我們認識星系的起源,這張「史蒂芬五重奏(Stephan’s Quintet)」則可以讓天文學家更仔細地研究星系內的複雜結構,以及星系與星系之間的交互作用。

史蒂芬五重奏(Stephan’s Quintet)。圖/Webb Scape Telescope

正如其名,「史蒂芬五重奏(Stephan’s Quintet)」是由五個視覺上相當靠近的星系所組成。但其實最左邊的這個星系(NGC7320)與另外四者並無關聯,只是從地球上看剛好位在天空中差不多的位置而已。

圖片中偏向黃白色,感覺如絲綢般順滑的部分是在近紅外線波段拍攝,主要顯示的是星系中恆星的分布;而醒目的橘紅色,則是來自中紅外波段的資料,展示的是星系中的高溫塵埃,以及星系中的氣體高速對撞時產生的震波(Shock wave)。

除了影像,韋伯還使用光譜儀仔細檢視了影像中右上方的星系(NGC 7319)中心,因為那裏有一顆比太陽重 2400 萬倍的超大質量黑洞,正在吸食周遭的氣體,並在過程中釋放巨大的能量。

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藉由觀察光譜的細節,韋伯可以分辨出像是氬離子、氖離子或是氫分子等等化學組成,甚至知道氣體的溫度、運動速度這些從一般照片難以辨識的資訊。

史蒂芬五重奏就像一個天然的實驗場,讓天文學家研究星系演化的詳細過程。

3. 系外行星——WASP-96 b 的大氣光譜

這一張照片可能是整批影像中,視覺上最不起眼的一張,它是系外行星 WASP-96 b 的大氣光譜。

WASP-96 b 的大氣光譜。圖/Webb Scape Telescope

最近 20 多年來,人類對太陽系以外行星的認識越來越多。截至今日,人類已經發現超過 5000 顆系外行星。然而,以現有的觀測技術,天文學家通常只能用一些間接的方法,測量它們的質量、半徑、軌道週期等粗略的特性。想知道這個行星是否適合生命生存,就不能少了行星大氣層的化學組成和溫度資訊。

那要怎麼取得行星的大氣資訊呢?當行星通過恆星跟地球中間時,恆星的一部分星光將會通過行星的大氣層,並被行星的大氣吸收。吸收的多寡和波段,取決於行星大氣層的溫度和化學組成等特性。此時,天文學家就可以藉由分析光譜中的各種特徵,去回推行星大氣層的性質。

圖片中的白點,即是韋伯實際觀測 WASP-96 b 時取得的光譜資訊。而藍色的線,則是天文學家認為最貼合觀測數據的理論模型。

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根據這個觀測結果,天文學家計算出 WASP-96 b 的大氣溫度約為 725°C,大氣中明顯有著水氣,並推測可能還有雲和霾存在。未來進一步的分析和觀測,將為世人揭開更多系外行星的神祕面紗。

4. 恆星的生命循環——「南環狀星雲」與「船底座大星雲(Carina)」

最後兩張照片都與恆星的生命循環有關。正如人會有生老病死,恆星也是一樣。

恆星一般誕生在巨大分子雲中,氣體在重力吸引下逐漸塌縮、升溫並點燃核融合,成為一顆恆星。

當小質量的恆星步入晚年,其結構容易變得不穩定,最終將自己的外層氣體拋射出去,形成美麗的行星狀星雲,也將氣體吐回到星際空間中,成為下一代恆星的養分。氣體都拋射完之後留下的核心,就是白矮星。

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各位現在看到的,是暱稱「南環狀星雲」的行星狀星雲,左右兩張圖分別於近紅外線與中紅外線拍攝。

南環狀星雲。圖/Webb Scape Telescope

我們可以看到,左圖中的影像比右圖要更清晰一些,這是因為在相同的望遠鏡口徑下,波長越短所能達到的理論解析度就越高。

有趣的是,在左圖中看起來位於星雲中心的明亮恆星,其實並不是行星狀星雲的核心。真正的核心其實是在其左下方,一顆被塵埃包裹著的黯淡白矮星。在近紅外線波段的影像中,這顆白矮星幾乎淹沒在隔壁恆星的炙烈星芒之中。

但在中紅外波段,由於恆星的亮度相對降低,包裹著白矮星的塵埃發出的光就變得清晰可見。再次展示即使是同一個天體,使用不同的波段進行觀測,往往可以看到不同的東西。

最後這片壯麗的宇宙山崖,則是位於「船底座大星雲 Carina」西北角的 NGC3324 恆星形成區。在這裡,源自星雲中無數初生恆星所發出的炙烈輻射、恆星風與噴流,吹散、游離了星雲中原有的濃密氣體與塵埃。交織出這片壯闊而複雜的結構。

船底座大星雲(Carina)。圖/Webb Scape Telescope

這張照片一共結合了這六個不同的濾鏡的影像拍攝而成。每個濾鏡涵蓋的波段各不相同,代表的物理意義也不一樣。比如(F090W、F200W、F444W)這三個寬帶濾鏡,分別在影像中按照波長順序,以藍色、綠色和紅色這三原色呈現,為照片打下骨幹。而在此之上,照片的製作團隊又疊上青色代表氫原子的(F187N)濾鏡影像,以黃色代表氫分子的(F470N)濾鏡影像,以及用橘色代表甲烷和多環芳香烴的 (F335M) 濾鏡影像,為照片再添更多的細節。

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想要將這麼多個波段的影像全部結合起來,仔細調整讓細節更加突出,最終呈現出一張如此絢麗又震撼的照片,是非常不容易的。這展示了韋伯太空望遠鏡不僅在科學上相當重要,在藝術上也價值非凡。

最後別忘了,以上只挑選介紹了第一批資料中最具代表性的幾張,更多關於五個目標的照片和光譜,可以在韋伯的官網上找到。而這批照片,又只是韋伯未來二十年服役生涯中,前兩個月的小試牛刀而已。韋伯的時代,才剛剛要開始!

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EASY天文地科小站_96
23 篇文章 ・ 1560 位粉絲
EASY 是由一群熱愛地科的學生於 2017 年創立的團隊,目前主要由研究生與大學生組成。我們透過創作圖文專欄、文章以及舉辦實體活動,分享天文、太空與地球科學的大小事

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為什麼在下雨天時,你不會被雨滴狠狠痛扁?
若芽_96
・2022/04/21 ・5518字 ・閱讀時間約 11 分鐘

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下雨天的時候走在路上,天氣涼涼的,聽著雨聲的感覺非常好。但是你有沒有想過,為什麼雨滴會從天上掉下來?

「啊!就像蘋果會掉到地面一樣,會受到重力的作用嗎?」你可能會這麼說。

好,那我們這邊就來帶大家算一下,一滴雨從高空落到地面,純粹只有受到重力時,應該是什麼樣子的感覺吧!

只有受到重力作用雨滴的運動分析

當不考慮空氣阻力時,由高空落下的物體全程會受到重力加速度值 g 的作用,而因為地表的重力加速度約為定值,以海平面且緯度 45º 為標準,其數值為 9.8m/s2 [1]。因此雨滴從高空落下時,可以視為一個單純的等加速度運動,而這個運動我們又稱之為自由落體

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假設雨滴是靜止落下且受到重力加速度值 g 作用,即可根據等加速度運動公式,求得雨滴從高度 h 自由落下時的末速度值:

然而,在探討雨滴落下的末速度之前,我們必須對於雲的分類以及大致上的高度有一個基本的了解,才能比較明確地知道我們要探討的雨滴大概是從什麼樣的高度落下來的。

氣象學家 Luke Howard 於 1803 年中的著作《論雲的變形》(The Essay on the Modification of Clouds)中,按照不同雲的形狀、組成、形成原因,將雲分為 10 大雲屬,並且將這 10 大雲屬劃為三個雲族,分別為:位於距地表 6,000 至 7,000 公尺的高雲族,位於距地表 2,000 至 6,000 公尺的中雲族,以及位於距地表 0 至 2,000 公尺的低雲族[2]。另外,則還有橫跨了三個不同雲族高度的直展雲族,常常造成短暫但是相當豐沛的降雨量[3]

國際氣象組織所提供的基本雲的分類標準對照圖。圖/世界氣象組織[2]

按照國際氣象組織所提供的分類,以及 Luke Howard 的定義,天空中主要的降雨來源為積雨雲(cumulonimbus)以及雨層雲(nimbostratus),降雨來源以雨層雲較為常見,且其雲底多為 1,200 公尺以下。故我們這邊計算雨滴的高度時,便以 1,200 公尺作為高度的參考依據。

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因此,當一滴雨從高空落下,代入前述自由落體公式,即可計算出雨滴理論上應該要有的末速度:

根據上述的計算式子可以知道,當雨滴從高處落下時,如果沒有任何的空氣阻力,雨滴落到地面的速度大約會是 153 m/s。

對於這個數字沒有感覺嗎?那這邊簡單地計算給你看一下,讓你有點 fu。但是在這個計算之前,首先我們要先對於雨滴的大小有個概念。

依照 2009 年的相關研究[4]顯示,小雨滴在降落時幾乎是圓形,可是隨著體積越大,就會變得越扁平,受到空氣的影響也會越明顯。當雨滴達到特定的大小時,就會被切割為較小的雨滴,也因此最大的雨滴直徑會被限制在 6 mm 左右。

而按照另一個研究[5]對於雨滴粒徑的分布探討,發現雨滴的直徑多數是落在 0.5 mm 至 4 mm 之間,也就是半徑 0.25 mm 至 2 mm 之間。

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不同大小的雨滴受到空氣影響的形變研究示意圖。圖/Wikipedia [6]

這邊先姑且不論雨滴本身的化學成分所帶來的密度差異,以及落下過程中的密度和質量變化。因此我們可以簡單的利用密度、質量和體積的關係式,假設有一顆雨滴的成分皆為水,密度為 1 g/cm3,半徑 2 mm,且為均勻球體的情況下,計算這顆雨滴的質量如下:

接著,我們利用牛頓第二運動定律動量衝量的概念,來計算平均一顆雨滴所造成的衝擊力大小。這邊,我們假設你是淋雨的狀態,雨滴跟你的腦袋接觸的時間大約為 0.001 秒,且雨滴最後會完全靜止在你的腦袋上,也就是末速度為 0。

此時,造成雨滴會有速度變化的作用力有二,一為雨滴所受到的重力、二為腦袋給雨滴的正向力。根據牛頓第三運動定律,腦袋給雨滴的作用力,與雨滴給腦袋的作用力,為「作用力與反作用力」之間的關係。

那我們要怎麼知道雨滴對於腦袋的衝擊力有多少呢?

根據前面的假設,我們假設腦袋給雨滴的作用力使用變項為 N,可以列式如下:

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雖然我們前面說,在計算正向力 N 時,應該要將重力納入考量,不過實際計算後會發現雨滴本身重量也不算大,相較之下,後面的重力項是可以忽略的,因此計算出來的衝擊力約為 0.52 kgw。

嗯?你說你還是沒有感覺嗎?再說白話一點好了,這個重量就差不多是一瓶 500 ml 的礦泉水壓在你身上的感覺。這只是單一顆雨滴,平常在下雨的時候絕對不可能只有一顆雨滴。一瓶礦泉水壓在身上其實是有感覺的,那很多雨滴下在身上,等同於很多很多瓶礦泉水壓在身上,那肯定也是非常有感。

修但幾勒,這個結論跟我們平常淋雨的感覺完全不同吧!那到底問題出在哪裡?

其實雨滴不只受到重力的作用

雨雲本身存在於大氣層的對流層內,而對流層內充滿很多空氣分子。當雨滴在這些空氣分子所形成的「流體」裡面移動的時候,會使得雨滴本身除了受到重力以外,還會額外受到空氣阻力(drag force)的作用。

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在流體動力學中,在流體中移動的物體會受到一個和運動方向相反的阻力。這個阻力來自流體,會存在於兩個流體層之間,或者是流體與固體之間。可是,這和以往我們所學的固體和固體之間的摩擦力不同,因為物體在流體中受到的阻力其實是和物體移動的速度有關[7][8]

物體在流體中所受到的阻力,會受到物體大小、形狀、特性,以及流體性質的影響。阻力方程式(drag equation)概括了這些因素,描述如下[7]

其中,ρ 為流體的密度(如果是在空氣中,則是空氣的平均密度)、A 為物體在流體中的有效面積、v 為物體在流體中之速度;CD 則是阻尼係數,是一個沒有因次的數字,一般來說會跟物體的形狀以及雷諾數(Reynolds number)有關。

而雷諾數則是在流體動力學之中,流體慣性力(inertial force)和黏性力(viscous force)的比值,用來預測流體狀態的無因次物理量。對於不同的流體來說,雷諾數會有很多不同的表達方式,但一般來說都會包含流體的密度(density)、黏滯性(viscosity)、流體的流速,以及特徵長度或尺寸。

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最基本的雷諾數可以表示如下[9]

其中,ρ 為流體的密度,v 為流體的平均流速、D 為特徵長度,而 μ 則為流體的黏滯性。

雷諾數低的時候,流體會呈現層流(laminar flow)的狀態。流體分子會在每一層中平順流動,相鄰層之間就像堆疊的紙牌,鮮少或甚至幾乎沒有混合,當然也不會產生漩渦[10]

相反地,在雷諾數高的時候,流體則是會呈現紊流(turbulent flow)的狀態,流體的流速跟壓力沒有一定的變化規律,流體分子也沒有明顯的平行層,很常會互相混合在一起[11]

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圖 a 為層流的流線示意圖,而圖 b 則為紊流的流線示意圖。圖/SimScale [12]
黏滯力是一種流體受到外來作用力所產生的阻力,來源為液體內部的摩擦力。黏度較高的流體比較不容易流動,黏度較低的流體反之。本圖為不同黏性的流體所呈現出來的狀態模擬。左邊為黏性低的流體、右邊則為黏性高的流體。圖/Wikipedia [13]

扯遠了扯遠了,我們還是繼續回到原本的阻力方程式。

根據實驗觀察,在雷諾數較高,也就是流體的密度較大、流速較快,而且黏滯性較小時,阻力係數可以幾乎視為定值。此時,阻力就會跟流體流速的平方成正比,公式如下:

而在雷諾數低,也就是流體密度較小、流速較慢且黏滯性較大時,阻力係數會和雷諾數的倒數成正比,因此我們結合雷諾數本身的定義以及阻力方程式,就可以知道「在雷諾數較低時,阻力與流速之間的關係為線性關係」,公式如下:

依照前面講過的阻力方程式和流速之間關係的背景知識,讓我們回到最一開始遇到的雨滴問題。

之前在分析雨滴的受力時,只有考慮到重力的作用,計算出雨滴自 1200 m 高的雨雲雲底落到頭上時,速度約為 153 m/s。在考慮到空氣阻力時,由於阻力與雨滴的運動方向恆相反,因此我們可以將雨滴的質量先以 m 作為變項,假設雨滴為正球形且半徑為 R,繪製雨滴所受到的力圖如下:

雨滴所受到的力。圖/筆者親繪

因為空氣阻力恆與物體運動的速度反向,而雨滴在落下的時候,速度一定是向下的,加速度也向下,故空氣阻力會向上。

阻力方程式中的 A 是投影的等效面積,在球形的雨滴中,即為上圖斜線部分,可以用半徑 R 和圓面積的公式來計算。此時,我們利用牛頓第二運動定律計算雨滴運動過程中所受到的加速度量值,來觀察雨滴運動的情形:

如果今天的流體狀況是屬於高雷諾數的情況(流體的密度較大、流速較快且黏滯性較小)時,則前述的式子可以下表示,並計算出加速度的關係式:

反之,如果是低雷諾數的情形(流體的密度較小、流速較慢且黏滯性較大),則前述的式子可以下表示,也順手計算出加速度的關係式:

從前面的兩條化簡式子,可以看出雨滴掉落時,不論雷諾數如何,速度漸大都將造成阻力漸大,並使得加速度漸小。當達到一定的速度時,雨滴就不再會有加速度,而是改以等速度的方式落下。此時,雨滴所具有的速度即終端速度(terminal velocity, vt)。在終端速度時,我們可以知道雨滴所受到的重力與拖曳力達到力平衡,因此可以根據不同的雷諾數而列式。高雷諾數的情況下所計算出的終端速度如下:

低雷諾數的情況下所計算出的終端速度如下:

我們這邊以高雷諾數的流體情形來考量大氣中的情況,與前面的條件相同假設,也就是雨滴為半徑是 2 mm 的正球體,雨滴密度主要成分為水,因此密度為 1000 kg/m3,而阻尼係數這邊我們根據雨滴的形狀和經驗公式簡單取 0.6 來概略估算[14]

利用高雷諾數的情況計算終端速度實際值時,會需要流體的密度。在這裡,我們討論的對象是空氣中的雨滴,故理想上(當然,這是很理想的情況下)可以使用理想氣體方程式來求出於 1 大氣壓、20ºC 時候的空氣密度,來代入終端速度的公式。

代入我們目前空氣的條件,也就是 1 大氣壓、20ºC 的情形,而這邊務必將所有單位都轉為 SI 制,加上理想氣體常數,此時使用的是 8.314。其中,M 為空氣的分子量,我們這邊使用 28.97 g 配合以上的條件代入計算[15]

將前述所得到的空氣密度數值,結合前面的其他條件,代入高雷諾數情況的終端速度公式,即可計算終端速度:

由計算結果可以知道,當考慮到空氣阻力時,雨滴會以 8.52 m/s 的終端速度落下,比起之前純粹考慮重力時,求出的 153 m/s 來說小了非常多,是原本的二十分之一。按照牛頓第二運動定律,這樣的雨滴打到腦袋時,對於腦袋瓜的正向力也會減為原本的二十分之一。如此一來,就比較像我們平常淋雨的情況了。

由前面的計算過程,我們可以明白從高空落下的雨滴不只有受到重力。能夠讓我們下雨天走在路上不被雨滴狠狠槌死的最重要因素,其實就是空氣阻力的功勞。同時,我們可以知道,造成雨滴落下的運動過程並非等加速度,而是變加速度運動。利用牛頓第二運動定律得出加速度的關係式後,也知道速度越來越大,加速度就會越來越小。在加速度為 0 時,則會以終端速度等速落下。

最後,讓我們來感謝空氣阻力,讓每一個人在下雨天的時候都能安心走在路上。

註解

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若芽_96
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因為人生想要追求知識跟技能樹的全開,而遊走在物理、法律、職業安全衛生、數位行銷、數據分析等各種不同領域的人。下一個領域會去哪呢?我也不知道,不過持續不停向前這是絕對必要的。個人網站:https://wakame.tw