星爺一腳帶你飛！從物理學角度解析「大力金剛腿」有多致命？——《少林足球》20 週年

• 文／賴昭正 前清大化學系教授、系主任、所長；合創科學月刊

（瓦特斯頓）論文的歷史說明了:… 價值不確定的文章，高度投機性的研究⎯⎯尤其是不知名的作者⎯⎯最好（先）通過科學界以外的其它渠道呈現給世界。

-瑞利爵士（Lord Rayleigh）1904年諾貝爾物理獎得主

在「抱歉了愛因斯坦，但我真的沒辦法頒獎給那個酷理論—為何相對論與諾貝爾獎擦身而過？」裡，筆者提到了 19 世紀末的物理學家曾經非常自滿地認為物理學上的基本問題都已經解決了，剩下的只是細節問題。例如 1874 年，量子師祖普朗克（Max Planck）的指導教授久利（Philipp von Jolly）就告訴他說：「在這個（物理）領域，幾乎所有的東西都已經被發現了，剩下的就是填補一些不重要的漏洞。」普朗克回答說他不想發現新的東西，只想「了解」這個領域的已知基礎。

現在我們當然知道事與願違，19 世紀末的物理不但未靜如止水，反而是刮起大風大浪的預兆。例如誰想到就在那個世紀結束前的 12 月，普朗克為「了解」靠猜測所提出來的黑體輻射公式，被「迫」提出能量量化的觀念，成了發現量子力學的第一大功臣（參見「黑體輻射光譜與量子革命」），改變了整個物理學家對客觀世界的看法。

而後在 20 世紀才開始不久的 1905 年，瑞士專利局最低等級的審查員愛因斯坦（Albert Einstein）更不知道從何處突然冒出一篇題爲「關於運動物體的電動力學（On the Electrodynamics of Moving Bodies）」論文，吹起了 20 世紀的第一個物理革命號角，徹底改變了統領物理界 300 多年的牛頓時空觀念。可是良馬⎯愛因斯坦這一篇論文—如果沒有遇到伯樂，它會是一匹良駒嗎？如果不會，那誰是那一篇論文的伯樂呢？

誰會是愛因斯坦的伯樂？

這篇題為「關於運動物體的電動力學」的論文事實上是很奇怪。這標題通常應是討論磁性或介電物質在電磁場中的運動特性，但愛因斯坦根本沒有分析這個主題，而是花了很多篇幅在前半部分討論：許多物理學家都認為理所當然之某些基本物理概念的性質。而論文中唯一明確討論之法拉第的電磁感應實驗，則是用當時的理論就可以充分解釋、大多數物理學家認為已不甚重要性的題目；最後建議丟棄一些廣泛使用的概念（例如「同時」及以太等）。更不尋常的是：作者是一位名不見經傳、任職於專利局的小職員，其撰寫的風格和格式都非正統，沒有引用任何當時的文獻！

愛因斯坦曾希望他當年在《物理年鑑》這傑出期刊上的大量論文能夠讓他擺脫默默無聞的三流專利審查員，獲得一些學術認可，甚至找到一份學術工作；因此在論文出版後，他妹妹後來回憶說：

「（愛因斯坦）曾努力翻閱《物理年鑑》，希望能找到對他理論的回應。……但他非常失望，出版之後（的反應）是冰冷的沉默。」

在無奈的失望中，愛因斯坦突然於 1906 年 3 月收到了第一個物理學家的反應；令他驚奇的是：這位物理學家竟然不是別人，而是當時歐洲受人尊敬的理論物理學大師普朗克！普朗克給愛因斯坦寫了一封充滿熱情洋溢的信，謂其相對論論文「立即引起了我的熱烈關注」，並將到專利局所在地伯爾尼（Bern）拜訪他！愛因斯坦當然很興奮，立即寫信告訴他以前的家教學生、合創「奧林匹亞學院（Olympia Academy）」、剛剛搬離伯爾尼的好友索洛文（Maurice Solovine）：

「我的論文倍受讚賞，並引起了進一步的研究。普朗克教授最近寫信告知我此事。」

普朗克是如何成為愛因斯坦的伯樂

普朗克當時擔任《物理年鑑》編輯，在接觸到愛因斯坦那篇關於空間、時間、和光速的想法前，他事實上已經相當明白：當涉及到由不同觀察者測量的光速時，古典物理學存在一個令人討厭的問題，即測不出地球在絕對靜止之以太中的速度，迫使當時一些名物理學家到處貼補漏洞。因此當愛因斯坦大喊（開玩笑的，當時他還是一位無名小卒，怎麼敢大喊）：不要再費心了，讓我們假設（在任何慣性參考系中測量的）光速為一定值，來取代「標尺和時鐘不會永遠誤導我們」之錯誤概念時，普朗克立舉雙手贊成。在其 1949 年的自傳裡，普朗克謂：

「光速之於相對論就像基本的作用量子之於量子論：光速是相對論的絕對核心。」

在該論文出版後，普朗克立即在柏林大學講授相對論！由於他的影響，這個理論很快在德國被廣泛接受，因此德國在許多方面對愛因斯坦之相對論的反應是獨一無二的；例如 1905－1911 年期間有關相對論的論文，沒有其它國家在數量上能夠與德國相媲美。在法國、英國和美國的回應中，雖然也有熱情的支持，但只有在德國才有人說「我理解愛因斯坦的研究」。但當時的「不敢苟同」聲事實上也不少；例如德國物理學家索末菲 （Arnold Sommerfeld）一大早就認為愛因斯坦的理論方法有某種猶太色彩（後來被利用成為反猶太主義者的工具），對秩序和絕對的概念缺乏應有的尊重，而且似乎沒有堅實的基礎。1902 年諾貝爾物理獎得主、荷蘭理論物理大師洛倫茲（Hendrik Lorentz）在 1907 年更寫道：

「愛因斯坦的論文雖然出色，但在我看來，這種難以理解和無法形象化的教條裡仍然存在一些幾乎不健康的東西。一位英國人幾乎不會給我們這種理論。」

普朗克顯然是第一位認識到愛因斯坦在相對論方面開創性工作的主要人物，也是愛因斯坦在科學界最忠誠的擁護者。兩人在個性上雖然非常不相似（前者非常保守，後者不理傳統），但也成為最親密的朋友。普朗克於 1906 年公開為愛因斯坦理論辯護，反對一波又一波的懷疑論者，寫信給愛因斯坦說「（我們）必須團結一致」。他將愛因斯坦的理論描述為洛倫茲理論的「延伸」（generalization），並將「洛倫茲-愛因斯坦理論」命名為現在大家所接受的「相對論」。儘管如此，普朗克還是不接受狹義相對論之無可避免的「不需要以太」結論。

普朗克是第一位以愛因斯坦理論為基礎來發展的物理學家。他在 1906 年春天發表的一篇文章中，證明愛因斯坦的相對論符合物理學基礎之「最小作用原理」（least action principle）：任何物體（包括光）在兩點之間的移動都應該遵循最簡單的路徑，開展了如何在這個新的彈性時空中正確處理物體的動力學。

 普朗克並未履約到伯爾尼拜訪愛因斯坦，只派比他更先獲得諾貝爾獎（1914 年）的助手勞鴻（Max von Laue）於 1906 年夏天去拜訪本以為應在伯爾尼大學任教的愛因斯坦。勞鴻與愛因斯坦兩人相談甚歡，不但成為終生好友，前者在此後四年內還寫了八篇相對論論文，包括嚴格地證明了 E=mc²。愛因斯坦謂勞鴻 1911 年所寫的第一本相對論教科書「是一個小傑作，其中的一些內容是他的知識產權」，並從中學習到了一些他後來創建廣義相對論所需的張量（tensor）數學。

瓦特斯頓發展的氣體動力學

瓦特斯頓（John Waterston，1811-1883）是蘇格蘭物理學家，在印度工作期間發展了氣體動力學理論，謂氣體分子與容器表面的碰撞導致我們感受到氣體壓力，正確地推導出理想氣體定律。他於 1845 年投稿到英國皇家學會，但審稿人認為那論文「不過是胡說八道」而被拒絕出版；現在的物理學家都認為馬克斯威（James Maxwell）為氣體動力學（kinetic theory of gases）的創始者。

瓦特斯頓去世幾年後，瑞利爵士（Lord Rayleigh，1904 年諾貝爾獎得主，當時的皇家學會秘書）從皇家學會的檔案中挖掘出那篇論文，將它重新發表於1892年的《皇家學會哲學彙刊》上。瑞利爵士警告說：。

（瓦特斯頓）論文的歷史說明了：因為科學界不願在其印刷品中記錄價值不確定的文章，高度投機性的研究⎯⎯尤其是不知名的作者⎯⎯最好（先）通過科學界以外的其它渠道呈現給世界。也許有人可能會更進一步（建議）說，一位相信自己有能力做大事的年輕作家，應該在開始更高的飛行之前，先通過範圍有限、且價值容易判斷的工作來獲得科學界的良好認可。

相信這類事件在物理學上是時常發生的。在「思考別人沒有想到的東西—誰發現量子力學？」一文裡，筆者就提到了 1924 年 6 月 4 日，一位任教於東巴基斯坦的講師波思（Satyendra Bose）將一篇被英國名《哲學雜誌》（The Philosophical Magazine）退稿的論文，轉寄給愛因斯坦，並附函謂「……如果你認為它值得發表，可否請您將它譯出（成德文），投稿到《物理學雜誌》（Zeitschrift für Physik）… 」。波思毫無疑問地是一位「不知名的作者」，那篇文章也毫無疑問地是「價值不確定，高度的投機性」！還好愛因斯坦眼光獨特，否則不但波思可能淪為另一個瓦特斯頓，量子統計力學是否會那麼早就出現就不得而知了。

結論

有歷史學家說普朗克在近代物理上有兩大貢獻，其一是發現量子力學，另外一個則是發現愛因斯坦！愛因斯坦發表那篇「價值不確定」之狹義相對論論文時也是一位「不知名的作者」，因此如果沒有普朗克慧眼識英雄，幫他推銷與辯護，愛因斯坦或許也可能淪為另一個瓦特斯頓，那篇論文可能於 1908 年在閔可夫斯基（Hermann Minkowski）的時空（spacetime）中消失^[註]！

有了理論物理界權威普朗克教授做後盾，愛因斯坦平步青雲、離開專利局、進入學府、及成名應只是遲早的事情。說來有趣，在「思考別人沒有想到的東西—誰發現量子力學？」一文裡，筆者談到了如果沒有愛因斯坦興風作浪，普朗克是否會成為創建近代物理的第一革命先鋒（量子力學）；而在這裡我們卻在懷疑如果沒有普朗克拔刀相助，愛因斯坦是否會成為創建近代物理的第二革命先鋒（相對論）。

至於愛因斯坦是否真是首位發現狹義相對論的物理學家，則請待下回分解。

註解

事實上普朗克及愛因斯坦本人完全低估了該篇論文的創見性，認為它只是洛倫茲理論的「延伸」而已。愛因斯坦的數學老師閔可夫斯基於1908年將時間和空間組合成一個現在稱為「閔可夫斯基時空（Minkowski space或spacetime）」的嶄新觀念，奠定了相對論的數學基礎，成為現在物理學家學習、了解、與討論愛因斯坦相對論主要（唯一）工具。

延伸閱讀

• 賴昭正：《我愛科學》（華騰文化有限公司，2017 年 12 月出版）：裡面收集了：「乙太存在與否的爭辯」(科學月刊，2017 年 5 月號）、「量子力學的開山祖師-普朗克」(科學月刊，1982 年 2 月號）等。
• 「黑體輻射光譜與量子革命」（科學月刊，2022 年 7 月號）。
• 「畢業求職碰壁，在伯爾尼專利局思索的愛因斯坦」（泛科學，2021/05/18）。
• 「思考別人沒有想到的東西——誰發現量子力學？」（泛科學，2022/06/01）。
• 「愛因斯坦其實沒那麼神？」（泛科學，2016/031/16）。
• 「抱歉了愛因斯坦，但我真的沒辦法頒獎給那個酷理論——為何相對論與諾貝爾獎擦身而過？」（泛科學，2021/07/28）。

《論語》〈鄉黨〉裡，關於吃飯的規定，超—級—多—！！「食不厭精，膾不厭細。食饐而餲，魚餒而肉敗，不食。色惡不食，臭惡不食。失飪不食，不時不食。割不正不食，不得其醬不食。肉雖多，不使勝食氣。唯酒無量，不及亂。沽酒市脯不食。不撤薑食，不多食。祭於公，不宿肉。祭肉不出三日，出三日，不食之矣。食不語，寢不言。雖疏食菜羹瓜祭，必齊如也。」^[1]吼～這麼囉嗦，有本事自己來啊！

有些男人激不得。

物理學家 Mathieu Sellier 與 Edouard Boujo 就因為前者的妻子提出挑戰，而用電腦運算出最佳烹調模型，還在 2019 年的《物理評論流體》（Physical Review Fluids）期刊上，分享成果，造福饕客。^{[2, 3, 4]}全文第一句話，是這麼說的：「本論文研究固化流體薄膜，受制於複雜的運動學，在固體表面的流動…」，^{[5, 6]}意思是「我們要教大家做可麗餅。」

完美可麗餅的定義

撇開二位科學家基於品味差異，而無法達成共識的餡料不談，^[2]這個研究中，可麗餅的最高境界，被定義為「厚度均勻，無孔洞，且呈現完美圓形」。^{[6, 7]}要在自家廚房，達成此終極目標，通常會遇上難題：當麵糊在鍋底鋪開，同時也會逐漸被煮熟。如果水平放置鍋子，麵糊便在平均地觸及鍋緣之前固化。為避免這個問題，一般有兩種常見的解決辦法：第一種是用刀具迫使麵糊在鍋中散開，類似刮刀塗層的動作；另個做法則是將鍋子傾斜旋轉，令麵糊往低處流動。^[6]

運算製作可麗餅的模型

二位科學家採用「伴隨優化」（adjoint optimisation）的數學方法，描述流體在活動容器中的運動，模擬以最小施力，鋪出最平坦的可麗餅。^{[7, 8]}其中考慮的因素，包含：以通過鍋子圓心的縱軸為中心運動；藉重力鋪開麵糊；以及隨溫度改變濃度的麵糊與旋轉中的鍋子的互動。^[3]經過一番（讓人反胃的）計算過程，他們找到最佳的做法：先快速翻動鍋子，然後在煮的過程中，緩慢旋轉。^[7]

詳細的技巧，如下：一倒入麵糊，就馬上以陡峭的角度傾斜鍋子，把液體逼到邊緣。接著，手腕輕扭，轉鍋子一圈，確保麵糊完整鋪滿底部。在轉動的時候，傾斜的角度得逐漸縮小，轉速也隨著麵糊固化而趨緩。當覆蓋動作完成，鍋子也恢復水平狀態。^{[4, 7, 8]}

圖中，深紅處麵糊最厚，深藍則最薄。可麗餅的製作流程，由左上開始，先向下，再依序往中、右二欄進行。^[7]

起初濃厚的（紅色）麵糊被推向鍋子的右上緣，把稀薄的（淺藍）剩料拋在後頭。然而隨著順時鐘的轉動，麵糊逐漸勻稱地分佈於整個鍋底。^[7]

_{圖／參考資料 6，figure 6}

做鬆餅救眼疾

科學家們之所以對餅皮類食物的製作如此著迷，是因為類似的手法不僅能生產巧克力，幫智慧型手機螢幕鍍膜，^[4]還可以懸壺濟世。2016 年倫敦大學學院（University College London）在 YouTube 上，也發佈了一個看似玩物喪志的作品。全長約 5 五分鐘的影片裡，前 4 分鐘幾乎都在以嚴謹的態度，講述鬆餅（此指 pancake，而非 waffle）的製作。到了最後卻話鋒一轉，道出製餅技術與眼疾治療的關係。原來手術中控制眼睛內部液體外流的皮瓣（surgical flaps），就要倚靠類似的原理來研發。^[9]

救世的精神，於是賦予了科學家一個精進廚藝的學術使命。

參考資料

1. 論語/鄉黨第十（維基文庫）
2. Making the Perfect Crêpe (APS Physics, 2019)
3. The hard-hitting science behind crepes and beauty pageants (Chemical & Engineering News, 2019)
4. Using fluid dynamics to perfect crêpe cooking techniques (Phys.org, 2019)
5. Boujo E and Sellier M. (2019) ‘Pancake making and surface coating: Optimal control of a gravity-driven liquid film’. Physical Review Fluids, 4, 064802.
6. Boujo E and Sellier M. (2019) ‘Pancake making and surface coating: Optimal control of a gravity-driven liquid film’. arXiv
7. Physicists Think They’ve Finally Found the Trick to Making Perfect Crepes (Science Alert, 2019)
8. A computer model explains how to make perfectly smooth crepes (Science News, 2019)
9. Understanding the physics of pancakes to save sight (University College Lodon on YouTube, 2016)

本文轉載自中央研究院研之有物，泛科學為宣傳推廣執行單位。

• 採訪撰文／黃品維、簡克志
• 美術設計／蔡宛潔

顆粒體如何流動？

流沙、土石流、穀倉的米……這些顆粒體，究竟是如何流動的？過去，科學界對於「顆粒流」的研究起步非常晚，也一直缺乏統整型的理論。中央研究院「研之有物」專訪院內物理研究所蔡日強副研究員，他長年研究顆粒體的運動行為，實驗室透過自創的顆粒軟球實驗，試圖找到全新的方法來描述顆粒流，並為固體與流體兩個歷史悠久的學術領域，搭建出一個溝通的橋梁！

從流沙到洗米：隨處可見的「顆粒體」

「顆粒體的流動」（Granular flows）聽起來或許有點生硬，但它其實是我們生活中常見的現象，像是在廚房裡洗米、攪拌咖啡豆、或是在工地攪動砂石，都是顆粒流的一種。而如果以人類文明的發展來說，從古時候建造金字塔、到現在火星探測器的著陸，也都有顆粒流的現象參與其中。

然而，即使顆粒流與我們息息相關，科學家對它的了解卻少之有少。究竟，顆粒體是怎麼流動的？有沒有一個方程式，可以描述顆粒流的行為？中研院物理所的蔡日強副研究員，長年進行顆粒體相關研究，這一次，他希望透過全新的實驗，解開顆粒體的流動之謎！

萌芽階段的顆粒流研究

不管是固態力學或是流體力學領域，都是「百年老店」，已經累積了上百年的歷史。相較之下，顆粒流的研究非常年輕，僅僅是最近幾十年的事情而已。造成這樣的原因，除了顆粒流本身的複雜性之外，也是因為它的定位，一直處於「三不管地帶」。

顆粒流很特別，它像固體一樣，能夠堆疊、擠壓，可是又會有流動的行為，若只用固體或流體的角度切入，都很難完整描述這樣的現象。然而在學術圈，固體和流體兩大流派，經過上百年的發展，都有各自根深柢固的作法、解讀現象的方式，彼此之間存在著很大的鴻溝。

「在學術界，Solid（固體）的人講 Solid 的語言，Fluid（流體）的人講 Fluid 的語言，兩邊的溝通其實非常少！」蔡日強笑著說「我以前參加過一個應用力學大會，大會裡的會議名稱，直接分成兩種開頭，一種是 S、另一種是 F，擺明了他們討論事情的角度，不是固體就是流體。」

對顆粒流來說，這樣的二分法顯得非常尷尬。蔡日強認為，如果可以從固體與流體領域，各自吸取一些精髓，或許能夠連接兩個學派，用不一樣的角度研究顆粒流！

如何研究「顆粒體的流動」？

為了瞭解顆粒體如何流動，蔡日強設計了一套獨特的實驗方法，可以分為「顆粒體」與「容器」兩個部分。

在「顆粒體」方面，蔡日強採用醫用材料（PDMS），製作出許多顆粒軟球，硬度接近橡皮擦、大小約一公分。為什麼會採用「軟」球來代表顆粒體呢？

過去，在物理學家的理論中，常常會把顆粒體視為「剛體」。然而，剛體的假設在理論上不僅無法呈現顆粒體被壓縮的情況；而且實驗上，也很容易遇到麻煩！

如果採用剛硬的顆粒體做實驗，在緊密排列時，很容易「卡死」，不只完全動不了，也很可能讓珍貴儀器損壞。為了讓顆粒體可以緊密排列，又不會完全卡死讓儀器動不了，可以擠壓、變形的顆粒軟球，就成為了最好的實驗材質。

至於在「容器」方面，蔡日強在裡面設計了齒輪狀的錐形圓盤：上方的錐形圓盤連接馬達，可以不斷旋轉；齒輪狀可以咬住顆粒軟球，帶動容器內的顆粒軟球一起轉動。

設計成錐形的用意，則是可以讓容器內的顆粒體，不論在什麼位置，切變率（shear rate）都可以維持一致。簡單來說，錐形圓盤試圖讓讓整體流動盡可能「均勻」，讓相鄰顆粒之間的速度不至於落差太大^[註2]。

每一次的實驗，錐形圓盤都會進行定速轉動（固定角速度，Ω），施以所有顆粒軟球固定的切變率。同時，研究團隊也會記錄，在馬達固定轉速時，系統需要多大的轉矩來對抗馬達。但初步實驗即出現了非常匪夷所思的現象！

匪夷所思的實驗結果

從上圖的實驗數據顯示，在低轉速時（Ω = 0.0001 rps），系統產生的轉矩最高；在高轉速時（Ω = 0.05 rps），產生的轉矩反而偏低。

這是什麼意思呢？你可以想像你在攪拌一碗綠豆，當你攪得越慢，遇到的抵抗卻越大；攪得越快，遇到的抵抗反而越小，聽起來是不是有點不合常理？

更奇怪的是，在兩種轉速之間，也就是中等轉速（Ω = 0.005 rps）的時候，轉矩出現了不規則劇烈起伏。從圖中的藍線可以看到，轉矩一次又一次的爬升、跌落、再爬升、再跌落，就像小型地震一樣，出現了大規模的「集體崩落」！

從鏡頭中看崩落現象

團隊在實驗時同步攝影，儀器每轉一定的角度（比如：每萬分之一圈），就將顆粒流的剖面擷取成影像。

接著，將相片中每一格像素轉為對應數值，分別與上一時刻的照片相減，來得出顆粒體與上一時刻間的「差分影像」。

藉由這些時變圖，我們得以更明確地判讀顆粒體的運動方式，了解顆粒軟球位移的方向、快慢、範圍。從影像中可以看到，相較於高轉速與低轉速，在中等轉速時，確實出現了大規模顆粒球同時位移的現象，綜合以上的實驗數據和影像，團隊總結了幾個問題：

1. 一般而言，流體在速度越快的時候，阻力會越大。然而在這次的實驗中，轉速越快、轉矩反而變小，跟過往認知不一樣。
2. 中等轉速時，為何會出現集體崩落的現象？
3. 有沒有什麼指標，可以預判集體崩落的出現？

這些問題，讓團隊當時感到十分頭痛，蔡日強回憶「剛開始我也覺得怪怪的，不過我們常說，如果你發現一件比較奇怪的事情，那只有兩種可能：一種是你弄錯了，另一種是真的有個新發現了！」

摩擦係數不是常數？

那麼，在顆粒流切變率加快的同時，究竟有什麼物理性質跟著改變了？

為了解決這些疑惑，團隊進行了許多獨立實驗。其中一個關鍵的實驗，就是量測顆粒軟球材質的「摩擦力」。他們採用同樣是 PDMS 材質的半圓柱棒，兩兩接觸並以不同切面速度（U）拖行，觀察過程中摩擦力的變化。

結果發現，當拖行速度較慢的時候，摩擦係數大約保持在定值，基本上就跟大家過往的認知一樣。但有趣的是，當速度超過一個臨界速度（V_C）之後，摩擦係數卻像是坐溜滑梯一樣開始下降，換言之，顆粒軟球的表面突然「變滑了」。

從這個實驗可以確定，摩擦係數並非定值，而是會隨著速度增加而改變的數值。其實，「摩擦係數不是常數」的概念，並非什麼驚天動地的新發現，但過去許多顆粒流的研究，卻忽略了這個基本現象，只把摩擦力當成一般常數看待。

「摩擦係數不是常數」並非新觀念，但大家似乎都忘記這件事了。

而當我們把這個概念，重新應用在顆粒流實驗時，那些匪夷所思的現象，突然都有了合理的解釋！根據團隊的推測，當錐形圓盤轉速加快，快到一定程度的時候，有些顆粒軟球之間的速度，可能已經超過了 V_C，導致顆粒軟球摩擦係數下降，才會讓量到的轉矩降低。而「集體崩落」的發生也可能是如此。

崩落現象的風向球：「slipperiness」

有沒有可能推估，顆粒流系統在受力之後，到底會偏向固體？流體？或是發生崩落現象呢？

為此，團隊創造了一個無因次量（不帶物理單位的參數），姑且稱為「slipperiness」，希望可以做為顆粒流行為的「預測指標」。

slipperiness 可以大略解讀成系統「平均而言有多滑」，代表了顆粒之間相對速度與臨界速度 V_C 的大小關係，以及摩擦係數減損的程度。

換言之，如果 slipperiness 遠大於 1 ，代表大部分顆粒體之間的速度大於 V_C，摩擦係數近乎消失，難以構成橫向的受力，呈現幾乎「自由」的滑動，在這種情況下，顆粒體之間的液體成為阻力的主角，顆粒體的行為會比較偏向「流體」。

反之，如果 slipperiness 遠小於 1，顆粒體之間相對滑動即使有，速度也都不高，這種情況下摩擦係數接近定值，顆粒體之間可以很容易「消化」所有方向的力，扮演好整個系統承力的主角，顆粒體的行為會比較偏向「固體」。

然而，如果 slipperiness 剛好「不大不小」，代表這兩種極端情形有可能混搭，以局部或整體的方式交錯產生。最戲劇化的事件就會是前述的「集體崩落」，更正式的名稱可叫做「間歇流」。這危險區間的確切範圍，則有待更多細節來決定。

但有了 slipperiness ，蔡日強團隊至少搭出了第一座「橋梁」，連結過去難以相容的兩種觀點來看待顆粒流：一端是摩擦力完全沒打折，可視為「固體」（solid）；另外一端，則是顆粒間摩擦力喪失殆盡，已經「完全液化」，可視為「流體」（fluid）。

然而，顆粒流的兩個極端之間其實有相當的過渡地帶，並不在原來習以為常的學術傳統裡。

雖然已發表的實驗還是非常簡化的版本，但蔡日強表示希望能透過論文提醒大家「摩擦力會改變」這件事，也希望拋磚引玉，「讓固體跟流體兩個學術社群，能夠有更多的對話」。

研究的下一步

現階段，團隊正著手改良實驗儀器並設計更多延伸實驗。舉例來說，如果顆粒軟球不一樣大，會發生什麼事？如果顆粒軟球不是圓球，行為會如何改變？如果軟球之間開始壓得不夠緊密的時候，「間歇流」的現象是否消失？這些問題，都是研究團隊接下來想了解的。

團隊也正積極透過電腦模擬，研究顆粒體在「無重力、無液體，僅考慮接觸力」的理想環境下，會有什麼樣的流動行為。

蔡日強說道「在實體實驗中，我們只有六個感測器可以推算顆粒流系統的受力反應，但在電腦模擬實驗中，等於有上千個感測器可以蒐集數據，真的是太棒了！」每一顆小球的受力、接觸、旋轉、位移等，在模擬中都看得一清二楚，讓團隊有機會作進一步的推論。

下圖是團隊正在統整的「三態圖」，顆粒流有三大區塊，分別是「固態」、「液態」，以及下方的「氣態（懸浮態）」。在緊壓（高密度、高壓力）的狀況下，固態和液態兩極端之間呈現一條「危險走廊」，可看到此案例在 slipperiness 介於 0.001 到 1 之間，發生集體崩落的現象。

不久之前，蔡日強也開始翻閱地震相關的書籍，想要了解顆粒流「集體崩落」的現象，與真正的地震和土石流，是否有可以互相參照的可能性？蔡日強的期待是讓「顆粒流研究」成為物理學家走入現實世界領域的另一個起點。

「我們離真正的戰場還很遠」，蔡日強笑著說：「但這一切，才正要開始！」

註解

1. 液體折射率和軟球一致是為了讓光線走直線，而不被球的表面偏折。這些膠球還會加上螢光染料，以便在光學攝影機下觀察。
2. 切變率：在此指的是顆粒水平速度隨高度的變化率，更廣泛的定義參見延伸閱讀〈流沙、地震、土石，與沙漏裡的物理：「動靜之間」〉。

延伸閱讀

• Tsai, J.-C., Huang, G.-H. and Tsai, C.-E. (2021). Signature of transition between granular solid and fluid: Rate-dependent stick slips in steady shearing. Physical Review Letters, 126, 128001.
• JC Tsai’s Lab: Ongoing Projects
• 蔡日強（2022）。〈流沙、地震、土石，與沙漏裡的物理：「動靜之間」〉，《物理雙月刊》。
• 顆粒流的展示影片（含「集體崩落」現象）