0

0
0

文字

分享

0
0
0

公設化集合論的奧秘(17) 戴德金切割與系統層級

翁 昌黎
・2015/04/01 ・2980字 ・閱讀時間約 6 分鐘 ・SR值 525 ・七年級

「一沙見世界, 一花視天堂, 無限含於掌, 須臾納永恆。」

威廉. 布萊克(William Blake)

credit:hepatocyte/pixabay
credit:hepatocyte/pixabay

想像你在數線上隨意滑動一支沒有厚度的標尺,不論標尺停在何處,總能將這條向兩端無限延伸的數線分割成互不相屬的兩邊。對於我們已知的有理數,它們會在數線上閃爍出細微的光芒,不論標尺停在何處,左右兩邊的有理數會以不同顏色的光亮顯現,所以你可以清楚地分辨標尺所在的位置。比如當你停在原點0時,你會發現所有負有理數在標尺左邊閃著金光,而所有正有理數則在標尺右邊閃著銀光,而無厚度的標尺正是不同光色的分界處。

我們把左邊閃著金光的光點命名為A集合,而把右邊閃著銀光的光點稱為B集合,於是序對(A, B)就是所有光點的總集。你既可以說是這個標尺所在的點位決定了左右兩邊的分割(A, B),但同樣可以說特定的分割(A, B)決定了標尺的落點。於是我們發現,一個點不只是一個點,它也相當於左集合A裡無限個發出金色光芒的有理數,點與分割相互決定了對方的存在。這正是為何戴德金左集合可以作為某個實數的身分證或認證條碼,因而被用來作為實數的定義,戴德金切割把我們帶入一個全新的世界。

讓我們頭痛萬分的無理數瞬間找到了歸宿,因為我們用戴德金左集合逼它們現形,可是我們原本熟知的有理數卻出了問題,因為我們忽然發現它們有了兩種定義,因而變成兩種事物。比如以自然數2來說,它原本的定義是 {0, 1} ,也就是由0和1為成員所形成的集合,其存在被配對公設所確認。但當我們用戴德金左集合來重新定義實數時,它變成了 {q ∈ Q〡q < 2} ,也就是所有小於2的有理數的集合,一瞬間它的成員數從2個變成無限多個!

如果你懷疑這只是個別現象的話,那我們可以逐一檢查每個自然數,比如5, 37或102,你會發現同樣的情況也發生在它們身上,自然數們脫離了原來定義的軌道,戴德金切割讓它們具有了「第二重身分」。分數型式的有理數m/n 也無法倖免,它們的戴德金左集合也與原先用序對的對等類(equivalence class of the ordered pair(m, n) )所下的定義不同。但我們並不打算在此介紹序對對等類所定義的m/n及其運算規則,只是說明用戴德金左集合重新界定實數之後,雖然定義出了原先沒有的無理數,但原本的有理數卻似乎陷入「人格分裂」的窘境。

本來我們的如意算盤是用口袋裡已有的有理數Q (由序對對等類定義)來定義出無理數,在製造出無理數集合I之後,取其聯集Q ∪I 得到實數集合R = Q ∪I。但現在計畫卻泡湯了,我們雖然用戴德金左集合製造出無理數,但原先的有理數卻「質變」了。

要解決這個難題就必須釐清一個觀念,那就是我們無法直接將原本的有理數納入戴德金左集合系統。對於新定義的實數系統來說,原本的有理數並非它的子系統(sub-system),所以也無法直接取它們的聯集Q ∪I來得到實數集合R。這就像是一棟樓房有許多樓層一樣,戴德金左集合所定義的系統和原先的有理數系統不在同一樓層,否則就會造成數系的雙重定義問題。如果把經由戴德金左集合所定義出來的實數看作成品的話,那原先的有理數就相當於原材料,我們透過原材料製作出新的成品(戴德金實數)。

為了更明確這種理論系統的層級差異,我們將實數的一般定義形式r 寫成:

r = {q〡P (q) 且 q ∈ Q}

其中P (q) 為描述某些與q性質相關的邏輯句式。

用上篇文章的例子來說,若P (q)為「q2 < 2 或 q為負數」這個句式,則r 就是指√2。若將P (q) 改為q < 3,則r 就是指3。

從這個定義形式可以看出戴德金實數與之前的有理數之間存在差別。原本的有理數q ∈ Q屬於前一個定義系統裡的理論存在項,而戴德金實數則是採用先前系統的存在項之後才定義出來的,它們屬於後一個系統(由紅字的r 所構成),也就是它們分屬於不同的理論系統或系統層級。在這樣的系統層級中,q並不等於q。q是前一個系統內的成員,它們就好像是一堆原始材料,用來建構另一個系統層級內的戴德金實數q。經由這樣的分析,我們得以擺脫同一個數卻有兩種不同定義的困境。

這就好比有天忽然修改了法律,一切原本屬於個人(自然人)能夠從事的行為現在都必須由法人來執行,包括簡單的商品購買或購買房產以及基本資料登記等等,現在都必須以法人的名義來行使了。當然為了便民,所以新的法律也允許原先的自然人用原本的名字登記為法人,然後重新占有財產,但之後的占有關係就要受到新法律的規範了。

比如有一個叫金正恩的人之前用自己的名義買了一棟房子,但根據新的法律,現在個人不能夠再以自然人的形式來擁有房產,所以他可以成立一家公司或成立一個基金會來重新占有這棟房子。但這個金正恩覺得這間房子只是供自住並沒有商業運作上的節稅問題, 所以不想用公司或其他法人形式來登記,這太麻煩了。還好根據新法律,他可以將原先的名字重新登記成法人來占有原本的房屋,這個新法人的內部結構也還是歸他自己控制,名字也叫金正恩,只不過現在他對房屋的占有受新法律對法人的規範所制約罷了。因此現在有了兩個金正恩,一個是原本那個自然人金正恩,根據新法律他無法再擁有房屋了。另一個是受到新法律規定而不得不重新登記成法人的那個金正恩法人,它(法人)可以擁有房產。我們可以用以上的方式來理解不同系統層級中的q和q之間的關係。

邏輯困境被我們用系統層級的差異解決了,但這樣定義出來的戴德金實數能符合原先我們期待它們應該具有的數學性質嗎?那就讓我們來看看如何正確定義它們的基本性質和運算吧。兩個戴德金實數rs 在甚麼條件下相等呢?既然實數被定義為戴德金左集合,那麼我們可以推測,如果兩個實數相等的話那就等於說兩個左集合也相等。果不其然,對於所有有理數q,如果滿足q ∈r 若且唯若q ∈s這個條件,也就是兩個左集合rs有相同元素的話,那我們就說戴德金實數r =s

依照同樣的原理,我們可以定義出rsr < s。按照相同的思路,由戴德金左集合定義出來的的實數r若要比s小,那必然會滿足rs的要求了。因此對任何有理數q,若q ∈r 則q ∈s這個條件滿足的話,我們就將其定義為rs。如果再加上rs這個條件,那我們就可以定義出r < s了。

你可以自己檢驗一下加法的定義r +s ={p + q〡p∈r 且 q∈ s}是否符合我們對一般算術加法的要求?其中p + q的部分就是我們原來熟悉的有理數的加法,得出答案之後再看看r +s的戴德金左集合是否能得出與原本算術規則符合的另一個實數?至於乘法的定義稍嫌複雜就不在此贅述了。但可以預先通告的是這樣定義出來的戴德金實數完全滿足16個實數公設,而我們目前就是用這16條公設來建構出整個實數系的。

戴德金切割所定義的實數雖然矗立在另一個系統層級上,但它們能夠滿足16個公設而成為建構現代實數系的基石,所以值得多花這些篇幅來概述。除此之外,我們引介戴德金切割的目的在於這個觀念可以幫助我們輕易地解決實數R和自然數冪集合P(N) 之間的尺寸關係,那是我們困惑已久的問題。那麼,這兩種不可數無限集合到底是否等量呢?這就只有等下回再分解了!

文章難易度
翁 昌黎
18 篇文章 ・ 2 位粉絲
中央大學哲學研究所碩士,曾籌劃本土第一場「認知科學與佛教禪修系統」對話之大型研討會,於1995年6月在法光佛教研究所舉行,並發表文章。後隱居紐西蘭,至今已20載。 長年關注「意識轉變狀態的科學」和「意識本質的科學與哲學」問題,曾與大寶法王辯經教授師拿旺桑結堪布成立「大乘佛教禪修研究中心」。其他研究興趣為「唯識學」、「超個人心理學」、「數理邏輯」、「公設化集合論」和「後設數學」等等。

1

0
0

文字

分享

1
0
0
公設化集合論的奧秘(16) 戴德金切割與實數的定義
翁 昌黎
・2015/03/16 ・2458字 ・閱讀時間約 5 分鐘 ・SR值 552 ・八年級

Richard Dedekind
Richard Dedekind

有理數是能夠用分數形式m/n來表達的數,其中m和n為整數且n ≠ 0。雖然到現在為止我們的公設只建構出自然數,但用自然數來建構有理數並不困難,它的基本概念是取序對(m, n)的型態來定義有理數。由於自然數和序對我們都已相當熟悉,況且有理數的概念在直觀上也很容易理解,因此我們並不打算在此介紹和證明如何用自然數定義出有理數的技術細節。可是對實數裡的「另一半」— 無理數來說,情況就大不相同了。

我們很難想像給出任意兩條線段,居然會找不到另一個線段作為衡量前兩者的共同單位。對有些情況來說,不論我們上天下地,卻永遠找不到這個共同單位,這在幾何學上叫做不可通約(incommensurable)。但這種讓古希臘畢氏學派震驚的「知識瘟疫」卻並非雪山靈芝而是隨處可見,比如從任一個正方形劃出對角線就可以根據畢氏定理12 +12 = x2 得出√2這個數,而√2就無法表示成m/n的分數形式。

根據傳說,畢氏學派把無理數的發現視為最高機密並禁止門徒對外洩漏,然而希臘的「斯諾登」希帕蘇斯先生卻冒死對外公佈了這個秘密,因而遭到如同黑社會懲罰臥底一般的待遇—扔到海裡餵魚。我們不知道這個傳說的真實性如何,但這意謂在某個歷史時期公佈某項知識成果的後果可能和今天所謂「洩漏國家機密」的後果沒兩樣。

既然無理數的性質那麼「無理」,可見要用自然數或有理數的概念來對其進行嚴格定義是很困難的。但現代實數系的兩位奠基者康托和德國數學家戴德金(R. Dedekind)雖然從不同的角度和進路用不同的方法來破解這個問題,但他們在推進人類對實數的理解時也同時發展了集合的概念。現在就來看看戴德金最重要的發明—如何用有理數來重新定義實數(因而自然把無理數也包含進去)的偉大創見,它稱之為戴德金切割(Dedekind cut)

由於有理數建立在自然數的基礎上,而自然數又建立在集合論的公設上,所以它們早已取得明確的「身分」,現在身分不明且難以被直觀掌握的就剩下無理數了。戴德金切割到底是個甚麼東西呢?首先來看看切割(cut)的定義:

一個切割就是一個序對(A, B),其中A, B ≠ Ø且A 和B不相交(也就是A ∩ B = Ø)。此外A ∪ B = P,也就是說切割是把某個集合P給切開,分成沒有共同元素的A, B兩半。

第二個條件是A的所有元素都比B的元素小,也就是說從數線的觀點來看,A的元素都在B元素的左邊。

滿足上述兩個條件的序對(A, B)就是一個對P集合的切割。由於序對(A, B)是集合,所以一個切割本身就相當於集合。而所謂戴德金切割必須加上第三個條件,那就是序對左邊的A集合沒有最大元素。它的直觀意思是說如果我們用某個點來切開P集合,那麼這個點不在A裡面。

我們現在手頭的武器是全部的有理數,所以可以把集合P用全體有理數Q來替代,那麼戴德金切割就成了把全部有理數分成A, B兩半的序對(A, B) ,所以A ∪ B = Q。由於A與B不相交,因此確定了其中一邊也同時確定了另一邊,習慣上我們用序對左邊的集合A來定義實數,稱之為戴德金左集合(Dedekind left set)。也就是說一個實數就是一堆有理數所形成的戴德金左集合,而全體實數就是這些戴德金左集合所形成的集合。

為了更容易理解戴德金左集合的定義,我們用√2來具體說明。如下圖所示,雖然目前我們尚不知道無理數√2的定義,但我們可以利用畢氏定理將邊長為1的正方形取對角線,然後用圓規將與對角線等長的線段畫到數線上,這樣就標出了長度相當於√2在數線上的位置。

我們發現它正好把大於此數和小於此數的有理數Q分成兩半,紅色部分為所有小於√2的有理數,而藍色部分則為所有大於√2的有理數。紅色部分和藍色部分沒有共同成員,它們的聯集等於全體有理數,所以顯然滿足戴德金切割的第一個條件。而紅色集合內的有理數顯然都在藍色成員的左邊,因此滿足第二個條件。此外以√2為分界的戴德金左集合(紅色部分)顯然沒有最大元素,因為作為分界的√2不屬於有理數,所以第三個條件也滿足了,它是一個戴德金切割。

未命名

接下來就看怎麼樣來定義這個特殊的戴德金左集合。有人會說這很容易啊,只要定義 A = {q〡q <√2 且 q∈ Q}不就得了?但請注意,我們目前還不知道√2是甚麼,我們只知道有理數是甚麼東東,正絞盡腦汁想把√2的定義找出來,所以上面對A的定義等於是拿未知的東西來定義未知,也是拿尚待定義的東西來作為定義,這是不可接受的。

為了要避開這種循環定義,我們把上式梢作修改成

A = {q〡q2 < 2 且 q ∈ Q}

這樣一來所有的條件就都符合有理數的規定範圍。但仔細一看問題又來了,因為戴德金左集合會一直往負的方向無限延伸,因此越往左其平方值會越來越大,比如:

-2 ∈ Q 且-2∈ A,但顯然 (-2)2 > 2,這與A的規定顯然不合。該怎麼辦呢? 只要利用邏輯概念將小於√2的正負數分開處理就行了,因此我們重新把A定義為

A = {q ∈ Q 〡q2 < 2 或 q為負數}

如果有耐心地依序檢查,會發現這個定義符合戴德金切割的條件,因而正是用來定義√2的戴德金左集合。

這個看似古怪的定義讓我們可以單憑有理數重新定義出所有實數(尤其是無理數),而且這樣定義出來的無理數完全可以滿足實數所須具備的各種運算和性質,真可謂鬼斧神工。更重要的是透過戴德金切割我們發現,無限集合居然可以用來標定某個特定實數,這實在太神奇了。戴德金左集合宛如實數的基因密碼,透過對這些密碼的識別和辨認達到對實數本身身分的確認。僅管構成生物基因的分子為數眾多但卻是有限的,然而每個戴德金左集合的元素個數卻都是無限,任何一個實數都可以用某個無限集合來唯一確定。

如果你還沒有意識到此中令人驚奇之處,那麼我們再把戴德金切割比喻成商品的條碼,每一個條碼都指向一種特殊的商品。讓我們感到驚異的是,在實數的定義裡,構成每個條碼的信息單元(有理數)竟然不是有限而是無限。

雖然戴德金切割用這種有理數的「無限條碼」奇蹟似地界定出實數,但有些數的意義似乎產生了奇怪的病變。比如自然數0原來是用空集合來定義,所以0 = { } ,可是在戴德金左集合的新包裝下,0 不再是空無一物而成了 {q〡q ∈ Q 且q<0} ,這到底是怎麼回事呢?難道同一個數可以同時由兩個集合來定義嗎?要解開這個難題,這就只有等下回再分解了!

所有討論 1
翁 昌黎
18 篇文章 ・ 2 位粉絲
中央大學哲學研究所碩士,曾籌劃本土第一場「認知科學與佛教禪修系統」對話之大型研討會,於1995年6月在法光佛教研究所舉行,並發表文章。後隱居紐西蘭,至今已20載。 長年關注「意識轉變狀態的科學」和「意識本質的科學與哲學」問題,曾與大寶法王辯經教授師拿旺桑結堪布成立「大乘佛教禪修研究中心」。其他研究興趣為「唯識學」、「超個人心理學」、「數理邏輯」、「公設化集合論」和「後設數學」等等。