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公設化集合論的奧秘(17) 戴德金切割與系統層級

翁 昌黎
・2015/04/01 ・2980字 ・閱讀時間約 6 分鐘

「一沙見世界, 一花視天堂, 無限含於掌, 須臾納永恆。」

威廉. 布萊克(William Blake)

credit:hepatocyte/pixabay
credit:hepatocyte/pixabay

想像你在數線上隨意滑動一支沒有厚度的標尺,不論標尺停在何處,總能將這條向兩端無限延伸的數線分割成互不相屬的兩邊。對於我們已知的有理數,它們會在數線上閃爍出細微的光芒,不論標尺停在何處,左右兩邊的有理數會以不同顏色的光亮顯現,所以你可以清楚地分辨標尺所在的位置。比如當你停在原點0時,你會發現所有負有理數在標尺左邊閃著金光,而所有正有理數則在標尺右邊閃著銀光,而無厚度的標尺正是不同光色的分界處。

我們把左邊閃著金光的光點命名為A集合,而把右邊閃著銀光的光點稱為B集合,於是序對(A, B)就是所有光點的總集。你既可以說是這個標尺所在的點位決定了左右兩邊的分割(A, B),但同樣可以說特定的分割(A, B)決定了標尺的落點。於是我們發現,一個點不只是一個點,它也相當於左集合A裡無限個發出金色光芒的有理數,點與分割相互決定了對方的存在。這正是為何戴德金左集合可以作為某個實數的身分證或認證條碼,因而被用來作為實數的定義,戴德金切割把我們帶入一個全新的世界。

讓我們頭痛萬分的無理數瞬間找到了歸宿,因為我們用戴德金左集合逼它們現形,可是我們原本熟知的有理數卻出了問題,因為我們忽然發現它們有了兩種定義,因而變成兩種事物。比如以自然數2來說,它原本的定義是 {0, 1} ,也就是由0和1為成員所形成的集合,其存在被配對公設所確認。但當我們用戴德金左集合來重新定義實數時,它變成了 {q ∈ Q〡q < 2} ,也就是所有小於2的有理數的集合,一瞬間它的成員數從2個變成無限多個!

如果你懷疑這只是個別現象的話,那我們可以逐一檢查每個自然數,比如5, 37或102,你會發現同樣的情況也發生在它們身上,自然數們脫離了原來定義的軌道,戴德金切割讓它們具有了「第二重身分」。分數型式的有理數m/n 也無法倖免,它們的戴德金左集合也與原先用序對的對等類(equivalence class of the ordered pair(m, n) )所下的定義不同。但我們並不打算在此介紹序對對等類所定義的m/n及其運算規則,只是說明用戴德金左集合重新界定實數之後,雖然定義出了原先沒有的無理數,但原本的有理數卻似乎陷入「人格分裂」的窘境。

本來我們的如意算盤是用口袋裡已有的有理數Q (由序對對等類定義)來定義出無理數,在製造出無理數集合I之後,取其聯集Q ∪I 得到實數集合R = Q ∪I。但現在計畫卻泡湯了,我們雖然用戴德金左集合製造出無理數,但原先的有理數卻「質變」了。

要解決這個難題就必須釐清一個觀念,那就是我們無法直接將原本的有理數納入戴德金左集合系統。對於新定義的實數系統來說,原本的有理數並非它的子系統(sub-system),所以也無法直接取它們的聯集Q ∪I來得到實數集合R。這就像是一棟樓房有許多樓層一樣,戴德金左集合所定義的系統和原先的有理數系統不在同一樓層,否則就會造成數系的雙重定義問題。如果把經由戴德金左集合所定義出來的實數看作成品的話,那原先的有理數就相當於原材料,我們透過原材料製作出新的成品(戴德金實數)。

為了更明確這種理論系統的層級差異,我們將實數的一般定義形式r 寫成:

r = {q〡P (q) 且 q ∈ Q}

其中P (q) 為描述某些與q性質相關的邏輯句式。

用上篇文章的例子來說,若P (q)為「q2 < 2 或 q為負數」這個句式,則r 就是指√2。若將P (q) 改為q < 3,則r 就是指3。

從這個定義形式可以看出戴德金實數與之前的有理數之間存在差別。原本的有理數q ∈ Q屬於前一個定義系統裡的理論存在項,而戴德金實數則是採用先前系統的存在項之後才定義出來的,它們屬於後一個系統(由紅字的r 所構成),也就是它們分屬於不同的理論系統或系統層級。在這樣的系統層級中,q並不等於q。q是前一個系統內的成員,它們就好像是一堆原始材料,用來建構另一個系統層級內的戴德金實數q。經由這樣的分析,我們得以擺脫同一個數卻有兩種不同定義的困境。

這就好比有天忽然修改了法律,一切原本屬於個人(自然人)能夠從事的行為現在都必須由法人來執行,包括簡單的商品購買或購買房產以及基本資料登記等等,現在都必須以法人的名義來行使了。當然為了便民,所以新的法律也允許原先的自然人用原本的名字登記為法人,然後重新占有財產,但之後的占有關係就要受到新法律的規範了。

比如有一個叫金正恩的人之前用自己的名義買了一棟房子,但根據新的法律,現在個人不能夠再以自然人的形式來擁有房產,所以他可以成立一家公司或成立一個基金會來重新占有這棟房子。但這個金正恩覺得這間房子只是供自住並沒有商業運作上的節稅問題, 所以不想用公司或其他法人形式來登記,這太麻煩了。還好根據新法律,他可以將原先的名字重新登記成法人來占有原本的房屋,這個新法人的內部結構也還是歸他自己控制,名字也叫金正恩,只不過現在他對房屋的占有受新法律對法人的規範所制約罷了。因此現在有了兩個金正恩,一個是原本那個自然人金正恩,根據新法律他無法再擁有房屋了。另一個是受到新法律規定而不得不重新登記成法人的那個金正恩法人,它(法人)可以擁有房產。我們可以用以上的方式來理解不同系統層級中的q和q之間的關係。

邏輯困境被我們用系統層級的差異解決了,但這樣定義出來的戴德金實數能符合原先我們期待它們應該具有的數學性質嗎?那就讓我們來看看如何正確定義它們的基本性質和運算吧。兩個戴德金實數rs 在甚麼條件下相等呢?既然實數被定義為戴德金左集合,那麼我們可以推測,如果兩個實數相等的話那就等於說兩個左集合也相等。果不其然,對於所有有理數q,如果滿足q ∈r 若且唯若q ∈s這個條件,也就是兩個左集合rs有相同元素的話,那我們就說戴德金實數r =s

依照同樣的原理,我們可以定義出rsr < s。按照相同的思路,由戴德金左集合定義出來的的實數r若要比s小,那必然會滿足rs的要求了。因此對任何有理數q,若q ∈r 則q ∈s這個條件滿足的話,我們就將其定義為rs。如果再加上rs這個條件,那我們就可以定義出r < s了。

你可以自己檢驗一下加法的定義r +s ={p + q〡p∈r 且 q∈ s}是否符合我們對一般算術加法的要求?其中p + q的部分就是我們原來熟悉的有理數的加法,得出答案之後再看看r +s的戴德金左集合是否能得出與原本算術規則符合的另一個實數?至於乘法的定義稍嫌複雜就不在此贅述了。但可以預先通告的是這樣定義出來的戴德金實數完全滿足16個實數公設,而我們目前就是用這16條公設來建構出整個實數系的。

戴德金切割所定義的實數雖然矗立在另一個系統層級上,但它們能夠滿足16個公設而成為建構現代實數系的基石,所以值得多花這些篇幅來概述。除此之外,我們引介戴德金切割的目的在於這個觀念可以幫助我們輕易地解決實數R和自然數冪集合P(N) 之間的尺寸關係,那是我們困惑已久的問題。那麼,這兩種不可數無限集合到底是否等量呢?這就只有等下回再分解了!

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翁 昌黎
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中央大學哲學研究所碩士,曾籌劃本土第一場「認知科學與佛教禪修系統」對話之大型研討會,於1995年6月在法光佛教研究所舉行,並發表文章。後隱居紐西蘭,至今已20載。 長年關注「意識轉變狀態的科學」和「意識本質的科學與哲學」問題,曾與大寶法王辯經教授師拿旺桑結堪布成立「大乘佛教禪修研究中心」。其他研究興趣為「唯識學」、「超個人心理學」、「數理邏輯」、「公設化集合論」和「後設數學」等等。

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從數學、邏輯到審美,演算法的極限是何處?——《再.創世》專題

再・創世 Cybernetic_96
・2021/09/27 ・5256字 ・閱讀時間約 10 分鐘
  • 作者/魏澤人|陽明交通大學 智慧計算與科技研究所

在一般印象中,”美” 是與藝術、哲學、文學、音樂這些人文領域相連的。受到教育制度的影響,理工與人文,在普遍認知中是二元對立的。而數學,是理工科目中最硬核的部分。物理、化學實驗中,各種顏色的液體、晃動的單擺或本生燈的火焰,也許還隱隱約約帶有一絲美的影子,但冷冰冰的數學公式,在許多人的求學經驗中,與美根本就是互斥的概念。

但是,懂數學的人都知道,數學是美的。甚至可以說,美是數學中不可或缺的部分。

圖/Pexels

著名的英國數學家哈代(Godfrey Harold Hardy)說:”數學家的創造形式,與畫家及詩人一樣,必須是美的: 將概念(就像顏色及詞語)以和諧的方式組合起來。美是最重要的條件,醜陋無法長存於數學之中。”。哈代的著作 “一個數學家的辯白”(A Mathematician’s Apology),在數學圈外有一定的名氣,前面的那段話也出自本書。但讓他”出圈”的主要原因,是他發掘了傳奇數學天才拉馬努金(Srinivasa Ramanujan)。這個故事在 2015 年被拍成了電影 “天才無限家” The Man Who Knew Infinity)。

這也不是哈代獨創之見解,法國最偉大的數學家之一龐加萊(Henri Poincare)說:”研究自然不是因為有用,而是因為喜悅。而喜悅是因為美。”。其他比方像是羅素(Bertrand Russell)、艾狄胥(Paul Erdos)也留下不少關於數學與美的金句。

數學的美,不只是許多偉大的數學家的共同體驗。絕大多數的數學愛好者、數學工作者都有相同的體驗,只是比較不容易留下知名金句。Danica McKellar 也許不是能和羅素、龐加萊、艾狄胥比肩齊名的數學家,但她說過一句很有意思的話: “數學是唯一一個真與美是同義詞的世界”。

McKellar 是一位有知名度的美國演員,她曾演出過白宮風雲(The West Wing),也曾在 NCIS、宅男行不行(The Big Bang Theory)及追愛總動員(How I Met Your Mother)中客串。但真正讓她出名的,是 80 末、90 初的影集兩小無猜(The Wonder Years),故事主軸是主角凱文回憶少年成長的過程,而 McKellar 飾演主角的鄰居溫妮,兩人發展出分分合合的戀愛關係。用現代的話來講, McKellar 可以說是當時少年界的國民女友。另外 2010 開始,她也在動畫影集少年正義聯盟中為火星小姐配音。

Danica McKellar ,攝於2018。圖/WIKIPEDIA

演員什麼會與數學扯上關係呢?其實她大學就是學數學的,而且學得很好,在 1998 年以最傑出的成績取得加州大學洛杉磯分校的數學學士學位。不只如此,大學時期與教授 Chayes 及同學 Winn 發表了一篇統計力學的論文,其中的主要結果被稱為 Chayes-McKellar-Winn theorem. 在 2008 年,她出了一本針對中學女孩的數學書 “Math Doesn’t Suck: How to Survive Middle School Math without Losing Your Mind or Breaking a Nail.” ,頗受好評也很暢銷,之後也接續出版了許多書。她表示,她想讓女孩們覺得數學是「可親、有意義、甚至有點迷人」,用來對抗這個社會傳達「女孩不適合數學」的這類負面訊息。除此之外,她也參與影集 Project Mc2 的演出。 這部影節的目標是向全球的青少女們證明,科學、科技、STEAM(Science, Technology, Engineering, Arts, Mathematics)是有趣且平易近人的。

回到前面那句”數學是唯一一個真與美是同義詞的世界”。追求美是人之天性,但很多情境下,美或者美化這些詞,常常帶了一點隱藏真實的意味。像是修圖軟體、美顏相機、化妝(與素顏對比)、醫美、Autotune。當然明顯太假也不符合多數人的審美觀,真正美之極致,往往也需要展現事物的本質與真實特色。但現實是資源有限,平庸普通還是多數,不然,也不會有”這裡的風景美得像幅畫”一樣的形容詞方式了。一般日常中,美的實際執行過程還是得靠挑選和遮掩。「真」與「美」是需要取捨的。這也就是這句話耐人尋味的地方了,因為這句話如果成立,那在數學,也許就提供了現實世界中「真」與「美」之間內在衝突的解法了。

但問題是,數學家們感受到的美感是否真的是美?定理與證明真的可以用美或不美來形容呢?還是只是數學家們普遍缺乏人文薰陶產生的代償性錯覺呢?

2019 年時,英國巴斯大學管理學院的 Samuel G.B. Johnson 及美國耶魯大學數學系的 Stefan Steinerberger 發表了一篇論文 “Intuitions about mathematical beauty: A case study in the aesthetic experience of ideas”,其中的研究證據,支持一般人可能也跟數學家一樣,能感受到數學論證的美感。在其研究中發現,人們對數學的「美感」,就跟對古典鋼琴樂曲及風景畫產生的美感相似,有其內在的一致性。另外也發現這種數學美感的評判,跟與音樂、畫作美感一樣,和優雅性、深度、清楚性有關。

就像十九世紀英國數學家 James Joseph Sylvester 說的:「數學就是論證的音樂」。愛因斯坦也說:「純數學是一首以其自有方式將邏輯概念寫成的詩」。這句話出自他寫給 Emmy Noether 的訃聞。 Noether 是有名的德國數學家,對抽象代數有極大的貢獻,巧妙的利用升鏈條件來研究代數性質,此後符合這個條件的數學物件我們都會冠以 Noetherian 來稱呼,以紀念 Noether 的貢獻。此外,她的 Noether Theorem 也被稱之為影響物理學最重要的定理之一。

Noether 與兄弟們的合照。圖/WIKIPEDIA

除了主觀上對於美的感受外,數學與藝術之間,也有很多直接的關聯性。以音樂來說,音律就與數學上的對數(也就是大家所認識的 \(\log\))有關。人類發展音律有很長的歷史,因為這不是一個簡單的問題。我們現在知道,和弦時,不同音階的頻率要接近簡單的有理數倍聲音才會悅耳。傳說畢達哥拉斯經過一家鐵店,聽到鐵鎚打鐵的聲音,覺得很悅耳,他走入店裡,發現四個鐵鎚的重量比為 12:9:8:6,其中 9 是 6 與 12 的算術平均,8 是 6 與 12的調和平均, 9, 8 與 6, 12 的幾何平均相等這些巧妙的關係。這些鐵鎚之間的聲音配合起來非常悅耳。他進一步用弦樂器實驗驗證,得到的結論是,弦長為一些簡單有理數比的時候,會得到和諧的聲音。而後來更進一步改進而成的十二平均律,也反映出中國及歐洲在計算 \(\sqrt[12]{\frac{1}{2}}\) 的歷史進展。這背後還有更深刻的問題,因為很容易可以發現,\(\sqrt[12]{\frac{1}{2}}\) 並不是個有理數。對音樂或數學有興趣的朋友,可以繼續深入了解一下背後的學問。

另一個大家也觀察到的現象是,數學能力和藝術能力之間似乎有一些相關性,特別是音樂能力。常被拿來說的是愛因斯坦喜愛音樂且從小學習小提琴。可能你認識的人中,應該也有許多同時精通數理及音樂的人。過去一些研究也發現發現了數理能力及音樂能力中的相關性。但是,這個相關性會不會與能力本身無關呢?比方顯而易見,學科能力與學習音樂的條件,都與家庭背景與社經地位有關。

音樂教育學者 Martin J. Bergee 原本也是這樣認為的。他覺得只要能控制相關的根本性變因,如種族、收入、教育背景,就能夠破除音樂與數學能力相關性的迷思。於是他就設計並展開了研究。結果讓他非常震驚,兩者的關聯性不但沒有消失,而且還非常強。在 2021 年他的研究團隊發表了一篇名為 “Multilevel Models of the Relationship Between Music Achievement and Reading and Math Achievement” 的論文。他們調查了不同學區背景的一千多位中學生,在盡可能排除其他因素的干擾下,他們不得不承認音樂及數學能力之間的有統計上顯著的關聯。

音樂與數學能力被證實有很高的相關性。圖/Pixabay

他表示很抱歉實驗設計得非常複雜,”因為排除所有的相關影響並不容易,可能從個人、教室、學校、學區等等不同層級來產生影響。”。雖然他原本是支持相反的結論,但這個結果讓他思考了很多,”微觀技術來說,可能在音樂中的音準、音程、節拍,可能語言認知的基礎相關,而巨觀技術上的調式與調性,可能在心理學或神經學上與數學認知有關。”

除此之外,還有非常多的例證。比方 2015 年神經科學家 Semir Zeki 及艾提亞爵士(Michael Atiyah 當代最偉大數學家之一,費爾茲獎得主)發表的論文指出,經由 fMRI 掃描 15 名數學家的腦部,發現數學家在評斷數學式子美感時,動用到眼額皮質外側的 A1 區域,與察覺其他來源美感所動用到的區域一樣。而前面比較沒有提到數學與視覺藝術的關聯,因為這部分更為大家所熟知。像是從古希臘幾何就知道的黃金分割比,繪畫中的用到的透視原理、對稱性。可以說,美與數學並不是感性與理性的對立,而是互相包含。就像浪漫派詩人約翰濟慈所說:”美即是真,真即是美。這就是你在世上所知道和需要知道的一切”,而數學以及其背後的邏輯,就是人類對於”真”的具像。

評斷數學式子美感或觀察其他美感事物時,數學家大腦活耀的區域相同。圖/Pexels

可以說在知識份子階層中,數學即美是個主流觀點。當然主流不一定代表唯一或正確,像前述 Bergee 也試圖證明相關的主流看法是個迷思。但一旦理解了這種切入點,人工智慧是否能創造藝術作品這個問題,至少在心理層面就不是太大問題了。人工智慧遵照一些演算法運作,可以說就是數學及邏輯的程式碼實作。以近幾年最主流的深度學習神經網路來說,就是許多線性映射與激活函數的合成函數,藉由梯度下降法,收斂到的穩定數學解。既然數學即美,那由數學建構的人工智慧,能產生美的事物,也不是太不能接受的事。

生成模型也是近幾年深度學習熱門的領域之一。常見的生成任務就是藉由觀察抽樣的樣本,設法模仿出一樣的機率分佈。白話一點來講,就是給電腦看一些李白的詩,希望電腦能創造出新的李白風格的詩。給電腦聽一些貝多芬的音樂,希望電腦能創造出新的貝多芬音樂。現在的深度學習技術,已經能讓人工智慧能藉由學習,”創造”出視覺、音訊及語言的”作品”。

Inception 網路是一個有名的深度學習模型,其名稱取自於同名的電影(全面啟動),當時主要是在圖片辨識任務上,取得很好的成果。2015 年時, Google 工程師 Alexander Mordvintsev 巧妙的利用事先訓練好 Inception 模型,讓他將圖片變成夢一般的迷幻風格。他把這種方法取名叫 DeepDream。不久後,Leon Gatys 等人用類似的方法,設計一套演算法,能將畫家的畫風轉移到照片上,典型的例子是將風景、建築照片,轉成梵谷的星空風格。後面有很多後續的研究,一般稱為 Neural Style Transfer. 2016 年 Google 利用 AI 生出的畫作,拍賣得到進十萬美元。而其實早在 2014 年時, Ian Goodfellow 等人就提出了生成對抗網路(Generative Adversarial Network),是一個更廣泛而通用的生成模型。這個模型後續開啟了極大量的相關研究,現在的深度學習模型,在一些領域中,已經能生出非常高品質的成品。比方 Nvidia 研究的 StyleGAN 系列模型,能生出幾可亂真的人臉。現在,在手機上,能使用 APP,將你的照片轉成迪士尼的畫風。

讓生成模型想像生氣的亞洲人老醫生(自行 CLIP, StyleGAN2 生成)

2021 年時, OpenAI 釋出了 CLIP 模型,這是一個能整合圖片視覺及文字語意的模型。很多人嘗試利用 CLIP 和文字控制,來產生獨特和有創意的畫作。舉例來說,如果你畫了一張畫,或者拿到一張照片,你可以利用文字”更有喜感一點,更有亞洲風味一點”,來修改這張圖片讓人感受到”喜感”和”亞洲風”。在眾多嘗試中,大家試出了許多像”咒語”般的技巧,比方有個著名的 “unreal engine trick”,就是當你在控制產生圖片的句子中,加入 “unreal engine” 這個詞(unreal engine 是一個遊戲引擎),常常會讓產生品質更高的圖片。 乍看之下有點不明所以,但仔細一想,因為網路上會特別標明 unreal engine 的圖片,往往是強調其遊戲高畫質,久而久之, CLIP 看到這個詞,很自然就與高品質的含意產生連結。除了圖片外,人工智慧也能產生其他具有美的形式的作品,特別是文字作品。Open AI 開發的 GPT-3,已經能在用戶給出簡單的指示後,產生非常複雜的文字作品,除了詩、笑話、故事外,甚至連食譜、程式碼都可以。

讓生成模型想像亞洲的小甜甜布蘭妮(自行 CLIP, StyleGAN2 生成)

但這些,真的算是人工智慧的創作嗎?

在 2018 年時,由生成對抗網路生成的畫作 Edmond de Belamy,以美金 432,500 元賣出。這幅畫是誰創作的?這幅畫是由巴黎藝術集體 Obvious 生成的。而名稱 Belamy 的法語意思為”好朋友”,以致敬提出生成對抗網路的學者 Ian Goodfellow。而圖片右下角的簽名則是

\(\min_{\mathcal {G}}\max_{\mathcal {D}}E_{x}\left[\log({\mathcal {D}}(x))\right]+E_{z}\left[\log(1-{\mathcal {D}}({\mathcal {G}}(z)))\right]\) 這個數學式子,這個式子是生成對抗網路使用的目標函數,也就是引導模型訓練的數學式。而讓問題更複雜的是,生成這幅圖片的程式碼,是由與 Obvious 毫無關係的另外一位 AI 藝術家 Robbie Barrat 所寫的。甚至有人(如 AICAN)認為這個連創作都算不上。

人工智慧的創作《 Edmond de Belamy 》。圖/WIKIPEDIA

所以,這幅畫到底是誰的創作?物理學家海森堡曾說,即使在沒有足夠證據的支持下,”當自然引導我們得到極簡與美的數學式時”,”我們會不由自主的感受到,這就是自然真相被揭露的一角”。也許,真正創作者不是人工智慧,也不是人類,我們只是自然的一部分,有幸釋放了,並且有幸感受到了自然散發出的美之一角。

再・創世 Cybernetic_96
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由策展人沈伯丞籌畫之藝術計畫《再・創世 Cybernetic》,嘗試從演化控制學的理論基礎上,探討仿生學、人工智慧、嵌合體與賽伯格以及環境控制學等新知識技術所構成的未來生命圖像。
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