公設化集合論的奧秘(18) 優雅的等式〡R〡=〡P(N)〡=〡2^N〡

本文與 研華科技 合作，泛科學企劃執行。

每次 NVIDIA 執行長黃仁勳公開發言，總能牽動整個 AI 產業的神經。然而，我們不妨設想一個更深層的問題——如今的 AI 幾乎都倚賴網路連線，那如果哪天「網路斷了」，會發生什麼事？

想像你正在自駕車打個盹，系統突然警示：「網路連線中斷」，車輛開始偏離路線，而前方竟是萬丈深谷。又或者家庭機器人被駭，開始暴走跳舞，甚至舉起刀具向你走來。

這會是黃仁勳期待的未來嗎？當然不是！也因為如此，「邊緣 AI」成為業界關注重點。不靠雲端，AI 就能在現場即時反應，不只更安全、低延遲，還能讓數據當場變現，不再淪為沉沒成本。

什麼是邊緣 AI ？

邊緣 AI，乍聽之下，好像是「孤單站在角落的人工智慧」，但事實上，它正是我們身邊最可靠、最即時的親密數位夥伴呀。

當前，像是企業、醫院、學校內部的伺服器，個人電腦，甚至手機等裝置，都可以成為「邊緣節點」。當數據在這些邊緣節點進行運算，稱為邊緣運算；而在邊緣節點上運行 AI ，就被稱為邊緣 AI。簡單來說，就是將原本集中在遠端資料中心的運算能力，「搬家」到更靠近數據源頭的地方。

那麼，為什麼需要這樣做？資料放在雲端，集中管理不是更方便嗎？對，就是不好。

第一個不好是物理限制：「延遲」。
即使光速已經非常快，數據從你家旁邊的路口傳到幾千公里外的雲端機房，再把分析結果傳回來，中間還要經過各種網路節點轉來轉去…這樣一來一回，就算只是幾十毫秒的延遲，對於需要「即刻反應」的 AI 應用，比如說工廠裡要精密控制的機械手臂、或者自駕車要判斷路況時，每一毫秒都攸關安全與精度，這點延遲都是無法接受的！這是物理距離與網路架構先天上的限制，無法繞過去。

第二個挑戰，是資訊科學跟工程上的考量：「頻寬」與「成本」。
你可以想像網路頻寬就像水管的粗細。隨著高解析影像與感測器數據不斷來回傳送，湧入的資料數據量就像超級大的水流，一下子就把水管塞爆！要避免流量爆炸，你就要一直擴充水管，也就是擴增頻寬，然而這樣的基礎建設成本是很驚人的。如果能在邊緣就先處理，把重要資訊「濃縮」過後再傳回雲端，是不是就能減輕頻寬負擔，也能節省大量費用呢？

第三個挑戰：系統「可靠性」與「韌性」。
如果所有運算都仰賴遠端的雲端時，一旦網路不穩、甚至斷線，那怎麼辦？很多關鍵應用，像是公共安全監控或是重要設備的預警系統，可不能這樣「看天吃飯」啊！邊緣處理讓系統更獨立，就算暫時斷線，本地的 AI 還是能繼續運作與即時反應，這在工程上是非常重要的考量。

所以你看，邊緣運算不是科學家們沒事找事做，它是順應數據特性和實際應用需求，一個非常合理的科學與工程上的最佳化選擇，是我們想要抓住即時數據價值，非走不可的一條路！

邊緣 AI 的實戰魅力：從工廠到倉儲，再到你的工作桌

知道要把 AI 算力搬到邊緣了，接下來的問題就是─邊緣 AI 究竟強在哪裡呢？它強就強在能夠做到「深度感知（Deep Perception）」！

所謂深度感知，並非僅僅是對數據進行簡單的加加減減，而是透過如深度神經網路這類複雜的 AI 模型，從原始數據裡面，去「理解」出更高層次、更具意義的資訊。

以研華科技為例，旗下已有多項邊緣 AI 的實戰應用。以工業瑕疵檢測為例，利用物件偵測模型，快速將工業產品中的瑕疵挑出來，而且由於 AI 模型可以使用同一套參數去檢測，因此品管上能達到一致性，減少人為疏漏。尤其在高產能工廠中，檢測速度必須快、狠、準。研華這套 AI 系統每分鐘最高可處理 8,000 件產品，替工廠節省大量人力，同時確保品質穩定。這樣的效能來自於一台僅有膠囊咖啡機大小的邊緣設備—IPC-240。

此外，在智慧倉儲場域，研華與威剛合作，研華與威剛聯手合作，在 MIC-732AO 伺服器上搭載輝達的 Nova Orin 開發平台，打造倉儲系統的 AMR（Autonomous Mobile Robot） 自走車。這跟過去在倉儲系統中使用的自動導引車 AGV 技術不一樣，AMR 不需要事先規劃好路線，靠著感測器偵測，就能輕鬆避開障礙物，識別路線，並且將貨物載到指定地點存放。

當然，還有語言模型的應用。例如結合檢索增強生成 ( RAG ) 跟上下文學習 ( in-context learning )，除了可以做備忘錄跟排程規劃以外，還能將實務上碰到的問題記錄下來，等到之後碰到類似的問題時，就能詢問 AI 並得到解答。

你或許會問，那為什麼不直接使用 ChatGPT 就好了？其實，對許多企業來說，內部資料往往具有高度機密性與商業價值，有些場域甚至連手機都禁止員工帶入，自然無法將資料上傳雲端。對於重視資安，又希望運用 AI 提升效率的企業與工廠而言，自行部署大型語言模型（self-hosted LLM）才是理想選擇。而這樣的應用，並不需要龐大的設備。研華的 SKY-602E3 塔式 GPU 伺服器，體積僅如後背包大小，卻能輕鬆支援語言模型的運作，實現高效又安全的 AI 解決方案。

但問題也接著浮現：要在這麼小的設備上跑大型 AI 模型，會不會太吃資源？這正是目前 AI 領域最前沿、最火熱的研究方向之一：如何幫 AI 模型進行「科學瘦身」，又不減智慧。接下來，我們就來看看科學家是怎麼幫 AI 減重的。

語言模型瘦身術之一：量化（Quantization）—用更精簡的數位方式來表示知識

當硬體資源有限，大模型卻越來越龐大，「幫模型減肥」就成了邊緣 AI 的重要課題。這其實跟圖片壓縮有點像：有些畫面細節我們肉眼根本看不出來，刪掉也不影響整體感覺，卻能大幅減少檔案大小。

模型量化的原理也是如此，只不過對象是模型裡面的參數。這些參數原先通常都是以「浮點數」表示，什麼是浮點數？其實就是你我都熟知的小數。舉例來說，圓周率是個無窮不循環小數，唸下去就會是3.141592653…但實際運算時，我們常常用 3.14 或甚至直接用 3，也能得到夠用的結果。降低模型參數中浮點數的精度就是這個意思！ 

然而，量化並不是那麼容易的事情。而且實際上，降低精度多少還是會影響到模型表現的。因此在設計時，工程師會精密調整，確保效能在可接受範圍內，達成「瘦身不減智」的目標。

模型剪枝（Model Pruning）—基於重要性的結構精簡

建立一個 AI 模型，其實就是在搭建一整套類神經網路系統，並訓練類神經元中彼此關聯的參數。然而，在這麼多參數中，總會有一些參數明明佔了一個位置，卻對整體模型沒有貢獻。既然如此，不如果斷將這些「冗餘」移除。

這就像種植作物的時候，總會雜草叢生，但這些雜草並不是我們想要的作物，這時候我們就會動手清理雜草。在語言模型中也會有這樣的雜草存在，而動手去清理這些不需要的連結參數或神經元的技術，就稱為 AI 模型的模型剪枝（Model Pruning）。

模型剪枝的效果，大概能把100變成70這樣的程度，說多也不是太多。雖然這樣的縮減對於提升效率已具幫助，但若我們要的是一個更小幾個數量級的模型，僅靠剪枝仍不足以應對。最後還是需要從源頭著手，採取更治本的方法：一開始就打造一個很小的模型，並讓它去學習大模型的知識。這項技術被稱為「知識蒸餾」，是目前 AI 模型壓縮領域中最具潛力的方法之一。

知識蒸餾（Knowledge Distillation）—讓小模型學習大師的「精髓」

想像一下，一位經驗豐富、見多識廣的老師傅，就是那個龐大而強悍的 AI 模型。現在，他要培養一位年輕學徒—小型 AI 模型。與其只是告訴小型模型正確答案，老師傅 (大模型) 會更直接傳授他做判斷時的「思考過程」跟「眉角」，例如「為什麼我會這樣想？」、「其他選項的可能性有多少？」。這樣一來，小小的學徒模型，用它有限的「腦容量」，也能學到老師傅的「智慧精髓」，表現就能大幅提升！這是一種很高級的訓練技巧，跟遷移學習有關。

舉個例子，當大型語言模型在收到「晚餐：鳳梨」這組輸入時，它下一個會接的詞語跟機率分別為「炒飯：50%，蝦球：30%，披薩：15%，汁：5%」。在知識蒸餾的過程中，它可以把這套機率表一起教給小語言模型，讓小語言模型不必透過自己訓練，也能輕鬆得到這個推理過程。如今，許多高效的小型語言模型正是透過這項技術訓練而成，讓我們得以在資源有限的邊緣設備上，也能部署愈來愈強大的小模型 AI。

但是！即使模型經過了這些科學方法的優化，變得比較「苗條」了，要真正在邊緣環境中處理如潮水般湧現的資料，並且高速、即時、穩定地運作，仍然需要一個夠強的「引擎」來驅動它們。也就是說，要把這些經過科學千錘百鍊、但依然需要大量計算的 AI 模型，真正放到邊緣的現場去發揮作用，就需要一個強大的「硬體平台」來承載。

邊緣 AI 的強心臟：SKY-602E3 的三大關鍵

像研華的 SKY-602E3 塔式 GPU 伺服器，就是扮演「邊緣 AI 引擎」的關鍵角色！那麼，它到底厲害在哪？

一、核心算力
它最多可安裝 4 張雙寬度 GPU 顯示卡。為什麼 GPU 這麼重要？因為 GPU 的設計，天生就擅長做「平行計算」，這正好就是 AI 模型裡面那種海量數學運算最需要的！

你想想看，那麼多數據要同時處理，就像要請一大堆人同時算數學一樣，GPU 就是那個最有效率的工具人！而且，有多張 GPU，代表可以同時跑更多不同的 AI 任務，或者處理更大流量的數據。這是確保那些科學研究成果，在邊緣能真正「跑起來」、「跑得快」、而且「能同時做更多事」的物理基礎！

二、工程適應性——塔式設計。
邊緣環境通常不是那種恆溫恆濕的標準機房，有時是在工廠角落、辦公室一隅、或某個研究實驗室。這種塔式的機箱設計，體積相對緊湊，散熱空間也比較好（這對高功耗的 GPU 很重要！），部署起來比傳統機架式伺服器更有彈性。這就是把高性能計算，進行「工程化」，讓它能適應台灣多樣化的邊緣應用場景。

三、可靠性
SKY-602E3 用的是伺服器等級的主機板、ECC 糾錯記憶體、還有備援電源供應器等等。這些聽起來很硬的規格，背後代表的是嚴謹的工程可靠性設計。畢竟在邊緣現場，系統穩定壓倒一切！你總不希望 AI 分析跑到一半就掛掉吧？這些設計確保了部署在現場的 AI 系統，能夠長時間、穩定地運作，把實驗室裡的科學成果，可靠地轉化成實際的應用價值。

台灣製造 × 在地智慧：打造專屬的邊緣 AI 解決方案

研華科技攜手八維智能，能幫助企業或機構提供客製化的AI解決方案。他們的技術能力涵蓋了自然語言處理、電腦視覺、預測性大數據分析、全端軟體開發與部署，及AI軟硬體整合。

無論是大小型語言模型的微調、工業瑕疵檢測的模型訓練、大數據分析，還是其他 AI 相關的服務，都能交給研華與八維智能來協助完成。他們甚至提供 GPU 與伺服器的租借服務，讓企業在啟動 AI 專案前，大幅降低前期投入門檻，靈活又實用。

台灣有著獨特的產業結構，從精密製造、城市交通管理，到因應高齡化社會的智慧醫療與公共安全，都是邊緣 AI 的理想應用場域。更重要的是，這些情境中許多關鍵資訊都具有高度的「時效性」。像是產線上的一處異常、道路上的突發狀況、醫療設備的即刻警示，這些都需要分秒必爭的即時回應。

如果我們還需要將數據送上雲端分析、再等待回傳結果，往往已經錯失最佳反應時機。這也是為什麼邊緣 AI，不只是一項技術創新，更是一條把尖端 AI 科學落地、真正發揮產業生產力與社會價值的關鍵路徑。讓數據在生成的那一刻、在事件發生的現場，就能被有效的「理解」與「利用」，是將數據垃圾變成數據黃金的賢者之石！

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延續之前的努力，我們雖然試過聯集（加法）和笛卡爾乘積（乘法），仍然沒能突破可數無限的藩籬，可見如來佛這隻手比我們想像中還要寬。在陷入困境的時刻，忽然想到在數學運算裡，減法和除法會讓數值變小，而加法和乘法會讓數值變大。但哪種運算可以讓數值增加得更「快」一些呢？ 我們任意拿兩個數，比如3和5來觀察看看：

3+5 = 8      3×5= 15    3⁵ = 243

我們發現對任意兩個正數，乘法得到的結果比加法得到的結果大，而指數運算得到的結果又比乘法大。依此進行推想，如果在集合運算裡有類似指數運算的話，那它很有可能就是我們得以突破可數無限集合的「星航艦企業號」，問題只剩下：這樣的東西存在嗎？

確實有這樣一個東西，它在日常數學（也就是非基礎數學）裡雖然並不常見，卻是集合論的「常備良藥」。我們就來見識一下它的模樣：

定義6：A和B都是集合，我們定義從A到B的所有函數所成的集合為B^A = {F〡F : A→ B為函數}

這個定義很容易讓人誤以為B^A指的就是函數 ƒ： A→ B，於是認為B^A只不過是函數ƒ 的另一個寫法罷了，但這種誤認卻是致命的。

當我們說函數 ƒ：A→B時，我們說的是某個特定的序對集合ƒ，這些序對的前項由A的元素構成而後項則由B的元素構成，所以函數ƒ的成員由序對形成。

舉個例子就能清楚了，比如A = 2而B = 3。那麼 ƒ 會是怎樣的型態呢？有人心裡可能會嘀咕說2和3不是自然數嗎？它們怎麼能夠充當定義域和對應域來形成函數呢？之所以有這種疑惑是因為集合論的馬步沒蹲扎實所致，才會忘了自然數本身就是集合啊！（請參考《公設化集合論的奧秘 (5)》） 所以自然數2 = {0, 1}，自然數3 = {0, 1, 2}，因此函數

ƒ: 2 → 3 就是
ƒ: {0, 1} → {0, 1, 2}。

現在我們可以據此定義一個個別函數，比如恆等函數（identity function） ƒ_i: x → x，它等於序對(0, 0) 和(1, 1) 所形成的集合{(0, 0), (1, 1)}。再比如說常數函數（constant function） ƒ_c: x → 2，則不論是0還是1，它們的函數值都等於2，所以函數ƒ_c就等於序對集合{(0, 2), (1, 2)}。

有了以上的例子我們澄清了B^A是從A到B的各種可能函數所形成的集合 {ƒ_i, ƒ_c, ƒ_s, …}，而不是任何特定函數ƒ_k。某個特定函數 ƒ: A→ B的成員是序對，但B^A的成員則是函數。接下來需要確認的是這個定義是否捕捉到指數的核心本質？我們可以問當A = 2且B = 3時，B^A有幾個成員？對於定義域的兩個元素0和1來說，它們各有3種選擇來形成序對，那就是（0, 0）、（0, 1）、（0, 2）和（1, 0）、（1, 1）、（1, 2）。

若要形成任何特定的函數ƒ_k，就必須從前面三個序對中選出某一個，然後再配上後面序對中的任一個，比如我們從前後都選第一個序對而形成{(0, 0), (1, 0)}這種函數組合。這樣的話所有可能的組合方式共有3+3+3 = 9種，也就是共有9個函數成員，正好是B^A=3² = 9。因此對於有限數值來說，B^A 的定義與指數運算相契合。

最後為了表明自己是公設化集合論的內行人，請不要忘記驗證B^A為「合法」集合。對於任意序對 (a, b)，a∈A且 b ∈ B 來說，( a, b) ∈ A X B，由於它們是函數的元素，所以由序對構成的函數F必定是A X B的子集，也就是F ⊆ A X B。由於冪集合是把子集作為元素而形成的集合，所以F ∈ P (A X B) 。我們在《公設化集合論的奧秘 (14)》中已經證明笛卡爾乘積A X B是集合，現在面對A X B 的冪集合P (A X B)，我們根據ZF7 冪集合公設得知P (A X B)也是集合，因此P (A X B)的子集B^A是集合沒錯。

有了B^A這個武器之後，我們發現可以將原先只限於有限數值的指數運算擴展到無限集合，比如說2^N。我們想知道這個運算是否能「飛出」可數無限集合的範圍? 對於有限數值的指數運算，我們有明確的規則和定義: 比如 2⁵ 就是將2連乘5次，而對任何自然數k，2^k就是將2連乘k次。在沒有定義B^A之前，我們並不知道2^N或2^ω代表甚麼意思，但我們現在知道2^N是指所有以下這種函數所成的集合:

F: {0, 1, 2, 3, 4…} → {0, 1}

這種集合的對應域很簡單，不過就是0跟1，那它看起來會像甚麼呢? 想像有一排被編上號碼的電燈泡，從最左邊的0號開始一直往右無盡延伸，越往右邊號碼越大，每個函數F就相當於一種亮燈的方式。比如若F定義域裡的所有自然數的値都對應到1，那就相當於燈泡全亮的狀態，反之如果F定義域裡的所有自然數値都對應到0，那就是燈泡全暗的狀態。依此類推，每個特定的F都表示一種亮燈狀態，而這些燈泡的各種明暗組合方式就構成2^N集合。

這看起來和我們在《公設化集合論的奧秘 (7)》裡提過的全體自然數的冪集合P(N)很像，所以我們要問: 2^N的尺寸是否與P(N)相同? 也就是它們的基數〡P(N)〡與〡2^N〡是否相等? 要證明這一點就必須在P(N)與2^N之間找到一個一對一且映成的函數ƒ，那樣就證明了〡P(N)〡=〡2^N〡。

由於P (N) 的元素是某個自然數的子集A ⊆ N，所以我們的目標是要將某個A（比如{0, 1, 2}）與2^N的元素之間建立起函數關係，也就是在

ƒ : P(N) → 2^N

之間尋找一對一且映成關係。但2^N的元素本身就是函數，該如何試當選取以完成這個艱難任務呢? 我們可以試著用特徵函數（characteristic function）來充當2^N的元素，其定義如下:

I_A: N → {0, 1}

它的意思是說如果某個x 剛好是A裡的元素，那麼它的函數值等於1，也就是這個編號的燈泡是亮的。反之若x不是A裡的元素，那函數值等於0，也就是這個編號的燈泡是暗的。因此我們可以把函數ƒ 看成是一張書面指令和燈泡明暗組合之間的對應關係，由P(N)裡挑選出來的子集A可以看成是一道指令，它裡面包含的元素就是要點亮的燈號。當這條指令經由ƒ 送到特徵函數I_A時，特徵函數就根據A指令佈署亮燈的方式，若函數值為1就是亮燈，若函數值為0就關燈。

我們以A = {0, 1, 2}作例子，A裡的元素等於是指令，讓我們依據指令將那幾個編號(0, 1, 2)的燈泡點亮，因此特徵函數據此進行判別之後就決定了一種亮燈的方式，也就是只有前3盞燈是亮的，而編號2之後的所有燈泡全是暗的。很容易可以看出若指令不同的話，也就是A ≠ B，則亮燈的方式也會有所不同，也就是I_A ≠ I_B。這就表示

ƒ : P(N) → 2^N
A → I_A

為一對一函數。反之對任何一種亮燈方式，也就是特徵函數IA，我們都可以找到某個指令A ∈ P(N) 使得ƒ (A) = I_A，因此ƒ為映成。既然ƒ 為一對一且映成函數，所以它們等量，也就是〡P(N)〡=〡2^N〡。

由於康托的對角線方法已經證明P(N)為不可數集合，因此與它等量的2^N也同樣為不可數集合。終於成功了！2^N運算讓我們擺脫可數無限的枷鎖而得以遨遊太虛之中，直達玄妙的不可數無限的領地，我們也使得冪集合P (N) 與2^N在此相遇。從無限尺寸的觀點來看，它們（P(N)和2^N）是同一個東西。在《公設化集合論的奧秘 (11)》裡我們證明了實數也是不可數的，那麼P(N)和2^N與實數的尺寸是否一樣大呢？有辦法可以證明嗎？這就只有等下回再分解了。

文 / 翁昌黎（《孔恩vs.波普》中文譯者）

許多人在學習集合論的過程中經常會聽到一個說法，那就是所有的集合都是從宇集（universe）—也就是所有集合所成的集合—裡拿出來的，彷彿先要有個上帝般的宇集，隨後所有的集合才從那裡生出。好比你要學習天文學，有人會告訴你我們住在一個大爆炸之後的廣大宇宙裡，然後依序介紹衛星、行星、恆星、太陽系、銀河系、星系團等等天文學「物件」。先給個最大的概念舞台，然後再進入舞台上的佈景和道具的細節，這樣的理解過程似乎合情合理。可是對集合論來說，這樣的說法是災難性的，不只是由於宇集的概念充滿詭異，而是宇集根本就不存在！

這到底是怎麼回事？才剛開始要碰觸現代數學核心的集合論概念，卻從一個完全錯誤的起點出發，這難道不讓人背脊發涼嗎？那就先來看看宇集到底長甚麼樣子吧！一般我們用大寫的V來代表宇集，所以根據素樸集合論的概括公設原理（請參考《公設化集合論的奧秘 (3)》），宇集就是：

V= {x〡x是個集合}   或者

V = {x〡x=x} （庫能等人使用這個寫法）

它們的意思很清楚，只要算是個集合都可以放進我們的大百寶箱V裡邊。但這樣做為什麼會有問題呢？既然要研究集合，那我們事先把所有的集合通通蒐羅起來形成一個最完整的集合有甚麼錯呢？

我們來觀察一下這個集合的形式有甚麼奇特之處，既然V是所有集合所成的集合，那V裡邊一定得有它自己，否則的話它就沒資格宣稱自己是包含所有集合的集合。因此V必然會有如下這種形態：

V= {a, b, c, d, e, … , V, x, y, z, …}

按照道理，宇集內部那個V（我們已經標成紅色）跟外面那個V是一樣的，因為宇集既然是宇宙間所有集合的集合，那它就是最大的集合，所以必然只有唯一的一個最大集合。因此：

V = {a, b, c, d, e, … , V, x, y, z, …}

把這個紅V套上去就應該是底下這種樣子：

V= {a, b, c, d, e, … , {a, b, c, d, e, … , V, x, y, z, …}, x, y, z, …}

而更裡面那個標紅的V也必定是複制了同樣的形態：

{a, b, c, d, e, … , V, x, y, z, …}

像這樣無窮無盡層層疊疊複制下去，永無盡頭。

頭被搞暈了吧？這樣的怪物到底是甚麼？雖說這樣的造形讓人頭暈目眩，但我們還是沒有充分的理由說它不存在。要如何證明它存在或不存在呢？如果你懷疑這樣的集合不存在該怎麼做呢？有一個很符合邏輯的想法就是，既然V「揚言」自己是所有集合所成的集合，那如果我們能夠製造出一個集合，然後證明它不在V裡，不就拆穿V的牛皮了嗎？但去哪裡找這個集合呢？

俗話說踏破鐵鞋無覓處，忽然想起一個老朋友R = { x 〡x ∉ x}，它不就是在《公設化集合論的奧秘 (3)》裡所談到的羅素詭論集合嗎？我們將其稍加改裝成為如下集合：

B = {x ∈ V 〡: x ∉ x}

這個微小的差異在於現在有個號稱包含一切集合的V，那麼任何集合都必須是它的成員才行，所以有x ∈ V這個條件。我們還可以接著問，B集合是它自己的成員嗎？如果是的話，那麼B ∈ B，則B必須符合上述集合的條件，也就是B ∈ V且B ∉ B

把它寫成數理邏輯式就是：

(L1)   B ∈ B ⇒ (B ∈ V) · (B ∉ B)    （其中黑點為and的意思）

反過來說，如果B ∉ B，那麼根據假設，V包含一切集合，所以B ∈ V，這樣的話B剛好又符合集合B = {x ∈ V 〡: x ∉ x}的條件，所B ∈ B。

整理成理邏輯式就成了：

(L2)    (B ∈ V) · (B ∉ B) ⇒ B ∈ B

把(L1)和(L2)組合起來可以得到一個雙條件句:

(L3)     B ∈ B ⇔ (B ∈ V) · (B ∉ B) 

學過一點數理邏輯的人都知道，符號⇔兩邊的邏輯語句等值，也就是兩邊必須同為真或同為假整個邏輯式才能成立。但由於B ∉ B是B ∈ B的否定，所以它們必定一真一假，那麼邏輯式 (L3) 為真的唯一希望就是B ∈ V為假了。因為若B ∈ V為真，那兩邊的另兩個語句永遠一真一假，(L3) 就永遠沒有成真的希望了。因此根據邏輯，我們得出B ∈ V為假，也就是B ∉ V。

這個結論的重要性在於既然有一個集合B不在V裡，那表示V根本不是包含一切集合的集合，牛皮終於吹爆，詐騙案宣告偵破。換句話說，那樣的集合V並不存在。

因此宇集V和羅素集合R一樣，都會導致邏輯矛盾，因此都成為公設化集合論「掃黑」的對象。在集合論發展的過程裡，對於排除這種搗蛋分子有兩條路線，一個是我們一開始採用的ZF集合論，它直接將這種龐然怪物趕出集合的園子，塑造了一個純淨的理念世界，其中只有一種物件（集合）和一種關係（∈），不需要其他多餘的材料。

ZF系統如何處理羅素詭論我們已經在《公設化集合論的奧秘(4)》裡談過了，現在簡短介紹一下另一條路線的主要系統NBG如何面對這種邏輯困境。所謂NBG是這個系統的三個主要貢獻者的名字縮寫，這個陣容也是夠嚇人的。N是被稱為神童的電腦之父馮·紐曼（John von Neumann），B是瑞士知名數學家伯納斯（Paul Bernays），證明論的現代奠基者根岑（Gerhard Gentzen）就是他的弟子，G不用說就是大名鼎鼎的哥德爾。

NBG系統的最大特徵是它用類（class）來函蓋所談論的理論對象，集合是類的一種，而那些不屬於集合的V和R則稱為真類（proper class），但在ZF系統裡是不談論真類的，所以在進入NBG系統之前必須先定義好集合和真類以免混淆。一般用M(X)來代表X是個集合，用邏輯表達式(∃Y)( X∈Y)來定義。它的意思是說如果X是集合，那它可以被登記在另一個集合之下成為它的成員。但真類無法這樣，所以它的定義就是M(X)的否定(寫成¬M(X))，因為它們無法被登記在任何集合之下成為成員，所以真類不是集合。或者換個說法，如果一個類可以登記在其他集合名下，那這個類就稱為集合，如果不可以登記在任何集合名下就稱之為真類。

按照這個新規定，我們發現之前為宇集V所做的造型

V= {a, b, c, d, e, … , V, x, y, z, …}就不能存在了。

首先紅V沒有資格登記在任何集合名下，況且外邊那個V（當然是同一個V）也不是集合，兩個集合的條件都不符合，在這種裡外不是人的情況下，我們之前對宇集那令人頭昏腦脹的構造方式瞬間煙消雲散，好似鬼魅夜間幻化的亭台樓閣到了白晝只剩下荒草間的荒塚。

雖然NBG理論系統可以合法談論真類，算是一種擴張了的類理論而不僅是集合論，但從集合和真類的定義（也就是M(X)和¬M(X)）可以知道，類並不是集合。所以在集合論的領域裡，兩者並無本質差異，也就是NBG並沒有因為加入真類而推導出某些ZF所沒有的定理。

由於真類會在集合系統裡引發邏輯矛盾，所以NBG將其納入並非改變或擴展集合的定義，只是一種權宜之計。它認為在探討一個理論時，若給「非集合」一個代表符號則能增加理論符號系統的表達力，對理論探索來說不見得是壞事。正如聊齋裡談到很多鬼靈精怪的故事，它給我們增加了許多生活的樂趣，但不表示這些名稱所說的東西就真的存在。

僅管NBG有那麼強的卡司陣容和理論表達力，但在集合論領域的普及程度卻趕不上ZF，其中一個原因還是在於理論的簡潔和美感。ZF集合論讓你看到一個純淨而單一的世界，裡面沒有塵土只有琉璃和寶石，沒有魑魅魍魎只有潔白的柏拉圖地磚。

有一種說法認為集合論的發明是在1873年12月，精確地說是1873年12月7日，因為那一天康托證明了連續統（continuum）是不可數的，所以應該把那一天當成現代集合論的生日。不論你是否同意這個出生證明，但康托1873年年底所用的證明方法並非後來廣為人知的對角線法，也就是我們在《公設化集合論的奧秘 (11)》所採用的方法，對角線法的提出要到大約19年後的1892年才公諸於眾。

但從那一天起，人類對無限的了解進入了一個全新的階段，我們知道實數（連續統）比自然數還大。在證明實數是不可數之後，我們可否進一步下結論說自然數的冪集合P(N)與實數的尺寸一樣大，因為它們都是不可數集合？在沒發現不可數集合之前，我們原以為無限只有一種，那就是像自然數一樣可以從0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 … 一直往下數沒有盡頭這種無限，直到這種想法被康托的證明方法擊碎。有了這個教訓，我們最好更加謹慎，任何直觀的想法都應該由嚴格的證明來確認，所以尋找證明是必要的工作。

假如要證明實數集合R與P(N) 等量，那麼根據定義1 （請參考《公設化集合論的奧秘 (8)》） ，就必須找到一個一對一且映成的函數F: R → P(N)才行。但這可不是件容易的事，我們如何在浩如星辰的實數和全體自然數的冪集合之間找到這種一一對應呢？先別失望，我們之前介紹的戴德金左集合（請參考《公設化集合論的奧秘 (16)》和《公設化集合論的奧秘 (17)》）或許可以在此危難之際發揮作用。由於戴德金實數是由一堆有理數（實際上是可數無限個）來定義的，這給了我們一個透視實數集合結構的絕佳機會。

既然每個戴德金實數就相當於無限多個有理數的集合，比如0被定義為 {q〡q ∈ Q 且q<0}，也就是所有負有理數的集合，那我們正好可以定義一個一對一的恆等函數，使得每個實數r （相當於一個戴德金左集合）對應到一個相等的有理數子集合：

f: R → P(Q)

 r → r

也就是說定義域R裡裝了哪一堆有理數那我的値域就取同樣一堆有理數來配對，因為這樣一堆有理數正好符合對應域P(Q)的定義條件—全體有理數的子集合。這麼容易就完成證明啦？還是個恆等函數，這也簡單到有點欺負人了吧！

且慢，有兩個問題尚待解決。首先，我們所要證明的函數關係是從 R → P(N)而不是R → P(Q)。其次，R和P(N)等量的條件是找到一個一對一且映成的函數，但我們剛剛找的f: R → P(Q)只滿足一對一的條件卻不映成，這一點可以很容易看出來。由於戴德金實數必定由無限個有理數所構成，因為左集合會往負數方向無限伸展，可是對於P(Q)來說，它顯然也必須包含由有限元素所構成的集合，比如{1/6, 37, 522}就是Q的一個有限子集合，但我們無法找到與之相對應的戴德金實數r。

現在回顧《公設化集合論的奧秘 (14)》裡的定義：

定義5：如果在集合A和B之間存在一個一對一函數ƒ : A→B，則說A小於或等量於B，寫成A ≤ B。相當於〡A〡≤  〡B〡，也就是A的基數小於等於B的基數。

由這個定義得知，我們目前能確定的只是〡R〡≤ 〡P(Q)〡，而不是〡R〡= 〡P(N)〡。證明定理有時候就像擬訂作戰策略，對於無法一次消滅的敵人，你要分段把它逐步吃掉，而不能急於蟒蛇吞象最後把自己噎死。千萬不要輕忽每一次的小進展，那就讓我們把以上成果當成是一個好的開始吧。

有了半壁江山，就想辦法湊出另一半吧！這提醒我們之前提到的施洛德—伯恩斯坦定理（Schröder-Bernstein theorem） ，它的一般表述形式是：

對任意集合A和B，如果〡A〡≤ 〡B〡且〡B〡≤ 〡A〡

則〡A〡=〡B〡。

這個定理的威力在於它允許我們使用和有限數值一樣的方式來辨認集合的尺寸。比如有兩個數a和 b，如果a ≤ b 而且b ≤ a的話，那一定會得出a = b，施洛德—伯恩斯坦定理把這層關係從有限數推廣到不可數無限集合。

此外，這個定理還有一個實際功能，那就是當我們想證明兩個集合等量卻苦於找不到一對一且映成函數時，可以有個更簡潔的辦法。我們只需找到兩個一對一函數，一個從A到B，另一個從B到A就成了，對於許多複雜的集合等量證明來說，這不啻是天降福音。接下來只須稍稍解決一個小問題，那就是之前我們已經證明有理數和自然數一樣多（《公設化集合論的奧秘 (9)》），所以〡Q〡=〡N〡，得到〡P(Q)〡=〡P(N)〡，因此原來的戰鬥成果〡R〡≤ 〡P(Q)〡就可以順理成章地變成〡R〡≤ 〡P(Q)〡=〡P(N)〡，用小學的數學就能得到〡R〡≤ 〡P(N)〡。

以施洛德—伯恩斯坦定理的觀點來看，證明已經完成了一半。接下來我們想要在2^N和R之間建立起一個一對一函數，也就是讓〡2^N 〡≤ 〡R〡成立。我們再次用小學數學來解釋這樣做的理由，在《公設化集合論的奧秘 (15)》我們證明了〡P(N)〡=〡2^N〡，因此只要〡2^N 〡≤ 〡R〡成立，那麼〡P(N)〡≤ 〡R〡就會成立。

這讓我想起一個卡通節目，每次當兩位總在冒險旅途的主角一遇到甚麼災難，只要把兩枚原本一體的神奇戒指結合，就會跑出一個法力無邊的阿拉伯神祇名叫蘇仙，祂的神通可以打退各方的妖魔鬼怪。數學式〡R〡≤ 〡P(N)〡和〡P(N)〡≤ 〡R〡就有如集合論中的神奇戒指，當它們一結合就能招喚出法力無窮的蘇仙讓我們見識到集合論的奇蹟：〡R〡= 〡P(N)〡。

但要如何打造另外一半的戒指呢？我們需要找到一個一對一函數

θ: 2^N → R

之前說過2^N是指以下這種函數類型所成的集合

F: {0, 1, 2, 3, 4…} → {0, 1}

所以我們的目標是找一個這種類型的函數f對應到某個實數r。它的形式就是：

θ: 2^N → R

     f →  r

化繁為簡是數學思考的靈魂，所以在尋找f之前我們先將θ的對應域R做點簡化工作。在《公設化集合論的奧秘 (11)》一文我們已經證明全體實數R的個數和開區間(0, 1)裡的實數一樣多，因此我們可以把目標函數θ: 2^N → R調整為θ: 2^N → (0, 1)，也就是讓2^N 中的元素f對應到(0, 1)間的某個實數即可。這個函數的樣貌如下：

θ: 2^N →(0, 1)

     f →  0.a₀a₁a₂a₃a₄…a_n…

我們之前介紹過 2^N的成員，它的成員是某個函數f，有如一排編上號碼從0一直延伸至無窮的燈泡，每個燈泡可以是亮燈或關閉的狀態，而f就相當於某種特定的亮燈組合方式。比如現在給出一種亮燈組合，它規定只有第一個編號為0的燈點亮，其餘所有的燈都是暗的，這時f函數的値有如下的規律：

f(0) = 1, f(1) = 0, f(2) = 0, f(3) = 0, f(4) = 0,  … f(n) = 0 …

每個不同的函數f代表一種特定的亮燈組合方式。

現在只要把f的第一個函數值f(0)指定為a₀ ，第二個函數值f(1)指定為a₁，第三個值f(2)指定為a₂，依此類推，我們就能夠得到一個介於0和1之間的實數，其小數點之後的位數只由0與1構成。以剛才的函數為例，我們得到a₀ =1, a₁=0, a₂=0, a₃=0… 因此和它對應的實數就是0.100000000…，也就是0.1。顯然如果函數不同f₁ ≠ f₂，則其指定的每個a_n值當然不同，這就導致與其相對應的實數0.a₀a₁a₂a₃a₄…a_n …也不同，於是我們得到 θ(f₁) ≠ θ(f₂)，因此θ為一對一函數。於是我們證明了蘇仙戒指的另一半：

〡2^N 〡= 〡P(N)〡≤ 〡R〡

於是我們所知道的不可數集合的三種形態全部等量，形成一個相當優雅簡潔的集合等式〡R〡= 〡P(N)〡=〡2^N〡。

我們之前用ℵ₀來標示自然數和有理數這種可數無限集合的基數，因此我們有等式：

〡N〡= 〡Q〡= ℵ₀

而對於比ℵ₀還大的不可數集合我們用ℵ₁來表示，因此又有如下的等式：

〡R〡= 〡P(N)〡=〡2^N〡= ℵ₁

經過長期的努力，我們終於將這些主要的無限集合之間的尺寸關係弄清楚了， 但這就是故事的終點了嗎？發揮想像力，朝著變大和變小的方向飛行，兩個有趣的問題又會浮現出來。第一個問題是有比ℵ₁更大的集合嗎？如果有，那要如何才能發現它呢？或者怎樣才能把它製造出來呢？第二個問題是在ℵ₀和ℵ₁之間有沒有一種中等尺寸的無限集合，它既比ℵ₀大但又比ℵ₁小，比如說是否存在一個基數為ℵ_1/2的集合？要回答這些有趣的問題就只有等下回再分解了！