延續之前的努力，我們雖然試過聯集（加法）和笛卡爾乘積（乘法），仍然沒能突破可數無限的藩籬，可見如來佛這隻手比我們想像中還要寬。在陷入困境的時刻，忽然想到在數學運算裡，減法和除法會讓數值變小，而加法和乘法會讓數值變大。但哪種運算可以讓數值增加得更「快」一些呢？ 我們任意拿兩個數，比如3和5來觀察看看：

3+5 = 8      3×5= 15    3⁵ = 243

我們發現對任意兩個正數，乘法得到的結果比加法得到的結果大，而指數運算得到的結果又比乘法大。依此進行推想，如果在集合運算裡有類似指數運算的話，那它很有可能就是我們得以突破可數無限集合的「星航艦企業號」，問題只剩下：這樣的東西存在嗎？

確實有這樣一個東西，它在日常數學（也就是非基礎數學）裡雖然並不常見，卻是集合論的「常備良藥」。我們就來見識一下它的模樣：

定義6：A和B都是集合，我們定義從A到B的所有函數所成的集合為B^A = {F〡F : A→ B為函數}

這個定義很容易讓人誤以為B^A指的就是函數 ƒ： A→ B，於是認為B^A只不過是函數ƒ 的另一個寫法罷了，但這種誤認卻是致命的。

當我們說函數 ƒ：A→B時，我們說的是某個特定的序對集合ƒ，這些序對的前項由A的元素構成而後項則由B的元素構成，所以函數ƒ的成員由序對形成。

舉個例子就能清楚了，比如A = 2而B = 3。那麼 ƒ 會是怎樣的型態呢？有人心裡可能會嘀咕說2和3不是自然數嗎？它們怎麼能夠充當定義域和對應域來形成函數呢？之所以有這種疑惑是因為集合論的馬步沒蹲扎實所致，才會忘了自然數本身就是集合啊！（請參考《公設化集合論的奧秘 (5)》） 所以自然數2 = {0, 1}，自然數3 = {0, 1, 2}，因此函數

ƒ: 2 → 3 就是
ƒ: {0, 1} → {0, 1, 2}。

現在我們可以據此定義一個個別函數，比如恆等函數（identity function） ƒ_i: x → x，它等於序對(0, 0) 和(1, 1) 所形成的集合{(0, 0), (1, 1)}。再比如說常數函數（constant function） ƒ_c: x → 2，則不論是0還是1，它們的函數值都等於2，所以函數ƒ_c就等於序對集合{(0, 2), (1, 2)}。

有了以上的例子我們澄清了B^A是從A到B的各種可能函數所形成的集合 {ƒ_i, ƒ_c, ƒ_s, …}，而不是任何特定函數ƒ_k。某個特定函數 ƒ: A→ B的成員是序對，但B^A的成員則是函數。接下來需要確認的是這個定義是否捕捉到指數的核心本質？我們可以問當A = 2且B = 3時，B^A有幾個成員？對於定義域的兩個元素0和1來說，它們各有3種選擇來形成序對，那就是（0, 0）、（0, 1）、（0, 2）和（1, 0）、（1, 1）、（1, 2）。

若要形成任何特定的函數ƒ_k，就必須從前面三個序對中選出某一個，然後再配上後面序對中的任一個，比如我們從前後都選第一個序對而形成{(0, 0), (1, 0)}這種函數組合。這樣的話所有可能的組合方式共有3+3+3 = 9種，也就是共有9個函數成員，正好是B^A=3² = 9。因此對於有限數值來說，B^A 的定義與指數運算相契合。

最後為了表明自己是公設化集合論的內行人，請不要忘記驗證B^A為「合法」集合。對於任意序對 (a, b)，a∈A且 b ∈ B 來說，( a, b) ∈ A X B，由於它們是函數的元素，所以由序對構成的函數F必定是A X B的子集，也就是F ⊆ A X B。由於冪集合是把子集作為元素而形成的集合，所以F ∈ P (A X B) 。我們在《公設化集合論的奧秘 (14)》中已經證明笛卡爾乘積A X B是集合，現在面對A X B 的冪集合P (A X B)，我們根據ZF7 冪集合公設得知P (A X B)也是集合，因此P (A X B)的子集B^A是集合沒錯。

有了B^A這個武器之後，我們發現可以將原先只限於有限數值的指數運算擴展到無限集合，比如說2^N。我們想知道這個運算是否能「飛出」可數無限集合的範圍? 對於有限數值的指數運算，我們有明確的規則和定義: 比如 2⁵ 就是將2連乘5次，而對任何自然數k，2^k就是將2連乘k次。在沒有定義B^A之前，我們並不知道2^N或2^ω代表甚麼意思，但我們現在知道2^N是指所有以下這種函數所成的集合:

F: {0, 1, 2, 3, 4…} → {0, 1}

這種集合的對應域很簡單，不過就是0跟1，那它看起來會像甚麼呢? 想像有一排被編上號碼的電燈泡，從最左邊的0號開始一直往右無盡延伸，越往右邊號碼越大，每個函數F就相當於一種亮燈的方式。比如若F定義域裡的所有自然數的値都對應到1，那就相當於燈泡全亮的狀態，反之如果F定義域裡的所有自然數値都對應到0，那就是燈泡全暗的狀態。依此類推，每個特定的F都表示一種亮燈狀態，而這些燈泡的各種明暗組合方式就構成2^N集合。

這看起來和我們在《公設化集合論的奧秘 (7)》裡提過的全體自然數的冪集合P(N)很像，所以我們要問: 2^N的尺寸是否與P(N)相同? 也就是它們的基數〡P(N)〡與〡2^N〡是否相等? 要證明這一點就必須在P(N)與2^N之間找到一個一對一且映成的函數ƒ，那樣就證明了〡P(N)〡=〡2^N〡。

由於P (N) 的元素是某個自然數的子集A ⊆ N，所以我們的目標是要將某個A（比如{0, 1, 2}）與2^N的元素之間建立起函數關係，也就是在

ƒ : P(N) → 2^N

之間尋找一對一且映成關係。但2^N的元素本身就是函數，該如何試當選取以完成這個艱難任務呢? 我們可以試著用特徵函數（characteristic function）來充當2^N的元素，其定義如下:

I_A: N → {0, 1}

它的意思是說如果某個x 剛好是A裡的元素，那麼它的函數值等於1，也就是這個編號的燈泡是亮的。反之若x不是A裡的元素，那函數值等於0，也就是這個編號的燈泡是暗的。因此我們可以把函數ƒ 看成是一張書面指令和燈泡明暗組合之間的對應關係，由P(N)裡挑選出來的子集A可以看成是一道指令，它裡面包含的元素就是要點亮的燈號。當這條指令經由ƒ 送到特徵函數I_A時，特徵函數就根據A指令佈署亮燈的方式，若函數值為1就是亮燈，若函數值為0就關燈。

我們以A = {0, 1, 2}作例子，A裡的元素等於是指令，讓我們依據指令將那幾個編號(0, 1, 2)的燈泡點亮，因此特徵函數據此進行判別之後就決定了一種亮燈的方式，也就是只有前3盞燈是亮的，而編號2之後的所有燈泡全是暗的。很容易可以看出若指令不同的話，也就是A ≠ B，則亮燈的方式也會有所不同，也就是I_A ≠ I_B。這就表示

ƒ : P(N) → 2^N
A → I_A

為一對一函數。反之對任何一種亮燈方式，也就是特徵函數IA，我們都可以找到某個指令A ∈ P(N) 使得ƒ (A) = I_A，因此ƒ為映成。既然ƒ 為一對一且映成函數，所以它們等量，也就是〡P(N)〡=〡2^N〡。

由於康托的對角線方法已經證明P(N)為不可數集合，因此與它等量的2^N也同樣為不可數集合。終於成功了！2^N運算讓我們擺脫可數無限的枷鎖而得以遨遊太虛之中，直達玄妙的不可數無限的領地，我們也使得冪集合P (N) 與2^N在此相遇。從無限尺寸的觀點來看，它們（P(N)和2^N）是同一個東西。在《公設化集合論的奧秘 (11)》裡我們證明了實數也是不可數的，那麼P(N)和2^N與實數的尺寸是否一樣大呢？有辦法可以證明嗎？這就只有等下回再分解了。

• 如果你有無限次2選1的機會……到底是彈珠檯？還是高爾頓版？
• 理解化學老師口中的分子構造，化學式從此不用死背硬記....化學和生物課程的最佳教具
• 科學實驗室 開箱直播！每週四中午開播～
• 來自美國最好玩的編程無人機，可以使用圖像化編程以及python編程控制 — Robolink官方版 四軸無人機
• 雜物OUT！斷捨離的同時，也能整理思緒帶來好心情？

地球暖化會造成溫度升高？不稀奇！地球暖化會造成人類生活環境越來越嚴峻？也不稀奇！但你有聽過，因為地球暖化，讓我們的亮度竟然逐年遞減，地球變得越來越暗嗎？

地球亮度的改變並不是近期才出現的新興議題，關於地球亮度的變化，科學家早在 1990 年代前後便提出一種現象「全球黯化」（global dimming）去解釋為何地表獲得的太陽光能量越來越低。

當時透過資料指出，進到地球的太陽能量大幅降低，從 1950 到 1990 年入射至地表的太陽光能量，竟然平均減少 4%！ 也就是身處在地球上的人類會覺得地表的亮度似乎逐漸地降低。

當人類使用石油、煤炭等非再生能源發電時，會在環境中產生許多氣膠微粒，而這些氣膠微粒進入大氣，微粒可以吸收、反射入射到地球的太陽光，使太陽之能量無法進到地球表面，進而造成地球亮度降低。

而全球黯化同時也影響著人們過去對於全球暖化的理解，當全球黯化造成入射到地表的太陽光減少時，代表著地球所獲得的能量並不如過往我們所想像的這麼多。換句話說，全球黯化所造成的冷卻效應竟比不上人們所造成的暖化速度！

知曉地球改變亮度的方法——地照！

近期最新研究更是顯示，1998 年到 2017 年近十年內，地球的反照率逐年下降！除全球黯化造成地表獲得太陽能量減少外，當從外太空看著地球時，地球竟然也越來越暗了！

反照率是一種常用於亮度表示的方式之一，其指的是太陽電磁波段入射至地表的總量質，除以被地表反射的量值所得出的數字。不同的地表特性即有不一樣的反射量質。因此，透過反照率的升降，科學家也可以推估氣候變遷對環境所產生的變化與影響。

計算反照率的方式十分特別，在科學中我們將其稱為「地照」！

地照現象指的為當太陽光照射到地表，地表會反射部分太陽光，而當地表反射太陽光至月球未被太陽照到的地方時，月球又會將地表所反射至月面的光線反射回地球。

地照的變化與地表的改變息息相關。例如冰雪的反射率較高，當地表溫度較低，累積較多冰雪時，地照數據便可能會上升；而洋面的反照率較低，當地表溫度較高，造成冰雪融化成海洋，則地照數據便可能會下降。

除了利用地照觀測地球反照率外，為使觀測更加精確，科學家利用於 2000 年發射的 CERES 儀器（Clouds and the Earth’s Radiant Energy System）觀測大氣至地表的太陽光輻射與地表放出之輻射，並進一步分析對影響地球溫度的重要因子──雲，和太陽輻射的交互關係。

研究結果分析發現，從 2000 年到 2015 年，地球反照率曲線一直維持接近平坦的狀態，但近年，地球反照率的衰退卻日益明顯，如下圖表示：

橫軸座標為年度，縱軸座標為地照反照率之異常改變（單位為每瓦／平方公尺），黑色為地照異常之數據，藍色為 CERES 觀測到異常之數據，而灰色陰影區域則為誤差範圍。從圖中可以看出，地照反照率在這幾年下降約 0.5 W／m²，而 CERES 之數據則是下降約 1.5 W／m²。

十年一變──太平洋年季震盪

科學家推測，改變反照率的原因，是週期性發生在太平洋的氣候變化──太平洋年季震盪。

太平洋年季震盪指的為太平洋的海水溫度會以十年為週期尺度產生變化：當北太平洋和熱帶太平洋間的海水溫度較高時，稱作暖相位；而當北太平洋和熱帶太平洋間海水溫度較低時，稱作冷相位。

而地球亮度改變的原因，正是因為太平洋年季震盪到了暖相位，造成海面低雲減少，反照率降低！

低雲較為溫暖，其主要成分是由水滴組成，當太陽輻射照射水滴時，較多太陽反射至太空，地球的反照率較高，也造成地表溫度降低；而高雲主要成分由冰晶組成，透光性較佳，再加上高雲通常體積較低雲薄，故太陽輻射可以順利進入地表，地球反照率相對降低。

當北太平洋與熱帶太平洋間海水溫度升高時，洋面上空氣需達到飽和的水氣量相對增加，氣塊達到飽和條件較高，低層雲較難生成。（其實背後原因極其複雜，作者僅是以最簡單的方式嘗試解釋。）當低層雲減少時，反射率降低，造成較少太陽輻射至太空，地球亮度因此變得越來越暗。

交織纏繞的反饋機制

看完整篇文章也別急著下結論！其實地球上的現象不僅環環相扣，影響因素更是族繁不及備載，從海溫改變的原因、高低雲量多寡的變化、反照率升降的主因……，我們都很難用單純或是絕對的一段話去完整解釋自然界的現象。

科學家所能做到的，是透過原因推導、盡力的去解釋現象，所以關於地球反照率下降的趨勢原因，除了太平洋年季震盪、海溫升高、低雲變化等，或許也還有科學家尚未清楚的其他可能性。

但同時，令科學家擔心的事情是，因全球暖化造成地表的反照率降低，代表地表接收到的能量、進到地表之能量相對增加，而吸收的能量又加速全球暖化的速度，地球或許會因為這樣的回饋機制持續升溫，造成更加嚴重的溫室效應。如何去因應溫度上升造成的種種問題，也將會是我們需要不斷去思考問題。

參考資料

1. AGU Advances，Earth’s Albedo 1998–2017 as Measured From Earthshine
2. science alert，《Two Decades of Data Show That Earth Is ‘Dimming’ as The Planet Warms Up》
3. Wikipedia，《Clouds and the Earth’s Radiant Energy System》
4. Wikipedia，《行星照》

• 如果你有無限次2選1的機會……到底是彈珠檯？還是高爾頓版？
• 理解化學老師口中的分子構造，化學式從此不用死背硬記....化學和生物課程的最佳教具
• 科學實驗室 開箱直播！每週四中午開播～
• 來自美國最好玩的編程無人機，可以使用圖像化編程以及python編程控制 — Robolink官方版 四軸無人機
• 雜物OUT！斷捨離的同時，也能整理思緒帶來好心情？