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公設化集合論的奧秘(15) 突破可數無限的星航艦企業號

翁 昌黎
・2015/03/10 ・2700字 ・閱讀時間約 5 分鐘 ・SR值 525 ・七年級

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Christmas Tree, Bokeh Version [362/366]
credit : CC by Tim Sackton @ flickr

延續之前的努力,我們雖然試過聯集(加法)和笛卡爾乘積(乘法),仍然沒能突破可數無限的藩籬,可見如來佛這隻手比我們想像中還要寬。在陷入困境的時刻,忽然想到在數學運算裡,減法和除法會讓數值變小,而加法和乘法會讓數值變大。但哪種運算可以讓數值增加得更「快」一些呢? 我們任意拿兩個數,比如3和5來觀察看看:

3+5 = 8      3×5= 15    35 = 243

我們發現對任意兩個正數,乘法得到的結果比加法得到的結果大,而指數運算得到的結果又比乘法大。依此進行推想,如果在集合運算裡有類似指數運算的話,那它很有可能就是我們得以突破可數無限集合的「星航艦企業號」,問題只剩下:這樣的東西存在嗎?

確實有這樣一個東西,它在日常數學(也就是非基礎數學)裡雖然並不常見,卻是集合論的「常備良藥」。我們就來見識一下它的模樣:

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定義6:A和B都是集合,我們定義從A到B的所有函數所成的集合為BA = {F〡F : A→ B為函數}

這個定義很容易讓人誤以為BA指的就是函數 ƒ: A→ B,於是認為BA只不過是函數ƒ 的另一個寫法罷了,但這種誤認卻是致命的。

當我們說函數 ƒ:A→B時,我們說的是某個特定的序對集合ƒ,這些序對的前項由A的元素構成而後項則由B的元素構成,所以函數ƒ的成員由序對形成。

舉個例子就能清楚了,比如A = 2而B = 3。那麼 ƒ 會是怎樣的型態呢?有人心裡可能會嘀咕說2和3不是自然數嗎?它們怎麼能夠充當定義域和對應域來形成函數呢?之所以有這種疑惑是因為集合論的馬步沒蹲扎實所致,才會忘了自然數本身就是集合啊!(請參考《公設化集合論的奧秘 (5)》) 所以自然數2 = {0, 1},自然數3 = {0, 1, 2},因此函數

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ƒ: 2 → 3 就是
ƒ: {0, 1} → {0, 1, 2}。

現在我們可以據此定義一個個別函數,比如恆等函數(identity function) ƒi: x → x,它等於序對(0, 0) 和(1, 1) 所形成的集合{(0, 0), (1, 1)}。再比如說常數函數(constant function) ƒc: x → 2,則不論是0還是1,它們的函數值都等於2,所以函數ƒc就等於序對集合{(0, 2), (1, 2)}。

有了以上的例子我們澄清了BA是從A到B的各種可能函數所形成的集合 {ƒi, ƒc, ƒs, …},而不是任何特定函數ƒk。某個特定函數 ƒ: A→ B的成員是序對,但BA的成員則是函數。接下來需要確認的是這個定義是否捕捉到指數的核心本質?我們可以問當A = 2且B = 3時,BA有幾個成員?對於定義域的兩個元素0和1來說,它們各有3種選擇來形成序對,那就是(0, 0)、(0, 1)、(0, 2)和(1, 0)、(1, 1)、(1, 2)。

若要形成任何特定的函數ƒk,就必須從前面三個序對中選出某一個,然後再配上後面序對中的任一個,比如我們從前後都選第一個序對而形成{(0, 0), (1, 0)}這種函數組合。這樣的話所有可能的組合方式共有3+3+3 = 9種,也就是共有9個函數成員,正好是BA=32 = 9。因此對於有限數值來說,BA 的定義與指數運算相契合。

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最後為了表明自己是公設化集合論的內行人,請不要忘記驗證BA為「合法」集合。對於任意序對 (a, b),a∈A且 b ∈ B 來說,( a, b) ∈ A X B,由於它們是函數的元素,所以由序對構成的函數F必定是A X B的子集,也就是F ⊆ A X B。由於冪集合是把子集作為元素而形成的集合,所以F ∈ P (A X B) 。我們在《公設化集合論的奧秘 (14)》中已經證明笛卡爾乘積A X B是集合,現在面對A X B 的冪集合P (A X B),我們根據ZF7 冪集合公設得知P (A X B)也是集合,因此P (A X B)的子集BA是集合沒錯。

有了BA這個武器之後,我們發現可以將原先只限於有限數值的指數運算擴展到無限集合,比如說2N。我們想知道這個運算是否能「飛出」可數無限集合的範圍? 對於有限數值的指數運算,我們有明確的規則和定義: 比如 25 就是將2連乘5次,而對任何自然數k,2k就是將2連乘k次。在沒有定義BA之前,我們並不知道2N或2ω代表甚麼意思,但我們現在知道2N是指所有以下這種函數所成的集合:

F: {0, 1, 2, 3, 4…} → {0, 1}

這種集合的對應域很簡單,不過就是0跟1,那它看起來會像甚麼呢? 想像有一排被編上號碼的電燈泡,從最左邊的0號開始一直往右無盡延伸,越往右邊號碼越大,每個函數F就相當於一種亮燈的方式。比如若F定義域裡的所有自然數的値都對應到1,那就相當於燈泡全亮的狀態,反之如果F定義域裡的所有自然數値都對應到0,那就是燈泡全暗的狀態。依此類推,每個特定的F都表示一種亮燈狀態,而這些燈泡的各種明暗組合方式就構成2N集合。

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這看起來和我們在《公設化集合論的奧秘 (7)》裡提過的全體自然數的冪集合P(N)很像,所以我們要問: 2N的尺寸是否與P(N)相同? 也就是它們的基數〡P(N)〡與〡2N〡是否相等? 要證明這一點就必須在P(N)與2N之間找到一個一對一且映成的函數ƒ,那樣就證明了〡P(N)〡=〡2N〡。

由於P (N) 的元素是某個自然數的子集A ⊆ N,所以我們的目標是要將某個A(比如{0, 1, 2})與2N的元素之間建立起函數關係,也就是在

ƒ : P(N) → 2N

之間尋找一對一且映成關係。但2N的元素本身就是函數,該如何試當選取以完成這個艱難任務呢? 我們可以試著用特徵函數(characteristic function)來充當2N的元素,其定義如下:

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IA: N → {0, 1}

公設化集合15

它的意思是說如果某個x 剛好是A裡的元素,那麼它的函數值等於1,也就是這個編號的燈泡是亮的。反之若x不是A裡的元素,那函數值等於0,也就是這個編號的燈泡是暗的。因此我們可以把函數ƒ 看成是一張書面指令和燈泡明暗組合之間的對應關係,由P(N)裡挑選出來的子集A可以看成是一道指令,它裡面包含的元素就是要點亮的燈號。當這條指令經由ƒ 送到特徵函數IA時,特徵函數就根據A指令佈署亮燈的方式,若函數值為1就是亮燈,若函數值為0就關燈。

我們以A = {0, 1, 2}作例子,A裡的元素等於是指令,讓我們依據指令將那幾個編號(0, 1, 2)的燈泡點亮,因此特徵函數據此進行判別之後就決定了一種亮燈的方式,也就是只有前3盞燈是亮的,而編號2之後的所有燈泡全是暗的。很容易可以看出若指令不同的話,也就是A ≠ B,則亮燈的方式也會有所不同,也就是IA ≠ IB。這就表示

ƒ : P(N) → 2N
A → IA

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為一對一函數。反之對任何一種亮燈方式,也就是特徵函數IA,我們都可以找到某個指令A ∈ P(N) 使得ƒ (A) = IA,因此ƒ為映成。既然ƒ 為一對一且映成函數,所以它們等量,也就是〡P(N)〡=〡2N〡。

由於康托的對角線方法已經證明P(N)為不可數集合,因此與它等量的2N也同樣為不可數集合。終於成功了!2N運算讓我們擺脫可數無限的枷鎖而得以遨遊太虛之中,直達玄妙的不可數無限的領地,我們也使得冪集合P (N) 與2N在此相遇。從無限尺寸的觀點來看,它們(P(N)和2N)是同一個東西。在《公設化集合論的奧秘 (11)》裡我們證明了實數也是不可數的,那麼P(N)和2N與實數的尺寸是否一樣大呢?有辦法可以證明嗎?這就只有等下回再分解了。

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文章難易度
翁 昌黎
18 篇文章 ・ 5 位粉絲
中央大學哲學研究所碩士,曾籌劃本土第一場「認知科學與佛教禪修系統」對話之大型研討會,於1995年6月在法光佛教研究所舉行,並發表文章。後隱居紐西蘭,至今已20載。 長年關注「意識轉變狀態的科學」和「意識本質的科學與哲學」問題,曾與大寶法王辯經教授師拿旺桑結堪布成立「大乘佛教禪修研究中心」。其他研究興趣為「唯識學」、「超個人心理學」、「數理邏輯」、「公設化集合論」和「後設數學」等等。

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替晶片打造數學工具的喬治.布爾(George Boole)
數感實驗室_96
・2024/06/01 ・561字 ・閱讀時間約 1 分鐘

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本文由 國立臺灣師範大學 委託,泛科學企劃執行。 

煮湯時看到調理包背面寫著「加水且加入鹽巴或味精,就大功告成了」。

這句話該怎麼解讀呢?邏輯思維好的人可能很快就能反應過來,意思是加水是必須的,鹽巴和味精至少要加一個。當然,兩者都加也行,但似乎不太健康。

你可能會說:「煮湯時誰會想那麼多?這太哲學了!」其實,19 世紀有位數學家將邏輯建立在數學而非哲學之上,他的貢獻深深影響了現代電腦的運算。他就是我們今天的主角——喬治.布爾(George Boole)。

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在工作會議中,清晰的邏輯思維能幫助我們有條理地表達觀點,並迅速理解他人的意見;程式設計中,邏輯是核心,透過布林代數和邏輯運算,電腦能根據條件執行不同的任務,在智慧家電中利用邏輯閘判斷多個輸入條件來控制輸出結果。

因此,布爾提出的這一套邏輯思維與布林代數,不僅在學術領域至關重要,更是日常生活中不可或缺的工具。

更多、更完整的內容,歡迎上數感實驗室 Numeracy Lab 的 youtube 頻道觀看完整影片,並開啟訂閱獲得更多有趣的資訊!

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數感實驗室_96
76 篇文章 ・ 50 位粉絲
數感實驗室的宗旨是讓社會大眾「看見數學」。 數感實驗室於 2016 年 4 月成立 Facebook 粉絲頁,迄今超過 44,000 位粉絲追蹤。每天發布一則數學文章,內容包括介紹數學新知、生活中的數學應用、或是數學和文學、藝術等跨領域結合的議題。 詳見網站:http://numeracy.club/ 粉絲專頁:https://www.facebook.com/pg/numeracylab/

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民眾黨是未來台灣政治的樞紐?
林澤民_96
・2024/01/30 ・3382字 ・閱讀時間約 7 分鐘

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一、前言

選後的立法院三黨不過半,但民眾黨有八席不分區立委,足以與民進黨或國民黨結成多數聯盟,勢將在國會居於樞紐地位。無獨有偶的是:民眾黨主席柯文哲在總統大選得到 26.5% 的選票,屈居第三,但因其獲得部分藍、綠選民的支持,在選民偏好順序組態的基礎上,它卻也同樣地居於樞紐地位。這個地位,將足以讓柯文哲及民眾黨在選後的台灣政壇持續激盪。

二、柯文哲是「孔多塞贏家」?

這次總統大選,誰能脫穎而出並不是一個特別令人殷盼的問題,更值得關心的問題是藍白綠「三跤㧣」在選民偏好順序組態中的消長。台灣總統大選採多數決選制,多數決選制英文叫 first-past-the-post(FPTP),簡單來講就是票多的贏,票少的輸。在 10 月中藍白合破局之後,賴蕭配會贏已經沒有懸念,但這只是選制定規之下的結果,換了另一個選制,同樣的選情可能就會險象環生。

從另一個角度想:選制是人為的,而選情反映的是社會現實。政治學者都知道天下沒有十全十美的選制;既定的選制推出了一位總統,並不代表選情的張力就會成為過眼雲煙。當三股社會勢力在制度的帷幕後繼續激盪,台灣政治將無法因新總統的誕生而趨於穩定。

圖/作者自製

如果在「三跤㧣」選舉之下,選情的激盪從候選人的得票多少看不出來,那要從哪裡看?政治學提供的一個方法是把候選人配對 PK,看是否有一位候選人能在所有的 PK 中取勝。這樣的候選人並不一定存在,如果不存在,那代表有 A 與 B 配對 A 勝,B 與 C 配對 B 勝,C 與 A 配對 C 勝的 A>B>C>A 的情形。這種情形,一般叫做「循環多數」(cyclical majorities),是 18 世紀法國學者孔多塞(Nicolas de Condorcet)首先提出。循環多數的存在意涵選舉結果隱藏了政治動盪。

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另一方面,如果有一位候選人能在配對 PK 時擊敗所有的其他候選人,這樣的候選人稱作「孔多塞贏家」(Condorcet winner),而在配對 PK 時均被擊敗的候選人則稱作「孔多塞輸家」(Condorcet loser)。三角嘟的選舉若無循環多數,則一定會有孔多塞贏家和孔多塞輸家,然而孔多塞贏家不一定即是多數決選制中贏得選舉的候選人,而多數決選制中贏得選舉的候選人卻可能是孔多塞輸家。

如果多數決選制中贏得選舉的候選人不是孔多塞贏家,那與循環多數一樣,意涵選後政治將不會穩定。

那麼,台灣這次總統大選,有沒有孔多塞贏家?如果有,是多數決選制之下當選的賴清德嗎?我根據戴立安先生調查規劃的《美麗島電子報》追蹤民調第 109 波(1 月 11 日至 12 日),也是選前最後民調的估計,得到的結果令人驚訝:得票墊後的柯文哲很可能是孔多塞贏家,而得票最多的賴清德很可能是孔多塞輸家。果然如此,那白色力量將會持續地激盪台灣政治!

我之前根據美麗島封關前第 101 波估計,侯友宜可能是孔多塞贏家,而賴清德是孔多塞輸家。現在得到不同的結果,顯示了封關期間的三股政治力量的消長。本來藍營期望的棄保不但沒有發生,而且柯文哲選前之夜在凱道浩大的造勢活動,還震驚了藍綠陣營。民調樣本估計出的孔多塞贏家本來就不準確,但短期內的改變,很可能反映了選情的激盪,甚至可能反映了循環多數的存在。

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三、如何從民調樣本估計孔多塞贏家

根據這波民調,總樣本 N=1001 位受訪者中,如果當時投票,會支持賴清德的受訪者共 355 人,佔 35.4%;支持侯友宜的受訪者共 247 人,佔 24.7%。支持柯文哲的受訪者共 200 人,佔 19.9%。

美麗島民調續問「最不希望誰當總統,也絕對不會投給他的候選人」,在會投票給三組候選人的 802 位支持者中,一共有 572 位對這個問題給予了明確的回答。《美麗島電子報》在其網站提供了交叉表如圖:

根據這個交叉表,我們可以估計每一位明確回答了續問的受訪者對三組候選人的偏好順序,然後再依這 572 人的偏好順序組態來判定在兩兩 PK 的情形下,候選人之間的輸贏如何。我得到的結果是:

  • 柯文哲 PK 賴清德:311 > 261(54.4% v. 45.6%)
  • 柯文哲 PK 侯友宜:287 > 285(50.2% v. 49.8%)
  • 侯友宜 PK 賴清德:293 > 279(51.2% v. 48.8%)

所以柯文哲是孔多塞贏家,賴清德是孔多塞輸家。當然我們如果考慮抽樣誤差(4.1%),除了柯文哲勝出賴清德具有統計顯著性之外,其他兩組配對可說難分難解。但在這 N=572 的小樣本中,三位候選人的得票率分別是:賴清德 40%,侯友宜 33%,柯文哲 27%,與選舉實際結果幾乎一模一樣。至少在這個反映了選舉結果的樣本中,柯文哲是孔多塞贏家。依多數決選制,孔多塞輸家賴清德當選。

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不過以上的分析有一個問題:各陣營的支持者中,有不少人無法明確回答「最不希望看到誰當總統,也絕對不會投給他做總統」的候選人。最嚴重的是賴清德的支持者,其「無反應率」(nonresponse rate)高達 34.5%。相對而言,侯友宜、柯文哲的支持者則分別只有 24.1%、23.8% 無法明確回答。為什麼賴的支持者有較多人無法指認最討厭的候選人?一個假設是因為藍、白性質相近,對許多綠營選民而言,其候選人的討厭程度可能難分軒輊。反過來說,藍、白陣營的選民大多數會最討厭綠營候選人,因此指認較無困難。無論如何,把無法明確回答偏好順序的受訪者歸為「遺失值」(missing value)而棄置不用總不是很恰當的做法,在這裡尤其可能會造成賴清德支持者數目的低估。

補救的辦法之一是在「無法明確回答等於無法區別」的假設下,把「遺失值」平分給投票對象之外的其他兩位候選人,也就是假設他們各有 1/2 的機會是無反應受訪者最討厭的候選人。這樣處理的結果,得到

  • 柯文哲 PK 賴清德:389 > 413(48.5% v. 51.5%)
  • 柯文哲 PK 侯友宜:396 > 406(49.4% v. 50.6%)
  • 侯友宜 PK 賴清德:376 > 426(46.9% v. 53.1%)

此時賴清德是孔多塞贏家,而柯文哲是孔多塞輸家。在這 N=802 的樣本中,三位候選人的得票率分別是:賴清德 44%,侯友宜 31%,柯文哲 25%。雖然依多數決選制,孔多塞贏家賴清德當選,但賴的得票率超過實際選舉結果(40%)。用無實證的假設來填補遺失值,反而造成賴清德支持者數目的高估。

如果擔心「無法明確回答等於無法區別」的假設太勉強,補救的辦法之二是把「遺失值」依有反應受訪者選擇最討厭對象的同樣比例,分給投票對象之外的其他兩位候選人。這樣處理的結果,得到

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  • 柯文哲 PK 賴清德:409 > 393(51.0% v. 49.0%)
  • 柯文哲 PK 侯友宜:407 > 395(50.8% v. 49.2%)
  • 侯友宜 PK 賴清德:417 > 385(52.0% v. 48.0%)

此時柯文哲又是孔多塞贏家,而賴清德又是孔多塞輸家了。這個樣本也是 N=802,三位候選人的得票率分別是:賴清德 44%,侯友宜 31%,柯文哲 25%,與上面的結果一樣。

以上三種無反應處理方法都不盡完美。第一種把無反應直接當遺失值丟棄,看似最不可取。然而縮小的樣本裡,三位候選人的支持度與實際選舉結果幾乎完全一致。後兩種以不同的假設補足了遺失值,但卻過度膨脹了賴清德的支持度。如果以樣本中候選人支持度與實際結果的比較來判斷遺失值處理方法的效度,我們不能排斥第一種方法及其結果。

無論如何,在缺乏完全資訊的情況下,我們發現的確有可能多數決輸家柯文哲是孔多塞贏家,而多數決贏家賴清德是孔多塞輸家。因為配對 PK 結果缺乏統計顯著性,我們甚至不能排除循環多數的存在。此後四年,多數決選制產生的總統能否在三角嘟力量的激盪下有效維持政治穩定,值得我們持續觀察。

四、結語

柯文哲之所以可以是孔多塞贏家,是因為藍綠選民傾向於最不希望對方的候選人當總統。而白營的中間偏藍位置,讓柯文哲與賴清德 PK 時,能夠得到大多數藍營選民的奧援而勝出。同樣的,當他與侯友宜 PK 時,他也能夠得到一部份綠營選民的奧援。只要他的支持者足夠,他也能夠勝出。反過來看,當賴清德與侯友宜 PK 時,除非他的基本盤夠大,否則從白營得到的奧援不一定足夠讓他勝出。民調 N=572 的樣本中,賴清德得 40%,侯友宜得 33%,柯文哲得 27%。由於柯的支持者討厭賴清德(52.5%)遠遠超過討厭侯友宜(23.7%),賴雖然基本盤較大,能夠從白營得到的奧援卻不多。而侯雖基本盤較小,卻有足夠的奧援。柯文哲之所以成為孔多塞贏家,賴清德之所以成為孔多塞輸家,都是這些因素的數學結果。

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資料來源

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林澤民_96
37 篇文章 ・ 245 位粉絲
台大電機系畢業,美國明尼蘇達大學政治學博士, 現任教於美國德州大學奧斯汀校區政府系。 林教授每年均參與中央研究院政治學研究所及政大選研中心 「政治學計量方法研習營」(Institute for Political Methodology)的教學工作, 並每兩年5-6月在台大政治系開授「理性行為分析專論」密集課程。 林教授的中文部落格多為文學、藝術、政治、社會、及文化評論。

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數學無聊是誰的錯?數學家其實很幽默?——《數盲、詐騙與偽科學》
大牌出版.出版大牌_96
・2024/01/08 ・2441字 ・閱讀時間約 5 分鐘

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雖然很少有學生小學畢業後還不懂乘法表,但有很多人確實不會算,如果一個人開車的速度是每小時 56 公里,開了 4 小時之後,他就開了 224 公里。要是每公克花生賣 40 美分,而 1 袋花生賣 2.2 美元,那麼,這袋花生裡就有 5.5 公克花生。假如全世界人口中有 1/4 是中國人,其餘的 1/5 是印度人,那麼,印度人在全世界的人口中就占了 3/20,或說是 15%。當然,要理解這些問題,並不像學會算 35×4=140、(2.2)/(0.4)=5.5、1/5×(1–1/4)=3/20=0.15=15% 這麼簡單。對很多小學生來說,這不是自然而然就會的東西,要靠做很多很實用、或是純屬想像的問題,才能進一步學會。

至於估計,學校裡除了教一些四捨五入之外,通常也沒有別的了。四捨五入和合理的估計與真實人生大有關係,但課堂上很少串起這樣的連結。學校不會帶著小學生估計學校砌一面牆要用掉多少塊磚、班上跑最快的人速度多快、班上同學爸爸是禿頭的比例多高、一個人的頭圍與身高之比是多少、要堆出一座高度和帝國大廈等高的塔需要幾枚 5 美分硬幣,還有他們的教室能否容納這些 5 美分硬幣。

幾乎也沒人教歸納推理,也不會用猜測相關性質和規則的角度,來研究數學現象。在小學數學課裡談到非形式邏輯(informal logic)的機率,就跟講到冰島傳說一樣高。當然,也不會有人提到難題、遊戲和謎語。我相信,這是因為很多時候,聰明的 10 歲小孩輕輕鬆鬆就能打敗老師。

數學科普作家葛登能最不遺餘力探索數學和這些遊戲之間的密切關係。他寫了很多極有吸引力的書,也在《科學美國人》撰寫專欄,而這些都是會讓高中生或大學生感到很刺激的課外讀物(前提是有人指定他們去讀的話)。此外,數學家喬治.波利亞(George Polya)的《怎樣解題》(How to Solve It)和《數學與合情判讀》(Mathematics and Plausible Reasoning),或許也屬於這一類。有一本帶有這些人的文風、但屬於較初階的有趣好書,是瑪瑞琳.伯恩斯(Marilyn Burns)所寫的《我恨數學》(The I Hate Mathematics! Book),書裡有很多啟發性的提示,帶領讀者解題與發想各種奇思異想,是小學數學課本裡罕見的內容。

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圖/envato

有太多教科書仍列出太多人名和術語,就算有說明解析,也很少。比方說,教科書上會說加法是一種結合律運算(associative operation),因為(a + b)+ c=a +(b + c)。但很少人會提到非結合律運算,因此,充其量來說,結合律運算的定義是畫蛇添足。不管是結合律或非結合律,你知道了這些資訊之後要怎麼應用?書上還會介紹到其他術語,但除了用粗體字印在書頁中間的小框框裡,看起來很了不起之外,也沒什麼值得提的理由。這些術語滿足了很多人認為,知識就好比一門普通植物學,每種學問都可以在體系中,找到自己的類別和位置。相比之下,把數學當成有用的工具、思維方式或是獲得樂趣的途徑,在多數小學教育課綱中都是很陌生的概念(即使教科書內容不錯也一樣)。

或許有人會認為,在小學階段,可以用電腦軟體,來幫助學生掌握基本的算數原理及相關應用(應用題、估計等等)。可惜的是,目前可用的程式通常是從教科書上擷取無趣的例行練習,轉化成電腦螢幕版本而已。我不知道有任何軟體可用整合、一致且有效的方法,來教算術與解題應用。

小學階段的數學教學品質普遍不佳,最終必會有人怪罪於老師能力不足,而且對數學沒什麼興趣、或不懂欣賞數學。我認為,這當中有一部分又要歸咎於大專院校的師資培養課程中,很少或根本不強調數學。以我自己的教學經驗來說,我教過的學生中,表現最差的是中學生,而不是大學主修數學的學生。準小學老師的數學背景也很糟,很多時候甚至根本沒有相關的數學教學經歷。

而每所小學聘用一、兩位數學專才,在學校裡每天分別到不同班級輔導(或教授)數學,或許可以解決部分問題。有時我認為,如果大學數學教授和小學老師每年可以交換個幾星期,會是個好方法。同樣的,把主修數學的大學生和研究生交到小學老師手裡,不會造成傷害(事實上,後者或許能從前者身上學到一些東西)。而三、四、五年級的小學生則可以在完全適任的老師教導下,接觸到數學謎題與遊戲,將可大大獲益。

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圖/envato

稍微打個岔,謎題與數學之間很有關係,而且相關性會一直延續到大學與研究階段的數學。當然,把謎題換成幽默也通。我在《數學與幽默》(Mathematics and Humor)書中試著說明,數學和幽默都是某種益智遊戲,與猜謎、解題、遊戲和悖論多有共通之處。

數學和幽默都是把概念組合、拆開再拼回來,然後從中得到樂趣。慣用的手法包括並列、歸納、迭代和倒向(比方說「aixelsyd」就是把「dyslexia」﹝閱讀障礙﹞的字序倒過來)。那麼,如果我放寬這個條件,但緊縮另一個條件會怎樣?某一個領域的概念(像是綁辮子),和另一個看來完全不同領域的概念(如某些幾何圖形的對稱性)有什麼共通點?當然,即便不是數盲,可能也不熟悉數學這個面向,因為你必須要先具備一定程度的數學概念,才可以拿來耍弄。其他像獨創性、不協調感以及精簡的表達,對於數學和幽默來說也都同樣重要。

可能有人說過,因為所受訓練之故,數學家有一種特殊的幽默感。他們往往會接受字面意義,但字面上的解讀又常和標準用法的意義不同,因此很好笑。比方說,哪種運動比賽時要蓋臉?答案是,冰上曲棍球以及痲瘋病人拳擊(按:原文「Which two sports have face-offs」,「face-off」其中一個字面意義為「蓋臉」,而這也是冰上曲棍球常用的術語,意指「爭奪球權」)。他們也很沉溺於歸謬法(reductio ad absurdum),或設定極端前提條件然後做邏輯演練,以及各式各樣的字組遊戲。

如果可以透過小學、中學或大學階段的正式數學教育,或是非正式的數學科普書籍,傳達數學有趣的面向。我認為,數盲就不會像現在這麼普遍。

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——本書摘自《數盲、詐騙與偽科學》,2023 年 11 月,大牌出版,未經同意請勿轉載。

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