公設化集合論的奧秘 (9) 為什麼有理數和自然數一樣多？

• 作者 / 賴昭正 前清大化學系教授、系主任、所長，IBM 研究顧問化學家；合創科學月刊

因為我們確信量子系統一般無法在傳統電腦上有效模擬，量子運算未來最重要的應用可能是量子系統的電腦模擬。——David Deutsch「量子計算之父」

量子物理學誕生於 1900 年初期，源自普朗克（Max Planck）及愛因斯坦（Albert Einstein）等人為了解釋古典物理學無法解釋的黑體輻射和光電效應，提出能量「量化」的奇怪觀念。1920 年代，玻爾（Niels Bohr）、薛定諤 (Erwin Schrödinger)、海森堡（ Werner Heisenberg）、玻恩（Max Born）和狄拉克（Paul Dirac）等物理學家為量子力學建立了更完整的數學框架，從而形成了微觀世界的物理理論。最近由於以它為基礎的計算技術不斷有「突破」性的進展，聯合國便迫不及待宣布 2025 年為國際量子科學技術
年。

筆者在芝加哥大學攻讀的是量子化學，博士班資格考試選的是物理化學、無機化學、及物理系的物理數學，論文用的理論工具是「量子」物理，實驗工具是「計算機」，因此應該是位「量子計算機」專家了，但慚愧的是：儘管市面上已經出現許多有關量子計算機的報導，但筆者除了知道其所用的物理原理（參看「延伸閱讀」）外，卻完全不知所云！

查了一下台灣兩大科普雜誌，發現《科學月刊》與《泛科學》都沒報導過！顯然這不是一篇容易寫的科普文章。但因其重要性，及對科普的喜好，在猛 K 一個月後，筆者謹在此先野人獻曝，報導點心得，望能拋磚引玉將來有專家為我們寫一篇更詳細及深入的介紹。在進入本文之前，得預先警告：筆者深深了解數學公式會嚇跑讀者，但是幾經考慮後，覺得不用點數學顯然不能點出量子計算機的骨髓。對數學不感興趣的讀者事實上不需要深入了解：只要從那些數學中看出量子計算機的運算不是確定性的「加減乘除」、而是操縱或然率的「量子物質狀態」改變（「量子位元」一節）即可。如果真的不想看到數學公式，可以跳過「量子閘」及「量子計算機」二節。

量子計算機的起源

20 世紀 80 年代初，美國阿貢國家實驗室（Argonne National Laboratory）貝尼奧夫（Paul Benioff）發表四篇量子計算基礎的開創性論文，證明計算機可以按照量子力學定律運行；費曼（Richard Feynman）獨立提出了量子計算的想法，認為基於量子原理的計算機可以高效地模擬量子系統，克服對於一般電腦來說難度呈指數級增長的計算任務。1985 年牛津大學物理學家德意志（David Deutsch）以費曼和貝尼奧夫的思想為基礎，提出了通用量子計算的概念，並設計出一個適用於量子計算機的演算法。

要了解這些量子計算想法之前，我們得先了解一下現行的（傳統）計算機。

傳統計算機

人類因為有 10 個指頭，所以採用十位元的運算方法，即 0,1,…9；9 再加 1 就進位成 10（借用別人的手指）。當初設計計算機的人也許因為只有兩根手指的關係，卻採用「二位元」（bit）的運算方法，即 0 與 1；1 再加 1 就進位成 10（= 十位元的 2）。事實上這樣的計算法在電路設計上是比較容易的：接近 0 伏特的電壓（通常稱為「低」）表示邏輯 0，而較高的電壓（通常稱為「高」）表示邏輯 1。計算機就是靠這樣的線路及所謂「邏輯閘」（logic gate）來達成計算的任務，如圖一：2 個「二位元」數 A₂A₁ 及 B₂B₁ 相加的計算機線路圖。

「邏輯閘」的目的是將輸入（input）依照所設計的邏輯改成單一的輸出（output）。例如將（0,1）輸入「AND 閘」，圖一的邏輯表告訴我們它將輸出 0；（1,1）將輸出 1,…。又如將（0,1）輸入「XOR 閘」，它將輸出 1；（1,1）將輸出 0，…。讀者應該不難用圖一的線路計算出 10+11=101（O₃O₂O₁）；10+01=011；11+11=110；…。

如果要增加「二位元」的數目［如 3 個「二位元」、4 個「二位元」…，或 8 個「二位元」的「位元組」(byte)］，只要重複複製圖一 a 及 a′ 之間的線路，將它連在最後一個 a′ 上即可。所以（傳統）計算機的設計是透過「邏輯閘」操縱「二位元」來達到計算的目的。

所以要使用傳統計算機來「解決問題」如微積分方程式或製定更好投資策略時，必須先將它們「改寫成」加減乘除及簡單邏輯（如 x 則 y）的「運算問題」。

量子位元

量子計算機也是採用「二位元」的運作，但其「二位元」非常不同於上面所提到之「二位元」：

（1）它的 0 與 1 不是電壓的不同，而是物質狀態的不同，稱為 |0> 與 |1>；

（2）它可以有同時存在於 |0> 與 |1> 的「量子疊加」狀態（quantum superposition state，註一），例如 |x>=α|0>+β|1>（|α|²+|β|²=1）；

（3）當你去測量時，因「波函數坍縮」（wave function collapse）只能得到或然率分別為 |α|² 及 |β|² 的 |0>或 |1> 狀態而已，不能有中間的混合態！

這樣的「二位元」因為具有量子物理的特性，因此稱之為「量子位元」（qubit）。原子的自旋（spin）就是具有這樣的特性，因此可作為量子計算機的「量子位元」。

等一等，電壓不是也可以模擬（1）及（2）嗎？例如 0 代表 0 伏特電壓，1 代表 5 伏特電壓，那麼 0.8（4伏特電壓）不是代表由 80% 的 5 伏特電壓和 20% 的 0 伏特電壓組成的嗎？原則上不錯，但就出現了一個實際設計上的問題：電壓一定要很穩定（註二）。這事實上正也是量子計算機設計上的最大挑戰之一：如何保持「量子位元」的穩定？設計高品質的「量子位元」極具挑戰性：如果「量子位元」與其環境沒有充分隔離，它就會遭受「量子退相干擾」（quantum decoherence），在計算中引入雜訊、錯誤、或崩潰。當然，電壓是沒辦法模擬（3）的：如果允許「疊加」態，測量電壓只能得到「疊加」電壓 4 伏特，不可能量到 0 伏特或 5 伏特。但事實上更嚴重的問題是：電壓沒辦法模仿兩個「量子位元」的「量子糾纏」（quantum entanglement）態：

這狀態是由兩個「量子位元」組成的，而每個「量子位元」是由兩個狀態組成，因此理論上應該共有四個狀態（00, 01, 10, 11）才對；但上式中卻缺少了 |01> 及 |10> 兩個狀態！

量子（邏輯）閘

量子計算機的設計與傳統計算機類似，不同的是它用「量子邏輯閘」（quantum logic gate）來操縱「量子位元」。在量子電路模型中，「量子邏輯閘」（或簡稱「量子閘」）是在某些量子位元上運行的基本量子電路，它們是量子電路的組成部分，就像傳統邏輯閘是傳統數位電路的組成部分一樣。在介紹「量子閘」之前，因為「量子位元」可以同時存在於 |0> 與 |1> 之間的狀態，因此用向量（vector）及矩陣（matrix）來表示將比較方便。例如以 |0> 及 |1> 為基底向量（basis vector，可以想成傳統上的 XY 座標軸），「量子位元」|0>、|1>、|x>=α|0>+β|1>將分別為：

如果用向量來表示量子位元，那麼「量子閘」將是一矩陣。

傳統計算機中的「NOT 閘」將 1 改成 0 輸出、0 改成 1 輸出，量子計算機中也有類似的「NOT 量子閘」能將 |0> 改成 |1> 輸出、|1> 改成 |0> 輸出、上面的 |x> 改成：

輸出。

「阿達瑪閘」（Hadamard gate） 是一基本量子閘，它能將量子位元從單一的確定狀態（|0⟩ 或 |1⟩）轉換為測量任一結果均為 50% 機率的量子疊加態（參見圖二）。「CNOT 閘」是一雙量子位元操作閘：

作用於 H|0> 及另一 |0> 結合的雙量子位元可以得到一量子糾纏態，其電路圖為

量子計算機

在結論前讓我們在此以一實際的例子來說明量子計算機可能提供的優勢。為了避免難懂的數學，我們在這裡只能用一最簡單的、不實用、但在開發量子演算法技術上佔有很重要歷史地位的例子：1985 年「量子計算之父」所提出的德意志演算法。德意志演算法用量子計算機解決了一個簡單的問題：給一只能輸入 0 或 1、只能傳回 0 或 1 的函數 f(x)，我們如何知道 f(0) 是否等於 f(1)？

圖三告訴我們如果用傳統的計算機，我們必須用 0 及 1 分別詢問這個函數兩次才可能得到答案：0 表示 f(0)=f(1);1 表示 f(0)≠f(1)。但因為量子位元可以有疊加狀態，我們可以先透過「阿達瑪閘」將 |0> 轉變成 |0> 及 |1> 疊加態後再詢問

得到答案後再透過一次「阿達瑪閘」，我們就可以測量結果：如果測得 |0> 則表示 f(0)=f(1); 測得 |1> 則表示 f(0)≠f(1)。有興趣的讀者不妨親自演算一下，驗證筆者沒有算錯（註三）。

德意志演算法利用了量子力學的疊加性及波函數的干涉性，成功地只詢問一次就得到了答案，所以我們可以在這裡吹噓：量子計算機只要用傳統計算機一半的時間就可以解決問題。事實上 Lov Grover 1996 年提出一個搜尋（註四）演算法證明了：當傳統計算機需要使用 ~N 次詢問才能得到答案，量子計算卻只要使用 次求值，就能以高機率找到產生特定輸出值之黑盒函數的唯一輸入（註五）：也就是說如果傳統計算機需要 100 年，量子計算機只需要 10 年！所以量子計算機將全面改變我們的…（請讀者填空）。但這不是好像看到一隻黑烏鴉，就說全世界烏鴉都是黑的一樣嗎？

結論

希望在瞰完本文後，讀者對量子計算機有初步的了解，不再只是個空洞的名詞而已。像其它新興科技一樣，我們將時常看到充滿著樂觀、承諾、與「突破」的報導，如去年底谷歌（Google）宣稱「（新的量子晶片）在不到五分鐘的時間內完成了一個「標準基準計算」（standard benchmark computation），而當今最快的超級電腦則需要 10²⁵ 年―這個數字遠遠超過了宇宙的年齡」，及最近微軟（Microsoft）發布了全球首款採用拓撲核心架構的量子晶片，謂創建了更穩定、可擴展的量子位元，「有望」讓量子計算機「更接近」解決複雜問題。

但我們都知道量子物理已經有百年的歷史，這知識為我們創造了空前的社會繁榮，因此我們不免要問：以它為基礎的量子計算機科技，為什麼經過了 40 年還是只停留在完成「標準基準計算」、「有望」、「更接近」、…等等「空談」的階段，交不出一張實用的成績單（註六）？…什麼時候它才能真正為我們解決一有「突破」就被提到的複雜問題，如增強網路安全，徹底改變材料科學、新藥、和醫學的研發，優化財務模型、製定更好的投資策略等等承諾？

量子計算之父德意志說：「因為我們確信量子系統一般無法在傳統電腦上有效模擬，量子運算未來最重要的應用可能是量子系統的電腦模擬。」諾貝爾物理獎得主費曼也持相同的看法。現在報章雜誌的報導都是渉及量子計算機所面臨的硬件設計挑戰；但翻閱證明其可行性的演算法後，筆者覺得如何將上面所提到之巨觀世界的實用問題，「改寫成」能利用量子運算獨特功能來解決之微觀世界的量子系統，可能才是一項更重大千萬倍的挑戰！

這使筆者想起了核融發電的問題。第一顆使用核子分裂的原子彈於 1945 年 8 月在日本廣島爆炸，6 年後年美國愛達荷州的實驗增殖反應器用核分裂產生可用電力，又三年後蘇聯的奧布寧斯克核電廠將核能所產生的電連結到電網。1952 年 11 月 1 日美國在馬紹爾群島引爆了第一顆氫彈。氫同位素核融反應除了比核分裂釋放更多的能量外，不會產生有害的長期放射性廢物；加上氫或氘在自然界中既便宜又豐富，為一種長期、可持續、經濟和安全的發電能源燃料，因此核融發電成為 1950 年代後期全世界先進國家追求的目標；報張雜誌三不五時便有「突破」的報導；但 1960 年到現在，65 年過去了，我們還是「祇聞樓梯響，不見人下來」，甭說看不到一座實用的核融發電廠，能勉強收支平衡的實驗就算是「突破」了。筆者認為量子計算機很可能將步其後塵：雷聲大雨點小、或根本不下雨（註七）！

註解：

• （註一）許多科普文章多用「丟擲硬幣來比喻」，謂在空中旋轉之硬幣就是同時存在於正、反兩面的狀態。這顯然完全不懂量子物理：在空中旋轉之硬幣從來沒有同時存在於兩種狀態，它只是很快地在兩種狀態中轉來轉去而已！
• （註二）正是因為要避免這一問題，所以傳統計算機設計採用「有」與「沒有」的二元電壓。不只如此，早期的計算機為了偵測錯誤，8 位元的位元組還多加了一位冗餘位元（詳閱「錯誤訊息的偵測與修正」，科學月刊 2009 年 3 月號或《我愛科學》）。
• （註三）先謝了。但請注意：筆者忽略了要求或然率等於 1 的常數如 1/2。
• （註四）在未以任何特定方式排序或組織的N項資料庫中尋找特定項目。
• （註五）因為傳統計算機每次只能問一項，所以大約要問 N 次才能得到答案；量子計算機可以「疊加」態一次詢問所有的項目，但因天下沒有白吃的飯，所以每次詢問只能得到或然率的答案，需要重複詢問 ~N 才能將或然率提高到相當肯定的地步。
• （註六）寫到這裡筆者突然了解為什麼一直對量子計算機「突破」的報導不感興趣：一則沒有新理論，再則好像全是空談，沒有解決實際問題的內容。
• （註七）2023 年 5 月，領導微軟量子運算工作的副總裁、「技術院士」 Matthias Troyer 在《ACM 通訊》上撰寫了一篇題為「擺脫炒作與實用性：切實實現量子優勢」（Disentangling Hype from Practicality: On Realistically Achieving Quantum Advantage）的論文，指出量子電腦能夠提供有意義優勢的應用數量比某些人認為的要有限；謂量子電腦只有在解決小數據問題時才能真正發揮其指數級加速的作用。他補充說：「其餘的都是美麗的理論，但不會付諸實踐」。

延伸閱讀：

• 黑體輻射光譜與量子革命，《科學月刊》，2022 年 7 月號。
• 思考別人沒有想到的東西―誰發現量子力學？，《泛科學》，2022/06/01 。
• 愛因斯坦的最後一搏－EPR悖論，《科學月刊》2016 年 5 月號；《我愛科學》，華騰文化有限公司，2017 年 12 月出版。
• 量子糾纏態的研發: 再談「愛因斯坦的最後一搏－EPR 悖論，《科學月刊》，2022 年 12 月號。
• 量子糾纏態的物理，《泛科學》，2024/4/24。
• 核融合發電的文字遊戲 ，《科技報導》，2003 年 5 月 6 日。

• 作者／照護線上編輯部
• 本文轉載自 Care Online 照護線上《健保給付放寬，幫助骨質疏鬆症降低骨折風險！及早測骨密，及早保骨安康 骨科醫師圖文解說》，歡迎喜歡這篇文章的朋友訂閱支持 Care Online 喔
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你知道嗎？國人一生中每 4 人就有 1 人面臨骨折風險，且首次發生骨折後，第二次再骨折風險高達 50%^[1]！骨質疏鬆症正以無聲的方式威脅患者的生命安全。

「促骨生長藥物對骨質疏鬆症患者非常重要，在骨折發生前使用，可降低骨折風險；在骨折發生後使用，快速提高骨密度，也有助於預防再次骨折。」

中國醫藥大學新竹附設醫院骨科王韋智醫師表示，「健保對於骨質疏鬆症藥物給付條件，擴大「次級骨折預防」範圍包含：手腕（遠端橈骨）與上手臂（近端肱骨）骨折；並新增「初級骨折預防」，放寬至未發生骨折的高風險骨鬆患者包含糖尿病合併胰島素、類風溼性關節炎、和類固醇使用超過3個月者；幫助骨鬆的治療能更早介入而不再從「發生骨折後」才做起！」。（詳細涵蓋範圍請參考健保署公告，個案適用範圍請依醫療專業人員判斷及建議。）

善用健保擴增給付，往前擴大骨鬆防護

為了幫助骨質疏鬆症患者（T值小於等於-2.5）降低骨折風險，健保署已放寬給付條件。王韋智醫師說，在初級骨折預防方面，可適用在未發生骨折，其骨密度（BMD）檢測結果 T 值小於等於 -2.5合併類風溼性關節炎、糖尿病且使用胰島素或使用糖皮質類固醇（>5毫克/天）超過3個月的骨質疏鬆症患者。在次級骨折預防方面，過去僅適用於脊椎或髖部骨折，現在已放寬至手腕(遠端橈骨)與上手臂(近端肱骨)骨折的骨質疏鬆症患者或骨質疏少症患者。

建議患者或家屬主動和醫師討論骨質疏鬆症的治療策略，選擇合適的治療方式，降低骨折的風險。（詳細涵蓋範圍請參考健保署公告，個案適用範圍請依醫療專業人員判斷及建議。）

骨質疏鬆症的現況與警訊

「骨質疏鬆症（Osteoporosis）」是一種慢性疾病，早期沒有明顯不適，很容易被忽略，許多患者都是在骨折發生後，才發現有骨質疏鬆症。王韋智醫師說，幾乎每天都有骨鬆性骨折的患者被送到急診室，因為不小心跌倒就造成髖部、脊椎、橈骨或肱骨骨折，除了造成劇烈疼痛、行動不便，也會嚴重影響生活品質、提高醫療花費、甚至增加死亡風險。根據統計，約有 20% 的髖骨骨折患者，在骨折發生後一年內會死亡^[2]，骨質疏鬆症是不容忽視的問題。

骨質疏鬆症早期症狀要留意三大警訊：「駝、矮、痛」，王韋智醫師解釋，「駝」就是駝背，當我們靠牆站立時，明顯感覺背部隆起或彎曲，背部無法完全貼平牆面，甚至肩膀前傾，這通常是因為脊椎骨壓迫性骨折或椎體結構變形所導致。「矮」是身高明顯縮水。很多患者會發現自己「比以前矮了4公分以上」，這是因為脊椎椎體塌陷、變扁所導致的整體身高減少。「痛」是下背痛或腰痛，通常是慢性的、鈍鈍的不適感。

這些症狀常被認為是老化的現象，而遭到忽視。其實這些都是骨骼結構正在退化的重要警訊，若能及早發現、及早治療，能夠有效預防骨折的發生。

留意骨質疏鬆症高風險因子、早期篩檢

至於骨質疏鬆症的高風險族群則包括停經後女性、老年人、體重過輕、缺乏運動、抽菸、喝酒、長期使用類固醇、缺乏鈣質與維生素 D 和其他內分泌疾病等。王韋智醫師說，「臨床上曾經遇過四十多歲便有骨質疏鬆症的女性患者。因此建議高風險族群要就醫接受骨密度檢測，留意自身骨骼健康，並積極接受治療。」

雙能量X光吸收儀（Dual-energy X-ray Absorptiometry，DXA）是診斷骨質疏鬆症的標準檢查，利用 X 光檢測骨密度，在無痛的狀況下，平躺大約5分鐘便能完成。王韋智醫師說，檢測的骨密度報告會標示T值（T-Score）。當T值落在 -1 至 -2.5 代表骨密度減少，稱為「骨質疏少症」；當 T 值小於等於 -2.5 即可診斷為「骨質疏鬆症」；而當T值小於 -3 則屬於「極高骨鬆性骨折風險族群」。

骨鬆治療策略：先行提升骨密度，有效降低高骨折風險

骨質疏鬆症的治療方式包含藥物治療搭配日常照護。王韋智醫師表示，藥物治療主要分為兩大類，促骨生長藥物與抗骨流失藥物。促骨生長藥物讓身體能夠「開源」長出新骨頭、快速提升骨密度；抗骨流失藥物可延緩骨質流失的速度，就是「節流」的概念。王韋智醫師說，目前治療會採取「先行增加骨密度，鞏固骨骼」策略，先以促骨生長藥物進行完整療程，快速提升骨密度，降低骨折風險，並遵造醫囑以抗骨流失藥物銜接，發揮長期保護的效果。再搭配日常照護包括飲食營養均衡、攝取足夠的鈣質與維生素 D、規律運動等。

筆記重點整理

• 「骨質疏鬆症」早期無明顯不適，容易被忽略，許多患者都是在骨折發生後，才發現有骨質疏鬆症。骨鬆性骨折除了造成劇烈疼痛、行動不便，也會嚴重影響生活品質、提高醫療花費、甚至增加死亡風險。
• 醫師建議，及早進行 DXA 骨密度檢測，民眾亦可先自我留意骨鬆「駝、矮、痛」三大警訊，如發現駝背、背部靠牆壁站立時後腦勺與牆面會間距超過 3 公分以上、身高變矮 4 公分以上，或是經常感到下背痛，就要立即諮詢專科醫師，評估是否有骨質疏鬆症。
• 骨質疏鬆症的藥物治療主要分為兩大類，一類是促骨生長藥物，讓身體能夠「開源」快速提升骨密度，降低高骨折風險；另一類則是抗骨流失藥物，主要用來延緩骨質流失的速度，就是「節流」的概念。目前針對高風險的骨鬆患者的治療策略，遵照醫囑考慮「先使用促骨生長藥物，再以抗骨流失藥物銜接」，以遠離骨折風險為目標。
• 為了幫助骨質疏鬆症患者降低骨折風險，健保署已放寬骨質疏鬆症健保用藥給付，可幫助高風險族群進行初級與次骨折預防。當 BMD 檢測結果 T 值小於等於 -2.5 ，合併有糖尿病使用胰島素、類風溼性關節炎或長期使用類固醇（>5mg/day）超過3個月，可透過健保給付的治療藥物進行初級骨折預防治療；新增手腕（遠端橈骨）、上手臂（近端肱骨）骨折可適用骨質疏鬆症和骨質疏少症患者的次級骨折預防治療。（詳細涵蓋範圍請參考健保署公告，個案適用範圍請依醫療專業人員判斷及建議。）
• 醫師呼籲：高風險族群應「及早篩檢、積極治療、預防骨折」，並善用健保的擴增給付、擴大骨折保護進行合適的骨質疏鬆症治療與預防，及早遠離骨折風險及早關心自身的骨骼健康。

本衛教訊息由台灣安進協助提供
TWN-785-0525-80011

參考資料：

[1] 中華民國骨質疏鬆症學會。台灣成人骨質疏鬆症防治之共識及指引。2023 年版

[2] Ip TP, et al; OSHK. Hong Kong Med J 2013 Apr;19 Suppl 2:1–40.

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晉朝分為西晉和東晉兩個階段。西晉末期，二十來歲的祖逖和劉琨，在京城洛陽當個小官，兩人是很要好的朋友。當時內憂外患不斷，兩人都有大志，一心報效國家。

祖逖和劉琨經常住在一起，天將亮時，一聽到雞叫聲，就起來舞劍，希望能文能武。這就是成語「聞雞起舞」的由來。因此聞雞起舞，比喻勤奮向上、努力不懈。

西元 311 年，匈奴人攻入洛陽，北方大亂。317 年，琅琊王司馬睿（晉元帝）在建康（今南京）即位，史稱東晉。在這之前，史稱西晉。當北方陷入混亂時，祖逖率領一批人南下，輔佐晉元帝，封為鎮西將軍。劉琨留在北方抗擊異族，做到都督。兩人都發揮了各自的文韜武略。

談到這裡，該造兩個句了：

我們要有光明的前程，就要學習聞雞起舞的精神，勤奮學習。

他天一亮，就起來鍛鍊身體，這種聞雞起舞的精神令人欽佩。

接下去要談談這個成語的科學意涵了。公雞之所以在破曉時啼叫，主要是「生物鐘」的關係。生物的生長和作息，都有一定的規律，這就是生物鐘。譬如牽牛花都是早上開花，蟋蟀傍晚後才會鳴叫，類似的例子不勝枚舉。

公雞呢？脊椎動物的大腦與小腦間，有個內分泌器官，叫做松果腺。晝行性動物，到了晚上松果腺會分泌褪黑激素，讓動物安然入睡。天亮時受到光線的刺激，褪黑激素分泌減少，動物就會醒來。公雞對光線的變化特別敏感，破曉時的微弱光線變化，也會讓牠醒過來，昂首啼叫。人們聽到公雞叫聲，就知道天要亮了。

公雞一般在天剛亮時啼叫，夏天在四、五點鐘，冬天在五、六點鐘。在沒有鐘錶的時代，公雞報曉是人們的重要時間指標。章老師小時候家裡沒有鐘錶，主要靠公雞啼叫，和固定時間前來叫賣的小販吆喝聲，知道大概是什麼時候了。

那麼，公雞醒來為什麼啼叫？雞是一種群居性動物，每個群體由一隻強壯威武的公雞當領袖。啼叫主要是宣示領域，也就是告訴其他雞群，這個地盤是我的，你們不要進來。

因此，破曉時一隻公雞啼叫，附近的公雞就會跟著啼叫，都是宣示領域的意思。既然公雞啼叫是一種領域行為，所以公雞白天也會啼叫。小朋友，你到動物園的兒童動物區遊玩，聽過大白天公雞啼叫嗎？

寫到這裡，還有點空間，順便介紹另一個成語——擊楫中流。祖逖率軍北伐，渡過長江，船到中流時，他慷慨激昂的擊打著船槳，立誓恢復中原。這個成語用來比喻：成就一件事的決心和激情。