公設化集合論的奧秘 (9) 為什麼有理數和自然數一樣多？

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文 / 翁昌黎（《孔恩vs.波普》中文譯者）

如果問到底有理數（rational numbers）和自然數哪個數量多，相信很多人會不假思索地回答當然是有理數比較多。不信的話，讓我們來考察一下半開半閉區間（0, 1］ 裡的有理數數量，也就是任何大於0小於等於1的有理數，我們發現它們有無限多個，比如1/2 ,  1/3 ,  7/15 ,  36/1125 等等，但在這個區間裡自然數卻只有一個1。在這個 區間裡有理數和自然數的個數比是無限比 1！

接著看下一個半開半閉區間（1, 2］，有理數仍然有無限多個而可憐的自然數仍然只有一個2。我們可以把這種區間無限往後延伸，然後頭尾相接得到一個（0,∞） 的無間斷區間，由於每一小段有理數與自然數的個數都是無限比1 ，因此直接宣布有理數完勝自然數似乎毫無疑問。

但既然我們在前文《如何打造「測量」集合的武器？》中得到一個新的工具，現在不如把它拿來測試，看看有理數和自然數誰多誰少。為了喚起記憶，我們把它重寫如下：

定義１　對任意兩個集合A和B，如果存在一個一對一（one-to-one ）且映成（onto）的函數（function）ƒ : A→B，則稱A與B等量（equinumerous），寫成A≈B 。

這個定義企圖捕捉的意義是在甚麼條件下A集合和B集合一樣大，或者說它們具有相同的尺寸（sizes）。兩個集合之間存在一個一對一且映成函數的意思是說，當我們把A和B裡的元素一一配對之後，A集合可以把B集合的「家當」全部消耗掉而沒有漏網之魚，因此我們把它們視為具有相同的「財富量」。

實際上要怎麼運用呢？那就看看如何用這個新工具來定義有限集合：

定義３　對任意集合A，如果存在一個一對一（one-to-one ）且映成（onto）的函數ƒ : n→A，其中n 為任意自然數，也 就是n ∈ N，則稱集合A為有限集合（finite set） ，否則A為無限集合。

當然你喜歡把A放在前面做為定義域也可以，但把n放在前面有個好處，就像我們拿直尺測量物體的長度一樣，我們把定義域的集合n（別忘了，在集合論裡自然數就是集合）當成量度集合大小的尺標，後面的集合A是待測量的物件，因此這個定義看起來就像是拿n（定義域） 來量度A。

比如A= ｛紅色, 黃色, 藍色｝， 是由三原色所構成的集合，它是否是個有限集合呢？ 看看我們能否找到一個一對一且映成的函數ƒ : 3→A？3這個集合= ｛0, 1, 2｝ ，它有0, 1, 2三個元素，所以 ƒ : 3→A就是 ƒ : ｛0, 1, 2｝→｛紅色, 黃色, 藍色｝，我們只須指定：

ƒ(0) → 紅色

ƒ(1) → 黃色

ƒ(2) → 藍色

則函數ƒ為一對一且映成，因此根據定義，三原色所形成的集合A為有限集合。

仔細觀察會發現，由於全體自然數的集合N = ｛0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,  9, …｝， 所以有限集合的標尺n就是某個N裡面的成員，現在來測量前文提到的偶數集合E =｛2, 4, 6, 8, 10…｝，看看它與自然數集合的關係為何。首先我們把E當成定義3中的A集合放在函數的後面 （對應域） 等待測量，我們發現N集合中的任何成員n都無法與E搭配形成一對一且映成函數，不管n有多大似乎都不夠用，所以根據定義，E不會是有限集合。

但我們發現，如果用N當標尺，則可以找到一個一對一且映成的函數ƒ : N→E。只要把N的第一個元素對準E的第一個元素，然後依此類推，也就是取

0 → 2,   1 →4,   2 → 6,   3 → 8,   4 → 10 … 就可以了。我們發現E與N等量而且它的尺度超出了任何自然數n，我們把這個相當於全體自然數集合的尺度用ω來表示。這個量度集合大小的量稱為基數（Cardinal number或 Cardinality），一般用〡A〡來表示A集合的基數，比如三原色的集合A的基數〡A〡=3。對於N和E來說，我們發現〡N〡=〡E〡=ω。於是我們發現，所謂的基數並不一定是個數字，雖然有限集合的基數正好等於某個自然數n，但與N等量的無限集合其基數是ω而不是某個n。

如同我們在《公設化集合論的奧秘 (6)》中談到，無限公設ZF6允許這個集合存在，它屬於可數無限集合，現在又發現它的基數〡N〡等於 ω。 通常你會看到自然數集合的基數用符號ℵ₀來表示，寫成〡N〡= ℵ₀，那麼N和ω到底是同一個還是不同的東西呢？它們與ℵ₀之間的關係又是甚麼？

許多集合論或分析學的書都說ω= ｛0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,  9, …｝，也就是ω= N，數學家們通常也把ω和N交替使用不加區分，但它們在功能上卻有微妙的差異。現代數理邏輯之父弗列格 （G. Frege） 曾經提出過指稱 （reference或Bedeutung） 與意義 （sense或Sinn） 的概念差異。比如說「珍的前夫」和「《時間簡史》的作者」都是霍金，因此這兩句描述擁有相同的指稱 （霍金） ，但卻有不同的意義。

若借用以上概念來看待N和ω，則我們可以說N和ω有相同的指稱，那就是全體自然數集合本身，而ω則又可以充當度量N集合尺度的尺標，這種尺標稱之為序數 （ordinal number） 。事實上所有的自然數也是序數，所以被拿來當成量度有限集合的尺標。但我們目前的知識配備尚無法精確定義序數，所以暫時把它當作一種具有排序性質的集合就可以了。至於ℵ₀則可以視為是可數無限集合基數的名稱。

小結一下以上的思路，我們先用函數來測量和比較兩個集合的大小，然後選取某種特殊的有序集合（序數）作為標尺來標定基數。比如用序數5來標定具有5個元素的集合量度，這個量度就是基數5。而基數為5的集合比基數為3的集合大，基數為ω的集合又比任何基數為n的集合要大，形成一個次序井然的集合量度世界。

請注意目前為止我們並沒有定義基數到底是甚麼，只是說若兩個集合等量則它們擁有相同的基數，並用序數（同樣尚未定義）來標定它。這類似於說當美元兌台幣的匯率為1：32時，一美元可以兌換成相當於32元台幣的價值，儘管我沒有告訴你價值的定義是甚麼，也沒告訴你貨幣是甚麼，但你依然可以正確操作貨幣兌換，只要你正確了解匯率的比值即可。

現在我們就來處理有理數與自然數誰多誰少的問題，關鍵在於能否找到有理數與自然數之間的一對一且映成函數。為了簡化問題，讓我們先觀察非負的有理數，也就是所有大於等於0的有理數集合。好消息是這些有理數都能以分數m/n 的形態來表示，只要n不是0且m, n都是自然數。但如何將無窮多的非負有理數全都羅列出來呢？

進一步的分析發現不論任何有理數其分子與分母相加（m＋n）都是一個定值，只要我們從最小的m+ n開始，依序寫出所有可能的有理數組合不就成了？因為n不能是0，所以第一個最小的m+ n有理數為0/1，也就是0。當m + n依序增加，我們得到一個有理數列如下：

0/1；1/1；1/2  ,  2/1；1/3  ,  2/2  ,  3/1；1/4  ,  2/3  ,  3/2  ,  4/1；1/5  ,  2/4  ,   3/3  ,  4/2  ,   5/1；…

每一組從m+ n = 1開始，然後2, 3, 4, 5…依序寫出有理數的各種可能組合，不幸的是我們在標紅字的部分發現之前已經出現的值，比如2/2 = 1/1= 3/3 等等。這樣我們表列的有理數就多於實際有理數的總和，必須想辦法把它們消去才行。

方法很簡單，只要把最大公因數gcd （m, n）=1的條件加進我們的有理數列，那些等值重複的項目就消掉了，因此我們得到一個新數列：

0； 1/1；  1/2  ,  2/1；1/3  ,  3/1；1/4  ,  2/3  ,  3/2  ,  4/1；1/5  ,  5/1； …

所有非負的有理數盡在其中矣。

只要再施加點詭計，就能把負有理數也包含進來，方法就是把每個絕對值相等但正負號相反的有理數緊跟其後的擺放，形成一個新數列：

0； 1/1  ,  –1/1；1/2  ,  –1/2  ,   2/1  ,  –2/1；1/3  ,  –1/3  ,   3/1  ,  –3/1；…

經過這個安排，所有有理數都被搜羅進來，沒有遺漏也沒有重複。

然後我們將自然數集合N與以上數列所成的集合Q作一個對應：

0 → 0

1 →1/1

2 → –1/1

3 → 1/2

4 → –1/2
…

就構成了一個一對一且映成的函數關係，因此根據測量集合尺度的定義，Q與N等量，我們證明了有理數和自然數一樣多。經常違背直覺的無限集合還有哪些神奇之處？那只有等下回分解了。

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