分享本文至 E-mail 信箱

學術引用格式

MLA (點一下全選)

APA (點一下全選)

EndNote(.enw)

公設化集合論的奧秘 (4) 挽救羅素詭論的藥方—分割公設

2014/12/10 | | 標籤:

1

文 / 翁昌黎(《孔恩vs.波普》中文譯者)

在《摧毀傳統集合論的重磅炸彈 — 羅素詭論》裡,我們見識到了那看起來極不起眼的集合R = { X : X X}卻對數學的邏輯基礎造成如此重大的傷害。羅素是在1902年六月16日寫信給被譽為「現代數理邏輯之父」 的耶拿大學數學教授弗列格(Gottlob Frege),羅素告訴他自己在一年前(1901年六月)的發現。別看弗列格現在有那麼風光響亮的封號,但他生前只不過是被世界遺棄的冷門人物,除了數理邏輯專業圈內的極少數人之外沒人鳥他,當然羅素這種內行人例外。

弗列格收到羅素的信之後嚇出一身冷汗,他在六月22日給羅素的回信中說到:「你發現的矛盾讓我極度震驚,更恰當地說是驚慌失措,因為它撼動了我欲將算術建立於其上的根本。」當時他的代表作《算術的基本定律》第二册正在印刷廠排印準備出版,你羅素好死不死偏在這個節骨眼上送來郵包炸彈,要改正、添加附錄或撤回都已然來不及。弗列格之所以如此驚慌是因為他的偉大構想正是要把整套算術建立在邏輯和傳統集合論上面,羅素一封短短的信,可能因而讓美夢就此泡湯。

現在該怎麼辦?這個集合R屬於自己也不行,不屬於自己也不行,難道只能讓人去上吊?問題到底出在哪裡? 根據徹美洛等人的說法,羅素製造來的那個R「太大」了,超出了集合所能容受的範圍而導致爆胎。為了合理限制和建構出不自相矛盾的集合論系統,必須要有更嚴格的規定才行,這正是公設化集合論的遠大構想。也就是說要嚴格管制協會,補強管理登記辦法的漏洞以取締非法。之前談過的素樸集合論裡的概括公設顯然存在漏洞,以至於讓我們能依法製造出R這個怪獸。可見在這座黑森林裡,我們不能隨便相信直覺,在腦中構想一個性質P (比如說羅素的X ∉ X)之後就放心地斷定這個集合一定存在。羅素詭論的教訓告訴我們輕易肯定某個集合存在有可能導致致命性的矛盾。

為了解決這個困局,ZF集合論用分割公設(Axiom of Separatio) 來取代概括公設

分割公設(Axiom of Separation的數學表達為:

ZF2 ∀X ∀p1p k ∃Y u [u∈Y (u X ∧ φ (u, p1,…, p k)]

在這個稍嫌冗長的句式裡,最後面的φ(u, p1,…,p k) 就好比原來概括公設裡的性質P,但φ在此是個數學句式(formula),它的功能是陳述與u, p1,…, p k等集合變元(variables)相關的性質,特別是φ句式中談到了變元u。φ (u, p1,…, p k) 這個完整句式的角色就相當於之前的性質P(x)。如果這個數理邏輯式子把你弄得天旋地轉,那把它當裝飾就好,我會再度用地球語言來解釋清楚它的邏輯意義。

分割公設不允許單用性質P 來肯定某個集合存在,因為可能會陷入詭論,所以它加了一個條件: 如果已經確定某個集合B存在,而這個集合裡的某些成員又滿足某個性質φ的話,那這些特殊的成員可以構成一個新的集合A。

用圖來表示就是:

1

所有符合性質φ的集合成員必須已經隸屬於某個集合B,滿足這個條件才可以建構出新的集合A,也就是這樣才能肯定A是存在的。這就相當於協會之內的內部甄選規定,你必須先成為會員,才有資格進階成為高級會員或進一步成為黃金會員,你不能隨意到街上招來一群人然後把大家封為鑽石會員。

圖中的A相當於ZF2數學句式中的Y,而B則相當於數學句式中的X。加了這個條件(B集合必須先存在) 之後就可以避開羅素詭論了,而且我們還意外取得一個新的結果,那就是R = {X: X ∉ X} 根本就不是一個集合,因為這個協會的組成沒有經過任何合法的組織程序。類似R這種超大型的「協會組織」在數學上叫做類(class)

我們現在知道,如果你隨意描述一個性質並按這個標準抓來一堆東西,那麼由它們組成的集體Y = { x : P(x)}(依照概括公設)不一定是個集合。比如羅素的R = {X: X ∉ X} 就不是集合,當然集合也是一個類,但類的範圍比集合要大,那些不是集合的類就特稱之為真類 (proper class)

迷霧漸散,朝陽驟起。集合不再是隨意設定某種性質而建構出來的雜亂堆積,靠亂抓壯丁就能組成軍隊。現在它有了嚴格的限定條件,因而在邏輯上更加嚴謹而可靠。這個突破讓我們明白了類與集合之間的差異,這個差異的密碼就寫在ZF2這個看來有點嚇人的冗長式子裡。

延伸閱讀

 

關於作者

昌黎

中央大學哲學研究所碩士,曾籌劃本土第一場「認知科學與佛教禪修系統」對話之大型研討會,於1995年6月在法光佛教研究所舉行,並發表文章。後隱居紐西蘭,至今已20載。 長年關注「意識轉變狀態的科學」和「意識本質的科學與哲學」問題,曾與大寶法王辯經教授師拿旺桑結堪布成立「大乘佛教禪修研究中心」。其他研究興趣為「唯識學」、「超個人心理學」、「數理邏輯」、「公設化集合論」和「後設數學」等等。