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公設化集合論的奧秘 (3) 摧毀傳統集合論的重磅炸彈 — 羅素詭論

2014/12/09 | | 標籤:
伯特蘭·亞瑟·威廉·羅素,第三代羅素伯爵 photo source:wikipedia

伯特蘭·亞瑟·威廉·羅素,第三代羅素伯爵
photo source:wikipedia

文 / 翁昌黎(《孔恩vs.波普》中文譯者)

在數學和邏輯的領域裡有許多詭論存在,所謂詭論就是那種正反答案都有道理,但顯然不可能兩個答案都對。比如我對你說: 「我正在說謊」,如果這句話是真的,那表示我說的是謊話,因此它就是假的。如果這句話是假的,那表示我說了實話,因此這句話又是真的。像這種真假莫辨的語句就構成了詭論。

著名的羅素詭論(Russells paradox)就是一個具有簡單的數學形式,卻帶有強大的破壞力,它困擾了20世紀早期的許多數學家和邏輯學家。雖說羅素詭論終結了被稱為素樸集合論(naïve set theory)的早期數學理論,但這顆炸彈卻促成了以徹美洛為先導的公設化集合論。如果以徹美洛1908年的論文作為分水嶺,那麼素樸集合論的存活期限大約在1870年到1908年之間。

早期的素樸集合論只有兩個公設,一個就是之前談到過的外延公設,它規定兩個集合在什麼情況下可被視為等同的條件—如果它們有相同的成員的話,這一公設仍然被保留在ZF裡。另一個稱之為概括公設(Axiom of Comprehension),它的數學陳述極為簡單,但惹出大麻煩的正是這個公設。它說如果P是一個性質,那麼具有性質P(x) 的所有物體x就構成一個集合,寫成Y = {x: P(x)} 。

但嚴格來講,所謂具有性質P(x)這個表述顯得模糊而又不夠具體,什麼樣的東西可以作為P(x)呢? 它又具有什麼性質? 如果稍加思考我們還是可以從直觀上掌握它的一些特徵。比如我們將範圍限定在自然數,那所有偶數所成的集合就可以寫成E = { x : x 是偶數}。在這個例子裡性質P(x) 說的就是「x 是偶數」,它利用偶數這個性質建造起了E這個集合。來看另一個例子, 所有質數所形成的集合P = { x : x 是質數}= {2, 3, 5, 7, 11…}。這裡所謂的性質P(x)指的就是「x是質數」。

按照上面所舉的兩個例子來看,概括公設還挺好用的,只要將想要的東西用某個性質描述鎖定,然後將符合這個性質的東西通通抓出來放到我們設想的集合裡就萬事大吉了。多麼美妙簡潔的方法,多麼清楚明瞭的數學形式! 從表面上看不到任何破綻也沒有違背常理之處。但到了1901年,羅素不知怎麼地突發奇想,把一池春天的水硬給弄皺了。這個看起來簡單,稍嫌詭異但又不太起眼的東西,最終卻將原先被認為四平八穩的集合論體系給徹底掀翻,所以千萬不要以貌取人。

羅素詭論有何神奇魔力? 它就是在概括公設的許可下利用上述的性質P製造出來的集合,其數學形式相當簡單,依據概括公設,我們可以設計出一個集合R = { X : X X}。這個外表平凡無奇的集合乍看之下讓人有點摸不著頭腦,X ∉ X到底是什麼意思? 如果用麻袋隱喻來理解的話,它說的不就是一個集合不能把自己裝進去嗎,這不是理所當然嗎? 一個袋子怎麼能夠把自己當成元素放進去呢? 這不就像一條蛇想把自己吞進去? 這個看似廢話的集合到底能有什麼破壞性?我們就來研究羅素無聊時製造出來的這個魔怪到底具有什麼性質吧。

用我們之前說過的協會比喻就容易理解了。剛剛說過當時的素樸集合論只有兩條公設—外延公設概括公設,但這兩條「協會登記管理辦法」並沒有說不能把自己登記為自己的社團成員,所以理論上可以存在這樣型態的集合: 中區科學協會 = {中區物理協會,中區生物協會,中區化學協會,中區科學協會} 。像這種把自己登記為自己成員的社團組織就是ā = { X : X X},而不具有這種型態的集合,也就是成員中不包含自己在內的集合就是羅素的集合R = { X : X X}

事情到此似乎已經圓滿解決,羅素製造出來的這種集合顯然沒有異常。雖然「法規」沒有禁止,但一般情況下把自己登記成自己的成員似乎顯得相當怪異,又不是湊人頭黨員,還把自己放進去多數一個人頭,這不是欺詐嗎! 羅素所列舉的性質P(X ∉ X)顯然更符合我們對集合的常識要求,尤其是麻袋比喻下的集合。

但正所謂生死一線間,如果我們繼續往下追問,剛剛羅素的那個集合R是否是它自己的成員呢? 如果是的話則必然R ∈ R,因為R也必須在自己的成員當中。既然它在這個集合裡,那根據定義就要滿足性質P,也就是P(X ∉ X),我們得到R R這個結論。

糟糕,自相矛盾了! 那表示R不能是自己的成員,必須把它趕出這個集合,因此R R才對。可是根據羅素集合的定義R = {X: X X} ,R本身又滿足這個集合所具有的規定,因此必須把R看成是自己的成員,所以R ∈ R。這下可真是裡外不是人了,不論我們把R怎麼擺放,都會得出矛盾,走到這進退維谷的田地,看來原來的素樸集合論是徹底沒救了。

問題到底出在哪裡? 整套現代數學地基的集合論,居然被這個貌不驚人的詭論搞得灰頭土臉瀕臨破產,應該如何解決呢? 只有等下回分解了。

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關於作者

昌黎

中央大學哲學研究所碩士,曾籌劃本土第一場「認知科學與佛教禪修系統」對話之大型研討會,於1995年6月在法光佛教研究所舉行,並發表文章。後隱居紐西蘭,至今已20載。 長年關注「意識轉變狀態的科學」和「意識本質的科學與哲學」問題,曾與大寶法王辯經教授師拿旺桑結堪布成立「大乘佛教禪修研究中心」。其他研究興趣為「唯識學」、「超個人心理學」、「數理邏輯」、「公設化集合論」和「後設數學」等等。