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公設化集合論的奧秘(15) 突破可數無限的星航艦企業號

2015/03/10 | | 標籤:
Christmas Tree, Bokeh Version [362/366]

credit : CC by Tim Sackton @ flickr

延續之前的努力,我們雖然試過聯集(加法)和笛卡爾乘積(乘法),仍然沒能突破可數無限的藩籬,可見如來佛這隻手比我們想像中還要寬。在陷入困境的時刻,忽然想到在數學運算裡,減法和除法會讓數值變小,而加法和乘法會讓數值變大。但哪種運算可以讓數值增加得更「快」一些呢? 我們任意拿兩個數,比如3和5來觀察看看:

3+5 = 8      3×5= 15    35 = 243

我們發現對任意兩個正數,乘法得到的結果比加法得到的結果大,而指數運算得到的結果又比乘法大。依此進行推想,如果在集合運算裡有類似指數運算的話,那它很有可能就是我們得以突破可數無限集合的「星航艦企業號」,問題只剩下:這樣的東西存在嗎?

確實有這樣一個東西,它在日常數學(也就是非基礎數學)裡雖然並不常見,卻是集合論的「常備良藥」。我們就來見識一下它的模樣:

定義6:A和B都是集合,我們定義從A到B的所有函數所成的集合為BA = {F〡F : A→ B為函數}

這個定義很容易讓人誤以為BA指的就是函數 ƒ: A→ B,於是認為BA只不過是函數ƒ 的另一個寫法罷了,但這種誤認卻是致命的。

當我們說函數 ƒ:A→B時,我們說的是某個特定的序對集合ƒ,這些序對的前項由A的元素構成而後項則由B的元素構成,所以函數ƒ的成員由序對形成。

舉個例子就能清楚了,比如A = 2而B = 3。那麼 ƒ 會是怎樣的型態呢?有人心裡可能會嘀咕說2和3不是自然數嗎?它們怎麼能夠充當定義域和對應域來形成函數呢?之所以有這種疑惑是因為集合論的馬步沒蹲扎實所致,才會忘了自然數本身就是集合啊!(請參考《公設化集合論的奧秘 (5)》) 所以自然數2 = {0, 1},自然數3 = {0, 1, 2},因此函數

ƒ: 2 → 3 就是
ƒ: {0, 1} → {0, 1, 2}。

現在我們可以據此定義一個個別函數,比如恆等函數(identity function) ƒi: x → x,它等於序對(0, 0) 和(1, 1) 所形成的集合{(0, 0), (1, 1)}。再比如說常數函數(constant function) ƒc: x → 2,則不論是0還是1,它們的函數值都等於2,所以函數ƒc就等於序對集合{(0, 2), (1, 2)}。

有了以上的例子我們澄清了BA是從A到B的各種可能函數所形成的集合 {ƒi, ƒc, ƒs, …},而不是任何特定函數ƒk。某個特定函數 ƒ: A→ B的成員是序對,但BA的成員則是函數。接下來需要確認的是這個定義是否捕捉到指數的核心本質?我們可以問當A = 2且B = 3時,BA有幾個成員?對於定義域的兩個元素0和1來說,它們各有3種選擇來形成序對,那就是(0, 0)、(0, 1)、(0, 2)和(1, 0)、(1, 1)、(1, 2)。

若要形成任何特定的函數ƒk,就必須從前面三個序對中選出某一個,然後再配上後面序對中的任一個,比如我們從前後都選第一個序對而形成{(0, 0), (1, 0)}這種函數組合。這樣的話所有可能的組合方式共有3+3+3 = 9種,也就是共有9個函數成員,正好是BA=32 = 9。因此對於有限數值來說,BA 的定義與指數運算相契合。

最後為了表明自己是公設化集合論的內行人,請不要忘記驗證BA為「合法」集合。對於任意序對 (a, b),a∈A且 b ∈ B 來說,( a, b) ∈ A X B,由於它們是函數的元素,所以由序對構成的函數F必定是A X B的子集,也就是F ⊆ A X B。由於冪集合是把子集作為元素而形成的集合,所以F ∈ P (A X B) 。我們在《公設化集合論的奧秘 (14)》中已經證明笛卡爾乘積A X B是集合,現在面對A X B 的冪集合P (A X B),我們根據ZF7 冪集合公設得知P (A X B)也是集合,因此P (A X B)的子集BA是集合沒錯。

有了BA這個武器之後,我們發現可以將原先只限於有限數值的指數運算擴展到無限集合,比如說2N。我們想知道這個運算是否能「飛出」可數無限集合的範圍? 對於有限數值的指數運算,我們有明確的規則和定義: 比如 25 就是將2連乘5次,而對任何自然數k,2k就是將2連乘k次。在沒有定義BA之前,我們並不知道2N或2ω代表甚麼意思,但我們現在知道2N是指所有以下這種函數所成的集合:

F: {0, 1, 2, 3, 4…} → {0, 1}

這種集合的對應域很簡單,不過就是0跟1,那它看起來會像甚麼呢? 想像有一排被編上號碼的電燈泡,從最左邊的0號開始一直往右無盡延伸,越往右邊號碼越大,每個函數F就相當於一種亮燈的方式。比如若F定義域裡的所有自然數的値都對應到1,那就相當於燈泡全亮的狀態,反之如果F定義域裡的所有自然數値都對應到0,那就是燈泡全暗的狀態。依此類推,每個特定的F都表示一種亮燈狀態,而這些燈泡的各種明暗組合方式就構成2N集合。

這看起來和我們在《公設化集合論的奧秘 (7)》裡提過的全體自然數的冪集合P(N)很像,所以我們要問: 2N的尺寸是否與P(N)相同? 也就是它們的基數〡P(N)〡與〡2N〡是否相等? 要證明這一點就必須在P(N)與2N之間找到一個一對一且映成的函數ƒ,那樣就證明了〡P(N)〡=〡2N〡。

由於P (N) 的元素是某個自然數的子集A ⊆ N,所以我們的目標是要將某個A(比如{0, 1, 2})與2N的元素之間建立起函數關係,也就是在

ƒ : P(N) → 2N

之間尋找一對一且映成關係。但2N的元素本身就是函數,該如何試當選取以完成這個艱難任務呢? 我們可以試著用特徵函數(characteristic function)來充當2N的元素,其定義如下:

IA: N → {0, 1}

公設化集合15

它的意思是說如果某個x 剛好是A裡的元素,那麼它的函數值等於1,也就是這個編號的燈泡是亮的。反之若x不是A裡的元素,那函數值等於0,也就是這個編號的燈泡是暗的。因此我們可以把函數ƒ 看成是一張書面指令和燈泡明暗組合之間的對應關係,由P(N)裡挑選出來的子集A可以看成是一道指令,它裡面包含的元素就是要點亮的燈號。當這條指令經由ƒ 送到特徵函數IA時,特徵函數就根據A指令佈署亮燈的方式,若函數值為1就是亮燈,若函數值為0就關燈。

我們以A = {0, 1, 2}作例子,A裡的元素等於是指令,讓我們依據指令將那幾個編號(0, 1, 2)的燈泡點亮,因此特徵函數據此進行判別之後就決定了一種亮燈的方式,也就是只有前3盞燈是亮的,而編號2之後的所有燈泡全是暗的。很容易可以看出若指令不同的話,也就是A ≠ B,則亮燈的方式也會有所不同,也就是IA ≠ IB。這就表示

ƒ : P(N) → 2N
A → IA

為一對一函數。反之對任何一種亮燈方式,也就是特徵函數IA,我們都可以找到某個指令A ∈ P(N) 使得ƒ (A) = IA,因此ƒ為映成。既然ƒ 為一對一且映成函數,所以它們等量,也就是〡P(N)〡=〡2N〡。

由於康托的對角線方法已經證明P(N)為不可數集合,因此與它等量的2N也同樣為不可數集合。終於成功了!2N運算讓我們擺脫可數無限的枷鎖而得以遨遊太虛之中,直達玄妙的不可數無限的領地,我們也使得冪集合P (N) 與2N在此相遇。從無限尺寸的觀點來看,它們(P(N)和2N)是同一個東西。在《公設化集合論的奧秘 (11)》裡我們證明了實數也是不可數的,那麼P(N)和2N與實數的尺寸是否一樣大呢?有辦法可以證明嗎?這就只有等下回再分解了。

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關於作者

昌黎

中央大學哲學研究所碩士,曾籌劃本土第一場「認知科學與佛教禪修系統」對話之大型研討會,於1995年6月在法光佛教研究所舉行,並發表文章。後隱居紐西蘭,至今已20載。 長年關注「意識轉變狀態的科學」和「意識本質的科學與哲學」問題,曾與大寶法王辯經教授師拿旺桑結堪布成立「大乘佛教禪修研究中心」。其他研究興趣為「唯識學」、「超個人心理學」、「數理邏輯」、「公設化集合論」和「後設數學」等等。