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公設化集合論的奧秘 (5) 建構所有自然數的神奇魔術師—聯集公設

翁 昌黎
・2014/12/15 ・2871字 ・閱讀時間約 5 分鐘 ・SR值 532 ・七年級

國民法官生存指南:用足夠的智識面對法庭裡的一切。

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文 / 翁昌黎(《孔恩vs.波普》中文譯者)

「道生一, 一生二, 二生三, 三生萬物」-老子

介紹完配對公設之後,我們已經具備了製造多達兩個成員的機器,宛如造出兩塊錢的印鈔機,儘管我們還沒有將錢實際印出來。但集合論的「創業」過程並非一帆風順,羅素詭論就有如金融風暴般席捲我們的理念世界,我們只好先騰出手將它擺平之後再繼續「積累資本」。現在就讓我們繼續用公設化集合論手頭上的這兩塊錢來白手起家吧!

那就先回顧一下目前手頭上有哪些武器可資利用。第一個外延公設只是規定集合之間的辨認程序,就是在什麼情況下兩個集合等同卻沒告訴我們可以構造出什麼樣的集合。這就好比我告訴你兩張一模一樣的50元鈔票可以換成一張100元的鈔票但你卻連5毛錢的銅板都沒見過一樣。第二個分割公設也好不到哪裡去它雖然把羅素詭論解決了但並沒有允諾給我們任何集合。它說的是可以從某個已經存在的集合X中切割出滿足特定條件的集合Y。從集合論的「創業」觀點來看,這個公設類似一紙空合約,因為如果你已經擁有100元那你鐵定擁有其中的20元。
前兩個公設只規定集合應該遵守的法規但沒有告訴我們如何把集合建立起來。現在來看ZF3空集合公設,它給了我們一個集合,可是裡面卻什麼都沒有,等於給了張空頭支票。但別灰心,因為整個故事就從這張空頭支票開始。

一般我們用記號Ø 來表示空集合它也可以寫成{ }表示集合裡頭沒有任何成員。而集合Ø的存在是空集公設直接規定的:

ZF3 xy¬ (y x)

說的是∃(存在)x這樣的集合¬表示邏輯符號「非」(not),所以以上公設是說任何集合都不是x的成員,所以它是一個一無所有的集合。但我們所熟悉的自然數0, 1, 2, 3…等卻都可以從空集合依序造出來。

具體該怎麼做? 首先我們用Ø來定義0所以0 = Ø接下來怎麼辦呢? 看來這個公設無法再多給我們什麼了,我們現在請出第四個配對公設:

ZF4 xy z u [u∈z → (u=x u=y)]

這個公設允許某個最多包含兩個成員的Z集合存在而且Z = { u: u=x u=y} = {x, y}有個特殊情況是如果x = y那麼Z就只剩下一個成員{x}。{x} 與{x, x} 在定義上是一樣的也就是說同樣的成員不管你寫多少遍還是同一個成員。

經由以上分析配對公設的意思是如果我們手頭上已經有了兩個集合 (比如x y) 那麼以x為成員的類{x}和以x y為成員的類{x, y}就都是集合。配對公設允許我們抓兩個集合來形成最多有兩個元素的新集合。

根據ZF3,我們手頭上已經有集合Ø,所以再根據配對公設ZF4,{Ø}也可以形成一個集合,它含有一個成員—─就是空集合。手氣不錯,現在我們已經有Ø和{Ø}兩個集合了。聰明的讀者可以猜出來,如法泡製再使用一次配對公設,則又可以製造出{Ø, {Ø}}這個集合。把剛剛的成果表列整理一下就是:

0 = Ø

1 = {Ø} = {0}

2 = {Ø, {Ø}} = {0, 1}

手氣正順,為什麼不繼續往下走呢? 沒有辦法了目前我們只能數到2,比小學一年級的學生還不如,為什麼呢? 因為配對公設只容許我們的集合最多裝兩個成員多了就違反協會組織規定。

雖然當下我們手頭上有三個集合:012配對公設允許我們把任兩個集合抓出來形成一個新的集合比如 {0,2}{0, 1} 都是集合。可是單憑ZF3和ZF4這兩個公設的「法力」並不足以形成像 {0, 1, 2} 這樣的集合所以一切暫時到此為止若要繼續往下數那就必須有新的招數才行。

要突破數到二的限制就在於引進一個神奇公設第五個聯集公設(Axiom of Union):

ZF5 ∀Ƒ∃A ∀X [X ∈ A ↔ ∃ Y (X ∈ Y ∧ Y ∈ Ƒ)]

既然說是神奇公設,則它的數學形式在外觀上就顯得有點複雜,牽涉到的變元很多,而且麻煩的是邏輯符號中的量詞(∃,∀)不容易看出它到底在說什麼。不熟悉數理邏輯符號的讀者請放心,我將再次用日常語言為你破解這個看似茫無頭緒的符號叢林,但首先必須解析這個公設中所涉及的層次。

ZF5討論到的集合有三個層次:最高的是Ƒ接著的AY 屬同一層最低的是X層。為了方便表述這些層次還有聯集的概念,我用豌豆來作比喻。中間層的Y集合可以看成一條豌豆裡面有許多豌豆粒豌豆粒就屬於最低的X層。如果將許多豌豆條集成一堆的話那堆豌豆條就屬於Ƒ如下圖所示:

Ƒ Y A(X)
a b c

 

聯集公設是說如果有一堆豌豆條Y所成的集合Ƒ那將所有豌豆條裡的豌豆粒(X)抓出來可以形成一個新的集合AA集合中的所有成員就是原來所有豌豆條Y中的豆粒。請注意Ƒ與A不同之處在於Ƒ的成員是豌豆條A的成員是豌豆粒。但這個比喻跟之前所提到的麻袋比喻有相同的缺點因為不同的豌豆條中不會有同一顆豌豆粒但對集合來說卻可以允許不同集合包含相同的成員所以與豌豆比喻稍有不同的是Y層的不同集合之間可能會有相同的成員。還好這沒有影響新形成的集合A只要遵照之前所說的原則同樣的成員不管你寫多少遍還是同一個就可以了。

聯集用符號∪來表示兩個集合A 和B的聯集寫成A ∪ B將此符號推廣到聯集公設Ƒ其中Ƒ所有成員所形成的聯集寫成∪Ƒ = {X: ∃ Y (X ∈ Y Y ∈ Ƒ)} 。所以

{x, y}∪ {z} = {x, y, z}

{x, y} ∪ {z, t} = {x, y, z, t } 就順理成章地被定義下來。

有了聯集這個武器就我們可以建造出一個新集合{0, 1}∪{2}={0, 1, 2}。而{0, 1, 2} = {Ø, {Ø}, {Ø, {Ø}}} ,我們把它定義成 3。用這個新的ZF5居然造出一個新的集合3,再使用一次配對公設發現,{3}也是個集合。然後我們再用一次聯集公設把{0, 1, 2} ∪ {3} 運作一次,又得到一個新的集合 {0, 1, 2, 3} 。

依此類推我們把這個工作程序複製如下L:

3= {0, 1, 2} = {Ø, {Ø}, {Ø, {Ø}}}

4 = {0, 1, 2, 3} = {Ø, {Ø}, {Ø, {Ø}}, {Ø, {Ø}, {Ø, {Ø}}}}

等等。

聰明的讀者應該已經發現有了聯集公設這個威力無窮的工具,你可以建構出任何自然數,要多大就可以有多大。依照這些公設的運作你會發現所有自然數本質上都是集合,它們不只具有我們從小就被教會的素僕的算術性質而且都符合嚴格的集合定義。比如3不只是直觀上的數字3它也同時是以0, 1, 2這三個集合為成員所形成的集合。每一個數字當然還是數字但它們可以用集合來定義而且可以從集合論的公設中被依序製造出來。

從哲學的觀點俯視整個公設化集合論可以發現,在它裡頭並不需要假設任何實體事物存在,比如蘋果,水牛,原子,茶杯或太陽等等,唯一需要的只有集合。可以說在沒學會公設化集合論之前,你並不知道空手套白狼的境界可以有多麼高深。只需擁有一個什麼都沒有的集合,竟然可以憑藉ZF3-ZF5這三個公設就讓我們從虛無之中建造出所有的自然數,這就是公設化集合論奇蹟似的從無中生有的「創業」過程。

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翁 昌黎
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中央大學哲學研究所碩士,曾籌劃本土第一場「認知科學與佛教禪修系統」對話之大型研討會,於1995年6月在法光佛教研究所舉行,並發表文章。後隱居紐西蘭,至今已20載。 長年關注「意識轉變狀態的科學」和「意識本質的科學與哲學」問題,曾與大寶法王辯經教授師拿旺桑結堪布成立「大乘佛教禪修研究中心」。其他研究興趣為「唯識學」、「超個人心理學」、「數理邏輯」、「公設化集合論」和「後設數學」等等。

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連發動戰爭也會選擇困難?幸好,數學家發明了「賽局理論」──《囚犯的兩難》上
左岸文化_96
・2019/09/27 ・2747字 ・閱讀時間約 5 分鐘 ・SR值 570 ・九年級

一九四九年八月,蘇聯在西伯利亞第一次成功試爆原子彈,打破了美國對核子武器的壟斷地位。世界上出現了兩個核武大國的局面,比西方觀察家預期的要早得多。

一顆原子彈直接讓敵人掰掰~圖/Pixabay

蘇聯的原子彈激發了核武競賽,而這種競賽的某些後果是容易預見的。每個國家都希望盡可能武裝,以能夠發動核子武器來快速擊敗對手為目的。許多人意識到,這會導致令人難以接受的兩難困境。

世界歷史上首次出現了這種可能,只要一次閃電式的核武攻擊就可以使敵國從地球上消失。在危機之際,按動核武按鈕的誘惑幾乎不可抗拒。同樣重要的是,每個國家都害怕自己成為他國突襲的犧牲品。

先搶先贏的核武恐嚇

一九五〇年代,美國和西歐有許多人主張對蘇聯發動一次直接、毋須任何理由的核武攻擊。它有一個委婉的名稱,叫做「預防性戰爭」。懷抱這種想法的人認為,美國應該抓住時機,透過核武脅迫或突然襲擊,以建立一個世界政府。

你也許認為只有極端份子才會支持這種計畫。事實上,當時許多十分優秀的知識份子也廣為支持預防性戰爭,包括當代兩個最出色的數學家:羅素和馮紐曼。

圖/pixabay

通常數學家不會由於其政治主張或對世界的看法而聞名於世;況且,從很多方面來看,羅素和馮紐曼都是兩個完全不同的人。然而,對於世界上不應該有兩個核武強權共存的這一觀點,他們的見解恰恰相同。

羅素是預防性戰爭運動的主要推動者,他強調具有核武摧毀能力的蘇聯是個最終的威脅,除非蘇聯同意美國在世界的主導地位。一九四七年,羅素在一次演講中說:「我傾向認為俄羅斯人會默認美國主導世界的狀態;否則,世界將經歷一場戰爭,而出現獨一無二的政府,因為這是世界所需。」

馮紐曼的態度更加強硬,贊成出其不意用核武做第一擊。《生活》雜誌曾經引用他的言論:「如果你問為什麼明天不用原子彈去轟炸他們,我要問為什麼不今天就去轟炸呢?如果你說今天五點鐘去轟炸,那我要問為什麼不今天一點鐘就去轟炸呢?」

還不快按下去!圖/GIPHY

他們兩個人都對蘇聯沒有任何感情。他們相信預防性戰爭是邏輯的必然,是避免核武擴散的唯一合理方案。在一九四八年一月號的《新聯邦》雜誌中,羅素在一篇鼓吹預防性戰爭的文章裡寫道:「我提出的理由就像數學證明一樣,是如此明白無誤和不可避免。」然而邏輯本身也會出錯。

那麼預防性戰爭這場異乎尋常的鬧劇的真實含意是什麼呢?恐怕說得最清楚的是當時的美國海軍部長馬修斯:一九五〇年,他不經意地使用歐威爾式的語言 1 來極力鼓吹美國要「為和平而侵略」!

今天,隨著東西兩方緊張關係的解凍,預防性戰爭看來就像冷戰思維的一種奇特變形。然而我們此刻仍然面臨許多這一類的問題:當某個國家的安全與整個人類的利益發生衝突時,它應該怎麼辦呢?當一個人的利益與公共利益發生衝突時,他應該怎麼辦呢?

數學家是怎麼在戰爭議題裡面參一腳的?

恐怕誰也比不上約翰.馮紐曼那樣能說明原子彈的兩難是如何折磨人了。這個名字對於大多數人來說並沒有多大的意義。這位聲名卓著的數學家幾乎屬於一個不存在的物種。知道這個名字的少數圈外人則大多會把他看成電子數位電腦的先驅,或者是為「曼哈頓計畫」效力的傑出科學家原型之一。還有少數人把他視作庫柏力克的電影《奇愛博士》中的科學家;話說回來,馮紐曼確實曾坐在輪椅上參加原子能委員會的會議。

約翰.馮紐曼 (John von Neumann)。圖/LANL, via Wikimedia Commons

馮紐曼的主要著作是在純數學和數理物理學領域,這些令普通人難以親近的研究,很早就為他贏得天才的聲譽。也許有人會預期他一生的理論工作使他遠離俗事。然而,他卻對應用數學有同樣特別的熱情。電腦和原子彈兩者都是馮紐曼的業餘項目,它們都十分典型地反映了他對於數學應用的興趣。

馮紐曼是個撲克牌玩家,雖然不是頂尖高手,但他敏銳的思維能捕捉到遊戲中的一些要素。他對採用騙術、虛張聲勢、猜測對方意圖等等在規則允許內人們企圖誤導對方的種種手法都特別感興趣。以數學的術語來說,這些都是「非瑣碎的」。

從一九二〇年代中到一九四〇年代,馮紐曼以研究撲克牌和其他遊戲的數學結構自娛。當研究成形時,他發覺這套理論可以應用到經濟學、政治學、外交政策等各種領域。一九四四年,馮紐曼和普林斯頓大學的經濟學家摩根斯坦以《賽局理論與經濟行為》這本書發表了他們的分析報告。

要認識馮紐曼的「賽局/遊戲理論」,首先要認清它與一般人理解的遊戲沒有太多關係。賽局理論研究的其實是大家通常說的「策略」。

偶爾使些小技巧、小策略,總是可以讓生活變得更加愉快~圖/GIPHY

在二次大戰期間與馮紐曼並肩工作的科學家布羅諾斯基在《人之躍昇》書中回憶,有一次在倫敦的計程車上,他和馮紐曼談起賽局:

「……因為我對下棋很著迷,因此很自然對他說:『你的意思是,賽局理論像下棋?』『不,』他說,『下棋不屬於賽局理論。下棋是定義得十分完善的一種計算。你也許無法算出答案,但是理論上,任何棋局必然有一個解,也就是有一個正確的過程。而真正的賽局完全不是這個樣子的。實際生活也不是這個樣子。實際生活中包括虛張聲勢、一些騙人的小策略,互相揣測對方以便應對等等。我的賽局理論研究的就是這些內容。』」

賽局理論是研究有思想的、可能會去騙人的對手之間的衝突。這也許使賽局理論聽起來更像心理學的一個分支,而不是數學的分支。其實並不盡然,因為賽局參與者被假設是完全有理性的,因此賽局理論容許精確的分析。更確切地說,賽局理論是數理邏輯學的分支,以人們之間的真實衝突為研究課題(即使他們並非總是理性)。

註解:

  1. 作家歐威爾著有政治寓言小說,《一九八四》以諷刺極權政府,矛盾修辭法的「雙重思想」是書中黨控制人民的手段。

——本文摘自《囚犯的兩難:賽局理論、數學天才馮紐曼,以及原子彈的謎題》,2019 年 6 月,左岸文化

左岸文化_96
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左岸的出版旨趣側重歷史(文明史、政治史、戰爭史、人物史、物質史、醫療史、科學史)、政治時事(中國因素及其周邊,以及左岸專長的獨裁者)、社會學與人類學田野(大賣場、國會、工廠、清潔隊、農漁村、部落、精神病院,哪裡都可以去)、科學普通讀物(數學和演化生物學在這裡,心理諮商和精神分析也在這裡)。

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「食人族」真的存在嗎?──《人類的起源》
三采文化集團_96
・2018/06/04 ・4894字 ・閱讀時間約 10 分鐘 ・SR值 558 ・八年級

「食人族」(cannibal)這個英文單字,是哥倫布於十五世紀抵達美洲西印度群島時引發的一場誤會。

所以說,哥倫布好像誤會滿多事情的。圖/wikipedia

哥倫布相信自己發現的地方是印度(所以他把該地區稱作「西印度」),並且把當地原住民誤認為蒙古人可汗(Khan)的後裔,因此才稱呼他們為「坎尼拔斯人」(canibas),甚至還了報告跟他的國王說:

「坎尼拔斯人會把人殺來吃掉。」

過去只會在神話或傳說中出現的食人一族,竟然在世上的某個角落真實存在著,這樣的故事立刻引發了歐洲人的好奇與想像。食人族的故事很快就傳遍整個歐洲,坎尼拔斯人也變成了食人族的代名詞。

後來,歐洲列強展開海外殖民地爭奪戰,各國陸續派出傳教士與人類學者作為殖民勢力的前鋒。他們將所到之處與食人族相關的故事蒐集起來,編輯出版成論文、書籍和報刊雜誌。從此之後,食人風俗便成為了野蠻土著的代表性「特徵」。

《食人的迷思》英文版書封。圖/Amazon

到了二十世紀後半期,故事有了另一種說法。學者仔細檢視這些紀錄與書籍,發現大部分與食人族相關的內容都是毫無根據的說詞,許多記錄不過只是「傳聞」而已。

美國石溪大學(Stony Brook University)人類學系的威廉.阿爾尼斯(William Arens)教授,他細細檢閱相關記載,並在著作《食人的迷思》(The Man- Eating Myth,1979)中提出了關於食人族謠言的解釋。原來食人族故事的出處,幾乎都是兩族相爭時,它族族人的毀謗之詞:

「我們不幹那種事,但樹林另一邊的那些傢伙,全是蠻橫無理的食人族。前些日子我也差點被殺來吃掉,好險最後還是勇猛地逃了出來。」

食人族的消息來源,就是這些所謂的英勇故事,而將這些故事記錄下來的人,沒有一個是自己親眼所見。事實上,向哥倫布謊稱坎尼拔斯人是食人族的,正是與他們相爭的鄰族──阿拉瓦克人(Arawak)。

但西班牙人又掛保證說阿拉瓦克人是個愛好和平的民族。圖/John Gabriel Stedman@wikipedia

這種鄰族之間的說詞雖然無法當作食人行為的證詞,卻讓我們了解到另一個重要的事實,那就是食人行為對於熱帶叢林中的土著來說,同樣也是一種十分可怕的行為,這和許多歐洲人所抱持的偏見完全不同。由此可知,把吃人當作吃飯一樣的人類群體並不存在,將食人行為視作家常便飯的食人族故事也不攻自破。

那麼,我們能直接得出一個結論,說在人類歷史上從來沒有食人行為存在嗎?答案是不能的。

雖然少之又少,但的確有某個種族有著食人的風俗,他們就是居住在巴布亞紐幾內亞的弗雷族(Fore)。在1940年代之前,幾乎沒有人知道弗雷族的存在,直到當時負責託管該地的澳洲政府派公務員進行人口普查,消息才慢慢傳了出來。1950 年代,澳洲開始在巴布亞紐幾內亞設置警衛隊,傳教士與人類學者也隨之而來,弗雷族與其傳統風俗這才開始慢慢融入現代社會。

圖/ Lumholtz, Carl@wikimedia

所謂的「食人風俗」,其實是弗雷族非常獨特的葬禮儀式。當弗雷族人離世後,該族人的母系女性親屬會將屍體整理一番,但整個過程驚悚到無法被一般人所接受。雖然有點殘酷血腥,但還是在此稍微作說明:

首先她們會把屍體的手與腳砍斷,再將手臂與大腿的肉刮下來,把人腦取出後再剖腹將內臟拿出,最後把刮下來的肉分給男人,腦與內臟則分給女人吃掉,在一旁觀看整個過程的孩童們也會一起分食。

弗雷族現在已被禁止舉行這種葬禮,但這在過去是一件十分平常的事。到底為什麼他們要舉行如此可怕的葬禮?因為他們相信將屍體吃掉後,死者會變成自己的一部分,繼續與族人存活在這個部落裡。

或許你覺得聽來荒唐,但這種信仰其實並沒有那麼特殊及陌生,在其他文化中也存在。

亞馬遜流域的亞諾馬米族會將死者的骨灰拌在粥湯裡,分給親戚或鄰居食用;雖然只是一種比喻,但在基督教的聖餐故事中,耶穌要人相信麵包是祂的身體、葡萄酒是祂的寶血,並且讓眾人吃下麵包、喝下美酒。這些都傳遞著同一個訊息,那就是「請以此種方式將我銘記在心」。撇開弗雷族食人風俗那可怕的手法,其背後隱藏的正是極為普遍的人間至愛。

當然,並非所有的食人風俗都是如此情真意切,也是有充滿憎恨的。在戰爭或復仇鬥爭中殺死敵方的俘虜,並將心臟、鮮血等極具象徵性的部位吃掉,這是一種「用吃來消滅」憎恨對象的行為,但這僅存在於歷史紀錄,近代並沒有直接通報的案例。

無論是基於情意還是憎恨,我們都不能忘記一項事實,那就是食人行為絕非人類飲食型態中的一環。

沒有案例顯示有任何人類群體將食用人肉作為飲食的一種手段,以上所舉的罕見案例,也都歸類於象徵儀式或文化舊習。是愛也好,是恨也罷,從某種角度來看,我們可以將它視為一種「透過儀式以表露世間極致之情」的行為。

儘管有食人行為,世上也沒有食人族

一般來說食人並不是如此歡樂的畫面啦。[Public domain], from Wikimedia Commons

讓我們再回到古人類學的故事裡。考古學者與人類學者利用美國羅素 (Marry Russel)教授的研究並刀痕並得出尼安德塔人並非食人族的新方法,企圖以人骨化石上的刀痕來尋找過去食人行為的痕跡,最後他們達成了幾項成就。

1999 年,科學家在法國莫拉古爾西(Moula-Guercy)的尼安德塔人遺址中,發現了類似食人行為的刀痕;從西班牙阿塔普爾卡(Atapuerca)遺址出土的更新世中期(Middle Pleistocene,距今約12-78萬年前)人類化石,上頭也有同樣令人聯想到食人行為的刀痕,而且時代比尼安德塔人更早。

美國印地安遺址出土的人骨化石上也有類似的痕跡,不論這刀痕是否與食人行為有關,這個發現都引發了一場嚴重的論戰。印地安人的祖先是否有可能是食人族?這個話題已經夠敏感了,又牽扯到歐洲白人掠奪美洲大陸與印地安原住民之間的政治矛盾,最後甚至演變成民族情感對立的激烈局面。

直到 2001 年,一個決定性的證據才讓這場論戰在某種程度上慢慢平息下來。科學家在美國西南部科羅拉多州的阿納薩齊(Anasazi)遺址,發現古印地安人(Paleoindian)的糞便化石內有某種只存在於人類肌膚組織的蛋白質。憑藉這個「直接證據」,至少可以確認在此遺跡中曾發生過食人行為。

人吃人的足跡多到可以用世界地圖呈現。圖/wikipedia

儘管食人「行為」確實存在,也不能以此當作食人族存在的證據。人類歷史上的確發生過食人行為,從弗雷族追溯至更早期的法國、西班牙與古印地安人遺跡,我們都找到了相似的證據。

甚至在現代社會中,某些極端特殊的情況下,食人行為也是可以被容許的。1972年,一架載著烏拉圭橄欖球隊的飛機在安地斯山脈墜毀,倖存者為了活下去,只能吃掉死去同伴的屍體;這個事件還被改編成了電影。

若是在如此險峻的地方發生意外,你會怎麼做呢。圖/BoomerKC@wikimedia

美國西部墾荒時代,由好幾個家庭組成的唐納大隊(Donner Party)在往西部遷徙的途中迷了路,被困在內華達山區四個多月,少部分的人只有靠著吃人肉才得以存活。我們能把這些迫於無奈而吃人的人稱為食人族嗎? 2010 年,受困在倒塌礦坑中的南美智利礦工,就算他們真的做出相同的行為,在道德標準的審判下,我們也不能將他們稱為食人族。

遠古人類的化石鼓勵著我們發揮無限的想像力,究竟他們是為了紀念過世的死者才食用人肉?或是為了報仇血恨才吞下屍體的某個部分?還是為了在更新世冰河時期的極端環境中存活下去,不得已做了最後的選擇?

我們透過考古學與人類學的資料來進行分析,但不代表我們可以對人類的過去擅做假設或妄下定論。食人風俗確實存在過,但可以肯定的是,我們無法將那些人稱為食人族。


同場加映:弗雷族的怪病「庫魯病」

弗雷族的食人風俗之所以被廣為流傳,其實是因為一種怪病。1950 年代,弗雷族裡流傳著一種奇怪的疾病,澳洲派遣至當地的調查團匯報了以下內容:

「一名染病的女性患者,因病況急遽惡化導致身體無法站立,僅能躺臥於家中而且幾乎無法進食,肢體會劇烈顫抖直到死亡。」

由於該病症會讓人全身劇烈顫抖,所以取當地語言中的「庫魯」(kuru)一詞作為病名,意即為「顫抖」。此外,病人還會不由自主地發出笑聲,因此庫魯病也被稱為「笑病」。

得到「庫魯病」的患者。圖/wikipedia

庫魯病的潛伏期很長,一般潛伏五至二十年左右,更長的甚至會到四十年。在 2005 年死亡的患者中,有人早在 1960 年代就受到感染。

庫魯病的潛伏期雖然長,但發病後通常很快便會死亡。病症一旦出現後,患者最短只能活三個月,最長則可至兩年;發病期間不僅全身無力、無法行走,吞嚥也會變得越來越困難,甚至言語及排泄機能也會逐漸喪失,更嚴重的還有可能罹患肺炎或褥瘡而造成致命感染。

對於當時的西方學者來說,庫魯病是一種既陌生又詭異的病症。美國國家衛生研究院病毒神經研究所的前所長丹尼爾.蓋杜謝克(Daniel Gajdusek)博士,他在研究當地原住民感染疾病的過程中第一次認識了庫魯病。進一步檢閱相關文件後,他發現其中有陳述「弗雷族是食人族」的內容,便開始懷疑庫魯病可能與食人風俗有關。蓋杜謝克博士也注意到,庫魯病的主要患者都是食用死者腦部的女性與孩童。

普利昂蛋白的分子模型。圖/Cornu@wikipedia

蓋杜謝克博士懷疑,庫魯病的源頭就藏在這些人食用的腦部組織中。於是他將死去病患的腦部組織移植到黑猩猩身上,兩年後,黑猩猩也出現了相同的病症。經過更進一步的研究之後,他查出造成庫魯病的病原體,原來是一種叫做「普利昂」(prion)的蛋白質,會經由食用造成傳染,這一點也是十分罕見。普利昂蛋白是一種結構特殊的蛋白質,會誘發其他蛋白質產生病變。

一直以來,醫學界普遍認為傳染病的病原體都是微生物,而這種以蛋白質型態造成傳染的病原體從未實際被發現過,科學家甚至一度懷疑它的存在。透過對庫魯病的研究,醫學界這才首次發現了它的實體。

普利昂蛋白會致使組織發展成海綿狀的結構。圖/Dr. Al Jenny@wikipedia

癌細胞是透過細胞分裂繁殖出新的癌細胞,普利昂蛋白則會讓周圍的細胞逐漸變質。科學家後來又發現幾種因普利昂蛋白引發的疾病,例如狂牛症庫賈氏病(Creutzfeldt-Jakob disease),因此普利昂蛋白的發現可說是醫學史上劃時代的成就,而蓋杜謝克博士也在 1976 年獲頒諾貝爾醫學獎。

在蓋杜謝克博士之前,沒有人想過庫魯病會是因為食人行為而感染的疾病,因為弗雷人不吃病死的屍體。但庫魯病是個例外。弗雷族認為這是一種精神上而非生理上的疾病,所以他們會吃因庫魯病死亡的屍體。

1950 年代末至1960 年代初,估計有超過一千人染上庫魯病死亡(前面所述 2005 年病死的患者,正是於此時感染的最後一批犧牲者)。至於庫魯病是如何開始大肆感染的?目前科學家的假設為:

「庫魯病不單是因為吃了屍體的腦部,也會透過身體上的傷口傳染。當時一名弗雷族人因罹患庫魯病而死亡,而負責肢解死者屍體的女性手上極可能有傷口,因此而受到感染。」

 

 

 

本文摘自《數學好有事人類的起源:最受美國大學生歡迎的22堂人類學課,關於你是誰、你從哪裡來又該往哪裡去》,三采文化








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文 / 翁昌黎(《孔恩vs.波普》中文譯者)

「道生一, 一生二, 二生三, 三生萬物」-老子

介紹完配對公設之後,我們已經具備了製造多達兩個成員的機器,宛如造出兩塊錢的印鈔機,儘管我們還沒有將錢實際印出來。但集合論的「創業」過程並非一帆風順,羅素詭論就有如金融風暴般席捲我們的理念世界,我們只好先騰出手將它擺平之後再繼續「積累資本」。現在就讓我們繼續用公設化集合論手頭上的這兩塊錢來白手起家吧!

那就先回顧一下目前手頭上有哪些武器可資利用。第一個外延公設只是規定集合之間的辨認程序,就是在什麼情況下兩個集合等同卻沒告訴我們可以構造出什麼樣的集合。這就好比我告訴你兩張一模一樣的50元鈔票可以換成一張100元的鈔票但你卻連5毛錢的銅板都沒見過一樣。第二個分割公設也好不到哪裡去它雖然把羅素詭論解決了但並沒有允諾給我們任何集合。它說的是可以從某個已經存在的集合X中切割出滿足特定條件的集合Y。從集合論的「創業」觀點來看,這個公設類似一紙空合約,因為如果你已經擁有100元那你鐵定擁有其中的20元。
前兩個公設只規定集合應該遵守的法規但沒有告訴我們如何把集合建立起來。現在來看ZF3空集合公設,它給了我們一個集合,可是裡面卻什麼都沒有,等於給了張空頭支票。但別灰心,因為整個故事就從這張空頭支票開始。

一般我們用記號Ø 來表示空集合它也可以寫成{ }表示集合裡頭沒有任何成員。而集合Ø的存在是空集公設直接規定的:

ZF3 xy¬ (y x)

說的是∃(存在)x這樣的集合¬表示邏輯符號「非」(not),所以以上公設是說任何集合都不是x的成員,所以它是一個一無所有的集合。但我們所熟悉的自然數0, 1, 2, 3…等卻都可以從空集合依序造出來。

具體該怎麼做? 首先我們用Ø來定義0所以0 = Ø接下來怎麼辦呢? 看來這個公設無法再多給我們什麼了,我們現在請出第四個配對公設:

ZF4 xy z u [u∈z → (u=x u=y)]

這個公設允許某個最多包含兩個成員的Z集合存在而且Z = { u: u=x u=y} = {x, y}有個特殊情況是如果x = y那麼Z就只剩下一個成員{x}。{x} 與{x, x} 在定義上是一樣的也就是說同樣的成員不管你寫多少遍還是同一個成員。

經由以上分析配對公設的意思是如果我們手頭上已經有了兩個集合 (比如x y) 那麼以x為成員的類{x}和以x y為成員的類{x, y}就都是集合。配對公設允許我們抓兩個集合來形成最多有兩個元素的新集合。

根據ZF3,我們手頭上已經有集合Ø,所以再根據配對公設ZF4,{Ø}也可以形成一個集合,它含有一個成員—─就是空集合。手氣不錯,現在我們已經有Ø和{Ø}兩個集合了。聰明的讀者可以猜出來,如法泡製再使用一次配對公設,則又可以製造出{Ø, {Ø}}這個集合。把剛剛的成果表列整理一下就是:

0 = Ø

1 = {Ø} = {0}

2 = {Ø, {Ø}} = {0, 1}

手氣正順,為什麼不繼續往下走呢? 沒有辦法了目前我們只能數到2,比小學一年級的學生還不如,為什麼呢? 因為配對公設只容許我們的集合最多裝兩個成員多了就違反協會組織規定。

雖然當下我們手頭上有三個集合:012配對公設允許我們把任兩個集合抓出來形成一個新的集合比如 {0,2}{0, 1} 都是集合。可是單憑ZF3和ZF4這兩個公設的「法力」並不足以形成像 {0, 1, 2} 這樣的集合所以一切暫時到此為止若要繼續往下數那就必須有新的招數才行。

要突破數到二的限制就在於引進一個神奇公設第五個聯集公設(Axiom of Union):

ZF5 ∀Ƒ∃A ∀X [X ∈ A ↔ ∃ Y (X ∈ Y ∧ Y ∈ Ƒ)]

既然說是神奇公設,則它的數學形式在外觀上就顯得有點複雜,牽涉到的變元很多,而且麻煩的是邏輯符號中的量詞(∃,∀)不容易看出它到底在說什麼。不熟悉數理邏輯符號的讀者請放心,我將再次用日常語言為你破解這個看似茫無頭緒的符號叢林,但首先必須解析這個公設中所涉及的層次。

ZF5討論到的集合有三個層次:最高的是Ƒ接著的AY 屬同一層最低的是X層。為了方便表述這些層次還有聯集的概念,我用豌豆來作比喻。中間層的Y集合可以看成一條豌豆裡面有許多豌豆粒豌豆粒就屬於最低的X層。如果將許多豌豆條集成一堆的話那堆豌豆條就屬於Ƒ如下圖所示:

Ƒ Y A(X)
a b c

 

聯集公設是說如果有一堆豌豆條Y所成的集合Ƒ那將所有豌豆條裡的豌豆粒(X)抓出來可以形成一個新的集合AA集合中的所有成員就是原來所有豌豆條Y中的豆粒。請注意Ƒ與A不同之處在於Ƒ的成員是豌豆條A的成員是豌豆粒。但這個比喻跟之前所提到的麻袋比喻有相同的缺點因為不同的豌豆條中不會有同一顆豌豆粒但對集合來說卻可以允許不同集合包含相同的成員所以與豌豆比喻稍有不同的是Y層的不同集合之間可能會有相同的成員。還好這沒有影響新形成的集合A只要遵照之前所說的原則同樣的成員不管你寫多少遍還是同一個就可以了。

聯集用符號∪來表示兩個集合A 和B的聯集寫成A ∪ B將此符號推廣到聯集公設Ƒ其中Ƒ所有成員所形成的聯集寫成∪Ƒ = {X: ∃ Y (X ∈ Y Y ∈ Ƒ)} 。所以

{x, y}∪ {z} = {x, y, z}

{x, y} ∪ {z, t} = {x, y, z, t } 就順理成章地被定義下來。

有了聯集這個武器就我們可以建造出一個新集合{0, 1}∪{2}={0, 1, 2}。而{0, 1, 2} = {Ø, {Ø}, {Ø, {Ø}}} ,我們把它定義成 3。用這個新的ZF5居然造出一個新的集合3,再使用一次配對公設發現,{3}也是個集合。然後我們再用一次聯集公設把{0, 1, 2} ∪ {3} 運作一次,又得到一個新的集合 {0, 1, 2, 3} 。

依此類推我們把這個工作程序複製如下L:

3= {0, 1, 2} = {Ø, {Ø}, {Ø, {Ø}}}

4 = {0, 1, 2, 3} = {Ø, {Ø}, {Ø, {Ø}}, {Ø, {Ø}, {Ø, {Ø}}}}

等等。

聰明的讀者應該已經發現有了聯集公設這個威力無窮的工具,你可以建構出任何自然數,要多大就可以有多大。依照這些公設的運作你會發現所有自然數本質上都是集合,它們不只具有我們從小就被教會的素僕的算術性質而且都符合嚴格的集合定義。比如3不只是直觀上的數字3它也同時是以0, 1, 2這三個集合為成員所形成的集合。每一個數字當然還是數字但它們可以用集合來定義而且可以從集合論的公設中被依序製造出來。

從哲學的觀點俯視整個公設化集合論可以發現,在它裡頭並不需要假設任何實體事物存在,比如蘋果,水牛,原子,茶杯或太陽等等,唯一需要的只有集合。可以說在沒學會公設化集合論之前,你並不知道空手套白狼的境界可以有多麼高深。只需擁有一個什麼都沒有的集合,竟然可以憑藉ZF3-ZF5這三個公設就讓我們從虛無之中建造出所有的自然數,這就是公設化集合論奇蹟似的從無中生有的「創業」過程。

文章難易度
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翁 昌黎
18 篇文章 ・ 2 位粉絲
中央大學哲學研究所碩士,曾籌劃本土第一場「認知科學與佛教禪修系統」對話之大型研討會,於1995年6月在法光佛教研究所舉行,並發表文章。後隱居紐西蘭,至今已20載。 長年關注「意識轉變狀態的科學」和「意識本質的科學與哲學」問題,曾與大寶法王辯經教授師拿旺桑結堪布成立「大乘佛教禪修研究中心」。其他研究興趣為「唯識學」、「超個人心理學」、「數理邏輯」、「公設化集合論」和「後設數學」等等。

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羅素誕辰│科學史上的今天:05/18
張瑞棋_96
・2015/05/18 ・1203字 ・閱讀時間約 2 分鐘 ・SR值 569 ・九年級

國民法官生存指南:用足夠的智識面對法庭裡的一切。

1961 年 9 月,高齡 89 歲的羅素爵士(Bertrand Russell, 1872-1970)因煽動公民不服從以達成反核武訴求而遭到起訴,法官好心提供他免於牢獄之災的機會──只要他承諾從此奉公守法。羅素悍然拒絕,昂首入獄坐監七天。

在牢中的羅素應會想起近半世紀前,他也遭逢類似的情境。1914 年,第一次世界大戰爆發,他因反對戰爭而鼓吹青年不要從軍,結果他任教的劍橋大學三一學院給他兩條路:繳交一百英鎊罰金,否則捲鋪蓋走路。他當然不受威脅。四年後他又因反戰言論而被判刑六個月,他甘之如飴,在獄中完成《數學哲學導論》,以較易懂的方式介紹他與老師懷海德(Alfred Whitehead)合寫的《數學原理》。

這三大卷的巨著可是他與老師懷海德為了建構出真正完備的數學體系,自1900年起,花了十年光陰從地基開始一磚一瓦築成的心血結晶啊!為什麼要如此大費周章?因為舊有的數學體系已搖搖欲墜,一些所謂「不證自明」的公設根本經不起考驗(例如歐氏幾何中的平行公設);甚至當代大師康托爾等人企圖打造為數學根基的集合論,也被他的「理髮師悖論」(又稱「羅素悖論」)戳出漏洞。因此他才決定回歸邏輯,把數學建立在無懈可擊的邏輯推理上,這也是為什麼花 362 頁證明 1+1=2 是必要的。

然而他的《數學原理》竟成了粉碎聖杯美夢的墊腳石。25 歲的哥德爾受到這本著作的啟發(他會是世上唯一讀完它的人嗎?)於 1931 年提出「不完備定理」,證明不存在同時具有一致性與完備性的系統,他們這一代的努力都只是徒勞!

枉費他創建分析哲學,將哲學問題全面改用嚴謹的邏輯與數學描述,以避免語意上的誤解。更加諷刺的是,他原本寄予厚望的得意門生維根斯坦,後來竟背棄他以邏輯符號取代文字敘述的主張,反而認為世界根本是由語言塑造的。

但他已習慣命運的嘲弄了。崇尚邏輯思考的他,一生竟要籠罩在家族的精神病史陰影下,深恐自己也會遺傳此病。當他年老慶幸自己安然逃過一劫,孰知長子仍難逃精神分裂的宿命。

縱然人生充滿無奈,羅素仍堅守理性主義、自由精神與人道主義。他於 1950 年以《西方哲學史》一書獲頒諾貝爾文學獎,以表揚他「以多元且深具意義的著作捍衛人性與思想自由」;頒獎辭中形容他「在人類知識與數理邏輯方面,他的研究成果可以媲美牛頓在力學方面的成就。」

身為二十世紀最重要的思想巨擘之一,羅素也以行動積極參與公共事務,包括投入教育工作、主張裁減核武、宣揚反戰理念、鼓吹和平主義。死前兩天,他還發表聲明譴責以色列的擴張行動。羅素在宗教上是不可知論者,因此死後依其遺願沒有舉行宗教儀式,骨灰灑於山際。

 

 

本文同時收錄於《科學史上的今天:歷史的瞬間,改變世界的起點》,由究竟出版社出版。

張瑞棋_96
423 篇文章 ・ 659 位粉絲
1987年清華大學工業工程系畢業,1992年取得美國西北大學工業工程碩士。浮沉科技業近二十載後,退休賦閒在家,當了中年大叔才開始寫作,成為泛科學專欄作者。著有《科學史上的今天》一書;個人臉書粉絲頁《科學棋談》。

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公設化集合論的奧秘 (5) 建構所有自然數的神奇魔術師—聯集公設
翁 昌黎
・2014/12/15 ・2871字 ・閱讀時間約 5 分鐘 ・SR值 532 ・七年級

國民法官生存指南:用足夠的智識面對法庭裡的一切。

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文 / 翁昌黎(《孔恩vs.波普》中文譯者)

「道生一, 一生二, 二生三, 三生萬物」-老子

介紹完配對公設之後,我們已經具備了製造多達兩個成員的機器,宛如造出兩塊錢的印鈔機,儘管我們還沒有將錢實際印出來。但集合論的「創業」過程並非一帆風順,羅素詭論就有如金融風暴般席捲我們的理念世界,我們只好先騰出手將它擺平之後再繼續「積累資本」。現在就讓我們繼續用公設化集合論手頭上的這兩塊錢來白手起家吧!

那就先回顧一下目前手頭上有哪些武器可資利用。第一個外延公設只是規定集合之間的辨認程序,就是在什麼情況下兩個集合等同卻沒告訴我們可以構造出什麼樣的集合。這就好比我告訴你兩張一模一樣的50元鈔票可以換成一張100元的鈔票但你卻連5毛錢的銅板都沒見過一樣。第二個分割公設也好不到哪裡去它雖然把羅素詭論解決了但並沒有允諾給我們任何集合。它說的是可以從某個已經存在的集合X中切割出滿足特定條件的集合Y。從集合論的「創業」觀點來看,這個公設類似一紙空合約,因為如果你已經擁有100元那你鐵定擁有其中的20元。
前兩個公設只規定集合應該遵守的法規但沒有告訴我們如何把集合建立起來。現在來看ZF3空集合公設,它給了我們一個集合,可是裡面卻什麼都沒有,等於給了張空頭支票。但別灰心,因為整個故事就從這張空頭支票開始。

一般我們用記號Ø 來表示空集合它也可以寫成{ }表示集合裡頭沒有任何成員。而集合Ø的存在是空集公設直接規定的:

ZF3 xy¬ (y x)

說的是∃(存在)x這樣的集合¬表示邏輯符號「非」(not),所以以上公設是說任何集合都不是x的成員,所以它是一個一無所有的集合。但我們所熟悉的自然數0, 1, 2, 3…等卻都可以從空集合依序造出來。

具體該怎麼做? 首先我們用Ø來定義0所以0 = Ø接下來怎麼辦呢? 看來這個公設無法再多給我們什麼了,我們現在請出第四個配對公設:

ZF4 xy z u [u∈z → (u=x u=y)]

這個公設允許某個最多包含兩個成員的Z集合存在而且Z = { u: u=x u=y} = {x, y}有個特殊情況是如果x = y那麼Z就只剩下一個成員{x}。{x} 與{x, x} 在定義上是一樣的也就是說同樣的成員不管你寫多少遍還是同一個成員。

經由以上分析配對公設的意思是如果我們手頭上已經有了兩個集合 (比如x y) 那麼以x為成員的類{x}和以x y為成員的類{x, y}就都是集合。配對公設允許我們抓兩個集合來形成最多有兩個元素的新集合。

根據ZF3,我們手頭上已經有集合Ø,所以再根據配對公設ZF4,{Ø}也可以形成一個集合,它含有一個成員—─就是空集合。手氣不錯,現在我們已經有Ø和{Ø}兩個集合了。聰明的讀者可以猜出來,如法泡製再使用一次配對公設,則又可以製造出{Ø, {Ø}}這個集合。把剛剛的成果表列整理一下就是:

0 = Ø

1 = {Ø} = {0}

2 = {Ø, {Ø}} = {0, 1}

手氣正順,為什麼不繼續往下走呢? 沒有辦法了目前我們只能數到2,比小學一年級的學生還不如,為什麼呢? 因為配對公設只容許我們的集合最多裝兩個成員多了就違反協會組織規定。

雖然當下我們手頭上有三個集合:012配對公設允許我們把任兩個集合抓出來形成一個新的集合比如 {0,2}{0, 1} 都是集合。可是單憑ZF3和ZF4這兩個公設的「法力」並不足以形成像 {0, 1, 2} 這樣的集合所以一切暫時到此為止若要繼續往下數那就必須有新的招數才行。

要突破數到二的限制就在於引進一個神奇公設第五個聯集公設(Axiom of Union):

ZF5 ∀Ƒ∃A ∀X [X ∈ A ↔ ∃ Y (X ∈ Y ∧ Y ∈ Ƒ)]

既然說是神奇公設,則它的數學形式在外觀上就顯得有點複雜,牽涉到的變元很多,而且麻煩的是邏輯符號中的量詞(∃,∀)不容易看出它到底在說什麼。不熟悉數理邏輯符號的讀者請放心,我將再次用日常語言為你破解這個看似茫無頭緒的符號叢林,但首先必須解析這個公設中所涉及的層次。

ZF5討論到的集合有三個層次:最高的是Ƒ接著的AY 屬同一層最低的是X層。為了方便表述這些層次還有聯集的概念,我用豌豆來作比喻。中間層的Y集合可以看成一條豌豆裡面有許多豌豆粒豌豆粒就屬於最低的X層。如果將許多豌豆條集成一堆的話那堆豌豆條就屬於Ƒ如下圖所示:

Ƒ Y A(X)
a b c

 

聯集公設是說如果有一堆豌豆條Y所成的集合Ƒ那將所有豌豆條裡的豌豆粒(X)抓出來可以形成一個新的集合AA集合中的所有成員就是原來所有豌豆條Y中的豆粒。請注意Ƒ與A不同之處在於Ƒ的成員是豌豆條A的成員是豌豆粒。但這個比喻跟之前所提到的麻袋比喻有相同的缺點因為不同的豌豆條中不會有同一顆豌豆粒但對集合來說卻可以允許不同集合包含相同的成員所以與豌豆比喻稍有不同的是Y層的不同集合之間可能會有相同的成員。還好這沒有影響新形成的集合A只要遵照之前所說的原則同樣的成員不管你寫多少遍還是同一個就可以了。

聯集用符號∪來表示兩個集合A 和B的聯集寫成A ∪ B將此符號推廣到聯集公設Ƒ其中Ƒ所有成員所形成的聯集寫成∪Ƒ = {X: ∃ Y (X ∈ Y Y ∈ Ƒ)} 。所以

{x, y}∪ {z} = {x, y, z}

{x, y} ∪ {z, t} = {x, y, z, t } 就順理成章地被定義下來。

有了聯集這個武器就我們可以建造出一個新集合{0, 1}∪{2}={0, 1, 2}。而{0, 1, 2} = {Ø, {Ø}, {Ø, {Ø}}} ,我們把它定義成 3。用這個新的ZF5居然造出一個新的集合3,再使用一次配對公設發現,{3}也是個集合。然後我們再用一次聯集公設把{0, 1, 2} ∪ {3} 運作一次,又得到一個新的集合 {0, 1, 2, 3} 。

依此類推我們把這個工作程序複製如下L:

3= {0, 1, 2} = {Ø, {Ø}, {Ø, {Ø}}}

4 = {0, 1, 2, 3} = {Ø, {Ø}, {Ø, {Ø}}, {Ø, {Ø}, {Ø, {Ø}}}}

等等。

聰明的讀者應該已經發現有了聯集公設這個威力無窮的工具,你可以建構出任何自然數,要多大就可以有多大。依照這些公設的運作你會發現所有自然數本質上都是集合,它們不只具有我們從小就被教會的素僕的算術性質而且都符合嚴格的集合定義。比如3不只是直觀上的數字3它也同時是以0, 1, 2這三個集合為成員所形成的集合。每一個數字當然還是數字但它們可以用集合來定義而且可以從集合論的公設中被依序製造出來。

從哲學的觀點俯視整個公設化集合論可以發現,在它裡頭並不需要假設任何實體事物存在,比如蘋果,水牛,原子,茶杯或太陽等等,唯一需要的只有集合。可以說在沒學會公設化集合論之前,你並不知道空手套白狼的境界可以有多麼高深。只需擁有一個什麼都沒有的集合,竟然可以憑藉ZF3-ZF5這三個公設就讓我們從虛無之中建造出所有的自然數,這就是公設化集合論奇蹟似的從無中生有的「創業」過程。

文章難易度
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中央大學哲學研究所碩士,曾籌劃本土第一場「認知科學與佛教禪修系統」對話之大型研討會,於1995年6月在法光佛教研究所舉行,並發表文章。後隱居紐西蘭,至今已20載。 長年關注「意識轉變狀態的科學」和「意識本質的科學與哲學」問題,曾與大寶法王辯經教授師拿旺桑結堪布成立「大乘佛教禪修研究中心」。其他研究興趣為「唯識學」、「超個人心理學」、「數理邏輯」、「公設化集合論」和「後設數學」等等。