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公設化集合論的奧秘 (5) 建構所有自然數的神奇魔術師—聯集公設

翁 昌黎
・2014/12/15 ・2871字 ・閱讀時間約 5 分鐘 ・SR值 532 ・七年級

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文 / 翁昌黎(《孔恩vs.波普》中文譯者)

「道生一, 一生二, 二生三, 三生萬物」-老子

介紹完配對公設之後,我們已經具備了製造多達兩個成員的機器,宛如造出兩塊錢的印鈔機,儘管我們還沒有將錢實際印出來。但集合論的「創業」過程並非一帆風順,羅素詭論就有如金融風暴般席捲我們的理念世界,我們只好先騰出手將它擺平之後再繼續「積累資本」。現在就讓我們繼續用公設化集合論手頭上的這兩塊錢來白手起家吧!

那就先回顧一下目前手頭上有哪些武器可資利用。第一個外延公設只是規定集合之間的辨認程序,就是在什麼情況下兩個集合等同卻沒告訴我們可以構造出什麼樣的集合。這就好比我告訴你兩張一模一樣的50元鈔票可以換成一張100元的鈔票但你卻連5毛錢的銅板都沒見過一樣。第二個分割公設也好不到哪裡去它雖然把羅素詭論解決了但並沒有允諾給我們任何集合。它說的是可以從某個已經存在的集合X中切割出滿足特定條件的集合Y。從集合論的「創業」觀點來看,這個公設類似一紙空合約,因為如果你已經擁有100元那你鐵定擁有其中的20元。
前兩個公設只規定集合應該遵守的法規但沒有告訴我們如何把集合建立起來。現在來看ZF3空集合公設,它給了我們一個集合,可是裡面卻什麼都沒有,等於給了張空頭支票。但別灰心,因為整個故事就從這張空頭支票開始。

一般我們用記號Ø 來表示空集合它也可以寫成{ }表示集合裡頭沒有任何成員。而集合Ø的存在是空集公設直接規定的:

ZF3 xy¬ (y x)

說的是∃(存在)x這樣的集合¬表示邏輯符號「非」(not),所以以上公設是說任何集合都不是x的成員,所以它是一個一無所有的集合。但我們所熟悉的自然數0, 1, 2, 3…等卻都可以從空集合依序造出來。

具體該怎麼做? 首先我們用Ø來定義0所以0 = Ø接下來怎麼辦呢? 看來這個公設無法再多給我們什麼了,我們現在請出第四個配對公設:

ZF4 xy z u [u∈z → (u=x u=y)]

這個公設允許某個最多包含兩個成員的Z集合存在而且Z = { u: u=x u=y} = {x, y}有個特殊情況是如果x = y那麼Z就只剩下一個成員{x}。{x} 與{x, x} 在定義上是一樣的也就是說同樣的成員不管你寫多少遍還是同一個成員。

經由以上分析配對公設的意思是如果我們手頭上已經有了兩個集合 (比如x y) 那麼以x為成員的類{x}和以x y為成員的類{x, y}就都是集合。配對公設允許我們抓兩個集合來形成最多有兩個元素的新集合。

根據ZF3,我們手頭上已經有集合Ø,所以再根據配對公設ZF4,{Ø}也可以形成一個集合,它含有一個成員—─就是空集合。手氣不錯,現在我們已經有Ø和{Ø}兩個集合了。聰明的讀者可以猜出來,如法泡製再使用一次配對公設,則又可以製造出{Ø, {Ø}}這個集合。把剛剛的成果表列整理一下就是:

0 = Ø

1 = {Ø} = {0}

2 = {Ø, {Ø}} = {0, 1}

手氣正順,為什麼不繼續往下走呢? 沒有辦法了目前我們只能數到2,比小學一年級的學生還不如,為什麼呢? 因為配對公設只容許我們的集合最多裝兩個成員多了就違反協會組織規定。

雖然當下我們手頭上有三個集合:012配對公設允許我們把任兩個集合抓出來形成一個新的集合比如 {0,2}{0, 1} 都是集合。可是單憑ZF3和ZF4這兩個公設的「法力」並不足以形成像 {0, 1, 2} 這樣的集合所以一切暫時到此為止若要繼續往下數那就必須有新的招數才行。

要突破數到二的限制就在於引進一個神奇公設第五個聯集公設(Axiom of Union):

ZF5 ∀Ƒ∃A ∀X [X ∈ A ↔ ∃ Y (X ∈ Y ∧ Y ∈ Ƒ)]

既然說是神奇公設,則它的數學形式在外觀上就顯得有點複雜,牽涉到的變元很多,而且麻煩的是邏輯符號中的量詞(∃,∀)不容易看出它到底在說什麼。不熟悉數理邏輯符號的讀者請放心,我將再次用日常語言為你破解這個看似茫無頭緒的符號叢林,但首先必須解析這個公設中所涉及的層次。

ZF5討論到的集合有三個層次:最高的是Ƒ接著的AY 屬同一層最低的是X層。為了方便表述這些層次還有聯集的概念,我用豌豆來作比喻。中間層的Y集合可以看成一條豌豆裡面有許多豌豆粒豌豆粒就屬於最低的X層。如果將許多豌豆條集成一堆的話那堆豌豆條就屬於Ƒ如下圖所示:

ƑYA(X)
abc

 

聯集公設是說如果有一堆豌豆條Y所成的集合Ƒ那將所有豌豆條裡的豌豆粒(X)抓出來可以形成一個新的集合AA集合中的所有成員就是原來所有豌豆條Y中的豆粒。請注意Ƒ與A不同之處在於Ƒ的成員是豌豆條A的成員是豌豆粒。但這個比喻跟之前所提到的麻袋比喻有相同的缺點因為不同的豌豆條中不會有同一顆豌豆粒但對集合來說卻可以允許不同集合包含相同的成員所以與豌豆比喻稍有不同的是Y層的不同集合之間可能會有相同的成員。還好這沒有影響新形成的集合A只要遵照之前所說的原則同樣的成員不管你寫多少遍還是同一個就可以了。

聯集用符號∪來表示兩個集合A 和B的聯集寫成A ∪ B將此符號推廣到聯集公設Ƒ其中Ƒ所有成員所形成的聯集寫成∪Ƒ = {X: ∃ Y (X ∈ Y Y ∈ Ƒ)} 。所以

{x, y}∪ {z} = {x, y, z}

{x, y} ∪ {z, t} = {x, y, z, t } 就順理成章地被定義下來。

有了聯集這個武器就我們可以建造出一個新集合{0, 1}∪{2}={0, 1, 2}。而{0, 1, 2} = {Ø, {Ø}, {Ø, {Ø}}} ,我們把它定義成 3。用這個新的ZF5居然造出一個新的集合3,再使用一次配對公設發現,{3}也是個集合。然後我們再用一次聯集公設把{0, 1, 2} ∪ {3} 運作一次,又得到一個新的集合 {0, 1, 2, 3} 。

依此類推我們把這個工作程序複製如下L:

3= {0, 1, 2} = {Ø, {Ø}, {Ø, {Ø}}}

4 = {0, 1, 2, 3} = {Ø, {Ø}, {Ø, {Ø}}, {Ø, {Ø}, {Ø, {Ø}}}}

等等。

聰明的讀者應該已經發現有了聯集公設這個威力無窮的工具,你可以建構出任何自然數,要多大就可以有多大。依照這些公設的運作你會發現所有自然數本質上都是集合,它們不只具有我們從小就被教會的素僕的算術性質而且都符合嚴格的集合定義。比如3不只是直觀上的數字3它也同時是以0, 1, 2這三個集合為成員所形成的集合。每一個數字當然還是數字但它們可以用集合來定義而且可以從集合論的公設中被依序製造出來。

從哲學的觀點俯視整個公設化集合論可以發現,在它裡頭並不需要假設任何實體事物存在,比如蘋果,水牛,原子,茶杯或太陽等等,唯一需要的只有集合。可以說在沒學會公設化集合論之前,你並不知道空手套白狼的境界可以有多麼高深。只需擁有一個什麼都沒有的集合,竟然可以憑藉ZF3-ZF5這三個公設就讓我們從虛無之中建造出所有的自然數,這就是公設化集合論奇蹟似的從無中生有的「創業」過程。

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翁 昌黎
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中央大學哲學研究所碩士,曾籌劃本土第一場「認知科學與佛教禪修系統」對話之大型研討會,於1995年6月在法光佛教研究所舉行,並發表文章。後隱居紐西蘭,至今已20載。 長年關注「意識轉變狀態的科學」和「意識本質的科學與哲學」問題,曾與大寶法王辯經教授師拿旺桑結堪布成立「大乘佛教禪修研究中心」。其他研究興趣為「唯識學」、「超個人心理學」、「數理邏輯」、「公設化集合論」和「後設數學」等等。


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解析「福衛七號」的觀測原理——它發射升空後,如何讓天氣預報更準確?

科技大觀園_96
・2021/10/25 ・2915字 ・閱讀時間約 6 分鐘

2019 年 6 月 25 日,福爾摩沙衛星七號(簡稱福衛七號)在國人的引頸期盼下升空。一年多來(編按:以原文文章發佈時間計算),儘管衛星還沒有全部轉換到預定的軌道,但已經回傳許多資料,這些資料對於天氣預報的精進,帶來很大的助益。中央大學大氣系特聘教授黃清勇及團隊成員楊舒芝教授、陳舒雅博士最近的研究主題,就是福衛七號傳回的資料,對天氣預報能有哪些改善。

掩星觀測的原理

要介紹福衛七號帶來的貢獻,得先從它的上一代──福衛三號說起。福衛三號包含了 6 顆氣象衛星,軌道高度 700~800 公里,以 72 度的傾角繞著地球運轉(繞行軌道與赤道夾角為 72 度)。這些衛星提供氣象資訊的方式,是接收更高軌道(約 20,200 公里)的 GPS 衛星所放出的電波,這些電波在行進到氣象衛星的路程中,會從太空進入大氣,並產生偏折,再由氣象衛星接收。換句話說,氣象衛星接收到的電波並不是走直線傳遞來的,而是因為大氣的折射,產生了偏折,藉由偏折角可推得大氣資訊。

▲低軌道衛星(如福衛三號)持續接收 GPS 衛星訊號,直到接收不到為止,整個過程會轉換成一次掩星事件,讓科學家取得大氣溫濕度垂直分佈。圖/黃清勇教授提供

氣象衛星會一邊移動,一邊持續接收電波,直到接收不到為止,在這段過程中,電波穿過的大氣從最高層、較稀薄的大氣,逐漸變為最底層、最接近地面的大氣,科學家能將這段過程中每一層大氣所造成的偏折角,通過計算回推出折射率,而折射率又和大氣溫度、水氣、壓力有關  ,因此可再藉由每個高度的大氣折射率,得出溫濕度垂直分布,這種觀測方式稱為「掩星觀測」。掩星觀測所得到的資料,可以納入數值預報模式,進一步做各種預報分析。 

資料同化──觀測與模式的最佳結合

在將掩星觀測資料納入數值預報模式時,必須先經過「資料同化」的過程。數值預報模式內含動力方程式,可以模擬任何一個位置的氣塊的運動,但是因為大氣環境非常複雜,模擬時不可能納入全部的動力條件,因此模擬結果不一定正確。而另一方面,掩星觀測資料提供的是真實觀測資訊,楊舒芝形容:「觀測就像拿著照相機拍照,不管什麼動力方程式,拍到什麼就是什麼。」但是,觀測的分布是不均勻的—唯有觀測過的位置,我們才會有觀測資料。

所以,我們一手擁有分布不均勻但很真實的觀測資料,另一手擁有很全面但可能不太正確的模式模擬。資料同化就是結合這兩者,找到一個最具代表性的大氣初始分析場,再以這個分析場為起點,去做後續的預報。資料同化正是楊舒芝和陳舒雅的重點工作之一。 

中央大學分別模擬 2010 年梅姬颱風和 2013 年海燕颱風的路徑,發現加入福三掩星觀測資料之後,可以降低颱風模擬路徑的誤差。圖/黃清勇教授提供

由於掩星觀測取得的資料與大氣的溫度、濕度、壓力有密切關係,因此在預報颱風、梅雨或豪大雨等與水氣量息息相關的天氣時,帶來重要的幫助。黃清勇的團隊針對福衛三號的掩星觀測資料對天氣預報的影響,做了許多模擬與研究,發現在預測颱風或氣旋生成、預報颱風路徑,以及豪大雨的降雨區域及雨量等,納入福衛三號的掩星觀測資料,都能有效提升預報的準確度。

黃清勇進一步說明,由於颱風都是在海面上生成的,而掩星觀測技術仰賴的是繞著地球運行的衛星來收集資料,相較於一般位於陸地上的觀測站,更能夠取得海上大氣資料,因此對於預測颱風的生成有很好的幫助。另一方面,這些資料也能幫助科學家掌握大氣環境,例如對於太平洋高壓的範圍抓得很準確,那麼對颱風路徑的預測自然也會更準。根據團隊的研究,加入福衛三號的掩星觀測資料,平均能將 72 小時颱風路徑預報的誤差減少約 12 公里,相當於改進了 5%。

豪大雨的預測則不只溫濕度等資訊,還需要風場資訊的協助,楊舒芝以 2008 年 6 月 16 日臺灣南部降下豪大雨的事件做為舉例,一般來說豪大雨都發生在山區,但這次的豪大雨卻集中在海岸邊,而且持續時間很久。為了找出合理的預測模式,楊舒芝探討了如何利用掩星觀測資料來修正風場。 

從 2008 年 6 月 16 日的個案發現,掩星資料有助於研究團隊掌握西南氣流的水氣分佈。上圖 CNTL 是未使用掩星資料的控制組,而 REF 和 BANGLE 皆有加入掩星資料(同化算子不一樣),有掩星資料可明顯改善模擬,更接近觀測值(Observation)。圖/黃清勇教授提供

福衛七號接棒觀測

隨著福衛三號的退休,福衛七號傳承了氣象觀測的重責大任。福衛七號也包含了 6 顆氣象衛星,不過它和福衛三號有些不同之處。

福衛三號是以高達 72 度的傾角繞著地球運轉,取得的資料點分布比較均勻,高緯度地區會比低緯度地區密集一些。相較之下,福衛七號的傾角只有 24 度,它所觀測的點集中在南北緯 50 度之間,對臺灣所在的副熱帶及熱帶地區來說,密集度更高;加上福衛七號收集的電波來源除了美國的 GPS 衛星,還增加了俄國的 GLONASS 衛星,這些因素使得在低緯度地區,福衛七號所提供的掩星觀測資料將比福衛三號多出約四倍,每天可達 4,000 筆。

福衛三號與福衛七號比較表。圖/fatcat 11 繪

另一方面,福衛七號的軟硬體比起福衛三號更加先進,可以獲得更低層的大氣資料,而因為水氣主要都集中在低層,所以福衛七號對水氣掌握會比福衛三號更具優勢。

從福衛三號到福衛七號,其實模式也在逐漸演進。早期的模式都是納入「折射率」進行同化,而折射率又是從掩星觀測資料測得的偏折角計算出來的。「偏折角」是衛星在做觀測時,最直接觀測到的數據,相較之下,折射率是計算出來的,就像加工過的產品,一定有誤差。因此,近來各國學者在做數值模擬時,愈來愈多都是直接納入偏折角,而不採用折射率。黃清勇解釋:「直接納入偏折角會增加模式計算的複雜度,也會增加運算所需的時間,而預報又是得追著時間跑的工作,因此早期才會以折射率為主。」不過現在由於電腦的運算能力與模式都已經有了進步,因此偏折角逐漸成為主流的選擇。 

由左至右依序為,楊舒芝教授、黃清勇特聘教授、陳舒雅助理研究員。圖/簡克志攝

福衛七號其實還沒有全部轉換到預定的軌道,不過這一年多來的掩星觀測資料,已經讓中央氣象局對熱帶地區的天氣預報,準確度提升了 4~10%;陳舒雅也以今年 8 月的哈格比颱風為案例,成功地利用福衛七號的掩星觀測資料,模擬出哈格比颱風的生成。

除了福衛七號,還有一顆稱為「獵風者」的實驗型衛星,預計 2022 年將會升空。獵風者的任務是接收從地表反射的 GPS 衛星電波,然後推估風速。可以想見,一旦有了獵風者的加入,我們對大氣環境的掌握度勢必更好,對於颱風等天氣現象的預報也能更加準確。就讓我們一起期待吧!

科技大觀園_96
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為妥善保存多年來此類科普活動產出的成果,並使一般大眾能透過網際網路分享科普資源,科技部於2007年完成「科技大觀園」科普網站的建置,並於2008年1月正式上線營運。 「科技大觀園」網站為一數位整合平台,累積了大量的科普影音、科技新知、科普文章、科普演講及各類科普活動訊息,期使科學能扎根於每個人的生活與文化中。
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