立體機動裝置是有多給力？——進擊的物理學

credit: CC by Danny Choo@flickr

文 / 岳佐橋（台大機械工程學系）
編 / PanSci
（原文發表於巴哈姆特哈啦區）

立體機動裝置到底給了兵團增加了多少戰鬥力？在氣體耗盡之後會讓單兵如此慌張。

計算後發現，決定機動速度的關鍵在於擺盪的長度，噴射氣體只增加了些微速度。

而且噴射氣體的輸出最多100牛頓，否則會超過一般人體能承受的g值（重力加速度），讓戰鬥更困難。

以下是詳細推導流程，計算後的飛行時速度與加速度理論值可能落在的範圍。由於不考慮空氣阻力，所以一切理論值都需下修才會接近實際值。

計算的理論基礎假設：

1. 艾連腰力夠給力，不會輕易「腰」折，且將艾連視為質點以簡化計算。
2. 繩索夠給力，不會輕易斷掉。
3. 運動過程中皆假定繩索為緊繃狀態，不考慮繩索可能為非緊繃的情形。
4. 不考慮所有空氣阻力。
5. 運動為單純的鉛垂面圓周運動。

示意圖：

狀況一：單靠繩索擺盪，不使用氣體噴射裝置

已知艾連質量m，經助跑後斜向上起跳初速V₀。經一小段拋物線的飛行後，當速度達 V₀斜向下時，恰射出繩索（長度已知 R）並沿圓周路徑盪至最低點時，鉛直方向下降高度差為h。

試算：最低點B處的速度V與體感加速度a

根據「力學能守恆」原理：

A處與B處力學能守恆：E_A = E_B      （A處力學能 = B處力學能）
K_A + U_A = K_B + U_B         （動能_A＋位能_A = 動能_B + 位能_B）

可得v的符號式

設當初艾連將繩索以近似水平的角度射出，因此幾何上可將h近似為繩長R（h≒R）

故得

可得近似的v符號式

又根據曲線運動路徑中，過彎時的向心加速度為以下：

（V：過彎速度；R：過彎路徑曲率半徑）

得 

可得a的符號式

以上由簡單的假設出發，再以理論推算得到我們所關切的最大速度 V 與體感的最大加速度 a 的符號式。

接著來試帶入一些實際數字看看～

設艾連起跳時初速 V₀ = 9 m/s，繩索長度 R = 30 m

22.3 m/s² 約為 2.2755 G

得 最大速度 V = 25.9 m/s 及 最大加速度 a = 22.3 m/s² （約為2.28倍的重力加速度)

原則上艾連助跑後的初速V₀以人體來說大約為 9 m/s，由導出的符號式可觀察出 V 和 a 都與 R 有著較大的關係，R 值可任意帶入2~49 m試試（牆壁最高就50 m了）

若 R = 3 m，V 得 12 m/s，a 得 46.6 m/s² （約為 4.76 倍的重力加速度）
若 R = 45 m，V 得 31 m/s，a 得 21.4 m/s² （約為 2.18 倍的重力加速度）

由以上得結論：

R 由小到大，V 的變化也是由小到大，範圍約在 10 ~ 35 m/s
R 由小到大，a 的變化則是由大到小，範圍約在 20 ~ 48 m/s² （約為 2~4.9 倍的重力加速度）

又平時多數飛行於 3~4m 的建築物之間，繩長 R 約 12m 已足夠
故 R = 12 m，V 得 17.78 m/s，a 得 26.4 m/s² （約為 2.69 倍的重力加速度）

因而推估飛行時絕大部分：

V 範圍為 15~25 m/s
a 範圍為 25~30 m/s² （約為 2.5 ~ 3.1 倍的重力加速度）

狀況二：擺盪期間輔以氣體噴射裝置

說明：沿用上一題的假設，差異只在於圓周軌跡飛行期間，氣體噴射裝置提供穩定推進力F，並對艾連持續作功。

由A至B處過程中，推進力F作功量W如以下：

W = F．S = ∫F．dS = F．∫dS = F*πR/2 = F*（AB弧長）

再根據「功能原理」：

K_A + V_A + W = K_B + V_B（A 處動能 + A 處位能 + 推進力作功量 W = B 處動能 + B 處位能）

可得V的符號式

而曲線運動路徑中，過彎時的向心加速度為

又除了向心速度之外還有由推進力F所造成的切線加速度 = F/m

又依據曲線運動時，過彎的向心加速度

又除了之外，還有由推進力F所造成的切線加速度

可得向心加速度與切線加速度的符號式

我們直接以較貼近實際情形的數字帶入，並試算推進力F～

艾連質量人設上為63kg，再假設起跳初速V₀=9m/s，繩索長R=12m

於上述條件的情況下，再輔以氣體噴射裝置使得艾連承受著3.2倍的重力加速度在運動（大約是坐雲霄飛車承受的重力加速度）

押工程計算機直接求解後…

得推進力F約為100N (牛頓)

和狀況一同樣繩索12公尺長（R=12 m），速度V約為19.39 m/s，只比沒有噴射氣體時的17.78 m/s，多了1.61 m/s而已。

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