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從什麽時候開始,冬天變得越來越熱——用統計學的「改變點」及「紀錄」探討台北暖冬的異常現象

林澤民_96
・2021/02/09 ・4346字 ・閱讀時間約 9 分鐘 ・SR值 541 ・八年級

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台灣這幾天比較冷,但暖冬仍然是全球暖化過程中一個明顯的趨勢。一般以為全球暖化始於 19 世紀末葉先進國家積極工業化的時候,但世界各地工業化的進程不同,暖化的趨勢也會有所差異。當工業化在全球範圍內日益普及,各地暖化趨勢便益見明顯,但還要等到 20 世紀下半葉這趨勢才明顯到引起各國的注意。

始於19世紀末葉先進國家積極工業化造成的全球暖化,使暖冬成爲明顯的趨勢。圖/作者林澤民提供

在美國,一直要到 1988 年氣候變化才正式成為官方關切的議題。這一年的 6 月 23 日,NASA 太空研究所(GISS)主任 James E. Hansen 在參議院能源及自然資源委員會作證指出:「全球暖化的程度已經顯著到讓我們確信溫室效應與暖化趨勢具有因果關係。依我的意見,我們已經偵測出了溫室效應,而且這效應正在影響我們的氣候。」

以筆者居住的德州奧斯汀市而言,氣溫紀錄始於 19 世紀末期。我用統計學「改變點」(change point)的方法分析每年最高溫及最低溫的時間序列,檢測出年低溫最顯著的改變點在 Hansen 作證之後 3 年的 1991 年,而年高溫的改變點還要更後,在 1998 年。這與筆者個人體驗大致相符。

台北氣溫變化趨勢的改變點

「改變點」的檢測是時間序列分析的統計方法,它用來判定時間序列的資料產生過程是否有不連續點的存在。它在 1930 年代就曾被產業界用來監控產品的製造過程,其後經過數學家的深入研究,在近 20 年來蓬勃發展,廣泛被應用於環保、疫情、醫療、軍事、反恐等各領域。筆者個人就曾用類似的研究方法發現美國歷史上,選民的投票行為在二十世紀 20-30 年代之間曾經發生過質性的變化。去年五月,頂級學術期刊 Science 也有研究論文檢測新冠肺炎在德國傳播趨勢的改變點,肯定了政府干預措施的有效性。CBS 電視影集「數字」(Numb3rs)甚至有一集演出「夢幻棒球」玩家用改變點方法檢測大聯盟球員使用禁藥提高打擊率的故事。

台灣的氣溫紀錄也始於 19 世紀末。根據 Jasmine Kuo 提供的台北市年低溫歷史資料,台北市每年最低溫的改變點在 1975 年,而年高溫的改變點則要到 2001 年。台北市年低溫的改變比奧斯汀要早,這也許跟地形、地理位置、人口、以及工業化程度有關。

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理論上,年高溫及年低溫都不是常態分布,而是呈現所謂極端值分布(extreme value distribution)。圖一及圖二以上述改變點為斷點,分別估計年高溫及年低溫在各自改變點前、後的極端值分布。這兩張圖讓我們清楚看出改變點前後的明顯差異:改變點之後,年高溫及年低溫的分布均明顯往高溫方向移動。年高溫在 2001 之後的平均值增加了攝氏 1.44 度,而年低溫在 1975 之後的平均值則更誇張地增加了將近兩倍的 2.81 度!

年高溫在 2001 之後的平均值增加了攝氏 1.44 度。圖/轉自作者部落格
年低溫在 1975 之後的平均值誇張地增加了將近兩倍的 2.81 度!圖/轉自作者部落格

時間序列資料產生過程的變化除了可以用改變點的統計方法來檢測斷點以外,也可以用 「紀錄」(record)發生的機率理論來分析異常現象。事實上,事件發生頻率的改變也是改變點研究的數學方法之一。本文以下即以紀錄理論進一步探討台北市年低溫在 1975 年之後新紀錄節節升高的現象。

破紀錄次數的機率分布説明台北市年低溫變遷出現異常

台北市 1897-2020 年低溫時間序列顯示,1897 年台北市的最低溫是攝氏 5 度。以此為資料中的第一個紀錄,124 年來,有 9 個新的紀錄出現,分別是:1899(7.2度),1905(7.6度),1909(8.1度),1912(8.2度),1976(8.5度),1983(9.3度),1988(10度),2017(10.4度),2019(11.6度)。見圖三時間序列中的黑點。

從 1897 到 2020 百年之間,臺北市的低溫「記錄」有越來越高的趨勢。圖/轉自作者部落格

124 年間有 10 個紀錄是正常現象嗎?這個問題,可以用機率理論做精確的回答。

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機率理論對「記錄」的研究有很完整的系統。其數學繁複,但相當有趣,有興趣的讀者可以找相關書籍來看,例如 Jiri Andel(2001)的 Mathematics of Chance

這個理論從一個前提出發:觀察序列中的資料是遵循相同機率分布而且相互獨立(iid,編按:Independently and identically distributed)的隨機變數。在這個假設之下,我們可以導出在 n 個資料點中有 r 個紀錄(包括第一個資料點)的機率分布。這個前提可以說是「正常」狀況的「虛無假設」:它代表觀察序列中資料的產生過程完全相同,沒有任何異常現象或動態趨勢。如果我們的經驗資料與這個假設之下的機率分布不相諧,根據傳統次數主義(frequentist)統計推論的方法,我們可以在一定的統計水平之下拒絕虛無假設而判定異常現象的存在。

若研究假設有方向性時,采用單尾檢定(右圖);若研究假設不特別強調方向性,只注意是否有差異,則通常采用雙尾檢定(左圖)。圖/towardsdatascience

以台北市年低溫的歷史資料來說,我們可以算出在 n = 124 個觀察值的序列資料中出現 r (r = 1,2,3,…,124)個紀錄的機率分布,然後從這分布算出 r 大於或等於 10 的右尾機率。如果這個機率小於相約成俗的顯著水平 0.05,我們判定歷史資料與虛無假設不相諧,從而排除台北市年低溫變遷沒有異常現象的前提。依照傳統統計推論,我們可以做出台北市年低溫變遷有異常現象的結論

以 Rn 代表在 iid 假設之下,n = 124 個序列資料中有 r 個紀錄的隨機變數,圖四便是 Rn = r 的機率分布。從這個機率分布我們可以算得 Rn 的期望值是 E ( Rn ) = 5.40,變異量是 Var ( Rn ) = 3.76,也很容易直接算得右尾機率 P (Rn ≥ 10) = 0.025。因為這個機率小於 0.05,單尾檢定讓我們得到台北市年低溫屢破歷史上限紀錄是異常現象的結論。(如果一定要用雙尾檢定,這個結論就有點勉強。)

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從臺北市低溫歷史資料中出現不同「記錄」機率分佈的單尾檢定,可判斷臺北市的低溫屢破歷史上限紀錄是異常現象。圖/轉自作者部落格

Rn 的機率分布並不容易算,有一個遞歸公式,當 n 較大時,需要很大的計算能量或很久的時間才算得出。要迅速算出,必須用到所謂「第一類史特靈數」(Stirling Numbers of the First Kind)。如果你的軟體沒有這個函數,可以利用這兩個很漂亮的公式來算 Rn 的期望值和變異量:

利用這兩個公式也可算出當 n = 124 時,E ( Rn ) = 5.40,Var ( Rn ) = 3.76。如果我們假設 Rn 的分布是常態分佈,則可以輕易算出以以期望值為中心的 95% 信心區間為(1.49,8.88)。因為經驗值 10 個紀錄在信心區間之外,這個分析也支持台北市年低溫變化異常的結論。不過因為 Rn 的分布並非常態,這個分析並不精確。

新紀錄等待時間的機率急遽下降

應用紀錄之機率理來分析台北市氣溫變化也可以看出 1975 年前後是一個轉捩點。

在 1897 年之後的 9 個新紀錄當中,出現在 1975 年之後短短 45 年之間的就有 5個,平均每 9 年就有一個新紀錄。而在 1976 年前的 80 年中,則平均要將近 16 年才有新的紀錄。事實上,1912 年的紀錄保持了 64 年才被打破。

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也許你會說 1897-1912,在短短 16 年之間不是就有 4 個新紀錄嗎?然而新紀錄的頻率在紀錄開始之時本來就會比較頻繁,日久後要破紀錄會越來越難。紀錄的機率理論可以算在一定時間之內舊紀錄會被打破的機率,其公式如下:

這公式所求的是在第 r – 1 個紀錄發生之後,下一個紀錄的等待時間小於或等於 m 之機率。表一之第六行顯示:從第一個紀錄發生在 1897 年開始,第二個紀錄等待了兩年就發生了,按照上式,第二個紀錄在 2 年之內發生的機率為 0.67。第二個紀錄發生在 1899 年之後,第三個紀錄等待了 6 年發生,而其在 6 年之內發生的機率也是 0.67。第三個紀錄發生在 1905 年之後,第四個紀錄要等待 13 年才發生,而其在 13 年之內發生的機率是 0.31。依此類推。這些機率都不小,雖然紀錄頻頻被打破,並不令人意外。尤其是第五個紀錄發生在 1912 年之後,第六個紀錄要等 64 年才在 1976 年發生,因為等了夠久了,其在這一段期間發生的機率是很高的(0.80)。

1976 年以後極小機率事件頻發,在統計上説明氣候確實出現異常。圖/轉自作者部落格

但從 1976 年以後,這個等到下一個紀錄的機率就急遽下降了。第七個紀錄在 7 年內發生,其機率是 0.08;第八個紀錄在 5 年內發生,其機率是 0.08;第九個紀錄等了 29 年,其機率稍大,但它發生之後,第十個紀錄只等了 2 年就發生,其機率小於 0.03。這樣的小機率事件發生了,如果還說氣候沒有異常,在統計學理上是無法接受的。如果我們換一個角度來看,把 1976 年當作氣候質變之後的第一個紀錄,則其後發生在 1983、1988、2017 的新紀錄其等待時間的機率(0.88,0.38,0.69)都不小,不算奇怪。只有 2019 的紀錄還在 0.05 的水平之內,不過這也可以說氣候變化越來越厲害了。

從新紀錄的等待時間來探討氣候變遷還可以看看新紀錄發生的平均時間。不過很奇妙的是:機率理論告訴我們,新紀錄雖然一定會發生(發生的機率為 1),其發生時間的期望值或理論平均數卻是無窮大,即使第二個紀錄也是一樣。以第二個紀錄為例,其發生時間為 2,3,4,…,t,…年的機率分別為 1/2,1/6,1/12,… 1 / t ( t – 1 ),…,所以期望值為 1 + 1/2 + 1/3 + … + 1 / ( t – 1 ) + …。這是有名的無窮和諧數列,它不是收斂數列,其和無窮大。其它的紀錄也是一樣。

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不過我們雖然不能算發生時間的期望值,卻能算中位數,也就是發生機率最接近 1/2 的時間點。表一的第七行列出各紀錄發生時間的中位點。我們可以看到,一直到 1976 年的第六個紀錄為止,中位時間點都還算合理。此後,第七個紀錄的中位發生點要在 1897 年算起的第 424 年,第七個紀錄在第 1166 年,第九個紀錄在第 3200 年,第十個紀錄在第 8717 年。這些紀錄的中位發生時間在這麼久遠之後,如果說沒有氣候變化,誰能相信?

附帶一提,1897 – 2020 之間台北市年低溫往下探的紀錄,包括 1897 年的第一個紀錄,124 年之間只有三個:1897(5度),1898(3.3度),1902(-0.2度)。從 1902 年以來,118 年之中,-0.2 度的紀錄沒有被突破!(不過 P ( Rn ≤3 ) = 0.162 並不足以作為氣溫變化異常的統計證據。)

參考資料

  1. 齊斯.德福林(Keith Devlin)、蓋瑞.洛頓(Gary Lorden)著,蘇俊鴻、蘇惠玉等譯。2016。〈改變點偵測:災難即將發生的證據何時開始浮現?〉,《案發現場:FBI警探和數學家的天作之合》(The Numbers behind Numb3rs: Solving Crime with Mathematics)第四章。八旗文化。
  2. Jiri Andel, 2001. “Records.” Chapter 4 of Mathematics of Chance. Wiley.
  3. 盧孟明、卓盈旻等著。2012。〈台灣氣候變化:1911-2009年資料分析〉。中央氣象局。
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林澤民_96
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台大電機系畢業,美國明尼蘇達大學政治學博士, 現任教於美國德州大學奧斯汀校區政府系。 林教授每年均參與中央研究院政治學研究所及政大選研中心 「政治學計量方法研習營」(Institute for Political Methodology)的教學工作, 並每兩年5-6月在台大政治系開授「理性行為分析專論」密集課程。 林教授的中文部落格多為文學、藝術、政治、社會、及文化評論。

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快!還要更快!讓國家級地震警報更好用的「都會區強震預警精進計畫」
鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2024/01/21 ・2584字 ・閱讀時間約 5 分鐘

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本文由 交通部中央氣象署 委託,泛科學企劃執行。

  • 文/陳儀珈

從地震儀感應到地震的震動,到我們的手機響起國家級警報,大約需要多少時間?

臺灣從 1991 年開始大量增建地震測站;1999 年臺灣爆發了 921 大地震,當時的地震速報系統約在震後 102 秒完成地震定位;2014 年正式對公眾推播強震即時警報;到了 2020 年 4 月,隨著技術不斷革新,當時交通部中央氣象局地震測報中心(以下簡稱為地震中心)僅需 10 秒,就可以發出地震預警訊息!

然而,地震中心並未因此而自滿,而是持續擴建地震觀測網,開發新技術。近年來,地震中心執行前瞻基礎建設 2.0「都會區強震預警精進計畫」,預計讓臺灣的地震預警系統邁入下一個新紀元!

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連上網路吧!用建設與技術,換取獲得地震資料的時間

「都會區強震預警精進計畫」起源於「民生公共物聯網數據應用及產業開展計畫」,該計畫致力於跨部會、跨單位合作,由 11 個執行單位共同策畫,致力於優化我國環境與防災治理,並建置資料開放平台。

看到這裡,或許你還沒反應過來地震預警系統跟物聯網(Internet of Things,IoT)有什麼關係,嘿嘿,那可大有關係啦!

當我們將各種實體物品透過網路連結起來,建立彼此與裝置的通訊後,成為了所謂的物聯網。在我國的地震預警系統中,即是透過將地震儀的資料即時傳輸到聯網系統,並進行運算,實現了對地震活動的即時監測和預警。

地震中心在臺灣架設了 700 多個強震監測站,但能夠和地震中心即時連線的,只有其中 500 個,藉由這項計畫,地震中心將致力增加可連線的強震監測站數量,並優化原有強震監測站的聯網品質。

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在地震中心的評估中,可以連線的強震監測站大約可在 113 年時,從原有的 500 個增加至 600 個,並且更新現有監測站的軟體與硬體設備,藉此提升地震預警系統的效能。

由此可知,倘若地震儀沒有了聯網的功能,我們也形同完全失去了地震預警系統的一切。

把地震儀放到井下後,有什麼好處?

除了加強地震儀的聯網功能外,把地震儀「放到地下」,也是提升地震預警系統效能的關鍵做法。

為什麼要把地震儀放到地底下?用日常生活來比喻的話,就像是買屋子時,要選擇鬧中取靜的社區,才不會讓吵雜的環境影響自己在房間聆聽優美的音樂;看星星時,要選擇光害比較不嚴重的山區,才能看清楚一閃又一閃的美麗星空。

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地表有太多、太多的環境雜訊了,因此當地震儀被安裝在地表時,想要從混亂的「噪音」之中找出關鍵的地震波,就像是在搖滾演唱會裡聽電話一樣困難,無論是電腦或研究人員,都需要花費比較多的時間,才能判讀來自地震的波形。

這些環境雜訊都是從哪裡來的?基本上,只要是你想得到的人為震動,對地震儀來說,都有可能是「噪音」!

當地震儀靠近工地或馬路時,一輛輛大卡車框啷、框啷地經過測站,是噪音;大稻埕夏日節放起絢麗的煙火,隨著煙花在天空上一個一個的炸開,也是噪音;台北捷運行經軌道的摩擦與震動,那也是噪音;有好奇的路人經過測站,推了推踢了下測站時,那也是不可忽視的噪音。

因此,井下地震儀(Borehole seismometer)的主要目的,就是盡量讓地震儀「遠離塵囂」,記錄到更清楚、雜訊更少的地震波!​無論是微震、強震,還是來自遠方的地震,井下地震儀都能提供遠比地表地震儀更高品質的訊號。

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地震中心於 2008 年展開建置井下地震儀觀測站的行動,根據不同測站底下的地質條件,​將井下地震儀放置在深達 30~500 公尺的乾井深處。​除了地震儀外,站房內也會備有資料收錄器、網路傳輸設備、不斷電設備與電池,讓測站可以儲存、傳送資料。

既然井下地震儀這麼強大,為什麼無法大規模建造測站呢?簡單來說,這一切可以歸咎於技術和成本問題。

安裝井下地震儀需要鑽井,然而鑽井的深度、難度均會提高時間、技術與金錢成本,因此,即使井下地震儀的訊號再好,若非有國家建設計畫的支援,也難以大量建置。

人口聚集,震災好嚴重?建立「客製化」的地震預警系統!

臺灣人口主要聚集於西半部,然而此區的震源深度較淺,再加上密集的人口與建築,容易造成相當重大的災害。

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許多都會區的建築老舊且密集,當屋齡超過 50 歲時,它很有可能是在沒有耐震規範的背景下建造而成的的,若是超過 25 年左右的房屋,也有可能不符合最新的耐震規範,並未具備現今標準下足夠的耐震能力。 

延伸閱讀:

在地震界有句名言「地震不會殺人,但建築物會」,因此,若建築物的結構不符合地震規範,地震發生時,在同一面積下越密集的老屋,有可能造成越多的傷亡。

因此,對於發生在都會區的直下型地震,預警時間的要求更高,需求也更迫切。

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地震中心著手於人口密集之都會區開發「客製化」的強震預警系統,目標針對都會區直下型淺層地震,可以在「震後 7 秒內」發布地震警報,將地震預警盲區縮小為 25 公里。

111 年起,地震中心已先後完成大臺北地區、桃園市客製化作業模組,並開始上線測試,當前正致力於臺南市的模組,未來的目標為高雄市與臺中市。

永不停歇的防災宣導行動、地震預警技術研發

地震預警系統僅能在地震來臨時警示民眾避難,無法主動保護民眾的生命安全,若人民沒有搭配正確的防震防災觀念,即使地震警報再快,也無法達到有效的防災效果。

因此除了不斷革新地震預警系統的技術,地震中心也積極投入於地震的宣導活動和教育管道,經營 Facebook 粉絲專頁「報地震 – 中央氣象署」、跨部會舉辦《地震島大冒險》特展、《震守家園 — 民生公共物聯網主題展》,讓民眾了解正確的避難行為與應變作為,充分發揮地震警報的效果。

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此外,雖然地震中心預計於 114 年將都會區的預警費時縮減為 7 秒,研發新技術的腳步不會停止;未來,他們將應用 AI 技術,持續強化地震預警系統的效能,降低地震對臺灣人民的威脅程度,保障你我生命財產安全。

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看電影學統計:「多重宇宙」與統計學「隨機變異」的概念
林澤民_96
・2023/03/15 ・2854字 ・閱讀時間約 5 分鐘

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「多重宇宙」是我教統計時常用到的名詞,我用它來解釋隨機變異(stochastic variation)的概念:

例如民調抽得一個樣本,此樣本的受訪者固然是一群特定人士,但理論上我們可以抽出許多許多樣本,這些樣本之間雖然會有隨機變異,但樣本彼此的宏觀性質仍會相近。這些不同的隨機樣本,可以以「多重宇宙」一詞來形容。即使事實上只有一個樣本(一個宇宙),我們可以想像在多重宇宙的每個宇宙裡,都有一個微觀上隨機變異的樣本存在。

一個樣本(一個宇宙),在多重宇宙裡,每個宇宙都有一個微觀上隨機變異的樣本存在。 圖/IMDb

什麼是隨機樣本?

其實,數理統計學中「隨機樣本」(random sample)的概念指的是「一組獨立且同一分布的隨機變數」(a set of independently and identically distributed random variables)

在這個定義之下,樣本的每一個單位(資料點)都不是固定不變的數值,而是一個依循某機率分布的隨機變數。「隨機樣本」的要求是樣本所有的 N 個單位不但要互相獨立,而且要依循同一的機率分布。

我們可以想像我們平常所謂「一個樣本」的 N 個觀察值,每一個觀察值背後都有一個產生這個數值的隨機變數,也可以說所謂「一個樣本」其實只是這「一組獨立且同一分布的隨機變數」的一個「實現」(realization)。那麼,不同的樣本就是這「一組獨立且同一分布的隨機變數」的不同「實現」。這樣了解之下的不同樣本、不同「實現」,我喜歡把它們稱為「多重宇宙」。

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多重宇宙中的隨機變異,是我們在分析一個樣本的資料時必須作統計推論的原因。

比如我們分析本屆所有 113 位立委的議事行為,既然立委一共只有 113 人,我們分析的對象不就是立委的母體嗎?那是不是就不必做統計推論?

不是!原因是我們仍然可以想像有多重宇宙存在,每個宇宙都有 113 位立委,而同一位立委在不同的宇宙裡其議事行為會有隨機變異。正是因為這隨機變異的緣故,我們即使分析的是所謂「母體」,我們仍然要做統計推論。

圖/IMDb

「多重宇宙」的概念可以說就是「假如我們可以重來」的反事實思想實驗。被分析的單位不是在時間中重來一次,而是在多重宇宙的空間中展現「假如我們可以重來」的隨機變異的可能性。

名為 Monday 的這集 X 檔案電視劇中,主角的夢境不斷重複,每次夢境的結構大致類似,但細節卻有所不同,這正是「多重宇宙—隨機變異」概念的戲劇化。

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【媽的多重宇宙】(Everything Everywhere All at Once)也是。

「看,這是你的宇宙,一個漂浮在存在宇宙泡沫中的泡泡。周圍的每個氣泡都有細微的變化。但你離你的宇宙越遠,差異就越大。」——【媽的多重宇宙】對白

這是說:變異程度越小的是離你越近的宇宙,程度越大的是離你越遠的宇宙。這裡所謂變異的程度,在統計學裡可以用誤差機率分布的標準差來衡量。

什麼是隨機變異?

關於「隨機變異」這個概念,我最喜歡的例子是研究所入學申請的評審。

例如有 120 人申請入學,我詳細閱讀每人投遞的申請資料(包括性別、年齡等個人特質還有 SOP、大學成績單、GRE 分數、推薦信等),然後打一個 Y=0~100 的分數。全部評閱完畢,我便得到一份 N=120 的資料。這個資料包括了所有的申請者,那麼它是樣本呢?還是母體?

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如果我要分析我自己評分的決定因素,我會把分數 Y 回歸到性別、年齡等個人特質以及資料中可以量化的變數,例如大學成績平均分數(GPA)和 GRE 分數。跑這個迴歸時,需不需要做統計推論,看迴歸係數是不是有統計的顯著性?

我的看法是這份 N=120 的資料是樣本而不是母體,做迴歸分析當然要做統計推論。

那麼我資料的母體是什麼?

迴歸分析資料的母體其實是所謂「母體迴歸函數」(population regression function),也就是通常所說的「資料產生過程」(data generating process, DGP)。

這個 DGP 就是我在評閱每份資料時腦海中的思考機制,它考量了許多量化和質化的變數,賦予不同的權重,然後加總起來產生 Y。

分析資料的母體,也就是常說的「資料產生過程」。 圖/envato.elements

量化變數的權重就是母體迴歸函數的係數,質化變數則是母體迴歸函數的係數的誤差項。如果有很多質化變數攏總納入誤差項,我們通常可以根據中央極限定理,假設誤差項是呈現常態分布的隨機變數。這個誤差項就是「隨機變異」的來源。

評審入學申請,我通常只把所有資料評閱一次。這一次評審結果,會有幾家歡樂幾家愁,這便構成了一個「宇宙」。如果我第二天又把所有 120 份資料重新評分一遍,得到第二個樣本。因為我腦中的「資料產生過程」包括隨機變數,這個新樣本保證跟第一個樣本會有差異。用白話說:我的評分機制不精確,我自己甚至不知道我給每個量化變數多少權重,而且第二次評閱所用的權重也會跟第一次不盡相同,更不用說質化變數如何影響我的評分了。

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這第二個樣本,申請者的排比不會跟第一個樣本一樣,雖然也是幾家歡樂幾家愁,歡樂與愁悶的人也可能不一樣。這是第二個宇宙。依此類推,我們可以想像同樣的120位申請者,因為我「資料產生過程」的隨機變異,活在多重宇宙裡。

這些宇宙有的差異不大,根據【媽的多重宇宙】的說法,它們的泡泡互相之間的距離就較近,差異較大的宇宙,距離就較遠。如果申請者可以像電影所述那樣做宇宙跳躍,他們會看到自己在不同宇宙裡的命運。

我擔任德州大學政府系的研究部主任時,常耽心有申請者拿我們入學評審委員的評分資料去做迴歸分析。如果分析結果顯示種族、性別等變數有統計顯著性,說不定會被拿去控告我違反所謂「平權行動」(affirmative action)的相關法律。如果沒有顯著性,我就不耽心了。

多重宇宙之間會不會有「蝴蝶效應」?也就是宇宙跳躍時,隨機變異產生的微小差異,會不會造成新舊宇宙生命路徑的決然不同?

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在【媽的多重宇宙】中,伊芙琳只要當初做了一個不同的決定,以後的生命便可能跟現世(home universe)有很不一樣的命運。這在統計學也不是不可能。時間序列分析中,有些非線性模式只要初始值稍微改變,其後在時間中的路徑便會與原來的路徑發散開來。

你做時間序列分析時,會不會想想:時間序列資料究竟是樣本還是母體?如果你的研究興趣就只限於資料期間,那要不要做統計推論?當然要的,因為隨機變異的緣故。

如果你今年申請外國研究所不順利,也許在另一個宇宙裡,你不但獲名校錄取,得到鉅額獎學金,而且你的人生旅途將自此一路順遂,事業婚姻兩得意呢。

林澤民_96
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台大電機系畢業,美國明尼蘇達大學政治學博士, 現任教於美國德州大學奧斯汀校區政府系。 林教授每年均參與中央研究院政治學研究所及政大選研中心 「政治學計量方法研習營」(Institute for Political Methodology)的教學工作, 並每兩年5-6月在台大政治系開授「理性行為分析專論」密集課程。 林教授的中文部落格多為文學、藝術、政治、社會、及文化評論。

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假藥也能治療?安慰劑效應的原因:「不」隨機化實驗!——《統計,讓數字說話》
天下文化_96
・2023/03/03 ・1932字 ・閱讀時間約 4 分鐘

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  • 作者:墨爾 David S. Moore、諾茨 William I. Notz
  • 譯者:鄭惟厚、吳欣蓓

實驗法中「隨機化」的必要性

隨機化比較實驗是統計學裡面最重要的概念之一。它的設計是要讓我們能夠得到釐清因果關係的結論。我們先來弄清楚隨機化比較實驗的邏輯:

  • 用隨機化的方法將受試者分組,所分出的各組在實施處理之前,應該各方面都類似。
  • 之所以用「比較」的設計,是要確保除了實驗上的處理外,其他所有因素都會同樣作用在所有的組身上。
  • 因此,反應變數的差異必定是處理的效應所致。

我們用隨機方法選組,以避免人為指派時可能發生的系統性偏差。例如在鐮形血球貧血症的研究中,醫師有可能下意識就把最嚴重的病人指派到羥基脲組,指望這個正在試驗的藥能對他們有幫助。那樣就會使實驗有偏差,不利於羥基脲。

從受試者中取簡單隨機樣本來當作第一組,會使得每個人被選入第一組或第二組的機會相等。我們可以預期兩組在各方面都接近,例如年齡、病情嚴重程度、抽不抽菸等。舉例來說,隨機性通常會使兩組中的吸菸人數差不多,即使我們並不知道哪些受試者吸菸。

實驗組與對照組除主要測量變數外,其餘條件必需盡可能相似。圖/envatoelements

新藥研究上不隨機分組帶來的後果:安慰劑效應

如果實驗不採取隨機方式,潛藏變數會有什麼影響呢?安慰劑效應就是潛藏變數,只有受試者接受治療後才會出現。如果實驗組別是在當年不同時間進行治療,所以有些組別是在流感季節治療,有些則不是,那麼潛藏變數就是有些組別暴露在流感的程度較多。

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在比較實驗設計中,我們會試著確保這些潛藏變數對全部的組別都有相似的作用。例如為了確保全部的組別都有安慰劑效應,他們會接受相同的治療,全部的組別會在相同的時間接受相同的治療,所以暴露在流感的程度也相同。

要是告訴你,醫學研究者對於隨機化比較實驗接受得很慢,應該不會讓你驚訝,因為許多醫師認為一項新療法對病人是否有用,他們「只要看看」就知道。但事實才不是這樣。有很多醫療方法只經過單軌實驗後就普遍使用,但是後來有人起疑,進行了隨機化比較實驗後,卻發覺其效用充其量不過是安慰劑罷了,這種例子已經不勝枚舉。

曾有人在醫學文獻裡搜尋,經過適當的比較實驗研究過的療法,以及只經過「歷史對照組」實驗的療法。用歷史對照組做的研究不是把新療法的結果和控制組比,而是和過去類似的病人在治療後的效果做比較。結果,納入研究的 56 種療法當中,用歷史對照組來比較時,有 44 種療法顯示出有效。然而在經過使用合適的隨機化比較實驗後,只有 10 種通過安慰劑測試。即使有跟過去的病人比,醫師的判斷仍過於樂觀。

過去醫學史上常出現新藥實際沒療效,只能充當安慰劑效果的情況。圖/envatoelements

目前來說,法律已有規定,新藥必須用隨機化比較實驗來證明其安全性及有效性。但是對於其他醫療處置,比如手術,就沒有這項規定。上網搜尋「comparisons with historical controls」(以歷史對照組來比較)這個關鍵字,可以找到最近針對曾使用歷史對照組試驗的其他醫療處置,所做的研究。

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對於隨機化實驗有一件重要的事必須注意。和隨機樣本一樣,隨機化實驗照樣要受機遇法則的「管轄」。就像抽一個選民的簡單隨機樣本時,有可能運氣不好,抽到的幾乎都是相同政治傾向一樣,隨機指派受試者時,也可能運氣不好,把抽菸的人幾乎全放在同一組。

我們知道,如果抽選很大的隨機樣本,樣本的組成和母體近似的機會就很大。同樣的道理,如果我們用很多受試者,加上利用隨機指派方式分組,也就有可能與實際情況非常吻合。受試者較多,表示實驗處理組的機遇變異會比較小,因此實驗結果的機遇變異也比較小。「用足夠多的受試者」和「同時比較數個處理」以及「隨機化」,同為「統計實驗設計」的基本原則。

實驗設計的原則
統計實驗設計的基本原則如下:
1. 要控制潛在變數對反應的影響,最簡單的方法是同時比較至少兩個處理。
2. 隨機化:用非人為的隨機方法指派受試者到不同的實驗處理組。
3. 每一組的受試者要夠多,以減低實驗結果中的機遇變異。

——本文摘自《統計,讓數字說話》,2023 年 1 月,天下文化出版,未經同意請勿轉載。

天下文化_96
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從什麽時候開始,冬天變得越來越熱——用統計學的「改變點」及「紀錄」探討台北暖冬的異常現象
林澤民_96
・2021/02/09 ・4346字 ・閱讀時間約 9 分鐘 ・SR值 541 ・八年級

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台灣這幾天比較冷,但暖冬仍然是全球暖化過程中一個明顯的趨勢。一般以為全球暖化始於 19 世紀末葉先進國家積極工業化的時候,但世界各地工業化的進程不同,暖化的趨勢也會有所差異。當工業化在全球範圍內日益普及,各地暖化趨勢便益見明顯,但還要等到 20 世紀下半葉這趨勢才明顯到引起各國的注意。

始於19世紀末葉先進國家積極工業化造成的全球暖化,使暖冬成爲明顯的趨勢。圖/作者林澤民提供

在美國,一直要到 1988 年氣候變化才正式成為官方關切的議題。這一年的 6 月 23 日,NASA 太空研究所(GISS)主任 James E. Hansen 在參議院能源及自然資源委員會作證指出:「全球暖化的程度已經顯著到讓我們確信溫室效應與暖化趨勢具有因果關係。依我的意見,我們已經偵測出了溫室效應,而且這效應正在影響我們的氣候。」

以筆者居住的德州奧斯汀市而言,氣溫紀錄始於 19 世紀末期。我用統計學「改變點」(change point)的方法分析每年最高溫及最低溫的時間序列,檢測出年低溫最顯著的改變點在 Hansen 作證之後 3 年的 1991 年,而年高溫的改變點還要更後,在 1998 年。這與筆者個人體驗大致相符。

台北氣溫變化趨勢的改變點

「改變點」的檢測是時間序列分析的統計方法,它用來判定時間序列的資料產生過程是否有不連續點的存在。它在 1930 年代就曾被產業界用來監控產品的製造過程,其後經過數學家的深入研究,在近 20 年來蓬勃發展,廣泛被應用於環保、疫情、醫療、軍事、反恐等各領域。筆者個人就曾用類似的研究方法發現美國歷史上,選民的投票行為在二十世紀 20-30 年代之間曾經發生過質性的變化。去年五月,頂級學術期刊 Science 也有研究論文檢測新冠肺炎在德國傳播趨勢的改變點,肯定了政府干預措施的有效性。CBS 電視影集「數字」(Numb3rs)甚至有一集演出「夢幻棒球」玩家用改變點方法檢測大聯盟球員使用禁藥提高打擊率的故事。

台灣的氣溫紀錄也始於 19 世紀末。根據 Jasmine Kuo 提供的台北市年低溫歷史資料,台北市每年最低溫的改變點在 1975 年,而年高溫的改變點則要到 2001 年。台北市年低溫的改變比奧斯汀要早,這也許跟地形、地理位置、人口、以及工業化程度有關。

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理論上,年高溫及年低溫都不是常態分布,而是呈現所謂極端值分布(extreme value distribution)。圖一及圖二以上述改變點為斷點,分別估計年高溫及年低溫在各自改變點前、後的極端值分布。這兩張圖讓我們清楚看出改變點前後的明顯差異:改變點之後,年高溫及年低溫的分布均明顯往高溫方向移動。年高溫在 2001 之後的平均值增加了攝氏 1.44 度,而年低溫在 1975 之後的平均值則更誇張地增加了將近兩倍的 2.81 度!

年高溫在 2001 之後的平均值增加了攝氏 1.44 度。圖/轉自作者部落格
年低溫在 1975 之後的平均值誇張地增加了將近兩倍的 2.81 度!圖/轉自作者部落格

時間序列資料產生過程的變化除了可以用改變點的統計方法來檢測斷點以外,也可以用 「紀錄」(record)發生的機率理論來分析異常現象。事實上,事件發生頻率的改變也是改變點研究的數學方法之一。本文以下即以紀錄理論進一步探討台北市年低溫在 1975 年之後新紀錄節節升高的現象。

破紀錄次數的機率分布説明台北市年低溫變遷出現異常

台北市 1897-2020 年低溫時間序列顯示,1897 年台北市的最低溫是攝氏 5 度。以此為資料中的第一個紀錄,124 年來,有 9 個新的紀錄出現,分別是:1899(7.2度),1905(7.6度),1909(8.1度),1912(8.2度),1976(8.5度),1983(9.3度),1988(10度),2017(10.4度),2019(11.6度)。見圖三時間序列中的黑點。

從 1897 到 2020 百年之間,臺北市的低溫「記錄」有越來越高的趨勢。圖/轉自作者部落格

124 年間有 10 個紀錄是正常現象嗎?這個問題,可以用機率理論做精確的回答。

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機率理論對「記錄」的研究有很完整的系統。其數學繁複,但相當有趣,有興趣的讀者可以找相關書籍來看,例如 Jiri Andel(2001)的 Mathematics of Chance

這個理論從一個前提出發:觀察序列中的資料是遵循相同機率分布而且相互獨立(iid,編按:Independently and identically distributed)的隨機變數。在這個假設之下,我們可以導出在 n 個資料點中有 r 個紀錄(包括第一個資料點)的機率分布。這個前提可以說是「正常」狀況的「虛無假設」:它代表觀察序列中資料的產生過程完全相同,沒有任何異常現象或動態趨勢。如果我們的經驗資料與這個假設之下的機率分布不相諧,根據傳統次數主義(frequentist)統計推論的方法,我們可以在一定的統計水平之下拒絕虛無假設而判定異常現象的存在。

若研究假設有方向性時,采用單尾檢定(右圖);若研究假設不特別強調方向性,只注意是否有差異,則通常采用雙尾檢定(左圖)。圖/towardsdatascience

以台北市年低溫的歷史資料來說,我們可以算出在 n = 124 個觀察值的序列資料中出現 r (r = 1,2,3,…,124)個紀錄的機率分布,然後從這分布算出 r 大於或等於 10 的右尾機率。如果這個機率小於相約成俗的顯著水平 0.05,我們判定歷史資料與虛無假設不相諧,從而排除台北市年低溫變遷沒有異常現象的前提。依照傳統統計推論,我們可以做出台北市年低溫變遷有異常現象的結論

以 Rn 代表在 iid 假設之下,n = 124 個序列資料中有 r 個紀錄的隨機變數,圖四便是 Rn = r 的機率分布。從這個機率分布我們可以算得 Rn 的期望值是 E ( Rn ) = 5.40,變異量是 Var ( Rn ) = 3.76,也很容易直接算得右尾機率 P (Rn ≥ 10) = 0.025。因為這個機率小於 0.05,單尾檢定讓我們得到台北市年低溫屢破歷史上限紀錄是異常現象的結論。(如果一定要用雙尾檢定,這個結論就有點勉強。)

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從臺北市低溫歷史資料中出現不同「記錄」機率分佈的單尾檢定,可判斷臺北市的低溫屢破歷史上限紀錄是異常現象。圖/轉自作者部落格

Rn 的機率分布並不容易算,有一個遞歸公式,當 n 較大時,需要很大的計算能量或很久的時間才算得出。要迅速算出,必須用到所謂「第一類史特靈數」(Stirling Numbers of the First Kind)。如果你的軟體沒有這個函數,可以利用這兩個很漂亮的公式來算 Rn 的期望值和變異量:

利用這兩個公式也可算出當 n = 124 時,E ( Rn ) = 5.40,Var ( Rn ) = 3.76。如果我們假設 Rn 的分布是常態分佈,則可以輕易算出以以期望值為中心的 95% 信心區間為(1.49,8.88)。因為經驗值 10 個紀錄在信心區間之外,這個分析也支持台北市年低溫變化異常的結論。不過因為 Rn 的分布並非常態,這個分析並不精確。

新紀錄等待時間的機率急遽下降

應用紀錄之機率理來分析台北市氣溫變化也可以看出 1975 年前後是一個轉捩點。

在 1897 年之後的 9 個新紀錄當中,出現在 1975 年之後短短 45 年之間的就有 5個,平均每 9 年就有一個新紀錄。而在 1976 年前的 80 年中,則平均要將近 16 年才有新的紀錄。事實上,1912 年的紀錄保持了 64 年才被打破。

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也許你會說 1897-1912,在短短 16 年之間不是就有 4 個新紀錄嗎?然而新紀錄的頻率在紀錄開始之時本來就會比較頻繁,日久後要破紀錄會越來越難。紀錄的機率理論可以算在一定時間之內舊紀錄會被打破的機率,其公式如下:

這公式所求的是在第 r – 1 個紀錄發生之後,下一個紀錄的等待時間小於或等於 m 之機率。表一之第六行顯示:從第一個紀錄發生在 1897 年開始,第二個紀錄等待了兩年就發生了,按照上式,第二個紀錄在 2 年之內發生的機率為 0.67。第二個紀錄發生在 1899 年之後,第三個紀錄等待了 6 年發生,而其在 6 年之內發生的機率也是 0.67。第三個紀錄發生在 1905 年之後,第四個紀錄要等待 13 年才發生,而其在 13 年之內發生的機率是 0.31。依此類推。這些機率都不小,雖然紀錄頻頻被打破,並不令人意外。尤其是第五個紀錄發生在 1912 年之後,第六個紀錄要等 64 年才在 1976 年發生,因為等了夠久了,其在這一段期間發生的機率是很高的(0.80)。

1976 年以後極小機率事件頻發,在統計上説明氣候確實出現異常。圖/轉自作者部落格

但從 1976 年以後,這個等到下一個紀錄的機率就急遽下降了。第七個紀錄在 7 年內發生,其機率是 0.08;第八個紀錄在 5 年內發生,其機率是 0.08;第九個紀錄等了 29 年,其機率稍大,但它發生之後,第十個紀錄只等了 2 年就發生,其機率小於 0.03。這樣的小機率事件發生了,如果還說氣候沒有異常,在統計學理上是無法接受的。如果我們換一個角度來看,把 1976 年當作氣候質變之後的第一個紀錄,則其後發生在 1983、1988、2017 的新紀錄其等待時間的機率(0.88,0.38,0.69)都不小,不算奇怪。只有 2019 的紀錄還在 0.05 的水平之內,不過這也可以說氣候變化越來越厲害了。

從新紀錄的等待時間來探討氣候變遷還可以看看新紀錄發生的平均時間。不過很奇妙的是:機率理論告訴我們,新紀錄雖然一定會發生(發生的機率為 1),其發生時間的期望值或理論平均數卻是無窮大,即使第二個紀錄也是一樣。以第二個紀錄為例,其發生時間為 2,3,4,…,t,…年的機率分別為 1/2,1/6,1/12,… 1 / t ( t – 1 ),…,所以期望值為 1 + 1/2 + 1/3 + … + 1 / ( t – 1 ) + …。這是有名的無窮和諧數列,它不是收斂數列,其和無窮大。其它的紀錄也是一樣。

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不過我們雖然不能算發生時間的期望值,卻能算中位數,也就是發生機率最接近 1/2 的時間點。表一的第七行列出各紀錄發生時間的中位點。我們可以看到,一直到 1976 年的第六個紀錄為止,中位時間點都還算合理。此後,第七個紀錄的中位發生點要在 1897 年算起的第 424 年,第七個紀錄在第 1166 年,第九個紀錄在第 3200 年,第十個紀錄在第 8717 年。這些紀錄的中位發生時間在這麼久遠之後,如果說沒有氣候變化,誰能相信?

附帶一提,1897 – 2020 之間台北市年低溫往下探的紀錄,包括 1897 年的第一個紀錄,124 年之間只有三個:1897(5度),1898(3.3度),1902(-0.2度)。從 1902 年以來,118 年之中,-0.2 度的紀錄沒有被突破!(不過 P ( Rn ≤3 ) = 0.162 並不足以作為氣溫變化異常的統計證據。)

參考資料

  1. 齊斯.德福林(Keith Devlin)、蓋瑞.洛頓(Gary Lorden)著,蘇俊鴻、蘇惠玉等譯。2016。〈改變點偵測:災難即將發生的證據何時開始浮現?〉,《案發現場:FBI警探和數學家的天作之合》(The Numbers behind Numb3rs: Solving Crime with Mathematics)第四章。八旗文化。
  2. Jiri Andel, 2001. “Records.” Chapter 4 of Mathematics of Chance. Wiley.
  3. 盧孟明、卓盈旻等著。2012。〈台灣氣候變化:1911-2009年資料分析〉。中央氣象局。
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林澤民_96
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台大電機系畢業,美國明尼蘇達大學政治學博士, 現任教於美國德州大學奧斯汀校區政府系。 林教授每年均參與中央研究院政治學研究所及政大選研中心 「政治學計量方法研習營」(Institute for Political Methodology)的教學工作, 並每兩年5-6月在台大政治系開授「理性行為分析專論」密集課程。 林教授的中文部落格多為文學、藝術、政治、社會、及文化評論。