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假藥也能治療?安慰劑效應的原因:「不」隨機化實驗!——《統計,讓數字說話》

天下文化_96
・2023/03/03 ・1932字 ・閱讀時間約 4 分鐘

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  • 作者:墨爾 David S. Moore、諾茨 William I. Notz
  • 譯者:鄭惟厚、吳欣蓓

實驗法中「隨機化」的必要性

隨機化比較實驗是統計學裡面最重要的概念之一。它的設計是要讓我們能夠得到釐清因果關係的結論。我們先來弄清楚隨機化比較實驗的邏輯:

  • 用隨機化的方法將受試者分組,所分出的各組在實施處理之前,應該各方面都類似。
  • 之所以用「比較」的設計,是要確保除了實驗上的處理外,其他所有因素都會同樣作用在所有的組身上。
  • 因此,反應變數的差異必定是處理的效應所致。

我們用隨機方法選組,以避免人為指派時可能發生的系統性偏差。例如在鐮形血球貧血症的研究中,醫師有可能下意識就把最嚴重的病人指派到羥基脲組,指望這個正在試驗的藥能對他們有幫助。那樣就會使實驗有偏差,不利於羥基脲。

從受試者中取簡單隨機樣本來當作第一組,會使得每個人被選入第一組或第二組的機會相等。我們可以預期兩組在各方面都接近,例如年齡、病情嚴重程度、抽不抽菸等。舉例來說,隨機性通常會使兩組中的吸菸人數差不多,即使我們並不知道哪些受試者吸菸。

實驗組與對照組除主要測量變數外,其餘條件必需盡可能相似。圖/envatoelements

新藥研究上不隨機分組帶來的後果:安慰劑效應

如果實驗不採取隨機方式,潛藏變數會有什麼影響呢?安慰劑效應就是潛藏變數,只有受試者接受治療後才會出現。如果實驗組別是在當年不同時間進行治療,所以有些組別是在流感季節治療,有些則不是,那麼潛藏變數就是有些組別暴露在流感的程度較多。

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在比較實驗設計中,我們會試著確保這些潛藏變數對全部的組別都有相似的作用。例如為了確保全部的組別都有安慰劑效應,他們會接受相同的治療,全部的組別會在相同的時間接受相同的治療,所以暴露在流感的程度也相同。

要是告訴你,醫學研究者對於隨機化比較實驗接受得很慢,應該不會讓你驚訝,因為許多醫師認為一項新療法對病人是否有用,他們「只要看看」就知道。但事實才不是這樣。有很多醫療方法只經過單軌實驗後就普遍使用,但是後來有人起疑,進行了隨機化比較實驗後,卻發覺其效用充其量不過是安慰劑罷了,這種例子已經不勝枚舉。

曾有人在醫學文獻裡搜尋,經過適當的比較實驗研究過的療法,以及只經過「歷史對照組」實驗的療法。用歷史對照組做的研究不是把新療法的結果和控制組比,而是和過去類似的病人在治療後的效果做比較。結果,納入研究的 56 種療法當中,用歷史對照組來比較時,有 44 種療法顯示出有效。然而在經過使用合適的隨機化比較實驗後,只有 10 種通過安慰劑測試。即使有跟過去的病人比,醫師的判斷仍過於樂觀。

過去醫學史上常出現新藥實際沒療效,只能充當安慰劑效果的情況。圖/envatoelements

目前來說,法律已有規定,新藥必須用隨機化比較實驗來證明其安全性及有效性。但是對於其他醫療處置,比如手術,就沒有這項規定。上網搜尋「comparisons with historical controls」(以歷史對照組來比較)這個關鍵字,可以找到最近針對曾使用歷史對照組試驗的其他醫療處置,所做的研究。

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對於隨機化實驗有一件重要的事必須注意。和隨機樣本一樣,隨機化實驗照樣要受機遇法則的「管轄」。就像抽一個選民的簡單隨機樣本時,有可能運氣不好,抽到的幾乎都是相同政治傾向一樣,隨機指派受試者時,也可能運氣不好,把抽菸的人幾乎全放在同一組。

我們知道,如果抽選很大的隨機樣本,樣本的組成和母體近似的機會就很大。同樣的道理,如果我們用很多受試者,加上利用隨機指派方式分組,也就有可能與實際情況非常吻合。受試者較多,表示實驗處理組的機遇變異會比較小,因此實驗結果的機遇變異也比較小。「用足夠多的受試者」和「同時比較數個處理」以及「隨機化」,同為「統計實驗設計」的基本原則。

實驗設計的原則
統計實驗設計的基本原則如下:
1. 要控制潛在變數對反應的影響,最簡單的方法是同時比較至少兩個處理。
2. 隨機化:用非人為的隨機方法指派受試者到不同的實驗處理組。
3. 每一組的受試者要夠多,以減低實驗結果中的機遇變異。

——本文摘自《統計,讓數字說話》,2023 年 1 月,天下文化出版,未經同意請勿轉載。

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天下文化_96
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天下文化成立於1982年。一直堅持「傳播進步觀念,豐富閱讀世界」,已出版超過2,500種書籍,涵括財經企管、心理勵志、社會人文、科學文化、文學人生、健康生活、親子教養等領域。每一本書都帶給讀者知識、啟發、創意、以及實用的多重收穫,也持續引領台灣社會與國際重要管理潮流同步接軌。

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Intel® Core™ Ultra AI 處理器:下一代晶片的革命性進展
鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2024/05/21 ・2364字 ・閱讀時間約 4 分鐘

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本文由 Intel 委託,泛科學企劃執行。 

在當今快節奏的數位時代,對於處理器性能的需求已經不再僅僅停留在日常應用上。從遊戲到學術,從設計到內容創作,各行各業都需要更快速、更高效的運算能力,而人工智慧(AI)的蓬勃發展更是推動了這一需求的急劇增長。在這樣的背景下,Intel 推出了一款極具潛力的處理器—— Intel® Core™ Ultra,該處理器不僅滿足了對於高性能的追求,更為使用者提供了運行 AI 模型的全新體驗。

先進製程:效能飛躍提升

現在的晶片已不是單純的 CPU 或是 GPU,而是混合在一起。為了延續摩爾定律,也就是讓相同面積的晶片每過 18 個月,效能就提升一倍的目標,整個半導體產業正朝兩個不同方向努力。

其中之一是追求更先進的技術,發展出更小奈米的製程節點,做出體積更小的電晶體。常見的方法包含:引進極紫外光 ( EUV ) 曝光機,來刻出更小的電晶體。又或是從材料結構下手,發展不同構造的電晶體,例如鰭式場效電晶體 ( FinFET )、環繞式閘極 ( GAAFET ) 電晶體及互補式場效電晶體 ( CFET ),讓電晶體可以更小、更快。這種持續挑戰物理極限的方式稱為深度摩爾定律——More Moore。

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另一種則是將含有數億個電晶體的密集晶片重新排列。就像人口密集的都會區都逐漸轉向「垂直城市」的發展模式。對晶片來說,雖然每個電晶體的大小還是一樣大,但是重新排列以後,不僅單位面積上可以堆疊更多的半導體電路,還能縮短這些區塊間資訊傳遞的時間,提升晶片的效能。這種透過晶片設計提高效能的方法,則稱為超越摩爾定律——More than Moore。

而 Intel® Core™ Ultra 處理器便是具備兩者優點的結晶。

圖/PanSci

Tile 架構:釋放多核心潛能

在超越摩爾定律方面,Intel® Core™ Ultra 處理器以其獨特的 Tile 架構而聞名,將 CPU、GPU、以及 AI 加速器(NPU)等不同單元分開,使得這些單元可以根據需求靈活啟用、停用,從而提高了能源效率。這一設計使得處理器可以更好地應對多任務處理,從日常應用到專業任務,都能夠以更高效的方式運行。

CPU Tile 採用了 Intel 最新的 4 奈米製程和 EUV 曝光技術,將鰭式電晶體 FinFET 中的像是魚鰭般阻擋漏電流的鰭片構造減少至三片,降低延遲與功耗,使效能提升了 20%,讓使用者可以更加流暢地執行各種應用程序,提高工作效率。

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鰭式電晶體 FinFET。圖/Intel

Foveros 3D 封裝技術:高效數據傳輸

2017 年,Intel 開發出了新的封裝技術 EMIB 嵌入式多晶片互聯橋,這種封裝技術在各個 Tile 的裸晶之間,搭建了一座「矽橋 ( Silicon Bridge ) 」,達成晶片的橫向連接。

圖/Intel

而 Foveros 3D 封裝技術是基於 EMIB 更進一步改良的封裝技術,它能將處理器、記憶體、IO 單元上下堆疊,垂直方向利用導線串聯,橫向則使用 EMIB 連接,提供高頻寬低延遲的數據傳輸。這種創新的封裝技術不僅使得處理器的整體尺寸更小,更提高了散熱效能,使得處理器可以長期高效運行。

運行 AI 模型的專用筆電——MSI Stealth 16 AI Studio

除了傳統的 CPU 和 GPU 之外,Intel® Core™ Ultra 處理器還整合了多種專用單元,專門用於在本機端高效運行 AI 模型。這使得使用者可以在不連接雲端的情況下,依然可以快速準確地運行各種複雜的 AI 算法,保護了數據隱私,同時節省了連接雲端算力的成本。

MSI 最新推出的筆電 Stealth 16 AI Studio ,搭載了最新的 Intel Core™ Ultra 9 處理器,是一款極具魅力的產品。不僅適合遊戲娛樂,其外觀設計結合了落質感外型與卓越效能,使得使用者在使用時能感受到高品質的工藝。鎂鋁合金質感的沉穩機身設計,僅重 1.99kg,厚度僅有 19.95mm,輕薄便攜,適合需要每天通勤的上班族,與在咖啡廳尋找靈感的創作者。

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除了外觀設計之外, Stealth 16 AI Studio 也擁有出色的散熱性能。搭載了 Cooler Boost 5 強效散熱技術,能夠有效排除廢熱,保持長時間穩定高效能表現。良好的散熱表現不僅能夠確保處理器的效能得到充分發揮,還能幫助使用者在長時間使用下的保持舒適性和穩定性。

Stealth 16 AI Studio 的 Intel Core™ Ultra 處理器,其性能更是一大亮點。除了傳統的 CPU 和 GPU 之外,Intel Core™ Ultra 處理器還整合了多種專用單元,專門針對在本機端高效運行 AI 模型的需求。內建專為加速AI應用而設計的 NPU,更提供強大的效能表現,有助於提升效率並保持長時間的續航力。讓使用者可以在不連接雲端的情況下,依然可以快速準確地運行各種複雜的 AI 算法,保護了數據隱私,同時也節省了連接雲端算力的成本。

軟體方面,Intel 與眾多軟體開發商合作,針對 Intel 架構做了特別最佳化。與 Adobe 等軟體的合作使得使用者在處理影像、圖像等多媒體內容時,能夠以更高效的方式運行 AI 算法,大幅提高創作效率。獨家微星AI 智慧引擎能針對使用情境並自動調整硬體設定,以實現最佳效能表現。再加上獨家 AI Artist,更進一步提升使用者體驗,直接輕鬆生成豐富圖像,實現了更便捷的內容創作。

此外 Intel 也與眾多軟體開發商合作,針對 Intel 架構做了特別最佳化,讓 Intel® Core™ Ultra處理器將AI加速能力充分發揮。例如,與 Adobe 等軟體使得使用者可以在處理影像、圖像等多媒體內容時,能夠以更高效的方式運行 AI 算法,大幅提高創作效率。為各行專業人士提供了更加多元、便捷的工具,成為工作中的一大助力。

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民眾黨是未來台灣政治的樞紐?
林澤民_96
・2024/01/30 ・3382字 ・閱讀時間約 7 分鐘

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一、前言

選後的立法院三黨不過半,但民眾黨有八席不分區立委,足以與民進黨或國民黨結成多數聯盟,勢將在國會居於樞紐地位。無獨有偶的是:民眾黨主席柯文哲在總統大選得到 26.5% 的選票,屈居第三,但因其獲得部分藍、綠選民的支持,在選民偏好順序組態的基礎上,它卻也同樣地居於樞紐地位。這個地位,將足以讓柯文哲及民眾黨在選後的台灣政壇持續激盪。

二、柯文哲是「孔多塞贏家」?

這次總統大選,誰能脫穎而出並不是一個特別令人殷盼的問題,更值得關心的問題是藍白綠「三跤㧣」在選民偏好順序組態中的消長。台灣總統大選採多數決選制,多數決選制英文叫 first-past-the-post(FPTP),簡單來講就是票多的贏,票少的輸。在 10 月中藍白合破局之後,賴蕭配會贏已經沒有懸念,但這只是選制定規之下的結果,換了另一個選制,同樣的選情可能就會險象環生。

從另一個角度想:選制是人為的,而選情反映的是社會現實。政治學者都知道天下沒有十全十美的選制;既定的選制推出了一位總統,並不代表選情的張力就會成為過眼雲煙。當三股社會勢力在制度的帷幕後繼續激盪,台灣政治將無法因新總統的誕生而趨於穩定。

圖/作者自製

如果在「三跤㧣」選舉之下,選情的激盪從候選人的得票多少看不出來,那要從哪裡看?政治學提供的一個方法是把候選人配對 PK,看是否有一位候選人能在所有的 PK 中取勝。這樣的候選人並不一定存在,如果不存在,那代表有 A 與 B 配對 A 勝,B 與 C 配對 B 勝,C 與 A 配對 C 勝的 A>B>C>A 的情形。這種情形,一般叫做「循環多數」(cyclical majorities),是 18 世紀法國學者孔多塞(Nicolas de Condorcet)首先提出。循環多數的存在意涵選舉結果隱藏了政治動盪。

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另一方面,如果有一位候選人能在配對 PK 時擊敗所有的其他候選人,這樣的候選人稱作「孔多塞贏家」(Condorcet winner),而在配對 PK 時均被擊敗的候選人則稱作「孔多塞輸家」(Condorcet loser)。三角嘟的選舉若無循環多數,則一定會有孔多塞贏家和孔多塞輸家,然而孔多塞贏家不一定即是多數決選制中贏得選舉的候選人,而多數決選制中贏得選舉的候選人卻可能是孔多塞輸家。

如果多數決選制中贏得選舉的候選人不是孔多塞贏家,那與循環多數一樣,意涵選後政治將不會穩定。

那麼,台灣這次總統大選,有沒有孔多塞贏家?如果有,是多數決選制之下當選的賴清德嗎?我根據戴立安先生調查規劃的《美麗島電子報》追蹤民調第 109 波(1 月 11 日至 12 日),也是選前最後民調的估計,得到的結果令人驚訝:得票墊後的柯文哲很可能是孔多塞贏家,而得票最多的賴清德很可能是孔多塞輸家。果然如此,那白色力量將會持續地激盪台灣政治!

我之前根據美麗島封關前第 101 波估計,侯友宜可能是孔多塞贏家,而賴清德是孔多塞輸家。現在得到不同的結果,顯示了封關期間的三股政治力量的消長。本來藍營期望的棄保不但沒有發生,而且柯文哲選前之夜在凱道浩大的造勢活動,還震驚了藍綠陣營。民調樣本估計出的孔多塞贏家本來就不準確,但短期內的改變,很可能反映了選情的激盪,甚至可能反映了循環多數的存在。

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三、如何從民調樣本估計孔多塞贏家

根據這波民調,總樣本 N=1001 位受訪者中,如果當時投票,會支持賴清德的受訪者共 355 人,佔 35.4%;支持侯友宜的受訪者共 247 人,佔 24.7%。支持柯文哲的受訪者共 200 人,佔 19.9%。

美麗島民調續問「最不希望誰當總統,也絕對不會投給他的候選人」,在會投票給三組候選人的 802 位支持者中,一共有 572 位對這個問題給予了明確的回答。《美麗島電子報》在其網站提供了交叉表如圖:

根據這個交叉表,我們可以估計每一位明確回答了續問的受訪者對三組候選人的偏好順序,然後再依這 572 人的偏好順序組態來判定在兩兩 PK 的情形下,候選人之間的輸贏如何。我得到的結果是:

  • 柯文哲 PK 賴清德:311 > 261(54.4% v. 45.6%)
  • 柯文哲 PK 侯友宜:287 > 285(50.2% v. 49.8%)
  • 侯友宜 PK 賴清德:293 > 279(51.2% v. 48.8%)

所以柯文哲是孔多塞贏家,賴清德是孔多塞輸家。當然我們如果考慮抽樣誤差(4.1%),除了柯文哲勝出賴清德具有統計顯著性之外,其他兩組配對可說難分難解。但在這 N=572 的小樣本中,三位候選人的得票率分別是:賴清德 40%,侯友宜 33%,柯文哲 27%,與選舉實際結果幾乎一模一樣。至少在這個反映了選舉結果的樣本中,柯文哲是孔多塞贏家。依多數決選制,孔多塞輸家賴清德當選。

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不過以上的分析有一個問題:各陣營的支持者中,有不少人無法明確回答「最不希望看到誰當總統,也絕對不會投給他做總統」的候選人。最嚴重的是賴清德的支持者,其「無反應率」(nonresponse rate)高達 34.5%。相對而言,侯友宜、柯文哲的支持者則分別只有 24.1%、23.8% 無法明確回答。為什麼賴的支持者有較多人無法指認最討厭的候選人?一個假設是因為藍、白性質相近,對許多綠營選民而言,其候選人的討厭程度可能難分軒輊。反過來說,藍、白陣營的選民大多數會最討厭綠營候選人,因此指認較無困難。無論如何,把無法明確回答偏好順序的受訪者歸為「遺失值」(missing value)而棄置不用總不是很恰當的做法,在這裡尤其可能會造成賴清德支持者數目的低估。

補救的辦法之一是在「無法明確回答等於無法區別」的假設下,把「遺失值」平分給投票對象之外的其他兩位候選人,也就是假設他們各有 1/2 的機會是無反應受訪者最討厭的候選人。這樣處理的結果,得到

  • 柯文哲 PK 賴清德:389 > 413(48.5% v. 51.5%)
  • 柯文哲 PK 侯友宜:396 > 406(49.4% v. 50.6%)
  • 侯友宜 PK 賴清德:376 > 426(46.9% v. 53.1%)

此時賴清德是孔多塞贏家,而柯文哲是孔多塞輸家。在這 N=802 的樣本中,三位候選人的得票率分別是:賴清德 44%,侯友宜 31%,柯文哲 25%。雖然依多數決選制,孔多塞贏家賴清德當選,但賴的得票率超過實際選舉結果(40%)。用無實證的假設來填補遺失值,反而造成賴清德支持者數目的高估。

如果擔心「無法明確回答等於無法區別」的假設太勉強,補救的辦法之二是把「遺失值」依有反應受訪者選擇最討厭對象的同樣比例,分給投票對象之外的其他兩位候選人。這樣處理的結果,得到

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  • 柯文哲 PK 賴清德:409 > 393(51.0% v. 49.0%)
  • 柯文哲 PK 侯友宜:407 > 395(50.8% v. 49.2%)
  • 侯友宜 PK 賴清德:417 > 385(52.0% v. 48.0%)

此時柯文哲又是孔多塞贏家,而賴清德又是孔多塞輸家了。這個樣本也是 N=802,三位候選人的得票率分別是:賴清德 44%,侯友宜 31%,柯文哲 25%,與上面的結果一樣。

以上三種無反應處理方法都不盡完美。第一種把無反應直接當遺失值丟棄,看似最不可取。然而縮小的樣本裡,三位候選人的支持度與實際選舉結果幾乎完全一致。後兩種以不同的假設補足了遺失值,但卻過度膨脹了賴清德的支持度。如果以樣本中候選人支持度與實際結果的比較來判斷遺失值處理方法的效度,我們不能排斥第一種方法及其結果。

無論如何,在缺乏完全資訊的情況下,我們發現的確有可能多數決輸家柯文哲是孔多塞贏家,而多數決贏家賴清德是孔多塞輸家。因為配對 PK 結果缺乏統計顯著性,我們甚至不能排除循環多數的存在。此後四年,多數決選制產生的總統能否在三角嘟力量的激盪下有效維持政治穩定,值得我們持續觀察。

四、結語

柯文哲之所以可以是孔多塞贏家,是因為藍綠選民傾向於最不希望對方的候選人當總統。而白營的中間偏藍位置,讓柯文哲與賴清德 PK 時,能夠得到大多數藍營選民的奧援而勝出。同樣的,當他與侯友宜 PK 時,他也能夠得到一部份綠營選民的奧援。只要他的支持者足夠,他也能夠勝出。反過來看,當賴清德與侯友宜 PK 時,除非他的基本盤夠大,否則從白營得到的奧援不一定足夠讓他勝出。民調 N=572 的樣本中,賴清德得 40%,侯友宜得 33%,柯文哲得 27%。由於柯的支持者討厭賴清德(52.5%)遠遠超過討厭侯友宜(23.7%),賴雖然基本盤較大,能夠從白營得到的奧援卻不多。而侯雖基本盤較小,卻有足夠的奧援。柯文哲之所以成為孔多塞贏家,賴清德之所以成為孔多塞輸家,都是這些因素的數學結果。

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資料來源

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林澤民_96
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台大電機系畢業,美國明尼蘇達大學政治學博士, 現任教於美國德州大學奧斯汀校區政府系。 林教授每年均參與中央研究院政治學研究所及政大選研中心 「政治學計量方法研習營」(Institute for Political Methodology)的教學工作, 並每兩年5-6月在台大政治系開授「理性行為分析專論」密集課程。 林教授的中文部落格多為文學、藝術、政治、社會、及文化評論。

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數學無聊是誰的錯?數學家其實很幽默?——《數盲、詐騙與偽科學》
大牌出版.出版大牌_96
・2024/01/08 ・2441字 ・閱讀時間約 5 分鐘

雖然很少有學生小學畢業後還不懂乘法表,但有很多人確實不會算,如果一個人開車的速度是每小時 56 公里,開了 4 小時之後,他就開了 224 公里。要是每公克花生賣 40 美分,而 1 袋花生賣 2.2 美元,那麼,這袋花生裡就有 5.5 公克花生。假如全世界人口中有 1/4 是中國人,其餘的 1/5 是印度人,那麼,印度人在全世界的人口中就占了 3/20,或說是 15%。當然,要理解這些問題,並不像學會算 35×4=140、(2.2)/(0.4)=5.5、1/5×(1–1/4)=3/20=0.15=15% 這麼簡單。對很多小學生來說,這不是自然而然就會的東西,要靠做很多很實用、或是純屬想像的問題,才能進一步學會。

至於估計,學校裡除了教一些四捨五入之外,通常也沒有別的了。四捨五入和合理的估計與真實人生大有關係,但課堂上很少串起這樣的連結。學校不會帶著小學生估計學校砌一面牆要用掉多少塊磚、班上跑最快的人速度多快、班上同學爸爸是禿頭的比例多高、一個人的頭圍與身高之比是多少、要堆出一座高度和帝國大廈等高的塔需要幾枚 5 美分硬幣,還有他們的教室能否容納這些 5 美分硬幣。

幾乎也沒人教歸納推理,也不會用猜測相關性質和規則的角度,來研究數學現象。在小學數學課裡談到非形式邏輯(informal logic)的機率,就跟講到冰島傳說一樣高。當然,也不會有人提到難題、遊戲和謎語。我相信,這是因為很多時候,聰明的 10 歲小孩輕輕鬆鬆就能打敗老師。

數學科普作家葛登能最不遺餘力探索數學和這些遊戲之間的密切關係。他寫了很多極有吸引力的書,也在《科學美國人》撰寫專欄,而這些都是會讓高中生或大學生感到很刺激的課外讀物(前提是有人指定他們去讀的話)。此外,數學家喬治.波利亞(George Polya)的《怎樣解題》(How to Solve It)和《數學與合情判讀》(Mathematics and Plausible Reasoning),或許也屬於這一類。有一本帶有這些人的文風、但屬於較初階的有趣好書,是瑪瑞琳.伯恩斯(Marilyn Burns)所寫的《我恨數學》(The I Hate Mathematics! Book),書裡有很多啟發性的提示,帶領讀者解題與發想各種奇思異想,是小學數學課本裡罕見的內容。

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圖/envato

有太多教科書仍列出太多人名和術語,就算有說明解析,也很少。比方說,教科書上會說加法是一種結合律運算(associative operation),因為(a + b)+ c=a +(b + c)。但很少人會提到非結合律運算,因此,充其量來說,結合律運算的定義是畫蛇添足。不管是結合律或非結合律,你知道了這些資訊之後要怎麼應用?書上還會介紹到其他術語,但除了用粗體字印在書頁中間的小框框裡,看起來很了不起之外,也沒什麼值得提的理由。這些術語滿足了很多人認為,知識就好比一門普通植物學,每種學問都可以在體系中,找到自己的類別和位置。相比之下,把數學當成有用的工具、思維方式或是獲得樂趣的途徑,在多數小學教育課綱中都是很陌生的概念(即使教科書內容不錯也一樣)。

或許有人會認為,在小學階段,可以用電腦軟體,來幫助學生掌握基本的算數原理及相關應用(應用題、估計等等)。可惜的是,目前可用的程式通常是從教科書上擷取無趣的例行練習,轉化成電腦螢幕版本而已。我不知道有任何軟體可用整合、一致且有效的方法,來教算術與解題應用。

小學階段的數學教學品質普遍不佳,最終必會有人怪罪於老師能力不足,而且對數學沒什麼興趣、或不懂欣賞數學。我認為,這當中有一部分又要歸咎於大專院校的師資培養課程中,很少或根本不強調數學。以我自己的教學經驗來說,我教過的學生中,表現最差的是中學生,而不是大學主修數學的學生。準小學老師的數學背景也很糟,很多時候甚至根本沒有相關的數學教學經歷。

而每所小學聘用一、兩位數學專才,在學校裡每天分別到不同班級輔導(或教授)數學,或許可以解決部分問題。有時我認為,如果大學數學教授和小學老師每年可以交換個幾星期,會是個好方法。同樣的,把主修數學的大學生和研究生交到小學老師手裡,不會造成傷害(事實上,後者或許能從前者身上學到一些東西)。而三、四、五年級的小學生則可以在完全適任的老師教導下,接觸到數學謎題與遊戲,將可大大獲益。

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圖/envato

稍微打個岔,謎題與數學之間很有關係,而且相關性會一直延續到大學與研究階段的數學。當然,把謎題換成幽默也通。我在《數學與幽默》(Mathematics and Humor)書中試著說明,數學和幽默都是某種益智遊戲,與猜謎、解題、遊戲和悖論多有共通之處。

數學和幽默都是把概念組合、拆開再拼回來,然後從中得到樂趣。慣用的手法包括並列、歸納、迭代和倒向(比方說「aixelsyd」就是把「dyslexia」﹝閱讀障礙﹞的字序倒過來)。那麼,如果我放寬這個條件,但緊縮另一個條件會怎樣?某一個領域的概念(像是綁辮子),和另一個看來完全不同領域的概念(如某些幾何圖形的對稱性)有什麼共通點?當然,即便不是數盲,可能也不熟悉數學這個面向,因為你必須要先具備一定程度的數學概念,才可以拿來耍弄。其他像獨創性、不協調感以及精簡的表達,對於數學和幽默來說也都同樣重要。

可能有人說過,因為所受訓練之故,數學家有一種特殊的幽默感。他們往往會接受字面意義,但字面上的解讀又常和標準用法的意義不同,因此很好笑。比方說,哪種運動比賽時要蓋臉?答案是,冰上曲棍球以及痲瘋病人拳擊(按:原文「Which two sports have face-offs」,「face-off」其中一個字面意義為「蓋臉」,而這也是冰上曲棍球常用的術語,意指「爭奪球權」)。他們也很沉溺於歸謬法(reductio ad absurdum),或設定極端前提條件然後做邏輯演練,以及各式各樣的字組遊戲。

如果可以透過小學、中學或大學階段的正式數學教育,或是非正式的數學科普書籍,傳達數學有趣的面向。我認為,數盲就不會像現在這麼普遍。

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——本書摘自《數盲、詐騙與偽科學》,2023 年 11 月,大牌出版,未經同意請勿轉載。

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