看電影學統計：「多重宇宙」與統計學「隨機變異」的概念

在前一篇我們聊到，為了反駁量子力學的機率詮釋和疊加態的說法，薛丁格提出著名的思想實驗：「薛丁格的貓」。既然貓在現實中不可能既生又死，所以量子理論一定有不夠完備的地方。

延伸閱讀：物理學四大神獸「薛丁格的貓」，其實是在嘲諷量子力學？物理學家對波函數機率詮釋的爭辯

然而，真的是這樣嗎？有沒有既符合量子理論又能解釋這個實驗的說法呢？

測量問題：量子系統的確定性

在量子力學中，量子系統的狀態在被測量前是不可確定的，所有可能狀態以機率的形式共存，這時系統處於所有狀態的疊加態。只有當我們進行測量時，系統才會變成某個特定狀態。

例如，原子裡的電子並沒有一個確定的位置，它可能出現在任意地方，像波一樣散佈於空間中。當你測量它，它有一定機率出現在某處。愛因斯坦曾問：「是不是只有當你在看它的時候，月亮才在那兒呢？」對他而言，月亮不管有沒有人在看，都懸掛在天上，他認為量子系統應該也是如此，總是有個確定的狀態，只是我們還沒搞清楚而已。

而薛丁格在與愛因斯坦討論後提出「薛丁格的貓」思想實驗。薛丁格利用貓不可能處於既生又死的疊加態來質疑量子理論，雖然引起了話題，但並未成功反駁量子理論。

量子力學的理解不斷累積，我們知道了許多愛因斯坦和薛丁格當時不知道的事情，因此在某種程度上，回應他們的質疑已經不再是問題。

多世界詮釋：分岔的宇宙

1957 年，美國普林斯頓大學的博士生艾弗雷特三世（Hugh Everett III）提出了一個大膽的想法。他認為，宇宙的一切可以由單一個宇宙波函數（universal wave function）來描述，遵循量子力學的波動方程式。當我們進行測量時，例如檢查「薛丁格的貓」實驗結果，不同的子系統（如貓、毒藥瓶和測量者）會在交互作用下彼此連動，呈現出兩組狀態：貓死亡、毒藥瓶打破、測量者看到貓死亡，或貓活著、毒藥瓶沒破、測量者看到貓活著。

延伸閱讀：首創平行世界理論，艾弗雷特三世誕辰｜科學史上的今天：11/11

測量會讓宇宙波函數分岔出兩個不同的分支，或說兩個平行世界。在其中一個宇宙，貓會活著；另一個宇宙，貓則會死亡。兩個宇宙都真實存在，沒有貓既死又活的事情。

在艾弗雷特的詮釋中，宇宙波函數隨著時間演化，就像一株大樹，每當有測量發生，就會分出不同的枝幹。每個枝幹代表一個獨立的平行世界或平行歷史，這就是著名的多世界詮釋（many-worlds interpretation）。歷史上每次的測量或選擇都會分裂出不同的世界，產生超級龐大的平行世界數量，彼此之間無法溝通或交換資訊。

雖然我們在這個世界買樂透沒中獎，但在另一個平行世界裡，我們可能是中頭獎的大富翁。多世界詮釋的優點是，它與量子理論沒有矛盾，能解決薛丁格的貓等悖論。

然而，儘管有人曾提出過驗證多世界詮釋的方式，現今的科技無法做到。艾弗雷特的博士論文沒有受到學界的多大關注，他之後改從事與物理研究無關的工作。直到1970年代，多世界詮釋才開始受到注意，並在艾弗雷特於1982年去世後，變得越來越受歡迎，甚至被科幻作品挪用。

量子去相干：量子特性的喪失

量子去相干（quantum decoherence）是另一種解決方法。在雙狹縫干涉實驗中，同一波源的波從兩個狹縫出來並產生干涉條紋，代表它們存在相干性（相互干涉的性質）。若對其中一道狹縫的光波進行干擾，相干性會消失，干涉條紋不會出現，這就是去相干。

在量子力學裡，微觀粒子具有波的特性，也會發生相互干涉。波函數隨外在環境存在許多不同可能狀態，彼此相干。在電子的雙狹縫實驗中，電子以波的形式通過兩個狹縫，接著彼此干涉，形成干涉條紋。當我們測量電子的路徑，就會讓系統不同可能狀態的相干性消失，這就是量子去相干。

只要一個量子系統沒有完全孤立，與外界有交互作用，就算是干擾。想像將熱水和冷水倒在一起，熱水分子和冷水分子會互相作用，交換熱能和動量，最終達到平衡——一杯溫水。原本的每個熱水分子和冷水分子可以視為孤立系統，但當它們互相作用，改變狀態，就必須將整杯水視為整體。

量子系統的測量就像這個例子，測量者和量子系統之間的交互作用會導致量子系統與外界交換資訊，無法再用原本的波函數描述，最終逐漸喪失量子特性。

現實中的量子去相干

在電子的雙狹縫干涉實驗中，若要知道電子通過雙狹縫時的確切位置和路徑，就必須偵測它，與之產生交互作用，導致量子去相干，干涉條紋消失。量子去相干的概念下，測量是一種交互作用，會引起量子去相干現象。隨著交互作用程度不同，量子系統會逐漸失去量子特性。

在現實世界中，所有量子系統都不可能完全孤立，與外界互動後，時間久了必然去相干。現實生活中的所有物體，雖然由量子系統組成，但當原子構築成更大的結構，會因彼此的交互作用喪失量子特性。因此，愛因斯坦問的「是不是只有當你在看它的時候，月亮才在那兒呢？」我們可以回答：「並不是這樣。」因為月亮已經不是量子系統。

薛丁格的貓不可能存在？

在「薛丁格的貓」實驗中，當作為量子系統的不穩定原子核被偵測到衰變後，交互作用就完成了，量子系統的狀態就確定了，貓也就死定了。此外，貓自身因量子去相干的關係，不會是量子系統，不可能同時處於生和死的狀態。

目前量子相關科技，如量子電腦、量子通訊等，在研發上遇到的困難，部分來自於量子去相干現象。量子電腦使用的量子位元必須保持在隔絕於外界、不受干擾的環境中，才能維持在量子態。一旦有風吹草動，量子位元可能出錯。隨著量子位元數目變多，要同時維持全部的量子態也變得更加困難，這些就是當前技術需要克服的挑戰了。

從無法逆轉的抉擇，到平行時空

但人總喜愛想像，現實世界中無法「重頭來過」，但小說和電影的虛擬世界當然可以。在好萊塢電影《今天暫時停止》（Groundhog Day, 1993；港譯：《偷天情緣》）之中，男主角最先猶如惡夢般不斷在同一天的清晨醒來，後來卻利用這個機會不斷改善他的追求技倆（不但 take two，更take three、take four……），最後贏得美人歸。

電影為觀眾帶來了美滿的結局。但筆者最早領略「如果」作為小說創作中的奇思妙想，卻令我傷感不已。話說筆者自初中已經愛上科幻小說。大概是中三、四那年，我在公共圖書館借了一本英文的短篇科幻小說集，其中一個以「如果」為題的故事（名稱早已忘記）令我畢生難忘。

故事中，一對恩愛的小夫妻駕車外出，丈夫有點兒不適所以改由太太開車。不幸途中遇上車禍，坐在司機位的太太重傷身亡。丈夫悲痛不已終日借酒澆愁，揮之不去的自責是「如果我那天沒有跟她對調位置……」。

一天，他在拾理太太的遺物時，竟然發現她的日記簿中有新的記事！讀將下來，原來在另一時空裡，兩人當天的確沒有對調位置，所以因車禍去世的是他而不是愛妻！

這兩個「平行時空」原本不會重疊，卻不知怎的透過這本日記簿接通了。結果，「陰陽相隔」的倆人藉著日記互訴衷情。

這本已是十分淒美的情節，但後來日記中的字樣變得愈來愈模糊，最後完全消失，表示兩個「平行宇宙」最終分離而回到互不相通的狀態。筆者當年雖然只有十五、六歲，被觸動的哀愁卻是久久不能平復……。

年少的我已經深深感受到，人生中充滿了無數偶然的變數，而一個簡單的決定，足以改變一生。

多年後，我看到另一部電影《雙面情人》（Sliding Doors, 1998；港譯：《緣分兩面睇》），發覺也是用上了同一意念：女主角每天搭地鐵上班，但某天因事遲了一點而趕不上平日搭的那班車。電影基於「趕得及」和「趕不及」兩種情況，描述了女主角往後出現的兩種截然不同的人生。（我後來才知道，這乃改編自一部一九八一年的波蘭電影。）

歷年來，運用這類意念創作的小說和電影可謂不少，近年流行的好萊塢「超級英雄」電影中，《奇異博士》（Doctor Strange, 2016）和它的續集《奇異博士 2：失控多重宇宙 》（Doctor Strange in the Multiverse of Madness, 2022；港譯：《奇異博士 2：失控多元宇宙》）更將「平行時空」的意念延伸為「多重宇宙」（Multiverse）。陣容更為龐大的《復仇者聯盟 3：無限之戰》（Avengers 3: theInfinity War, 2018）和《復仇者聯盟 4：終局之戰》（Avengers 4: Endgame, 2019）皆以同樣的意念作為故事主軸。當然，這些電影都由漫畫改編，亦即這些意念的出現時間比電影還要早得多。

但將這個意念發揮至極的，毫無疑問是二○二三年橫掃奧斯卡最佳電影、最佳導演、最佳編劇多項大獎的「怪雞」¹ 電影《媽的多重宇宙》（Everything, Everywhere All At Once，縮寫是 EEAAO；港譯：《神奇女俠玩救宇宙》）。華裔演員楊紫瓊（1962-）更因此而封后（最佳女演員）；同樣是華裔的關繼威（1971-）以及潔美．李．寇蒂斯（Jamie Lee Curtis, 1958-）則分別獲得最佳男、女配角的殊榮。電影由兩位導演掌舵，雖然兩個都叫 Daniel，但一個是香港人關家永（Daniel M. Kwan, 1988-），一個是美國人丹尼爾．舒奈特（Daniel Scheinert, 1987-）。² 囊括了這麼多大獎，電影的風頭可謂一時無兩。由於有這麼多華人參與其間，全球絕大部分華人皆感到與有榮焉。

外國的評論幾乎一面倒地對這部電影讚譽有加，包括其中所包含的深刻人生哲理、愛情與理想之間的抉擇、亞裔移民在美國所遇到的生活困難、世代之間的價值矛盾、同性戀（非主流性取向）的社會認同問題，以及貫穿電影的、最重要的母、女之情。不少網友更留言說看至結局時感動流涕。反倒在華人世界，包括不少筆者所認識的朋友，皆對電影甚有保留，認為它寫情的部分毫無新意，而「科幻」的主題和情節則過於胡鬧不知云。（一些更認為電影被大肆吹捧，是近年席捲西方的「政治正確主義」的結果。他們更為另一位最佳女主角競逐者凱特．布蘭琪（Cate Blanchett, 1969-）不值。但那是另一篇文章的主題，暫且按下不表。）

註解

1. 粵語，意指奇怪、荒謬。
2. 因二人名字皆為「Daniel」，而被合稱為「Daniels」。

——本文摘自《超次元．聖戰．多重宇宙》，2023 年 11 月，二○四六出版，未經同意請勿轉載。

• 作者：墨爾 David S. Moore、諾茨 William I. Notz
• 譯者：鄭惟厚、吳欣蓓

實驗法中「隨機化」的必要性

隨機化比較實驗是統計學裡面最重要的概念之一。它的設計是要讓我們能夠得到釐清因果關係的結論。我們先來弄清楚隨機化比較實驗的邏輯：

• 用隨機化的方法將受試者分組，所分出的各組在實施處理之前，應該各方面都類似。
• 之所以用「比較」的設計，是要確保除了實驗上的處理外，其他所有因素都會同樣作用在所有的組身上。
• 因此，反應變數的差異必定是處理的效應所致。

我們用隨機方法選組，以避免人為指派時可能發生的系統性偏差。例如在鐮形血球貧血症的研究中，醫師有可能下意識就把最嚴重的病人指派到羥基脲組，指望這個正在試驗的藥能對他們有幫助。那樣就會使實驗有偏差，不利於羥基脲。

從受試者中取簡單隨機樣本來當作第一組，會使得每個人被選入第一組或第二組的機會相等。我們可以預期兩組在各方面都接近，例如年齡、病情嚴重程度、抽不抽菸等。舉例來說，隨機性通常會使兩組中的吸菸人數差不多，即使我們並不知道哪些受試者吸菸。

新藥研究上不隨機分組帶來的後果：安慰劑效應

如果實驗不採取隨機方式，潛藏變數會有什麼影響呢？安慰劑效應就是潛藏變數，只有受試者接受治療後才會出現。如果實驗組別是在當年不同時間進行治療，所以有些組別是在流感季節治療，有些則不是，那麼潛藏變數就是有些組別暴露在流感的程度較多。

在比較實驗設計中，我們會試著確保這些潛藏變數對全部的組別都有相似的作用。例如為了確保全部的組別都有安慰劑效應，他們會接受相同的治療，全部的組別會在相同的時間接受相同的治療，所以暴露在流感的程度也相同。

要是告訴你，醫學研究者對於隨機化比較實驗接受得很慢，應該不會讓你驚訝，因為許多醫師認為一項新療法對病人是否有用，他們「只要看看」就知道。但事實才不是這樣。有很多醫療方法只經過單軌實驗後就普遍使用，但是後來有人起疑，進行了隨機化比較實驗後，卻發覺其效用充其量不過是安慰劑罷了，這種例子已經不勝枚舉。

曾有人在醫學文獻裡搜尋，經過適當的比較實驗研究過的療法，以及只經過「歷史對照組」實驗的療法。用歷史對照組做的研究不是把新療法的結果和控制組比，而是和過去類似的病人在治療後的效果做比較。結果，納入研究的 56 種療法當中，用歷史對照組來比較時，有 44 種療法顯示出有效。然而在經過使用合適的隨機化比較實驗後，只有 10 種通過安慰劑測試。即使有跟過去的病人比，醫師的判斷仍過於樂觀。

目前來說，法律已有規定，新藥必須用隨機化比較實驗來證明其安全性及有效性。但是對於其他醫療處置，比如手術，就沒有這項規定。上網搜尋「comparisons with historical controls」（以歷史對照組來比較）這個關鍵字，可以找到最近針對曾使用歷史對照組試驗的其他醫療處置，所做的研究。

對於隨機化實驗有一件重要的事必須注意。和隨機樣本一樣，隨機化實驗照樣要受機遇法則的「管轄」。就像抽一個選民的簡單隨機樣本時，有可能運氣不好，抽到的幾乎都是相同政治傾向一樣，隨機指派受試者時，也可能運氣不好，把抽菸的人幾乎全放在同一組。

我們知道，如果抽選很大的隨機樣本，樣本的組成和母體近似的機會就很大。同樣的道理，如果我們用很多受試者，加上利用隨機指派方式分組，也就有可能與實際情況非常吻合。受試者較多，表示實驗處理組的機遇變異會比較小，因此實驗結果的機遇變異也比較小。「用足夠多的受試者」和「同時比較數個處理」以及「隨機化」，同為「統計實驗設計」的基本原則。

——本文摘自《統計，讓數字說話》，2023 年 1 月，天下文化出版，未經同意請勿轉載。