樂透該怎麼買獎金比較高?要考慮的不只有期望值

今年七月時曾有威力彩已經連槓數十期,新聞報導預估這期(2020/07/27 星期一開獎)頭獎獎金高達 31 億元,投注站人潮明顯比往常多了,高額獎金吸引許多人,一時間掀起一陣買樂透熱潮。
友站數感實驗室也趁此機會向大眾宣傳數學,標題是「數感生活|本期威力彩值得投資嗎?讓期望值告訴你!」 內容概要來說就是算期望值,期望值比成本高,所以值得投資。(期望值是一種簡單的分析工具,不需要複雜的計算,只要將每一種獎項的中獎機率乘上獎金通通加總起來,就是中獎金額的期望值。) 如果這麼簡單的話⋯⋯

為何我們很少贏得獎金金額超過買的錢?

背後的理由很直接:因為只有一部分的投注金額會轉入彩金。
以全世界的彩券發行來看,一般大約只有 50% 左右會轉入彩金,這也意味著一個很明顯但多數人卻不知道的事實──­彩券的期望值大約就是購入金額的 50% (如果不看累計的彩金和中獎稅金)。 至於剩餘的那 50% 有一部分就流入市場行銷、通路販售或者送給葉佩雯,有一部分就流進了公益慈善的社會福利補貼。因此我們雖然很少在樂透贏到錢,但輸錢的感覺也不會差到哪裡去,因為如果沒有樂透,我們恐怕必須繳付更多稅金。有一點類似小朋友拒絕吞下苦得要命的感冒藥時,媽媽會從手裡拿出一顆小糖果來引誘你的概念。在這個情況下,投注金額 x 50% 就是買一張樂透的期望價值,這就是為何我們很少贏得獎金金額超過買的錢的理由。

買樂透的一部份投注金額都會成為彩金。
圖/wikimedia

既然如此,在如此不利的前提下,為什麼仍有那麼多人瘋樂透?當然是因為任何人都可買到一個微小的機會用一小筆錢變成大富翁,由此觀之,買樂透也算是一種理性行為。

投注值不值得?搞懂細節就值得!

如果你問我這回期望值大於成本了,該不該投注?我的結論也是一樣,值得! 修但幾勒!不要衝那麼快,結論雖然一樣,不過同款不同師傅,細節很重要。投注之前,除了會算期望值,你最好要知道這三件事。

一、獎金期望值比成本高 ≠ 好投資

想像一場押大小的賭局,押中賠三倍,不中籌碼歸零,但規則是每次所有籌碼必須全押,贏了可以繼續,輸光就結束了。 「該不該梭哈?又什麼時候該收手?」
你稍微計算一下,假設大小開出來的機率都是 50%,發現遊戲的獎金期望值是成本的 1.5 倍,比成本高不少,玩一下應該是有利可圖,所以你就押了小,結果很幸運你贏了,贏了之後,下一把你面臨同樣的賭局,差別只是手裡的籌碼變成了 3 倍,同樣地,遊戲的期望獎金仍然是手裡籌碼的 1.5 倍,你有一點猶豫,最終又押了小,幸運的是又贏了,籌碼變成一開始的 9 倍了,這下你更猶豫要不要繼續進行賭局,因為稍有理性的人都不難意識到,如此一直賭下去,雖然把把有利可圖,但最終你總是會輸個精光。因此,獎金期望值比成本高未必等於好投資。千萬不要賭上身家,即使期望值告訴你有利可圖。

二、期望值不是你的獲獎獎金預估

我在網路上看到許多鄉民網友的留言,發現不少人誤以為獎金期望值就是購買的彩券「獲獎金額的預估」,或者說成「獲利平均」。你知道嗎?網路上很流行用這句話「全世界的人平均每人約有一顆睪丸」吐槽平均的概念。平均的概念很簡單但要用的很小心。 用在樂透上,你必須知道一張彩券的獎金期望值有絕大部分是由頭獎獎金(極高)乘上中獎機率(極低)貢獻而來,除非你購買的彩券數量多到可以將中頭獎的機率提高到可樂觀預期的地步,比方說買了 1100 萬注以上,此時中頭獎機率達到 50% 以上,否則務實的你應該忽略中頭獎的極低中獎率所貢獻的期望價值,重算一遍你可能就會打消下注的念頭。

此圖是玩彩券人數在購買彩券數量與獲得獎金的關係,圖中圓面積越大代表人數越多。
圖/UniMath

此處獎金期望值所涵蓋的平均觀念是理論上進行無限多次投注後的結果,現實中,除非你真的很有錢,否則大多數人不可能進行那麼多次,多到讓這裡的「平均」展現其意義。假設你一生中出現 100次獎金期望值大於成本的機會(一年兩次應該是高估了),每一次都花 100 萬買一萬注,那麼你這一輩子中頭獎的期望次數也才大約 0.045 次(1000,000/22,000,000)。 每張彩券的結果或多或少於獎金期望值。一個理性賭徒通常會在獎金期望值大於成本時才出手買彩券,希望賺到比成本高的報酬。弔詭的是,理性賭徒的期待很難稱得上理性,因為獎金期望值的高低幾乎不影響你能否賺到比成本高的報酬。在樂透獎金分配設計上,往往只有頭獎和貳獎能夠參與高額獎金的分配,其餘獎項都是固定獎金制。換句話說,除非中了頭獎或貳獎,否則高期望值和你一點關係也沒有

低獎金期望值時的中獎分布幾乎不變,和上圖的差別僅是代表期望值的那條線移動了,這是多數理性賭徒不願面對的真相。
圖/UniMath

從圖中可以看出,大多數購買彩券的人都是慈善家,他們付出的總是比得到的多,讓我們一起祝福這些善心人士全家平安,事業順利發大財;少部分的人真正賺到比成本高的報酬,但是報酬也不高;絕無僅有的致富案例只有中頭獎的那一個人,大家都希望自己成為那一位幸運兒,連我也不例外,但希望這兩張圖能讓讀者稍微冷靜,不要錯判形勢。

三、還是忍不住要買,就不要用策略買

一般不管何時問我,我的建議策略是:「不要買!」 如果真的想買,網路上有一些文章提出選號的小技巧,宣稱按照提供的選號邏輯或策略,雖不會提高你中頭獎的機率,但如果幸運中了頭獎,這些策略讓你有更高機率不必與其他人分享獎金。 讓我們來看看有哪些選號策略或邏輯是常見的:
  • 選特殊紀念日(很多人這樣做) 例如選身邊重要的人的生日、結婚紀念日⋯⋯等對自己生命中有特殊意義的日子作為號碼。
  • 選大號碼組合(from 數感實驗室) 因為不論是月或日最多就僅到 31,因此大號碼組合可以避開依照特殊紀念日自選號的人,減少中頭獎卻因撞號要和他人共享獎金的機率。選
  • 最不像隨機產生的號碼組合(from UniMath) 例如第一區 1, 2, 3, 4, 5, 6 第二區 7 號之類的連號,因為大部分人認為這種號碼不夠隨機不可能開出來,因此自選號的人不太可能會選這種形式的組合,可避開自選號的人,但現實中,這種號碼跟其他組合中頭獎機率一模一樣。
然而,經讀者提醒英國有一項統計資料指出,在英國買樂透選 1, 2, 3, 4, 5, 6 的人,每一期有約 10000 人左右,這個統計數字令我吃驚,我認為問題可能出在民眾也認為這組號碼比較不會和他人撞號,又或許也在某報導中讀到專家的類似建議,另一個原因則可能出於便利性,這組號碼有其選號邏輯的便利性,就像過去有些人的密碼也設成連號一樣。 經過一番反思,我決定修正最後這項選號小技巧:避開和他人撞號的機率就是不要照任何已知的策略選號!

UniMath 臉書截圖網友留言。
圖/UniMath

「邁向成功的道路無法複製,唯一可以做的是避免重蹈覆轍」,這句話為避免撞號的選號邏輯做了最佳註解。除了上述策略不要用之外,你最需要避免的是和他人擁有同樣的行為模式,因此以下幾種特殊模式盡可能避開。
不要都選小號碼、不要都選大號碼、不要選連號、不要選尾數包牌(像是 05, 10, 15, 20, 25, 30),最後,不要都選質數或者費波納契數,除非你想和數學家一起中頭獎。哈!
總而言之,唯一能夠建議的技巧就是,避開他人的選號邏輯。而這個策略並不至於落進同樣泥沼的理由是,有多數的號碼組合不被包含在已知的選號策略中,所以我認為這個策略短時間內仍然是最有效的自選號方法。
  • [更新說明 07/30/2020] 經讀者提醒後,重新思考選號小技巧的策略,結論是任何指導選號的策略一旦公開,經過時間發酵後,都不再是個能夠避開撞號的好策略,因為有許多人和你使用同一模式選號就會增加重複的機率。
  • 本文轉載自 UniMath《除了算期望值,買樂透前你應該知道的三件事》。

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UniMath

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