0

0
0

文字

分享

0
0
0

樂透該怎麼買獎金比較高?要考慮的不只有期望值

UniMath_96
・2020/10/16 ・3346字 ・閱讀時間約 6 分鐘 ・SR值 490 ・五年級

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

今年七月時曾有威力彩已經連槓數十期,新聞報導預估這期(2020/07/27 星期一開獎)頭獎獎金高達 31 億元,投注站人潮明顯比往常多了,高額獎金吸引許多人,一時間掀起一陣買樂透熱潮。
圖 / ChiniGaray
友站數感實驗室也趁此機會向大眾宣傳數學,標題是「數感生活|本期威力彩值得投資嗎?讓期望值告訴你!」 內容概要來說就是算期望值,期望值比成本高,所以值得投資。(期望值是一種簡單的分析工具,不需要複雜的計算,只要將每一種獎項的中獎機率乘上獎金通通加總起來,就是中獎金額的期望值。) 如果這麼簡單的話⋯⋯

為何我們很少贏得獎金金額超過買的錢?

背後的理由很直接:因為只有一部分的投注金額會轉入彩金。
以全世界的彩券發行來看,一般大約只有 50% 左右會轉入彩金,這也意味著一個很明顯但多數人卻不知道的事實──­彩券的期望值大約就是購入金額的 50% (如果不看累計的彩金和中獎稅金)。 至於剩餘的那 50% 有一部分就流入市場行銷、通路販售或者送給葉佩雯,有一部分就流進了公益慈善的社會福利補貼。因此我們雖然很少在樂透贏到錢,但輸錢的感覺也不會差到哪裡去,因為如果沒有樂透,我們恐怕必須繳付更多稅金。有一點類似小朋友拒絕吞下苦得要命的感冒藥時,媽媽會從手裡拿出一顆小糖果來引誘你的概念。在這個情況下,投注金額 x 50% 就是買一張樂透的期望價值,這就是為何我們很少贏得獎金金額超過買的錢的理由。
買樂透的一部份投注金額都會成為彩金。
圖/wikimedia
既然如此,在如此不利的前提下,為什麼仍有那麼多人瘋樂透?當然是因為任何人都可買到一個微小的機會用一小筆錢變成大富翁,由此觀之,買樂透也算是一種理性行為。

投注值不值得?搞懂細節就值得!

如果你問我這回期望值大於成本了,該不該投注?我的結論也是一樣,值得! 修但幾勒!不要衝那麼快,結論雖然一樣,不過同款不同師傅,細節很重要。投注之前,除了會算期望值,你最好要知道這三件事。

一、獎金期望值比成本高 ≠ 好投資

想像一場押大小的賭局,押中賠三倍,不中籌碼歸零,但規則是每次所有籌碼必須全押,贏了可以繼續,輸光就結束了。 「該不該梭哈?又什麼時候該收手?」
你稍微計算一下,假設大小開出來的機率都是 50%,發現遊戲的獎金期望值是成本的 1.5 倍,比成本高不少,玩一下應該是有利可圖,所以你就押了小,結果很幸運你贏了,贏了之後,下一把你面臨同樣的賭局,差別只是手裡的籌碼變成了 3 倍,同樣地,遊戲的期望獎金仍然是手裡籌碼的 1.5 倍,你有一點猶豫,最終又押了小,幸運的是又贏了,籌碼變成一開始的 9 倍了,這下你更猶豫要不要繼續進行賭局,因為稍有理性的人都不難意識到,如此一直賭下去,雖然把把有利可圖,但最終你總是會輸個精光。因此,獎金期望值比成本高未必等於好投資。千萬不要賭上身家,即使期望值告訴你有利可圖。

二、期望值不是你的獲獎獎金預估

我在網路上看到許多鄉民網友的留言,發現不少人誤以為獎金期望值就是購買的彩券「獲獎金額的預估」,或者說成「獲利平均」。你知道嗎?網路上很流行用這句話「全世界的人平均每人約有一顆睪丸」吐槽平均的概念。平均的概念很簡單但要用的很小心。 用在樂透上,你必須知道一張彩券的獎金期望值有絕大部分是由頭獎獎金(極高)乘上中獎機率(極低)貢獻而來,除非你購買的彩券數量多到可以將中頭獎的機率提高到可樂觀預期的地步,比方說買了 1100 萬注以上,此時中頭獎機率達到 50% 以上,否則務實的你應該忽略中頭獎的極低中獎率所貢獻的期望價值,重算一遍你可能就會打消下注的念頭。
此圖是玩彩券人數在購買彩券數量與獲得獎金的關係,圖中圓面積越大代表人數越多。
圖/UniMath
此處獎金期望值所涵蓋的平均觀念是理論上進行無限多次投注後的結果,現實中,除非你真的很有錢,否則大多數人不可能進行那麼多次,多到讓這裡的「平均」展現其意義。假設你一生中出現 100次獎金期望值大於成本的機會(一年兩次應該是高估了),每一次都花 100 萬買一萬注,那麼你這一輩子中頭獎的期望次數也才大約 0.045 次(1000,000/22,000,000)。 每張彩券的結果或多或少於獎金期望值。一個理性賭徒通常會在獎金期望值大於成本時才出手買彩券,希望賺到比成本高的報酬。弔詭的是,理性賭徒的期待很難稱得上理性,因為獎金期望值的高低幾乎不影響你能否賺到比成本高的報酬。在樂透獎金分配設計上,往往只有頭獎和貳獎能夠參與高額獎金的分配,其餘獎項都是固定獎金制。換句話說,除非中了頭獎或貳獎,否則高期望值和你一點關係也沒有
低獎金期望值時的中獎分布幾乎不變,和上圖的差別僅是代表期望值的那條線移動了,這是多數理性賭徒不願面對的真相。
圖/UniMath
從圖中可以看出,大多數購買彩券的人都是慈善家,他們付出的總是比得到的多,讓我們一起祝福這些善心人士全家平安,事業順利發大財;少部分的人真正賺到比成本高的報酬,但是報酬也不高;絕無僅有的致富案例只有中頭獎的那一個人,大家都希望自己成為那一位幸運兒,連我也不例外,但希望這兩張圖能讓讀者稍微冷靜,不要錯判形勢。

三、還是忍不住要買,就不要用策略買

一般不管何時問我,我的建議策略是:「不要買!」 如果真的想買,網路上有一些文章提出選號的小技巧,宣稱按照提供的選號邏輯或策略,雖不會提高你中頭獎的機率,但如果幸運中了頭獎,這些策略讓你有更高機率不必與其他人分享獎金。 讓我們來看看有哪些選號策略或邏輯是常見的:
  • 選特殊紀念日(很多人這樣做) 例如選身邊重要的人的生日、結婚紀念日⋯⋯等對自己生命中有特殊意義的日子作為號碼。
  • 選大號碼組合(from 數感實驗室) 因為不論是月或日最多就僅到 31,因此大號碼組合可以避開依照特殊紀念日自選號的人,減少中頭獎卻因撞號要和他人共享獎金的機率。選
  • 最不像隨機產生的號碼組合(from UniMath) 例如第一區 1, 2, 3, 4, 5, 6 第二區 7 號之類的連號,因為大部分人認為這種號碼不夠隨機不可能開出來,因此自選號的人不太可能會選這種形式的組合,可避開自選號的人,但現實中,這種號碼跟其他組合中頭獎機率一模一樣。
然而,經讀者提醒英國有一項統計資料指出,在英國買樂透選 1, 2, 3, 4, 5, 6 的人,每一期有約 10000 人左右,這個統計數字令我吃驚,我認為問題可能出在民眾也認為這組號碼比較不會和他人撞號,又或許也在某報導中讀到專家的類似建議,另一個原因則可能出於便利性,這組號碼有其選號邏輯的便利性,就像過去有些人的密碼也設成連號一樣。 經過一番反思,我決定修正最後這項選號小技巧:避開和他人撞號的機率就是不要照任何已知的策略選號!
UniMath 臉書截圖網友留言。
圖/UniMath
「邁向成功的道路無法複製,唯一可以做的是避免重蹈覆轍」,這句話為避免撞號的選號邏輯做了最佳註解。除了上述策略不要用之外,你最需要避免的是和他人擁有同樣的行為模式,因此以下幾種特殊模式盡可能避開。
不要都選小號碼、不要都選大號碼、不要選連號、不要選尾數包牌(像是 05, 10, 15, 20, 25, 30),最後,不要都選質數或者費波納契數,除非你想和數學家一起中頭獎。哈!
總而言之,唯一能夠建議的技巧就是,避開他人的選號邏輯。而這個策略並不至於落進同樣泥沼的理由是,有多數的號碼組合不被包含在已知的選號策略中,所以我認為這個策略短時間內仍然是最有效的自選號方法。
  • [更新說明 07/30/2020] 經讀者提醒後,重新思考選號小技巧的策略,結論是任何指導選號的策略一旦公開,經過時間發酵後,都不再是個能夠避開撞號的好策略,因為有許多人和你使用同一模式選號就會增加重複的機率。
  • 本文轉載自 UniMath《除了算期望值,買樂透前你應該知道的三件事》。
-----廣告,請繼續往下閱讀-----
文章難易度
UniMath_96
9 篇文章 ・ 209 位粉絲
UniMath (You Need Math) 是一個 Online 數學媒體,我們的目的是成為一個線上平台,發表數學相關的科普文章及影音,使數學用更柔軟的姿態走入群眾,提升數學素養。

0

0
0

文字

分享

0
0
0
純淨之水的追尋—濾水技術如何改變我們的生活?
鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2025/04/17 ・3142字 ・閱讀時間約 6 分鐘

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

本文與 BRITA 合作,泛科學企劃執行。

你確定你喝的水真的乾淨嗎?

如果你回到兩百年前,試圖喝一口當時世界上最大城市的飲用水,可能會立刻放下杯子——那水的顏色帶點黃褐,氣味刺鼻,甚至還飄著肉眼可見的雜質。十九世紀倫敦泰晤士河的水,被戲稱為「流動的污水」,當時的人們雖然知道水不乾淨,但卻無力改變,導致霍亂和傷寒等疾病肆虐。

十九世紀倫敦泰晤士河的水,被戲稱為「流動的污水」(圖片來源 / freepik)

幸運的是,現代自來水處理系統已經讓我們喝不到這種「肉眼可見」的污染物,但問題可還沒徹底解決。面對 21 世紀的飲水挑戰,哪些技術真正有效?

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

19 世紀的歐洲因為城市人口膨脹與工業發展,面臨了前所未有的水污染挑戰。當時多數城市的供水系統仍然依賴河流、湖泊,甚至未經處理的地下水,導致傳染病肆虐。

1854 年,英國醫生約翰·斯諾(John Snow)透過流行病學調查,發現倫敦某口公共水井與霍亂爆發直接相關,這是歷史上首次確立「飲水與疾病傳播的關聯」。這項發現徹底改變了各國政府對供水系統的態度,促使公衛政策改革,加速了濾水與消毒技術的發展。到了 20 世紀初,英國、美國等國開始在自來水中加入氯消毒,成功降低霍亂、傷寒等水媒傳染病的發生率,這一技術迅速普及,成為現代供水安全的基石。    

 19 世紀末的台灣同樣深受傳染病困擾,尤其是鼠疫肆虐。1895 年割讓給日本後,惡劣的衛生條件成為殖民政府最棘手的問題之一。1896 年,後藤新平出任民政長官,他本人曾參與東京自來水與下水道系統的規劃建設,對公共衛生系統有深厚理解。為改善台灣水源與防疫問題,他邀請了曾參與東京水道工程的英籍技師 W.K. 巴爾頓(William Kinnimond Burton) 來台,規劃現代化的供水設施。在雙方合作下,台灣陸續建立起結合過濾、消毒、儲水與送水功能的設施。到 1917 年,全台已有 16 座現代水廠,有效改善公共衛生,為台灣城市化奠定關鍵基礎。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----
圖片來源/BRITA

進入 20 世紀,人們已經可以喝到看起來乾淨的水,但問題真的解決了嗎? 科學家如今發現,水裡仍然可能殘留奈米塑膠、重金屬、農藥、藥物代謝物,甚至微量的內分泌干擾物,這些看不見、嚐不出的隱形污染,正在成為21世紀的飲水挑戰。也因此,濾水技術迎來了一波科技革新,活性碳吸附、離子交換樹脂、微濾、逆滲透(RO)等技術相繼問世,各有其專長:

活性碳吸附:去除氯氣、異味與部分有機污染物

離子交換樹脂:軟化水質,去除鈣鎂離子,減少水垢

微濾技術逆滲透(RO)技術:攔截細菌與部分微生物,過濾重金屬與污染物等

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

這些技術相互搭配,能夠大幅提升飲水安全,然而,無論技術如何進步,濾芯始終是濾水設備的核心。一個設計優良的濾芯,決定了水質能否真正被淨化,而現代濾水器的競爭,正是圍繞著「如何打造更高效、更耐用、更智能的濾芯」展開的。於是,最關鍵的問題就在於到底該如何確保濾芯的效能?

濾芯的壽命與更換頻率:濾水效能的關鍵時刻濾芯,雖然是濾水器中看不見的內部構件,卻是決定水質純淨度的核心。以德國濾水品牌 BRITA 為例,其濾芯技術結合椰殼活性碳和離子交換樹脂,能有效去除水中的氯、除草劑、殺蟲劑及藥物殘留等化學物質,並過濾鉛、銅等重金屬,同時軟化水質,提升口感。

然而,隨著市場需求的增長,非原廠濾芯也悄然湧現,這不僅影響濾水效果,更可能帶來健康風險。據消費者反映,同一網路賣場內便可輕易購得真假 BRITA 濾芯,顯示問題日益嚴重。為確保飲水安全,建議消費者僅在實體官方授權通路或網路官方直營旗艦店購買濾芯,避免誤用來路不明的濾芯產品讓自己的身體當過濾器。

辨識濾芯其實並不難——正品 BRITA 濾芯的紙盒下方應有「台灣碧然德」的進口商貼紙,正面則可看到 BRITA 商標,以及「4週換放芯喝」的標誌。塑膠袋外包裝上同樣印有 BRITA 商標。濾芯本體的上方會有兩個浮雕的 BRITA 字樣,並且沒有拉環設計,底部則標示著創新科技過濾結構。購買時仔細留意這些細節,才能確保濾芯發揮最佳過濾效果,讓每一口水都能保證潔淨安全。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----
濾芯本體的上方會有兩個浮雕的 BRITA 字樣,並且沒有拉環設計 (圖片來源 / BRITA)

不過,即便是正品濾芯,其效能也非永久不變。隨著使用時間增加,濾芯的孔隙會逐漸被污染物堵塞,導致過濾效果減弱,濾水速度也可能變慢。而且,濾芯在拆封後便接觸到空氣,潮濕的環境可能會成為細菌滋生的溫床。如果長期不更換濾芯,不僅會影響過濾效能,還可能讓積累的微小污染物反過來影響水質,形成「過濾器悖論」(Filter Paradox):本應淨化水質的裝置,反而成為污染源。為此,BRITA 建議每四週更換一次濾芯,以維持穩定的濾水效果。

為了解決使用者容易忽略更換時機的問題,BRITA 推出了三大智慧提醒機制,確保濾芯不會因過期使用而影響水質:

1. Memo 或 LED 智慧濾芯指示燈:即時監測濾芯狀況,顯示剩餘效能,讓使用者掌握最佳更換時間。

2. QR Code 掃碼電子日曆提醒:掃描包裝外盒上的 QR Code 記錄濾芯的使用時間,自動提醒何時該更換,減少遺漏。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

3. LINE 官方帳號自動通知:透過 LINE 推送更換提醒,確保用戶不會因忙碌而錯過更換時機。

在濾水技術日新月異的今天,濾芯已不僅僅是過濾裝置,更是智慧監控的一部分。如何挑選最適合自己需求的濾水設備,成為了健康生活的關鍵。

人類對潔淨飲用水的追求,從未停止。19世紀,隨著城市化與工業化發展,水污染問題加劇並引發霍亂等疾病,促使濾水技術迅速發展。20世紀,氯消毒技術普及,進一步保障了水質安全。隨著科技進步,現代濾水技術透過活性碳、離子交換等技術,去除水中的污染物,讓每一口水更加潔淨與安全。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----
(圖片來源 / BRITA)

今天,消費者不再單純依賴公共供水系統,而是能根據自身需求選擇適合的濾水設備。例如,BRITA 提供的「純淨全效型濾芯」與「去水垢專家濾芯」可針對不同需求,從去除餘氯、過濾重金屬到改善水質硬度等問題,去水垢專家濾芯的去水垢能力較純淨全效型濾芯提升50%,並通過 SGS 檢測,通過國家標準水質檢測「可生飲」,讓消費者能安心直飲。

然而,隨著環境污染問題的加劇,真正的挑戰在於如何減少水污染,並確保每個人都能擁有乾淨水源。科技不僅是解決問題的工具,更應該成為守護未來的承諾。濾水器不僅是家用設備,它象徵著人類與自然的對話,提醒我們水的純淨不僅是技術的勝利,更是社會的責任和對未來世代的承諾。

*符合濾(淨)水器飲用水水質檢測技術規範所列9項「金屬元素」及15項「揮發性有機物」測試
*僅限使用合格自來水源,且住宅之儲水設備至少每6-12個月標準清洗且無受汙染之虞

-----廣告,請繼續往下閱讀-----
文章難易度

討論功能關閉中。

0

0
0

文字

分享

0
0
0
預測市場?預測股票?如何讓預測有更高的準確率?——《超越直覺》
一起來
・2024/05/04 ・1635字 ・閱讀時間約 3 分鐘

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

我們發現在足球賽中,只要知道一個簡單的訊息(主隊過去的獲勝機率超過一半),預測力就會明顯好過隨便亂猜。如果再加上第二個簡單的訊息(勝負紀錄較佳的隊伍會略占優勢),可以再進一步提升預測力。除此之外,你可能還想收集其他訊息,像是四分衛最近的表現、球隊有沒有傷兵、明星跑衛的花邊新聞,但這些資訊對預測的幫助不大。換句話說,預測複雜系統這件事依循著「收益遞減定律」:第一個訊息很有幫助,但很快就找不到有幫助的其他訊息。

對於某些事件,我們當然會非常計較預測的準確性,像是投放線上廣告或投資高頻交易(HFT),可能一天內就要預測數百萬、數十億次,而且金額相當龐大。投入極大心力與費用、運用最精細的運算模型來開發複雜的預測方式,在那種情況下或許值得。但在其他商業領域,例如製作電影、出版書籍到發展新技術,只需要一年預測數十次、頂多數百次,而且這不過是整個決策過程中的一部分。這時,我們只要借助相對簡單的方式,就可以讓預測臻至完善。

預測時,不該只根據一人的意見就做決定——尤其是你自己的意見。雖然人們善於察覺與特定問題相關的因素,卻往往不會評估因素之間的相對重要性。譬如,預測電影的首映週末票房時,你可能會認為一些變項都是高度相關,例如製作費、宣傳費、上映廳數、試映會評價。沒錯。但我們要如何權衡「評價不優」與「額外行銷預算:一千萬美元」之間的比重?這沒有一定答案。同樣,在決定分配行銷預算的方法時,要如何判斷多少人會受到網路或雜誌廣告影響,又有多少人會從親朋好友那邊聽到產品訊息?我們也不清楚。唯一知道的是,這些因素都可能相關。

圖/envato

你可能會以為,精準判斷應該是專家的強項。但正如泰特洛克的試驗結果,專家在量化預測上的表現,其實跟普通人一樣糟糕,甚至可能更糟。然而,我們依賴專家之所以會成效不彰,不是因為專家的預測力跟一般人沒兩樣。問題在於,我們通常一次只會諮詢一位專家(否則何必找專家)。但我們應該要綜合多人的意見(無論是專家或非專家)再取平均值。至於要如何達成?這其實沒那麼重要。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

儘管預測市場有各種花俏的噱頭與技術,表現也比民調這類簡單方式好一點,但這種微小差異,還不如採用某種方式簡單綜合許多觀點再取平均。或者,我們也可以直接根據歷史數據,評估各項因素的相對重要性——這實際上就是統計模型在做的事。我必須再強調一次,雖然複雜模型可能會比簡單模型好一點,但兩者的差異小到幾乎沒有差別。到頭來,模型跟群眾所能達到的預測目的都一樣。第一,這兩種預測方式都要靠人為判斷,確認哪些因素與預測相關。第二,兩者皆需要估計、權衡那些因素的相對重要性。正如心理學家羅賓.道斯所言:「訣竅在於,找到要注意的變項,然後知道如何加入它們。」

只要一直使用這個訣竅,一段時間後,就會知道哪一些預測的失誤率較小,哪一些較大。舉例來說,當你要預測一個事件的結果,假如其他條件都相同,那越早做預測的失誤率就越大。不管你用什麼方法預測電影票房,在「剛開拍」時會比「上映前幾週」時要難得多。同樣,如果你想預測尚未上市的新產品銷量,那準確度可能不會高過預測已上市的產品。

你無法解決這個問題,唯一能做的只有:使用其中一種方式,或甚至結合幾種方式,就像我們研究預測市場時的方法,然後隨時觀察、記錄預測的表現。我在第 6 章開頭也提過,一般人通常不習慣追蹤自己的預測。我們做了大量預測,卻很少回頭檢視自己對了幾次。然而,留意並記錄預測成效或許才是最重要的事,唯有如此,你才能知道準確度是多少,進而知道自己預測的可信度。

——本文摘自《超越直覺》,2024 年 01 月,一起來出版,未經同意請勿轉載。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----
-----廣告,請繼續往下閱讀-----

討論功能關閉中。

2

2
2

文字

分享

2
2
2
買樂透真的可以賺錢?大數法則揭示了賭博的真相!——《統計,讓數字說話》
天下文化_96
・2023/03/05 ・2394字 ・閱讀時間約 4 分鐘

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

  • id S. Moore、諾茨 William I. Notz
  • 譯者:鄭惟厚、吳欣蓓

什麼是大數法則?

期望值的定義是:它是可能結果的一種平均,但在計算平均時,機率大的結果占的比重較高。我們認為期望值也是另一種意義的平均結果,它代表了如果我們重複賭很多次,或者隨機選出很多家戶,實際上會看到的長期平均。這並不只是直覺而已。數學家只要用機率的基本規則就可以證明,用機率模型算出來的期望值,真的就是「長期平均」。這個有名的事實叫做大數法則。

大數法則
大數法則(law of large numbers)是指,如果結果為數值的隨機現象,獨立重複執行許多次,實際觀察到的結果的平均值,會趨近期望值。

大數法則和機率的概念密切相關。在許多次獨立的重複當中,每個可能結果的發生比例會接近它的機率,而所得到的平均結果就會接近期望值。這些事實表達了機遇事件的長期規律性。正如我們在第 17 章提過的,它們是真正的「平均數定律」。

大數法則解釋了:為什麼對個人來說是消遣甚至是會上癮的賭博,對賭場來說卻是生意。經營賭場根本就不是在賭博。大量的賭客贏錢的平均金額會很接近期望值。賭場經營者事先就算好了期望值,並且知道長期下來收入會是多少,所以並不需要在骰子裡灌鉛或者做牌來保證利潤。

賭場只要花精神提供不貴的娛樂和便宜的交通工具,讓顧客川流不息進場就行了。只要賭注夠多,大數法則就能保證賭場賺錢。保險公司的運作也很像賭場,他們賭買了保險的人不會死亡。當然有些人確實會死亡,但是保險公司知道機率,並且依賴大數法則來預測必須給付的平均金額。然後保險公司就把保費訂得夠高,來保證有利潤。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----
  • 在樂透彩上做手腳

我們都在電視上看過樂透開獎的實況轉播,看到號碼球上下亂跳,然後由於空氣壓力而隨機彈跳出來。我們可以怎麼樣對開出的號碼做手腳呢? 1980 年的時候,賓州樂透就曾被面帶微笑的主持人以及幾個舞台工作人員動了手腳。

他們把 10 個號碼球中的 8 顆注入油漆,這樣做會把球變重,因此可保證開出中獎號碼的 3 個球必定有那 2 個沒被注入油漆的號碼。然後這些傢伙就下注買該 2 個號碼的所有組合。當 6-6-6 跳出來的時候,他們贏了 120 萬美元。是的,他們後來全被逮到。

歷史上曾有主持人在樂透上做手腳,後來賺了 120 萬美元隨後被逮捕。圖/envatoelements

深入探討期望值

跟機率一樣,期望值和大數法則都值得再花些時間,探討相關的細節問題。

  • 多大的數才算是「大數」?

大數法則是說,當試驗的次數愈來愈多,許多次試驗的實際平均結果會愈來愈接近期望值。可是大數法則並沒有說,究竟需要多少次試驗,才能保證平均結果會接近期望值。這點是要看機結果的變異性決定。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

結果的變異愈大,就需要愈多次的試驗,來確保平均結果接近期望值。機遇遊戲一定要變化大,才能保住賭客的興趣。即使在賭場待上好幾個鐘頭,結果也是無法預測的。結果變異性極大的賭博,例如累積彩金數額極大但極不可能中獎的州彩券,需要極多次的試驗,幾乎要多到不可能的次數,才能保證平均結果會接近期望值。

(州政府可不需要依賴大數法則,因為樂透彩金不像賭場的遊戲,樂透彩用的是同注分彩系統。在同注分彩系統裡面,彩金和賠率是由實際下注金額決定的。舉例來說,各州所辦的樂透彩金,是由全部賭金扣除州政府所得部分之後的剩餘金額來決定的。賭馬的賠率則是決定於賭客對不同馬匹的下注金額。)

雖然大部分的賭博遊戲不及樂透彩這樣多變化,但要回答大數法則的適用範圍,較實際的答案就是:賭場的贏錢金額期望值是正的,而賭場玩的次數夠多,所以可以靠著這個期望值贏錢。你的問題則是,你贏錢金額的期望值是負的。全體賭客玩的次數合起來算的話,當然和賭場一樣多,但因為期望值是負的,所以以賭客整體來看,長期下來一定輸錢。

然而輸的金額並不是由賭客均攤。有些人贏很多錢,有些人輸很多,而有些人沒什麼輸贏。賭博帶給人的誘惑,大部分是來自賭博結果的無法預測。而賭博這門生意仰賴的則是:對賭場來說,結果並非不可測的。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----
對賭場來說,贏錢金額期望值為正。圖/envatoelements
  • 有沒有保證贏錢的賭法?

把賭博很當回事的賭客常常遵循某種賭法,這種賭法每次下注的金額,是看前幾次的結果而定。比如說,在賭輪盤時,你可以每次把賭注加倍,直到你贏為止—或者,當然,直到你輸光為止。即使輪盤並沒有記憶,這種玩法仍想利用你有記憶這件事來贏。

你可以用一套賭法來戰勝機率嗎?不行,數學家建立的另一種大數法則說:如果你沒有無窮盡的賭本,那麼只要遊戲的各次試驗(比如輪盤的各次轉動)之間是獨立的,你的平均獲利(期望值)就會是一樣的。抱歉啦!

  • 高科技賭博

全美國有超過 700,000 台吃角子老虎(拉霸)。從前,你丟硬幣進去再拉下把手,轉動三個輪子,每個輪子有 20 個圖案。但早就不是這樣了。現在的機器是電動遊戲,會閃出許多很炫的畫面,而結果是由隨機數字產生器決定的。

機器可以同時接受許多硬幣,有各種讓你眼花撩亂的中獎結果,還可以多台連線,共同累積成連線大獎。賭徒仍在尋找可以贏錢的賭法,但是長期下來,隨機數字產生器會保證賭場有 5% 的利潤。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

——本文摘自《統計,讓數字說話》,2023 年 1 月,天下文化出版,未經同意請勿轉載。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----
所有討論 2
天下文化_96
142 篇文章 ・ 624 位粉絲
天下文化成立於1982年。一直堅持「傳播進步觀念,豐富閱讀世界」,已出版超過2,500種書籍,涵括財經企管、心理勵志、社會人文、科學文化、文學人生、健康生活、親子教養等領域。每一本書都帶給讀者知識、啟發、創意、以及實用的多重收穫,也持續引領台灣社會與國際重要管理潮流同步接軌。