怎樣獲得機緣？機會、才能、努力 ！——《幸運的科學》下

隨著科技的快速進步及生活水準的不斷提高，人類在日常生活使用的工具越來越複雜。面對推陳出新，源源不絕的各種新式工具，要如何有效地使用它們呢？看到這麼多的廣告，又要如何判斷它們的真偽呢？

這些應用科學的工具固然帶來許多便利性，但是使用者在不了解背後科學原理的情況下，也可能發生誤解，造成一些錯誤觀念以訛傳訛，反而促成不必要的浪費。本文便是筆者以日常生活中的見聞，來探討生活用品背後的一些物理原理與數學，期望能釐清一些迷思，讓讀者能夠撥雲見日。

電熱水瓶

在「日常生活範式的轉變：從紙筆到 AI」一文裡，筆者提到了許多改變我們日常生活的現代科技，卻忘了非常重要的網路購物！事實上，除了菜市場外，筆者現在幾乎已不在任何商店買東西了。網路購物有一個很大的優點，那就是很容易比較不同品牌的商品。例如 2020 年筆者決定換個熱水瓶時，在美國最大的網路市場亞馬遜（Amazon）碰到一個問題：一般的熱水瓶（如松下）大約只要美金 100 左右，唯獨像印（Zojirushi）卻有高達美金 200 元以上的熱水瓶；仔細比較一下，唯一的大不同是後者有真空保溫的外層。一向節儉慣的筆者幾經思考後決定購買 4 公升裝的松下。

在透過提高裝貨運送速度、實施更嚴格的賣家驗證流程來應對假冒產品的擔憂後，中國大陸的「全球速賣通」（AliExpress） 似乎已重返美國市場，筆者最近兩、三年也開始敢在其網站購物了。數月前看到它廣告只要美金 150 元的像印真空保溫熱水瓶，一向喜歡佔小便宜的筆者就買了一隻，讓筆者有實際的數據來比較像印的高價是否值得。像印的規格資料謂保持在 90℃ 的平均功率是 24 瓦特；美國聖荷西市的電費是每一度（千瓦小時）0.39 美元，因此每年用在保溫的電費為

松下的規格資料謂保持在 88℃ 的平均功率是 39 瓦特，因此每年用在保溫的電費是

即像印熱水瓶每年可節省約 51 美元的保溫費！值不值得高價買像印熱水瓶那就看讀者準備要用多久了。筆者的松下熱水瓶用了 4 年多，因此後悔當初沒有買比較貴的像印真空保溫熱水瓶了！

一般電熱水瓶均有所謂的「節能定時器功能」：因為晚上睡覺時不用熱水，所以在睡覺前將熱水瓶關掉，可以設定幾小時後，再自動加熱，讓讀者起來時立即有熱水泡茶或沖咖啡。這看起來是很方便，但真的節能嗎？

讓我們在這裡來分析一下吧。如果有科學儀器幫忙，分析將是輕而易舉；但事實上即使沒有，我們還是可以做很多有意義之分析的。我們關掉熱水瓶的電後，其溫度將類似圖一的紅線下降（註一），「最後」到達室溫。理論上「最後」應是慢慢逼近，永遠不可能達到室溫的。

但在實應上，我們可以說到達 1.5 之 x 座標時已經是室溫。而 1.5 到底是多少小時，則因電熱水瓶的設計及室溫之不同而異。如果設定的節能定時 x ≤ 1.5，那麼熱水瓶所散的熱正好由重新啟動的加熱補上，所以根本沒有節能；如果設定的 x > 1.5，則因熱水瓶在 x ≥ 1.5 後就已經不再散熱了，而沒有關掉的熱水瓶仍必須繼續保溫（圖一藍線），所以關掉熱水瓶是值得的、有節能的效果。

松下熱水瓶只有一個 6 小時的定時，筆者夏天做了一個實驗，發現 7 小時後還是室溫，所以沒用過它的「節能定時器功能」；像印松下熱水瓶在 6-12 小時間有 6 個定時。

便攜式空調

聖荷西夏天很熱的時間不長，因此筆者一直想買容易移動的「便攜式空調」（portable air conditioner），以便炎暑一過就可以收起來。以「portable air conditioner」搜尋亞馬遜網路市場，發現有價格差異很大的兩種空調：一種大約在美金 100 元以下，另一種則大約在 200 元以上。

仔細「研究」發現其差異是前者不必要往外面排熱氣，後者必須有管子通到外面以便排掉熱氣。我們知道能量不滅定律，如果用電產生的熱不往外排掉，那熱只能留在房間內，房間只會越來越熱，不可能變冷的！所以這類的「冷氣機」（圖二）只能像電扇一樣，讓你在電扇前面感到涼爽而已！

事實上比電扇好一點的都加了一個水箱，利用蒸發水會吸熱，讓你感到的風比電扇更冷一點，所以價錢比普通電扇高一點。這種電扇在乾燥的地方事實上是一雙箭雕：除了吹冷風外，同時可以增加空氣的濕度；但是在濕度很高的台灣，其結果可能讓人感到更悶、更難受。

為什麼要使用水呢？除了是最常見的物質之外，水俱有許多其它物質所沒有的性質（參見「奇妙的水分子」），例如氣化熱（一克的水蒸發成一克的氣體所需的熱）、比熱（將一克的水提高溫度一度所需的熱）等等均比其它物質高出許多，所以我們馬上將看到水也常來當冷卻劑。

前面所談到之兩種空調在外表上的不同是「往外面排熱氣的管子」，在內部構造上則是「壓縮機的有無」。壓縮機將氣態冷媒擠壓成液態時會產生大量的熱，冷氣機必須透過「熱交換」將它們丟到外面去，這就是為什麼「真正的冷氣機」需要有通到外面的排氣管。被壓縮的冷媒到了壓力較低的地方會立即透過「熱交換」吸熱膨脹成氣態的冷媒。前者「熱交換」的媒體主要是室外的空氣（為了提高效力，大冷氣機會用水），後者則是室內的空氣（見圖二）。

沒有排氣管的冷氣機

所以真正的冷氣機應該要有排氣管，但筆者在網路上逛店時卻發現有壓縮機、但沒有排氣管的冷氣機！例如有一款「HANLIN HS02 移動冷氣 行動空調」廣告謂：「商業級強勁壓縮機秒速制冷，快速降溫，讓酷暑瞬間消散；……。免排水高溫自蒸發系統，內建水箱設計，開機預設開啟，免排水冷凝水，高溫排風自動霧化」。從產品特色看來，壓縮機所產生的熱量應該是用來蒸發（霧化）「水箱」的水（見圖三）。讓我們在這裡利用能量不滅定律來看看是否可行。

該產品的規格謂其冷氣量為 1400 瓦特，即每秒鐘可以從室內拿掉1400焦耳的能量。前面提到水的汽化熱很高，約為每公克 2260 焦耳；因此該機器每秒鐘能蒸發掉約 0.62 公克（1400/2260）的水。也就是說為了保持室溫不變，一小時必須蒸發掉 2230 公克（2.23 公升）的水。因此除非水箱是 24 公升大，「12 小時預約定時，可設定開關機時間，方便您的生活」是絕對不可能的！還有，這些蒸發的水氣很快就會達到飽和點、結合成液態水，釋放出其剛吸收的汽化熱到室內，不可能降低室內溫度的！在廣告中他們特別介紹了「外出露營帳篷使用方法」，相信那才是該冷氣機可以真正發揮功能的地方；而商品配件中的「排水管」應該是用來「勸」我們在室內使用吧？

所以用蒸發水來冷卻壓縮機似乎是不可行的，但因為水的比熱較空氣高多了，循環「水箱」的水來冷卻壓縮機效益應該比空氣更高（見圖三），可行嗎？

DIKE 多功能移動式瞬涼水冷氣 HLE700WT就是基於這種想法的一個產品。其廣告謂：創新「無排熱管」冰風機，採用水冷循環及高效壓縮機製冷，出風降溫至 14℃，搭配獨立除溼、送風三合一功能四季都適用！前面涼快，後面涼快，無須排熱風管免窗戶施工。…製冷前需先將水箱加水，維持水循環運作，水箱裝滿 4 公升時可持續製冷 8 到 12小 時，一整天都涼爽。因為水是熱交換媒，因此廣告特別強調「大容量水箱」，讓我們在這裡也利用能量不滅定律來看看是否可行。

廣告中沒有提到冷氣量，讓我們在這裡假設與前面那款冷氣機一樣（1400瓦特）吧，即每秒鐘可以從室內拿掉1400焦耳的能量，或每小時可以拿掉5040千焦耳的能量。前面提到水的比熱很高，將1公克的水提升溫度一度需4.2焦耳；因此4公升（4000克）的水從30°C提升到100°C 水滾前可以拿掉1176千焦耳（4.2 x 4000 x 70）的熱，也就是說僅能夠拿掉冷氣機0.23小時的壓縮熱能（1176/5040）！

彩券與選擇題

美國有許多州聯合起來的「百萬大獎」（Mega Millions）：玩家可以從兩個獨立的數字池中挑選六個數字——從 1 到 70 中的五個不同數字（白球）和從 1 到 25 中的一個數字（金色百萬富翁球）。學過排列組合的讀者應該可以算出其得獎或然率是 302,575,350 之一（註二）。

美國的人口約為 335 百萬，估計絕對不會有半數以上的人買，所以其設計是每次有人中獎的機會不大，獎金下移累積，因此三不五時會出現一個大獎來製造大新聞。例如有一次大獎是 12.2 億美元，而每張「百萬大獎」券才 2 元；這麼高的「益本比」確實是相當吸引人，因此到處出現大排長龍購買，讀者會加入行列嗎？

數學及經濟學上有一稱為「預期價值」（expected value）——隨機變數可能的值，乘上其機率的總和——來幫助我們決定是否值得投資。例如假設拋硬幣正面的或然率為 2/3，反面的或然率為 1/3 ；如果擲出正面，您輸掉 $6，反面您贏得 $10；您賭嗎？這遊戲的「預期價值」為：

即平均而言，每次玩此遊戲大約會輸掉 $0.67，所以不值得玩。我們就用這個方法來看看是否值得去排長龍買「百萬大獎」吧。因為一定要買才能中獎，所以嚴格說來，在這裡不能用「預期價值」。但因為中獎幾率可以說是零，所以在這裡假設沒必要買，只是去選號碼，沒中獎時才交$2.00：

也就是說即使每次都是大獎，我們每次只要去排隊選號就可以得到$2.00。筆者雖然退休了，沒什麼大事可做，還是不會浪費時間去排隊購買的；當然，如果是因為愛國，那就另當別論了！

但是如果有 $302,575,350 將所有的組合都買下來，那不是一定可以中獎得到 $12.2 億嗎？筆者謹在此建議「泛科學」讀者成立「美國愛國獎券基金會」，募款 $302,575,350 讓我們一起發財吧（註三）！

除了投資及愛國獎券外，「預期價值」在日常生活中事實上還有一個非常有用的地方：那就是決定考試選擇題的策略。早在 1977 年當筆者還不知道什麼是投資時，就已經用常識分析了這個問題：

現行（大學入學分科測驗）倒扣的計算方法（如五選一，答對 1 分，答錯扣 0.25 分），任何只要具備簡單或然率知識的人均能算出：如果考生「完全瞎猜」，則得分數與倒扣分數剛好互相抵消。

上面這種稱為「邁可生倒扣公式」的預期價值是

在這種倒扣方法下，最佳戰略應該如何決定？顯然地，如果在五個答案中，我已經知道一個或一個以上的答案是錯的，那我應該答，因為得分的或然率已高於倒扣分的或然率：

但是如果我很不幸地「完完全全不知」呢？那因為答了也不吃虧，所以也應該答！！！總而言之，不管怎麼樣，每題都應該答！記住，每題都應該答！

「倒扣」的記分方法原有遏止考生投機的用意，可是根據上面的分析，邁可生倒扣公式不僅達不到遏止投機的目的，反而會助長之；所以，如果要避免考生猜題，倒扣比例應該提高。現在讀者應該不難算出：如果倒扣為 0.30 分，那麼邁可生倒扣公式之預期價值便變成 -0.04，就不值得瞎猜了！

結論

像印牌熱水瓶使用真空保溫，散熱率較低，也因之價格較高，但長期使用下來還是值得的。熱水瓶的「節能定時器功能」是否節能得看環境及定時長短。

「真正的冷氣機」一定要具有能「往外面排熱氣的管子」，否則因為能量不滅的關係，所有的熱只能留在室內，或許可以讓站在出風口處的人感到冷風或冷氣，但是絕對不可能使室溫下降的。事實上根本不需要分析，簡單的邏輯告訴我們：不拿熱到外面的任何機器都不可能讓室內冷下來的！筆者最後還是買了一款定價高一點、體積大很多、有管子通往外面、不怎麼方便的「便攜式空調」（註四），其冷氣量高達 4100 瓦特，為「HANLIN HS02 移動冷氣」的3倍！

美國之「百萬大獎」的「益本比」雖然可以上十億，但投資報酬率（預期價值）似乎太低，不值得浪費時間排隊去買的。如果考試選擇題採用的是「邁可生倒扣公式」，那即是完全不知道答案，也應該每題都要回答！

附註

（註一）只要透過基本微積分就可以導出來。熱水瓶的溫度（T）下降速率應該正比於散熱係數（σ）及裡外溫差（T-T_o）：

式中的 T_o 為室外溫度，解得

式中的 T_w 為熱水瓶的設定溫度（即 t=0 時的溫度）。

（註二）選一「白球」的方法有 C(70, 5) ，選五「金色百萬富翁球」的方法有 C(25, 1) ， 所以選一「白球」及五「金色球」的方法有：

（註三）筆者尚不知如何買下所有的 302,575,350 組合，請讀者提供高見。

（註四）事實上是冷暖兩用機：圖三中的室內、室外互換即成暖氣機。當暖氣機用時，因為要從室外拿熱進來，其效率比一般只在室內用電加熱的「純電熱器」高（2.7：1）。

延伸閱讀

• 「奇妙的水分子」，科學月刊，1979年1月。
• 「聯考與選擇題」，科學月刊，1977年8月。
• 「日常生活中的物理與化學」，科學月刊，2010年12月。
• 「日常生活範式的轉變：從紙筆到 AI」，泛科學，2023/03/08。
• 《我愛科學》，華騰文化有限公司，2017年12月出版；內含「奇妙的水分子」、「聯考與選擇題」、「日常生活中的物理與化學」。

• id S. Moore、諾茨 William I. Notz
• 譯者：鄭惟厚、吳欣蓓

什麼是大數法則？

期望值的定義是：它是可能結果的一種平均，但在計算平均時，機率大的結果占的比重較高。我們認為期望值也是另一種意義的平均結果，它代表了如果我們重複賭很多次，或者隨機選出很多家戶，實際上會看到的長期平均。這並不只是直覺而已。數學家只要用機率的基本規則就可以證明，用機率模型算出來的期望值，真的就是「長期平均」。這個有名的事實叫做大數法則。

大數法則和機率的概念密切相關。在許多次獨立的重複當中，每個可能結果的發生比例會接近它的機率，而所得到的平均結果就會接近期望值。這些事實表達了機遇事件的長期規律性。正如我們在第 17 章提過的，它們是真正的「平均數定律」。

大數法則解釋了：為什麼對個人來說是消遣甚至是會上癮的賭博，對賭場來說卻是生意。經營賭場根本就不是在賭博。大量的賭客贏錢的平均金額會很接近期望值。賭場經營者事先就算好了期望值，並且知道長期下來收入會是多少，所以並不需要在骰子裡灌鉛或者做牌來保證利潤。

賭場只要花精神提供不貴的娛樂和便宜的交通工具，讓顧客川流不息進場就行了。只要賭注夠多，大數法則就能保證賭場賺錢。保險公司的運作也很像賭場，他們賭買了保險的人不會死亡。當然有些人確實會死亡，但是保險公司知道機率，並且依賴大數法則來預測必須給付的平均金額。然後保險公司就把保費訂得夠高，來保證有利潤。

• 在樂透彩上做手腳

我們都在電視上看過樂透開獎的實況轉播，看到號碼球上下亂跳，然後由於空氣壓力而隨機彈跳出來。我們可以怎麼樣對開出的號碼做手腳呢？ 1980 年的時候，賓州樂透就曾被面帶微笑的主持人以及幾個舞台工作人員動了手腳。

他們把 10 個號碼球中的 8 顆注入油漆，這樣做會把球變重，因此可保證開出中獎號碼的 3 個球必定有那 2 個沒被注入油漆的號碼。然後這些傢伙就下注買該 2 個號碼的所有組合。當 6-6-6 跳出來的時候，他們贏了 120 萬美元。是的，他們後來全被逮到。

深入探討期望值

跟機率一樣，期望值和大數法則都值得再花些時間，探討相關的細節問題。

• 多大的數才算是「大數」？

大數法則是說，當試驗的次數愈來愈多，許多次試驗的實際平均結果會愈來愈接近期望值。可是大數法則並沒有說，究竟需要多少次試驗，才能保證平均結果會接近期望值。這點是要看機結果的變異性決定。

結果的變異愈大，就需要愈多次的試驗，來確保平均結果接近期望值。機遇遊戲一定要變化大，才能保住賭客的興趣。即使在賭場待上好幾個鐘頭，結果也是無法預測的。結果變異性極大的賭博，例如累積彩金數額極大但極不可能中獎的州彩券，需要極多次的試驗，幾乎要多到不可能的次數，才能保證平均結果會接近期望值。

（州政府可不需要依賴大數法則，因為樂透彩金不像賭場的遊戲，樂透彩用的是同注分彩系統。在同注分彩系統裡面，彩金和賠率是由實際下注金額決定的。舉例來說，各州所辦的樂透彩金，是由全部賭金扣除州政府所得部分之後的剩餘金額來決定的。賭馬的賠率則是決定於賭客對不同馬匹的下注金額。）

雖然大部分的賭博遊戲不及樂透彩這樣多變化，但要回答大數法則的適用範圍，較實際的答案就是：賭場的贏錢金額期望值是正的，而賭場玩的次數夠多，所以可以靠著這個期望值贏錢。你的問題則是，你贏錢金額的期望值是負的。全體賭客玩的次數合起來算的話，當然和賭場一樣多，但因為期望值是負的，所以以賭客整體來看，長期下來一定輸錢。

然而輸的金額並不是由賭客均攤。有些人贏很多錢，有些人輸很多，而有些人沒什麼輸贏。賭博帶給人的誘惑，大部分是來自賭博結果的無法預測。而賭博這門生意仰賴的則是：對賭場來說，結果並非不可測的。

• 有沒有保證贏錢的賭法？

把賭博很當回事的賭客常常遵循某種賭法，這種賭法每次下注的金額，是看前幾次的結果而定。比如說，在賭輪盤時，你可以每次把賭注加倍，直到你贏為止—或者，當然，直到你輸光為止。即使輪盤並沒有記憶，這種玩法仍想利用你有記憶這件事來贏。

你可以用一套賭法來戰勝機率嗎？不行，數學家建立的另一種大數法則說：如果你沒有無窮盡的賭本，那麼只要遊戲的各次試驗（比如輪盤的各次轉動）之間是獨立的，你的平均獲利（期望值）就會是一樣的。抱歉啦！

• 高科技賭博

全美國有超過 700,000 台吃角子老虎（拉霸）。從前，你丟硬幣進去再拉下把手，轉動三個輪子，每個輪子有 20 個圖案。但早就不是這樣了。現在的機器是電動遊戲，會閃出許多很炫的畫面，而結果是由隨機數字產生器決定的。

機器可以同時接受許多硬幣，有各種讓你眼花撩亂的中獎結果，還可以多台連線，共同累積成連線大獎。賭徒仍在尋找可以贏錢的賭法，但是長期下來，隨機數字產生器會保證賭場有 5% 的利潤。

——本文摘自《統計，讓數字說話》，2023 年 1 月，天下文化出版，未經同意請勿轉載。

• 文／東海大學應用物理學系  施奇廷

天才是百分之一的靈感加上百分之九十九的努力。

——愛迪生（Thomas Alva Edison, 1872-1946），並不是第一個這麼說的人

上面這句話，一開始其實是一位女作家凱特‧桑伯恩（Kate Sanborn）說的，愛迪生引用之後變得廣為人知，不過愛迪生分配給「靈感」的趴數不太一定，有時候變兩趴，有時候不屑一顧：「天才才不是來自靈感，靈感其實也是努力來的啦！」，有就是：零趴。

不過「天才」並不代表「成功」。2022 年「第 32 次的第一屆」搞笑諾貝爾經濟獎，獲獎的研究告訴我們，「成功是百分之一的天才加上百分之九十九的運氣」。這下努力再也不是決定性的因素，只剩萬分之九十九；靈感更慘，只佔萬分之一。

運氣最重要啦！

（背景音樂：別人的身命，是框金又包銀，阮的身命不值錢……by 蔡秋鳳）

先說一下，為什麼「經濟獎」會是由物理學家（也就是我）來介紹呢？因為這次獲獎論文的三位來自義大利卡塔尼亞大學（University of Catania）的作者中，有兩位是物理學家（Alessandro Pluchino 以及 Andrea Rapisarda），只有一位是經濟學家（Alessio Emanuele Biondo），研究的方法也「很物理」，將「人生的成功」用一個簡單到令人髮指的模型來模擬，可說是「化約主義」（reductionism）的極致。所以正常的經濟學家可能會覺得「你們用這種方法來研究經濟學簡直是在搞笑」，因此才得獎的吧。

一般媒體的報導多半僅止於此，並不是！其實還有一個重點是如何扭轉這個「萬事天注定」的宿命論，讓具有才能的人出頭天。

他們的研究是利用「代理人模型」（agent-based model），也就是模型中的基本單元就是一個一個虛擬世界中的人，然後根據研究的問題「假設」來制訂行動規則，接著就讓這些「代理人」依照規則行動，看看結果如何。如果模擬出來的結果符合我們看到的社會現象，那麼上述的「假設」就可能為真。

在這個「TvL 模型」（Talent vs Luck, 天才對運氣）中有 1000 個代理人，他們被隨機灑在一個 201×201 的方格棋盤上面，每個人佔據一個空格，每個人身上帶著 10 塊錢——這裡我們姑且用金錢來衡量「成功的程度」，它也可以是在政治界官位的高度、學術界發表論文的數量與影響力……等其他面向量化後的「成就點數」。

接著同樣在這個棋盤上面隨機灑出一些綠色跟紅色的點，它們代表「人生中可能會遇到的事件」，綠色代表「幸運事件」，紅色代表「不幸事件」。事件的總數是人數的一半，也就是 500 個，其中紅綠各有 250 個。

假設每個人的「才能」是標準化後，介於 0 到 1 之間的常態分布，平均值為 0.6，標準差為 0.1。這裡用單一的變數 T 來代表才能，它包含了智商、個性、努力、教育……等出道前養成的所有個人屬性。

這個世界變化的規則如下：

1. 「人」不會動，從頭到尾待在原地。
2. 每一步中，每個「事件」會任選一個方向，移動兩格。
3. 如果某個人剛好在某個事件移動的路徑上（直接撞到）、或者是與路徑相鄰（擦身而過），表示他身上「出事了」。
   • 如果碰到的是綠點，表示「好事發生」。不過「運氣屬於準備好的人」，手裡錢（或成就點數）有機會翻倍，發生的機率就是才能值 T。所以才能較高的人，比較能掌握幸運的機會。
   • 如果碰到的是紅點，表示「發生不幸」，跟幸運不一樣的是：「不幸」是公平的，遇上的人金錢一律減半。這個設定的基礎是這樣：不管上智或下愚，路上被車撞就是得送醫、住院；被地震颱風直接命中就是會變成受災戶，你有再高的才能也無用武之地。
4. 沒有被事件撞到或擦到的人，金錢不變。
5. 回到 1。

假設每個人從菜鳥出道一直到退休一共奮鬥 40 年，而每半年就可能碰到一次重大的事件，所以整個模型需要模擬的就是每半年一次的變化，一共 80 步後，遊戲結束，來計算一下成績，最後大家手裡有多少錢呢？

結果顯示經過一生的努力後，財富分布滿足大家熟悉的「80－20」法則，前 20% 的人擁有整個社會 80% 的財富。雖然「80－20 法則」通常是拿來批評「貧富不均」這個社會現象，其實它有更深一層的涵意：如果只看前 20% 的有錢人，就會發現這裡面的 20% 也一樣會擁有其中 80% 的財富！也就是「有錢人之間」也是有「貧富不均」的現象。換算一下可以得知，前 4% 的有錢人（前 20% 的前 20%）擁有整個社會 64% 的財富（80% 的 80%）；然後再看最有錢的前 4% 的「超有錢俱樂部」中，同樣符合「80－20 法則」！

目前人類社會的財富分布，就符合這個奇妙的法則，在數學上，「財富數量」與「擁有這個數量的人數比例」會呈現「冪次律」（power law）特性，兩邊都取對數做成圖的話，會呈現一直線。

這個超級簡單的 TvL 模型到底能不能反應真實世界的狀況？由圖三看起來，它的確能重現財富分配「80－20 法則」的「冪次律」特性，所以模型雖然簡單，的確有抓到財富分布最重要的特性，也讓後面的結果具有說服力。

那麼，誰是這場遊戲的第一名？

因為人的位置跟事件的移動都是隨機、公平的，而才能高的人抓住幸運事件讓錢倍增的機率較高，所以最後的贏家應該是才能很高的傢伙吧？

很合理的想法，不過結果可能會讓你吃一驚：第一名的才能 T＝0.61，非常接近平均值，他最後手上有 2560 元，成長了 256 倍；而最慘的人居然擁有 T＝0.74 的才能，以常態分布來說，是排名在前 7%，或是 PR93 的強者。如果覺得只看第一名跟最後一名不準的話，就來看看所有人的成績分布吧！

從圖四可以看出來，以最高的 T＝0.61 那一點為中心，左右兩邊大體上是對稱的。看起來，才能高的人，真的好像不見得在這個「人生遊戲」終站到便宜！

那到底你將成為「人生勝利組」或是「魯蛇」，決定性的因素到底是什麼？答案是「運氣」。

就算資質平庸，抓住好運的機率稍微差一點，只要你在人生的過程中，碰上好事的機率比別人多很多，你還是可能出人頭地，成為頂尖人物。圖五清楚的顯示了這兩個人的運氣差多少：（a）第一名的人生，發生了八次幸運事件，而且雖然機率只有 61%，很幸運的也每次都掌握到了，而厄運則是一次也沒有！（b）反觀最後一名的人生，厄運連連高達 15 次，而且根據模型規則，毫無招架之力一次也躲不掉！好事只有發生一次，真想幫他寫個「慘」字……。

這只是一次的模擬，有可能只是湊巧出現這種令人意外的結果。別擔心，物理學家雖然頭腦簡單，做事情挺小心的，模擬個 100 次吧！然後看看每次的第一名的人的才能值的分布狀況，發現才能還是有差啦！但是並沒有很戲劇性的差別。拿到各次模擬第一名的人，平均才能值是 0.66，比起平均值 0.6 稍大一些，大概是「均標以上、前標未滿」的程度。100 次不夠，來個 10000 次吧！等於是 1000 萬個人生，得出來的結果差不多，10000 個「第一名」的平均才能是 0.667（圖六）。

看起來，才能高低對最後的結果是會有影響，但是頗為有限，運氣的影響大很多。而且，檢視才能比平均人高出一個標準差以上，也就是 T > 0.7，或是 PR84 以上的「秀才」，他們的成功率如何呢？這裡「成功」的定亦是，只要你在工作 40 年後，手上的錢不少於剛出道時（10 元）就可以了。天啊這標準也太低，不過在這種低標準之下，這些秀才的成功率也只有 32.05% 而已！人生真的好難！

看到這裡不禁覺得充滿負能量，大家都別再努力了，反正運氣決定一切……。

作者接著問，現實如此殘酷，政府能為我們做些什麼？

政府在挹注資源扶植科技研發、經濟產業等領域時，經常會有一種「菁英主義」思維：「我們如果把資源集中投給那些有才能的人，應該能夠得到更好的效果吧！」不過「才能」很難一下子看得出來，所以就變成「有才能的人應該本來就會表現得比一般人好，那就把資源給那些過去表現比較好的人吧！」

這樣的作法是正確的嗎？

於是研究者設計了一些補助辦法：每隔五年，就會有「政府資金」挹注給模型裡的 1000 個代理人，所以在整個模擬過程中，會有八次補助。補助的策略有幾種精神：

1. 齊頭主義：給所有的人相同金額的補助，皆大歡喜。實行方式：每次每人補助 1 塊錢、兩塊錢或 5 塊錢，三種方式補助 1000 人、八次的總預算分別為 8000、16000、40000。
2. 菁英主義：只補助表現較好（手中金額排名在前面特定比例）的人，表現差的人管你去死。實行方式：表現前 50% 的發 5 塊錢（總預算 20000）；表現前 25% 的發 5、10、15、20 元（總預算10000、20000、30000、40000）；表現前 10% 的發 5、10、20 元（總預算 4000、8000、16000），一共八種方式。
3. 折衷主義：前兩種極端方式的妥協，一部分的經費給表現名列前茅的人較多補助，剩下的給其他人平分。實行方式：前 25% 的人 5 或 10 元，其他人 1 元（總預算 16000、26000）；前 25% 的人 10 元，其他人 5 元（總預算 70000），共三種方式。
4. 亂槍打鳥主義：隨機抽取一個比例的人，塞錢給他們，用樂透來翻身的概念。實行方式：隨機選取 10% 的人給 5 元（總預算 4000）；隨機選取 25% 的人給 5、10 或 20 元（總預算 10000、20000、40000）；隨機選取 50% 的人給 5 元（總預算 20000），一共五種方式。

目標是「希望那些有能力的人（具體而言，就是 T > 0.7，比平均值高一個標準差），在政府的幫忙下，能夠好好發揮才能。」用來衡量這個目標的指標，就是經過了八個回合的補助，40 年後這些人「成功」（模擬結束後手上還超過 10 塊錢）的比率增加了多少。上面這些補助方式中，表現最好的方法是哪一個呢？

答案是前「25% 的人 10 元，其他人 5 元」，讓 T>0.7 的「高能力族群」的成功率，從沒有補助的 32.05% 一口氣提高到 94.82%，看起來很成功！幾乎全壘打！

不過總共要花 70000 塊，是所有方案中最貴的。相較之下，無腦式的每個人都發 5 元，也可以達到 94.40，幾乎不相上下，但是花費只需要 40000 元。也就是說，根本不用給名列前茅的人特別獎勵，成效也一樣好。

所以如果要看政府錢有沒有花在刀口上，要看的是「每花一塊錢，可以增加多少高能力族群的成功率？」也就是「效率＝（補助後成功率—補助前成功率）÷ 政府總預算」。用這個方式比的話，那個方案是第一名？

答案可能讓你跌破眼鏡，是最簡單的「每次每人補助 1 元」！總共花 8000 元，可以讓成功率提升到 69.48%，提升了 37.43%。剛剛拿第一名的方法，除以所花的錢後，績效也掉到後段班了，是 18 種方案的第 11 名。表現最差的是「表現前 10% 的發 20 元，其他人 0」這個極端的菁英主義方式，它的效率只有前者的 1／25，花了兩倍的 16000元，只提升了 2.93%，成為 34.98%。

事實上，所有的「菁英主義」式的補助，幾乎都是表現最差的。

如果政府經費充裕，總共要砸 80000 元下去，哪一種方法最好呢？模擬的結果顯示，還是「齊頭式平等」所有人均分表現最佳；第二、三名分別是「亂槍打鳥」隨機抽選 50% 的人平分、以及「折衷主義」表現前 25% 的人分掉一半的錢，其他 75% 的人分掉另一半。這三種方式的成績相當接近，都可以達到 96% 以上的成功率。

在這個極簡 TvL 模型下，齊頭式平等的補助方式表現最好，表示在「無法明確看出到底誰是高才能者」的前提下，「雨露均沾」才是讓才能高者出頭的最佳方式。不過作者也指出，在真實的世界中，拿到第三名的「折衷主義」方案，在人人有獎的前提下，給表現較好的人更多的鼓勵，可能產生激勵效果讓所有人更加努力，發揮更大的整體效果。未來若能將這個因素加進模型中，有可能會變成由折衷方案勝出。

這些結果，也呼應了本研究中的兩位物理學家在 2010 年獲得「搞笑諾貝爾管理獎」的題目（對，他們是第二次得獎了）：老闆要提拔下屬晉升主管時，不要挑之前表現好的，要亂槍打鳥隨機選人，團隊的運作會更有效率。

他們真的很喜歡亂槍打鳥……。

接下來要看的是「整體人口素質」的影響。如果由於完善的教育與職業訓練體制使得全體的才能值 T 都提高，平均值由 0.6 提升到 0.7 的話（標準差維持 0.1），這時候 100 次模擬的最強者的才能值，絕大多數都高於整體的平均值，而且金額也是也才能正相關，如圖八所示。也就是說，在整體人民素值較高的環境中，高才能者更有出頭的機會。

最後是「產業環境」，之前的模擬都是「好運」、「厄運」各佔一半，我們可以用較高的好運比率來代表高度成長的產業環境；而較高的厄運比率則是代表產業環境正在走下坡，才能平均值維持在 0.6。好運厄運的機率對所有的人都一樣，不過有趣的是，處在「高度成長環境」（80% 好運、20% 厄運）中時，對高才能者明顯有利（圖九（a）），但是在「產業江河日下」時，影響不太明顯（圖九（b））。

總結這次獲得「搞笑諾貝爾經濟獎」的研究，透過這個極度簡化的 TvL 模型模擬所告訴我們的訊息是：

1. 這個模型雖然簡單，但它能夠重現真實世界財富分布的「80－20 法則」，所以有抓到一些真實的經濟社會狀況的重點，不是來亂的。
2. 才能對生涯的表現有影響，但真正具有壓倒性力量的是運氣。
3. 政府如果想要鼓勵才能較好的人，期待他們有更好的表現的話，「想當然耳」的菁英主義（補助本來表現就比較好的人）是最糟糕的辦法，還不如齊頭式補助，或是亂槍打鳥式的補助。如果政府銀彈充裕的話，折衷式的補助成果也會不錯。
4. 整體人民素質提高，可以讓才能高的人表現更好，所以教育很重要。
5. 產業環境好，機會越多的話，也有助於高才能的人有好的表現。如果衰退的話，則是大家一起慘。

看到這裡，您應該也知道，作者雖然強調隨機事件、運氣的重要性，不過倒也不是就叫你跟阿姨說不努力了，以台灣的人民素質與產業活力來說，其實付出努力來充實自己的能力（提高你的 T 值），應該還是能夠讓你更有機會出人頭地的，還是多多加油吧！

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