《周幽王的烽火台──探討烽火台平均距離的期望值》——2019數感盃 / 高中職組專題報導類佳作

本文與  益福生醫 合作，泛科學企劃執行

昨晚，你又在床上翻來覆去、無法入眠了嗎？這或許是現代社會最普遍的深夜共鳴。儘管換了昂貴的乳膠枕、拉上百分之百遮光的窗簾，甚至在腦海中數了幾百隻羊，大腦的那個「睡眠開關」卻彷彿生鏽般卡住。這種渴望休息卻睡不著的過程，讓失眠成了一場耗損身心的極限馬拉松 。

皮質醇：你體內那位「永不熄滅」的深夜警報器

要理解失眠，我們得先認識身體的一套精密防衛系統：下視丘-垂體-腎上腺軸（HPA axis） 。這套系統原本是演化給我們的禮物，讓我們在面對劍齒虎或突如其來的危險時，能迅速進入「戰鬥或快逃」的備戰狀態。當這套系統啟動，腎上腺就會分泌皮質醇 (壓力荷爾蒙)，這種荷爾蒙能調動能量、提高警覺性，讓我們在危機中保持清醒 。

然而，現代人的「劍齒虎」不再是野獸，而是無止盡的專案進度、電子郵件與職場競爭。對於長期處於高壓或高強度工作環境的人們來說，身體的警報系統可能處於一種「切換不掉」的狀態。

在理想的狀態下，人類的生理時鐘像是一場精確的接力賽。入夜後，身體會進入「修復模式」，此時壓力荷爾蒙「皮質醇」的濃度應該降至最低點，讓「睡眠荷爾蒙」褪黑激素（Melatonin）接棒主導。褪黑激素不僅負責傳遞「天黑了」的訊號，它還能抑制腦中負責維持清醒的食慾素（Orexin）神經元，幫助大腦順利關閉覺醒開關。

然而，當壓力介入時，這場接力賽就會變成跑不完的馬拉松賽。研究指出，長期的高壓環境會導致 HPA 軸過度活化，使得夜間皮質醇異常分泌。這不僅會抑制褪黑激素的分泌，更會讓食慾素在深夜裡持續活化，強迫大腦維持在「高覺醒狀態（Hyperarousal）」。 這種令人崩潰的狀態就是，明明你已經累到不行，但大腦卻像停不下來的發電機！

長期的睡眠不足會導致體內促發炎細胞激素上升，而發炎反應又會進一步活化 HPA 軸，分泌更多皮質醇來試圖消炎，高濃度的皮質醇會進一步干擾深層睡眠與快速動眼期（REM），導致睡眠品質變得低弱又破碎，最終形成「壓力－發炎－失眠」的惡行循環。也就是說，你不是在跟睡眠上的意志力作對，而是在跟失控的生理長期鬥爭。

從腸道重啟好眠開關：PS150 菌株如何調校你的生理時鐘

面對這種煞車失靈的失眠困局，科學家們將目光投向了人體內另一個繁榮的生態系：腸道。腸道與大腦之間存在著一條雙向通訊的高速公路，這就是「菌-腸-腦軸 (Microbiome-Gut-Brain Axis, MGBA)」，而某些特殊菌株不僅能幫助消化、排便，更能透過神經與內分泌途徑與大腦對話，直接參與調節我們的壓力調節與睡眠節律。這種菌株被科學家稱為「精神益生菌」（Psychobiotics）。

在眾多研究菌株中，發酵乳桿菌 Limosilactobacillus fermentum PS150 的表現格外引人注目。PS150菌株源於亞洲益生菌權威「蔡英傑教授」團隊的專業研發，累積多年功能性菌株研發經驗的科學成果。針對臨床常見的「初夜效應」（First Night Effect, FNE），也就是現代人因出差、換床或環境改變導致的入睡困難，俗稱認床。科學家在進行實驗時發現，補充 PS150 菌株能顯著恢復非快速動眼期（NREM）的睡眠長度，且入睡更快，起床後也更容易清醒。更重要的是，不同於常見的藥物助眠手段（如抗組織胺藥物 DIPH）容易造成快速動眼期（REM）剝奪或導致睡眠破碎化，PS150 菌株展現出一種更為「溫和且自然」的調節力，它能有效縮短入睡所需的時間，並恢復睡眠中代表深層修復的「Delta 波」能量。

科學家發現，即便將 PS150 菌株經過特殊的熱處理（Heat-treated），轉化為不具活性但保有關鍵成分的「後生元」（Postbiotics），其生物活性依然能與活菌媲美 。HT-PS150 技術解決了益生菌在儲存與攝取過程中容易失去活性的痛點，讓這些腸道通訊員能更穩定地發揮作用 。

在臨床實驗中，科學家觀察到一個耐人尋味的現象：當詢問受試者的主觀感受時，往往會遇到強大的「安慰劑效應」，無論是服用 HT-PS150 還是安慰劑的人，主觀上大多表示睡眠變好了。這種「體感上的進步」有時會掩蓋真相，讓人分不清是心理作用還是真實效益。

然而，客觀的生理數據（Biomarkers）卻揭開了關鍵的差異。在排除主觀偏誤後，實驗數據顯示 HT-PS150 組有更高比例的人（84.6%）出現了夜間褪黑激素分泌增加，且壓力荷爾蒙（皮質醇）顯著下降，這證明了菌株確實啟動了體內的睡眠調控系統，而不僅僅是心理安慰。

最值得關注的是，對於那些失眠指數較高（ISI ≧ 8）的族群，這種「生理修復」與「主觀體感」終於達成了一致。這群人在補充 HT-PS150 後，不僅生理標記改善，連原本嚴重困擾的主觀睡眠效率、持續時間，以及焦慮感也出現了顯著的進步。

了解更多PS150助眠益生菌：https://lihi3.me/KQ4zi

重新定義深層睡眠：構建全方位的深夜修復計畫

睡眠從來就不只是單純的休息，而是一場生理功能的全面重整。想要重獲高品質的睡眠，關鍵在於為自己建立一個全方位的修復生態系。

這套系統的基石，始於良好的生活習慣。從減少睡前數位螢幕的干擾、優化室內環境，到作息調整。當我們透過規律作息來穩定神經系統，並輔以現代科學對於 PS150 菌株的調節力發現，身體便能更順暢地啟動睡眠開關，回歸自然的運作節律。

與其將失眠視為意志力的抗爭，不如將其看作是生理機能與腸道微生態的深度溝通。透過生活作息的調整與科學實證的支持，每個人都能擁有掌控睡眠的主動權。現在就從優化生活型態開始，為自己按下那個久違的、如嬰兒般香甜的關機鍵吧。

本文由 肺纖維化(菜瓜布肺)社團衛教 合作，泛科學撰文

在現代醫學的警示清單裡，乳癌、大腸癌這些疾病大家都不陌生；但有一個「隱蔽且致命」的威脅卻常被忽視，那就是「肺纖維化」。其中最常見的類型「特發性肺纖維化」（IPF），其預後往往不太樂觀，確診後的五年存活率甚至比許多常見的癌症還低。

首先，我們得先破解一個迷思：肺纖維化並不是單一疾病，而是許多種間質性肺病的共同表現。當我們聽到「肺纖維化」，腦中常浮現「菜瓜布肺」的形象，患者的肺部外觀充滿一個個空洞與疤痕，像極了乾燥的絲瓜。這精準描繪了肺部組織逐漸硬化、失去彈性的過程。

更重要的是，IPF 這類肺纖維化的威脅在於「不可逆」的特性，一旦形成就很難逆轉。這跟部分 COVID-19 康復者身上、仍有機會復原的肺纖維化，是兩種完全不同的概念。

肺部為何會變成「菜瓜布」？

為什麼好端端的肺會變成菜瓜布？這其實是一場身體修復機制失控的結果。

「纖維化」的組織，就是肺部間質組織（interstitium）的疤痕化。間質是圍繞在肺泡周圍，包含血管與支持肺部結構的結締組織。在正常情況下，肺部損傷後會啟動修復機制，並再生健康組織。但在肺纖維化的患者體內，這套修復機制卻「當機」了。

身體會不斷地發出訊號，導致負責修復工作的「纖維母細胞」（fibroblasts）被過度活化，進而失控地沉積膠原蛋白疤痕組織，最終在肺部形成永久性的纖維化。

科學家發現，這個過程之所以棘手，在於它是一個「惡性循環」，肺部同時存在著「發炎反應」與「纖維化」這兩條路徑 ，它們相互加乘，演變成難以阻斷的強大破壞力。

雖然特發性肺纖維化 (IPF) 的具體成因不明 ，但已知某些特定族群的風險更高。例如抽菸，特定年齡與性別(50歲以上男性)、長期暴露於粉塵環境的工作者(農業、畜牧業、採礦業…)、胃食道逆流者。此外，患有自體免疫疾病（如類風濕性關節炎、乾燥症、硬皮症、皮肌炎/多發性肌炎，）的患者，他們併發肺纖維化的機率遠高於一般人，必須特別警覺。

打斷惡性循環的挑戰，為何只對抗「纖維化」還不夠？

面對這個不可逆的疾病，醫學界長年束手無策，直到 2014 年才迎來一道曙光。美國 FDA 批准了兩種機制不同的新藥：Nintedanib 和 Pirfenidone。這兩種藥物的出現是治療史上的分水嶺，首度被證實能夠「延緩」IPF 患者肺功能的惡化速度。

然而，這場戰役尚未結束。現有的治療雖然帶來了希望，卻也凸顯了「未被滿足的醫療需求」。從機制上來看，這些藥物主要抑制的是「纖維化路徑」。

這讓科學界開始思考這個未被滿足的棘手問題：既然疾病的本質是「發炎」與「纖維化」的雙重打擊，那麼，我們是否能找到「同時抑制」這兩條路徑的全新策略，從而更有效地打斷這個惡性循環？

找到同時調控「發炎」與「纖維化」的新靶點

為了解決難題，科學家將目光鎖定在一個細胞內的酵素：磷酸二酯酶 4B（PDE4B）。

為什麼鎖定它？讓我們看看它的「雙重作用」機制：

1. 關鍵位置： PDE4B 同時存在於免疫細胞（與發炎有關）與纖維母細胞（與纖維化有關）當中。
2. 作用機制： PDE4B 的主要工作是降解細胞內一種叫 cAMP（環磷酸腺苷） 的訊號分子。cAMP 可以被視為細胞內的「穩定信號」。
3. 雙重抑制： 當我們使用藥物抑制了 PDE4B 的活性，細胞內的 cAMP 就不會被分解，濃度會隨之升高。高濃度的 cAMP 能穩定免疫細胞和纖維母細胞，同時產生抗發炎與抗纖維化的雙重效應。

簡單來說，鎖定並抑制 PDE4B，就像是同時抑制了免疫風暴與纖維化的工程，有望從雙從抑制打擊這個惡性循環。

全球臨床試驗帶來的新希望

近十年來，全球在肺纖維化領域投入了大量的臨床試驗，我們相信，在科學家逐步破解肺纖維化惡性循環的複雜難題後，期盼未來能為無數患者爭取到更安全、健康的生活與未來。

最後，我們必須再次提醒，特發性肺纖維化（IPF）與漸進性肺纖維化（PPF）是極具破壞性、且不可逆的疾病。面對這個比癌症更致命的對手，雖然現有的治療手段能延緩惡化，但無法逆轉已經形成的肺部疤痕組織，因此「早期診斷、早期治療」仍是對抗肺纖維化最重要的黃金時刻。

本文由 國立臺灣師範大學 委託，泛科學企劃執行。 

現代人手機普及率極高，你可能正在用手機閱讀這篇文章。

仔細想想，我們每天使用的手機真的很厲害。只需幾下操作，就能傳訊息、視訊通話，還能上網看影片、玩遊戲、使用社群網路等。

你可能知道全世界的第一支手機是 Motorola 在 1973 年 4 月 3 日推出的黑金剛，重達 2 公斤的程度。不過，早在幾千年前，其實已經有「手機」存在了。

當時的手機不只兩公斤重或兩公升水壺大，甚至是有好幾層樓那麼高，那這些手機的傳輸速率也超級慢，看影片一定是不可能，連打電話聊天都辦不到。超級陽春，基本上只能傳遞「有」或「沒有」這樣的是非題。

應該有些人猜到了，其實就是「烽火臺」。

烽火臺是中國古代為了傳遞軍情所設計的通信系統。一座烽火臺上有幾位士兵，備有大量的稻草與木柴，如果看到敵人侵犯，或是前後的烽火臺燃起狼煙，士兵們就會立刻燃燒乾柴，釋放狼煙，傳遞攸關國家存亡的重要資訊。雖然，烽火臺的尺寸大小與現今我們常用的手機差很多，傳輸能力也差很多，但烽火臺還真是上古時代標準的通信設施哦！

接下來還會推出一系列「通信科技」相關的節目，內容囊括了通信發展的歷史故事、重要的通信科學家、通信相關的技術知識。

讓你認識新聞報導中，常聽到的一些通信專有名詞，什麼是頻帶、頻寬？現代通信技術如此厲害的關鍵又在哪裡？甚至，這些技術跟我們平常在學校裡學到的各科知識，又有怎樣的連結呢？

這系列將用影片帶領大家進入這個有趣、改變全人類生活的通信世界，敬請期待哦！有更多想法也可以留言分享喔！

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「數感盃青少年寫作競賽」提供國中、高中職學生在培養數學素養後，一個絕佳的發揮舞台。本競賽鼓勵學生跨領域學習，運用數學知識，培養及展現邏輯思考與文字撰寫的能力，盼提升臺灣青少年科普寫作的風氣以及對數學的興趣。

本文為 2019數感盃青少年寫作競賽 / 高中職組專題報導類佳作 之作品，為盡量完整呈現學生之作品樣貌，本文除首圖及標點符號、錯字之外並未進行其他大幅度編修。

• 作者：張原嘉、劉羿賢／新竹市立新竹高中

前情提要

歷史上曾有一位絕世美人褒姒，她不愛笑，但她的美貌卻讓當時的天子周幽王神魂顛倒。周幽王為了取悅褒姒，在天下太平時三番五次點燃危急時召集 諸侯的烽火，當諸侯們匆忙趕來首都保衛天子時卻沒看到敵人，只見褒姒的訕 笑。西元前 771 年，犬戎入侵，失信於諸侯的周幽王，在真正危難時雖點燃烽火，卻不得諸侯信任，最終為犬戎所擄，只能含淚與褒姒生死相別。

歷史總是有無限的可能性，倘若那時有一位諸侯查覺到異狀，聯合全部諸 侯及時抵擋犬戎入侵，西周將延續國祚，而周幽王的名聲在後代終將大大改 變。 「各位臣子們，寡人對大家感激不盡，這是寡人的不對，寡人不應該隨便戲弄你們。」 此時權位最大的諸侯講話了，「王啊，所謂紅顏禍水，我們聯合要求您必須將褒姒賜死，否則何以面對被戲弄而失去軍心的軍隊呢?」

「這…寡人實在為難…」

「王，若您不將這妖女賜死，我們將另立新王，而褒姒將陪您在黃泉相見。」

周幽王噙著淚水，一條白綾，結束了絕世美人多舛的一生。

「吾王英明。」周幽王聽著眾臣高聲地朝拜，逐漸對褒姒之死釋懷，他想成為一位賢君，在歷史長河上留名，首要之務即是鞏固國防。正所謂「從何處跌倒，就要從何處爬起」，周幽王認為國家的烽火台制度亟需改善，因此，他徵求天下數學第一高手前來設計一套完善的烽火台制度，一次劃時代的改革將在數學中開展。

正文

周幽王向臣子展現強國的決心，貼出告示徵求烽火台的排列方式，只要設 計被認可即賞金千兩並加官奉爵。所謂重賞下必有勇夫，不到一天時間，全周 國數學最好的大臣便前來獻策。

「微臣對烽火排列略有涉獵，向王獻醜，請王指教。」

「愛卿別這樣說，寡人對您的建議十分有興趣，請說。」

「微臣稍加統計，周朝不含沿海地帶的邊界長度大約13000公里（註一），若照以 往以10里（等同於18公里）（註二）設置一個烽火台，那麼共約需 13000÷ 18 ≅722 座烽火台，便可占滿整個邊界。而周朝可派駐至邊界的軍隊共有 45000人（註 三），因此微臣建議在邊界每一烽火台配置 60 位士兵，當有蠻夷入侵時便點燃烽 火，使士兵集合到作戰地點，如此一來便可形成一道有效的防線，王您意下如 何?」

周幽王聽大臣如此說明，臉上露出猶疑的神情，似乎對大臣的敘述不以為 然，說道:「好是好，那我怎麼知道這種防禦可以集結多少士兵，畢竟蠻夷行軍 的速度可達一天70公里（註四），而我國首都鎬京（今西安）距離邊界最短700公 里，代表蠻夷入侵至首都最快只要10天。我必須知道直線型排列烽火台間的平均距離，進一步推算出傳遞時間，才能知道有多少士兵會及時趕來。」

周幽王的問題：大臣設計的烽火台平均從一座烽火台傳遞至另一座烽火台平均傳遞時間？這是否能及時通報軍隊抵擋蠻夷？

「臣對此稍加研究，烽火一時約行百里（註五），代表每座烽火台之間的傳遞只要 6 分鐘。為了討論 722 個烽火台之間從一座烽火台傳至另一座烽火台所需時 間，我們定義總路徑長度 L_n 為 n 個烽火台中任兩個烽火台之間傳遞次數的總和，舉最簡單的例子，L2 = 1，L3 = 4，L4 = 10 （見圖二）。」

「寡人看出規律了，每一個   」

「吾王英明，在點數為 n 的直線排列中，當增加第 n + 1 個點時，總路徑長度可看成原本 n 個點的總路徑長度加上新增加第 n + 1 個點到原本 n 個點的路徑長度，。在數列中我們將前項和後項的關係稱為遞迴，在 L_n 數列中，遞迴式為，且由這遞迴式，即可求出 L_n 的通式解。」

「首先必須先把遞迴式寫出來，如下：

接著把上述式子全部相加，可發現 L2、L3…Ln−1 全部被消掉，只剩下 L_n 和 一堆數字，如下式。

「到這裡我懂，但要如何化簡右式後面一連串的數字呢？」

「稟告王，在數學中求和有很多方法，最常用的方法為 Σ法，意思是將雜亂的代 數和化成許多連續正整數的n次方和相加。這招可計算出許多遞迴解的通式，但 缺點為太過雜亂，因此微臣推薦另一種計算通式的方法，分項對消。您是否有發現，在中，首項的 1 可先化成 1×2/2 ，若將分母的 2 先全部提出，可得 L_n = ½（1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + ⋯+ （n − 1） × n），其中級數中的每一項乘積都滿足前項和後項的頭尾相連。」

「愛卿所言甚是，這很像文字接龍，每一項乘積的前數都必須與他的前一項的後數相同。但是如何整理？」

「王先別急，我們先將每一項同乘以3，並將⅓提出，使得Ln = ⅙（1 × 2 × 3 + 2 × 3 × 3 + 3 × 4 × 3 + ⋯+ （n − 1） × n × 3）再來利用分配律的性質，

1 × 2 × 3 = 1 × 2 × （3 − 0） = 1 × 2 × 3 − 1 × 2 × 0，

2 × 3 × 3 = 2 × 3 × （4 − 1） = 2 × 3 × 4 − 2 × 3 × 1，

3 × 4 × 3 = 3 × 4 × （5 − 2） = 3 × 4 × 5 − 3 × 4 × 2，

…

（n − 1） × n × 3 = （n − 1） × n × （n + 1） − （n − 1） × n × （n − 2）。

因此Ln =⅙ [（1 × 2 × 3 − 1 × 2 × 0） + （2 × 3 × 4 − 2 × 3 × 1） + （3 × 4 × 5 −3 × 4 × 2） + ⋯+ （n − 1） × n × （n + 1） − （n − 1） × n × （n − 2）]」

周幽王臉色凝重的臉色在一瞬間豁然開朗，說道：「原來！如此操作之下前項的 1 × 2 × 3 即可與後項的 2 × 3 × 1 對消，而 2 × 3 × 4 可與 3 × 4 × 2 對消，直到最後只剩下（n − 1） × n × （n + 1）和首項的 1 × 2 × 0，因此

。」

「吾王英明，這就是分項對消的威力。若將實際情況代入，我國有 722 座烽火台，總傳遞路徑長度

，而平均傳遞路徑長度為總路徑長度除以總路徑數，若有 722 座烽火台，每兩座有一條路徑，722 座烽火台 有  = 260281 條路徑，故平均傳遞路徑長度= 62727721 ÷ 260281 = 241 條。」

「稍待一會，這平均傳遞路徑長度是否也有通式。前面算過當有n座烽火台時總傳遞路徑長度為

，其中有

，因此平均傳遞路徑長度為 。」

「王您實在有數學慧根，竟能直接求出平均傳遞路徑長度的通式，微臣自嘆弗如。」 看著周幽王臉上得意的笑，大臣心上的石頭放了下來，並接著說道：「若以兩座烽火台的傳遞為 6 分鐘來計算，當烽火台的士兵一發現蠻夷入侵， 平均只要花分鐘，即平均大約 1 天的時間便可以從任一烽火台 傳至另一烽火台，而蠻夷若想直接攻入首都需花 10 天的時間。因此倘若蠻夷再 入侵，我們可以先讓附近軍隊抵擋，拖延蠻夷入侵速度，再集結所有軍隊對付 蠻夷，相信我吾國必能永保太平，再無蠻夷攻入首都這檔憾事發生。」

「愛卿實在為朝廷之棟樑，國家之人才，能設計出有效的烽火台制度，並用遞迴原理佐證烽火台的傳遞速度足夠抵擋蠻夷入侵，你要什麼，美人、封地、還是爵位，朕通通給你。」

「報告王，這乃是微臣應當做的事，微臣只希望領取微薄俸祿，潛心研究數學，如此而已。」

「愛卿太過客氣，既然你教會我遞迴原理，我封你為遞迴大學士，並每天教導國人數學，讓數學應用在生活中，讓周朝再次因數學而富強！」

結語

「哈哈！那蠻夷一定不知我大周國有如此優秀的數理人才！」

「吾王萬歲！」在接受眾臣朝拜後，周幽王臉上盡是風光滿面的神氣。一階階 爬上烽火台的高台，此時的周幽王卻歛起笑容，若有所思地望著遠方，心中升 起一股淡淡的哀傷，「倘若褒姒還在，我可以教她有趣的數學，那她將以崇拜的 眼神投向我，那我會是多麼幸福！唉！我用最艱深的遞迴方程式也計算不了褒姒一抹淺淺的微笑，最複雜的通式解也比不上我對褒姒無盡的思念。」

地平線上連著一座又一座的烽火台，一片祥和的風景中，周幽王看見褒姒翩翩的身影如烽火一般冉冉上昇，一抹淺淺的微笑從遙遠的烽火台上，傳至更遙遠的烽火台。

相關連結

• 高中數學第二冊第一章──數列與級數
• 高中歷史第二冊第一章──商至西周的文明發展

參考資料

• 註一 每日頭條:周朝疆域範圍:「分封制」西周分封諸侯圖
• 註二 中文百科在線:烽火台
• 註三 百度百科:西周 
• 註四 每日頭條:古代騎兵行軍速度到底有多快?讓你想不到堪比現代裝甲部隊
• 註五 良工的博客:古代烽燧，軍情的傳遞速度有多快?

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