《周幽王的烽火台──探討烽火台平均距離的期望值》——2019數感盃 / 高中職組專題報導類佳作

本文與 BRITA 合作，泛科學企劃執行。

你確定你喝的水真的乾淨嗎？

如果你回到兩百年前，試圖喝一口當時世界上最大城市的飲用水，可能會立刻放下杯子——那水的顏色帶點黃褐，氣味刺鼻，甚至還飄著肉眼可見的雜質。十九世紀倫敦泰晤士河的水，被戲稱為「流動的污水」，當時的人們雖然知道水不乾淨，但卻無力改變，導致霍亂和傷寒等疾病肆虐。

幸運的是，現代自來水處理系統已經讓我們喝不到這種「肉眼可見」的污染物，但問題可還沒徹底解決。面對 21 世紀的飲水挑戰，哪些技術真正有效？

濾水技術：從霍亂危機到高效濾芯

19 世紀的歐洲因為城市人口膨脹與工業發展，面臨了前所未有的水污染挑戰。當時多數城市的供水系統仍然依賴河流、湖泊，甚至未經處理的地下水，導致傳染病肆虐。

1854 年，英國醫生約翰·斯諾（John Snow）透過流行病學調查，發現倫敦某口公共水井與霍亂爆發直接相關，這是歷史上首次確立「飲水與疾病傳播的關聯」。這項發現徹底改變了各國政府對供水系統的態度，促使公衛政策改革，加速了濾水與消毒技術的發展。到了 20 世紀初，英國、美國等國開始在自來水中加入氯消毒，成功降低霍亂、傷寒等水媒傳染病的發生率，這一技術迅速普及，成為現代供水安全的基石。    

 19 世紀末的台灣同樣深受傳染病困擾，尤其是鼠疫肆虐。1895 年割讓給日本後，惡劣的衛生條件成為殖民政府最棘手的問題之一。1896 年，後藤新平出任民政長官，他本人曾參與東京自來水與下水道系統的規劃建設，對公共衛生系統有深厚理解。為改善台灣水源與防疫問題，他邀請了曾參與東京水道工程的英籍技師 W.K. 巴爾頓（William Kinnimond Burton） 來台，規劃現代化的供水設施。在雙方合作下，台灣陸續建立起結合過濾、消毒、儲水與送水功能的設施。到 1917 年，全台已有 16 座現代水廠，有效改善公共衛生，為台灣城市化奠定關鍵基礎。

進入 20 世紀，人們已經可以喝到看起來乾淨的水，但問題真的解決了嗎？ 科學家如今發現，水裡仍然可能殘留奈米塑膠、重金屬、農藥、藥物代謝物，甚至微量的內分泌干擾物，這些看不見、嚐不出的隱形污染，正在成為21世紀的飲水挑戰。也因此，濾水技術迎來了一波科技革新，活性碳吸附、離子交換樹脂、微濾、逆滲透（RO）等技術相繼問世，各有其專長：

• 活性碳吸附：去除氯氣、異味與部分有機污染物

• 離子交換樹脂：軟化水質，去除鈣鎂離子，減少水垢

• 微濾技術、逆滲透（RO）技術：攔截細菌與部分微生物，過濾重金屬與污染物等

這些技術相互搭配，能夠大幅提升飲水安全，然而，無論技術如何進步，濾芯始終是濾水設備的核心。一個設計優良的濾芯，決定了水質能否真正被淨化，而現代濾水器的競爭，正是圍繞著「如何打造更高效、更耐用、更智能的濾芯」展開的。於是，最關鍵的問題就在於到底該如何確保濾芯的效能？

濾芯的壽命與更換頻率：濾水效能的關鍵時刻濾芯，雖然是濾水器中看不見的內部構件，卻是決定水質純淨度的核心。以德國濾水品牌 BRITA 為例，其濾芯技術結合椰殼活性碳和離子交換樹脂，能有效去除水中的氯、除草劑、殺蟲劑及藥物殘留等化學物質，並過濾鉛、銅等重金屬，同時軟化水質，提升口感。

然而，隨著市場需求的增長，非原廠濾芯也悄然湧現，這不僅影響濾水效果，更可能帶來健康風險。據消費者反映，同一網路賣場內便可輕易購得真假 BRITA 濾芯，顯示問題日益嚴重。為確保飲水安全，建議消費者僅在實體官方授權通路或網路官方直營旗艦店購買濾芯，避免誤用來路不明的濾芯產品讓自己的身體當過濾器。

辨識濾芯其實並不難——正品 BRITA 濾芯的紙盒下方應有「台灣碧然德」的進口商貼紙，正面則可看到 BRITA 商標，以及「4週換放芯喝」的標誌。塑膠袋外包裝上同樣印有 BRITA 商標。濾芯本體的上方會有兩個浮雕的 BRITA 字樣，並且沒有拉環設計，底部則標示著創新科技過濾結構。購買時仔細留意這些細節，才能確保濾芯發揮最佳過濾效果，讓每一口水都能保證潔淨安全。

不過，即便是正品濾芯，其效能也非永久不變。隨著使用時間增加，濾芯的孔隙會逐漸被污染物堵塞，導致過濾效果減弱，濾水速度也可能變慢。而且，濾芯在拆封後便接觸到空氣，潮濕的環境可能會成為細菌滋生的溫床。如果長期不更換濾芯，不僅會影響過濾效能，還可能讓積累的微小污染物反過來影響水質，形成「過濾器悖論」（Filter Paradox）：本應淨化水質的裝置，反而成為污染源。為此，BRITA 建議每四週更換一次濾芯，以維持穩定的濾水效果。

為了解決使用者容易忽略更換時機的問題，BRITA 推出了三大智慧提醒機制，確保濾芯不會因過期使用而影響水質：

1. Memo 或 LED 智慧濾芯指示燈：即時監測濾芯狀況，顯示剩餘效能，讓使用者掌握最佳更換時間。

2. QR Code 掃碼電子日曆提醒：掃描包裝外盒上的 QR Code 記錄濾芯的使用時間，自動提醒何時該更換，減少遺漏。

3. LINE 官方帳號自動通知：透過 LINE 推送更換提醒，確保用戶不會因忙碌而錯過更換時機。

在濾水技術日新月異的今天，濾芯已不僅僅是過濾裝置，更是智慧監控的一部分。如何挑選最適合自己需求的濾水設備，成為了健康生活的關鍵。

濾水技術：不僅是進步，更是守護未來

人類對潔淨飲用水的追求，從未停止。19世紀，隨著城市化與工業化發展，水污染問題加劇並引發霍亂等疾病，促使濾水技術迅速發展。20世紀，氯消毒技術普及，進一步保障了水質安全。隨著科技進步，現代濾水技術透過活性碳、離子交換等技術，去除水中的污染物，讓每一口水更加潔淨與安全。

今天，消費者不再單純依賴公共供水系統，而是能根據自身需求選擇適合的濾水設備。例如，BRITA 提供的「純淨全效型濾芯」與「去水垢專家濾芯」可針對不同需求，從去除餘氯、過濾重金屬到改善水質硬度等問題，去水垢專家濾芯的去水垢能力較純淨全效型濾芯提升50%，並通過 SGS 檢測，通過國家標準水質檢測「可生飲」，讓消費者能安心直飲。

然而，隨著環境污染問題的加劇，真正的挑戰在於如何減少水污染，並確保每個人都能擁有乾淨水源。科技不僅是解決問題的工具，更應該成為守護未來的承諾。濾水器不僅是家用設備，它象徵著人類與自然的對話，提醒我們水的純淨不僅是技術的勝利，更是社會的責任和對未來世代的承諾。

*符合濾(淨)水器飲用水水質檢測技術規範所列9項「金屬元素」及15項「揮發性有機物」測試
*僅限使用合格自來水源，且住宅之儲水設備至少每6-12個月標準清洗且無受汙染之虞

本文由 國立臺灣師範大學 委託，泛科學企劃執行。 

現代人手機普及率極高，你可能正在用手機閱讀這篇文章。

仔細想想，我們每天使用的手機真的很厲害。只需幾下操作，就能傳訊息、視訊通話，還能上網看影片、玩遊戲、使用社群網路等。

你可能知道全世界的第一支手機是 Motorola 在 1973 年 4 月 3 日推出的黑金剛，重達 2 公斤的程度。不過，早在幾千年前，其實已經有「手機」存在了。

當時的手機不只兩公斤重或兩公升水壺大，甚至是有好幾層樓那麼高，那這些手機的傳輸速率也超級慢，看影片一定是不可能，連打電話聊天都辦不到。超級陽春，基本上只能傳遞「有」或「沒有」這樣的是非題。

應該有些人猜到了，其實就是「烽火臺」。

烽火臺是中國古代為了傳遞軍情所設計的通信系統。一座烽火臺上有幾位士兵，備有大量的稻草與木柴，如果看到敵人侵犯，或是前後的烽火臺燃起狼煙，士兵們就會立刻燃燒乾柴，釋放狼煙，傳遞攸關國家存亡的重要資訊。雖然，烽火臺的尺寸大小與現今我們常用的手機差很多，傳輸能力也差很多，但烽火臺還真是上古時代標準的通信設施哦！

接下來還會推出一系列「通信科技」相關的節目，內容囊括了通信發展的歷史故事、重要的通信科學家、通信相關的技術知識。

讓你認識新聞報導中，常聽到的一些通信專有名詞，什麼是頻帶、頻寬？現代通信技術如此厲害的關鍵又在哪裡？甚至，這些技術跟我們平常在學校裡學到的各科知識，又有怎樣的連結呢？

這系列將用影片帶領大家進入這個有趣、改變全人類生活的通信世界，敬請期待哦！有更多想法也可以留言分享喔！

更多、更完整的內容，歡迎上數感實驗室 Numeracy Lab 的 YouTube 頻道觀看完整影片，並開啟訂閱獲得更多有趣的資訊！

• id S. Moore、諾茨 William I. Notz
• 譯者：鄭惟厚、吳欣蓓

什麼是大數法則？

期望值的定義是：它是可能結果的一種平均，但在計算平均時，機率大的結果占的比重較高。我們認為期望值也是另一種意義的平均結果，它代表了如果我們重複賭很多次，或者隨機選出很多家戶，實際上會看到的長期平均。這並不只是直覺而已。數學家只要用機率的基本規則就可以證明，用機率模型算出來的期望值，真的就是「長期平均」。這個有名的事實叫做大數法則。

大數法則和機率的概念密切相關。在許多次獨立的重複當中，每個可能結果的發生比例會接近它的機率，而所得到的平均結果就會接近期望值。這些事實表達了機遇事件的長期規律性。正如我們在第 17 章提過的，它們是真正的「平均數定律」。

大數法則解釋了：為什麼對個人來說是消遣甚至是會上癮的賭博，對賭場來說卻是生意。經營賭場根本就不是在賭博。大量的賭客贏錢的平均金額會很接近期望值。賭場經營者事先就算好了期望值，並且知道長期下來收入會是多少，所以並不需要在骰子裡灌鉛或者做牌來保證利潤。

賭場只要花精神提供不貴的娛樂和便宜的交通工具，讓顧客川流不息進場就行了。只要賭注夠多，大數法則就能保證賭場賺錢。保險公司的運作也很像賭場，他們賭買了保險的人不會死亡。當然有些人確實會死亡，但是保險公司知道機率，並且依賴大數法則來預測必須給付的平均金額。然後保險公司就把保費訂得夠高，來保證有利潤。

• 在樂透彩上做手腳

我們都在電視上看過樂透開獎的實況轉播，看到號碼球上下亂跳，然後由於空氣壓力而隨機彈跳出來。我們可以怎麼樣對開出的號碼做手腳呢？ 1980 年的時候，賓州樂透就曾被面帶微笑的主持人以及幾個舞台工作人員動了手腳。

他們把 10 個號碼球中的 8 顆注入油漆，這樣做會把球變重，因此可保證開出中獎號碼的 3 個球必定有那 2 個沒被注入油漆的號碼。然後這些傢伙就下注買該 2 個號碼的所有組合。當 6-6-6 跳出來的時候，他們贏了 120 萬美元。是的，他們後來全被逮到。

深入探討期望值

跟機率一樣，期望值和大數法則都值得再花些時間，探討相關的細節問題。

• 多大的數才算是「大數」？

大數法則是說，當試驗的次數愈來愈多，許多次試驗的實際平均結果會愈來愈接近期望值。可是大數法則並沒有說，究竟需要多少次試驗，才能保證平均結果會接近期望值。這點是要看機結果的變異性決定。

結果的變異愈大，就需要愈多次的試驗，來確保平均結果接近期望值。機遇遊戲一定要變化大，才能保住賭客的興趣。即使在賭場待上好幾個鐘頭，結果也是無法預測的。結果變異性極大的賭博，例如累積彩金數額極大但極不可能中獎的州彩券，需要極多次的試驗，幾乎要多到不可能的次數，才能保證平均結果會接近期望值。

（州政府可不需要依賴大數法則，因為樂透彩金不像賭場的遊戲，樂透彩用的是同注分彩系統。在同注分彩系統裡面，彩金和賠率是由實際下注金額決定的。舉例來說，各州所辦的樂透彩金，是由全部賭金扣除州政府所得部分之後的剩餘金額來決定的。賭馬的賠率則是決定於賭客對不同馬匹的下注金額。）

雖然大部分的賭博遊戲不及樂透彩這樣多變化，但要回答大數法則的適用範圍，較實際的答案就是：賭場的贏錢金額期望值是正的，而賭場玩的次數夠多，所以可以靠著這個期望值贏錢。你的問題則是，你贏錢金額的期望值是負的。全體賭客玩的次數合起來算的話，當然和賭場一樣多，但因為期望值是負的，所以以賭客整體來看，長期下來一定輸錢。

然而輸的金額並不是由賭客均攤。有些人贏很多錢，有些人輸很多，而有些人沒什麼輸贏。賭博帶給人的誘惑，大部分是來自賭博結果的無法預測。而賭博這門生意仰賴的則是：對賭場來說，結果並非不可測的。

• 有沒有保證贏錢的賭法？

把賭博很當回事的賭客常常遵循某種賭法，這種賭法每次下注的金額，是看前幾次的結果而定。比如說，在賭輪盤時，你可以每次把賭注加倍，直到你贏為止—或者，當然，直到你輸光為止。即使輪盤並沒有記憶，這種玩法仍想利用你有記憶這件事來贏。

你可以用一套賭法來戰勝機率嗎？不行，數學家建立的另一種大數法則說：如果你沒有無窮盡的賭本，那麼只要遊戲的各次試驗（比如輪盤的各次轉動）之間是獨立的，你的平均獲利（期望值）就會是一樣的。抱歉啦！

• 高科技賭博

全美國有超過 700,000 台吃角子老虎（拉霸）。從前，你丟硬幣進去再拉下把手，轉動三個輪子，每個輪子有 20 個圖案。但早就不是這樣了。現在的機器是電動遊戲，會閃出許多很炫的畫面，而結果是由隨機數字產生器決定的。

機器可以同時接受許多硬幣，有各種讓你眼花撩亂的中獎結果，還可以多台連線，共同累積成連線大獎。賭徒仍在尋找可以贏錢的賭法，但是長期下來，隨機數字產生器會保證賭場有 5% 的利潤。

——本文摘自《統計，讓數字說話》，2023 年 1 月，天下文化出版，未經同意請勿轉載。

「數感盃青少年寫作競賽」提供國中、高中職學生在培養數學素養後，一個絕佳的發揮舞台。本競賽鼓勵學生跨領域學習，運用數學知識，培養及展現邏輯思考與文字撰寫的能力，盼提升臺灣青少年科普寫作的風氣以及對數學的興趣。

本文為 2019數感盃青少年寫作競賽 / 高中職組專題報導類佳作 之作品，為盡量完整呈現學生之作品樣貌，本文除首圖及標點符號、錯字之外並未進行其他大幅度編修。

• 作者：張原嘉、劉羿賢／新竹市立新竹高中

前情提要

歷史上曾有一位絕世美人褒姒，她不愛笑，但她的美貌卻讓當時的天子周幽王神魂顛倒。周幽王為了取悅褒姒，在天下太平時三番五次點燃危急時召集 諸侯的烽火，當諸侯們匆忙趕來首都保衛天子時卻沒看到敵人，只見褒姒的訕 笑。西元前 771 年，犬戎入侵，失信於諸侯的周幽王，在真正危難時雖點燃烽火，卻不得諸侯信任，最終為犬戎所擄，只能含淚與褒姒生死相別。

歷史總是有無限的可能性，倘若那時有一位諸侯查覺到異狀，聯合全部諸 侯及時抵擋犬戎入侵，西周將延續國祚，而周幽王的名聲在後代終將大大改 變。 「各位臣子們，寡人對大家感激不盡，這是寡人的不對，寡人不應該隨便戲弄你們。」 此時權位最大的諸侯講話了，「王啊，所謂紅顏禍水，我們聯合要求您必須將褒姒賜死，否則何以面對被戲弄而失去軍心的軍隊呢?」

「這…寡人實在為難…」

「王，若您不將這妖女賜死，我們將另立新王，而褒姒將陪您在黃泉相見。」

周幽王噙著淚水，一條白綾，結束了絕世美人多舛的一生。

「吾王英明。」周幽王聽著眾臣高聲地朝拜，逐漸對褒姒之死釋懷，他想成為一位賢君，在歷史長河上留名，首要之務即是鞏固國防。正所謂「從何處跌倒，就要從何處爬起」，周幽王認為國家的烽火台制度亟需改善，因此，他徵求天下數學第一高手前來設計一套完善的烽火台制度，一次劃時代的改革將在數學中開展。

正文

周幽王向臣子展現強國的決心，貼出告示徵求烽火台的排列方式，只要設 計被認可即賞金千兩並加官奉爵。所謂重賞下必有勇夫，不到一天時間，全周 國數學最好的大臣便前來獻策。

「微臣對烽火排列略有涉獵，向王獻醜，請王指教。」

「愛卿別這樣說，寡人對您的建議十分有興趣，請說。」

「微臣稍加統計，周朝不含沿海地帶的邊界長度大約13000公里（註一），若照以 往以10里（等同於18公里）（註二）設置一個烽火台，那麼共約需 13000÷ 18 ≅722 座烽火台，便可占滿整個邊界。而周朝可派駐至邊界的軍隊共有 45000人（註 三），因此微臣建議在邊界每一烽火台配置 60 位士兵，當有蠻夷入侵時便點燃烽 火，使士兵集合到作戰地點，如此一來便可形成一道有效的防線，王您意下如 何?」

周幽王聽大臣如此說明，臉上露出猶疑的神情，似乎對大臣的敘述不以為 然，說道:「好是好，那我怎麼知道這種防禦可以集結多少士兵，畢竟蠻夷行軍 的速度可達一天70公里（註四），而我國首都鎬京（今西安）距離邊界最短700公 里，代表蠻夷入侵至首都最快只要10天。我必須知道直線型排列烽火台間的平均距離，進一步推算出傳遞時間，才能知道有多少士兵會及時趕來。」

周幽王的問題：大臣設計的烽火台平均從一座烽火台傳遞至另一座烽火台平均傳遞時間？這是否能及時通報軍隊抵擋蠻夷？

「臣對此稍加研究，烽火一時約行百里（註五），代表每座烽火台之間的傳遞只要 6 分鐘。為了討論 722 個烽火台之間從一座烽火台傳至另一座烽火台所需時 間，我們定義總路徑長度 L_n 為 n 個烽火台中任兩個烽火台之間傳遞次數的總和，舉最簡單的例子，L2 = 1，L3 = 4，L4 = 10 （見圖二）。」

「寡人看出規律了，每一個   」

「吾王英明，在點數為 n 的直線排列中，當增加第 n + 1 個點時，總路徑長度可看成原本 n 個點的總路徑長度加上新增加第 n + 1 個點到原本 n 個點的路徑長度，。在數列中我們將前項和後項的關係稱為遞迴，在 L_n 數列中，遞迴式為，且由這遞迴式，即可求出 L_n 的通式解。」

「首先必須先把遞迴式寫出來，如下：

接著把上述式子全部相加，可發現 L2、L3…Ln−1 全部被消掉，只剩下 L_n 和 一堆數字，如下式。

「到這裡我懂，但要如何化簡右式後面一連串的數字呢？」

「稟告王，在數學中求和有很多方法，最常用的方法為 Σ法，意思是將雜亂的代 數和化成許多連續正整數的n次方和相加。這招可計算出許多遞迴解的通式，但 缺點為太過雜亂，因此微臣推薦另一種計算通式的方法，分項對消。您是否有發現，在中，首項的 1 可先化成 1×2/2 ，若將分母的 2 先全部提出，可得 L_n = ½（1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + ⋯+ （n − 1） × n），其中級數中的每一項乘積都滿足前項和後項的頭尾相連。」

「愛卿所言甚是，這很像文字接龍，每一項乘積的前數都必須與他的前一項的後數相同。但是如何整理？」

「王先別急，我們先將每一項同乘以3，並將⅓提出，使得Ln = ⅙（1 × 2 × 3 + 2 × 3 × 3 + 3 × 4 × 3 + ⋯+ （n − 1） × n × 3）再來利用分配律的性質，

1 × 2 × 3 = 1 × 2 × （3 − 0） = 1 × 2 × 3 − 1 × 2 × 0，

2 × 3 × 3 = 2 × 3 × （4 − 1） = 2 × 3 × 4 − 2 × 3 × 1，

3 × 4 × 3 = 3 × 4 × （5 − 2） = 3 × 4 × 5 − 3 × 4 × 2，

…

（n − 1） × n × 3 = （n − 1） × n × （n + 1） − （n − 1） × n × （n − 2）。

因此Ln =⅙ [（1 × 2 × 3 − 1 × 2 × 0） + （2 × 3 × 4 − 2 × 3 × 1） + （3 × 4 × 5 −3 × 4 × 2） + ⋯+ （n − 1） × n × （n + 1） − （n − 1） × n × （n − 2）]」

周幽王臉色凝重的臉色在一瞬間豁然開朗，說道：「原來！如此操作之下前項的 1 × 2 × 3 即可與後項的 2 × 3 × 1 對消，而 2 × 3 × 4 可與 3 × 4 × 2 對消，直到最後只剩下（n − 1） × n × （n + 1）和首項的 1 × 2 × 0，因此

。」

「吾王英明，這就是分項對消的威力。若將實際情況代入，我國有 722 座烽火台，總傳遞路徑長度

，而平均傳遞路徑長度為總路徑長度除以總路徑數，若有 722 座烽火台，每兩座有一條路徑，722 座烽火台 有  = 260281 條路徑，故平均傳遞路徑長度= 62727721 ÷ 260281 = 241 條。」

「稍待一會，這平均傳遞路徑長度是否也有通式。前面算過當有n座烽火台時總傳遞路徑長度為

，其中有

，因此平均傳遞路徑長度為 。」

「王您實在有數學慧根，竟能直接求出平均傳遞路徑長度的通式，微臣自嘆弗如。」 看著周幽王臉上得意的笑，大臣心上的石頭放了下來，並接著說道：「若以兩座烽火台的傳遞為 6 分鐘來計算，當烽火台的士兵一發現蠻夷入侵， 平均只要花分鐘，即平均大約 1 天的時間便可以從任一烽火台 傳至另一烽火台，而蠻夷若想直接攻入首都需花 10 天的時間。因此倘若蠻夷再 入侵，我們可以先讓附近軍隊抵擋，拖延蠻夷入侵速度，再集結所有軍隊對付 蠻夷，相信我吾國必能永保太平，再無蠻夷攻入首都這檔憾事發生。」

「愛卿實在為朝廷之棟樑，國家之人才，能設計出有效的烽火台制度，並用遞迴原理佐證烽火台的傳遞速度足夠抵擋蠻夷入侵，你要什麼，美人、封地、還是爵位，朕通通給你。」

「報告王，這乃是微臣應當做的事，微臣只希望領取微薄俸祿，潛心研究數學，如此而已。」

「愛卿太過客氣，既然你教會我遞迴原理，我封你為遞迴大學士，並每天教導國人數學，讓數學應用在生活中，讓周朝再次因數學而富強！」

結語

「哈哈！那蠻夷一定不知我大周國有如此優秀的數理人才！」

「吾王萬歲！」在接受眾臣朝拜後，周幽王臉上盡是風光滿面的神氣。一階階 爬上烽火台的高台，此時的周幽王卻歛起笑容，若有所思地望著遠方，心中升 起一股淡淡的哀傷，「倘若褒姒還在，我可以教她有趣的數學，那她將以崇拜的 眼神投向我，那我會是多麼幸福！唉！我用最艱深的遞迴方程式也計算不了褒姒一抹淺淺的微笑，最複雜的通式解也比不上我對褒姒無盡的思念。」

地平線上連著一座又一座的烽火台，一片祥和的風景中，周幽王看見褒姒翩翩的身影如烽火一般冉冉上昇，一抹淺淺的微笑從遙遠的烽火台上，傳至更遙遠的烽火台。

相關連結

• 高中數學第二冊第一章──數列與級數
• 高中歷史第二冊第一章──商至西周的文明發展

• 註一 每日頭條:周朝疆域範圍:「分封制」西周分封諸侯圖
• 註二 中文百科在線:烽火台
• 註三 百度百科:西周 
• 註四 每日頭條:古代騎兵行軍速度到底有多快?讓你想不到堪比現代裝甲部隊
• 註五 良工的博客:古代烽燧，軍情的傳遞速度有多快?

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