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《周幽王的烽火台──探討烽火台平均距離的期望值》——2019數感盃 / 高中職組專題報導類佳作

數感實驗室_96
・2019/05/16 ・3632字 ・閱讀時間約 7 分鐘 ・SR值 575 ・九年級

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「數感盃青少年寫作競賽」提供國中、高中職學生在培養數學素養後,一個絕佳的發揮舞台。本競賽鼓勵學生跨領域學習,運用數學知識,培養及展現邏輯思考與文字撰寫的能力,盼提升臺灣青少年科普寫作的風氣以及對數學的興趣。

本文為 2019數感盃青少年寫作競賽 / 高中職組專題報導類佳作 之作品,為盡量完整呈現學生之作品樣貌,本文除首圖及標點符號、錯字之外並未進行其他大幅度編修。

  • 作者:張原嘉、劉羿賢/新竹市立新竹高中
長城上的烽火台。圖/ flickr

前情提要

歷史上曾有一位絕世美人褒姒,她不愛笑,但她的美貌卻讓當時的天子周幽王神魂顛倒。周幽王為了取悅褒姒,在天下太平時三番五次點燃危急時召集 諸侯的烽火,當諸侯們匆忙趕來首都保衛天子時卻沒看到敵人,只見褒姒的訕 笑。西元前 771 年,犬戎入侵,失信於諸侯的周幽王,在真正危難時雖點燃烽火,卻不得諸侯信任,最終為犬戎所擄,只能含淚與褒姒生死相別。

歷史總是有無限的可能性,倘若那時有一位諸侯查覺到異狀,聯合全部諸 侯及時抵擋犬戎入侵,西周將延續國祚,而周幽王的名聲在後代終將大大改 變。 「各位臣子們,寡人對大家感激不盡,這是寡人的不對,寡人不應該隨便戲弄你們。」 此時權位最大的諸侯講話了,「王啊,所謂紅顏禍水,我們聯合要求您必須將褒姒賜死,否則何以面對被戲弄而失去軍心的軍隊呢?」

「這…寡人實在為難…」

「王,若您不將這妖女賜死,我們將另立新王,而褒姒將陪您在黃泉相見。」

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周幽王噙著淚水,一條白綾,結束了絕世美人多舛的一生。

「吾王英明。」周幽王聽著眾臣高聲地朝拜,逐漸對褒姒之死釋懷,他想成為一位賢君,在歷史長河上留名,首要之務即是鞏固國防。正所謂「從何處跌倒,就要從何處爬起」,周幽王認為國家的烽火台制度亟需改善,因此,他徵求天下數學第一高手前來設計一套完善的烽火台制度,一次劃時代的改革將在數學中開展。

正文

周幽王向臣子展現強國的決心,貼出告示徵求烽火台的排列方式,只要設 計被認可即賞金千兩並加官奉爵。所謂重賞下必有勇夫,不到一天時間,全周 國數學最好的大臣便前來獻策。

「微臣對烽火排列略有涉獵,向王獻醜,請王指教。」

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「愛卿別這樣說,寡人對您的建議十分有興趣,請說。」

「微臣稍加統計,周朝不含沿海地帶的邊界長度大約13000公里(註一),若照以 往以10里(等同於18公里)(註二)設置一個烽火台,那麼共約需 13000÷ 18 ≅722 座烽火台,便可占滿整個邊界。而周朝可派駐至邊界的軍隊共有 45000人(註 三),因此微臣建議在邊界每一烽火台配置 60 位士兵,當有蠻夷入侵時便點燃烽 火,使士兵集合到作戰地點,如此一來便可形成一道有效的防線,王您意下如 何?」

圖一/每日頭條。註:藍色部分為設置烽火台邊界(不含沿海部分)約為800 公里

周幽王聽大臣如此說明,臉上露出猶疑的神情,似乎對大臣的敘述不以為 然,說道:「好是好,那我怎麼知道這種防禦可以集結多少士兵,畢竟蠻夷行軍 的速度可達一天70公里(註四),而我國首都鎬京(今西安)距離邊界最短700公 里,代表蠻夷入侵至首都最快只要10天。我必須知道直線型排列烽火台間的平均距離,進一步推算出傳遞時間,才能知道有多少士兵會及時趕來。」

周幽王的問題:大臣設計的烽火台平均從一座烽火台傳遞至另一座烽火台平均傳遞時間?這是否能及時通報軍隊抵擋蠻夷?

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「臣對此稍加研究,烽火一時約行百里(註五),代表每座烽火台之間的傳遞只要 6 分鐘。為了討論 722 個烽火台之間從一座烽火台傳至另一座烽火台所需時 間,我們定義總路徑長度 Ln 為 n 個烽火台中任兩個烽火台之間傳遞次數的總和,舉最簡單的例子,L2 = 1,L3 = 4,L4 = 10 (見圖二)。」

圖二

 

「寡人看出規律了,每一個   

「吾王英明,在點數為 n 的直線排列中,當增加第 n + 1 個點時,總路徑長度可看成原本 n 個點的總路徑長度加上新增加第 n + 1 個點到原本 n 個點的路徑長。在數列中我們將前項和後項的關係稱為遞迴,在 L數列中,遞迴式為,且由這遞迴式,即可求出 Ln 的通式解。」

「首先必須先把遞迴式寫出來,如下:

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接著把上述式子全部相加,可發現 L2、L3…Ln−1 全部被消掉,只剩下 Ln 和 一堆數字,如下式。

「到這裡我懂,但要如何化簡右式後面一連串的數字呢?」

「稟告王,在數學中求和有很多方法,最常用的方法為 Σ法,意思是將雜亂的代 數和化成許多連續正整數的n次方和相加。這招可計算出許多遞迴解的通式,但 缺點為太過雜亂,因此微臣推薦另一種計算通式的方法,分項對消。您是否有發現,在中,首項的 1 可先化成 1×2/2 ,若將分母的 2 先全部提出,可得 Ln = ½(1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + ⋯+ (n − 1) × n),其中級數中的每一項乘積都滿足前項和後項的頭尾相連。」

「愛卿所言甚是,這很像文字接龍,每一項乘積的前數都必須與他的前一項的後數相同。但是如何整理?」

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「王先別急,我們先將每一項同乘以3,並將⅓提出,使得Ln = ⅙(1 × 2 × 3 + 2 × 3 × 3 + 3 × 4 × 3 + ⋯+ (n − 1) × n × 3)再來利用分配律的性質,

1 × 2 × 3 = 1 × 2 × (3 − 0) = 1 × 2 × 3 − 1 × 2 × 0,

2 × 3 × 3 = 2 × 3 × (4 − 1) = 2 × 3 × 4 − 2 × 3 × 1,

3 × 4 × 3 = 3 × 4 × (5 − 2) = 3 × 4 × 5 − 3 × 4 × 2,

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(n − 1) × n × 3 = (n − 1) × n × (n + 1) − (n − 1) × n × (n − 2)。

因此Ln =⅙ [(1 × 2 × 3 − 1 × 2 × 0) + (2 × 3 × 4 − 2 × 3 × 1) + (3 × 4 × 5 −3 × 4 × 2) + ⋯+ (n − 1) × n × (n + 1) − (n − 1) × n × (n − 2)]」

周幽王臉色凝重的臉色在一瞬間豁然開朗,說道:「原來!如此操作之下前項的 1 × 2 × 3 即可與後項的 2 × 3 × 1 對消,而 2 × 3 × 4 可與 3 × 4 × 2 對消,直到最後只剩下(n − 1) × n × (n + 1)和首項的 1 × 2 × 0,因此

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。」

「吾王英明,這就是分項對消的威力。若將實際情況代入,我國有 722 座烽火台,總傳遞路徑長度

,而平均傳遞路徑長度為總路徑長度除以總路徑數,若有 722 座烽火台,每兩座有一條路徑,722 座烽火台 有  = 260281 條路徑,故平均傳遞路徑長度= 62727721 ÷ 260281 = 241 條。」

「稍待一會,這平均傳遞路徑長度是否也有通式。前面算過當有n座烽火台時總傳遞路徑長度為

,其中有

,因此平均傳遞路徑長度為 。」

「王您實在有數學慧根,竟能直接求出平均傳遞路徑長度的通式,微臣自嘆弗如。」 看著周幽王臉上得意的笑,大臣心上的石頭放了下來,並接著說道:「若以兩座烽火台的傳遞為 6 分鐘來計算,當烽火台的士兵一發現蠻夷入侵, 平均只要花分鐘,即平均大約 1 天的時間便可以從任一烽火台 傳至另一烽火台,而蠻夷若想直接攻入首都需花 10 天的時間。因此倘若蠻夷再 入侵,我們可以先讓附近軍隊抵擋,拖延蠻夷入侵速度,再集結所有軍隊對付 蠻夷,相信我吾國必能永保太平,再無蠻夷攻入首都這檔憾事發生。」

「愛卿實在為朝廷之棟樑,國家之人才,能設計出有效的烽火台制度,並用遞迴原理佐證烽火台的傳遞速度足夠抵擋蠻夷入侵,你要什麼,美人、封地、還是爵位,朕通通給你。」

「報告王,這乃是微臣應當做的事,微臣只希望領取微薄俸祿,潛心研究數學,如此而已。」

「愛卿太過客氣,既然你教會我遞迴原理,我封你為遞迴大學士,並每天教導國人數學,讓數學應用在生活中,讓周朝再次因數學而富強!」

結語

「哈哈!那蠻夷一定不知我大周國有如此優秀的數理人才!」

「吾王萬歲!」在接受眾臣朝拜後,周幽王臉上盡是風光滿面的神氣。一階階 爬上烽火台的高台,此時的周幽王卻歛起笑容,若有所思地望著遠方,心中升 起一股淡淡的哀傷,「倘若褒姒還在,我可以教她有趣的數學,那她將以崇拜的 眼神投向我,那我會是多麼幸福!唉!我用最艱深的遞迴方程式也計算不了褒姒一抹淺淺的微笑,最複雜的通式解也比不上我對褒姒無盡的思念。」

地平線上連著一座又一座的烽火台,一片祥和的風景中,周幽王看見褒姒翩翩的身影如烽火一般冉冉上昇,一抹淺淺的微笑從遙遠的烽火台上,傳至更遙遠的烽火台。

相關連結

  • 高中數學第二冊第一章──數列與級數
  • 高中歷史第二冊第一章──商至西周的文明發展

參考資料

更多2019數感盃青少年寫作競賽內容,歡迎參考 2019數感盃特輯、數感實驗室官網粉絲頁喔。

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數感實驗室的宗旨是讓社會大眾「看見數學」。 數感實驗室於 2016 年 4 月成立 Facebook 粉絲頁,迄今超過 44,000 位粉絲追蹤。每天發布一則數學文章,內容包括介紹數學新知、生活中的數學應用、或是數學和文學、藝術等跨領域結合的議題。 詳見網站:http://numeracy.club/ 粉絲專頁:https://www.facebook.com/pg/numeracylab/

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人體吸收新突破:SEDDS 的魔力
鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2024/05/03 ・1194字 ・閱讀時間約 2 分鐘

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本文由 紐崔萊 委託,泛科學企劃執行。 

營養品的吸收率如何?

藥物和營養補充品,似乎每天都在我們的生活中扮演著越來越重要的角色。但你有沒有想過,這些關鍵分子,可能無法全部被人體吸收?那該怎麼辦呢?答案或許就在於吸收率!讓我們一起來揭開這個謎團吧!

你吃下去的營養品,可以有效地被吸收嗎?圖/envato

當我們吞下一顆膠囊時,這個小小的丸子就開始了一場奇妙的旅程。從口進入消化道,與胃液混合,然後被推送到小腸,最後透過腸道被吸收進入血液。這個過程看似簡單,但其實充滿了挑戰。

首先,我們要面對的挑戰是藥物的溶解度。有些成分很難在水中溶解,這意味著它們在進入人體後可能無法被有效吸收。特別是對於脂溶性成分,它們需要透過油脂的介入才能被吸收,而這個過程相對複雜,吸收率也較低。

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你有聽過「藥物遞送系統」嗎?

為了解決這個問題,科學家們開發了許多藥物遞送系統,其中最引人注目的就是自乳化藥物遞送系統(Self-Emulsifying Drug Delivery Systems,簡稱 SEDDS),也被稱作吸收提升科技。這項科技的核心概念是利用遞送系統中的油脂、界面活性劑和輔助界面活性劑,讓藥物與營養補充品一進到腸道,就形成微細的乳糜微粒,從而提高藥物的吸收率。

自乳化藥物遞送系統,也被稱作吸收提升科技。 圖/envato

還有一點,這些經過 SEDDS 科技處理過的脂溶性藥物,在腸道中形成乳糜微粒之後,會經由腸道的淋巴系統吸收,因此可以繞過肝臟的首渡效應,減少損耗,同時保留了更多的藥物活性。這使得原本難以吸收的藥物,如用於愛滋病或新冠病毒療程的抗反轉錄病毒藥利托那韋(Ritonavir),以及緩解心絞痛的硝苯地平(Nifedipine),能夠更有效地發揮作用。

除了在藥物治療中的應用,SEDDS 科技還廣泛運用於營養補充品領域。許多脂溶性營養素,如維生素 A、D、E、K 和魚油中的 EPA、DHA,都可以通過 SEDDS 科技提高其吸收效率,從而更好地滿足人體的營養需求。

隨著科技的進步,藥品能打破過往的限制,發揮更大的療效,也就相當於有更高的 CP 值。SEDDS 科技的出現,便是增加藥物和營養補充品吸收率的解決方案之一。未來,隨著科學科技的不斷進步,相信會有更多藥物遞送系統 DDS(Drug Delivery System)問世,為人類健康帶來更多的好處。

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古人用的超大型手機?從烽火臺到智能手機:通信科技的演進
數感實驗室_96
・2024/05/13 ・880字 ・閱讀時間約 1 分鐘

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本文由 國立臺灣師範大學 委託,泛科學企劃執行。 

現代人手機普及率極高,你可能正在用手機閱讀這篇文章。

仔細想想,我們每天使用的手機真的很厲害。只需幾下操作,就能傳訊息、視訊通話,還能上網看影片、玩遊戲、使用社群網路等。

你可能知道全世界的第一支手機是 Motorola 在 1973 年 4 月 3 日推出的黑金剛,重達 2 公斤的程度。不過,早在幾千年前,其實已經有「手機」存在了。

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當時的手機不只兩公斤重或兩公升水壺大,甚至是有好幾層樓那麼高,那這些手機的傳輸速率也超級慢,看影片一定是不可能,連打電話聊天都辦不到。超級陽春,基本上只能傳遞「有」或「沒有」這樣的是非題。

應該有些人猜到了,其實就是「烽火臺」。

烽火臺是中國古代為了傳遞軍情所設計的通信系統。一座烽火臺上有幾位士兵,備有大量的稻草與木柴,如果看到敵人侵犯,或是前後的烽火臺燃起狼煙,士兵們就會立刻燃燒乾柴,釋放狼煙,傳遞攸關國家存亡的重要資訊。雖然,烽火臺的尺寸大小與現今我們常用的手機差很多,傳輸能力也差很多,但烽火臺還真是上古時代標準的通信設施哦!

接下來還會推出一系列「通信科技」相關的節目,內容囊括了通信發展的歷史故事、重要的通信科學家、通信相關的技術知識。

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讓你認識新聞報導中,常聽到的一些通信專有名詞,什麼是頻帶、頻寬?現代通信技術如此厲害的關鍵又在哪裡?甚至,這些技術跟我們平常在學校裡學到的各科知識,又有怎樣的連結呢?

這系列將用影片帶領大家進入這個有趣、改變全人類生活的通信世界,敬請期待哦!有更多想法也可以留言分享喔!

更多、更完整的內容,歡迎上數感實驗室 Numeracy Lab 的 YouTube 頻道觀看完整影片,並開啟訂閱獲得更多有趣的資訊!

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買樂透真的可以賺錢?大數法則揭示了賭博的真相!——《統計,讓數字說話》
天下文化_96
・2023/03/05 ・2394字 ・閱讀時間約 4 分鐘

  • id S. Moore、諾茨 William I. Notz
  • 譯者:鄭惟厚、吳欣蓓

什麼是大數法則?

期望值的定義是:它是可能結果的一種平均,但在計算平均時,機率大的結果占的比重較高。我們認為期望值也是另一種意義的平均結果,它代表了如果我們重複賭很多次,或者隨機選出很多家戶,實際上會看到的長期平均。這並不只是直覺而已。數學家只要用機率的基本規則就可以證明,用機率模型算出來的期望值,真的就是「長期平均」。這個有名的事實叫做大數法則。

大數法則
大數法則(law of large numbers)是指,如果結果為數值的隨機現象,獨立重複執行許多次,實際觀察到的結果的平均值,會趨近期望值。

大數法則和機率的概念密切相關。在許多次獨立的重複當中,每個可能結果的發生比例會接近它的機率,而所得到的平均結果就會接近期望值。這些事實表達了機遇事件的長期規律性。正如我們在第 17 章提過的,它們是真正的「平均數定律」。

大數法則解釋了:為什麼對個人來說是消遣甚至是會上癮的賭博,對賭場來說卻是生意。經營賭場根本就不是在賭博。大量的賭客贏錢的平均金額會很接近期望值。賭場經營者事先就算好了期望值,並且知道長期下來收入會是多少,所以並不需要在骰子裡灌鉛或者做牌來保證利潤。

賭場只要花精神提供不貴的娛樂和便宜的交通工具,讓顧客川流不息進場就行了。只要賭注夠多,大數法則就能保證賭場賺錢。保險公司的運作也很像賭場,他們賭買了保險的人不會死亡。當然有些人確實會死亡,但是保險公司知道機率,並且依賴大數法則來預測必須給付的平均金額。然後保險公司就把保費訂得夠高,來保證有利潤。

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  • 在樂透彩上做手腳

我們都在電視上看過樂透開獎的實況轉播,看到號碼球上下亂跳,然後由於空氣壓力而隨機彈跳出來。我們可以怎麼樣對開出的號碼做手腳呢? 1980 年的時候,賓州樂透就曾被面帶微笑的主持人以及幾個舞台工作人員動了手腳。

他們把 10 個號碼球中的 8 顆注入油漆,這樣做會把球變重,因此可保證開出中獎號碼的 3 個球必定有那 2 個沒被注入油漆的號碼。然後這些傢伙就下注買該 2 個號碼的所有組合。當 6-6-6 跳出來的時候,他們贏了 120 萬美元。是的,他們後來全被逮到。

歷史上曾有主持人在樂透上做手腳,後來賺了 120 萬美元隨後被逮捕。圖/envatoelements

深入探討期望值

跟機率一樣,期望值和大數法則都值得再花些時間,探討相關的細節問題。

  • 多大的數才算是「大數」?

大數法則是說,當試驗的次數愈來愈多,許多次試驗的實際平均結果會愈來愈接近期望值。可是大數法則並沒有說,究竟需要多少次試驗,才能保證平均結果會接近期望值。這點是要看機結果的變異性決定。

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結果的變異愈大,就需要愈多次的試驗,來確保平均結果接近期望值。機遇遊戲一定要變化大,才能保住賭客的興趣。即使在賭場待上好幾個鐘頭,結果也是無法預測的。結果變異性極大的賭博,例如累積彩金數額極大但極不可能中獎的州彩券,需要極多次的試驗,幾乎要多到不可能的次數,才能保證平均結果會接近期望值。

(州政府可不需要依賴大數法則,因為樂透彩金不像賭場的遊戲,樂透彩用的是同注分彩系統。在同注分彩系統裡面,彩金和賠率是由實際下注金額決定的。舉例來說,各州所辦的樂透彩金,是由全部賭金扣除州政府所得部分之後的剩餘金額來決定的。賭馬的賠率則是決定於賭客對不同馬匹的下注金額。)

雖然大部分的賭博遊戲不及樂透彩這樣多變化,但要回答大數法則的適用範圍,較實際的答案就是:賭場的贏錢金額期望值是正的,而賭場玩的次數夠多,所以可以靠著這個期望值贏錢。你的問題則是,你贏錢金額的期望值是負的。全體賭客玩的次數合起來算的話,當然和賭場一樣多,但因為期望值是負的,所以以賭客整體來看,長期下來一定輸錢。

然而輸的金額並不是由賭客均攤。有些人贏很多錢,有些人輸很多,而有些人沒什麼輸贏。賭博帶給人的誘惑,大部分是來自賭博結果的無法預測。而賭博這門生意仰賴的則是:對賭場來說,結果並非不可測的。

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對賭場來說,贏錢金額期望值為正。圖/envatoelements
  • 有沒有保證贏錢的賭法?

把賭博很當回事的賭客常常遵循某種賭法,這種賭法每次下注的金額,是看前幾次的結果而定。比如說,在賭輪盤時,你可以每次把賭注加倍,直到你贏為止—或者,當然,直到你輸光為止。即使輪盤並沒有記憶,這種玩法仍想利用你有記憶這件事來贏。

你可以用一套賭法來戰勝機率嗎?不行,數學家建立的另一種大數法則說:如果你沒有無窮盡的賭本,那麼只要遊戲的各次試驗(比如輪盤的各次轉動)之間是獨立的,你的平均獲利(期望值)就會是一樣的。抱歉啦!

  • 高科技賭博

全美國有超過 700,000 台吃角子老虎(拉霸)。從前,你丟硬幣進去再拉下把手,轉動三個輪子,每個輪子有 20 個圖案。但早就不是這樣了。現在的機器是電動遊戲,會閃出許多很炫的畫面,而結果是由隨機數字產生器決定的。

機器可以同時接受許多硬幣,有各種讓你眼花撩亂的中獎結果,還可以多台連線,共同累積成連線大獎。賭徒仍在尋找可以贏錢的賭法,但是長期下來,隨機數字產生器會保證賭場有 5% 的利潤。

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——本文摘自《統計,讓數字說話》,2023 年 1 月,天下文化出版,未經同意請勿轉載。

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天下文化_96
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天下文化成立於1982年。一直堅持「傳播進步觀念,豐富閱讀世界」,已出版超過2,500種書籍,涵括財經企管、心理勵志、社會人文、科學文化、文學人生、健康生活、親子教養等領域。每一本書都帶給讀者知識、啟發、創意、以及實用的多重收穫,也持續引領台灣社會與國際重要管理潮流同步接軌。