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《周幽王的烽火台──探討烽火台平均距離的期望值》——2019數感盃 / 高中職組專題報導類佳作

數感實驗室・2019/05/16 ・3632字・閱讀時間約 7 分鐘・SR值 575 ・九年級

「數感盃青少年寫作競賽」提供國中、高中職學生在培養數學素養後，一個絕佳的發揮舞台。本競賽鼓勵學生跨領域學習，運用數學知識，培養及展現邏輯思考與文字撰寫的能力，盼提升臺灣青少年科普寫作的風氣以及對數學的興趣。
本文為 2019數感盃青少年寫作競賽 / 高中職組專題報導類佳作 之作品，為盡量完整呈現學生之作品樣貌，本文除首圖及標點符號、錯字之外並未進行其他大幅度編修。

作者：張原嘉、劉羿賢／新竹市立新竹高中

前情提要

歷史上曾有一位絕世美人褒姒，她不愛笑，但她的美貌卻讓當時的天子周幽王神魂顛倒。周幽王為了取悅褒姒，在天下太平時三番五次點燃危急時召集諸侯的烽火，當諸侯們匆忙趕來首都保衛天子時卻沒看到敵人，只見褒姒的訕笑。西元前 771 年，犬戎入侵，失信於諸侯的周幽王，在真正危難時雖點燃烽火，卻不得諸侯信任，最終為犬戎所擄，只能含淚與褒姒生死相別。

歷史總是有無限的可能性，倘若那時有一位諸侯查覺到異狀，聯合全部諸侯及時抵擋犬戎入侵，西周將延續國祚，而周幽王的名聲在後代終將大大改變。「各位臣子們，寡人對大家感激不盡，這是寡人的不對，寡人不應該隨便戲弄你們。」此時權位最大的諸侯講話了，「王啊，所謂紅顏禍水，我們聯合要求您必須將褒姒賜死，否則何以面對被戲弄而失去軍心的軍隊呢?」

「這…寡人實在為難…」

「王，若您不將這妖女賜死，我們將另立新王，而褒姒將陪您在黃泉相見。」

周幽王噙著淚水，一條白綾，結束了絕世美人多舛的一生。

「吾王英明。」周幽王聽著眾臣高聲地朝拜，逐漸對褒姒之死釋懷，他想成為一位賢君，在歷史長河上留名，首要之務即是鞏固國防。正所謂「從何處跌倒，就要從何處爬起」，周幽王認為國家的烽火台制度亟需改善，因此，他徵求天下數學第一高手前來設計一套完善的烽火台制度，一次劃時代的改革將在數學中開展。

正文

周幽王向臣子展現強國的決心，貼出告示徵求烽火台的排列方式，只要設計被認可即賞金千兩並加官奉爵。所謂重賞下必有勇夫，不到一天時間，全周國數學最好的大臣便前來獻策。

「微臣對烽火排列略有涉獵，向王獻醜，請王指教。」

「愛卿別這樣說，寡人對您的建議十分有興趣，請說。」

「微臣稍加統計，周朝不含沿海地帶的邊界長度大約13000公里（註一），若照以往以10里（等同於18公里）（註二）設置一個烽火台，那麼共約需 13000÷ 18 ≅722 座烽火台，便可占滿整個邊界。而周朝可派駐至邊界的軍隊共有 45000人（註三），因此微臣建議在邊界每一烽火台配置 60 位士兵，當有蠻夷入侵時便點燃烽火，使士兵集合到作戰地點，如此一來便可形成一道有效的防線，王您意下如何?」

周幽王聽大臣如此說明，臉上露出猶疑的神情，似乎對大臣的敘述不以為然，說道:「好是好，那我怎麼知道這種防禦可以集結多少士兵，畢竟蠻夷行軍的速度可達一天70公里（註四），而我國首都鎬京（今西安）距離邊界最短700公里，代表蠻夷入侵至首都最快只要10天。我必須知道直線型排列烽火台間的平均距離，進一步推算出傳遞時間，才能知道有多少士兵會及時趕來。」

周幽王的問題：大臣設計的烽火台平均從一座烽火台傳遞至另一座烽火台平均傳遞時間？這是否能及時通報軍隊抵擋蠻夷？

「臣對此稍加研究，烽火一時約行百里（註五），代表每座烽火台之間的傳遞只要 6 分鐘。為了討論 722 個烽火台之間從一座烽火台傳至另一座烽火台所需時間，我們定義總路徑長度 L_n 為 n 個烽火台中任兩個烽火台之間傳遞次數的總和，舉最簡單的例子，L2 = 1，L3 = 4，L4 = 10 （見圖二）。」

「寡人看出規律了，每一個」

「吾王英明，在點數為 n 的直線排列中，當增加第 n + 1 個點時，總路徑長度可看成原本 n 個點的總路徑長度加上新增加第 n + 1 個點到原本 n 個點的路徑長度，。在數列中我們將前項和後項的關係稱為遞迴，在 L_n數列中，遞迴式為，且由這遞迴式，即可求出 L_n 的通式解。」

「首先必須先把遞迴式寫出來，如下：

接著把上述式子全部相加，可發現 L2、L3…Ln−1 全部被消掉，只剩下 L_n 和一堆數字，如下式。

「到這裡我懂，但要如何化簡右式後面一連串的數字呢？」

「稟告王，在數學中求和有很多方法，最常用的方法為 Σ法，意思是將雜亂的代數和化成許多連續正整數的n次方和相加。這招可計算出許多遞迴解的通式，但缺點為太過雜亂，因此微臣推薦另一種計算通式的方法，分項對消。您是否有發現，在中，首項的 1 可先化成 1×2/2 ，若將分母的 2 先全部提出，可得 L_n = ½（1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + ⋯+ （n − 1） × n），其中級數中的每一項乘積都滿足前項和後項的頭尾相連。」

「愛卿所言甚是，這很像文字接龍，每一項乘積的前數都必須與他的前一項的後數相同。但是如何整理？」

「王先別急，我們先將每一項同乘以3，並將⅓提出，使得Ln = ⅙（1 × 2 × 3 + 2 × 3 × 3 + 3 × 4 × 3 + ⋯+ （n − 1） × n × 3）再來利用分配律的性質，

1 × 2 × 3 = 1 × 2 × （3 − 0） = 1 × 2 × 3 − 1 × 2 × 0，

2 × 3 × 3 = 2 × 3 × （4 − 1） = 2 × 3 × 4 − 2 × 3 × 1，

3 × 4 × 3 = 3 × 4 × （5 − 2） = 3 × 4 × 5 − 3 × 4 × 2，

…

（n − 1） × n × 3 = （n − 1） × n × （n + 1） − （n − 1） × n × （n − 2）。

因此Ln =⅙ [（1 × 2 × 3 − 1 × 2 × 0） + （2 × 3 × 4 − 2 × 3 × 1） + （3 × 4 × 5 −3 × 4 × 2） + ⋯+ （n − 1） × n × （n + 1） − （n − 1） × n × （n − 2）]」

周幽王臉色凝重的臉色在一瞬間豁然開朗，說道：「原來！如此操作之下前項的 1 × 2 × 3 即可與後項的 2 × 3 × 1 對消，而 2 × 3 × 4 可與 3 × 4 × 2 對消，直到最後只剩下（n − 1） × n × （n + 1）和首項的 1 × 2 × 0，因此

。」

「吾王英明，這就是分項對消的威力。若將實際情況代入，我國有 722 座烽火台，總傳遞路徑長度

，而平均傳遞路徑長度為總路徑長度除以總路徑數，若有 722 座烽火台，每兩座有一條路徑，722 座烽火台有 = 260281 條路徑，故平均傳遞路徑長度= 62727721 ÷ 260281 = 241 條。」

「稍待一會，這平均傳遞路徑長度是否也有通式。前面算過當有n座烽火台時總傳遞路徑長度為

，其中有

，因此平均傳遞路徑長度為。」

「王您實在有數學慧根，竟能直接求出平均傳遞路徑長度的通式，微臣自嘆弗如。」看著周幽王臉上得意的笑，大臣心上的石頭放了下來，並接著說道：「若以兩座烽火台的傳遞為 6 分鐘來計算，當烽火台的士兵一發現蠻夷入侵，平均只要花分鐘，即平均大約 1 天的時間便可以從任一烽火台傳至另一烽火台，而蠻夷若想直接攻入首都需花 10 天的時間。因此倘若蠻夷再入侵，我們可以先讓附近軍隊抵擋，拖延蠻夷入侵速度，再集結所有軍隊對付蠻夷，相信我吾國必能永保太平，再無蠻夷攻入首都這檔憾事發生。」

「愛卿實在為朝廷之棟樑，國家之人才，能設計出有效的烽火台制度，並用遞迴原理佐證烽火台的傳遞速度足夠抵擋蠻夷入侵，你要什麼，美人、封地、還是爵位，朕通通給你。」

「報告王，這乃是微臣應當做的事，微臣只希望領取微薄俸祿，潛心研究數學，如此而已。」

「愛卿太過客氣，既然你教會我遞迴原理，我封你為遞迴大學士，並每天教導國人數學，讓數學應用在生活中，讓周朝再次因數學而富強！」

結語

「哈哈！那蠻夷一定不知我大周國有如此優秀的數理人才！」

「吾王萬歲！」在接受眾臣朝拜後，周幽王臉上盡是風光滿面的神氣。一階階爬上烽火台的高台，此時的周幽王卻歛起笑容，若有所思地望著遠方，心中升起一股淡淡的哀傷，「倘若褒姒還在，我可以教她有趣的數學，那她將以崇拜的眼神投向我，那我會是多麼幸福！唉！我用最艱深的遞迴方程式也計算不了褒姒一抹淺淺的微笑，最複雜的通式解也比不上我對褒姒無盡的思念。」

地平線上連著一座又一座的烽火台，一片祥和的風景中，周幽王看見褒姒翩翩的身影如烽火一般冉冉上昇，一抹淺淺的微笑從遙遠的烽火台上，傳至更遙遠的烽火台。

參考資料

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作者／魏澤人｜陽明交通大學智慧計算與科技研究所

在一般印象中，”美” 是與藝術、哲學、文學、音樂這些人文領域相連的。受到教育制度的影響，理工與人文，在普遍認知中是二元對立的。而數學，是理工科目中最硬核的部分。物理、化學實驗中，各種顏色的液體、晃動的單擺或本生燈的火焰，也許還隱隱約約帶有一絲美的影子，但冷冰冰的數學公式，在許多人的求學經驗中，與美根本就是互斥的概念。

但是，懂數學的人都知道，數學是美的。甚至可以說，美是數學中不可或缺的部分。

著名的英國數學家哈代（Godfrey Harold Hardy）說:”數學家的創造形式，與畫家及詩人一樣，必須是美的: 將概念（就像顏色及詞語）以和諧的方式組合起來。美是最重要的條件，醜陋無法長存於數學之中。”。哈代的著作 “一個數學家的辯白”（A Mathematician’s Apology），在數學圈外有一定的名氣，前面的那段話也出自本書。但讓他”出圈”的主要原因，是他發掘了傳奇數學天才拉馬努金（Srinivasa Ramanujan）。這個故事在 2015 年被拍成了電影 “天才無限家” The Man Who Knew Infinity)。

這也不是哈代獨創之見解，法國最偉大的數學家之一龐加萊（Henri Poincare）說：”研究自然不是因為有用，而是因為喜悅。而喜悅是因為美。”。其他比方像是羅素（Bertrand Russell）、艾狄胥（Paul Erdos）也留下不少關於數學與美的金句。

數學的美，不只是許多偉大的數學家的共同體驗。絕大多數的數學愛好者、數學工作者都有相同的體驗，只是比較不容易留下知名金句。Danica McKellar 也許不是能和羅素、龐加萊、艾狄胥比肩齊名的數學家，但她說過一句很有意思的話: “數學是唯一一個真與美是同義詞的世界”。

McKellar 是一位有知名度的美國演員，她曾演出過白宮風雲（The West Wing），也曾在 NCIS、宅男行不行（The Big Bang Theory）及追愛總動員（How I Met Your Mother）中客串。但真正讓她出名的，是 80 末、90 初的影集兩小無猜（The Wonder Years），故事主軸是主角凱文回憶少年成長的過程，而 McKellar 飾演主角的鄰居溫妮，兩人發展出分分合合的戀愛關係。用現代的話來講， McKellar 可以說是當時少年界的國民女友。另外 2010 開始，她也在動畫影集少年正義聯盟中為火星小姐配音。

演員什麼會與數學扯上關係呢？其實她大學就是學數學的，而且學得很好，在 1998 年以最傑出的成績取得加州大學洛杉磯分校的數學學士學位。不只如此，大學時期與教授 Chayes 及同學 Winn 發表了一篇統計力學的論文，其中的主要結果被稱為 Chayes-McKellar-Winn theorem. 在 2008 年，她出了一本針對中學女孩的數學書 “Math Doesn’t Suck: How to Survive Middle School Math without Losing Your Mind or Breaking a Nail.” ，頗受好評也很暢銷，之後也接續出版了許多書。她表示，她想讓女孩們覺得數學是「可親、有意義、甚至有點迷人」，用來對抗這個社會傳達「女孩不適合數學」的這類負面訊息。除此之外，她也參與影集 Project Mc2 的演出。這部影節的目標是向全球的青少女們證明，科學、科技、STEAM（Science, Technology, Engineering, Arts, Mathematics）是有趣且平易近人的。

回到前面那句”數學是唯一一個真與美是同義詞的世界”。追求美是人之天性，但很多情境下，美或者美化這些詞，常常帶了一點隱藏真實的意味。像是修圖軟體、美顏相機、化妝（與素顏對比）、醫美、Autotune。當然明顯太假也不符合多數人的審美觀，真正美之極致，往往也需要展現事物的本質與真實特色。但現實是資源有限，平庸普通還是多數，不然，也不會有”這裡的風景美得像幅畫”一樣的形容詞方式了。一般日常中，美的實際執行過程還是得靠挑選和遮掩。「真」與「美」是需要取捨的。這也就是這句話耐人尋味的地方了，因為這句話如果成立，那在數學，也許就提供了現實世界中「真」與「美」之間內在衝突的解法了。

但問題是，數學家們感受到的美感是否真的是美？定理與證明真的可以用美或不美來形容呢？還是只是數學家們普遍缺乏人文薰陶產生的代償性錯覺呢？

2019 年時，英國巴斯大學管理學院的 Samuel G.B. Johnson 及美國耶魯大學數學系的 Stefan Steinerberger 發表了一篇論文 “Intuitions about mathematical beauty: A case study in the aesthetic experience of ideas”，其中的研究證據，支持一般人可能也跟數學家一樣，能感受到數學論證的美感。在其研究中發現，人們對數學的「美感」，就跟對古典鋼琴樂曲及風景畫產生的美感相似，有其內在的一致性。另外也發現這種數學美感的評判，跟與音樂、畫作美感一樣，和優雅性、深度、清楚性有關。

就像十九世紀英國數學家 James Joseph Sylvester 說的：「數學就是論證的音樂」。愛因斯坦也說：「純數學是一首以其自有方式將邏輯概念寫成的詩」。這句話出自他寫給 Emmy Noether 的訃聞。 Noether 是有名的德國數學家，對抽象代數有極大的貢獻，巧妙的利用升鏈條件來研究代數性質，此後符合這個條件的數學物件我們都會冠以 Noetherian 來稱呼，以紀念 Noether 的貢獻。此外，她的 Noether Theorem 也被稱之為影響物理學最重要的定理之一。

除了主觀上對於美的感受外，數學與藝術之間，也有很多直接的關聯性。以音樂來說，音律就與數學上的對數（也就是大家所認識的 \(\log\)）有關。人類發展音律有很長的歷史，因為這不是一個簡單的問題。我們現在知道，和弦時，不同音階的頻率要接近簡單的有理數倍聲音才會悅耳。傳說畢達哥拉斯經過一家鐵店，聽到鐵鎚打鐵的聲音，覺得很悅耳，他走入店裡，發現四個鐵鎚的重量比為 12:9:8:6，其中 9 是 6 與 12 的算術平均，8 是 6 與 12的調和平均, 9, 8 與 6, 12 的幾何平均相等這些巧妙的關係。這些鐵鎚之間的聲音配合起來非常悅耳。他進一步用弦樂器實驗驗證，得到的結論是，弦長為一些簡單有理數比的時候，會得到和諧的聲音。而後來更進一步改進而成的十二平均律，也反映出中國及歐洲在計算 \(\sqrt[12]{\frac{1}{2}}\) 的歷史進展。這背後還有更深刻的問題，因為很容易可以發現，\(\sqrt[12]{\frac{1}{2}}\) 並不是個有理數。對音樂或數學有興趣的朋友，可以繼續深入了解一下背後的學問。

另一個大家也觀察到的現象是，數學能力和藝術能力之間似乎有一些相關性，特別是音樂能力。常被拿來說的是愛因斯坦喜愛音樂且從小學習小提琴。可能你認識的人中，應該也有許多同時精通數理及音樂的人。過去一些研究也發現發現了數理能力及音樂能力中的相關性。但是，這個相關性會不會與能力本身無關呢？比方顯而易見，學科能力與學習音樂的條件，都與家庭背景與社經地位有關。

音樂教育學者 Martin J. Bergee 原本也是這樣認為的。他覺得只要能控制相關的根本性變因，如種族、收入、教育背景，就能夠破除音樂與數學能力相關性的迷思。於是他就設計並展開了研究。結果讓他非常震驚，兩者的關聯性不但沒有消失，而且還非常強。在 2021 年他的研究團隊發表了一篇名為 “Multilevel Models of the Relationship Between Music Achievement and Reading and Math Achievement” 的論文。他們調查了不同學區背景的一千多位中學生，在盡可能排除其他因素的干擾下，他們不得不承認音樂及數學能力之間的有統計上顯著的關聯。

他表示很抱歉實驗設計得非常複雜，”因為排除所有的相關影響並不容易，可能從個人、教室、學校、學區等等不同層級來產生影響。”。雖然他原本是支持相反的結論，但這個結果讓他思考了很多，”微觀技術來說，可能在音樂中的音準、音程、節拍，可能語言認知的基礎相關，而巨觀技術上的調式與調性，可能在心理學或神經學上與數學認知有關。”

除此之外，還有非常多的例證。比方 2015 年神經科學家 Semir Zeki 及艾提亞爵士（Michael Atiyah 當代最偉大數學家之一，費爾茲獎得主）發表的論文指出，經由 fMRI 掃描 15 名數學家的腦部，發現數學家在評斷數學式子美感時，動用到眼額皮質外側的 A1 區域，與察覺其他來源美感所動用到的區域一樣。而前面比較沒有提到數學與視覺藝術的關聯，因為這部分更為大家所熟知。像是從古希臘幾何就知道的黃金分割比，繪畫中的用到的透視原理、對稱性。可以說，美與數學並不是感性與理性的對立，而是互相包含。就像浪漫派詩人約翰濟慈所說：”美即是真，真即是美。這就是你在世上所知道和需要知道的一切”，而數學以及其背後的邏輯，就是人類對於”真”的具像。

評斷數學式子美感或觀察其他美感事物時，數學家大腦活耀的區域相同。圖／Pexels

可以說在知識份子階層中，數學即美是個主流觀點。當然主流不一定代表唯一或正確，像前述 Bergee 也試圖證明相關的主流看法是個迷思。但一旦理解了這種切入點，人工智慧是否能創造藝術作品這個問題，至少在心理層面就不是太大問題了。人工智慧遵照一些演算法運作，可以說就是數學及邏輯的程式碼實作。以近幾年最主流的深度學習神經網路來說，就是許多線性映射與激活函數的合成函數，藉由梯度下降法，收斂到的穩定數學解。既然數學即美，那由數學建構的人工智慧，能產生美的事物，也不是太不能接受的事。

生成模型也是近幾年深度學習熱門的領域之一。常見的生成任務就是藉由觀察抽樣的樣本，設法模仿出一樣的機率分佈。白話一點來講，就是給電腦看一些李白的詩，希望電腦能創造出新的李白風格的詩。給電腦聽一些貝多芬的音樂，希望電腦能創造出新的貝多芬音樂。現在的深度學習技術，已經能讓人工智慧能藉由學習，”創造”出視覺、音訊及語言的”作品”。

Inception 網路是一個有名的深度學習模型，其名稱取自於同名的電影（全面啟動），當時主要是在圖片辨識任務上，取得很好的成果。2015 年時， Google 工程師 Alexander Mordvintsev 巧妙的利用事先訓練好 Inception 模型，讓他將圖片變成夢一般的迷幻風格。他把這種方法取名叫 DeepDream。不久後，Leon Gatys 等人用類似的方法，設計一套演算法，能將畫家的畫風轉移到照片上，典型的例子是將風景、建築照片，轉成梵谷的星空風格。後面有很多後續的研究，一般稱為 Neural Style Transfer. 2016 年 Google 利用 AI 生出的畫作，拍賣得到進十萬美元。而其實早在 2014 年時， Ian Goodfellow 等人就提出了生成對抗網路（Generative Adversarial Network），是一個更廣泛而通用的生成模型。這個模型後續開啟了極大量的相關研究，現在的深度學習模型，在一些領域中，已經能生出非常高品質的成品。比方 Nvidia 研究的 StyleGAN 系列模型，能生出幾可亂真的人臉。現在，在手機上，能使用 APP，將你的照片轉成迪士尼的畫風。

2021 年時， OpenAI 釋出了 CLIP 模型，這是一個能整合圖片視覺及文字語意的模型。很多人嘗試利用 CLIP 和文字控制，來產生獨特和有創意的畫作。舉例來說，如果你畫了一張畫，或者拿到一張照片，你可以利用文字”更有喜感一點，更有亞洲風味一點”，來修改這張圖片讓人感受到”喜感”和”亞洲風”。在眾多嘗試中，大家試出了許多像”咒語”般的技巧，比方有個著名的 “unreal engine trick”，就是當你在控制產生圖片的句子中，加入 “unreal engine” 這個詞（unreal engine 是一個遊戲引擎），常常會讓產生品質更高的圖片。乍看之下有點不明所以，但仔細一想，因為網路上會特別標明 unreal engine 的圖片，往往是強調其遊戲高畫質，久而久之， CLIP 看到這個詞，很自然就與高品質的含意產生連結。除了圖片外，人工智慧也能產生其他具有美的形式的作品，特別是文字作品。Open AI 開發的 GPT-3，已經能在用戶給出簡單的指示後，產生非常複雜的文字作品，除了詩、笑話、故事外，甚至連食譜、程式碼都可以。

但這些，真的算是人工智慧的創作嗎？

在 2018 年時，由生成對抗網路生成的畫作 Edmond de Belamy，以美金 432,500 元賣出。這幅畫是誰創作的？這幅畫是由巴黎藝術集體 Obvious 生成的。而名稱 Belamy 的法語意思為”好朋友”，以致敬提出生成對抗網路的學者 Ian Goodfellow。而圖片右下角的簽名則是

\(\min_{\mathcal {G}}\max_{\mathcal {D}}E_{x}\left[\log({\mathcal {D}}(x))\right]+E_{z}\left[\log(1-{\mathcal {D}}({\mathcal {G}}(z)))\right]\) 這個數學式子，這個式子是生成對抗網路使用的目標函數，也就是引導模型訓練的數學式。而讓問題更複雜的是，生成這幅圖片的程式碼，是由與 Obvious 毫無關係的另外一位 AI 藝術家 Robbie Barrat 所寫的。甚至有人（如 AICAN）認為這個連創作都算不上。