統計數據是天大的謊言？我們該如何理解統計結果——《塗鴉學數學》

本文由 Amway 委託，泛科學企劃執行。

到底怎樣才算是「乾淨」？這不是什麼靈魂拷問，而是一個價值上億的商業命題。

在半導體產業的無塵室中，「乾淨」的定義極其殘酷：一粒肉眼看不見的灰塵，就足以讓造價數百萬美元的晶圓直接報廢。空氣品質的好壞，甚至能成為台積電（TSMC）決定是否在當地設廠的關鍵性指標。回到你的家中，雖然不需要生產精密晶片，但我們呼吸系統中的肺泡同樣精密，卻長期暴露在充滿 PM2.5、病毒以及各種揮發性氣體的環境中。為了守護健康，你可能還要付費購買「乾淨的空氣」來用。

因此，空氣議題早已超越單純的環保範疇，成為同時影響國家經濟與個人健康的重要問題。

很多人可能沒想到，無論是家用的空氣清淨機，還是造價動輒百億的頂尖晶圓廠，它們對抗污染的核心武器並非什麼複雜的雷射防護罩，而是同一件看起來平凡無奇的東西：一片外觀像紙一樣的 HEPA 濾網。但你真的相信，就憑這層厚度不到幾公分的板子，能擋住那些足以毀滅精密晶片、滲透人體細胞的「奈米級刺客」嗎？

這片大家都聽過的 HEPA 濾網，裡面到底是什麼？

首先，我們必須打破一個直覺上的誤解：HEPA 濾網（High Efficiency Particulate Air filter）在本質上其實並不是一張「網」。

細懸浮微粒 PM2.5，是指粒徑在 2.5 微米以下的污染物，它們能穿過呼吸道直達肺泡，並穿過血管引發全身性發炎。但這只是基本，在工廠與汽車尾氣中，還存在粒徑僅有 1 微米的 PM1，甚至是小於 0.1 微米的「超細懸浮微粒」（UFP，即 PM0.1）。 UFP 不僅能輕易進入血液，甚至能繞過血腦屏障（BBB），進入大腦與胎盤，其破壞力十分可怕。

如果 HEPA 濾網像水槽濾網或麵粉篩一樣，單靠孔目大小來「過濾」粒子，那麼為了攔截奈米微粒，濾網的孔目只能無限縮小到幾乎不透氣的程度。更別說在台積電或 Intel 的製程工程師眼裡，一般人認為的「乾淨」，在工程師眼裡簡直像沙塵暴一樣。對於線寬僅有 2 奈米或 3 奈米（相當於頭髮直徑萬分之一）的晶片而言，空氣中一顆微小的塵埃，就是一顆足以毀滅世界的隕石。

因此，傳統的過濾思維並非治本之道，我們需要的是原理截然不同的過濾方案。這套技術的雛形，最早可追溯至二戰時期的「曼哈頓計畫」。

HEPA 的前身，誕生於曼哈頓計畫！

1940 年代，製造濃縮鈾是發展原子彈的關鍵。然而，若將排氣直接排向大氣，會導致致命的放射性微粒擴散。負責解決這問題的是 1932 年諾貝爾化學獎得主歐文·朗繆爾（Irving Langmuir），他是薄膜和表面吸附現象的專家。他開發了「絕對過濾器」（Absolute Filter），其內部並非有孔的篩網，而是石綿纖維。

有趣的來了，如果把過濾器放到顯微鏡下，你會發現纖維之間的空隙，其實比某些被攔截的粒子還要大。那為什麼粒子穿不過去呢？這是因為在奈米尺度下，物理規則與宏觀世界完全不同。極微小的粒子在空氣中飛行時，並非走直線，而是會受到空氣分子撞擊，而產生「布朗運動」（Brownian Motion），像個醉漢一樣東倒西歪。

當粒子通過由緻密纖維構成的混亂迷宮時，布朗運動會迫使它們不斷轉彎、移動，最終撞擊到帶有靜電的纖維上。這時，靜電的吸附力會讓纖維就像蜘蛛網般死死黏住微粒。那些狂亂移動的奈米刺客，就這樣被永久禁錮迷宮中。

現在最常見的 HEPA 材料，是硼矽酸鹽玻璃纖維。

現代 HEPA 濾網最常見的核心材料為硼矽酸鹽玻璃纖維。這些玻璃纖維的直徑通常介於 0.5 至 2 微米之間，它們在濾網內隨機交織，像是一座茂密「黑森林」。微粒進入這片森林後，並非僅僅面對一層薄紙，而是得穿越一個具有厚度且排列混亂的纖維層，微粒極有可能在布朗運動的影響下撞擊並黏附在某根玻璃絲上。

除此之外，HEPA 濾網在外觀上還有一個極具辨識度的特徵，那就是像手風琴般的摺紙結構。濾材會被反覆摺疊、摺成手風琴的形狀，中間則用鋁箔或特殊的防潮紙進行結構支撐，目的是增加表面積。這不僅為了捕獲更多微粒，而是要「降低過濾風速」。這聽起來可能有點反直覺：過濾不是越快越好嗎？

其實，這與物理學中的流速控制有關。想像一條水管，如果你捏住出口，水流會變得湍急；若將出口放開並擴大，雖然總出水量不變，但出水處的流速會變得緩慢。對於 HEPA 濾網而言，當表面積越大，單位面積所需承載的空氣量就越少，空氣穿透濾網的速度也就越低。

低流速代表微粒停留在濾網內的時間也更久，增加被捕捉的機會。此外，越大的表面積也為 HEPA 濾網帶來了高「容塵量」，延長了使用壽命，這正是它能夠稱霸空氣清淨領域多年的主因。

然而，即便都叫做 HEPA 高效率空氣微粒子過濾網 (High Efficiency Particulate Air filter)，但每個 HEPA 的成分與結構還是會不一樣。例如 安麗逸新空氣清淨機 SKY ，其標榜「可過濾粒徑最小至 0.0024 微米」的污染物，去除率高達 99.99%。

0.0024 微米是什麼概念？塵蟎、花粉、皮屑或黴菌孢子，大小約在 2 至 200 微米；細懸浮微粒  PM2.5 大小約 2.5 微米，細菌也大概這麼大。最小的其實是粒徑小於 0.1 微米的「超細懸浮微粒」，大多數的病毒（如流感、新冠病毒）都落在此區間。對安麗逸新 的HEPA濾網來說，基本上通通都是可被攔截的榜上名單。

在過敏防護上，它更獲得英國過敏協會（Allergy UK）認證，能有效處理 19 大類、102 種過敏原，濾除空氣中超過 300 種氣態與固態污染物。

然而，同樣的過濾邏輯一旦進入半導體無塵室，就必須換一條更為嚴苛的技術路線。因為硼矽酸鹽玻璃纖維對晶圓來說有個致命傷，就是「硼 (Boron)」。

在半導體製程中，硼是常見的 P 型摻雜物，用來精準改變矽晶圓的電性。如果濾網有任何微小的破損、老化或化學侵蝕，進而釋放出極微量的硼離子，就可能直接污染晶圓，改變其導電特性，導致晶片報廢。

此外，無塵室要求的是比 HEPA 更極致的 ULPA（超低穿透率空氣濾網） 等級的潔淨度。ULPA 的標準通常要求對 0.12 微米 的粒子達到 99.999% 甚至 99.9999% 的超高攔截率。在奈米級的競爭中，任何多穿透的一顆微塵，都代表著一筆不小的經濟損失。

為了解決「硼」的問題並追求極限的過濾效率，材料學家搬出了塑膠界的王者，PTFE 也鐵氟龍。鐵氟龍不僅耐酸鹼、耐腐蝕，還能透過拉伸製成直徑僅 0.05 至 0.1 微米 的極細纖維，其細度遠勝玻璃纖維。雖然 PTFE 耐化學腐蝕，但它既昂貴且物理上也很脆弱，安裝時若不小心稍微觸碰，數萬元的濾網就可能報銷。因此，你只會在晶圓廠而非一般家庭環境看到它。

即便如此，在空氣濾淨系統中，還有一樣是無塵室和你家空氣清淨器上面都有的另一張濾網，就是活性碳濾網。

活性碳如何從物理攔截跨越到分子吸附？

好不容易將微塵擋在門外時，危機卻還沒有解除。因為空氣中還隱藏著另一類更難纏的大魔王：AMC（氣態分子污染物）。

HEPA 或 ULPA 這類物理濾網雖然能攔截固體微粒，但面對氣態分子時，就像是用網球拍想撈起水一樣徒勞。這些氣態分子如同「幽靈」一般，能輕易穿過物理濾網的縫隙，其中包括氮氧化物、二氧化硫，以及來自人體的氨氣與各種揮發性有機物（VOCs）。

為了對付這些幽靈，我們必須在物理防線之外，加裝一道「化學濾網」。

這道防線的核心就是我們熟知的活性碳。但這與烤肉用的木炭不同，這裡使用的是經過特殊改造的「浸漬處理（Impregnation）」活性碳。材料科學家會根據敵人的不同性質，在活性碳上添加不同的化學藥劑：

• 酸鹼中和：對付氮氧化物、二氧化硫等酸性氣體，會在活性碳上添加碳酸鉀、氫氧化鉀等鹼性藥劑，透過酸鹼中和反應將有害氣體轉化為固體鹽類。反之，如果添加了磷酸、檸檬酸等酸性藥劑，就能中和空氣中的氨氣等鹼類。
• 物理吸附與凡德瓦力：對於最麻煩的有機揮發物（VOCs，如甲醛、甲苯），因為它們不具酸鹼性，科學家會精密調控活性碳的孔徑大小，利用龐大的「比表面積」與分子間的吸引力（凡德瓦力），像海綿吸水般將特定的有機分子牢牢鎖在孔隙中。

空氣濾淨的終極邏輯：物理與化學防線的雙重合圍

在晶圓廠這種對空氣品質斤斤計較的極端環境，活性碳的運用並非「亂槍打鳥」，而是一場極其精密的對戰策略。

工程師會根據不同製程區域的空氣分析報告，像玩 RPG 遊戲時根據怪物屬性更換裝備一樣——「打火屬性怪要穿防火裝，打冰屬性則換上防寒裝」。在最關鍵的黃光微影區（Photolithography），晶圓最怕的是人體呼出的氨氣，此時便會配置經過酸性藥劑處理的活性碳進行精準中和；而在蝕刻區（Etching），若偵測到酸性廢氣，則會改用鹼性配方的濾網。這種「對症下藥」的客製化邏輯，是確保晶片良率的唯一準則。

而在你的家中，雖然我們無法像晶圓廠那樣天天進行空氣成分分析，但你的肺部同樣需要這種等級的保護。安麗逸新空氣清淨機 SKY 的設計邏輯，正是將這種工業級的精密防護帶入家庭。它不僅擁有前述的高規 HEPA 濾網，更搭載了獲得美國專利的活性碳氣味濾網。

關於活性碳，科學界有個關鍵指標：「比表面積（Specific Surface Area）」。活性碳的孔隙越多、表面積越大，其吸附能力就越強。逸新氣味濾網選用高品質椰殼製成的活性碳，並經過高溫與蒸氣的特殊活化處理，打造出多孔且極致高密度的結構。

這片濾網內的活性碳配重達 1,020 克，但其展開後的總吸附表面積竟然高達 1,260,000 平方公尺——這是一個令人難以想像的數字，相當於 10.5 個台北大巨蛋 的面積。這種超高的比表面積，是市面上常見濾網的百倍之多。更重要的是，它還添加了雙重觸媒技術，能特別針對甲醛、戴奧辛、臭氧以及各種細微的異味分子進行捕捉。這道專利塗層防線，能將你從裝潢家具散發的有機揮發氣體，或是路邊繁忙車流的廢氣中拯救出來，成為全家人的專屬空氣守護者。

總結來說，無論是造價百億的半導體無塵室，還是守護家人的空氣清淨機，其背後的科學邏輯如出一轍：「物理濾網攔截微粒，化學濾網捕捉氣體」。只有當這兩道防線同時運作，空氣才稱得上是真正的「乾淨」。

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• id S. Moore、諾茨 William I. Notz
• 譯者：鄭惟厚、吳欣蓓

什麼是大數法則？

期望值的定義是：它是可能結果的一種平均，但在計算平均時，機率大的結果占的比重較高。我們認為期望值也是另一種意義的平均結果，它代表了如果我們重複賭很多次，或者隨機選出很多家戶，實際上會看到的長期平均。這並不只是直覺而已。數學家只要用機率的基本規則就可以證明，用機率模型算出來的期望值，真的就是「長期平均」。這個有名的事實叫做大數法則。

大數法則和機率的概念密切相關。在許多次獨立的重複當中，每個可能結果的發生比例會接近它的機率，而所得到的平均結果就會接近期望值。這些事實表達了機遇事件的長期規律性。正如我們在第 17 章提過的，它們是真正的「平均數定律」。

大數法則解釋了：為什麼對個人來說是消遣甚至是會上癮的賭博，對賭場來說卻是生意。經營賭場根本就不是在賭博。大量的賭客贏錢的平均金額會很接近期望值。賭場經營者事先就算好了期望值，並且知道長期下來收入會是多少，所以並不需要在骰子裡灌鉛或者做牌來保證利潤。

賭場只要花精神提供不貴的娛樂和便宜的交通工具，讓顧客川流不息進場就行了。只要賭注夠多，大數法則就能保證賭場賺錢。保險公司的運作也很像賭場，他們賭買了保險的人不會死亡。當然有些人確實會死亡，但是保險公司知道機率，並且依賴大數法則來預測必須給付的平均金額。然後保險公司就把保費訂得夠高，來保證有利潤。

• 在樂透彩上做手腳

我們都在電視上看過樂透開獎的實況轉播，看到號碼球上下亂跳，然後由於空氣壓力而隨機彈跳出來。我們可以怎麼樣對開出的號碼做手腳呢？ 1980 年的時候，賓州樂透就曾被面帶微笑的主持人以及幾個舞台工作人員動了手腳。

他們把 10 個號碼球中的 8 顆注入油漆，這樣做會把球變重，因此可保證開出中獎號碼的 3 個球必定有那 2 個沒被注入油漆的號碼。然後這些傢伙就下注買該 2 個號碼的所有組合。當 6-6-6 跳出來的時候，他們贏了 120 萬美元。是的，他們後來全被逮到。

深入探討期望值

跟機率一樣，期望值和大數法則都值得再花些時間，探討相關的細節問題。

• 多大的數才算是「大數」？

大數法則是說，當試驗的次數愈來愈多，許多次試驗的實際平均結果會愈來愈接近期望值。可是大數法則並沒有說，究竟需要多少次試驗，才能保證平均結果會接近期望值。這點是要看機結果的變異性決定。

結果的變異愈大，就需要愈多次的試驗，來確保平均結果接近期望值。機遇遊戲一定要變化大，才能保住賭客的興趣。即使在賭場待上好幾個鐘頭，結果也是無法預測的。結果變異性極大的賭博，例如累積彩金數額極大但極不可能中獎的州彩券，需要極多次的試驗，幾乎要多到不可能的次數，才能保證平均結果會接近期望值。

（州政府可不需要依賴大數法則，因為樂透彩金不像賭場的遊戲，樂透彩用的是同注分彩系統。在同注分彩系統裡面，彩金和賠率是由實際下注金額決定的。舉例來說，各州所辦的樂透彩金，是由全部賭金扣除州政府所得部分之後的剩餘金額來決定的。賭馬的賠率則是決定於賭客對不同馬匹的下注金額。）

雖然大部分的賭博遊戲不及樂透彩這樣多變化，但要回答大數法則的適用範圍，較實際的答案就是：賭場的贏錢金額期望值是正的，而賭場玩的次數夠多，所以可以靠著這個期望值贏錢。你的問題則是，你贏錢金額的期望值是負的。全體賭客玩的次數合起來算的話，當然和賭場一樣多，但因為期望值是負的，所以以賭客整體來看，長期下來一定輸錢。

然而輸的金額並不是由賭客均攤。有些人贏很多錢，有些人輸很多，而有些人沒什麼輸贏。賭博帶給人的誘惑，大部分是來自賭博結果的無法預測。而賭博這門生意仰賴的則是：對賭場來說，結果並非不可測的。

• 有沒有保證贏錢的賭法？

把賭博很當回事的賭客常常遵循某種賭法，這種賭法每次下注的金額，是看前幾次的結果而定。比如說，在賭輪盤時，你可以每次把賭注加倍，直到你贏為止—或者，當然，直到你輸光為止。即使輪盤並沒有記憶，這種玩法仍想利用你有記憶這件事來贏。

你可以用一套賭法來戰勝機率嗎？不行，數學家建立的另一種大數法則說：如果你沒有無窮盡的賭本，那麼只要遊戲的各次試驗（比如輪盤的各次轉動）之間是獨立的，你的平均獲利（期望值）就會是一樣的。抱歉啦！

• 高科技賭博

全美國有超過 700,000 台吃角子老虎（拉霸）。從前，你丟硬幣進去再拉下把手，轉動三個輪子，每個輪子有 20 個圖案。但早就不是這樣了。現在的機器是電動遊戲，會閃出許多很炫的畫面，而結果是由隨機數字產生器決定的。

機器可以同時接受許多硬幣，有各種讓你眼花撩亂的中獎結果，還可以多台連線，共同累積成連線大獎。賭徒仍在尋找可以贏錢的賭法，但是長期下來，隨機數字產生器會保證賭場有 5% 的利潤。

——本文摘自《統計，讓數字說話》，2023 年 1 月，天下文化出版，未經同意請勿轉載。

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• 譯者：鄭惟厚、吳欣蓓

什麼是常態分布？

圖 13.3 和 13.4 裡的密度曲線，同屬一族特別重要的曲線：常態曲線。圖 13.7 再呈現了兩個常態密度曲線。常態曲線都是對稱、單峰、鐘形的，尾部降得很快，所以我們應該不會看到離群值。由於常態分布是對稱的，所以平均數和中位數都落在曲線的中間位置，而這也是尖峰所在。

常態曲線還有一個特別性質：我們可以用目測方式在曲線上找到它的標準差。對大部分其他的密度曲線，沒有法子這樣做。做法是這樣的。想像你要從山頂開始滑雪，山的形狀和常態曲線一樣。起先，你從山頂出發時，往下滑的角度非常陡：

幸好，在你還沒有直直墜下之前，斜坡就變緩了，你愈往下滑出去，坡度愈平：

曲率（curvature）發生改變的地方，是在平均數兩側、各距平均數一個標準差的位置。圖 13.7 的兩條曲線上都標示出了標準差。你如果用鉛筆沿著常態曲線描，應該可以感受到曲率改變的地方，進而找出標準差。

常態曲線有個特別的性質是，只要知道平均數及標準差，整條曲線就完全確定了。平均數把曲線的中心定下來，而標準差決定曲線的形狀。變動常態分布的平均數並不會改變曲線的形狀，只會改變曲線在 x 軸上的位置。但是，變動標準差卻會改變常態曲線的形狀，如圖 13.7 所示。標準差較小的分布，散布的範圍比較小，尖峰也比較陡。以下是常態曲線基本性質的總結：

常態密度曲線的特性

常態曲線（normal curve）是對稱的鐘形曲線，具備以下性質：

• 只要給了平均數和標準差，就可以完全描述特定的常態曲線。
• 平均數決定分布的中心，這個位置就在曲線的對稱中心。
• 標準差決定曲線的形狀，標準差是指從平均數到平均數左側或右側的曲率變化點的距離。

為什麼常態分布在統計裡面很重要呢？首先，對於某些真實數據的分布，用常態曲線可以做很好的描述。最早將常態曲線用在數據上的是大數學家高斯（Carl Friedrich Gauss, 1777 – 1855）。

天文學家或測量員仔細重複度量同一個數量時，所得出的量測值會有小誤差，高斯就利用常態曲線來描述這些小誤差。你有時候會看到有人把常態分布叫做「高斯分布」，就是為了紀念高斯。

十九世紀的大部分時間中，常態曲線曾叫做「誤差曲線」，也就因為常態曲線最早是用來描述量測誤差的分布。後來慢慢發現，有些生物學或心理學上的變數也大致符合常態分布時，「誤差曲線」這個名詞就不再使用了。1889 年，高騰（Francis Galton）率先把這些曲線稱做「常態曲線」。高騰是達爾文的表弟，他開拓了遺傳的統計研究。

常態分布的形狀：鐘形曲線

人類智慧高低的分布，是不是遵循常態分布的「鐘形曲線」？IQ 測驗的分數的確大致符合常態分布，但那是因為測驗分數是根據作答者的答案計算出來的，而計算方式原本就是以常態分布為目標所設計的。要說智慧分布遵循鐘形曲線，前提是：大家都同意 IQ 測驗分數可以直接度量人的智慧。然而許多心理學家都不認為世界上有某種人類特質，可以讓我們稱為「智慧」，並且可以用一個測驗分數度量出來。

當我們從同一母體抽取許多樣本時，諸如樣本比例（當樣本大小很大、而比例的數值中等時）及樣本平均數（當我們從相同母體取出許多樣本時）這類統計量的分布，也可以用常態曲線來描述。我們會在後面的章節進一步細談統計分布。

抽樣調查結果的誤差界限，也常常用常態曲線來算。然而，即使有許多類的數據符合常態分布，仍然有許多是不符合的，比如說，大部分的所得分布是右偏的，因而不是常態分布。非常態的數據就和不平常的人一樣，不僅常見，而且有時比常態的數據還有趣。

68 – 95 – 99.7 規則

常態曲線有許多，每一個常態曲線都可以用各自的平均數和標準差來描述。所有常態曲線都有許多共同性質，特別要提的是，對常態分布來說，標準差是理所當然的量度單位。這件事實反映在下列規則當中。

圖 13.8 說明了 68 – 95 – 99.7 規則。記住這三個數字之後，你就可以在不用一直做囉嗦計算的情況下考慮常態分布。不過還得記住，沒有哪組數據是百分之百用常態分布描述的。不管對於 SAT 分數，或者蟋蟀的身長， 68–95–99.7 規則都只是大體正確。

年輕女性的身高常態

年輕女性的身高約略是平均數 63.7 英寸、標準差 2.5 英寸的常態分布。要運用 68 – 95 – 99.7 規則，首先得畫一個常態曲線的圖。圖 13.9 說明了這個規則用在女性的身高上會是什麼情況。

任何常態分布都有一半的觀測值在平均數之上，所以年輕女性中有一半高於 63.7 英寸。

任何常態分布的中間68%觀測值，會在距平均數一個標準差的範圍內。而這 68 %中的一半，即 34 %，會在平均數之上。所以有 34 %的年輕女性，身高在 63.7 英寸及 66.2 英寸之間。把身高不到 63.7 英寸的 50% 女性也加上去，可以得知總共有84%的年輕女性身高不到 66.2 英寸。所以推知超過 66.2 英寸的人占 16%。

任何常態分布的中間 95% 的值，在距平均數兩個標準差範圍內。這裡的兩個標準差是 5 英寸，所以年輕女性身高的中間 95% 是在 58.7（= 63.7 − 5）和 68.7（= 63.7 + 5）英寸之間。

另外 5% 女性的身高，就超出 58.7 到 68.7 英寸的範圍之外。因為常態分布是對稱的，這其中有一半的女性是在矮的那一頭。年輕女性中最矮的 2.5% ，身高不到 58.7 英寸（149 公分）。

任何常態分布中幾乎所有（99.7%）的值，在距平均數三個標準差的範圍內，所以幾乎所有年輕女性的身高，都在 56.2 及 71.2 英寸之間。

——本文摘自《統計，讓數字說話》，2023 年 1 月，天下文化出版，未經同意請勿轉載。

• 作者／ 班‧歐林 (Ben Orlin)；譯者／王年愷

好，我們先把這件事情說清楚。統計數據是謊言，不應該採信。史上最聰明的人都這樣說過，不是嗎？

我的重點是什麼？沒錯，數字會欺騙。但文字也會——更不用說圖案、手勢、嘻哈音樂劇和募款電子郵件了。我們的道德制度會去責怪說謊的人，而不是說謊者用來說謊的媒介。

對我來說，最有意思的批評統計之詞不是批評統計學者的不誠實，而是批評數學本身。我們可以去理解統計的瑕疵，看到每一項統計數據想要捕捉什麼（以及它會刻意忽略什麼），來增強統計的價值。也許這樣我們就能成為威爾斯想像中的優良公民。

統計中的平均數（mean）其實分配不均？

做法：把你的資料全部加起來，把總數除以資料筆數。

使用時機：平均數滿足了統計的一項基本需求：捕捉一個群體裡的「中間傾向」。籃球隊的身高是多少？你每天賣出幾個冰淇淋甜筒？這班學生的考試成績如何？如果你想用一個數值來概述一整個群體，平均數是合理的第一步。

為什麼不要相信它：平均數只管兩個資訊：總和，以及用來達成這個總和的人數。假如你曾經分配過海盜搶來的財寶，就知道哪裡危險了：分配的方式有許多種。每一個人分別貢獻了多少？這是否平均，還是嚴重偏袒某一方？

如果我吃掉一整個披薩，沒有留下任何一點給你，我們是否可以公正地說每個人「平均吃掉」半個披薩？你可以跟你邀來吃晚餐的客人說，「人類平均」有一顆卵巢和一顆睪丸，但這樣是不是會讓氣氛突然冷掉？（我試過；的確會。）

人類關心分配的問題，但平均數會忽略這個問題不談。

但平均數還有一個有用之處：它的特性使得它容易計算出來。

假設你的考試成績是 87 分、88 分和 96 分。（對，你在這班如魚得水。）你的平均是多少？你不必耗費腦力去加減乘除，只需要重新分配就好了。

從你最後一次的成績拿走 6 分，把 3 分分給第一次、2 分分給第二次。這樣你的分數便是 90 分、90 分和 90 分，另外還多了 1 分。把這 1 分分配給三次考試，你就會得到平均為 90⅓，完全不需要多花腦力。

統計中的中位數（median）忽視懸殊差異？

做法：中位數是你的資料集裡最中間的那一筆。有一半的資料比它低，另一半比它高。

使用時機：中位數和平均數一樣，捕捉了一個群體裡的中間傾向。差別在於它對離群值（outlier）的敏感度—或者應該說，它有多麼不敏感。

就拿家庭所得來說吧。美國的富裕家庭可能收入是貧窮家庭的幾十倍（甚至幾百倍）。平均數假裝讓每一個家庭都分配到收入總和的同樣數量，因此它會被這些離群值吸引走，離開大多數資料群聚的地方。這樣它算出的數值是 $75,000。

中位數抗拒離群值的吸引力。它指認出絕對位於美國正中間的家庭所得，這會是剛剛好的中間點，有一半的家庭比這富裕，另一半比這貧窮。在美國，這個數值接近 $58,000。

它和平均數不一樣；中位數可以讓人清楚看到「典型的」家庭是什麼樣子。

為什麼不要相信它：當你找到中位數後，你知道有一半的資料比它大，另一半比它小。但這些數值距離它多遠—只有半步之遙，還是要橫越整片大陸？你只會看到中間的那一塊，不會去管其他部分有多大或多小。這樣你可能誤判。

當一位創業資本家投資新創公司時，他會預期大多數新創公司將失敗。十分之一的罕見成功案例彌補其他小小的損失。但中位數會忽略這樣的動態。它大叫：「通常的結果是負面的。快中止任務！」

同理，保險公司細心建立一套組合，因為他們知道千分之一的罕見災難會消滅多年以來不太高的獲利。但中位數忽略潛在的大災難。它鼓舞你：「通常的結果是正面的。永遠不要停下來！」

這就是為什麼你常常看到中位數與平均數並列。中位數報出通常的數值，平均數則是報出總數。它們像是兩位有缺陷的證人，兩個合起來的時候會說出比任何一個更全面的故事。

統計中的眾數（mode）排除與眾不同？

做法：它是最常見的數值，最潮、最時尚的資料點。假如每個數值都獨一無二、沒有重複呢？這樣的話，你可以把資料分類，然後把最常見到的那個類別稱為「眾數組」（modal category 或 modal class）。

使用時機：眾數在進行民意調查和統計非數字的資料時非常出色。假如你想要簡述大家最喜歡的顏色，不可能「計算出顏色的總和」來算出平均數。或者，假如你在舉行投票，如果把所有的選票從「最自由派」排到「最保守派」，然後把公職給拿到中位數選票的候選人，這樣會讓選民發瘋。

為什麼不要相信它：中位數會忽略總和。平均數忽略總和的分布。那眾數呢？它會忽略總和、總和的分布和幾乎所有其他的事情。

眾數只代表單一個最常見的數值。但「常見」的意思不是「有代表性」。美國的薪資眾數是 0——這不是因為大多數美國人破產又沒工作，而是有領薪水的人分布在 $1 到 $100,000,000 的光譜各處，但所有沒領薪水的人都有相同的數字。這項數據不會告訴我們任何和美國有關的事。這項事實幾乎在所有國家都適用，因為這是金錢的運作方式所造成的。

改用「眾數組」只能解決一部分的問題。這樣會讓呈現資料的人有驚人的權力，因為他可以故意操弄分組的界線，來配合他的立場。依照我劃分界線的差異，我可以宣稱美國家庭所得的眾數位在 $10,000 到 $20,000（以 10,000 進位），或 $20,000 到 $40,000（以 20,000 進位），或 $38,000 到 $92,000（以所得稅級距進位）。

同樣的資料集，同樣的統計數據，但最後的樣貌完全改變了，端視畫出這個樣貌的畫家採用哪一種畫框而定。

——本文摘自《塗鴉學數學：以三角形打造城市、用骰子來理解經濟危機、玩井字遊戲學策略思考，24堂建構邏輯思維、貫通幾何學、破解機率陷阱、弄懂統計奧妙的數學課》，2020 年 5 月，臉譜出版