每兩個月一次的小確幸,每張發票到底值多少呢?

你會怎麼處理每次結帳都會額外收到的發票呢?整理發票時,每一張還未對獎的發票都是一張潛在的獎券喔。讓我們來計算每張發票的期望值,也就是每張未對獎的發票到底值多少錢吧!

每張統一發票的期望值是多少?

首先,每兩個月一度的發票對獎時間,會公佈出來以下的獎號:

108年5、6月獎號
獎項 中獎號碼 獎金
特別獎 46356460 1000萬元
特獎 56337787 200萬元
頭獎 93339845、83390355、80431063 20萬
增開六獎 984、240 200元
二獎 發票後7碼數字與頭獎末7碼相同 4萬元
三獎 發票後6碼數字與頭獎末6碼相同 1萬元
四獎 發票後5碼數字與頭獎末5碼相同 4000元
五獎 發票後4碼數字與頭獎末4碼相同 1000元
六獎 發票後3碼數字與頭獎末3碼相同 200元

首先要提到的是期望值的算法:發票的期望值=中獎機率 × 獎金

我們已知統一發票總共有 00000000 ~ 99999999,共 1 億組號碼。同時,每張中獎統一發票,只能選擇一個獎金領取。

獎項 中獎機率 × 獎金 期望值
特別獎 1 組號碼 / 1 億組號碼 × 1000 萬元 0.1 元
特獎 1 組 / 1 億組 × 200 萬元 0.02 元
頭獎 3 組 / 1 億組 × 20 萬元 0.006 元
二獎 3×(10-1) 組 / 1億組 × 4 萬元 0.0108 元
三獎 3×10×(10-1) 組 / 1 億組 × 1 萬元 0.027 元
四獎 3×10×10×(10-1) 組 / 1 億組× 4 千元 0.108 元
五獎 3×10×10×10×(10-1) 組 / 1 億組× 1 千元 0.27 元
六獎 3×10×10×10×10×(10-1) 組 / 1 億組 × 2 百元 0.54 元
增開六獎 2×10×10×10×10×10 組 / 1 億組 × 200元 0.4 元
  • 計算中出現的 (10-1) 是為什麼呢?以二獎為例,這裡的  (10-1)  目的是為了扣掉成為頭獎的機率,因為一張發票只能領一個獎,應該是不會有人中了頭獎,卻想領二獎的錢吧!同理,從二獎到六獎,末幾位的前一位數都要扣掉變成前一個獎的可能,所以都需要乘上一個 (10-1)。

因為每張發票上的數字皆為隨機且獲得機率相同,增開獎的「末三碼」也沒有重複,同時每張發票都是領取最大額度的獎項,所以一張發票的期望值就是以上所有獎項期望值的總和 1.4818 元。也就是說每張發票在未對獎前的價值為 1.4818 元。

不印出的「雲端發票」還有加碼!

雲端發票或是「無實體電子發票專屬獎」就是在消費時,選擇不印出發票,並使用各式載具將發票儲存在雲端。儲存在雲端的發票,除了能對「統一發票號碼獎」之外,還能多一次機會,享有「雲端發票專屬獎」的對獎資格。

前面提到儲存在雲端的發票,除了能對一般統一發票獎項之外,還能享有多一次的對獎機會,目前的「雲端發票專屬獎」共有 15 組百萬元獎,以及 1 萬 5 千組 2 千元獎。和統一發票不同的是,雲端發票必須要所有字軌號碼(包含 2 位英文字軌及 8 位數號碼)與雲端發票專屬獎中獎字軌號碼完全相符才算中獎。

獎項 中獎機率 × 獎金 期望值
百萬元獎 15 組 / 26 × 26 × 1 億組號碼 × 100 萬元 0.00022189 元
2 千元獎 1 萬 5 千組 / 26 × 26 × 1 億組號碼 × 2000 元 0.00044379 元

每張雲端發票上的數字都是隨機且獲得機率一樣,也能對「統一發票號碼獎」,所以一張雲端發票的期望值就是將專屬獎的期望值(0.00088758)加上前面每張統一發票的期望值(1.4818),總和為 1.48268758 元。

從結果來看,怎麼算都比紙本發票更划算。此外,今(108)年 9 至 10 月期,還會再增開 40 萬組 500 元獎,雲端發票有更多獲獎機會,還未使用載具的大家可以趕快設定。使用載具一方面可增加中獎機率、對獎更方便,另一方面也能夠環保愛地球,是不是很心動呢?

  • 小叮嚀:若在開獎前就列印出紙本電子發票,縱使對中「雲端發票專屬獎」,也會喪失領獎資格。此外,若是一張雲端發票同時對中「統一發票號碼獎」和「雲端發票專屬獎」,中獎者也只能擇一領取唷!

參考資料:

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