每兩個月一次的小確幸，每張發票到底值多少呢？

 

每天都要風險評估

我們的現代生活是由一連串決定所組成，要根據各種可能的結果進行評估。我們的每一天都必須經過風險分析才能順利度過。

今天的降雨機率是 28%，我要不要帶雨傘？

報紙上說，吃培根會讓罹患腸癌的機率增加 20%，那我該戒掉培根三明治嗎？

考慮到發生事故的風險，我的汽車保險費會不會太高？

我買樂透彩券有什麼用呢？

玩桌遊的時候，我接下來擲出的點數讓我排名下降的機會有多少？

許多職業都要算出機會才能做關鍵決定。某支股票上漲或下跌的機會有多大？

如果有DNA證據，被告就有罪嗎？

病人要不要擔心偽陽性的篩檢結果？

足球選手在罰球時應該踢向哪裡？

越過不確定的世界是一項充滿挑戰的任務，但找出一條穿過迷霧的路並非不可能。數學已經發展出強大的捷徑，幫助我們處理從遊戲到健康、從賭博到理財投資的一切不確定性，那就是「機率的數學」。

擲骰子是通往機率的捷徑

若想探索這條捷徑的本領，擲骰子是最佳方法之一。

本章開頭的題目，曾讓十七世紀的著名日記作者皮普斯（Samuel Pepys）坐立不安。

皮普斯著迷於機率遊戲，但他不會隨便拿辛苦賺來的錢當作擲骰子的賭注，他總是很謹慎。皮普斯在 1668 年 1 月 1 日的日記寫道，正要從劇院回家時撞見「骯髒的學徒和無所事事之人在賭博」，回想起孩提時僕人帶他去看人試圖擲骰子贏錢的情景。

皮普斯記下自己看到「一個人向另一個人拿走所輸的錢，反應大不相同，有一人不停罵髒話，另一人只是喃喃自語和發牢騷，還有一人絲毫沒有明顯的不滿」。

他的朋友布里斯班德（Brisband）先生提議，給他十枚硬幣試試運氣，還說「大家都知道從來沒有人第一次玩會輸，因為魔鬼太狡猾了，不會勸阻賭徒」。但皮普斯拒絕了，躲回他的房間。

皮普斯小時候看到賭博時，還沒有什麼捷徑能讓他比別人有優勢。但在他從青少年到成年的歲月裡，一切已經有了改變，因為海峽對岸有兩位數學家，費馬和巴斯卡，提出一種新的思考方式，透過這條深具潛力的捷徑，應該能讓賭徒賺錢，不然至少是少輸些錢。

皮普斯可能還未聽說費馬和巴斯卡已取得重大進展，把魔鬼手中的骰子努力搶到數學家手上。如今，從拉斯維加斯到澳門，費馬和巴斯卡開創的機率數學讓世界各地的賭場得以經營下去──犧牲者是來賭錢的無所事事之人。

發生的機會有多大？

費馬和巴斯卡之所以會想出捷徑，是因為他們聽到某個跟皮普斯所想類似的難題，然後受到啟發。

與兩人都相識的梅雷騎士（Chevalier de Méré）想要知道把賭注下在以下哪一個比較好：

• (A) 擲一顆骰子 4 次後，擲出六點。
• (B) 連續擲兩顆骰子 24 次後，擲出雙六。

這位騎士實際上不具有騎士的貴族身分，他是一名學者，名叫龔博（Antoine Gombaud），他喜歡在對話作品中用這個頭銜代表自己的觀點。然而，這個頭銜沿用了下來，他的朋友們開始稱他為騎士。他選擇走遠路，做一大堆實驗，拿骰子擲了一遍又一遍，試圖解決這個骰子難題，但一直沒有確定的結果。

於是龔博決定把這問題帶到一個由耶穌會士舉辦的沙龍，修士名叫梅森（Marin Mersenne），地點則是他在修道院的小房間。梅森有點像是當時巴黎的知識活動中心，他把收到的有趣問題寄給他認為可能會有高明見解的其他通信者。

說到龔博的難題，他毫無疑問寄到了很好的人選手中，費馬和巴斯卡的答覆確立了本章要談的捷徑：機率論（theory of probability）。

機率論真的能幫龔博贏錢嗎？

毫不意外的，走遠路其實並沒有幫龔博判定選哪一個賭注最有可能贏錢。費馬和巴斯卡把他們的機率新捷徑應用到骰子上，就發現選項 A 的發生機率是 52%，而選項 B 的發生機率為 49%。

如果賭骰子 100 次，隨機過程中存在的誤差會輕易掩蓋這種差異，也許要等差不多賭 1,000 次之後，真正的模式才會浮現。這就是為什麼這個捷徑會如此強大──它避免你一定得做很多苦力，反覆實驗，畢竟實驗結果搞不好還會讓你對問題理解錯誤。

長期執行才有可能取得優勢

費馬和巴斯卡提出的捷徑有個特質很有趣，它長期下來才會真正幫你取得優勢。它不是幫忙賭徒在任何一次賭博中贏錢的捷徑，那仍然要碰碰運氣。但長期下來，情況就大不相同，這也解釋了為什麼它對賭場來說是好消息，然而對遊手好閒、巴望擲一次骰子就輕鬆賺到錢的賭徒來說，卻不是什麼好消息。

鏡頭回到倫敦。皮普斯寫下他在走路回家的途中，看賭徒設法擲出七點看得津津有味：

「聽到他們罵手氣怎麼這麼差，但沒什麼用，因為有個男子想要擲出七，但擲了很多次都擲不出，絕望透頂，嚷嚷說以後打死也不會再擲出七，而其他的人手氣很好，幾乎每次都擲出七。」

這個人的手氣是不是特別背，連一次七點也擲不出來？費馬和巴斯卡提出的策略，是用來算出以兩顆骰子擲出特定點數和的機會有多大，要先分析可能擲出的各種點數，然後看點數和為七的情形發生的比例。第一顆骰子可能擲出 6 種點數，加上第二顆骰子也有 6 種點數，總共就有 36 種不同的點數組合。在這些組合當中，有 6 種的點數和是七：

1 + 6、2 + 5、3 + 4、4 + 3、5 + 2、6 + 1

他們認為，假如每種組合發生的可能性一樣大，那麼 36 次當中就會有 6 次擲出七。這實際上是擲兩顆骰子時最有可能出現的點數和，但沒有擲出七的機會仍有六分之五。考慮到機率問題，皮普斯所看到的那位對擲了很多次骰子都沒出現七點感到如此絕望的紳士，手氣到底有多差？

骰不出 7 到底是不是因為手氣特別爛？

他擲了 4 次骰子都沒擲出七的機會有多大？把所有不同的情形都列出來，看起來相當嚇人，因為總共有 364 =1,679,616 種結果。但費馬和巴斯卡伸出援手了，因為有捷徑。要算出 4 次都沒擲出七點的機會，只須把每次擲骰子的機率相乘：5/6 × 5/6 × 5/6 × 5/6 = 0.48。這表示連續 4 次沒有擲出七點的機會仍大約有二分之一。

相反的，這表示兩顆骰子擲 4 次之後，有一半的機會出現七點。同樣的分析可證明，一顆骰子擲 4 次後出現六點的機會也是一半一半。因此，皮普斯看到那個紳士擲 4 次骰子都沒出現七，不是什麼出人意料的事，就像丟一次硬幣的結果不是正面一樣。

在玩很多像西洋雙陸棋或《地產大亨》這樣要擲骰子的遊戲時，你可以把「最有可能擲出七」轉化成對自己有利的條件。

舉例來說，坐牢是《地產大亨》棋盤上最常造訪的格子，再加上兩顆骰子可能點數和的分析結果，就意味許多玩家在走到坐牢這格之後，下一步會走到橘色房地產區的次數比其他格子還要多。所以你如果可以搶先在橘色區買地，在上面蓋旅館，就會讓自己在遊戲中更勝一籌。

——本文摘自《數學就是這樣用：找出生活問題的最佳解》，2022 年 11 月，天下文化出版，未經同意請勿轉載。

 

• 作者／豪爾赫．陳、丹尼爾．懷森
• 譯者／徐士傑、葉尚倫

還有另一個你嗎？

如果世界上某個地方有另一個版本的你，會不會很奇怪？

你們兩個之間有很多共通點，喜歡吃的水果（香蕉）、不喜歡吃的水果（桃子）、擁有同樣的技能（製作香蕉冰沙）和相同的缺點（香蕉冰沙吃了停不下來）、同樣的記憶、幽默感以及個性。當你知道有其他版本的你存在時，你會覺得很怪異嗎？你會想與他們會面嗎？

想像一下更詭異的情況：有個人幾乎和你完全一模一樣，僅稍稍有些不同。如果這個人比你更好呢？也許他做的水果冰沙更加美味，或者生活的方式更有意義。或者，這個人比較沒有才華，但是比較卑鄙，就像是邪惡的分身呢？

這有可能嗎？

雖然讓人難以想像，但物理學家不能排除另一個你存在的可能性。事實上，物理學家不只認為另一個你是可能存在的，甚至認為另一個你存在的可能性更高。也就是說，就在此刻，當你讀到這篇文章時，可能有另一個你正在某個地方，穿著和你一樣的衣服，以相同的方式坐著，甚至讀著同樣的一本書（好吧，也許是稍微有趣的版本）。

要瞭解另一個你存在的意義及可能性，我們得先考慮你的存在有多麼獨特。

你存在的機率

乍看之下，世界上有另一個與你毫無二致的人，機率好像是微乎其微。畢竟，想像一下，為了讓宇宙創造你，有多少事情必須發生，而且要環環相扣，缺一不可。

超新星必須在氣體和塵埃雲附近爆炸，藉著震動造成引力崩坍，形成我們的太陽和太陽系。這些塵埃中的一小塊（不到萬分之一）必須聚集在一起形成行星，並與太陽保持合適的距離，這樣水就不會結冰或變成蒸汽。生命一定要開始，恐龍必須滅絕，人類不得不演化，羅馬帝國必須崩潰，而你的祖先必須逃過黑死病。然後，你的父母必須相遇並且喜歡上了彼此。你的母親務必在正確時間排卵。在與數十億顆精子的馬拉松游泳賽中，帶有你一半基因的精子必須衝刺獲勝。單單是讓你誕生，就需要這一連串事件。

想一想你在生活中做出的所有決定，使你成為今日的你。你有沒有吃很多香蕉。你有沒有遇到那個重要的朋友。你那時候決定待在家裡，否則會被水果推車碾過。不知何故你發現了這本關於宇宙的蠢書，並決定閱讀它。所有的一切，都從四十五億年前開始，導致了你此時此刻在這裡存在。

假如所有事情以完全相同方式再次發生，從而造就另一個你的機會有多大？這似乎不太可能，對吧？

也許不是喔！讓我們回溯所有導致你出現的隨機事件、決定和時刻，並試著計算機率是多少。

讓我們從今天開始算起：你醒來後做了多少決定呢？你可能決定怎樣起床，穿什麼衣服，吃什麼早餐。即使是看起來很小的決定，也可能改變你的人生歷程。例如，你選擇穿有香蕉圖案的襯衫或者是領帶，可能影響你未來的配偶有沒有注意到你。

讓我們假設，你每分鐘大約會做出一兩個可能改變人生的決定；這聽起來好像很有壓力，但如果你贊同量子物理學和混沌理論，數字應該會更高。假設每分鐘只有幾個決定，那麼你每天就要做出數千個重要決定，每年就高達約一百萬個。如果你超過二十歲，人生到目前為止，就已經做出超過兩千萬個決定，才會有今日的你。

接下來，假設你做的每個決定只有兩種可能，例如 A 或 B，或者香蕉和桃子。好啦，我知道通常要選擇的項目很多（譬如，早餐店的菜單選項多不勝數），但讓我們簡化問題。要計算那兩千萬次決定而成為你的可能性，你必須取 2 的兩千萬次方，即 2^20,000,000。

為什麼？因為每做一次決定就會讓可能的數目加倍。舉例來說，你必須選擇從哪邊（左邊或右邊）下床、早餐吃什麼水果（香蕉或桃子），以及上班搭什麼交通工具（火車或公車），總共就有 2×2×2（或 2³）種開啟一日行程的方式。你從左邊下床、吃香蕉並坐公車的機率是 2³ 分之一，或說 8 分之一。

因此，如果你在生活中做出兩千萬個 A 或 B 的決定，那就意味你的生活可能有 2^20,000,000 種不同的結果。這真是一個驚人的數字，是吧！但我們才剛開始暖身而已！

我們還必須考慮你的出生機率，包含你父母做決定的可能結果。如果將你父母的決定算進來，就必須再加上四千萬個決定（你父母各兩千萬個）。再加上你四個祖父母，還有八千萬個。曾祖父母呢？還有一億六千萬個。你瞭解了嗎？每回推一個世代，祖先數量就增加一倍，影響你出生的決定數量也跟著加倍。人類已經在地球上生活了至少三萬年，或許可換算為大約一千五百個世代。若將你所有祖先全部考慮進來，可能的數量會更龐大。

其實，真要計算起來實際情況更加複雜，如果回溯得夠遠，你會發現親戚之間盤根錯節的關係，同一個人可能在你的家譜中重複出現，除了引發令人尷尬的話題之外，也讓數學計算變得更加複雜。為簡單起見，我們假設你每代只受到兩個人的影響。這仍然有 1,500 代× 2 人× 2,000 萬個決定= 600 億個決定。及至目前為止，你發生的機率是 2^{60,000,000,000} 分之一。

只算到這裡就夠了嗎？讓我們考慮人類史前歷史並回溯到數十億年前最小微生物演化之時。在大約三十五億年前，地球上的生命開始孕育。如果你不得不製作年代如此久遠的家譜，就會發現祖先主要是微生物和簡單植物。他們大概無法做出有意識的決定，但仍會遭受到隨機事件影響，諸如風如何吹動，陽光是否照耀，天降甘霖與否等等。

假設你的微生物祖先每天至少受到一個隨機事件影響，每個隨機事件也有兩種可能結果（例如，一塊石頭是否砸落在你的微生物祖先身上）。這意味我們必須將另外一兆（1,000,000,000,000）個決定事件添加到我們的機率中。

現在，讓我們回到四十五億年前太陽系剛形成的時候，找到你的構成原子之前所在的恆星或行星，然後再一路回到一百四十億年前的大霹靂。讓我們做個超級的低估，假設在那些日子裡，每天都發生了一件可能影響你來到人世的重要大事。直到今日，大約有一千兆個關鍵事件，你存在的機率陡然劇降到約2^{1,000,000,000,000,000} 分之一。

——本文摘自《宇宙大哉問：20個困惑人類的問題與解答》，2022 年 8 月，天下文化，未經同意請勿轉載。

 

• 文／陳宏賓 │ UniMath 主編、中興大學應用數學系助理教授。
• 本文轉載自 UniMath《除了算期望值，買樂透前你應該知道的三件事》。

今年七月時曾有威力彩已經連槓數十期，新聞報導預估這期（2020/07/27 星期一開獎）頭獎獎金高達 31 億元，投注站人潮明顯比往常多了，高額獎金吸引許多人，一時間掀起一陣買樂透熱潮。

友站數感實驗室也趁此機會向大眾宣傳數學，標題是「數感生活|本期威力彩值得投資嗎？讓期望值告訴你！」 內容概要來說就是算期望值，期望值比成本高，所以值得投資。（期望值是一種簡單的分析工具，不需要複雜的計算，只要將每一種獎項的中獎機率乘上獎金通通加總起來，就是中獎金額的期望值。） 如果這麼簡單的話⋯⋯

為何我們很少贏得獎金金額超過買的錢？

背後的理由很直接：因為只有一部分的投注金額會轉入彩金。

以全世界的彩券發行來看，一般大約只有 50% 左右會轉入彩金，這也意味著一個很明顯但多數人卻不知道的事實──­彩券的期望值大約就是購入金額的 50% （如果不看累計的彩金和中獎稅金）。 至於剩餘的那 50% 有一部分就流入市場行銷、通路販售或者送給葉佩雯，有一部分就流進了公益慈善的社會福利補貼。因此我們雖然很少在樂透贏到錢，但輸錢的感覺也不會差到哪裡去，因為如果沒有樂透，我們恐怕必須繳付更多稅金。有一點類似小朋友拒絕吞下苦得要命的感冒藥時，媽媽會從手裡拿出一顆小糖果來引誘你的概念。在這個情況下，投注金額 x 50% 就是買一張樂透的期望價值，這就是為何我們很少贏得獎金金額超過買的錢的理由。

既然如此，在如此不利的前提下，為什麼仍有那麼多人瘋樂透？當然是因為任何人都可買到一個微小的機會用一小筆錢變成大富翁，由此觀之，買樂透也算是一種理性行為。

投注值不值得？搞懂細節就值得！

如果你問我這回期望值大於成本了，該不該投注？我的結論也是一樣，值得！ 修但幾勒！不要衝那麼快，結論雖然一樣，不過同款不同師傅，細節很重要。投注之前，除了會算期望值，你最好要知道這三件事。

一、獎金期望值比成本高 ≠ 好投資

想像一場押大小的賭局，押中賠三倍，不中籌碼歸零，但規則是每次所有籌碼必須全押，贏了可以繼續，輸光就結束了。 「該不該梭哈？又什麼時候該收手？」

你稍微計算一下，假設大小開出來的機率都是 50%，發現遊戲的獎金期望值是成本的 1.5 倍，比成本高不少，玩一下應該是有利可圖，所以你就押了小，結果很幸運你贏了，贏了之後，下一把你面臨同樣的賭局，差別只是手裡的籌碼變成了 3 倍，同樣地，遊戲的期望獎金仍然是手裡籌碼的 1.5 倍，你有一點猶豫，最終又押了小，幸運的是又贏了，籌碼變成一開始的 9 倍了，這下你更猶豫要不要繼續進行賭局，因為稍有理性的人都不難意識到，如此一直賭下去，雖然把把有利可圖，但最終你總是會輸個精光。因此，獎金期望值比成本高未必等於好投資。千萬不要賭上身家，即使期望值告訴你有利可圖。

二、期望值不是你的獲獎獎金預估

我在網路上看到許多鄉民網友的留言，發現不少人誤以為獎金期望值就是購買的彩券「獲獎金額的預估」，或者說成「獲利平均」。你知道嗎？網路上很流行用這句話「全世界的人平均每人約有一顆睪丸」吐槽平均的概念。平均的概念很簡單但要用的很小心。 用在樂透上，你必須知道一張彩券的獎金期望值有絕大部分是由頭獎獎金（極高）乘上中獎機率（極低）貢獻而來，除非你購買的彩券數量多到可以將中頭獎的機率提高到可樂觀預期的地步，比方說買了 1100 萬注以上，此時中頭獎機率達到 50% 以上，否則務實的你應該忽略中頭獎的極低中獎率所貢獻的期望價值，重算一遍你可能就會打消下注的念頭。

此處獎金期望值所涵蓋的平均觀念是理論上進行無限多次投注後的結果，現實中，除非你真的很有錢，否則大多數人不可能進行那麼多次，多到讓這裡的「平均」展現其意義。假設你一生中出現 100次獎金期望值大於成本的機會（一年兩次應該是高估了），每一次都花 100 萬買一萬注，那麼你這一輩子中頭獎的期望次數也才大約 0.045 次（1000,000/22,000,000）。 每張彩券的結果或多或少於獎金期望值。一個理性賭徒通常會在獎金期望值大於成本時才出手買彩券，希望賺到比成本高的報酬。弔詭的是，理性賭徒的期待很難稱得上理性，因為獎金期望值的高低幾乎不影響你能否賺到比成本高的報酬。在樂透獎金分配設計上，往往只有頭獎和貳獎能夠參與高額獎金的分配，其餘獎項都是固定獎金制。換句話說，除非中了頭獎或貳獎，否則高期望值和你一點關係也沒有。

從圖中可以看出，大多數購買彩券的人都是慈善家，他們付出的總是比得到的多，讓我們一起祝福這些善心人士全家平安，事業順利發大財；少部分的人真正賺到比成本高的報酬，但是報酬也不高；絕無僅有的致富案例只有中頭獎的那一個人，大家都希望自己成為那一位幸運兒，連我也不例外，但希望這兩張圖能讓讀者稍微冷靜，不要錯判形勢。

三、還是忍不住要買，就不要用策略買

一般不管何時問我，我的建議策略是：「不要買！」 如果真的想買，網路上有一些文章提出選號的小技巧，宣稱按照提供的選號邏輯或策略，雖不會提高你中頭獎的機率，但如果幸運中了頭獎，這些策略讓你有更高機率不必與其他人分享獎金。 讓我們來看看有哪些選號策略或邏輯是常見的：

• 選特殊紀念日（很多人這樣做） 例如選身邊重要的人的生日、結婚紀念日⋯⋯等對自己生命中有特殊意義的日子作為號碼。
• 選大號碼組合（from 數感實驗室） 因為不論是月或日最多就僅到 31，因此大號碼組合可以避開依照特殊紀念日自選號的人，減少中頭獎卻因撞號要和他人共享獎金的機率。選
• 最不像隨機產生的號碼組合（from UniMath） 例如第一區 1, 2, 3, 4, 5, 6 第二區 7 號之類的連號，因為大部分人認為這種號碼不夠隨機不可能開出來，因此自選號的人不太可能會選這種形式的組合，可避開自選號的人，但現實中，這種號碼跟其他組合中頭獎機率一模一樣。

然而，經讀者提醒英國有一項統計資料指出，在英國買樂透選 1, 2, 3, 4, 5, 6 的人，每一期有約 10000 人左右，這個統計數字令我吃驚，我認為問題可能出在民眾也認為這組號碼比較不會和他人撞號，又或許也在某報導中讀到專家的類似建議，另一個原因則可能出於便利性，這組號碼有其選號邏輯的便利性，就像過去有些人的密碼也設成連號一樣。 經過一番反思，我決定修正最後這項選號小技巧：避開和他人撞號的機率就是不要照任何已知的策略選號！

「邁向成功的道路無法複製，唯一可以做的是避免重蹈覆轍」，這句話為避免撞號的選號邏輯做了最佳註解。除了上述策略不要用之外，你最需要避免的是和他人擁有同樣的行為模式，因此以下幾種特殊模式盡可能避開。

不要都選小號碼、不要都選大號碼、不要選連號、不要選尾數包牌（像是 05, 10, 15, 20, 25, 30），最後，不要都選質數或者費波納契數，除非你想和數學家一起中頭獎。哈！

總而言之，唯一能夠建議的技巧就是，避開他人的選號邏輯。而這個策略並不至於落進同樣泥沼的理由是，有多數的號碼組合不被包含在已知的選號策略中，所以我認為這個策略短時間內仍然是最有效的自選號方法。

• ［更新說明 07/30/2020］ 經讀者提醒後，重新思考選號小技巧的策略，結論是任何指導選號的策略一旦公開，經過時間發酵後，都不再是個能夠避開撞號的好策略，因為有許多人和你使用同一模式選號就會增加重複的機率。
• 本文轉載自 UniMath《除了算期望值，買樂透前你應該知道的三件事》。