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你會怎麼處理每次結帳都會額外收到的發票呢？整理發票時，每一張還未對獎的發票都是一張潛在的獎券喔。讓我們來計算每張發票的期望值，也就是每張未對獎的發票到底值多少錢吧！
每張統一發票的期望值是多少？
首先，每兩個月一度的發票對獎時間，會公佈出來以下的獎號：
| 108年5、6月獎號 | ||
| 獎項 | 中獎號碼 | 獎金 |
| 特別獎 | 46356460 | 1000萬元 |
| 特獎 | 56337787 | 200萬元 |
| 頭獎 | 93339845、83390355、80431063 | 20萬 |
| 增開六獎 | 984、240 | 200元 |
| 二獎 | 發票後7碼數字與頭獎末7碼相同 | 4萬元 |
| 三獎 | 發票後6碼數字與頭獎末6碼相同 | 1萬元 |
| 四獎 | 發票後5碼數字與頭獎末5碼相同 | 4000元 |
| 五獎 | 發票後4碼數字與頭獎末4碼相同 | 1000元 |
| 六獎 | 發票後3碼數字與頭獎末3碼相同 | 200元 |
首先要提到的是期望值的算法：發票的期望值＝中獎機率 × 獎金
我們已知統一發票總共有 00000000 ~ 99999999，共 1 億組號碼。同時，每張中獎統一發票，只能選擇一個獎金領取。
| 獎項 | 中獎機率 × 獎金 | 期望值 |
| 特別獎 | 1 組號碼 / 1 億組號碼 × 1000 萬元 | 0.1 元 |
| 特獎 | 1 組 / 1 億組 × 200 萬元 | 0.02 元 |
| 頭獎 | 3 組 / 1 億組 × 20 萬元 | 0.006 元 |
| 二獎 | 3×(10-1) 組 / 1億組 × 4 萬元 | 0.0108 元 |
| 三獎 | 3×10×(10-1) 組 / 1 億組 × 1 萬元 | 0.027 元 |
| 四獎 | 3×10×10×(10-1) 組 / 1 億組× 4 千元 | 0.108 元 |
| 五獎 | 3×10×10×10×(10-1) 組 / 1 億組× 1 千元 | 0.27 元 |
| 六獎 | 3×10×10×10×10×(10-1) 組 / 1 億組 × 2 百元 | 0.54 元 |
| 增開六獎 | 2×10×10×10×10×10 組 / 1 億組 × 200元 | 0.4 元 |
- 計算中出現的 (10-1) 是為什麼呢？以二獎為例，這裡的 (10-1) 目的是為了扣掉成為頭獎的機率，因為一張發票只能領一個獎，應該是不會有人中了頭獎，卻想領二獎的錢吧！同理，從二獎到六獎，末幾位的前一位數都要扣掉變成前一個獎的可能，所以都需要乘上一個 (10-1)。
因為每張發票上的數字皆為隨機且獲得機率相同，增開獎的「末三碼」也沒有重複，同時每張發票都是領取最大額度的獎項，所以一張發票的期望值就是以上所有獎項期望值的總和 1.4818 元。也就是說每張發票在未對獎前的價值為 1.4818 元。
不印出的「雲端發票」還有加碼！
雲端發票或是「無實體電子發票專屬獎」就是在消費時，選擇不印出發票，並使用各式載具將發票儲存在雲端。儲存在雲端的發票，除了能對「統一發票號碼獎」之外，還能多一次機會，享有「雲端發票專屬獎」的對獎資格。
前面提到儲存在雲端的發票，除了能對一般統一發票獎項之外，還能享有多一次的對獎機會，目前的「雲端發票專屬獎」共有 15 組百萬元獎，以及 1 萬 5 千組 2 千元獎。和統一發票不同的是，雲端發票必須要所有字軌號碼（包含 2 位英文字軌及 8 位數號碼）與雲端發票專屬獎中獎字軌號碼完全相符才算中獎。
| 獎項 | 中獎機率 × 獎金 | 期望值 |
| 百萬元獎 | 15 組 / 26 × 26 × 1 億組號碼 × 100 萬元 | 0.00022189 元 |
| 2 千元獎 | 1 萬 5 千組 / 26 × 26 × 1 億組號碼 × 2000 元 | 0.00044379 元 |
每張雲端發票上的數字都是隨機且獲得機率一樣，也能對「統一發票號碼獎」，所以一張雲端發票的期望值就是將專屬獎的期望值（0.00088758）加上前面每張統一發票的期望值（1.4818），總和為 1.48268758 元。
從結果來看，怎麼算都比紙本發票更划算。此外，今（108）年 9 至 10 月期，還會再增開 40 萬組 500 元獎，雲端發票有更多獲獎機會，還未使用載具的大家可以趕快設定。使用載具一方面可增加中獎機率、對獎更方便，另一方面也能夠環保愛地球，是不是很心動呢？
- 小叮嚀：若在開獎前就列印出紙本電子發票，縱使對中「雲端發票專屬獎」，也會喪失領獎資格。此外，若是一張雲端發票同時對中「統一發票號碼獎」和「雲端發票專屬獎」，中獎者也只能擇一領取唷！
參考資料：
