對稱簡潔除了美也很實用：幾個應用對稱思維來破解的數理益智問題

• 文／游森棚｜臺灣師範大學數學系教授

讀者手上的書是一本非常特別的數學科普書。

這本書談的數學，會和絕大部分讀者心中的「數學」非常不一樣，也和絕大部分的數學科普書非常不一樣。一言以蔽之，這本書用淺顯的語言介紹現代高等數學中幾個抽象的核心領域：拓樸、分析、代數，最後提及數學的哲學基礎、建模與自動機。所有篇章都談「概念」，都沒有「數字」。

沒有數字的數學是數學嗎？！

讀完初稿，不禁啞然失笑，回憶起自己年輕時在數學系的惶恐與不知所措。僅僅一個月我就發現大學的數學和高中數學「很不一樣」。高中數學範圍有限，目標是解設計好的題目：不要有計算失誤，快速地解題得到正確的答案。但是大學的數學範圍茫茫無際，大一的微積分（Calculus）與線性代數（Linear Algebra），除了像高中數學一樣的計算與解題，更多的是要求理解與論證。我在這兩門課的證明題中掙扎前行，不知不覺進了大二。

然後我就在大二的高等微積分（Analysis）與代數學（Algebra）卡關了。這兩門課是數學系真正的入門課程，幾乎沒有像高中數學一樣的計算題，而是一整片的理論。前面沒弄懂，後面就根本無法前進。簡單來說，這兩門課從課本內容、習題、到考試，全部是證明題。我可以整個下午在書桌前，只為了想弄懂從這一行到下一行的理由。一道敘述只有十幾個字的習題，可以耗掉好幾天，而且還做不出來，更糟的是書後面還沒有答案。同學們互相自嘲，一本薄薄的課本可以讀這麼久，真的太划算了。

我原以為這兩門課已經嘆為觀止，但到了大三時，修了一門更誇張的課，叫做拓樸學（Topology）。幾百頁的課本中沒有任何數字（數字只出現在頁碼、定理標號、足碼）。每星期連續幾堂課老師寫滿七、八個滿滿的黑板，可以完全不出現任何一個數字。我們一路顛簸，掙扎忍耐到快要學期末，然後老師很興奮地預告，下學期，在書本的後半，我們將會證明 Jordan Curve Theorem 這個大定理：這個定理是說，你拿筆在紙上畫一個圓，會把紙分成兩部分，「圓內」和「圓外」。台下同學一片譁然，這能不譁然嗎！我簡直矇了，那一瞬間，我覺得我在外星球上……

這是數學嗎？！

「數學」研究的是純粹的論證與推理

是的，這是數學。經過大學數學系，我知道從定義出發，純粹的論證與推理，推出夠一般的結論，是數學理論發展的步驟。而論證與推理，才是數學的核心本質。數學和其他學門非常不同，數學是一步推一步的，要下結論必須要有理由。「論證」與「推理」在數學各個不同的主題或領域上所佔的份量不盡相同，但這個本質不會改變。即使是小學的九九乘法表，三七是二十一也是有理由的。

如果我們抽離出最根本的概念，數學就是在研究形狀，研究變化，研究結構，應用之以解決實際問題，資訊時代又賦予數學新的觀點與力量。

用數學專業的語言來說，數學研究形狀，就是「幾何學與拓樸學」；數學研究變化，就是「分析學」；數學研究結構，就是「代數學」；數學解決實際問題，就是「應用數學」；數學與資訊結合，就是「離散數學」。這幾個領域，就是當代數學這棵參天大樹的幾個主幹。

作者的野心藏在這本書中

這正是本書的內容。這本書的五個章節中，第一章是拓樸學（形狀），第二章是分析（變化），第三章是代數（結構），第五章是建模（應用數學與離散數學）。數學既然是一步推一步，根基是否穩固就很關鍵，這個部分穿插在第四章的基礎（數學基礎與數學哲學）。

由此可看到作者的野心非常宏大——他想要在一本小書中一網打盡介紹數學的各個主幹。這當然是不可能的，因此本書作者相當努力，在每一章中，盡量選取那些可以用口語解釋概念的主題材料。在解釋的過程中，盡可能貼近讀者的生活經驗，或是藉由各式各樣生活上的例子來讓讀者體會數學的概念。

要對一般讀者講解抽象的高等數學，細節與精確定義是不可能講清楚的。但是既然只抽離出概念，還是有機會在概念上讓讀者體會的。一個簡單的例子如下：三角形、橢圓、長方形、叉叉，這四個東西哪一個「看起來跟別人最不一樣」？很顯然就是叉叉，這個小朋友都能做。但這樣的直覺，就已經碰觸到拓樸學中的核心概念了，這正是本書第一章的第一部分要介紹的內容。所以很容易理解吧！讀者如果想學嚇人的專業術語，我來註解如下：三角形、橢圓、長方形是同胚的（homeomorphic），但是叉叉和它們不同胚。

書中有些材料作者介紹得非常精妙，即使以我專業數學家的眼光來看，都覺得眼睛一亮，比如對稱群、自動機、物理基本粒子等等。既然作者原來的想法就是用口語敘述介紹高層次的概念，讀者就不要有壓力，當作有趣的故事書來讀，會有驚喜的發現：重複圖案的壁紙本質上只有十七種、數學中不同的主義、連續與離散真的天差地遠……

宏觀與有趣的文筆，道出數學的精妙

最後再回到讓全班譁然的 Jordan Curve Theorem。到了研究所後我才知道為什麼這個定理這麼特別─這是平面獨有的一個特別性質。到了三維空間中的流形（manifold）事情就變得非常複雜，讀者可以查「Alexander horned sphere」看看有多詭異。至於什麼是「維度」和「流形」，可以看這本書的第一章……

我欣見這本書的出版，也佩服作者的宏觀與有趣的文筆，把數學某些本質層面藉由適當的選材呈現出來。但數學何其浩瀚，不管是哪個主幹，本書提及的材料都還只是很小的部分，茫茫數學大海，還有非常多新奇的事物。但囿於篇幅與主題限制，許多重要的領域本書沒有碰觸，是較為可惜之處。但這是我太苛求了，本書的視野和高度在數學科普書中是非常少見的，碰觸到的領域已經非常廣闊，足以讓讀者對數學有完全不同的認識與體悟。

無論如何，希望本書能開一扇門，引領有緣的讀者或未來的數學家，體會當代數學的面向，從而進入數學的嚴肅、深邃與美麗。

——本文摘自《不用數字的數學：讓我們談談數學的概念，一些你從沒想過的事……激發無窮的想像力！》，2022 年 9 月，經濟新潮社，未經同意請勿轉載。

查爾斯．巴貝奇（Charles Babbage），1792 至 1871 年。

1843 年，一位英國數學家提出了分析機原理，這個構思將在一百零三年後由後人付諸實踐，並有了一個為大家熟知的名字——計算機（今日俗稱電腦）。很遺憾，查理斯．巴貝奇終其一生也沒能實現造出分析機的願望，但他依舊是當之無愧的計算機先驅。

直到今天，許多計算機書籍扉頁裡仍然刊載著他的照片，以表紀念。

巴貝奇發明小型差分計算機

一七九二年，巴貝奇出生於倫敦一個富有的銀行家家庭，十八歲進入著名的劍橋大學三一學院，成為牛頓的校友。後來他擔任了牛頓擔任過的「盧卡斯數學教授」職務。在進入大學之前，他就展現出極高的數學天分。

進入大學後，巴貝奇發現，當時英國人普遍接受的牛頓建立在運動基礎之上的微積分，不如萊布尼茨基於符號處理的微積分那樣便於理解和傳播。為了推廣已被歐洲大陸普遍接受的萊布尼茨的微積分，他和其他人一同創辦了英國的（數學）分析學會。

不過巴貝奇並不是一個安分的學生，他一方面顯現出超凡的智力，另一方面又不按照要求完成學業，為此他不得不轉了一個學院，才能繼續學業。在學校裡，他還對很多超自然的現象感興趣。

延伸閱讀：巴貝奇誕辰｜科學史上的今天：12/26

如果不是趕上工業革命，巴貝奇或許會尋找某個傳統的數學領域或者自然哲學領域做一輩子研究，並且留下一個巴貝奇定律或者巴貝奇定理。但是，工業革命的大背景，讓他把畢生精力和金錢都投入研究一種能夠處理資訊的機械中。

這也不奇怪，因為工業革命為資訊處理提供了思想上的依據、技術上的條件和廣闊的市場。工業革命是人類歷史上最偉大的事件。它不僅第一次讓人類從此進入可持續發展的時代，也改變了人們的思想。人類從相信神，到今天開始變得自信起來，相信這個世界是確定的、有規律的，而自己能夠發現世界上所有的規律。

早在牛頓時代，著名物理學家玻意耳（Robert Boyle）在總結牛頓等人的科學成就之後，就提出了「機械論」，也被稱為「機械思維」。

玻意耳等人（包括牛頓、哈雷等）認為，世間萬物的規律都可以用機械運動的規律來描述，包括蒸汽機和火車在內的工業革命中那些最重要的發明，都受益於機械思維。人們熱衷於用機械的方法解決問題，從精密的航海導航，到能夠奏樂的音樂盒，再到能織出各種圖案的紡織機。

既然能想到的所有規律都可以用運動規律來描述，那麼就很容易想到讓具有特殊結構的齒輪組運動來完成計算，這便是設計機械計算機的思想基礎。

其實，這種想法早在十七世紀就有人嘗試過。法國數學家帕斯卡（Blaise Pascal）發明了一種手搖計算器——雖然有時人們將它稱為最早的機械計算機，但實際上它和我們今天理解的電腦概念沒有太多相似之處，稱之為「計算器」更為恰當。

帕斯卡計算器從外觀上看有上下兩排旋鈕，每個旋鈕上都刻著○至九這十個數字。在做加減法時，只要將參加運算的兩個數字分別撥到相應的位置，然後轉動手柄，計算器裡的一組組齒輪就會轉動，完成計算。

帕斯卡計算器最初只能做加法，後來經過改良， 可以做減法和乘法， 但做不了除法。在帕斯卡之後，萊布尼茨改良了計算器。他發明了一種以他名字命名的轉輪「萊布尼茨輪」，方便實現四則運算中的進位和借位。

到了十九世紀初，經過近兩個世紀的改進，機械計算器已經能夠完成四則運算，但是計算速度很慢，精度也不夠高，而且設備造價昂貴。不過，這種計算器更大的缺陷在於，對於複雜的運算（比如對數運算和三角函數運算）都做不到。

十九世紀機械工業的發展需要進行大量的複雜計算，比如三角函數的計算、指數和對數的計算等。在微積分出現之前，完成這些函數的計算是幾乎不可能的事。

十八世紀之後，歐洲數學家用微積分找到了很多計算上述函數的近似方法，不過這些方法的計算量極大，需要很長的時間，而且當時除了數學家，一般人是完成不了那些計算的。為了便於工程師在工程中和設計時完成各種計算，數學家設計了數學用表，如此一來工程師就可以從表中直接查出計算的結果。

不過，那個時代的數學用表錯誤百出，為生產和科學研究帶來了很多麻煩。而這個問題很難避免，因為手算很難保證完全不出錯。如果很多數學家分別獨立計算，還可以比對結果發現錯誤。但是巴貝奇發現，那些不同版本的數學用表都是抄來抄去，而犯的錯也都一樣。

因此，巴貝奇想設計一種機械來完成微積分的計算，然後用它來計算各種函數值，得到一份可靠的數學用表。當時他只有二十二歲。

延伸閱讀：兩艘軍艦換不到兩噸重的計算機？巴貝奇與差分機｜《電腦簡史》 齒輪時代（十八）

在隨後的十年裡，巴貝奇造出來一台有六位精度（巴貝奇最初的目標是達到八位精度）的小型差分計算機。隨後巴貝奇用它算出了好幾種函數表，用於解決航海、機械和天文方面的計算問題。

值得指出的是，巴貝奇的這次成功受益於工業革命的成就——當時機械加工的精度比瓦特時代已經高出了很多，這讓巴貝奇能夠加工出各種尺寸獨特的齒輪。

但是，當時並沒有二十世紀的精密加工技術，製造小批量特製齒輪和機械部件的成本高、難度大，這給巴貝奇後來的工作帶來了諸多不便。

不過，首次成功還是讓巴貝奇獲得了英國政府的資助，用以打造一台精度高達二十位的計算機。

幾年後，他又獲得了劍橋大學盧卡斯數學教授的職位，讓他有了穩定的收入。在此之前，他一直在花自己繼承的十萬英鎊遺產。勝利女神似乎正向他招手，但接下來的時日，他在計算機研究方面一籌莫展。

從表面上看，巴貝奇遇到的困難是因為那台差分機太複雜了，裡面有包括上萬個齒輪的二點五萬個零件，當時的加工水準根本無法製造。但更本質的原因是，巴貝奇並不真正理解計算的原理。他不懂得對於複雜的計算來說，不是要把機器做得更複雜，而是要用簡單的計算單元來實現複雜的計算。

當然，在那個年代沒有人瞭解這些。作為現代計算機基礎理論的布林代數要再等十幾年才會被提出來，而且要再過近一個世紀，才會被應用到計算技術中。

——本文摘自《資訊大歷史：人類如何消除對未知的不確定》，2022 年 6 月，漫遊者文化，未經同意請勿轉載。

• 作者／林家妤 Sharkie Lin，因為數學成為斜槓青年，進行數學藝術創作、策展、採訪、寫作、創意教學、博物館規劃，希望能為世界帶來一點樂趣。

Take Home Message

• 德摩根來自一個學識豐富的家族，其父親奧古斯都．德摩根為德摩根定律的發明者。
• 數學是德摩根創作的核心，他的數學家父親啟發他在設計中創作出崇高的對稱、形狀、圖樣。
• 德摩根的許多圖案和設計都以對稱組織而成，吸引觀者眼睛看向清晰的中心對稱軸。
• 從方形鋪磚到圓形瓷盤，德摩根在他所有的平面設計中都考慮到構圖的形狀。每片瓷磚設計也都經過數學考量，因此當瓷磚安裝在牆上時，各種設計元素就能互相匹配，並創造出美麗且結構良好的圖案。

德摩根（William De Morgan）是英國維多利亞時代的瓷器設計師，他多以奇妙的生物和花卉、蔓藤花紋作為創作題材，其作品的想像力非常豐富，並且深受伊斯蘭藝術與中東陶瓷設計的影響。這個特別的姓氏是否讓你覺得很熟悉呢？

擁有大數學家父親的瓷器設計師

德摩根來自一個學識豐富的家族，他的父親是奧古斯都‧德摩根（Augustus De Morgan），這位就是鼎鼎大名的德摩根定律（De Morgan’s laws）發明者！奧古斯都‧德摩根是倫敦大學學院（University College London, UCL）第一位教授，同時也是倫敦數學協會（London Mathematical Society）的第一任主席；而他最著名的學生，就是被譽為首位程式設計師的勒芙蕾絲（Ada Lovelace）。

德摩根的母親蘇菲‧弗蘭德（Sophia Elizabeth Frend）則是英國作家與社會運動者，她廣泛撰寫了她熱情支持的社會問題，例如監獄改革、反活體解剖、廢除奴隸制。而德摩根的外公威廉‧弗蘭德（William Frend）則是一位神職人員、社會改革者與數學家；其胞弟喬治後來成為了一名數學家，胞妹瑪麗則是童話故事的作者。

繪畫是德摩根最初的藝術追求，本可以讓他進入更安靜的創作生活，但在德摩根遇見他的終身好友莫里斯（William Morris）之後，他便從學校退學放棄成為藝術家，轉而成為追求技術革新的設計師。

德摩根對技術充滿好奇，常進行化學研究創造新的光澤釉，以及精心研發創新的上釉、燒製及上色技術，製造彩色玻璃和陶瓷讓他著迷，他甚至還設計並製造了自己的窯爐，成立自己的公司為好友莫里斯製作作品。此種強調藝術與手工藝的結合，影響了英國美術工藝運動。

現今倫敦維多利亞與亞伯特博物館（Victoria and Albert Museum, V&A）的文創商品中，依然販售許多莫里斯的花紋圖樣設計。V&A 裡頭也收藏了大約 1200 件德摩根的作品，這兩位威廉為英國留下了許多美妙的幾何設計。

由於德摩根長年專注於光澤器物的研發，未能更新他的圖樣設計以至於過時，加上他對於經營公司沒什麼興趣，公司因而倒閉；而後健康狀況不佳的德摩根便去義大利過冬，並在配偶的鼓勵之下開始寫小說。他不放棄自己的創作之旅，不但減緩了心中的憂鬱，更在 65 歲的時候成為受大眾歡迎的作家。

德摩根的配偶艾芙琳（Evelyn De Morgan）在繪畫上有卓越的成就，內容常使用精神、神話、寓言主題突出女性身體，用以表現精神主義與女性主義。德摩根於 48 歲時與小自己 16 歲的艾芙琳結婚，他們在靈性研究和體驗上有共同興趣，並且相信他們的藝術可以永遠為每個人創造一個更美好、更美麗的世界。

兩人過世之後由艾芙琳的姊妹斯特林（Wilhelmina Stirling）成立了德摩根基金會（De Morgan Foundation），整理德摩根夫婦兩人超過上千件作品，包括陶瓷、油畫、素描等，目前在 3 個地方有長期合作展出，相關地點列於文末。

「崇高的對稱」展覽

介紹完本文主角德摩根與其家族、朋友之後，來看看德摩根基金會為數學與文化策劃的展覽「崇高的對稱：德摩根瓷器設計背後的數學」（Sublime Symmetry: The Mathematics behind De Morgan’s Ceramic Designs）吧！

這檔展覽最初於 2018 年 5 月～10 月於倫敦市政府的市政廳藝廊（Guildhall Art Gallery）展出，筆者正好在 2018 年夏天至倫敦旅行，並且有幸在隔年訪問瓦茨美術館－藝術家村（Watts Gallery – Artists’ Village），與本檔展覽的策展人哈迪（Sarah Hardy）對談。

策展人哈迪表示，相較於過往以藝術與心靈的角度詮釋德摩根夫婦的作品，這回的策展緣由是來自一位挫折的數學教師朋友。這位友人抱怨教授歷史的同事可以帶著孩子去城堡與豪宅校外旅行，但是自己教的數學卻只能被限制在教室中，希望能夠點燃學童對於數學的熱情。

因此策展人便策劃了一檔與「數學」有關的藝術展覽，又因為德摩根家族與倫敦數學協會有深厚的歷史淵源，讓這一切變得相對容易，也使得過往以詮釋藝術作品為主的策展人，能夠透過嚴謹的數學檢驗與嶄新的幾何視角，向大眾介紹德摩根的作品。

哈迪提到有次在展場一個孩子看了德摩根的瓷器，說道：「圖案中間有一條線耶，兩邊長得一樣。」提醒了她德摩根作品的幾何設計強烈可見。而這檔展覽的內容正好適合英國學生學習歷程的第二階段（key stage 2, KS-2）階段，也就是 7～11 歲的孩子學習。同時策展單位也在官網提供教育素材包，供教師引導學生學習幾何形狀與規則。

數學是他創作的核心，數學家父親啟發德摩根在設計中創作出崇高的對稱（symmetry）、形狀（shape）、圖樣（pattern）。接著，我們就以這 3 大面向介紹德摩根的幾何設計。

• Symmetry 對稱

「對稱是變化中的不變。」（Symmetry is “Change without Change”）

－韋爾切克（Frank Wilczek），2004 年諾貝爾物理學獎得主

在藝術中，「對稱」普遍被認為是美的代名詞。這種數學工具可以透過反射、旋轉、縮放來變換設計，但不改變其他屬性，因此對稱可以說是變化中的不變。關於對稱的各種基本變換，可見筆者發表於《科學月刊》第 623 期〈發現臺灣日常文化中的幾何元素─花磚幾何學〉的文章。

德摩根的許多圖案和設計都是以對稱組織而成，吸引觀者眼睛看向清晰的中心對稱軸。這條線，賦予了精心設計的圖樣能呈現出各種不同表現型式，像是花卉圖案和起伏的樹葉捲曲，因其對稱排列而顯得富含結構與秩序。

• Shape 形狀

德摩根曾經說過，古希臘數學家歐幾里得（Euclid）的著作是最引人入勝的文學作品，顯示了他對於形狀的性質與結構深感興趣。

從方形鋪磚到圓形瓷盤，德摩根在他所有的平面設計中都考慮到構圖的形狀。每片瓷磚設計也都經過數學考量，因此當瓷磚安裝在牆上時，各種設計元素就能互相匹配，並創造出美麗且結構良好的圖案。

在德摩根精心設計的瓷盤邊界和圖案邊緣，也可以看到連續的圓形圖樣。他從伊斯蘭幾何設計中借用了這種裝飾技巧，這種圓形圖案代表了「阿拉的無限本質」，因為它們沒有開始也沒有結束，可以被無止境地追隨。德摩根控制了這些圓圈的特性，以確保他的邊界設計符合比例。

此外，圓形對稱也為德摩根的平面設計增添趣味和活力。圍繞瓷盤邊緣旋轉的圖樣，使得觀者的視線能圍繞著設計呈現美妙的圓形運動，讓他的奇幻動植物看起來更加栩栩如生。

• Pattern 圖樣

這些複雜幾何圖樣的設計，往往需要具備嚴謹的幾何學知識，才能想像將單一瓷磚的圖樣設計重複覆蓋整面牆的結果。當設計圖樣完整呈現時，便可以充分欣賞德摩根設計的精華，就像是他在倫敦萊頓屋博物館阿拉伯廳（Arab Hall, Leighton House Museum）裡輝煌的瓷磚設計。

要如何思考這麼大尺度的瓷磚設計呢？德摩根首先會先在紙上繪製他的大型瓷磚設計方案，並使用比例和複雜的測量方法以確保這些設計能成功，然後再將它們應用到物理瓷磚表面。

由於他的繪圖技能與天生對於數學的理解能力，使得他的花器作品能巧妙在設計中運用數學。德摩根利用他對視覺和空間的感知，藉由控制二維圖面，即使圖樣轉換到擁有複雜形狀表面的花瓶與花盆上，還有塗在陶瓷表面上時，也都能完美符合三維物體的每條曲線。因此他可以創造出美麗的設計，並且與花瓶或盤子本身相互呼應。

這檔展覽除了介紹德摩根的幾何設計外，展場中還有一些別出心裁的互動小遊戲，例如將德摩根的設計圖樣製作成puzzle 15 數字推盤遊戲。首先將原本的圖樣分割成 4×4 的 16 個方塊，而後取走角落的方塊，並滑動剩餘的 15 個方塊打亂圖案。看看你能不能拼回來原本的圖案？

此外，本次辦理展覽的倫敦數學協會也提供了一些有趣的展品，像是早期收藏的木製數學模型，以及各式立體的潘洛斯平鋪（Penrose tiling）等多元的立體幾何模型，讓觀眾對於數學視覺化更有感覺。

德摩根無疑是英國融合數學與設計的始祖之一，正在閱讀這篇文章的你，若是下回有機會拜訪英國，不妨也循著德摩根的蹤跡，來趟具有深度的數學文化走讀之旅。

看完文章，你是否也想來趟英國幾何文化之旅呢？

以後若有機會，不妨照著下方的地圖走一趟英國，感受一下數學與藝術融合的氛圍吧！

想了解更多德摩根的作品，也可以參考《崇高的對稱》展覽手冊， 或到德摩根基金會官網看看哦！

延伸閱讀

• 德摩根基金會官網：https://www.demorgan.org.uk

• 〈本文選自《科學月刊》2022 年 2 月號〉
• 科學月刊／在一個資訊不值錢的時代中，試圖緊握那知識餘溫外，也不忘科學事實和自由價值至上的科普雜誌。