對於物理學家來說，美麗意味著對稱和簡單。如果理論是美觀的，這意味著它具有強大的對稱性，可以以最緊湊、最經濟的方式解釋大量數據。更確切地說，如果我們在方程式之內互換變數時，方程式能保持不變，那麼方程式將被認為是美觀的。

──Michio Kaku 理論物理學家、科普作者

語云愛美是人類的天性，儘管情人眼裡出西施，每個人的審美觀點可能不同，但基本上「美」是脫不了對稱與簡潔！你聽說過鼻樑不正、左眼大右眼小的美女或俊男嗎？事實上讓人望而生畏的獅子或老虎，其長相也都具有左右對稱的美！花之所以美，更是脫離不了其對稱性。

物理學家也是人，因此當然也愛美，例如在〈近代物理的先驅：馬克斯威〉一文裡，筆者就談及馬克斯威看到了實驗導出之電磁方程式缺少對稱之美，因此人為加入「位移電流」，使他在 1865 年能導出電磁波的存在，並證明光是一種電磁波。現在，對稱已經是物理學家的一個主要工具：在尚不清楚基本粒子的作用時，他們就是靠對稱引導而發展出「標準模型」！

對喜好數學和物理的科普讀者，「對稱」與「簡潔」的概念也能幫助我們解決一些學習過程、或日常生活中所碰到的問題。

動動腦，思考一下這些數理問題吧！

• [a] 人人都知道運動是「相對的」，因此說「太陽是以橢圓的軌跡繞地球運動」，事實上應該也是不錯的；可是為什麼科學家一定要說「地球繞太陽」呢？
• [b] 四隻螞蟻分別佔據了正方形的 A、B、C、D 四個角落，每隻螞蟻均以等速永遠朝著另一隻螞蟻前進（不需沿著正方型的邊，如A→B、B→C、C→D、D→A），最後牠們會碰在一起嗎？
• [c] \( \iint_{a}^{b} \frac{x+y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}dxdy=? \)
• [d] 一條固定長度的繩子彎曲折成四角形，最大面積的四角形之兩邊比為何？
• [e] 用一條固定長度的繩子彎曲折成任何形狀，最大面積的圖形為何？
• [f] 因為重男輕女的關係，世界組織規定：只要一生男孩就不能再生了；但如果是女孩，則一定要繼續再生，一直到生男孩為止。如果生男生女的機率完全一樣，那麼長時間以後，女性人口是不是會比男性多？
• [g] 如下圖，所有的電阻都是 Ω，那麼 AB 兩點間的等效電阻是多少？
• [h] 一個平面的正七角形，每個角上均帶 +Q 電荷，中心點的電場方向為何？

都想出來了嗎？看看解答怎麼說

• [a] 答案是：運動的確都是相對的，如果將行星的運動解釋為地球及其他 8 個行星圍繞太陽，則它們的軌跡方程式將都是非常簡單（橢圓）——可以用最緊湊、最經濟的方式解釋大量數據。反之，如果認為地球是太陽系的中心，則除了太陽軌跡是橢圓外，其它行星的軌跡都將非常複雜！

在相信上蒼不會那麼笨手笨腳，簡單就是美的「盲目信仰」下，「地球繞日」說自然佔了上風！你說科學家不是愛美愛得一塌糊塗？！

• [b] 因為這四隻螞蟻永遠等速朝著另一隻螞蟻運動，螞蟻的相對位置會形成越來越小的正方形，所以最後會在中心碰在一起。
  筆者對這一問題特別有印象，在籌劃創辦「科學月刊」（1969 年）之時候，由一位學數學的同學提出來的；當學物理的還在思考著如何找出其運動方程式時，筆者已衝口而出謂「當然碰在一起」！筆者當時閃過腦中的想法是：如果牠們最後是在那裡繞圈子永遠不相逢，那麼圈子應該是多大的？從對稱的觀點來看，任何圈子不是都應該可能嗎？只有中間的一點是特別的「圈子」，因此毫無疑問地，牠們將在哪裡碰在一起！
  到了寫這篇文章，筆者發現當時的想法事實上是錯誤的：因為永遠朝著另一隻螞蟻運動，是不可能形成圈子的（見圖），只能形成越來越小的正方形，所以最後一定要碰在一起！單隻螞蟻的路徑會是逐漸內縮的螺旋型，但略微想了一下，覺得運動方程式事實上很難找^註1！

• [c] 此一積分具有（x,y）互換的「反」對稱，因此答案為零。
  一個大家所熟悉的例子是：如果一個函數\( f(x) \)具有 y-軸的「反」對稱{\( f(-x)= -f(x)\)}，則從 -a 到 +a 的積分應等於零。這一題目的對稱軸是同時與 x-軸及 y-軸成 45 度的斜線。
  不用對稱之運算證明如下（第 1 個等號「=」是 x、y 互換的結果；第 2 個等號「≅」號是因 x、y 只是用來表示變數，與用什麼符號來表示無關：例如 ax²+bx+c=0 與 ay²+by+c=0 根本是相同的方程式，只是用不同的符號來表示變數而已）：

• [d] 答案是邊長一樣的正方形。
  因為如果邊長不一樣，那麼我們不免要問，為什麼是這一個長方形、而不是另一個長方形呢？只有正方形是一個特殊的長方形！
• [e] 基於上面的邏輯，相信許多讀者已經知道答案了：當然是圓形！
  這裡的邏輯事實上是與前面有點不一樣的，因為任何正多角形事實上是都很「獨特」的，但同樣的問題還是存在：如果是正六角形，為什麼不是正五角形和正八角形呢？圓形具最高的對稱性，沒有這一問題！
  在這裡筆者想到了一個自然界的現象：為什麼許多皮膚病多是呈圓形的呢？固定長度，圓形面積最大；反之，固定面積，圓形邊長應該最短：這不是最有利於細菌反抗「外面」的攻擊嗎？城堡很少是圓形的，就這點來看，人類顯然還是比細菌笨了一點！同樣的道理，體積一樣、面積最小的立體結構應是圓球——這是否與自然界中許多動植物（如細胞或水果）都是以圓球形狀出現有關？
• [f] 新婚生小孩，除了一半家庭是只有一個男孩的外，其他一半家庭最後都是女多於男（或相等）；因此直覺的反應可能是：千百年後，女的將比男的多！可是換一個角度看，每天新生出來的小孩總是男、女數相等，怎麼可能破壞男女的平衡呢？雖然決定誰可以繼續生小孩時，男女的平等被破壞了，但這一條件，並沒有破壞決定生男育女機率相等的「物理定律」，因此應該不會影響男女數的平衡。事實上，問題之條件（只要一生男孩就不能再生了；但如果是女孩，則一定要繼續再生，一直到生男孩為止）完全是故意用來擾亂你的思路的：任何一刻之男女數的增加都是相等的，與什麼樣的夫妻可以再生無關。
  在「時間的方向性」一文裡，筆者提到了大物理學家波茲曼（Ludwig Boltzmann）於 1872 年用牛頓力學導出具有時間方向性的「H-理論」；可是牛頓力學具有時間對稱性，怎能產生一個不具時間對稱性的結果呢？因此「H-理論」提出後便立即受到攻擊。我們不能在這裡犯同樣的錯誤。
• [g] 用傳統的線路分析將是非常困難的（超過普通物理程度）^註2；但利用對稱則輕而易舉。以通過 AB 兩點的連線為軸，這網絡具有一個旋轉 120 度的正三角形對稱；因此（x、y、z）三點可視為同一點 A’ ──永遠具有同樣的電位。同樣地，（x’、y’、z’）三點也可視為同一點 B’。AA’ 間共有三個相同的電阻並聯，故其等效電阻為 Ω/3。同樣地，BB’ 間也共有三個相同的電阻並聯，故其等效電阻亦為 Ω/3。A’B’ 間則共有六個相同的電阻並聯，故其等效電阻為 Ω/6。這三個等效電阻串聯，故 AB 間的等效電阻為 5Ω/6！

• [h] 因為對稱的關係，任何方向均應該有七個對稱方向。如果答案只能有一個方向，不用三角幾何計算，我們就應該知道答案只能為「零電場」。

結論

以上是筆者想到或者在網路上看到的、可以用「對稱」解決的幾個問題——相信應該還有很多類似的問題。從[c] 題我們可以看出：如果知道怎麼直接計算，我們根本不需要「對稱」！但如果命題具有對稱性，則像[a] 及[g] 一樣，我們根本可以完全不知道怎麼計算，就可以輕輕鬆鬆地得到答案：這正是數學上「對稱理論」—「群論」—的巨大力量！

註解

1. 真正的意思是：筆者還不知道怎麼找運動方程式來解決這一個問題。不怕被方程式嚇倒的讀者可以參考 4 Bugs chasing each other differential equation（裡面有幾種解決的方法）。
2. 所謂「普物程度」就是筆者所知道之「透過電阻串聯及並聯的理論來簡化」（事實上大概不可能用此一理論來解決這一個問題）。想知道電機系的學生如何解決此一問題的讀者可以參考 The resistor cube problem。

延伸閱讀

1. 有關對稱與物理、化學的關係，請參閱：
   「對稱與物理」（科學月刊，2010 年三月號）
   「規範對稱與基本粒子」（科學月刊，2014 年十一月號）
   「左旋還是右旋？化學對稱跟你我的身體有關」（泛科學，2015/09/25）
   「時間的方向性」（科學月刊，2016 年二月號）
   「群論、對稱、與基本粒子」（科學月刊，2018 年 9 月號）
   「基本粒子的標準模式 」（泛科學，2018/10/9）
   2017 年 8 月以前的上面文章均轉載於「我愛科學」（華騰文化有限公司，2017 年 12 月出版）。
2. 有關科學家的盲目信仰，請參閱「愛因斯坦相信的上帝，是你以為的那位上帝嗎？」（泛科學，2018/3/30）。
3. 「近代物理的先驅：馬克斯威」（科學月刊，2019 年四月號）。

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• 作者／魏澤人｜陽明交通大學 智慧計算與科技研究所

在一般印象中，”美” 是與藝術、哲學、文學、音樂這些人文領域相連的。受到教育制度的影響，理工與人文，在普遍認知中是二元對立的。而數學，是理工科目中最硬核的部分。物理、化學實驗中，各種顏色的液體、晃動的單擺或本生燈的火焰，也許還隱隱約約帶有一絲美的影子，但冷冰冰的數學公式，在許多人的求學經驗中，與美根本就是互斥的概念。

但是，懂數學的人都知道，數學是美的。甚至可以說，美是數學中不可或缺的部分。

著名的英國數學家哈代（Godfrey Harold Hardy）說:”數學家的創造形式，與畫家及詩人一樣，必須是美的: 將概念（就像顏色及詞語）以和諧的方式組合起來。美是最重要的條件，醜陋無法長存於數學之中。”。哈代的著作 “一個數學家的辯白”（A Mathematician’s Apology），在數學圈外有一定的名氣，前面的那段話也出自本書。但讓他”出圈”的主要原因，是他發掘了傳奇數學天才拉馬努金（Srinivasa Ramanujan）。這個故事在 2015 年被拍成了電影 “天才無限家” The Man Who Knew Infinity)。

這也不是哈代獨創之見解，法國最偉大的數學家之一龐加萊（Henri Poincare）說：”研究自然不是因為有用，而是因為喜悅。而喜悅是因為美。”。其他比方像是羅素（Bertrand Russell）、艾狄胥（Paul Erdos）也留下不少關於數學與美的金句。

數學的美，不只是許多偉大的數學家的共同體驗。絕大多數的數學愛好者、數學工作者都有相同的體驗，只是比較不容易留下知名金句。Danica McKellar 也許不是能和羅素、龐加萊、艾狄胥比肩齊名的數學家，但她說過一句很有意思的話: “數學是唯一一個真與美是同義詞的世界”。

McKellar 是一位有知名度的美國演員，她曾演出過白宮風雲（The West Wing），也曾在 NCIS、宅男行不行（The Big Bang Theory）及追愛總動員（How I Met Your Mother）中客串。但真正讓她出名的，是 80 末、90 初的影集兩小無猜（The Wonder Years），故事主軸是主角凱文回憶少年成長的過程，而 McKellar 飾演主角的鄰居溫妮，兩人發展出分分合合的戀愛關係。用現代的話來講， McKellar 可以說是當時少年界的國民女友。另外 2010 開始，她也在動畫影集少年正義聯盟中為火星小姐配音。

演員什麼會與數學扯上關係呢？其實她大學就是學數學的，而且學得很好，在 1998 年以最傑出的成績取得加州大學洛杉磯分校的數學學士學位。不只如此，大學時期與教授 Chayes 及同學 Winn 發表了一篇統計力學的論文，其中的主要結果被稱為 Chayes-McKellar-Winn theorem. 在 2008 年，她出了一本針對中學女孩的數學書 “Math Doesn’t Suck: How to Survive Middle School Math without Losing Your Mind or Breaking a Nail.” ，頗受好評也很暢銷，之後也接續出版了許多書。她表示，她想讓女孩們覺得數學是「可親、有意義、甚至有點迷人」，用來對抗這個社會傳達「女孩不適合數學」的這類負面訊息。除此之外，她也參與影集 Project Mc2 的演出。 這部影節的目標是向全球的青少女們證明，科學、科技、STEAM（Science, Technology, Engineering, Arts, Mathematics）是有趣且平易近人的。

回到前面那句”數學是唯一一個真與美是同義詞的世界”。追求美是人之天性，但很多情境下，美或者美化這些詞，常常帶了一點隱藏真實的意味。像是修圖軟體、美顏相機、化妝（與素顏對比）、醫美、Autotune。當然明顯太假也不符合多數人的審美觀，真正美之極致，往往也需要展現事物的本質與真實特色。但現實是資源有限，平庸普通還是多數，不然，也不會有”這裡的風景美得像幅畫”一樣的形容詞方式了。一般日常中，美的實際執行過程還是得靠挑選和遮掩。「真」與「美」是需要取捨的。這也就是這句話耐人尋味的地方了，因為這句話如果成立，那在數學，也許就提供了現實世界中「真」與「美」之間內在衝突的解法了。

但問題是，數學家們感受到的美感是否真的是美？定理與證明真的可以用美或不美來形容呢？還是只是數學家們普遍缺乏人文薰陶產生的代償性錯覺呢？

2019 年時，英國巴斯大學管理學院的 Samuel G.B. Johnson 及美國耶魯大學數學系的 Stefan Steinerberger 發表了一篇論文 “Intuitions about mathematical beauty: A case study in the aesthetic experience of ideas”，其中的研究證據，支持一般人可能也跟數學家一樣，能感受到數學論證的美感。在其研究中發現，人們對數學的「美感」，就跟對古典鋼琴樂曲及風景畫產生的美感相似，有其內在的一致性。另外也發現這種數學美感的評判，跟與音樂、畫作美感一樣，和優雅性、深度、清楚性有關。

就像十九世紀英國數學家 James Joseph Sylvester 說的：「數學就是論證的音樂」。愛因斯坦也說：「純數學是一首以其自有方式將邏輯概念寫成的詩」。這句話出自他寫給 Emmy Noether 的訃聞。 Noether 是有名的德國數學家，對抽象代數有極大的貢獻，巧妙的利用升鏈條件來研究代數性質，此後符合這個條件的數學物件我們都會冠以 Noetherian 來稱呼，以紀念 Noether 的貢獻。此外，她的 Noether Theorem 也被稱之為影響物理學最重要的定理之一。

除了主觀上對於美的感受外，數學與藝術之間，也有很多直接的關聯性。以音樂來說，音律就與數學上的對數（也就是大家所認識的 \(\log\)）有關。人類發展音律有很長的歷史，因為這不是一個簡單的問題。我們現在知道，和弦時，不同音階的頻率要接近簡單的有理數倍聲音才會悅耳。傳說畢達哥拉斯經過一家鐵店，聽到鐵鎚打鐵的聲音，覺得很悅耳，他走入店裡，發現四個鐵鎚的重量比為 12:9:8:6，其中 9 是 6 與 12 的算術平均，8 是 6 與 12的調和平均, 9, 8 與 6, 12 的幾何平均相等這些巧妙的關係。這些鐵鎚之間的聲音配合起來非常悅耳。他進一步用弦樂器實驗驗證，得到的結論是，弦長為一些簡單有理數比的時候，會得到和諧的聲音。而後來更進一步改進而成的十二平均律，也反映出中國及歐洲在計算 \(\sqrt[12]{\frac{1}{2}}\) 的歷史進展。這背後還有更深刻的問題，因為很容易可以發現，\(\sqrt[12]{\frac{1}{2}}\) 並不是個有理數。對音樂或數學有興趣的朋友，可以繼續深入了解一下背後的學問。

另一個大家也觀察到的現象是，數學能力和藝術能力之間似乎有一些相關性，特別是音樂能力。常被拿來說的是愛因斯坦喜愛音樂且從小學習小提琴。可能你認識的人中，應該也有許多同時精通數理及音樂的人。過去一些研究也發現發現了數理能力及音樂能力中的相關性。但是，這個相關性會不會與能力本身無關呢？比方顯而易見，學科能力與學習音樂的條件，都與家庭背景與社經地位有關。

音樂教育學者 Martin J. Bergee 原本也是這樣認為的。他覺得只要能控制相關的根本性變因，如種族、收入、教育背景，就能夠破除音樂與數學能力相關性的迷思。於是他就設計並展開了研究。結果讓他非常震驚，兩者的關聯性不但沒有消失，而且還非常強。在 2021 年他的研究團隊發表了一篇名為 “Multilevel Models of the Relationship Between Music Achievement and Reading and Math Achievement” 的論文。他們調查了不同學區背景的一千多位中學生，在盡可能排除其他因素的干擾下，他們不得不承認音樂及數學能力之間的有統計上顯著的關聯。

他表示很抱歉實驗設計得非常複雜，”因為排除所有的相關影響並不容易，可能從個人、教室、學校、學區等等不同層級來產生影響。”。雖然他原本是支持相反的結論，但這個結果讓他思考了很多，”微觀技術來說，可能在音樂中的音準、音程、節拍，可能語言認知的基礎相關，而巨觀技術上的調式與調性，可能在心理學或神經學上與數學認知有關。”

除此之外，還有非常多的例證。比方 2015 年神經科學家 Semir Zeki 及艾提亞爵士（Michael Atiyah 當代最偉大數學家之一，費爾茲獎得主）發表的論文指出，經由 fMRI 掃描 15 名數學家的腦部，發現數學家在評斷數學式子美感時，動用到眼額皮質外側的 A1 區域，與察覺其他來源美感所動用到的區域一樣。而前面比較沒有提到數學與視覺藝術的關聯，因為這部分更為大家所熟知。像是從古希臘幾何就知道的黃金分割比，繪畫中的用到的透視原理、對稱性。可以說，美與數學並不是感性與理性的對立，而是互相包含。就像浪漫派詩人約翰濟慈所說：”美即是真，真即是美。這就是你在世上所知道和需要知道的一切”，而數學以及其背後的邏輯，就是人類對於”真”的具像。

可以說在知識份子階層中，數學即美是個主流觀點。當然主流不一定代表唯一或正確，像前述 Bergee 也試圖證明相關的主流看法是個迷思。但一旦理解了這種切入點，人工智慧是否能創造藝術作品這個問題，至少在心理層面就不是太大問題了。人工智慧遵照一些演算法運作，可以說就是數學及邏輯的程式碼實作。以近幾年最主流的深度學習神經網路來說，就是許多線性映射與激活函數的合成函數，藉由梯度下降法，收斂到的穩定數學解。既然數學即美，那由數學建構的人工智慧，能產生美的事物，也不是太不能接受的事。

生成模型也是近幾年深度學習熱門的領域之一。常見的生成任務就是藉由觀察抽樣的樣本，設法模仿出一樣的機率分佈。白話一點來講，就是給電腦看一些李白的詩，希望電腦能創造出新的李白風格的詩。給電腦聽一些貝多芬的音樂，希望電腦能創造出新的貝多芬音樂。現在的深度學習技術，已經能讓人工智慧能藉由學習，”創造”出視覺、音訊及語言的”作品”。

Inception 網路是一個有名的深度學習模型，其名稱取自於同名的電影（全面啟動），當時主要是在圖片辨識任務上，取得很好的成果。2015 年時， Google 工程師 Alexander Mordvintsev 巧妙的利用事先訓練好 Inception 模型，讓他將圖片變成夢一般的迷幻風格。他把這種方法取名叫 DeepDream。不久後，Leon Gatys 等人用類似的方法，設計一套演算法，能將畫家的畫風轉移到照片上，典型的例子是將風景、建築照片，轉成梵谷的星空風格。後面有很多後續的研究，一般稱為 Neural Style Transfer. 2016 年 Google 利用 AI 生出的畫作，拍賣得到進十萬美元。而其實早在 2014 年時， Ian Goodfellow 等人就提出了生成對抗網路（Generative Adversarial Network），是一個更廣泛而通用的生成模型。這個模型後續開啟了極大量的相關研究，現在的深度學習模型，在一些領域中，已經能生出非常高品質的成品。比方 Nvidia 研究的 StyleGAN 系列模型，能生出幾可亂真的人臉。現在，在手機上，能使用 APP，將你的照片轉成迪士尼的畫風。

2021 年時， OpenAI 釋出了 CLIP 模型，這是一個能整合圖片視覺及文字語意的模型。很多人嘗試利用 CLIP 和文字控制，來產生獨特和有創意的畫作。舉例來說，如果你畫了一張畫，或者拿到一張照片，你可以利用文字”更有喜感一點，更有亞洲風味一點”，來修改這張圖片讓人感受到”喜感”和”亞洲風”。在眾多嘗試中，大家試出了許多像”咒語”般的技巧，比方有個著名的 “unreal engine trick”，就是當你在控制產生圖片的句子中，加入 “unreal engine” 這個詞（unreal engine 是一個遊戲引擎），常常會讓產生品質更高的圖片。 乍看之下有點不明所以，但仔細一想，因為網路上會特別標明 unreal engine 的圖片，往往是強調其遊戲高畫質，久而久之， CLIP 看到這個詞，很自然就與高品質的含意產生連結。除了圖片外，人工智慧也能產生其他具有美的形式的作品，特別是文字作品。Open AI 開發的 GPT-3，已經能在用戶給出簡單的指示後，產生非常複雜的文字作品，除了詩、笑話、故事外，甚至連食譜、程式碼都可以。

但這些，真的算是人工智慧的創作嗎？

在 2018 年時，由生成對抗網路生成的畫作 Edmond de Belamy，以美金 432,500 元賣出。這幅畫是誰創作的？這幅畫是由巴黎藝術集體 Obvious 生成的。而名稱 Belamy 的法語意思為”好朋友”，以致敬提出生成對抗網路的學者 Ian Goodfellow。而圖片右下角的簽名則是

\(\min_{\mathcal {G}}\max_{\mathcal {D}}E_{x}\left[\log({\mathcal {D}}(x))\right]+E_{z}\left[\log(1-{\mathcal {D}}({\mathcal {G}}(z)))\right]\) 這個數學式子，這個式子是生成對抗網路使用的目標函數，也就是引導模型訓練的數學式。而讓問題更複雜的是，生成這幅圖片的程式碼，是由與 Obvious 毫無關係的另外一位 AI 藝術家 Robbie Barrat 所寫的。甚至有人（如 AICAN）認為這個連創作都算不上。

所以，這幅畫到底是誰的創作？物理學家海森堡曾說，即使在沒有足夠證據的支持下，”當自然引導我們得到極簡與美的數學式時”，”我們會不由自主的感受到，這就是自然真相被揭露的一角”。也許，真正創作者不是人工智慧，也不是人類，我們只是自然的一部分，有幸釋放了，並且有幸感受到了自然散發出的美之一角。

• 如果你有無限次2選1的機會……到底是彈珠檯？還是高爾頓版？
• 理解化學老師口中的分子構造，化學式從此不用死背硬記....化學和生物課程的最佳教具
• 科學實驗室 開箱直播！每週四中午開播～
• 來自美國最好玩的編程無人機，可以使用圖像化編程以及python編程控制 — Robolink官方版 四軸無人機
• 雜物OUT！斷捨離的同時，也能整理思緒帶來好心情？