對稱簡潔除了美也很實用：幾個應用對稱思維來破解的數理益智問題

本文與 PAMO車禍線上律師 合作，泛科學企劃執行

走在台灣的街頭，你是否發現馬路變得越來越「急躁」？滿街穿梭的外送員、分秒必爭的多元計程車，為了拚單量與獎金，每個人都在跟時間賽跑 。與此同時，拜經濟發展所賜，路上的豪車也變多了 。

這場關於速度與金錢的博弈，讓車禍不再只是一場意外，更是一場複雜的經濟算計。PAMO 車禍線上律師施尚宏律師在接受《思想實驗室 video podcast》訪談時指出，我們正處於一個交通生態的轉折點，當「把車當生財工具」的職業駕駛，撞上了「將車視為珍貴資產」的豪車車主，傳統的理賠邏輯往往會失靈 。

在「停工即停薪」（有跑才有錢，沒跑就沒收入）的零工經濟時代，如果運氣不好遇上車禍，我們該如何證明自己的時間價值？又該如何在保險無法覆蓋的灰色地帶中全身而退？

薪資證明的難題：零工經濟者的「隱形損失」

過去處理車禍理賠，邏輯相對單純：拿出公司的薪資單或扣繳憑單，計算這幾個月的平均薪資，就能算出因傷停工的「薪資損失」。

但在零工經濟時代，這套邏輯卡關了！施尚宏律師指出，許多外送員、自由接案者或是工地打工者，他們的收入往往是領現金，或者分散在多個不同的 App 平台中 。更麻煩的是，零工經濟的特性是「高度變動」，上個月可能拚了 7 萬，這個月休息可能只有 0 元，導致「平均收入」難以定義 。

這時候，律師的角色就不只是法條的背誦者，更像是一名「翻譯」。

施律師解釋「PAMO車禍線上律師的工作是把外送員口中零散的『跑單損失』，轉譯成法官或保險公司聽得懂的法律語言。」 這包括將不同平台（如 Uber、台灣大車隊）的流水帳整合，或是找出過往的接單紀錄來證明當事人的「勞動能力」。即使當下沒有收入（例如學生開學期間），只要能證明過往的接單能力與紀錄，在談判桌上就有籌碼要求合理的「勞動力減損賠償 」。

300 萬張罰單背後的僥倖：你的直覺，正在害死你

根據警政署統計，台灣交通違規的第一名常年是「違規停車」，一年可以開出約 300 萬張罰單 。這龐大的數字背後，藏著兩個台灣駕駛人最容易誤判的「直覺陷阱」。

陷阱 A：我在紅線違停，人還在車上，沒撞到也要負責？ 許多人認為：「我人就在車上，車子也沒動，甚至是熄火狀態。結果一台機車為了閃避我，自己操作不當摔倒了，這關我什麼事？」

施律師警告，這是一個致命的陷阱。「人在車上」或「車子沒動」在法律上並不是免死金牌 。法律看重的是「因果關係」。只要你的違停行為阻礙了視線或壓縮了車道，導致後方車輛必須閃避而發生事故，你就可能必須背負民事賠償責任，甚至揹上「過失傷害」的刑責 。 

數據會說話： 台灣每年約有 700 件車禍是直接因違規停車導致的 。這 300 萬張罰單背後的僥倖心態，其巨大的代價可能是人命。

陷阱 B：變換車道沒擦撞，對方自己嚇到摔車也算我的？ 另一個常年霸榜的肇事原因是「變換車道不當」 。如果你切換車道時，後方騎士因為嚇到而摔車，但你感覺車身「沒震動、沒碰撞」，能不能直接開走？

答案是：絕對不行。

施律師強調，車禍不以「碰撞」為前提 。只要你的駕駛行為與對方的事故有因果關係，你若直接離開現場，在法律上就構成了「肇事逃逸」。這是一條公訴罪，後果遠比你想像的嚴重。正確的做法永遠是：停下來報警，釐清責任，並保留行車記錄器自保 。

保險不夠賠？豪車時代的「超額算計」

另一個現代駕駛的惡夢，是撞到豪車。這不僅是因為修車費貴，更因為衍生出的「代步費用」驚人。

施律師舉例，過去撞到車，只要把車修好就沒事。但現在如果撞到一台 BMW 320，車主可能會主張修車的 8 天期間，他需要租一台同等級的 BMW 320 來代步 。以一天租金 4000 元計算，光是代步費就多了 3 萬多塊 。這時候，一般人會發現「全險」竟然不夠用。為什麼？

因為保險公司承擔的是「合理的賠償責任」，他們有內部的數據庫，只願意賠償一般行情的修車費或代步費 。但對方車主可能不這麼想，為了拿到這筆額外的錢，對方可能會採取「以刑逼民」的策略：提告過失傷害，利用刑事訴訟的壓力（背上前科的恐懼），迫使你自掏腰包補足保險公司不願賠償的差額 。

這就是為什麼在全險之外，駕駛人仍需要懂得談判策略，或考慮尋求律師協助，在保險公司與對方的漫天喊價之間，找到一個停損點 。

談判桌的最佳姿態：「溫柔而堅定」最有效？

除了有單據的財損，車禍中最難談判的往往是「精神慰撫金」。施律師直言，這在法律上沒有公式，甚至有點像「開獎」，高度依賴法官的自由心證 。

雖然保險公司內部有一套簡單的算法（例如醫療費用的 2 到 5 倍），但到了法院，法官會考量雙方的社會地位、傷勢嚴重程度 。在缺乏標準公式的情況下，正確的「態度」能幫您起到加分效果。

施律師建議，在談判桌上最好的姿態是「溫柔而堅定」。有些人會試圖「扮窮」或「裝兇」，這通常會有反效果。特別是面對看過無數案件的保險理賠員，裝兇只會讓對方心裡想著：「進了法院我保證你一毛都拿不到，準備看你笑話」。

相反地，如果你能客氣地溝通，但手中握有完整的接單紀錄、醫療單據，清楚知道自己的底線與權益，這種「堅定」反而能讓談判對手買單，甚至在證明不足的情況下（如外送員的開學期間收入），更願意採信你的主張 。

車禍不只是一場意外，它是認知、情緒、金錢與法律邏輯的總和 。

在這個交通環境日益複雜的時代，無論你是為了生計奔波的職業駕駛，還是天天上路的通勤族，光靠保險或許已經不夠。大部分的車禍其實都是小案子，可能只是賠償 2000 元的輕微擦撞，或是責任不明的糾紛。為了這點錢，要花幾萬塊請律師打官司絕對「不划算」。但當事人往往會因為資訊落差，恐懼於「會不會被告肇逃？」、「會不會留案底？」、「賠償多少才合理？」而整夜睡不著覺 。

PAMO看準了這個「焦慮商機」， 推出了一種顛覆傳統的解決方案——「年費 1200 元的訂閱制法律服務 」。

這就像是「法律界的 Netflix」或「汽車強制險」的概念。PAMO 的核心邏輯不是「代打」，而是「賦能」。不同於傳統律師收費高昂，PAMO 提倡的是「大腦武裝」，當車禍發生時，線上律師團提供策略，教你怎麼做筆錄、怎麼蒐證、怎麼判斷對方開價合不合理等。

施律師表示，他們的目標是讓客戶在面對不確定的風險時，背後有個軍師，能安心地睡個好覺 。平時保留好收入證明、發生事故時懂得不亂說話、與各方談判時掌握對應策略 。

從違停的陷阱到訂閱制的解方，我們正處於交通與法律的轉型期。未來，挑戰將更加嚴峻。

當 AI 與自駕車（Level 4/5）真正上路，一旦發生事故，責任主體將從「駕駛人」轉向「車廠」或「演算法系統」 。屆時，誰該負責？怎麼舉證？

但在那天來臨之前，面對馬路上的豪車、零工騎士與法律陷阱，你選擇相信運氣，還是相信策略？ 先「武裝好自己的大腦」，或許才是現代駕駛人最明智的保險。

PAMO車禍線上律師官網：https://pse.is/8juv6k 

「教授」趴在辦公室的地板上，百無聊賴。材料科學家、互動設計師、工匠與工藝研究人員，整日於麻省理工學院媒體實驗室（MIT Media Lab），忙進忙出，沒空搭理。作為論文第一作者Jack Forman的愛犬，身兼創作謬思，「教授」可能從沒想過，自己終將獲邀貢獻學術，並且榮登致謝名單。^[1]

FibeRobo

「教授」備受冷落的這段時日，研究團隊一直忙於開發織物纖維：穿戴手套、實驗袍和護目鏡，隔著通風櫃，以液晶元（mesogen）為主要原料，適量加入能感光、增加黏性、降低驅動溫度，以及延長有效期限等的各種化學物質。然後，將調製好的液晶彈性體（liquid crystal elastomer；LCE），灌進精心設計的機器。利用液晶分子在常溫下整齊排列，遇熱就亂了陣腳，導致收縮的特性，生產出來的FibeRobo纖維，長度能為溫度所控制。製作步驟及機器各部位的功能，大致如下：^[1]

1. 可調控溫度的針筒幫浦，將原料加溫至約莫34°C，降低其黏性後，推擠出來。（圖片：Step 1的上半段。）^[1]
2. 用紫外線照射，使纖維稍微硬化，避免蜷曲。（圖片：Step 1的下半段。）機器外圍的黃色壓克力板，能隔絕99%的紫外線，保護使用者。透過調光器，則可依需求適度調整光線強度。避免光線太弱，使纖維斷掉；或者是光線太強，而結塊並堵塞針筒的開口。^[1]
3. 鑷子夾住纖維兩端，把它拉得又直又細，再沾點礦物油，比較容易舒展。（圖片：Step 2。）^[1]
4. 經過滑輪的纖維，於緊拉的張力下，再照一次紫外線，加強硬化。（圖片：Step 3。）滑輪轉動的速度愈快，纖維就愈細。^[1]
5. 纖維被捲到機器最頂端的線軸上。（圖片：Step 4。）^[1]
6. 從線軸上取下纖維，撒點滑石粉，降低摩擦力，方便以後用機器紡織。等布料完成，再以溫熱的肥皂水，洗去滑石粉。^[1]

通電與收縮

FibeRobo纖維搭配別種材料，可以創造不同的效果。然而傳統多股對絞的作法，會扭曲FibeRobo，使它收縮的特質變得難以預測。於是，研究團隊改將FibeRobo置於中央，在外面纏繞其他材料。比方說，拿以蠶絲包覆銅芯的利茲線（litz wire）來捆它。銅的電阻低，升溫快，能迅速使FibeRobo遇熱收縮。FibeRobo與利茲線合體後，接上2.5安培、8.5伏特的電，8秒即縮短37%；斷電30秒，則又恢復原狀。不過，這種混合纖維傾向堆成一團，不適用於針織、紡織與刺繡。研究團隊建議，最好分開製作，再搭配使用。^[1]

另外，他們也嘗試用導電塗料浸染纖維。如同調製LCE原料時，身穿防護衣著，隔著通風櫃，先將FibeRobo泡入含有重量百分濃度7%碳黑（carbon black）的甲苯（toluene）溶液裡。8小時後取出，置於80°C的烤箱中，烘烤1個鐘頭。如此一來，FibeRobo纖維就能通電，其電阻會跟著長度的伸縮變化。拉長變細的時候，電阻較高。^[1]

成品展示

研究團隊用FibeRobo纖維跟其他材料，做了些模型和成品，來展示實際用途。以下是其中幾個例子：^[1]

• FibeRoBra運動胸罩：當體溫隨運動逐漸上升，FibeRoBra便開始收縮，給予乳房無鋼圈、零負擔的支持。體溫下降後，布料又回到放鬆的狀態。^[1]

• FibeRoGlow燈具：開燈後升高的溫度，令燈罩緩緩上捲，彷彿打開花瓣。全程費時，大約5分鐘。^[1]

• ShadeRobo窗簾：窗簾不該因為陽光強烈，氣溫上升，就自動捲起來。因此，驅動此窗簾所需的溫度，被設計得比較高。布料只有在上面的利茲線通電時，才會有反應。4伏特、2.5安培的電，得花2分鐘，才能將這個5 x 5公分的小窗簾捲好。冷卻1分鐘後，又會完全攤平。^[1]

• FurbeRobo遙控狗背心：論文的第一作者Jack Forman，為他的愛犬「教授」，織了一件小背心。本文開頭的那張照片，即是牠的定裝照。如果寵物在辦公室悲鳴，於實驗室忙碌的主人，就可以透過藍芽，啟動背心上的控制器。此時，連接12伏特、2.5安培電池的利茲線，會通電並發熱，造成驅動溫度不高的布料，輕微收縮。就像給狗溫暖的擁抱，減輕牠的分離焦慮（separation anxiety）。不過，基於動物實驗倫理等因素，後來示範布料收縮的照片，都是穿在布偶上拍攝，「教授」再次被晾在一旁。^[1]

成本與環保

2023年麻省理工學院的團隊，在美國計算機協會（Association of Computing Machinery）主辦的使用者介面軟體與技術（User Interface Software and Technology）研討會上，發表了這篇介紹FibeRobo的論文。研究團隊認為，他們的成果具有商業化的潛力。畢竟跟雷同的技術比起來，製作FibeRobo的成本相對低廉：機器的針筒幫浦約美金250元；裝滿5、10、20或30毫升原料的針筒，每個至多4元；而生產直徑0.5mm的纖維，每公尺約0.2元。^[1]單人操作單機，一天或一個下午就能產出750公尺的纖維；^{[1, 2]}亦有報導指稱是每日1公里。^{[3, 4]}不過，FibeRobo不可回收，儘管某些新興LCE纖維可生物分解，有時搭配的導電材質，仍是廢料處理的阻礙。因此，在這方面還有改善的空間。^[1]

參考資料

1. Forman J, Afsar OK, Nicita S, et al. (2023) ‘FibeRobo: Fabricating 4D Fiber Interfaces by Continuous Drawing of Temperature Tunable Liquid Crystal Elastomers’. UIST ’23: Proceedings of the 36th Annual ACM Symposium on User Interface Software and Technology, 9, pp. 1 – 17.
2. MIT Media Lab. (27 OCT 2023) ‘FibeRobo: Powerful Body-Temperature Morphing Fibers’. YouTube.
3. Paul A. (26 OCT 2023) ‘This liquid crystal fabric is ‘smart’ enough to adapt to the weather’. Popular Science.
4. Global Update. (29 OCT 2023) ‘New Liquid Crystal Elastomer Fiber Makes Shape Shifting Fabrics a Reality – FibeRobo’. YouTube.

對於物理學家來說，美麗意味著對稱和簡單。如果理論是美觀的，這意味著它具有強大的對稱性，可以以最緊湊、最經濟的方式解釋大量數據。更確切地說，如果我們在方程式之內互換變數時，方程式能保持不變，那麼方程式將被認為是美觀的。

──Michio Kaku 理論物理學家、科普作者

語云愛美是人類的天性，儘管情人眼裡出西施，每個人的審美觀點可能不同，但基本上「美」是脫不了對稱與簡潔！你聽說過鼻樑不正、左眼大右眼小的美女或俊男嗎？事實上讓人望而生畏的獅子或老虎，其長相也都具有左右對稱的美！花之所以美，更是脫離不了其對稱性。

物理學家也是人，因此當然也愛美，例如在〈近代物理的先驅：馬克斯威〉一文裡，筆者就談及馬克斯威看到了實驗導出之電磁方程式缺少對稱之美，因此人為加入「位移電流」，使他在 1865 年能導出電磁波的存在，並證明光是一種電磁波。現在，對稱已經是物理學家的一個主要工具：在尚不清楚基本粒子的作用時，他們就是靠對稱引導而發展出「標準模型」！

對喜好數學和物理的科普讀者，「對稱」與「簡潔」的概念也能幫助我們解決一些學習過程、或日常生活中所碰到的問題。

動動腦，思考一下這些數理問題吧！

• [a] 人人都知道運動是「相對的」，因此說「太陽是以橢圓的軌跡繞地球運動」，事實上應該也是不錯的；可是為什麼科學家一定要說「地球繞太陽」呢？
• [b] 四隻螞蟻分別佔據了正方形的 A、B、C、D 四個角落，每隻螞蟻均以等速永遠朝著另一隻螞蟻前進（不需沿著正方型的邊，如A→B、B→C、C→D、D→A），最後牠們會碰在一起嗎？
• [c] \( \iint_{a}^{b} \frac{x+y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}dxdy=? \)
• [d] 一條固定長度的繩子彎曲折成四角形，最大面積的四角形之兩邊比為何？
• [e] 用一條固定長度的繩子彎曲折成任何形狀，最大面積的圖形為何？
• [f] 因為重男輕女的關係，世界組織規定：只要一生男孩就不能再生了；但如果是女孩，則一定要繼續再生，一直到生男孩為止。如果生男生女的機率完全一樣，那麼長時間以後，女性人口是不是會比男性多？
• [g] 如下圖，所有的電阻都是 Ω，那麼 AB 兩點間的等效電阻是多少？
• [h] 一個平面的正七角形，每個角上均帶 +Q 電荷，中心點的電場方向為何？

都想出來了嗎？看看解答怎麼說

• [a] 答案是：運動的確都是相對的，如果將行星的運動解釋為地球及其他 8 個行星圍繞太陽，則它們的軌跡方程式將都是非常簡單（橢圓）——可以用最緊湊、最經濟的方式解釋大量數據。反之，如果認為地球是太陽系的中心，則除了太陽軌跡是橢圓外，其它行星的軌跡都將非常複雜！

在相信上蒼不會那麼笨手笨腳，簡單就是美的「盲目信仰」下，「地球繞日」說自然佔了上風！你說科學家不是愛美愛得一塌糊塗？！

• [b] 因為這四隻螞蟻永遠等速朝著另一隻螞蟻運動，螞蟻的相對位置會形成越來越小的正方形，所以最後會在中心碰在一起。
  筆者對這一問題特別有印象，在籌劃創辦「科學月刊」（1969 年）之時候，由一位學數學的同學提出來的；當學物理的還在思考著如何找出其運動方程式時，筆者已衝口而出謂「當然碰在一起」！筆者當時閃過腦中的想法是：如果牠們最後是在那裡繞圈子永遠不相逢，那麼圈子應該是多大的？從對稱的觀點來看，任何圈子不是都應該可能嗎？只有中間的一點是特別的「圈子」，因此毫無疑問地，牠們將在哪裡碰在一起！
  到了寫這篇文章，筆者發現當時的想法事實上是錯誤的：因為永遠朝著另一隻螞蟻運動，是不可能形成圈子的（見圖），只能形成越來越小的正方形，所以最後一定要碰在一起！單隻螞蟻的路徑會是逐漸內縮的螺旋型，但略微想了一下，覺得運動方程式事實上很難找^註1！

• [c] 此一積分具有（x,y）互換的「反」對稱，因此答案為零。
  一個大家所熟悉的例子是：如果一個函數\( f(x) \)具有 y-軸的「反」對稱{\( f(-x)= -f(x)\)}，則從 -a 到 +a 的積分應等於零。這一題目的對稱軸是同時與 x-軸及 y-軸成 45 度的斜線。
  不用對稱之運算證明如下（第 1 個等號「=」是 x、y 互換的結果；第 2 個等號「≅」號是因 x、y 只是用來表示變數，與用什麼符號來表示無關：例如 ax²+bx+c=0 與 ay²+by+c=0 根本是相同的方程式，只是用不同的符號來表示變數而已）：

• [d] 答案是邊長一樣的正方形。
  因為如果邊長不一樣，那麼我們不免要問，為什麼是這一個長方形、而不是另一個長方形呢？只有正方形是一個特殊的長方形！
• [e] 基於上面的邏輯，相信許多讀者已經知道答案了：當然是圓形！
  這裡的邏輯事實上是與前面有點不一樣的，因為任何正多角形事實上是都很「獨特」的，但同樣的問題還是存在：如果是正六角形，為什麼不是正五角形和正八角形呢？圓形具最高的對稱性，沒有這一問題！
  在這裡筆者想到了一個自然界的現象：為什麼許多皮膚病多是呈圓形的呢？固定長度，圓形面積最大；反之，固定面積，圓形邊長應該最短：這不是最有利於細菌反抗「外面」的攻擊嗎？城堡很少是圓形的，就這點來看，人類顯然還是比細菌笨了一點！同樣的道理，體積一樣、面積最小的立體結構應是圓球——這是否與自然界中許多動植物（如細胞或水果）都是以圓球形狀出現有關？
• [f] 新婚生小孩，除了一半家庭是只有一個男孩的外，其他一半家庭最後都是女多於男（或相等）；因此直覺的反應可能是：千百年後，女的將比男的多！可是換一個角度看，每天新生出來的小孩總是男、女數相等，怎麼可能破壞男女的平衡呢？雖然決定誰可以繼續生小孩時，男女的平等被破壞了，但這一條件，並沒有破壞決定生男育女機率相等的「物理定律」，因此應該不會影響男女數的平衡。事實上，問題之條件（只要一生男孩就不能再生了；但如果是女孩，則一定要繼續再生，一直到生男孩為止）完全是故意用來擾亂你的思路的：任何一刻之男女數的增加都是相等的，與什麼樣的夫妻可以再生無關。
  在「時間的方向性」一文裡，筆者提到了大物理學家波茲曼（Ludwig Boltzmann）於 1872 年用牛頓力學導出具有時間方向性的「H-理論」；可是牛頓力學具有時間對稱性，怎能產生一個不具時間對稱性的結果呢？因此「H-理論」提出後便立即受到攻擊。我們不能在這裡犯同樣的錯誤。
• [g] 用傳統的線路分析將是非常困難的（超過普通物理程度）^註2；但利用對稱則輕而易舉。以通過 AB 兩點的連線為軸，這網絡具有一個旋轉 120 度的正三角形對稱；因此（x、y、z）三點可視為同一點 A’ ──永遠具有同樣的電位。同樣地，（x’、y’、z’）三點也可視為同一點 B’。AA’ 間共有三個相同的電阻並聯，故其等效電阻為 Ω/3。同樣地，BB’ 間也共有三個相同的電阻並聯，故其等效電阻亦為 Ω/3。A’B’ 間則共有六個相同的電阻並聯，故其等效電阻為 Ω/6。這三個等效電阻串聯，故 AB 間的等效電阻為 5Ω/6！

• [h] 因為對稱的關係，任何方向均應該有七個對稱方向。如果答案只能有一個方向，不用三角幾何計算，我們就應該知道答案只能為「零電場」。

結論

以上是筆者想到或者在網路上看到的、可以用「對稱」解決的幾個問題——相信應該還有很多類似的問題。從[c] 題我們可以看出：如果知道怎麼直接計算，我們根本不需要「對稱」！但如果命題具有對稱性，則像[a] 及[g] 一樣，我們根本可以完全不知道怎麼計算，就可以輕輕鬆鬆地得到答案：這正是數學上「對稱理論」—「群論」—的巨大力量！

註解

1. 真正的意思是：筆者還不知道怎麼找運動方程式來解決這一個問題。不怕被方程式嚇倒的讀者可以參考 4 Bugs chasing each other differential equation（裡面有幾種解決的方法）。
2. 所謂「普物程度」就是筆者所知道之「透過電阻串聯及並聯的理論來簡化」（事實上大概不可能用此一理論來解決這一個問題）。想知道電機系的學生如何解決此一問題的讀者可以參考 The resistor cube problem。

延伸閱讀

1. 有關對稱與物理、化學的關係，請參閱：
   「對稱與物理」（科學月刊，2010 年三月號）
   「規範對稱與基本粒子」（科學月刊，2014 年十一月號）
   「左旋還是右旋？化學對稱跟你我的身體有關」（泛科學，2015/09/25）
   「時間的方向性」（科學月刊，2016 年二月號）
   「群論、對稱、與基本粒子」（科學月刊，2018 年 9 月號）
   「基本粒子的標準模式 」（泛科學，2018/10/9）
   2017 年 8 月以前的上面文章均轉載於「我愛科學」（華騰文化有限公司，2017 年 12 月出版）。
2. 有關科學家的盲目信仰，請參閱「愛因斯坦相信的上帝，是你以為的那位上帝嗎？」（泛科學，2018/3/30）。
3. 「近代物理的先驅：馬克斯威」（科學月刊，2019 年四月號）。

為什麼時間向前走？

既然我們不能回到過去，你可能會合理的問：「為什麼時間向前走？」

對我們來說，時間不向前走的概念是匪夷所思的。你不會期待烤箱能把煮熟的食物變回原料，或杯子內的飲料在炎熱的日子裡形成冰塊，甚至女童軍餅乾也不會憑空出現。所有事情都以我們非常熟悉的方式隨時間前進，但如果你看到逆著時間走的情形，你可能會想自己是否是藥吃多了。

同樣的，你可以記住過去發生的事，但是你不能想起未來發生的事 ^*1。時間似乎有一個偏好的方向，我們不知道為什麼。

為什麼時間只向前走？這個基本問題長久以來深深困擾著物理學家。事實上，「時間向前」到底意味著什麼？在某些宇宙中，時間可能流向其他方向。他們的科學家可能會定義往「那個方向」向前。 所以真正的問題應該是：「為什麼時間朝著它前進的方向移動？」

我們先來考慮，如果時間往其他方向走，宇宙是否能夠運作。 物理學定律要求時間往單一方向流動嗎？想像你正在看某些宇宙影片，你能透過仔細檢查，來判斷影像是否正在向前或向後播放嗎？ 例如，假設你正在觀看一個球上下彈跳的影片，只要球完全彈跳 （並且不會因為摩擦或空氣阻力失去任何能量），那麼這個影像無論是往前或往後播放，看起來都會一模一樣！在罐內反彈的氣體粒子或在河中流動的水分子也是如此。即使量子力學也能逆著時間運作 ^*2。事實上，幾乎每個物理定律在時間往前或往後都可以成立。

但這不是全部的故事。

完全彈跳球的例子是不現實的，因為它忽略了球在地面上的摩擦力、空氣阻力以及諸多其他讓球的能量耗散成熱量的方式。經過幾次彈跳後，即使寵物雪貂最喜愛的超級彈力球也會停止彈跳，最終穩定在地面上。球的所有能量將轉化成熱，傳至空氣分子、球分子或地面分子。

想像一下，倒著播放的彈跳球影像會變得多麼奇怪，坐在地上的球會突然開始彈跳起來，而且愈彈愈高。能量流將看起來更奇怪：空氣、球和地面會冷卻下來，失去的熱將轉化為球的動能。

在這個例子中，你可以肯定指出時間向前和向後的區別。烹飪食物、融化冰塊和吃餅乾等也都相同。但是，如果物理學的大部分定律都能反向工作，特別是熱和擴散等微觀物理，為什麼宏觀過程似乎只在一個時間方向發生？原因是系統中的無序量，也就是熵，非常強烈傾向於單一時間方向。

熵總是隨時間增加。這稱為熱力學第二定律。熵視為某些事物中的無序量。你忘記餵食雪貂時，雪貂會毀壞客廳，撞翻整疊有完整簽名的這本書，雪貂透過增加亂度來提高客廳的熵。

如果你回家重新整理客廳，可以減少客廳的熵，但是這樣做需要相當程度的能量，你把能量釋放成熱、沮喪和低聲咒罵著要如何告訴室友說：「養雪貂是個壞主意。」在整理客廳時，你釋放的能量將保持總熵的增加。每當你產生任何局部秩序，例如：堆疊書籍、在方格紙上做標記，或打開空調時，你都會同時產生亂度這個副產品，且通常以熱的方式呈現。根據熱力學第二定律，平均而言，總熵沿順向時間減少是不可能發生的事。

（注意：這是機率描述。技術上來說，一群憤怒的雪貂有可能意外的組織一個完全有序的隊伍，從而減少了牠們的熵，但機率微乎其微。孤立事件可能發生，但平均熵總是增加。）

這會導致令人不寒而慄的後果：因為熵只會增加，在最終非常非常久遠的未來，宇宙將會達到最大亂度，這有個聽起來很酷的名字：「宇宙熱寂」。在這種狀態下，整個宇宙將處於相同溫度，這表示一切都將完全無序，沒有一丁點有用的有序結構（如人類）。在熱寂之前，我們仍然有空間可以創造局部秩序，只因為宇宙還沒有達到最大亂度。

現在我們逆著時間回想。過去每個時刻，宇宙的熵比現在更少（更有秩序），一直回溯到大霹靂時。把大霹靂當成是搬家卡車和小孩來到新房子之前的那一刻。宇宙的初始狀態（當熵最低時）決定了宇宙從誕生到熱寂之間有多少時間。如果宇宙從一開始就已經有大量亂度，不需要太多時間就能達到熱寂。在我們自身的例子中，宇宙似乎始於非常有序的狀態，在達到最大熵之前給了我們很多時間。

為什麼宇宙從一開始是從高度有組織的低熵狀態中啟動？我們不知道，但是我們確實很幸運，因為宇宙在開始和結束之間，留下了很多時間來做有趣的事情，比如製造行星、人類和冰棒。

熵是否幫助我們了解時間？

熵是少數幾個關心時間如何流逝的物理定律之一。

影響熵的多數過程（例如影響氣體分子如何互相反彈的運動學定律），可以完美的逆著時間走。但大體來說，它們遵循一項定則：有序數量隨時間前進而遞減。所以時間和熵互相以某種方式連接起來。但到目前為止只有一個相關性：熵隨時間而增加。

這是否代表熵導致時間只能向前流動，就像是山丘只讓水往下流那樣；或者熵是遵循時間的箭頭，像被捲入龍捲風的碎片？

即使你接受熵隨時間前進而增加，仍然不清楚為什麼時間只會向前進。例如，你可以想像一個時間向後的熵，熵隨負時間而減少，這將保持熵和時間的關係，而不會違反熱力學第二定律！

與其說熵洞察了時間的一切，不如說它是個線索。熵是我們關於時間如何運作的少數線索之一，所以值得注意。熵是理解時間方向的關鍵嗎？雖然很多人如此臆測，但我們還是毫無頭緒。不僅如此，我們能把這問題弄清楚的辦法也寥寥無幾。

註解

1. 如果你能記得未來的事，請打電話給我們，我們有些問題想請教你。
2. 除了波函數的崩陷之外，有些人認為它是不可逆的、有些人則認為是失去同調性，而其他人只是為了辯論而辯論。

——本文摘自《關於宇宙我們什麼都不知道》，2023 年 9 月，天下文化出版，未經同意請勿轉載。