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對稱簡潔除了美也很實用:幾個應用對稱思維來破解的數理益智問題

對於物理學家來說,美麗意味著對稱和簡單。如果理論是美觀的,這意味著它具有強大的對稱性,可以以最緊湊、最經濟的方式解釋大量數據。更確切地說,如果我們在方程式之內互換變數時,方程式能保持不變,那麼方程式將被認為是美觀的。

──Michio Kaku 理論物理學家、科普作者

語云愛美是人類的天性,儘管情人眼裡出西施,每個人的審美觀點可能不同,但基本上「美」是脫不了對稱簡潔!你聽說過鼻樑不正、左眼大右眼小的美女或俊男嗎?事實上讓人望而生畏的獅子或老虎,其長相也都具有左右對稱的美!花之所以美,更是脫離不了其對稱性。

物理學家也是人,因此當然也愛美,例如在〈近代物理的先驅:馬克斯威〉一文裡,筆者就談及馬克斯威看到了實驗導出之電磁方程式缺少對稱之美,因此人為加入「位移電流」,使他在 1865 年能導出電磁波的存在,並證明光是一種電磁波。現在,對稱已經是物理學家的一個主要工具:在尚不清楚基本粒子的作用時,他們就是靠對稱引導而發展出「標準模型」!

對喜好數學和物理的科普讀者,「對稱」與「簡潔」的概念也能幫助我們解決一些學習過程、或日常生活中所碰到的問題。

動動腦,思考一下這些數理問題吧!

  • [a] 人人都知道運動是「相對的」,因此說「太陽是以橢圓的軌跡繞地球運動」,事實上應該也是不錯的;可是為什麼科學家一定要說「地球繞太陽」呢?
  • [b] 四隻螞蟻分別佔據了正方形的 A、B、C、D 四個角落,每隻螞蟻均以等速永遠朝著另一隻螞蟻前進(不需沿著正方型的邊,如A→B、B→C、C→D、D→A),最後牠們會碰在一起嗎?
  • [c] \( \iint_{a}^{b} \frac{x+y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}dxdy=? \)
  • [d] 一條固定長度的繩子彎曲折成四角形,最大面積的四角形之兩邊比為何?
  • [e] 用一條固定長度的繩子彎曲折成任何形狀,最大面積的圖形為何?
  • [f] 因為重男輕女的關係,世界組織規定:只要一生男孩就不能再生了;但如果是女孩,則一定要繼續再生,一直到生男孩為止。如果生男生女的機率完全一樣,那麼長時間以後,女性人口是不是會比男性多?
  • [g] 如下圖,所有的電阻都是 Ω,那麼 AB 兩點間的等效電阻是多少?
  • [h] 一個平面的正七角形,每個角上均帶 +Q 電荷,中心點的電場方向為何?

都想出來了嗎?看看解答怎麼說

  • [a] 答案是:運動的確都是相對的,如果將行星的運動解釋為地球及其他 8 個行星圍繞太陽,則它們的軌跡方程式將都是非常簡單(橢圓)——可以用最緊湊、最經濟的方式解釋大量數據。反之,如果認為地球是太陽系的中心,則除了太陽軌跡是橢圓外,其它行星的軌跡都將非常複雜!

 

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如果認為地球是運行的中心,那就要用很複雜的系統才能解決某些觀察到的現象如「水星逆行」,上圖即為地心說的其中一個版本。圖/wikimedia commons

在相信上蒼不會那麼笨手笨腳,簡單就是美的「盲目信仰」下,「地球繞日」說自然佔了上風!你說科學家不是愛美愛得一塌糊塗?!

  • [b] 因為這四隻螞蟻永遠等速朝著另一隻螞蟻運動,螞蟻的相對位置會形成越來越小的正方形,所以最後會在中心碰在一起。
    筆者對這一問題特別有印象,在籌劃創辦「科學月刊」(1969 年)之時候,由一位學數學的同學提出來的;當學物理的還在思考著如何找出其運動方程式時,筆者已衝口而出謂「當然碰在一起」!筆者當時閃過腦中的想法是:如果牠們最後是在那裡繞圈子永遠不相逢,那麼圈子應該是多大的?從對稱的觀點來看,任何圈子不是都應該可能嗎?只有中間的一點是特別的「圈子」,因此毫無疑問地,牠們將在哪裡碰在一起!
    到了寫這篇文章,筆者發現當時的想法事實上是錯誤的:因為永遠朝著另一隻螞蟻運動,是不可能形成圈子的(見圖),只能形成越來越小的正方形,所以最後一定要碰在一起!單隻螞蟻的路徑會是逐漸內縮的螺旋型,但略微想了一下,覺得運動方程式事實上很難找註1

永遠朝著另一隻螞蟻運動,是不可能形成圈子的。圖/作者提供

  • [c] 此一積分具有(x,y)互換的「反」對稱,因此答案為零。
    一個大家所熟悉的例子是:如果一個函數\( f(x) \)具有 y-軸的「反」對稱{\( f(-x)= -f(x)\)},則從 -a 到 +a 的積分應等於零。這一題目的對稱軸是同時與 x-軸及 y-軸成 45 度的斜線。
    不用對稱之運算證明如下(第 1 個等號「=」是 x、y 互換的結果;第 2 個等號「≅」號是因 x、y 只是用來表示變數,與用什麼符號來表示無關:例如 ax2+bx+c=0 與 ay2+by+c=0 根本是相同的方程式,只是用不同的符號來表示變數而已):

\( \iint_{a}^{b} \frac{x+y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}dxdy\) \(=-\iint_{a}^{b}\frac{y+x}{\sqrt{y}-\sqrt{x}}dy dx \) \( \cong -\iint_{a}^{b}\frac{x+y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}dx dy\)

將最後一項移到左邊與第一項合併

\( 2\iint_{a}^{b}\frac{x+y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}} dx dy=0 \)

  • [d] 答案是邊長一樣的正方形
    因為如果邊長不一樣,那麼我們不免要問,為什麼是這一個長方形、而不是另一個長方形呢?只有正方形是一個特殊的長方形!
  • [e] 基於上面的邏輯,相信許多讀者已經知道答案了:當然是圓形
    這裡的邏輯事實上是與前面有點不一樣的,因為任何正多角形事實上是都很「獨特」的,但同樣的問題還是存在:如果是正六角形,為什麼不是正五角形和正八角形呢?圓形具最高的對稱性,沒有這一問題!
    在這裡筆者想到了一個自然界的現象:為什麼許多皮膚病多是呈圓形的呢?固定長度,圓形面積最大;反之,固定面積,圓形邊長應該最短:這不是最有利於細菌反抗「外面」的攻擊嗎?城堡很少是圓形的,就這點來看,人類顯然還是比細菌笨了一點!同樣的道理,體積一樣、面積最小的立體結構應是圓球——這是否與自然界中許多動植物(如細胞或水果)都是以圓球形狀出現有關?
  • [f] 新婚生小孩,除了一半家庭是只有一個男孩的外,其他一半家庭最後都是女多於男(或相等);因此直覺的反應可能是:千百年後,女的將比男的多!可是換一個角度看,每天新生出來的小孩總是男、女數相等,怎麼可能破壞男女的平衡呢?雖然決定誰可以繼續生小孩時,男女的平等被破壞了,但這一條件,並沒有破壞決定生男育女機率相等的「物理定律」,因此應該不會影響男女數的平衡。事實上,問題之條件(只要一生男孩就不能再生了;但如果是女孩,則一定要繼續再生,一直到生男孩為止)完全是故意用來擾亂你的思路的:任何一刻之男女數的增加都是相等的,與什麼樣的夫妻可以再生無關。
    在「時間的方向性」一文裡,筆者提到了大物理學家波茲曼(Ludwig Boltzmann)於 1872 年用牛頓力學導出具有時間方向性的「H-理論」;可是牛頓力學具有時間對稱性,怎能產生一個不具時間對稱性的結果呢?因此「H-理論」提出後便立即受到攻擊。我們不能在這裡犯同樣的錯誤。
  • [g] 用傳統的線路分析將是非常困難的(超過普通物理程度)註2;但利用對稱則輕而易舉。以通過 AB 兩點的連線為軸,這網絡具有一個旋轉 120 度的正三角形對稱;因此(x、y、z)三點可視為同一點 A’ ──永遠具有同樣的電位。同樣地,(x’、y’、z’)三點也可視為同一點 B’。AA’ 間共有三個相同的電阻並聯,故其等效電阻為 Ω/3。同樣地,BB’ 間也共有三個相同的電阻並聯,故其等效電阻亦為 Ω/3。A’B’ 間則共有六個相同的電阻並聯,故其等效電阻為 Ω/6。這三個等效電阻串聯,故 AB 間的等效電阻為 5Ω/6!

用傳統的線路分析非常困難,但利用對稱則輕而易舉。

  • [h] 因為對稱的關係,任何方向均應該有七個對稱方向。如果答案只能有一個方向,不用三角幾何計算,我們就應該知道答案只能為「零電場」。

結論

以上是筆者想到或者在網路上看到的、可以用「對稱」解決的幾個問題——相信應該還有很多類似的問題。從[c] 題我們可以看出:如果知道怎麼直接計算,我們根本不需要「對稱」!但如果命題具有對稱性,則像[a] 及[g] 一樣,我們根本可以完全不知道怎麼計算,就可以輕輕鬆鬆地得到答案:這正是數學上「對稱理論」—「群論」—的巨大力量!

註解

  1. 真正的意思是:筆者還不知道怎麼找運動方程式來解決這一個問題。不怕被方程式嚇倒的讀者可以參考 4 Bugs chasing each other differential equation(裡面有幾種解決的方法)。
  2. 所謂「普物程度」就是筆者所知道之「透過電阻串聯及並聯的理論來簡化」(事實上大概不可能用此一理論來解決這一個問題)。想知道電機系的學生如何解決此一問題的讀者可以參考 The resistor cube problem

延伸閱讀

  1. 有關對稱與物理、化學的關係,請參閱:
    「對稱與物理」(科學月刊,2010 年三月號)
    「規範對稱與基本粒子」(科學月刊,2014 年十一月號)
    左旋還是右旋?化學對稱跟你我的身體有關」(泛科學,2015/09/25)
    「時間的方向性」(科學月刊,2016 年二月號)
    「群論、對稱、與基本粒子」(科學月刊,2018 年 9 月號)
    基本粒子的標準模式 」(泛科學,2018/10/9)
    2017 年 8 月以前的上面文章均轉載於「我愛科學」(華騰文化有限公司,2017 年 12 月出版)。
  2. 有關科學家的盲目信仰,請參閱「愛因斯坦相信的上帝,是你以為的那位上帝嗎?」(泛科學,2018/3/30)。
  3. 「近代物理的先驅:馬克斯威」(科學月刊,2019 年四月號)。

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關於作者

賴昭正

成功大學化學工程系學士,芝加哥大學化學物理博士。在芝大時與一群留學生合創「科學月刊」。一直想回國貢獻所學,因此畢業後不久即回清大化學系任教。自認平易近人,但教學嚴謹,因此穫有「賴大刀」之惡名!於1982年時當選爲 清大化學系新一代的年青首任系主任兼所長;但壯志難酬,兩年後即辭職到美留浪。晚期曾回台蓋工廠及創業,均應「水土不服」而鎩羽而歸。正式退休後,除了開始又爲科學月刊寫文章外,全職帶小孫女(半歲起);現已成七歲之小孫女的BFF(2015)。首先接觸到泛科學是因爲科學月刊將我的一篇文章「愛因斯坦的最大的錯誤一宇宙論常數」推薦到泛科學重登。

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