偉大數學家之子，把玩幾何學的瓷器設計師：威廉．德摩根 ——《科學月刊》

十六世紀初的環球航行

既然史上第一次環球航行到十六世紀初才完成，埃拉托斯特尼在公元前 240 年又是用什麼方法，這麼準確估算出地球周長呢？他顯然不可能用捲尺繞地球一圈。他的替代做法是先測量地球表面上的一小段距離，再利用一些巧妙的數學運算，省去必須測量整段長度的麻煩。

埃拉托斯特尼掌管古代最好的亞歷山卓圖書館，在幾個科學領域都有極有趣的貢獻，包括數學、天文學、地理學、音樂等等。不過，儘管他有新穎的工作成果，同時代的人卻瞧不起他的能力，還給他「第二名」（Beta）這個綽號，暗示他不是第一流的思想家。

質數表的誕生

他提出的聰明想法之一是，用有系統的方式產生一系列質數。為了找出從 1 到 100 之間的所有質數，埃拉托斯特尼提出以下的程序。從 2 這個數開始，刪掉隨後所有 2 的倍數，只要在數字表中刪除每走 2 步遇到的整數就行了。接著走到 2 以後還沒刪掉的下一個整數，顯然是 3，現在要有系統的刪除每走 3 步遇到的所有數字，就刪掉了 3 的所有倍數。這個方法在此刻開始顯出自己的本領。整數表中還沒有刪掉的下一個數是 5，重複我們在前面兩個數所用的方法，把每走 5 步遇到的數字全部淘汰掉。

這個程序的要訣是：移到下一個還保留著的數字，然後往後面刪掉這個新數字的所有倍數。如果你做得很有系統，把 7 的倍數都淘汰之後，就會產生一個小於 100 的質數表。

這個程序極為聰明，省去了必須考慮很多的麻煩，非常適合電腦執行，但若要大量產生質數，它的問題是很快就會變得效率低落。它是思考的捷徑，可以讓你像機器般產生質數表，但這不是我想在本書裡頌揚的那種捷徑。我想要的是發掘質數的聰明策略。

利用太陽的位置計算地球周長

不過，我要給埃拉托斯特尼的地球周長計算工作打高分，因為太巧妙了。他聽說斯溫尼特（Swenet）城裡有一口井，太陽每年會有一天在它的天頂。太陽在夏至正午直射井底，不會在井邊投下任何影子。斯溫尼特就是今天的亞斯文（Aswan），離北回歸線不遠，北回歸線位於北緯 23.4 度，是我們發現太陽能夠從頭頂直射的最遠位置。

埃拉托斯特尼知道可以利用這個和太陽位置有關的資訊，在夏至這天進行實驗，讓他算出地球的周長。雖然這樣他就不必用捲尺繞地球一圈，但這項實驗還是需要走走路。他相信亞歷山卓位於斯溫尼特的正北方，於是在夏至那天，他在亞歷山卓豎起一根竿子。兩地的經度實際上差了 2 度，雖然沒有百分之百準確，不過我要為他的實驗精神鼓掌。

那天，太陽直射斯溫尼特，沒在那口井投下影子，但卻讓亞歷山卓的竿子產生一道影子。埃拉托斯特尼測量了影子長度和竿子長度，就能畫出一個具同樣比例的三角形，然後量出角度，這會告訴他亞歷山卓在地球周長上與斯溫尼特距離多遠。他量出的角度是 7.2 度，也就是一整個圓的 1/50，現在他只須知道亞歷山卓到斯溫尼特的實際距離。

他沒有親自走到斯溫尼特，而是雇了一位專門丈量距離的人員，稱為測距員（bematist），他們會在兩座城鎮之間走直線，當中只要有任何偏差都會把估算搞砸。丈量結果會用更大的計量單位來記錄：斯塔德。結果，亞歷山卓在斯溫尼特以北 5,000 斯塔德，倘若這是繞地球一整圈的 1/50，那麼地球的周長就會等於 250,000 斯塔德。

今天我們並不確定，埃拉托斯特尼所雇的測量員到底是用多少步來計量他的斯塔德，但就如我在前面解釋過的，這個丈量結果好極了。用一點幾何學，他就省去了雇人走地球一圈的需求。

幾何學的英文字 geometry 正源自這個實驗，因為拆解之後，它是意指「丈量地球」的希臘文：geo=地球，metry=丈量。

——本文摘自《數學就是這樣用：找出生活問題的最佳解》，2022 年 11 月，天下文化出版，未經同意請勿轉載。

本文轉載自中央研究院研之有物，泛科學為宣傳推廣執行單位

• 採訪編輯／郭雅欣，美術編輯／林洵安

愛因斯坦的廣義相對論中，以重力方程式來描述時空中的物質如何影響整個時空的幾何，顛覆了牛頓的古典時空概念，並成為廣義相對論的核心。科學家用重力方程式預測了黑洞存在、宇宙膨脹、重力波等等現象，後來一一獲得驗證。

不過，在愛因斯坦建構重力方程式的過程，幾何學家在背後擔任著「藏鏡人」的角色……中研院數學所研究員鄭日新，在 2019 年院區開放日的科普演講「幾何學–重力研究的好幫手」，跟民眾暢談愛因斯坦與幾何學家的故事。

先別管相對論了，你真的懂幾何學嗎？

大家都聽過「一個成功的男人，背後一定有個偉大的女人。」但你應該沒想過，一個成功的物理學家，背後可能有著好幾個偉大的幾何學家──愛因斯坦在重力方程式上的成功，就是一個經典的例子。2

「幾何學，不就是數學課上教過的那些三角函數、充滿各種性質的各種圖形？怎麼會跟相對論扯上關係呢？」

我們一般認知的幾何屬於「歐氏幾何」，是以西元前 330~275 年古希臘數學家歐幾里德所撰寫的《幾何原本》做為基礎，歐氏幾何的一切性質都是建立在平面上的。但近代許多數學家紛紛找出不同的幾何，例如：建立在球面上的正曲面幾何、馬鞍形狀曲面上的負曲面幾何等等。其中一個突破性的概念，就是黎曼於 19 世紀中葉提出的「黎曼幾何」。

黎曼幾何中，所有度量的幾何量和選取的座標無關，例如兩點間的「長度」，是存在於黎曼幾何的內在性質，而不是我們一般認為的從外觀去判斷、測量而得。

黎曼幾何這個「和座標無關」的特性，後來成為愛因斯坦重力方程式誕生的重大關鍵。

不受座標影響的重力

愛因斯坦在 1905 年完成狹義相對論後，便一直想解決重力的問題。在牛頓所發展的古典力學中，空間中的質量分布會產生重力場，也就是一旦知道了空間中每一點的質量分布，就能找出每一點的重力位能。

然而，如果將愛因斯坦的狹義相對論加入考量，立刻產生問題。狹義相對論為了解決光速恆定，推導出質量會隨著速度而改變，這意味著，當兩個人所在的慣性座標不同——例如一人靜止於地面，另一人在等速前進的火車上，兩人看待的物體質量也會不同。

那麼，宇宙中的質量分布及重力場，不就會受到座標的不同影響了嗎？

由於在愛因斯坦發展重力理論之前，著名的數學物理學家馬克士威 (James Clerk Maxwell) 已經在 19 世紀中葉提出完整的電磁學理論──馬克士威方程式組。這組方程式不論在任何慣性座標下，數學形式都不會改變，稱為符合「勞倫茲轉換」(Lorentz transformation)。

因此愛因斯坦深信，重力理論一定也有符合某種廣義的勞倫茲轉換的方程式，不會因為座標改變而不同。於是，愛因斯坦踏上了尋找重力方程式的路程。

重力場和因電磁感應而產生的電場類似，其存在只有相對的意義。因為對於一名從屋頂自由落下的觀測者而言，至少在他的附近，重力場並不存在。——愛因斯坦

黎曼幾何裡的寶藏

愛因斯坦以一個二階張量來描述質量分布，此二階張量是一個四乘四的對稱矩陣，包含了 10 個分量，速度、動量等等項目都能含括進去，才能完整的描述質量分布。

牛頓古典力學中，質量分布是重力場（位能） 二次微分的結果，所以愛因斯坦希望能找到另一個（也必須是二階） 張量，其二次微分可以得到描述質量分佈的張量，此外又符合某種廣義的勞倫茲轉換。

他找了自己的大學同學格羅斯曼 (Marcel Grossmann) 幫忙，格羅斯曼的研究專長是黎曼幾何。如之前所說，黎曼幾何的一大特點便是度量與座標無關，建立在稱為「度規張量」的基礎上。

因此，如果能從黎曼幾何中找到符合所需的張量，或許就能完成愛因斯坦想要的「不隨座標改變的重力方程式」。

你一定要幫我，不然我要瘋了！——愛因斯坦給格羅斯曼的信

格羅斯曼翻閱圖書館的資料後，發現在黎曼幾何中有一個「里奇曲率張量」(Ricci curvature tensor)，剛好符合愛因斯坦的需求。於是愛因斯坦把它納入方程式，於 1912、1913 年和格羅斯曼共同發表，並試著以這個方程式解決當時困擾科學家許久的「水星近日點進動之謎」。

行星是以橢圓軌道在繞行太陽的，太陽就位於橢圓軌道的其中一個焦點，而軌道上最靠近這個焦點的位置，就是行星的近日點。

不過行星的軌道並非完全穩定的，軌道本身也會慢慢的旋轉，也就是近日點的位置會一點點的改變，每一次行星繞到近日點時，位置都會和上一次有些許不同，稱為「進動」。

相較於多數行星的進動幅度都在每一百年 10 角秒以內，水星的近日點進動的幅度多達每一百年 43 角秒，牛頓所發展出的天體運動學一直無法解釋這個現象。

https://www.youtube.com/watch?v=NXlg3nTqSnk

「當時的重力方程式雖然還沒有完整，但已經可以解決水星近日點進動之謎。」鄭日新繼續說故事：「不過，愛因斯坦當時並沒有成功解釋，可能是……他算錯了。」

總之，愛因斯坦的方程式還未完整，旅程還沒有結束。

重力方程式的最後一塊拼圖

原來，雖然找到了里奇曲率張量，但它可能只是用來描述重力場的方程式的最高項而已。後面應該還要加上其他項，才能讓方程式完整。

1915 年，愛因斯坦受邀到哥廷根科學院演講，邀請他的是一位幾何學專家希爾伯特 (David Hilbert)，在那次見面交流的過程中，希爾伯特得知了愛因斯坦正在推導重力方程式。

接下來，希爾伯特也投入了尋找重力方程式的工作，並在一次信件往返中，向愛因斯坦提出可以利用變分方法及最小作用量原理，來推導出完整的重力方程式。

愛因斯坦於該年 11 月，發表了完整的重力方程式。由於希爾伯特也幾乎是同一時間提出了重力方程式，對於第一個找出重力方程式的人究竟是誰，也引起了許多討論。但可以確定的是，希爾伯特在數學上提供的協助，是重力方程式能成功誕生的一大關鍵。

哥丁根街上任何一個小孩對於四維幾何的了解都要強過愛因斯坦，儘管如此，做出廣義相對論的是愛因斯坦，而非數學家！——希爾伯特

從格羅斯曼到希爾伯特，幾何學一直在愛因斯坦研究重力方程式的過程中，擔任關鍵且不可或缺的角色。身為數學家的鄭日新，對於數學時常在物理研究提供重要協助，有怎樣的看法呢？

您會怎麼形容幾何學在宇宙中所扮演的角色？

幾何學有點像宇宙的「法身」，這是宗教的用語，就是描述這個真正世界背後的道理，用的是數學的語言。我們看得見這個世界，但我們看不見數學語言，幾何學就是這樣隱藏在宇宙的道理之中。

許多數學概念最初只是純理論，後來卻在真實世界找到應用，您怎麼看？

因為如此，所以我們做理論的，有時候不太相信那些從數學公式推導出來的東西真的有物理意義。像重力波一開始被提出時，許多人都保持懷疑的態度，總覺得是從數學公式預測出來的，雖然理論上只要愛因斯坦的重力方程式是對的，應該可以測得到重力波。

但在真實的物理世界是不是真的有意義？真的有這樣的東西存在呢？我們無法確定。

後來天文觀測慢慢發現，宇宙中有許多中子星、黑洞等大質量天體，有些是以雙星的系統彼此繞行，才讓我們漸漸相信可能檢測得到重力波，後來也真的偵測到重力波的存在。

站在數學家的視角，您覺得宇宙是什麼樣子？

現在一般天文學家相信宇宙是膨脹的，無限且沒有邊界，但我喜歡「宇宙是有限但沒有邊界」這樣的說法。就像一個三維的球，也可以膨脹，它沒有邊界，但是有限的。

在數學上如果曲率夠大，是可以推論出宇宙是「有限無邊」的。而我們知道幾何學上的曲率，可以從愛因斯坦的重力方程式解釋成物理上的質量分布。

所以，如果我們能夠觀測到宇宙深處有很多稠密的質量分布，很可能宇宙真的是有限無邊的。

對於近代的科學研究中，數學或幾何學是否也可能扮演愈來愈重要的角色？

幾何學或數學不會只對重力有幫助，尤其是幾何學，它的核心是希望有一個觀念可以應用廣泛，或是統一解釋各種不同的現象。我覺得幾何學對生命科學也可能有幫助，只是生命科學的發展可能還很零散。

不過，就像早期科學家對於各種電、磁的現象也是零散的發現、研究，後來才慢慢統合成馬克士威方程式，或許未來生命科學的研究也會慢慢綜合起來，然後有人看出裡面好像有某個數學觀念，可以做為基礎來建立一個統一的理論。

如果是這樣，很可能那個「好的觀念」在數學裡已經有人建立了，正在靜靜等待下一個愛因斯坦來發現。

本文轉載自中央研究院研之有物，原文為〈幾何學－愛因斯坦重力研究的好幫手〉泛科學為宣傳推廣執行單位

• 作者／李政憲

對應：七年級「三視圖」、九年級「生活中的立體圖形」
需要道具：名片紙（長寬比例約 1.6：1，建議有 4 種顏色）、色紙

增加立體空間感的「三視圖」！

在十二年國教的 108 新課綱上路後，數學課中多了一個「三視圖」的概念，這個三視圖，不只能夠增進同學們的立體空間感，也和時下正夯的 3D 列印等新科技作結合。

什麼是三視圖呢？三視圖指的是將一個立體圖形，從前、後、左、右與上、下六個面，解構它從不同方向所看到的形狀，並以平面的方式呈現。以圖 1 為例，我們可以從六個方向看到不同的形狀，這也就是圖 2 中六個方向的「視圖」。

仔細觀察圖 2，你會發現上下兩個視圖是對稱的，而前、後與左、右視圖是相同的。難道所有的立體圖形的對向視圖不是對稱就是相同的嗎？另外，既然有六個面，為什麼叫做「三視圖」呢？這些疑惑，就讓我們用隨手可得的名片紙，實際做出一個圖 1 中的立體連方塊來觀察解惑吧！

用名片紙摺出立體連方塊！

• 要怎麼用名片紙做出立體連方塊呢？讓我們先從做出一個立體方塊開始吧。

請你拿起兩張符合一般名片紙比例的名片（一般的名片紙長寬比大約是 1.6:1 左右【註一】），將它們以上層直向、下層橫向的方式疊合出一個正方形（如圖 3）。

李老師小聲說：「這個正方形同時也一定會是這個長方形中最大的正方形，為什麼呢？請自己思考看看後再看【註二】的答案。」

接下來，將直向的名片紙水平向右移動一些（如圖 4），使得重疊部分兩側多出來的部分寬度差不多，再將多出來的部分往上摺（如圖 5）。

接著翻面，將另一張名片沿垂直方向移動，同樣將兩側多餘的部分調整至等長，並往上摺製出一組互扣的正方形（如圖 6）。

請用同樣的方法，再製作出共三組的互扣正方形（如圖 7）。

• 接下來我們要將這六張正方形拼組為一個正方體。

首先將六張互扣的名片紙拆開，將其中一張放置桌面，並將另一張名片紙與第一張名片紙方向垂直擺放（如圖 8），再將第三張名片紙與這兩張名片紙互卡（如圖 9），至此請你確認每張名片紙兩側的長方形，是否都卡在另外兩張正方形的外側。

想像我們目前搭組的三張名片紙分屬一個正方體的下方、右方與後方三個面，接下來請將前方、左方與上方分別搭建一張名片紙 ，使得前後、左右與上下分別對稱，即可完成一個正方體（如圖 10）。記得同樣要注意每張名片紙兩側的長方形是否都卡在外側。【註三】

由於我們要完成的是三個方塊的連接，所以接下來請各位再辛苦一點，繼續摺製兩個同樣的方塊如圖 11，摺好後就可以進行方塊的連接囉！

• 要怎麼將兩個方塊連接起來呢？

首先，將兩個方塊以同樣方式擺放（如圖 12），接著將其中一顆旋轉九十度（如圖 13），再將兩個方塊多出來的長方形部份互扣，就完成兩個方塊的連接了（圖 14）。

然後，用同樣的方式，我們可以將第三顆方塊與前兩個方塊的組合連接（如圖 15），於是我們不用膠水與膠帶，就完成了以三個方塊所組成的立體連方塊囉！

李老師小聲說：「如果有需要理解或複習對稱概念的讀者，可參考前一章〈摺紙數學初體驗──從鑲嵌摺紙談對稱的應用〉的內容。」

• 但做好了連方塊之後，你可能會覺得這個作品有點鬆鬆的，容易散開。沒關係，讓我們再為它加工一下！

請準備三種不同顏色的名片紙，先以之前摺製正方體六個面的方式分別摺出六張、四張與四張（如圖 16），再將摺完的名片紙於三連方每個表面的外側和長方形扣接（如圖 17）。

李老師小聲說：「建議先從相連方塊的內側L型部份先作扣接，再逐步扣接外側，比較容易完成且美觀。」

在扣接時，可以讓上下兩面、左右兩側與前後兩側使用同一種顏色的名片紙，就正式完成這個三連方了（如圖 18）。你會發現成品加了外側名片紙後，明顯要比之前穩固許多。

「三視圖」和對稱有什麼關係呢？

完成後的作品，我們不妨想想其與對稱性的關係：除了剛剛我們製作作品時，應用了對稱的原理以外，我們應用了三種顏色的名片紙做為其表面，也恰巧符合三視圖的概念：從上、下看的時候顏色相同，圖形對稱；左、右與前、後看的時候顏色相同外，圖形完全相同──想想看，全等不也是種對稱的概念應用嗎？

由於這六個方向的視圖都是由正方形結構所組成，不是兩兩對稱就是兩兩全等，所以我們只需其中三個方向的視圖就能完整描述我們的作品，而其實多數由正立方體組成的立體圖形透過「正面、側面、上面」三個方向的視圖，就可以表示出它的形狀及尺寸，這也就是叫做「三」視圖的原因。

李老師小聲說：「若正立方體的數量較多或非正立方體所組成的立體圖形， 則前後的輪廓圖雖然相同， 中間的線條則未必會對稱。」

此外，我們內部用到的同色名片紙，所完成的是這個連方塊的體積部份，外部扣接的三色名片紙，所完成的恰是這個連方塊的表面積。

有了這些概念以後，我們還可以接著製作更多的連方塊當作積木來堆疊（如圖19），設計製作出更有趣的立體作品，不妨發揮自己的想像力玩玩看囉！

註解：

• 註一：有興趣進一步研究名片紙長寬比與其延伸概念的朋友不妨可以參考《科學教育月刊》345 期「摺紙中學數學」之〈名片試金石〉，中華民國 100 年 12 月號。
• 註二：重疊的部分是不是這個長方形裡最大的正方形呢？試想一下，如果這個正方形不是這個長方形中最大的正方形，則必存在一個邊長比這張名片紙的寬邊還長的正方形，若我們按著大於寬邊的長度繪製一個正方形如下圖，明顯可以觀察到這個正方形的一邊會超過原來名片紙的大小，所以兩張名片紙重疊的部分確定是這張名片紙裡面最大的正方形。
• 註三：此名片紙摺正立方體的摺法主要參考自網路，請各位讀者搜尋影片關鍵字「origami business card」即可找到相關的影片。

——本文摘自泛科學 2019 年 10 月選書《藝數摺學》，2019 年 9 月，臉譜出版。