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偉大數學家之子,把玩幾何學的瓷器設計師:威廉.德摩根 ——《科學月刊》

科學月刊_96
・2022/02/05 ・4054字 ・閱讀時間約 8 分鐘

  • 作者/林家妤 Sharkie Lin,因為數學成為斜槓青年,進行數學藝術創作、策展、採訪、寫作、創意教學、博物館規劃,希望能為世界帶來一點樂趣。

Take Home Message

  • 德摩根來自一個學識豐富的家族,其父親奧古斯都.德摩根為德摩根定律的發明者。
  • 數學是德摩根創作的核心,他的數學家父親啟發他在設計中創作出崇高的對稱、形狀、圖樣。
  • 德摩根的許多圖案和設計都以對稱組織而成,吸引觀者眼睛看向清晰的中心對稱軸。
  • 從方形鋪磚到圓形瓷盤,德摩根在他所有的平面設計中都考慮到構圖的形狀。每片瓷磚設計也都經過數學考量,因此當瓷磚安裝在牆上時,各種設計元素就能互相匹配,並創造出美麗且結構良好的圖案。

德摩根(William De Morgan)是英國維多利亞時代的瓷器設計師,他多以奇妙的生物和花卉、蔓藤花紋作為創作題材,其作品的想像力非常豐富,並且深受伊斯蘭藝術與中東陶瓷設計的影響。這個特別的姓氏是否讓你覺得很熟悉呢?

英國維多利亞時代的瓷器設計師德摩根,其作品深受伊斯蘭藝術與中東陶瓷設計影響。圖/Public domain, Wikimedia Commons

擁有大數學家父親的瓷器設計師

德摩根來自一個學識豐富的家族,他的父親是奧古斯都‧德摩根(Augustus De Morgan),這位就是鼎鼎大名的德摩根定律(De Morgan’s laws)發明者!奧古斯都‧德摩根是倫敦大學學院(University College London, UCL)第一位教授,同時也是倫敦數學協會(London Mathematical Society)的第一任主席;而他最著名的學生,就是被譽為首位程式設計師的勒芙蕾絲(Ada Lovelace)。

德摩根的母親蘇菲‧弗蘭德(Sophia Elizabeth Frend)則是英國作家與社會運動者,她廣泛撰寫了她熱情支持的社會問題,例如監獄改革、反活體解剖、廢除奴隸制。而德摩根的外公威廉‧弗蘭德(William Frend)則是一位神職人員、社會改革者與數學家;其胞弟喬治後來成為了一名數學家,胞妹瑪麗則是童話故事的作者。

繪畫是德摩根最初的藝術追求,本可以讓他進入更安靜的創作生活,但在德摩根遇見他的終身好友莫里斯(William Morris)之後,他便從學校退學放棄成為藝術家,轉而成為追求技術革新的設計師。

德摩根對技術充滿好奇,常進行化學研究創造新的光澤釉,以及精心研發創新的上釉、燒製及上色技術,製造彩色玻璃和陶瓷讓他著迷,他甚至還設計並製造了自己的窯爐,成立自己的公司為好友莫里斯製作作品。此種強調藝術與手工藝的結合,影響了英國美術工藝運動。

現今倫敦維多利亞與亞伯特博物館(Victoria and Albert Museum, V&A)的文創商品中,依然販售許多莫里斯的花紋圖樣設計。V&A 裡頭也收藏了大約 1200 件德摩根的作品,這兩位威廉為英國留下了許多美妙的幾何設計。

由於德摩根長年專注於光澤器物的研發,未能更新他的圖樣設計以至於過時,加上他對於經營公司沒什麼興趣,公司因而倒閉;而後健康狀況不佳的德摩根便去義大利過冬,並在配偶的鼓勵之下開始寫小說。他不放棄自己的創作之旅,不但減緩了心中的憂鬱,更在 65 歲的時候成為受大眾歡迎的作家。

德摩根的配偶艾芙琳(Evelyn De Morgan)在繪畫上有卓越的成就,內容常使用精神、神話、寓言主題突出女性身體,用以表現精神主義與女性主義。德摩根於 48 歲時與小自己 16 歲的艾芙琳結婚,他們在靈性研究和體驗上有共同興趣,並且相信他們的藝術可以永遠為每個人創造一個更美好、更美麗的世界。

兩人過世之後由艾芙琳的姊妹斯特林(Wilhelmina Stirling)成立了德摩根基金會(De Morgan Foundation),整理德摩根夫婦兩人超過上千件作品,包括陶瓷、油畫、素描等,目前在 3 個地方有長期合作展出,相關地點列於文末。

「崇高的對稱」展覽

介紹完本文主角德摩根與其家族、朋友之後,來看看德摩根基金會為數學與文化策劃的展覽「崇高的對稱:德摩根瓷器設計背後的數學」(Sublime Symmetry: The Mathematics behind De Morgan’s Ceramic Designs)吧!

這檔展覽最初於 2018 年 5 月~10 月於倫敦市政府的市政廳藝廊(Guildhall Art Gallery)展出,筆者正好在 2018 年夏天至倫敦旅行,並且有幸在隔年訪問瓦茨美術館-藝術家村(Watts Gallery – Artists’ Village),與本檔展覽的策展人哈迪(Sarah Hardy)對談。

策展人哈迪表示,相較於過往以藝術與心靈的角度詮釋德摩根夫婦的作品,這回的策展緣由是來自一位挫折的數學教師朋友。這位友人抱怨教授歷史的同事可以帶著孩子去城堡與豪宅校外旅行,但是自己教的數學卻只能被限制在教室中,希望能夠點燃學童對於數學的熱情。

因此策展人便策劃了一檔與「數學」有關的藝術展覽,又因為德摩根家族與倫敦數學協會有深厚的歷史淵源,讓這一切變得相對容易,也使得過往以詮釋藝術作品為主的策展人,能夠透過嚴謹的數學檢驗與嶄新的幾何視角,向大眾介紹德摩根的作品。

哈迪提到有次在展場一個孩子看了德摩根的瓷器,說道:「圖案中間有一條線耶,兩邊長得一樣。」提醒了她德摩根作品的幾何設計強烈可見。而這檔展覽的內容正好適合英國學生學習歷程的第二階段(key stage 2, KS-2)階段,也就是 7~11 歲的孩子學習。同時策展單位也在官網提供教育素材包,供教師引導學生學習幾何形狀與規則。

數學是他創作的核心,數學家父親啟發德摩根在設計中創作出崇高的對稱(symmetry)、形狀(shape)、圖樣(pattern)。接著,我們就以這 3 大面向介紹德摩根的幾何設計。

  • Symmetry 對稱

「對稱是變化中的不變。」(Symmetry is “Change without Change”)

-韋爾切克(Frank Wilczek),2004 年諾貝爾物理學獎得主

在藝術中,「對稱」普遍被認為是美的代名詞。這種數學工具可以透過反射、旋轉、縮放來變換設計,但不改變其他屬性,因此對稱可以說是變化中的不變。關於對稱的各種基本變換,可見筆者發表於《科學月刊》第 623 期〈發現臺灣日常文化中的幾何元素─花磚幾何學〉的文章。

德摩根的許多圖案和設計都是以對稱組織而成,吸引觀者眼睛看向清晰的中心對稱軸。這條線,賦予了精心設計的圖樣能呈現出各種不同表現型式,像是花卉圖案和起伏的樹葉捲曲,因其對稱排列而顯得富含結構與秩序。

德摩根的許多圖案和設計都是以對稱組織而成,吸引觀者眼睛看向清晰的中心對稱軸。圖/Jean-Pierre Dalbéra, CC BY 2.0, Flickr
  • Shape 形狀

德摩根曾經說過,古希臘數學家歐幾里得(Euclid)的著作是最引人入勝的文學作品,顯示了他對於形狀的性質與結構深感興趣。

從方形鋪磚到圓形瓷盤,德摩根在他所有的平面設計中都考慮到構圖的形狀。每片瓷磚設計也都經過數學考量,因此當瓷磚安裝在牆上時,各種設計元素就能互相匹配,並創造出美麗且結構良好的圖案。

在德摩根精心設計的瓷盤邊界和圖案邊緣,也可以看到連續的圓形圖樣。他從伊斯蘭幾何設計中借用了這種裝飾技巧,這種圓形圖案代表了「阿拉的無限本質」,因為它們沒有開始也沒有結束,可以被無止境地追隨。德摩根控制了這些圓圈的特性,以確保他的邊界設計符合比例。

德摩根的瓷器作品。圖/作者提供

此外,圓形對稱也為德摩根的平面設計增添趣味和活力。圍繞瓷盤邊緣旋轉的圖樣,使得觀者的視線能圍繞著設計呈現美妙的圓形運動,讓他的奇幻動植物看起來更加栩栩如生。

  • Pattern 圖樣

這些複雜幾何圖樣的設計,往往需要具備嚴謹的幾何學知識,才能想像將單一瓷磚的圖樣設計重複覆蓋整面牆的結果。當設計圖樣完整呈現時,便可以充分欣賞德摩根設計的精華,就像是他在倫敦萊頓屋博物館阿拉伯廳(Arab Hall, Leighton House Museum)裡輝煌的瓷磚設計。

要如何思考這麼大尺度的瓷磚設計呢?德摩根首先會先在紙上繪製他的大型瓷磚設計方案,並使用比例和複雜的測量方法以確保這些設計能成功,然後再將它們應用到物理瓷磚表面。

由於他的繪圖技能與天生對於數學的理解能力,使得他的花器作品能巧妙在設計中運用數學。德摩根利用他對視覺和空間的感知,藉由控制二維圖面,即使圖樣轉換到擁有複雜形狀表面的花瓶與花盆上,還有塗在陶瓷表面上時,也都能完美符合三維物體的每條曲線。因此他可以創造出美麗的設計,並且與花瓶或盤子本身相互呼應。

這檔展覽除了介紹德摩根的幾何設計外,展場中還有一些別出心裁的互動小遊戲,例如將德摩根的設計圖樣製作成puzzle 15 數字推盤遊戲。首先將原本的圖樣分割成 4×4 的 16 個方塊,而後取走角落的方塊,並滑動剩餘的 15 個方塊打亂圖案。看看你能不能拼回來原本的圖案?

取自德摩根設計圖樣的 puzzle 15 數字推盤遊戲。圖/作者提供

此外,本次辦理展覽的倫敦數學協會也提供了一些有趣的展品,像是早期收藏的木製數學模型,以及各式立體的潘洛斯平鋪(Penrose tiling)等多元的立體幾何模型,讓觀眾對於數學視覺化更有感覺。

德摩根無疑是英國融合數學與設計的始祖之一,正在閱讀這篇文章的你,若是下回有機會拜訪英國,不妨也循著德摩根的蹤跡,來趟具有深度的數學文化走讀之旅。

看完文章,你是否也想來趟英國幾何文化之旅呢?

以後若有機會,不妨照著下方的地圖走一趟英國,感受一下數學與藝術融合的氛圍吧!

想了解更多德摩根的作品,也可以參考《崇高的對稱》展覽手冊,


或到德摩根基金會官網看看哦!

延伸閱讀

  • 〈本文選自《科學月刊》2022 年 2 月號〉
  • 科學月刊/在一個資訊不值錢的時代中,試圖緊握那知識餘溫外,也不忘科學事實和自由價值至上的科普雜誌。
文章難易度
科學月刊_96
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非營利性質的《科學月刊》創刊於1970年,自創刊以來始終致力於科學普及工作;我們相信,提供一份正確而完整的科學知識,就是回饋給讀者最好的品質保證。

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在完成環球航行之前,人類是如何計算出地球周長的?——《數學就是這樣用:找出生活問題的最佳解》
天下文化_96
・2022/12/03 ・1906字 ・閱讀時間約 3 分鐘

十六世紀初的環球航行

既然史上第一次環球航行到十六世紀初才完成,埃拉托斯特尼在公元前 240 年又是用什麼方法,這麼準確估算出地球周長呢?他顯然不可能用捲尺繞地球一圈。他的替代做法是先測量地球表面上的一小段距離,再利用一些巧妙的數學運算,省去必須測量整段長度的麻煩。

埃拉托斯特尼在公元前 240 年又是用什麼方法,這麼準確估算出地球周長呢?圖/pexels

埃拉托斯特尼掌管古代最好的亞歷山卓圖書館,在幾個科學領域都有極有趣的貢獻,包括數學、天文學、地理學、音樂等等。不過,儘管他有新穎的工作成果,同時代的人卻瞧不起他的能力,還給他「第二名」(Beta)這個綽號,暗示他不是第一流的思想家。

質數表的誕生

他提出的聰明想法之一是,用有系統的方式產生一系列質數。為了找出從 1 到 100 之間的所有質數,埃拉托斯特尼提出以下的程序。從 2 這個數開始,刪掉隨後所有 2 的倍數,只要在數字表中刪除每走 2 步遇到的整數就行了。接著走到 2 以後還沒刪掉的下一個整數,顯然是 3,現在要有系統的刪除每走 3 步遇到的所有數字,就刪掉了 3 的所有倍數。這個方法在此刻開始顯出自己的本領。整數表中還沒有刪掉的下一個數是 5,重複我們在前面兩個數所用的方法,把每走 5 步遇到的數字全部淘汰掉。

這個程序的要訣是:移到下一個還保留著的數字,然後往後面刪掉這個新數字的所有倍數。如果你做得很有系統,把 7 的倍數都淘汰之後,就會產生一個小於 100 的質數表。

埃拉托斯特尼篩法是個找出在一特定整數以下的所有質數之簡單演算法。圖/wikipedia

這個程序極為聰明,省去了必須考慮很多的麻煩,非常適合電腦執行,但若要大量產生質數,它的問題是很快就會變得效率低落。它是思考的捷徑,可以讓你像機器般產生質數表,但這不是我想在本書裡頌揚的那種捷徑。我想要的是發掘質數的聰明策略。

利用太陽的位置計算地球周長

不過,我要給埃拉托斯特尼的地球周長計算工作打高分,因為太巧妙了。他聽說斯溫尼特(Swenet)城裡有一口井,太陽每年會有一天在它的天頂。太陽在夏至正午直射井底,不會在井邊投下任何影子。斯溫尼特就是今天的亞斯文(Aswan),離北回歸線不遠,北回歸線位於北緯 23.4 度,是我們發現太陽能夠從頭頂直射的最遠位置。

太陽在夏至正午直射井底,不會在井邊投下任何影子。圖/pexels

埃拉托斯特尼知道可以利用這個和太陽位置有關的資訊,在夏至這天進行實驗,讓他算出地球的周長。雖然這樣他就不必用捲尺繞地球一圈,但這項實驗還是需要走走路。他相信亞歷山卓位於斯溫尼特的正北方,於是在夏至那天,他在亞歷山卓豎起一根竿子。兩地的經度實際上差了 2 度,雖然沒有百分之百準確,不過我要為他的實驗精神鼓掌。

那天,太陽直射斯溫尼特,沒在那口井投下影子,但卻讓亞歷山卓的竿子產生一道影子。埃拉托斯特尼測量了影子長度和竿子長度,就能畫出一個具同樣比例的三角形,然後量出角度,這會告訴他亞歷山卓在地球周長上與斯溫尼特距離多遠。他量出的角度是 7.2 度,也就是一整個圓的 1/50,現在他只須知道亞歷山卓到斯溫尼特的實際距離。

他沒有親自走到斯溫尼特,而是雇了一位專門丈量距離的人員,稱為測距員(bematist),他們會在兩座城鎮之間走直線,當中只要有任何偏差都會把估算搞砸。丈量結果會用更大的計量單位來記錄:斯塔德。結果,亞歷山卓在斯溫尼特以北 5,000 斯塔德,倘若這是繞地球一整圈的 1/50,那麼地球的周長就會等於 250,000 斯塔德。

今天我們並不確定,埃拉托斯特尼所雇的測量員到底是用多少步來計量他的斯塔德,但就如我在前面解釋過的,這個丈量結果好極了。用一點幾何學,他就省去了雇人走地球一圈的需求。

用一點幾何學,他就省去了雇人走地球一圈的需求。圖/pexels

幾何學的英文字 geometry 正源自這個實驗,因為拆解之後,它是意指「丈量地球」的希臘文:geo=地球,metry=丈量。

——本文摘自《數學就是這樣用:找出生活問題的最佳解》,2022 年 11 月,天下文化出版,未經同意請勿轉載。

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天下文化成立於1982年。一直堅持「傳播進步觀念,豐富閱讀世界」,已出版超過2,500種書籍,涵括財經企管、心理勵志、社會人文、科學文化、文學人生、健康生活、親子教養等領域。每一本書都帶給讀者知識、啟發、創意、以及實用的多重收穫,也持續引領台灣社會與國際重要管理潮流同步接軌。

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愛因斯坦建構重力方程式,背後的「藏鏡人」是幾何學家?
研之有物│中央研究院_96
・2019/10/26 ・4280字 ・閱讀時間約 8 分鐘 ・SR值 531 ・七年級

本文轉載自中央研究院研之有物,泛科學為宣傳推廣執行單位

  • 採訪編輯/郭雅欣,美術編輯/林洵安

愛因斯坦的廣義相對論中,以重力方程式來描述時空中的物質如何影響整個時空的幾何,顛覆了牛頓的古典時空概念,並成為廣義相對論的核心。科學家用重力方程式預測了黑洞存在、宇宙膨脹、重力波等等現象,後來一一獲得驗證。

不過,在愛因斯坦建構重力方程式的過程,幾何學家在背後擔任著「藏鏡人」的角色……中研院數學所研究員鄭日新,在 2019 年院區開放日的科普演講「幾何學–重力研究的好幫手」,跟民眾暢談愛因斯坦與幾何學家的故事。

先別管相對論了,你真的懂幾何學嗎?

大家都聽過「一個成功的男人,背後一定有個偉大的女人。」但你應該沒想過,一個成功的物理學家,背後可能有著好幾個偉大的幾何學家──愛因斯坦在重力方程式上的成功,就是一個經典的例子。2

愛因斯坦「驚人」的重力方程式,是建立在度規張量、最小變分方法等等幾何學成就之上。 圖說設計/黃曉君、林洵安 圖片來源/維基百科

「幾何學,不就是數學課上教過的那些三角函數、充滿各種性質的各種圖形?怎麼會跟相對論扯上關係呢?」

我們一般認知的幾何屬於「歐氏幾何」,是以西元前 330~275 年古希臘數學家歐幾里德所撰寫的《幾何原本》做為基礎,歐氏幾何的一切性質都是建立在平面上的。但近代許多數學家紛紛找出不同的幾何,例如:建立在球面上的正曲面幾何、馬鞍形狀曲面上的負曲面幾何等等。其中一個突破性的概念,就是黎曼於 19 世紀中葉提出的「黎曼幾何」。

黎曼幾何中,所有度量的幾何量和選取的座標無關,例如兩點間的「長度」,是存在於黎曼幾何的內在性質,而不是我們一般認為的從外觀去判斷、測量而得。

黎曼幾何這個「和座標無關」的特性,後來成為愛因斯坦重力方程式誕生的重大關鍵。

伯恩哈德·黎曼 (Bernhard Riemann,1826~1866) 年德國數學家,黎曼幾何學創始人。黎曼幾何中,所有度量的幾何量和選取的座標無關,成為愛因斯坦發展廣義相對論最重要的數學工具之一。 圖片來源/維基百科

不受座標影響的重力

愛因斯坦在 1905 年完成狹義相對論後,便一直想解決重力的問題。在牛頓所發展的古典力學中,空間中的質量分布會產生重力場,也就是一旦知道了空間中每一點的質量分布,就能找出每一點的重力位能。

然而,如果將愛因斯坦的狹義相對論加入考量,立刻產生問題。狹義相對論為了解決光速恆定,推導出質量會隨著速度而改變,這意味著,當兩個人所在的慣性座標不同——例如一人靜止於地面,另一人在等速前進的火車上,兩人看待的物體質量也會不同。

那麼,宇宙中的質量分布及重力場,不就會受到座標的不同影響了嗎?

由於在愛因斯坦發展重力理論之前,著名的數學物理學家馬克士威 (James Clerk Maxwell) 已經在 19 世紀中葉提出完整的電磁學理論──馬克士威方程式組。這組方程式不論在任何慣性座標下,數學形式都不會改變,稱為符合「勞倫茲轉換」(Lorentz transformation)。

因此愛因斯坦深信,重力理論一定也有符合某種廣義的勞倫茲轉換的方程式,不會因為座標改變而不同。於是,愛因斯坦踏上了尋找重力方程式的路程。

重力場和因電磁感應而產生的電場類似,其存在只有相對的意義。因為對於一名從屋頂自由落下的觀測者而言,至少在他的附近,重力場並不存在。——愛因斯坦

黎曼幾何裡的寶藏

愛因斯坦以一個二階張量來描述質量分布,此二階張量是一個四乘四的對稱矩陣,包含了 10 個分量,速度、動量等等項目都能含括進去,才能完整的描述質量分布。

牛頓古典力學中,質量分布是重力場(位能) 二次微分的結果,所以愛因斯坦希望能找到另一個(也必須是二階) 張量,其二次微分可以得到描述質量分佈的張量,此外又符合某種廣義的勞倫茲轉換。

他找了自己的大學同學格羅斯曼 (Marcel Grossmann) 幫忙,格羅斯曼的研究專長是黎曼幾何。如之前所說,黎曼幾何的一大特點便是度量與座標無關,建立在稱為「度規張量」的基礎上。

因此,如果能從黎曼幾何中找到符合所需的張量,或許就能完成愛因斯坦想要的「不隨座標改變的重力方程式」。

你一定要幫我,不然我要瘋了!——愛因斯坦給格羅斯曼的信

馬塞爾·格羅斯曼 (Marcell Grossmann,1878~1936 年),猶太數學家,愛因斯坦的大學同窗和好友,專長是黎曼幾何,建議愛因斯坦將黎曼幾何中的里奇曲率張量納入重力方程式。 圖片來源/維基百科

格羅斯曼翻閱圖書館的資料後,發現在黎曼幾何中有一個「里奇曲率張量」(Ricci curvature tensor),剛好符合愛因斯坦的需求。於是愛因斯坦把它納入方程式,於 1912、1913 年和格羅斯曼共同發表,並試著以這個方程式解決當時困擾科學家許久的「水星近日點進動之謎」。

行星是以橢圓軌道在繞行太陽的,太陽就位於橢圓軌道的其中一個焦點,而軌道上最靠近這個焦點的位置,就是行星的近日點。

不過行星的軌道並非完全穩定的,軌道本身也會慢慢的旋轉,也就是近日點的位置會一點點的改變,每一次行星繞到近日點時,位置都會和上一次有些許不同,稱為「進動」。

相較於多數行星的進動幅度都在每一百年 10 角秒以內,水星的近日點進動的幅度多達每一百年 43 角秒,牛頓所發展出的天體運動學一直無法解釋這個現象。

「當時的重力方程式雖然還沒有完整,但已經可以解決水星近日點進動之謎。」鄭日新繼續說故事:「不過,愛因斯坦當時並沒有成功解釋,可能是……他算錯了。」

總之,愛因斯坦的方程式還未完整,旅程還沒有結束。

重力方程式的最後一塊拼圖

原來,雖然找到了里奇曲率張量,但它可能只是用來描述重力場的方程式的最高項而已。後面應該還要加上其他項,才能讓方程式完整。

1915 年,愛因斯坦受邀到哥廷根科學院演講,邀請他的是一位幾何學專家希爾伯特 (David Hilbert),在那次見面交流的過程中,希爾伯特得知了愛因斯坦正在推導重力方程式。

接下來,希爾伯特也投入了尋找重力方程式的工作,並在一次信件往返中,向愛因斯坦提出可以利用變分方法最小作用量原理,來推導出完整的重力方程式。

大衛·希爾伯特 (David Hilbert,1862~1943年),德國數學家,19 世紀和 20 世紀初最具影響力的數學家之一,建議愛因斯坦以變分方法和最小作用量原理,推導完整的重力方程式。 圖片來源/維基百科

愛因斯坦於該年 11 月,發表了完整的重力方程式。由於希爾伯特也幾乎是同一時間提出了重力方程式,對於第一個找出重力方程式的人究竟是誰,也引起了許多討論。但可以確定的是,希爾伯特在數學上提供的協助,是重力方程式能成功誕生的一大關鍵。

哥丁根街上任何一個小孩對於四維幾何的了解都要強過愛因斯坦,儘管如此,做出廣義相對論的是愛因斯坦,而非數學家!——希爾伯特

從格羅斯曼到希爾伯特,幾何學一直在愛因斯坦研究重力方程式的過程中,擔任關鍵且不可或缺的角色。身為數學家的鄭日新,對於數學時常在物理研究提供重要協助,有怎樣的看法呢?

鄭日新,中研院數學所研究員,在 2019 年院區開放日的科普演講「幾何學–重力研究的好幫手」之中,與民眾暢談愛因斯坦重力方程式背後幾何學家的重大貢獻! 攝影/林洵安

您會怎麼形容幾何學在宇宙中所扮演的角色?

幾何學有點像宇宙的「法身」,這是宗教的用語,就是描述這個真正世界背後的道理,用的是數學的語言。我們看得見這個世界,但我們看不見數學語言,幾何學就是這樣隱藏在宇宙的道理之中。

許多數學概念最初只是純理論,後來卻在真實世界找到應用,您怎麼看?

因為如此,所以我們做理論的,有時候不太相信那些從數學公式推導出來的東西真的有物理意義。像重力波一開始被提出時,許多人都保持懷疑的態度,總覺得是從數學公式預測出來的,雖然理論上只要愛因斯坦的重力方程式是對的,應該可以測得到重力波。

但在真實的物理世界是不是真的有意義?真的有這樣的東西存在呢?我們無法確定。

後來天文觀測慢慢發現,宇宙中有許多中子星、黑洞等大質量天體,有些是以雙星的系統彼此繞行,才讓我們漸漸相信可能檢測得到重力波,後來也真的偵測到重力波的存在。

站在數學家的視角,您覺得宇宙是什麼樣子?

現在一般天文學家相信宇宙是膨脹的,無限且沒有邊界,但我喜歡「宇宙是有限但沒有邊界」這樣的說法。就像一個三維的球,也可以膨脹,它沒有邊界,但是有限的。

在數學上如果曲率夠大,是可以推論出宇宙是「有限無邊」的。而我們知道幾何學上的曲率,可以從愛因斯坦的重力方程式解釋成物理上的質量分布。

所以,如果我們能夠觀測到宇宙深處有很多稠密的質量分布,很可能宇宙真的是有限無邊的。

對於近代的科學研究中,數學或幾何學是否也可能扮演愈來愈重要的角色?

幾何學或數學不會只對重力有幫助,尤其是幾何學,它的核心是希望有一個觀念可以應用廣泛,或是統一解釋各種不同的現象。我覺得幾何學對生命科學也可能有幫助,只是生命科學的發展可能還很零散。

不過,就像早期科學家對於各種電、磁的現象也是零散的發現、研究,後來才慢慢統合成馬克士威方程式,或許未來生命科學的研究也會慢慢綜合起來,然後有人看出裡面好像有某個數學觀念,可以做為基礎來建立一個統一的理論。

如果是這樣,很可能那個「好的觀念」在數學裡已經有人建立了,正在靜靜等待下一個愛因斯坦來發現。

本文轉載自中央研究院研之有物,原文為〈幾何學-愛因斯坦重力研究的好幫手〉泛科學為宣傳推廣執行單位

研之有物│中央研究院_96
290 篇文章 ・ 3079 位粉絲
研之有物,取諧音自「言之有物」,出處為《周易·家人》:「君子以言有物而行有恆」。探索具體研究案例、直擊研究員生活,成為串聯您與中研院的橋梁,通往博大精深的知識世界。 網頁:研之有物 臉書:研之有物@Facebook

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我把我對摺,輕輕把你也對摺~用名片紙摺出立方體! 還能談談三視圖與對稱──《藝數摺學》
臉譜出版_96
・2019/10/22 ・2975字 ・閱讀時間約 6 分鐘 ・SR值 470 ・五年級

  • 作者/李政憲

對應:七年級「三視圖」、九年級「生活中的立體圖形」
需要道具:名片紙(長寬比例約 1.6:1,建議有 4 種顏色)、色紙

增加立體空間感的「三視圖」!

在十二年國教的 108 新課綱上路後,數學課中多了一個「三視圖」的概念,這個三視圖,不只能夠增進同學們的立體空間感,也和時下正夯的 3D 列印等新科技作結合。

什麼是三視圖呢?三視圖指的是將一個立體圖形,從前、後、左、右與上、下六個面,解構它從不同方向所看到的形狀,並以平面的方式呈現。以圖 1 為例,我們可以從六個方向看到不同的形狀,這也就是圖 2 中六個方向的「視圖」。

圖/臉譜出版提供

仔細觀察圖 2,你會發現上下兩個視圖是對稱的,而前、後與左、右視圖是相同的。難道所有的立體圖形的對向視圖不是對稱就是相同的嗎?另外,既然有六個面,為什麼叫做「三視圖」呢?這些疑惑,就讓我們用隨手可得的名片紙,實際做出一個圖 1 中的立體連方塊來觀察解惑吧!

用名片紙摺出立體連方塊!

  • 要怎麼用名片紙做出立體連方塊呢?讓我們先從做出一個立體方塊開始吧。

請你拿起兩張符合一般名片紙比例的名片(一般的名片紙長寬比大約是 1.6:1 左右【註一】),將它們以上層直向、下層橫向的方式疊合出一個正方形(如圖 3)。

圖 3

李老師小聲說:「這個正方形同時也一定會是這個長方形中最大的正方形,為什麼呢?請自己思考看看後再看【註二】的答案。」

接下來,將直向的名片紙水平向右移動一些(如圖 4),使得重疊部分兩側多出來的部分寬度差不多,再將多出來的部分往上摺(如圖 5)。

圖 4

圖 5

接著翻面,將另一張名片沿垂直方向移動,同樣將兩側多餘的部分調整至等長,並往上摺製出一組互扣的正方形(如圖 6)。

圖 6

請用同樣的方法,再製作出共三組的互扣正方形(如圖 7)。

圖 7

  • 接下來我們要將這六張正方形拼組為一個正方體。

首先將六張互扣的名片紙拆開,將其中一張放置桌面,並將另一張名片紙與第一張名片紙方向垂直擺放(如圖 8),再將第三張名片紙與這兩張名片紙互卡(如圖 9),至此請你確認每張名片紙兩側的長方形,是否都卡在另外兩張正方形的外側。

圖 8

圖 9

想像我們目前搭組的三張名片紙分屬一個正方體的下方、右方與後方三個面,接下來請將前方、左方與上方分別搭建一張名片紙 ,使得前後、左右與上下分別對稱,即可完成一個正方體(如圖 10)。記得同樣要注意每張名片紙兩側的長方形是否都卡在外側。【註三】

圖 10

由於我們要完成的是三個方塊的連接,所以接下來請各位再辛苦一點,繼續摺製兩個同樣的方塊如圖 11,摺好後就可以進行方塊的連接囉!

圖 11

  • 要怎麼將兩個方塊連接起來呢?

首先,將兩個方塊以同樣方式擺放(如圖 12),接著將其中一顆旋轉九十度(如圖 13),再將兩個方塊多出來的長方形部份互扣,就完成兩個方塊的連接了(圖 14)。

圖 12

圖 13

圖 14

然後,用同樣的方式,我們可以將第三顆方塊與前兩個方塊的組合連接(如圖 15),於是我們不用膠水與膠帶,就完成了以三個方塊所組成的立體連方塊囉!

李老師小聲說:「如果有需要理解或複習對稱概念的讀者,可參考前一章〈摺紙數學初體驗──從鑲嵌摺紙談對稱的應用〉的內容。」

圖 15

  • 但做好了連方塊之後,你可能會覺得這個作品有點鬆鬆的,容易散開。沒關係,讓我們再為它加工一下!

請準備三種不同顏色的名片紙,先以之前摺製正方體六個面的方式分別摺出六張、四張與四張(如圖 16),再將摺完的名片紙於三連方每個表面的外側和長方形扣接(如圖 17)。

李老師小聲說:「建議先從相連方塊的內側L型部份先作扣接,再逐步扣接外側,比較容易完成且美觀。」

圖 16

圖 17

在扣接時,可以讓上下兩面、左右兩側與前後兩側使用同一種顏色的名片紙,就正式完成這個三連方了(如圖 18)。你會發現成品加了外側名片紙後,明顯要比之前穩固許多。

圖 18

「三視圖」和對稱有什麼關係呢?

完成後的作品,我們不妨想想其與對稱性的關係:除了剛剛我們製作作品時,應用了對稱的原理以外,我們應用了三種顏色的名片紙做為其表面,也恰巧符合三視圖的概念:從上、下看的時候顏色相同,圖形對稱;左、右與前、後看的時候顏色相同外,圖形完全相同──想想看,全等不也是種對稱的概念應用嗎?

圖 19

由於這六個方向的視圖都是由正方形結構所組成,不是兩兩對稱就是兩兩全等,所以我們只需其中三個方向的視圖就能完整描述我們的作品,而其實多數由正立方體組成的立體圖形透過「正面、側面、上面」三個方向的視圖,就可以表示出它的形狀及尺寸,這也就是叫做「三」視圖的原因。

李老師小聲說:「若正立方體的數量較多或非正立方體所組成的立體圖形, 則前後的輪廓圖雖然相同, 中間的線條則未必會對稱。」

此外,我們內部用到的同色名片紙,所完成的是這個連方塊的體積部份,外部扣接的三色名片紙,所完成的恰是這個連方塊的表面積。

有了這些概念以後,我們還可以接著製作更多的連方塊當作積木來堆疊(如圖19),設計製作出更有趣的立體作品,不妨發揮自己的想像力玩玩看囉!

註解:

  • 註一:有興趣進一步研究名片紙長寬比與其延伸概念的朋友不妨可以參考《科學教育月刊》345 期「摺紙中學數學」之〈名片試金石〉,中華民國 100 年 12 月號。
  • 註二:重疊的部分是不是這個長方形裡最大的正方形呢?試想一下,如果這個正方形不是這個長方形中最大的正方形,則必存在一個邊長比這張名片紙的寬邊還長的正方形,若我們按著大於寬邊的長度繪製一個正方形如下圖,明顯可以觀察到這個正方形的一邊會超過原來名片紙的大小,所以兩張名片紙重疊的部分確定是這張名片紙裡面最大的正方形。
  • 註三:此名片紙摺正立方體的摺法主要參考自網路,請各位讀者搜尋影片關鍵字「origami business card」即可找到相關的影片。

——本文摘自泛科學 2019 年 10 月選書《藝數摺學》,2019 年 9 月,臉譜出版

 

 

 

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