我把我對摺，輕輕把你也對摺～用名片紙摺出立方體！ 還能談談三視圖與對稱──《藝數摺學》

劉邦（漢高祖）打敗項羽，取得天下，建立漢朝。一天舉行盛大宴會，他問群臣：「我為什麼會勝？項羽為什麼會敗？」群臣都說劉邦善於用人，項羽恰恰相反。劉邦點頭稱是，司馬遷在《史記‧高祖本紀》記下劉邦說的一段話

夫運籌帷幄之中，決勝於千里之外，吾不如子房。

帷幄，指營帳。子房，是張良的字。籌，指算籌，是古時的運算工具。這段話的意思是說，張良在營帳中運用算籌計算，就能決勝千里之外，這方面我（劉邦）不如張良。因此，這個成語的原意是在營帳中策劃謀略，後來泛指謀劃或指揮。讓我們造兩個句吧。

要不是孔明運籌帷幄，劉備哪有三分天下的機會！

在里長的運籌帷幄下，為社區更新取得有利的條件。

不用筆，那用什麼？

成語的出典說了，句子也造了，接下去就要談談這個成語的科學意義。我們現在演算數學，都是用筆在紙上運算，也就是筆算。古人呢？古人從來不用筆算，而是使用工具運算。元代以前使用算籌，元代以後使用算盤。

算盤一直使用到 1980 年代，小朋友家裡可能還有。至於算籌，只有少數博物館裡才能看到。

其實算籌只是一根根小竹棍，外形和筷子差不多。小朋友千萬不要看輕這些小竹棍，中國古代的數學曾經輝煌一時，就是用這些小竹棍運算出來的。

驚人的運算能力 曾經輝煌一時的數學成就

算盤被木框框住，計算能力受到限制。凡是算盤能算的，算籌一定能算。反過來，算籌所能算的，算盤就不見得勝任。算盤主要是生意人用的，算籌可作各種運算，數學家喜歡用它。中國的數學宋代發展到顛峰，元代以後不進反退，到了明代已沒人懂得宋代的數學了。

算籌平時放在算袋裡，繫在腰上，運算時取出，在席子上或桌子上擺弄。除了加減乘除，還能開平方、開立方，甚至解高次方程等高中才學得到的數學！關於算袋，有個小故事，傳說秦皇島東巡時，把算袋扔到海裡，變成了烏賊，所以烏賊又稱算袋魚。

數學家用算籌運算時，有時擺弄得極快，不要說外行人，連內行人的眼睛幾乎都跟不上，所以古人用「運籌如飛」來形容。因此，用算籌運算，運算過程不會留下記錄，一陣擺弄之後，最後得出答案。這對一般才質的人來說，學起來的確有點困難。

「那無疑是我從沒嚐過的味道」，論文的第一兼通訊作者 Jonathan David Blutinger 回想起初期的失敗，委婉地承認：「其實不難吃，只是與眾不同。我們畢竟不是米其林大廚。」^[1]所幸皇天不負苦心人，在多次修正後，美國哥倫比亞大學的團隊，終於做出原料一樣，但是不再坍塌的蛋糕，並於 2023 年 3 月的《npj 食品科學》（npj Science of Food）期刊上分享食譜。^[2]

3D 列印蛋糕的食譜

研究團隊的終極目標，是希望將來任何人均能用簡單的軟體烹飪，3D 列印再雷射加熱，創造經濟、健康且美味的餐點。他們選擇的食材相當普遍，全部都從美國紐約的 Appletree Market 超商購買。^[2]

材料

Skippy 花生醬、J.M. Smucker 草莓果醬、Nutella 榛果巧克力醬、Betty Crocker 糖霜、Krasdale櫻桃淋醬、拿叉子搗爛的香蕉泥；以及用食物調理機攪 2 分鐘製成的全麥餅乾糊（8 塊全麥餅乾、2 湯匙的牛油和 4 茶匙的水）。^[2]

步驟

（1）冷藏材料，使其變得濃稠，以穩定結構。^[2]

（2）把各種材料灌入分別的 7 支針筒（30ml；14 gauge）。^[2]

（3）將針筒裝進特製的 3D 食物印表機。^[2]

（4）把壓克力餐盤擺在 3D 印表機下，盛接針筒擠出的條狀物。其直徑約 1.5 毫米，會逐漸累積出蛋糕的半成品。^[2]

（5）論文有寫到運用藍光和紅外線，為蛋糕加熱。不過，實驗方法的段落，僅提及 3D 印表機附設的藍光雷射二極體（blue laser diode），也就是下圖中黑色的長方體。^[2]

從上面的影片，可見早期幾個版本的蛋糕，非常容易崩垮。^[2]研究團隊於是依據物質受力變形時，展現的黏性和彈性特質，即黏彈性（viscoelasticity），將食材分為「結構」與「填料」兩類，並在軟體中改變設計：^{[2, 3]}用結構性強的全麥餅乾糊，作為蛋糕各層的形狀基礎，又以花生醬和榛果巧克力醬輔助支撐，再填入其他相對柔軟的原料。最後，他們調整 3D 印表機的針筒高度，並減緩列印的速度。如此擠出來的流體，尾端便不會蜷曲。能避免繩捲效應（coiling effect或rope-coil effect），破壞蛋糕表面的平整。要不然有時會出現本文開頭的圖組中，最末一塊蛋糕那種毛躁的外貌。^[2]

3D 列印食品的推廣

目前 3D 列印食物尚未普及，此蛋糕的成形有如曇花一現。這一方面是基於科技新穎，懂得操作的人還少；另方面則因為這種印表機索價不菲，不是誰都玩得起。如果要商業化，研究團隊認為得採取 Gillette 刮鬍刀和 Nespresso 咖啡機的經營模式：壓低主要產品本身的價格，後續再從耗材獲利。換句話說，廠商賣出廉價的 3D 食物印表機，之後消費者就會以零買或長期訂購的模式，購買列印用的食譜和食物匣。食物匣的內容物，發展空間多元。除了碎肉和花生醬等泥狀物；也能推出醬油、橄欖油等液體；食鹽與胡椒之類的顆粒；還有百里香或香芹這類碎片等，任何可食用的東西。^[2]

此外，在薄利多銷和產品開發的同時，也要提升大眾的接受度。偏好天然食材，或是不信任食品產業，都是對 3D 食物列印存有疑慮的原因。研究團隊提出的解方，是宣傳它的好處，例如：精準調配營養，不浪費材料；降低能源耗損；以及客製化的食譜等。^[2]當然，似乎也就避而不談犧牲纖維質，以求列印順暢等問題。^[1]總之，他們描繪出科技烹飪的美好願景，並且排除萬難，要讓飲食邁向全新時代。倘若有天上述的市場成熟，產品賣相比論文中的蛋糕誘人，您會願意品嚐嗎？

致謝

特別感謝許凱勝先生協助確認技術細節。

參考資料

1. Sample I. (22 MAR 2023) ‘Have your cake and print it: the 3D culinary revolution is coming’. The Guardian.
2. Blutinger, J.D., Cooper, C.C., Karthik, S. et al. (2023) ‘The future of software-controlled cooking’. npj Science of Food, 7, 6.
3. Gan H, LAM Y. (2008). ‘Viscoelasticity’. In: Li, D. (eds) Encyclopedia of Microfluidics and Nanofluidics. Springer, Boston, MA.

• id S. Moore、諾茨 William I. Notz
• 譯者：鄭惟厚、吳欣蓓

什麼是大數法則？

期望值的定義是：它是可能結果的一種平均，但在計算平均時，機率大的結果占的比重較高。我們認為期望值也是另一種意義的平均結果，它代表了如果我們重複賭很多次，或者隨機選出很多家戶，實際上會看到的長期平均。這並不只是直覺而已。數學家只要用機率的基本規則就可以證明，用機率模型算出來的期望值，真的就是「長期平均」。這個有名的事實叫做大數法則。

大數法則和機率的概念密切相關。在許多次獨立的重複當中，每個可能結果的發生比例會接近它的機率，而所得到的平均結果就會接近期望值。這些事實表達了機遇事件的長期規律性。正如我們在第 17 章提過的，它們是真正的「平均數定律」。

大數法則解釋了：為什麼對個人來說是消遣甚至是會上癮的賭博，對賭場來說卻是生意。經營賭場根本就不是在賭博。大量的賭客贏錢的平均金額會很接近期望值。賭場經營者事先就算好了期望值，並且知道長期下來收入會是多少，所以並不需要在骰子裡灌鉛或者做牌來保證利潤。

賭場只要花精神提供不貴的娛樂和便宜的交通工具，讓顧客川流不息進場就行了。只要賭注夠多，大數法則就能保證賭場賺錢。保險公司的運作也很像賭場，他們賭買了保險的人不會死亡。當然有些人確實會死亡，但是保險公司知道機率，並且依賴大數法則來預測必須給付的平均金額。然後保險公司就把保費訂得夠高，來保證有利潤。

• 在樂透彩上做手腳

我們都在電視上看過樂透開獎的實況轉播，看到號碼球上下亂跳，然後由於空氣壓力而隨機彈跳出來。我們可以怎麼樣對開出的號碼做手腳呢？ 1980 年的時候，賓州樂透就曾被面帶微笑的主持人以及幾個舞台工作人員動了手腳。

他們把 10 個號碼球中的 8 顆注入油漆，這樣做會把球變重，因此可保證開出中獎號碼的 3 個球必定有那 2 個沒被注入油漆的號碼。然後這些傢伙就下注買該 2 個號碼的所有組合。當 6-6-6 跳出來的時候，他們贏了 120 萬美元。是的，他們後來全被逮到。

深入探討期望值

跟機率一樣，期望值和大數法則都值得再花些時間，探討相關的細節問題。

• 多大的數才算是「大數」？

大數法則是說，當試驗的次數愈來愈多，許多次試驗的實際平均結果會愈來愈接近期望值。可是大數法則並沒有說，究竟需要多少次試驗，才能保證平均結果會接近期望值。這點是要看機結果的變異性決定。

結果的變異愈大，就需要愈多次的試驗，來確保平均結果接近期望值。機遇遊戲一定要變化大，才能保住賭客的興趣。即使在賭場待上好幾個鐘頭，結果也是無法預測的。結果變異性極大的賭博，例如累積彩金數額極大但極不可能中獎的州彩券，需要極多次的試驗，幾乎要多到不可能的次數，才能保證平均結果會接近期望值。

（州政府可不需要依賴大數法則，因為樂透彩金不像賭場的遊戲，樂透彩用的是同注分彩系統。在同注分彩系統裡面，彩金和賠率是由實際下注金額決定的。舉例來說，各州所辦的樂透彩金，是由全部賭金扣除州政府所得部分之後的剩餘金額來決定的。賭馬的賠率則是決定於賭客對不同馬匹的下注金額。）

雖然大部分的賭博遊戲不及樂透彩這樣多變化，但要回答大數法則的適用範圍，較實際的答案就是：賭場的贏錢金額期望值是正的，而賭場玩的次數夠多，所以可以靠著這個期望值贏錢。你的問題則是，你贏錢金額的期望值是負的。全體賭客玩的次數合起來算的話，當然和賭場一樣多，但因為期望值是負的，所以以賭客整體來看，長期下來一定輸錢。

然而輸的金額並不是由賭客均攤。有些人贏很多錢，有些人輸很多，而有些人沒什麼輸贏。賭博帶給人的誘惑，大部分是來自賭博結果的無法預測。而賭博這門生意仰賴的則是：對賭場來說，結果並非不可測的。

• 有沒有保證贏錢的賭法？

把賭博很當回事的賭客常常遵循某種賭法，這種賭法每次下注的金額，是看前幾次的結果而定。比如說，在賭輪盤時，你可以每次把賭注加倍，直到你贏為止—或者，當然，直到你輸光為止。即使輪盤並沒有記憶，這種玩法仍想利用你有記憶這件事來贏。

你可以用一套賭法來戰勝機率嗎？不行，數學家建立的另一種大數法則說：如果你沒有無窮盡的賭本，那麼只要遊戲的各次試驗（比如輪盤的各次轉動）之間是獨立的，你的平均獲利（期望值）就會是一樣的。抱歉啦！

• 高科技賭博

全美國有超過 700,000 台吃角子老虎（拉霸）。從前，你丟硬幣進去再拉下把手，轉動三個輪子，每個輪子有 20 個圖案。但早就不是這樣了。現在的機器是電動遊戲，會閃出許多很炫的畫面，而結果是由隨機數字產生器決定的。

機器可以同時接受許多硬幣，有各種讓你眼花撩亂的中獎結果，還可以多台連線，共同累積成連線大獎。賭徒仍在尋找可以贏錢的賭法，但是長期下來，隨機數字產生器會保證賭場有 5% 的利潤。

——本文摘自《統計，讓數字說話》，2023 年 1 月，天下文化出版，未經同意請勿轉載。