我把我對摺,輕輕把你也對摺~用名片紙摺出立方體! 還能談談三視圖與對稱──《藝數摺學》

  • 作者/李政憲

對應:七年級「三視圖」、九年級「生活中的立體圖形」
需要道具:名片紙(長寬比例約 1.6:1,建議有 4 種顏色)、色紙

增加立體空間感的「三視圖」!

在十二年國教的 108 新課綱上路後,數學課中多了一個「三視圖」的概念,這個三視圖,不只能夠增進同學們的立體空間感,也和時下正夯的 3D 列印等新科技作結合。

什麼是三視圖呢?三視圖指的是將一個立體圖形,從前、後、左、右與上、下六個面,解構它從不同方向所看到的形狀,並以平面的方式呈現。以圖 1 為例,我們可以從六個方向看到不同的形狀,這也就是圖 2 中六個方向的「視圖」。

圖/臉譜出版提供

仔細觀察圖 2,你會發現上下兩個視圖是對稱的,而前、後與左、右視圖是相同的。難道所有的立體圖形的對向視圖不是對稱就是相同的嗎?另外,既然有六個面,為什麼叫做「三視圖」呢?這些疑惑,就讓我們用隨手可得的名片紙,實際做出一個圖 1 中的立體連方塊來觀察解惑吧!

用名片紙摺出立體連方塊!

  • 要怎麼用名片紙做出立體連方塊呢?讓我們先從做出一個立體方塊開始吧。

請你拿起兩張符合一般名片紙比例的名片(一般的名片紙長寬比大約是 1.6:1 左右【註一】),將它們以上層直向、下層橫向的方式疊合出一個正方形(如圖 3)。

圖 3

李老師小聲說:「這個正方形同時也一定會是這個長方形中最大的正方形,為什麼呢?請自己思考看看後再看【註二】的答案。」

接下來,將直向的名片紙水平向右移動一些(如圖 4),使得重疊部分兩側多出來的部分寬度差不多,再將多出來的部分往上摺(如圖 5)。

圖 4

圖 5

接著翻面,將另一張名片沿垂直方向移動,同樣將兩側多餘的部分調整至等長,並往上摺製出一組互扣的正方形(如圖 6)。

圖 6

請用同樣的方法,再製作出共三組的互扣正方形(如圖 7)。

圖 7

  • 接下來我們要將這六張正方形拼組為一個正方體。

首先將六張互扣的名片紙拆開,將其中一張放置桌面,並將另一張名片紙與第一張名片紙方向垂直擺放(如圖 8),再將第三張名片紙與這兩張名片紙互卡(如圖 9),至此請你確認每張名片紙兩側的長方形,是否都卡在另外兩張正方形的外側。

圖 8

圖 9

想像我們目前搭組的三張名片紙分屬一個正方體的下方、右方與後方三個面,接下來請將前方、左方與上方分別搭建一張名片紙 ,使得前後、左右與上下分別對稱,即可完成一個正方體(如圖 10)。記得同樣要注意每張名片紙兩側的長方形是否都卡在外側。【註三】

圖 10

由於我們要完成的是三個方塊的連接,所以接下來請各位再辛苦一點,繼續摺製兩個同樣的方塊如圖 11,摺好後就可以進行方塊的連接囉!

圖 11

  • 要怎麼將兩個方塊連接起來呢?

首先,將兩個方塊以同樣方式擺放(如圖 12),接著將其中一顆旋轉九十度(如圖 13),再將兩個方塊多出來的長方形部份互扣,就完成兩個方塊的連接了(圖 14)。

圖 12

圖 13

圖 14

然後,用同樣的方式,我們可以將第三顆方塊與前兩個方塊的組合連接(如圖 15),於是我們不用膠水與膠帶,就完成了以三個方塊所組成的立體連方塊囉!

李老師小聲說:「如果有需要理解或複習對稱概念的讀者,可參考前一章〈摺紙數學初體驗──從鑲嵌摺紙談對稱的應用〉的內容。」

圖 15

  • 但做好了連方塊之後,你可能會覺得這個作品有點鬆鬆的,容易散開。沒關係,讓我們再為它加工一下!

請準備三種不同顏色的名片紙,先以之前摺製正方體六個面的方式分別摺出六張、四張與四張(如圖 16),再將摺完的名片紙於三連方每個表面的外側和長方形扣接(如圖 17)。

李老師小聲說:「建議先從相連方塊的內側L型部份先作扣接,再逐步扣接外側,比較容易完成且美觀。」

圖 16

圖 17

在扣接時,可以讓上下兩面、左右兩側與前後兩側使用同一種顏色的名片紙,就正式完成這個三連方了(如圖 18)。你會發現成品加了外側名片紙後,明顯要比之前穩固許多。

圖 18

「三視圖」和對稱有什麼關係呢?

完成後的作品,我們不妨想想其與對稱性的關係:除了剛剛我們製作作品時,應用了對稱的原理以外,我們應用了三種顏色的名片紙做為其表面,也恰巧符合三視圖的概念:從上、下看的時候顏色相同,圖形對稱;左、右與前、後看的時候顏色相同外,圖形完全相同──想想看,全等不也是種對稱的概念應用嗎?

圖 19

由於這六個方向的視圖都是由正方形結構所組成,不是兩兩對稱就是兩兩全等,所以我們只需其中三個方向的視圖就能完整描述我們的作品,而其實多數由正立方體組成的立體圖形透過「正面、側面、上面」三個方向的視圖,就可以表示出它的形狀及尺寸,這也就是叫做「三」視圖的原因。

李老師小聲說:「若正立方體的數量較多或非正立方體所組成的立體圖形, 則前後的輪廓圖雖然相同, 中間的線條則未必會對稱。」

此外,我們內部用到的同色名片紙,所完成的是這個連方塊的體積部份,外部扣接的三色名片紙,所完成的恰是這個連方塊的表面積。

有了這些概念以後,我們還可以接著製作更多的連方塊當作積木來堆疊(如圖19),設計製作出更有趣的立體作品,不妨發揮自己的想像力玩玩看囉!

註解:

  • 註一:有興趣進一步研究名片紙長寬比與其延伸概念的朋友不妨可以參考《科學教育月刊》345 期「摺紙中學數學」之〈名片試金石〉,中華民國 100 年 12 月號。
  • 註二:重疊的部分是不是這個長方形裡最大的正方形呢?試想一下,如果這個正方形不是這個長方形中最大的正方形,則必存在一個邊長比這張名片紙的寬邊還長的正方形,若我們按著大於寬邊的長度繪製一個正方形如下圖,明顯可以觀察到這個正方形的一邊會超過原來名片紙的大小,所以兩張名片紙重疊的部分確定是這張名片紙裡面最大的正方形。
  • 註三:此名片紙摺正立方體的摺法主要參考自網路,請各位讀者搜尋影片關鍵字「origami business card」即可找到相關的影片。

——本文摘自泛科學 2019 年 10 月選書《藝數摺學》,2019 年 9 月,臉譜出版

 

 

 


泛科學自製商品

【時時科科.2020】桌曆+線裝筆記本預購最後倒數!

從內子宮到外太空,科學離不開我們生活中的時時刻刻,時光走入西元 2020,讓泛科學也走入你生活的每一天!【時時科科 2020桌曆】 精選不容錯過的科學日,讓你記下屬於自己的重要日程,也記下科學史上的精彩片段。


🚀 泛科學院獨家線上新課募資 🚀 限量55折預購

【好好說話,做自己的口才教練!10堂一生受用的口語表達課】

「上台說話報告時腦袋一片空白嗎?與人對談尷尬癌就發作?如何清楚表達自己想說的話?怎麼說話才能抓住人心讓人印象深刻呢?」泛科學院與榮恩同樂會共同合作,從表達的心法到語言聲韻的技巧掌握,讓你找到自信,在家就可練出好口才!

關於作者

臉譜出版

臉譜出版有著多種樣貌—商業。文學。人文。科普。藝術。生活。希望每個人都能找到他要的書,每本書都能找到讀它的人,讀書可以僅是一種樂趣,甚或一個最尋常的生活習慣。

網站更新隱私權聲明
本網站使用 cookie 及其他相關技術分析以確保使用者獲得最佳體驗,通過我們的網站,您確認並同意本網站的隱私權政策更新,了解最新隱私權政策