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空間有限的情況下,怎樣才能堆疊最多的球體呢?——《數學的故事》

時報出版_96
・2019/10/08 ・5488字 ・閱讀時間約 11 分鐘 ・SR值 540 ・八年級

文/蔡天新,本文摘錄自《數學的故事》,2019年時報出版

有些數學證明如此美妙,只能是上帝的創造,數學家不過是幸運地發現了它們而已。

——艾狄胥

探險家和作家雷利

沃爾特.雷利(Sir Walter Raleigh)是十六世紀後期英國著名的探險家,算得上是當時的風雲人物。他本是女王伊莉沙白一世的寵臣,三十一歲受封為爵士,後來被女王的繼任者詹姆斯一世指控謀反並囚禁於倫敦塔,最終被處以極刑。

雷利的肖像畫。圖/wikimedia

雷利少年時即參加法國宗教戰爭,後就讀牛津大學,畢業後又參與鎮壓愛爾蘭人的起義。他坦率批評英國對愛爾蘭人的政策,引起了伊莉莎白女王的注意。女王欣賞雷利的才幹,也被他的個人魅力吸引。

伊莉莎白女王賜予雷利倫敦特勒姆旅館的部分租借權、各色絨呢的出口權,讓他擔任錫礦主管、海軍中將和議員,乃至王宮侍衛長、英吉利海峽的澤西島總督。後來雷利瞞著女王與她的侍女偷偷結婚生子。女王發現後,把他和妻子雙雙關入倫敦塔,雖然不久後就釋放了他們,但雷利從此失去了比他年長二十一歲、終身未嫁的女王的恩寵。

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雷利為了航海曾學習數學,也學過化學和醫術。與女王決裂之前,他曾遠距指揮在美國的北卡羅萊納和維吉尼亞建立殖民地。北卡羅萊納沿海的羅阿諾克島原本是英國人在新大陸最早的定居點,可惜一百一十六名移民某天卻突然人間蒸發,包括在新大陸誕生的第一名英國嬰孩維吉尼亞.戴爾(Virginia Dare),至今依然是未解之謎。那時距離「五月花」號駛往麻薩諸塞尚有半個多世紀。

被處死前的雷利。圖/時報出版提供

如今,北卡羅萊納州的首府羅利就是以雷利的名字命名,羅阿諾克島上也有羅利堡國家歷史遺址,該島隸屬的縣名叫戴爾,即以那位新生兒的名字命名。有趣的是,同屬戴爾縣的小鷹鎮是一九○三年十二月十七日萊特兄弟首次成功試飛飛機的地方,小鷹鎮的沙洲與羅阿諾克島相距不超過十公里,中間隔著羅阿諾克海峽。

寫到這裡我想順便說,人名、地名、物名的中文譯名各異相當常見,例如義大利汽車製造商費拉里和他生產的跑車、賽車法拉利其實源於同一個單詞 Ferrari。而叫費拉里的義大利人中,還有十六世紀的一位助理醫生,他因為率先提出四次方程的代數解,成了那個時代最偉大的數學家之一。

一五九四年,雷利聽說南美洲有金礦,決定再次出海。他懷疑上一次的殖民行動之所以失敗,是因為彈藥不足以致全軍覆沒,這次打算準備足夠的食物、淡水、火藥、槍彈和炮彈。

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那時的炮彈均為直徑相同的鐵球,雷利為此命令他的科學顧問、數學家哈里奧特(Thomas Harriot)找出在有限空間內盡可能堆放炮彈的方法,並計算船隊的彈艙能夠堆放多少發炮彈,由此產生了堆球問題和克卜勒猜想,我們將在後文中介紹。

奧利諾科河的全景。圖/wikimedia

雷利率領的遠征軍抵達蓋亞那以後,沿奧利諾科河航行到西班牙殖民地的腹地。奧利諾科河是南美洲四大河流之一,發源於委內瑞拉與巴西接壤處,上游是哥倫比亞與委內瑞拉的界河。

二○○○年我第一次去哥倫比亞時,搭乘的飛機便是從此河入海處進入南美大陸。西班牙人的文件和印第安的傳說使雷利相信,南美洲有一座「黃金之城」。他的確也找到了一些金礦,但沒有一處足以讓他殖民開發。

返回英國後,雷利出版了《蓋亞那的發現》一書。在他被處死(與他冒犯了英國國王不願得罪的西班牙人有關)以後,人們發現雷利還有許多文學著作,包括五百六十行遺詩。詩中他稱伊莉莎白女王為月亮女神,但也指責她絕情,很可能是影射她將他囚禁一事。此外他還寫了一些散文與一部《世界史》(從創世紀一直寫到西元前二世紀)。

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蓋亞那位於南美大陸東北部,西鄰委內瑞拉,南接巴西,東邊是說荷蘭語的蘇利南和說法語的法屬圭亞那,雖然人口只有七十多萬,國土面積卻幾乎與英國本土一樣大。如今,可能會讓雷利比較欣慰的是,蓋亞那不僅是英聯邦成員國,也是拉丁美洲二十個國家裡唯一以英語為官方語言的。而在日本著名漫畫《海賊王》裡,雷利變成了海盜,而且只是個副船長,後來還成了鍍膜匠。

家庭教師哈里奧特

掛在母校牛津大學的哈里奧特像。 圖/wikimedia

現在我們來說說隨雷利遠征蓋亞那的首席科學顧問哈里奧特。哈里奧特出生於牛津,就讀牛津大學的聖瑪麗學堂,在學生時代就展現出超凡的數學才能,畢業後不久就進入雷利家,成為一名家庭教師。

哈里奧特參與了雷利家族船隻的設計,並用自己的天文學知識為導航提供建議。一五八五年,雷利派他參加新大陸的羅阿諾克島探險,聘他為科學顧問,主要負責測量。

哈里奧特繪製了後來被稱為維吉尼亞州和北卡羅萊納州的地圖,考察報告出版後也多次重印。返回英國後,哈里奧特受雇於著名的珀西家族成員、諾森伯蘭九世伯爵,在伯爵家成為多產的數學家、天文學家和翻譯家,尤其擅長翻譯印第安人的阿爾岡昆語。

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哈里奧特繪製的月球地圖。圖/wikimedia

哈里奧特率先繪製出月球的地圖,日期標注為一六○九年七月,比伽利略早了四個月。一六○七年哈雷彗星的回歸也引起了哈里奧特對天文學的關注,他自製(另說購買)了一架望遠鏡,與伽利略各自獨立發現了太陽黑子和木星衛星。

他還率先發現了光的折射理論,只不過沒有發表。哈里奧特生前已是享有盛譽的天文學家和數學家,一九七○年,月球的一個隕石坑以他的名字命名。

身為數學家,哈里奧特被公認是英國代數學學派的奠基人,他在該領域的巨著《使用分析學》(Artis analyticaepraxis)在他去世十年後才出版。

書中改進了方程理論,注重根與係數的關係,詳細論述了如何由已知根建構方程式,並揭示出任何 n 次方程與 n 個線性方程之積是等價的,接近高斯在十九世紀證明的代數基本定理。特別的是,哈里奧特還創造了不等號「>」和「<」,這兩個符號也沿用至今。

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如何在最小空間內堆放最多炮彈?

前文提到,雷利要求哈里奧特找出在有限船艙內堆放最多炮彈的方法。哈里奧特很快就給出了答案:先以三角形狀排好最低一層,然後讓第二層的球心盡可能地低,依次增加層數,就能得到一個盡可能最高效率的堆疊法。

科學稱為最密集的排列,也就是所謂的砲彈堆疊。圖/wikimedia

我們從中可輕易看出,按照這樣的堆放方式,每個非邊緣的炮彈恰好與十二顆炮彈相切,即同層六顆,上一層和下一層各三顆。關於一顆球能否與十三個同樣大小的球相切,一個世紀以後,牛頓與蘇格蘭天文學家格雷果里(James Gregory)有過爭論,牛頓的否定答案無疑是正確的。

這十二個切點形成的十二面體包緊了一個球體,所有這些十二面體可以填滿整個空間。把十二面體分成十二個全等的錐體,可以求得它的體積為 \(4\sqrt{2}\)。再按照阿基米德的球體積計算公式,每一顆球的體積是 4π/3。兩者相除即得球堆的密度為 \( \frac{\pi}{\sqrt{18}}\)。德國人克卜勒則給了更簡潔的方法,我們將在下節介紹,現在先來看平面的情形。

假如我們考慮二維的問題,即在平面上填塞圓。首先,我們讓每一個圓與四個同樣大小的圓相切,那麼在 m 行 n 列個圓的長方形排列中,圓的面積總和為 mnπ,而長方形的面積為 4mn,於是兩者的比值為 π/4。不難看出,只要平面的範圍(相比小圓的半徑)夠大,那麼小圓的半徑大小不影響這一比值。

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其次,我們讓每一個圓與六個同樣大小的圓相切,由畢氏定理可知,每行圓的高度為 \(\sqrt{3}\),但每隔一行會減少一個圓,因此圓面積總和為 \(\frac{m\left ( 2n-1 \right )\pi }{\sqrt{3}} \),而長方形的面積仍為 4mn,於是兩者的比值趨近於 \( \frac{\pi}{\sqrt{12}}\),比第一種排列方式更緊密。當然,無論哪一種,都比空間球的堆積密度要大。

哈里奧特也是一位原子論愛好者,該學說源於古希臘哲學家德謨克利特(Demokritos)。德謨克利特相信,萬物的本原是原子,原子是一種不可分割的物質微粒,且毫無空隙。哈里奧特認為,研究球的堆放問題有助於理解物質的結構和組成。

一六○一年前後,他寫信把這個想法和堆球問題告訴了比他年輕十一歲、正在布拉格擔任羅馬帝國皇家天文學家的克卜勒,不巧那會兒克卜勒正埋頭研究天體理論,沒有太多興趣和時間考慮微觀世界。

克卜勒的雪花和猜想

前民主德國發行的克卜勒紀念郵票。圖/時報出版提供

一五七一年某個冬日,克卜勒出生於德國西南部的符騰堡公國(現巴登 – 符騰堡州的一部分),與愛因斯坦可謂正宗老鄉。他是一樁不幸婚姻的早產兒,父親是庸碌的傭兵,母親是一家小酒館老闆的愛吵架女兒。克卜勒身材矮小、體弱多病,但天資聰穎,幸運獲得了符騰堡公國領主專為貧困家庭的聰明孩子設立的豐厚獎學金,否則可能根本沒機會接受良好的教育。

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克卜勒十六歲時進入圖賓根大學,之後屢獲幸運女神眷顧。首先,他的天文學老師是德國唯一一位堅信哥白尼「日心說」的人。

其次,在他拿到文學學士和碩士學位,準備成為牧師時,奧地利格拉茨市某間中學剛好需要一位數學老師,他在學校的推薦下前往補缺。再次,隔年夏天二十三歲的克卜勒在幫學生上課時,腦袋裡忽然閃過一個奇妙的念頭。

如前文所言,古希臘人只知道有四面體、六面體、八面體、十二面體和二十面體這五種正多面體(柏拉圖多面體),從畢達哥拉斯到柏拉圖都信奉「數學和諧論」,這一點啟發了克卜勒,深信行星的運行軌跡也應該是完美的幾何圖形。

圖示遵守克卜勒行星運動定律的兩個行星軌道。圖/wikimedia

四年後,他發現了行星運動的第一定律和第二定律:所有行星分別在大小不同的橢圓軌道上運行;在同等的時間裡,行星的矢徑在軌道平面上掃過的面積相同。這兩個定律以及後來發現的第三定律,為克卜勒贏得了「天空立法者」美名。

一六一一年,也就是收到哈里奧特來信五年後,克卜勒出版了小冊子《六角雪花》(The Six-Cornered Snowflake)。

六角形的雪花。圖/時報出版提供

他不僅在書裡解釋了雪花為什麼是六角形,還探討了諸如蜂窩的結構、石榴果實為何是十二面體等現象,是最早從幾何出發研究自然的著作之一。克卜勒認為,雪花之所以呈六角形,是因為一個圓盤最多能與六個相同的圓盤相切,正六邊形可以平鋪整個平面。

尤其值得一提的是,正是在這本書裡,克卜勒提出了一個著名的猜想。

克卜勒猜想

在一個容器中堆放同樣的小球,所能得到的最大密度是 \( \frac{\pi}{\sqrt{18}}\)。

克卜勒是這樣敘述球體堆放方法的:考慮一個邊長為 2 的正方體,它的體積為 8。分別以它的全部八個頂點及全部六個面的中心為球心,以 \( \frac{\sqrt{2}}{2}\) 為半徑作十四個球體,由畢氏定理和每個面的對角線長為 \(2\sqrt{2}\)可知,每個面中心的球體與該面尖角上的四個球體剛好相切。

這樣一來,在這個正方體內,球體佔有的體積等於四個球體的體積(八個角,每個角有1/8個球體;六個面,每個面有1/2個球體)。故而密度是

\(\frac{4\left ( \frac{4}{3}\pi \left ( \frac{\sqrt{2}}{2} \right )^{3} \right )}{2}= \frac{\pi }{\sqrt{18}}= 0.740480…\)

雖然在上述方法中,正方體內沒有一個完整的球,但若換成一個大箱子,以這些正方體為基本單位來填滿箱子時,不完整球體的體積與中間那許多完整球體的體積相比就是微不足道的。同樣道理,箱子的形狀也不會影響密度。然而,克卜勒猜想的充分性卻難以證實。

面心立方(左)與六方最密堆積(右)示意圖。圖/wikimedia

一八三一年,「數學王子」高斯證明了克卜勒猜想在「格點型」的特殊情形下是成立的。所謂格點型是指用座標表示時,所有球心也落在座標和偶數整點上。

一九○○年,德國數學家希爾伯特(David Hilbert)在巴黎國際數學家大會上提出了二十三個有待解決的問題,其中第十八個問題的第三部分就涉及堆球問題。

從那以後,有許多數學家(包括美國華人數學家項武義)都曾宣布、發表或以為自己證明了克卜勒猜想,但都未能獲得一致的認可。

二○○五年,美國《數學年刊》發表了一篇長達一百二十頁的論文,宣布克卜勒猜想已經獲得證明。該篇論文的作者是美國數學家赫爾斯(Thomas Hales),他在著名的「朗蘭茲綱領」問題上有過重要貢獻。赫爾斯將堆球問題分為五千多種情況,考慮了十萬多個線性規劃問題,他的電腦程式運行了兩年,其複雜性超過一九七六年地圖四色問題的證明。

一個顯而易見的現象是,絕大多數幾何學家都不懂電腦程式,而電腦專家又難以理解深奧的幾何學。就連審稿小組的負責人都承認,他們對於這篇論文的正確性只有 99%的把握。鑑於此,我們繼續期待(如同期待費馬定理)將來會有更簡潔有效的證明方法。

——本文摘自《數學的故事》,2019 年 5 月,時報出版

 

 

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出版品包括文學、人文社科、商業、生活、科普、漫畫、趨勢、心理勵志等,活躍於書市中,累積出版品五千多種,獲得國內外專家讀者、各種獎項的肯定,打造出無數的暢銷傳奇及和重量級作者,在台灣引爆一波波的閱讀議題及風潮。

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人體吸收新突破:SEDDS 的魔力
鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2024/05/03 ・1194字 ・閱讀時間約 2 分鐘

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本文由 紐崔萊 委託,泛科學企劃執行。 

營養品的吸收率如何?

藥物和營養補充品,似乎每天都在我們的生活中扮演著越來越重要的角色。但你有沒有想過,這些關鍵分子,可能無法全部被人體吸收?那該怎麼辦呢?答案或許就在於吸收率!讓我們一起來揭開這個謎團吧!

你吃下去的營養品,可以有效地被吸收嗎?圖/envato

當我們吞下一顆膠囊時,這個小小的丸子就開始了一場奇妙的旅程。從口進入消化道,與胃液混合,然後被推送到小腸,最後透過腸道被吸收進入血液。這個過程看似簡單,但其實充滿了挑戰。

首先,我們要面對的挑戰是藥物的溶解度。有些成分很難在水中溶解,這意味著它們在進入人體後可能無法被有效吸收。特別是對於脂溶性成分,它們需要透過油脂的介入才能被吸收,而這個過程相對複雜,吸收率也較低。

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你有聽過「藥物遞送系統」嗎?

為了解決這個問題,科學家們開發了許多藥物遞送系統,其中最引人注目的就是自乳化藥物遞送系統(Self-Emulsifying Drug Delivery Systems,簡稱 SEDDS),也被稱作吸收提升科技。這項科技的核心概念是利用遞送系統中的油脂、界面活性劑和輔助界面活性劑,讓藥物與營養補充品一進到腸道,就形成微細的乳糜微粒,從而提高藥物的吸收率。

自乳化藥物遞送系統,也被稱作吸收提升科技。 圖/envato

還有一點,這些經過 SEDDS 科技處理過的脂溶性藥物,在腸道中形成乳糜微粒之後,會經由腸道的淋巴系統吸收,因此可以繞過肝臟的首渡效應,減少損耗,同時保留了更多的藥物活性。這使得原本難以吸收的藥物,如用於愛滋病或新冠病毒療程的抗反轉錄病毒藥利托那韋(Ritonavir),以及緩解心絞痛的硝苯地平(Nifedipine),能夠更有效地發揮作用。

除了在藥物治療中的應用,SEDDS 科技還廣泛運用於營養補充品領域。許多脂溶性營養素,如維生素 A、D、E、K 和魚油中的 EPA、DHA,都可以通過 SEDDS 科技提高其吸收效率,從而更好地滿足人體的營養需求。

隨著科技的進步,藥品能打破過往的限制,發揮更大的療效,也就相當於有更高的 CP 值。SEDDS 科技的出現,便是增加藥物和營養補充品吸收率的解決方案之一。未來,隨著科學科技的不斷進步,相信會有更多藥物遞送系統 DDS(Drug Delivery System)問世,為人類健康帶來更多的好處。

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宇宙到底是什麼樣子?——宇宙觀的發展史(上篇)| 20 世紀前
賴昭正_96
・2023/04/19 ・6261字 ・閱讀時間約 13 分鐘

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  • 文/賴昭正|前清大化學系教授、系主任、所長;合創科學月刊

根本沒有理由假設世界有一個開始。認為事物必須有開始的想法實際上是由於我們思想的貧乏。
—— Bertrand Russell(1950 年諾貝爾文學獎)

「天上的星星千萬顆,世上的妞兒比星多,啊,傻孩子,想一想,為什麼失眠只為⋯⋯」(註一)不!世上的妞兒不會比星多,為什麼失眠也不是只為「她一個」,而是遐想著天空這麼多的星星是哪裡來的?為什麼不停地對著我咪咪地微笑?⋯⋯沉靜晴朗的夜晚,仰望著天空,有多少人不會為閃耀的星空沈思著迷呢?因此相信人類很早就在思考這個問題:在中國有盤古開天闢地,其身形化為日月星辰、山川河流,逝世時將精靈魂魄變成了人類之傳說。

而古希臘人(公元前 750-650 年) 則認為起初世界處於一種虛無混沌狀態,突然從光中誕生了蓋亞(Gaia,地球母親)以及其「他」具有人性的諸神,在沒有男性幫助的情況下,蓋亞生下了烏拉諾斯(Ouranos,天空),後者使她受精,生出了第一批泰坦(Titan)。泰坦後代普羅米修斯(Prometheus) 用泥塑人,雅典娜(Athena)為泥人注入了生命,宙斯(Zeus) 創造出一個擁有驚人美貌、財富、欺騙心、和撒謊舌頭的女人潘多拉(Pandora),給了她一個盒子,令永遠不要打開,但好奇心最後戰勝了,她終於打開盒子釋放出各種邪惡、瘟疫、悲傷、不幸、和在盒子底部的希望——現今打開「潘多拉盒子」的來源。

1881年,英國畫家勞倫斯.阿爾瑪-塔德瑪爵士(Sir Lawrence Alma-Tadema)的《矛盾的潘朵拉》。圖/Wikipedia

除了神話和傳說外,宗教在宇宙觀的發展上也佔了重要的地位。西方的宗教如基督教主要認為宇宙是一個由超自然力量之神創造出來的,人死後會上永生天堂。而東方的宗教如佛教則認為宇宙是無始無終的,沒有起點或終點,因此無所謂宇宙的起源與創造,人會以不同的面貌和形式,不斷生死輪迴。歐洲宗教在十六世紀前一直認為人與地球在這宇宙中佔了一個特殊的中心地位,因此深深影響了基於證據、推理、和辯論的宇宙觀發展。

中國古代的天文學

中國古代的宇宙觀有蓋天說、宣夜說、渾天說三學派,蓋天說認為「天圓地方」,天覆蓋著地,但由於地是方的,故而有四個角是無法覆蓋的,因此這四個角上有八根柱子支撐著整個天空。宣夜說則認為「日月眾星,自然浮生於虛空之中,其行其止,皆須氣焉」,即整個天體漂浮於氣體之中。渾天說雖然也認為「天圓地方」,但天是一個圓球,而不是蓋天說中的半圓,地球在天之中,類似於雞蛋黃在雞蛋內部一樣。東漢張衡(78-139 年)將「渾天說」發展成為一套系統的理論,並透過其所製作的「渾天儀」來加以演示,使渾天說成了中國宇宙結構的權威理論。渾天說的基本觀點認為日月星辰都佈於一個「天球」之上,不停地運轉著。

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清代的渾天儀。圖/Wikipedia

中國帝王自稱為「天子」,因此天文觀測的目的是為了帝王預測天下的禍福,用以指導治國理政、風水地理、農業民生、中醫人文的;天命如果有所改變,就會通過天象昭示天下。因此雖然中國是世界上最早發明曆法的國家之一,也為我們留下了許多寶貴的觀測資料,如記錄了 1054 年 7 月 4 日金牛座超新星的爆發,但古代的天文是皇權統治的一種工具而已,因此中國的天文學難以在民間發展,也不可能出現以科學為目的的天文研究。

地球中心模型

反觀西方世界,天文學在古典希臘則早已經是數學的一個分支。柏拉圖(Plato,公元前 427-347 年)鼓勵年輕的數學家蛇床子(Eudoxus of Cnidus,公元前 410-347 年)發展天文學體系,於公元前 380 年左右提出第一個以地球為中心的宇宙模型,認為一系列包含恆星、太陽、和月亮的宇宙球體都圍繞地球旋轉。

亞里士多德(Aristotle,公元前 384-322 年)識這些宇宙球體為物理實體,裡面充滿了導致球體移動之神聖和永恆的「以太」(ether)。他將這些球體分為陸地(terrestrial) 和天界 (celestial) 兩個領域。陸地領域包括地球、月球、及它們之間的月下區域,以變化和不完美為其標誌。天界是月球上方的領域,在這裡秩序井然,完美無缺。恆星固定在一個天球上,該天球每 24 小時圍繞地球旋轉一次。

最裡面的球體是地球的「陸地」,最外面的球體是「以太」構成的,包含「天界」。圖/Wikipedia

這個模型在接下來的幾個世紀裡得到了進一步的發展:希臘裔埃及天文學家、數學家、和地理學家托勒密(Claudius Ptolemy, 85-165)仔細研究以前所有天文學家的工作,了解到用肉眼觀察夜空中物體的方法後,透過他出色的數學技能開發出自己的天體運動模型,於公元 150 年出版了一本現在稱為《Almagest》(最偉大)的書籍來闡述其論點。

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他認為地球是一個靜止的球體,位於一個大得多的天球的中心;這個天球攜帶著恆星、行星、太陽、和月亮以完全均勻的速度圍繞地球旋轉,從而導致它們每天的升起和落下。完美的運動應該是圓周運動,因此托勒密認為這些表面上不規則的天體運動實際上是由規則的、均勻的圓周運動組合成的:運動的中心不但偏離了地球,而且還沿著主要圓形軌道上的點依較小的「本輪」圓圈(epicenter)移動。托勒密在該書目錄後留言謂:

我知道我天生必死,轉瞬即逝; 但當我隨心所欲地描繪天體的曲折軌跡時,我的腳不再接觸大地,而是站在宙斯面前,盡情享受神的美味。

此後的 1500 年,托勒密書中的表常被用來預測天體在夜空中的位置;而其以地球為中心的宇宙觀也幾乎統領了以後 2000 年的天文物理發展!

太陽中心模型

1543 年,波蘭哥白尼(Nicolas Copernicus,1473-1543)在德國紐倫堡出版《De revolutionibus orbium coelestium》 (論天體運轉,註二) 一書,提出日心系統,謂地球不在宇宙中心之特別位置,而是與其他行星一起在圍繞太陽的圓形軌道上運動。不幸的是它表面上不規則的天體運動之複雜並不亞於托勒密地心系統;還有,如果地球在動,為什麼星星總是在同一個地方出現——除非它們離地球很遠(註三)?因此該書出版後從未獲得廣泛支持。儘管如此,在日心系統裡,行星繞日具有地心系統所沒有的周期性

哥白尼的宇宙觀,中心為太陽。圖/Wikipedia

十七世紀初,在新發明之望遠鏡的幫助下,意大利天文、數學、哲學家伽利略(Galileo Galilei,1564-1642)發現了圍繞木星運行的衛星,終於對地球位於宇宙中心的觀念造成致命的打擊:如果衛星可以繞另一顆行星運行,為什麼行星不能繞太陽運行?伽利略因之慢慢地深相地球繞日說,但被羅馬教會禁止「堅持或捍衛」哥白尼理論。晚年於 1630 年出版《Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo, tolemaico e copernicano》(關於兩大世界體系——托勒密和哥白尼——的對話), 在最後一章裡用潮汐現象來證明地球是在動,不是靜止地在宇宙中心(註四)。

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大約就在那個時候,德國數學、天文學家開普勒(Johannes Kepler 1571-1630)「盜取」導師丹麥天文學家布拉赫(Tycho Brahe,1546-1601)的豐富實驗資料構建了日心的定量模型,在 1618 年至 1621 年期間出版(立刻成為天主教會禁書的)《Epitome Astronomiae Copernicanae》(哥白尼天文學概要),提出描述行星體如何繞太陽運行的(開普勒)三定律:(1)行星以太陽為焦點在橢圓軌道上運動,(2)無論它在其軌道上的哪個位置,行星在相同的時間內覆蓋相同的空間區域,及(3)行星的軌道周期與其軌道的大小(半長軸)成正比。

開普勒終於解開行星之謎:行星以橢圓形——不是完美的圓形——圍繞太陽運轉。開普勒第三定律謂:行星與太陽的距離與其繞太陽公轉所需的時間存在精確的數學關係。這條定律激發了牛頓(Isaac Newton,1643-1727)的靈感,證明橢圓運動可以用引力與距離的平方反比定律來解釋。

平方反比定律

人類事實上好像很早就注意到了所有物質都互相作用,例如亞里士多德認為物體由於其內在的引力(沉重)而趨向一個點,伽利略則注意到物體被「拉」向地球中心。英國博學士胡克(Robert Hooke,1635-1703)在 1670 年的格雷沙姆演講 (Gresham lecture) 中謂萬有引力適用於「所有天體」,並添加了萬有引力隨距離減小的原理,及在沒有任何這種動力的情況下,物體會直線運動。到 1679 年,胡克認為萬有引力具有「距離平方反比」依賴性(註五),並在給牛頓的一封信中傳達了這一點:「我(胡克)的假設是引力總是與距中心距離成雙倍比例。」

牛頓因為害怕其他科學家和數學家竊取了他的想法,喜歡把他的工作隱藏起來、不發表;因此直到 44 歲才在英國天文學家哈雷(Edmond Halley)說服下,寫了一篇關於他的新物理學及應用在天文學的完整論述;一年多後(1687 年),發表了後來成為物理經典的《Philosophiae Naturalis Principia Mathematica》(自然哲學數學原理)或簡稱為《Principia》(原理)。

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儘管牛頓在《原理》中承認胡克曾經提出太陽系中的平方反比定律,但胡克仍然對牛頓聲稱「發明」了這一定律感到不滿。胡克是一位才華橫溢、但是又駝背又矮的科學家:發現彈性定律(胡克定律)、發現有機體基本單位的「細胞」、發明顯微鏡(使他成為細胞理論的早期支持者)。 當胡克要求牛頓承認他已經預料到後者在陽光中顏色的一些研究結果時,牛頓寫了一封諷刺的拒絕信,影射了胡克的小身材謂:「如果我看得更遠,那是因為站在巨人的肩膀上」(事實上,牛頓的許多創見都不是站在巨人之肩膀上的——被譽為是有史以來最偉大的物理學家,不是沒有道理的)。

胡克透過顯微鏡觀察、繪製的細胞壁。圖/Wikipedia

自然哲學數學原理

牛頓在《自然哲學數學原理》裡用同一個定律解釋了一系列以前不相關的現象:太陽-行星運動、行星-衛星運動、軌道物體、拋射體、鐘擺、地球附近的自由落體、彗星的偏心軌道、潮汐變化、以及地球軸的進動等等,具體地證明了「萬有引力」定律:「⋯⋯所有物質吸引所有其它物質的力與它們質量的乘積成正比,與它們之間距離的平方成反比」。這項工作使牛頓成為科學研究的國際領導者,「自然哲學數學原理」被公認為有史以來最偉大的科學著作。

但除了受過幾何學訓練的數學家外,《原理》事實上是一本非常難以理解的書,更糟的是:裡面充滿了矛盾和不一致,而且還點綴著一些令人毛骨悚然的錯誤(一些錯誤是計算和演示中的徹底錯誤,其它則是邏輯上的空白:沒有證明、只是猜測)。在牛頓時代,很少有人能讀懂它,而今天幾乎沒有人嘗試過。牛頓任教之劍橋大學的學生曾這樣諷刺:「有一個人寫了一本他和任何人都無法理解的書」。

《原理》在那個時代還有一個很大的邏輯問題:那時的物理學家認為世界是一部大機械,作用是必須透過物質撞擊或擠壓物質的接觸來達成的;從遠處發出穿過虛空的無形作用力量是魔法、神秘的、非科學的!為了阻止不可避免的批評和挑釁,牛頓先下手為強,在《原理》一書謂:

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「我已經用重力解釋了天空和海洋的現象,但我還沒有為重力提出一個原因。 ⋯⋯我還不能推斷⋯⋯這些重力特性的原因。我不需要假設,因為任何不是從現像中推導出來的東西都必須被稱為假設;而假設——無論是形而上學的、還是物理的、基於神秘特性的、或機械的⎯在實驗哲學中都沒有地位⋯⋯。在本哲學中,特定的命題是從現像中推斷出來的,然後通過歸納來概括。」

所以重力不是機械的、不是神秘的、不是假設;牛頓用數學及結果證明了這一點:「重力確實存在,並根據我們制定的定律起了作用,足以解釋天體和海洋的所有運動」,因此即使它的本質不能被理解,但我們不能否認它。牛頓認為這就「夠了」。

牛頓的著作《原理》被其任教之劍橋大學的學生諷刺為一本「任何人都無法理解的書」。圖/Wikipedia

靜態的宇宙

當牛頓抬頭仰望月亮、太陽、和行星以外的天空時,他沒有發現任何物體的運動,因此宇宙應該是靜止的。而如果萬有引力可以用在所有的天體上,科學家再沒有任何理由認為人類很特別,我們所處在的地方在宇宙中佔了一個很獨特的地位。這在現代物理宇宙學中被稱為「宇宙學原理(Cosmology principle)」的概念,認為這些力會在整個宇宙中均勻地作用,因此從足夠大的尺度上觀察時,宇宙中物質的空間分佈應該是均勻的、沒有方向性的。同樣地,我們現在所處在的時刻也沒理由是個很特殊的時刻。顯然地,宇宙永遠就是那樣地存在,它沒有開始,也不會有終結—因為如果有開始,那顯然就應有創造者,這不是太宗教了嗎?

牛頓的引力理論實際上需要一個持續的奇蹟來防止太陽和恆星被拉到一起。在 1666 年至 1668 年之間之手稿《De Gravitatione》 (引力)中,牛頓闡述對空間和宇宙的看法:一種「無限而永恆」的神力與空間共存,它「向各個方向無限延伸」。牛頓設想了一個無限大的宇宙,上帝在其中將星星放置在正確的距離上,因此它們的吸引力抵消了,就像平衡針在它們的點上一樣精確。所以宇宙可以保持靜態,不會崩潰到無任何一點(無限大的宇宙沒有中心點)。

有限的宇宙

但是此一充滿著星球的無限宇宙在羅輯上是有幾個很嚴重的問題。例如雖然兩物體間的作用力與距離的平方成反比(收斂系列),但作用的星球數卻是與距離的平方成正比,正好抵消了前者的效應;因此,

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(1)宇宙中的任何一點均應感受到無限大、往四面八方外拉的重力,所以物體不可能存在的!

(2)宇宙中的任何一點均應看到無限多的星光,所以夜晚的天空不應是黑暗的(註六)。

在你心中宇宙長什麼樣子呢? 圖/Pixabay

事實上亞里士多德早就回答了這個問題:物質宇宙在空間上一定是有限的,因為如果恆星延伸到無限遠,它們就無法在 24 小時內繞地球旋轉一圈。1610 年,開普勒也提出既然夜晚的天空是黑暗的,所以宇宙中的恆星數量必須是有限的!這有限宇宙的觀點一直到二十世紀初期還是被歐洲宗教及大部分科學家所接受(註三),造成了愛因斯坦犯下他一生最大的錯誤(詳見愛因斯坦的最大錯誤——宇宙論常數)。

如何解決牛頓之無限宇宙論與宗教之有限宇宙論間的衝突呢?請待下回分解吧。

註解

  • 註一:高山(作曲沈炳光之夫人黄任芳?):《牧童情歌》。
  • 註二:該書非常複雜難懂,科學歷史學家稱它為一本沒有人讀的書。
  • 註三:Giodano Bruno(1548-1600),意大利哲學家、天文學家、數學家、和神秘學家;因為堅持非正統的想法——包括宇宙是無邊緣的,恆星是離地球很遠的太陽、有它們自己在上面可能存在生命的行星,而付出被羅馬天主教酷刑,在火刑柱上燒死的代價——為一有名的宗教迫害案件例。
  • 註四:晚年被羅馬天主教強迫收回(在審判庭上寫了悔過書),因此不像註三的 Bruno,只被軟禁在家到逝世。說來有點可笑,伽利略之「證明」地球在動的理論完全是錯誤的:例如潮汐每天應該出現兩次,但他的證明只出現一次而已。但伽利略發現相對論原理,正確地解釋了為什麼我們沒感覺地球在動。
  • 註五:引力與距離的平方反比定律最早由布利亞爾杜斯(Ismael Bullialdus)於 1645 年提出;但他不但不接受開普勒的第二和第三定律,也認為太陽的力量在近日點是排斥的。
  • 註六:為紀念十九世紀的德國天文學家歐博耳(Heinrich Olbers, 1758-1840) 在這方面的深入研究,現在被稱為「歐博耳悖論(Olbers paradox)」 。
賴昭正_96
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成功大學化學工程系學士,芝加哥大學化學物理博士。在芝大時與一群留學生合創「科學月刊」。一直想回國貢獻所學,因此畢業後不久即回清大化學系任教。自認平易近人,但教學嚴謹,因此穫有「賴大刀」之惡名!於1982年時當選爲 清大化學系新一代的年青首任系主任兼所長;但壯志難酬,兩年後即辭職到美留浪。晚期曾回台蓋工廠及創業,均應「水土不服」而鎩羽而歸。正式退休後,除了開始又爲科學月刊寫文章外,全職帶小孫女(半歲起);現已成七歲之小孫女的BFF(2015)。首先接觸到泛科學是因爲科學月刊將我的一篇文章「愛因斯坦的最大的錯誤一宇宙論常數」推薦到泛科學重登。

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在完成環球航行之前,人類是如何計算出地球周長的?——《數學就是這樣用:找出生活問題的最佳解》
天下文化_96
・2022/12/03 ・1906字 ・閱讀時間約 3 分鐘

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十六世紀初的環球航行

既然史上第一次環球航行到十六世紀初才完成,埃拉托斯特尼在公元前 240 年又是用什麼方法,這麼準確估算出地球周長呢?他顯然不可能用捲尺繞地球一圈。他的替代做法是先測量地球表面上的一小段距離,再利用一些巧妙的數學運算,省去必須測量整段長度的麻煩。

埃拉托斯特尼在公元前 240 年又是用什麼方法,這麼準確估算出地球周長呢?圖/pexels

埃拉托斯特尼掌管古代最好的亞歷山卓圖書館,在幾個科學領域都有極有趣的貢獻,包括數學、天文學、地理學、音樂等等。不過,儘管他有新穎的工作成果,同時代的人卻瞧不起他的能力,還給他「第二名」(Beta)這個綽號,暗示他不是第一流的思想家。

質數表的誕生

他提出的聰明想法之一是,用有系統的方式產生一系列質數。為了找出從 1 到 100 之間的所有質數,埃拉托斯特尼提出以下的程序。從 2 這個數開始,刪掉隨後所有 2 的倍數,只要在數字表中刪除每走 2 步遇到的整數就行了。接著走到 2 以後還沒刪掉的下一個整數,顯然是 3,現在要有系統的刪除每走 3 步遇到的所有數字,就刪掉了 3 的所有倍數。這個方法在此刻開始顯出自己的本領。整數表中還沒有刪掉的下一個數是 5,重複我們在前面兩個數所用的方法,把每走 5 步遇到的數字全部淘汰掉。

這個程序的要訣是:移到下一個還保留著的數字,然後往後面刪掉這個新數字的所有倍數。如果你做得很有系統,把 7 的倍數都淘汰之後,就會產生一個小於 100 的質數表。

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埃拉托斯特尼篩法是個找出在一特定整數以下的所有質數之簡單演算法。圖/wikipedia

這個程序極為聰明,省去了必須考慮很多的麻煩,非常適合電腦執行,但若要大量產生質數,它的問題是很快就會變得效率低落。它是思考的捷徑,可以讓你像機器般產生質數表,但這不是我想在本書裡頌揚的那種捷徑。我想要的是發掘質數的聰明策略。

利用太陽的位置計算地球周長

不過,我要給埃拉托斯特尼的地球周長計算工作打高分,因為太巧妙了。他聽說斯溫尼特(Swenet)城裡有一口井,太陽每年會有一天在它的天頂。太陽在夏至正午直射井底,不會在井邊投下任何影子。斯溫尼特就是今天的亞斯文(Aswan),離北回歸線不遠,北回歸線位於北緯 23.4 度,是我們發現太陽能夠從頭頂直射的最遠位置。

太陽在夏至正午直射井底,不會在井邊投下任何影子。圖/pexels

埃拉托斯特尼知道可以利用這個和太陽位置有關的資訊,在夏至這天進行實驗,讓他算出地球的周長。雖然這樣他就不必用捲尺繞地球一圈,但這項實驗還是需要走走路。他相信亞歷山卓位於斯溫尼特的正北方,於是在夏至那天,他在亞歷山卓豎起一根竿子。兩地的經度實際上差了 2 度,雖然沒有百分之百準確,不過我要為他的實驗精神鼓掌。

那天,太陽直射斯溫尼特,沒在那口井投下影子,但卻讓亞歷山卓的竿子產生一道影子。埃拉托斯特尼測量了影子長度和竿子長度,就能畫出一個具同樣比例的三角形,然後量出角度,這會告訴他亞歷山卓在地球周長上與斯溫尼特距離多遠。他量出的角度是 7.2 度,也就是一整個圓的 1/50,現在他只須知道亞歷山卓到斯溫尼特的實際距離。

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他沒有親自走到斯溫尼特,而是雇了一位專門丈量距離的人員,稱為測距員(bematist),他們會在兩座城鎮之間走直線,當中只要有任何偏差都會把估算搞砸。丈量結果會用更大的計量單位來記錄:斯塔德。結果,亞歷山卓在斯溫尼特以北 5,000 斯塔德,倘若這是繞地球一整圈的 1/50,那麼地球的周長就會等於 250,000 斯塔德。

今天我們並不確定,埃拉托斯特尼所雇的測量員到底是用多少步來計量他的斯塔德,但就如我在前面解釋過的,這個丈量結果好極了。用一點幾何學,他就省去了雇人走地球一圈的需求。

用一點幾何學,他就省去了雇人走地球一圈的需求。圖/pexels

幾何學的英文字 geometry 正源自這個實驗,因為拆解之後,它是意指「丈量地球」的希臘文:geo=地球,metry=丈量。

——本文摘自《數學就是這樣用:找出生活問題的最佳解》,2022 年 11 月,天下文化出版,未經同意請勿轉載。

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天下文化_96
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天下文化成立於1982年。一直堅持「傳播進步觀念,豐富閱讀世界」,已出版超過2,500種書籍,涵括財經企管、心理勵志、社會人文、科學文化、文學人生、健康生活、親子教養等領域。每一本書都帶給讀者知識、啟發、創意、以及實用的多重收穫,也持續引領台灣社會與國際重要管理潮流同步接軌。