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愛因斯坦建構重力方程式,背後的「藏鏡人」是幾何學家?

研之有物│中央研究院_96
・2019/10/26 ・4280字 ・閱讀時間約 8 分鐘 ・SR值 531 ・七年級

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本文轉載自中央研究院研之有物,泛科學為宣傳推廣執行單位

  • 採訪編輯/郭雅欣,美術編輯/林洵安

愛因斯坦的廣義相對論中,以重力方程式來描述時空中的物質如何影響整個時空的幾何,顛覆了牛頓的古典時空概念,並成為廣義相對論的核心。科學家用重力方程式預測了黑洞存在、宇宙膨脹、重力波等等現象,後來一一獲得驗證。

不過,在愛因斯坦建構重力方程式的過程,幾何學家在背後擔任著「藏鏡人」的角色……中研院數學所研究員鄭日新,在 2019 年院區開放日的科普演講「幾何學–重力研究的好幫手」,跟民眾暢談愛因斯坦與幾何學家的故事。

先別管相對論了,你真的懂幾何學嗎?

大家都聽過「一個成功的男人,背後一定有個偉大的女人。」但你應該沒想過,一個成功的物理學家,背後可能有著好幾個偉大的幾何學家──愛因斯坦在重力方程式上的成功,就是一個經典的例子。2

愛因斯坦「驚人」的重力方程式,是建立在度規張量、最小變分方法等等幾何學成就之上。 圖說設計/黃曉君、林洵安 圖片來源/維基百科

「幾何學,不就是數學課上教過的那些三角函數、充滿各種性質的各種圖形?怎麼會跟相對論扯上關係呢?」

我們一般認知的幾何屬於「歐氏幾何」,是以西元前 330~275 年古希臘數學家歐幾里德所撰寫的《幾何原本》做為基礎,歐氏幾何的一切性質都是建立在平面上的。但近代許多數學家紛紛找出不同的幾何,例如:建立在球面上的正曲面幾何、馬鞍形狀曲面上的負曲面幾何等等。其中一個突破性的概念,就是黎曼於 19 世紀中葉提出的「黎曼幾何」。

黎曼幾何中,所有度量的幾何量和選取的座標無關,例如兩點間的「長度」,是存在於黎曼幾何的內在性質,而不是我們一般認為的從外觀去判斷、測量而得。

黎曼幾何這個「和座標無關」的特性,後來成為愛因斯坦重力方程式誕生的重大關鍵。

伯恩哈德·黎曼 (Bernhard Riemann,1826~1866) 年德國數學家,黎曼幾何學創始人。黎曼幾何中,所有度量的幾何量和選取的座標無關,成為愛因斯坦發展廣義相對論最重要的數學工具之一。 圖片來源/維基百科

不受座標影響的重力

愛因斯坦在 1905 年完成狹義相對論後,便一直想解決重力的問題。在牛頓所發展的古典力學中,空間中的質量分布會產生重力場,也就是一旦知道了空間中每一點的質量分布,就能找出每一點的重力位能。

然而,如果將愛因斯坦的狹義相對論加入考量,立刻產生問題。狹義相對論為了解決光速恆定,推導出質量會隨著速度而改變,這意味著,當兩個人所在的慣性座標不同——例如一人靜止於地面,另一人在等速前進的火車上,兩人看待的物體質量也會不同。

那麼,宇宙中的質量分布及重力場,不就會受到座標的不同影響了嗎?

由於在愛因斯坦發展重力理論之前,著名的數學物理學家馬克士威 (James Clerk Maxwell) 已經在 19 世紀中葉提出完整的電磁學理論──馬克士威方程式組。這組方程式不論在任何慣性座標下,數學形式都不會改變,稱為符合「勞倫茲轉換」(Lorentz transformation)。

因此愛因斯坦深信,重力理論一定也有符合某種廣義的勞倫茲轉換的方程式,不會因為座標改變而不同。於是,愛因斯坦踏上了尋找重力方程式的路程。

重力場和因電磁感應而產生的電場類似,其存在只有相對的意義。因為對於一名從屋頂自由落下的觀測者而言,至少在他的附近,重力場並不存在。——愛因斯坦

黎曼幾何裡的寶藏

愛因斯坦以一個二階張量來描述質量分布,此二階張量是一個四乘四的對稱矩陣,包含了 10 個分量,速度、動量等等項目都能含括進去,才能完整的描述質量分布。

牛頓古典力學中,質量分布是重力場(位能) 二次微分的結果,所以愛因斯坦希望能找到另一個(也必須是二階) 張量,其二次微分可以得到描述質量分佈的張量,此外又符合某種廣義的勞倫茲轉換。

他找了自己的大學同學格羅斯曼 (Marcel Grossmann) 幫忙,格羅斯曼的研究專長是黎曼幾何。如之前所說,黎曼幾何的一大特點便是度量與座標無關,建立在稱為「度規張量」的基礎上。

因此,如果能從黎曼幾何中找到符合所需的張量,或許就能完成愛因斯坦想要的「不隨座標改變的重力方程式」。

你一定要幫我,不然我要瘋了!——愛因斯坦給格羅斯曼的信

馬塞爾·格羅斯曼 (Marcell Grossmann,1878~1936 年),猶太數學家,愛因斯坦的大學同窗和好友,專長是黎曼幾何,建議愛因斯坦將黎曼幾何中的里奇曲率張量納入重力方程式。 圖片來源/維基百科

格羅斯曼翻閱圖書館的資料後,發現在黎曼幾何中有一個「里奇曲率張量」(Ricci curvature tensor),剛好符合愛因斯坦的需求。於是愛因斯坦把它納入方程式,於 1912、1913 年和格羅斯曼共同發表,並試著以這個方程式解決當時困擾科學家許久的「水星近日點進動之謎」。

行星是以橢圓軌道在繞行太陽的,太陽就位於橢圓軌道的其中一個焦點,而軌道上最靠近這個焦點的位置,就是行星的近日點。

不過行星的軌道並非完全穩定的,軌道本身也會慢慢的旋轉,也就是近日點的位置會一點點的改變,每一次行星繞到近日點時,位置都會和上一次有些許不同,稱為「進動」。

相較於多數行星的進動幅度都在每一百年 10 角秒以內,水星的近日點進動的幅度多達每一百年 43 角秒,牛頓所發展出的天體運動學一直無法解釋這個現象。

「當時的重力方程式雖然還沒有完整,但已經可以解決水星近日點進動之謎。」鄭日新繼續說故事:「不過,愛因斯坦當時並沒有成功解釋,可能是……他算錯了。」

總之,愛因斯坦的方程式還未完整,旅程還沒有結束。

重力方程式的最後一塊拼圖

原來,雖然找到了里奇曲率張量,但它可能只是用來描述重力場的方程式的最高項而已。後面應該還要加上其他項,才能讓方程式完整。

1915 年,愛因斯坦受邀到哥廷根科學院演講,邀請他的是一位幾何學專家希爾伯特 (David Hilbert),在那次見面交流的過程中,希爾伯特得知了愛因斯坦正在推導重力方程式。

接下來,希爾伯特也投入了尋找重力方程式的工作,並在一次信件往返中,向愛因斯坦提出可以利用變分方法最小作用量原理,來推導出完整的重力方程式。

大衛·希爾伯特 (David Hilbert,1862~1943年),德國數學家,19 世紀和 20 世紀初最具影響力的數學家之一,建議愛因斯坦以變分方法和最小作用量原理,推導完整的重力方程式。 圖片來源/維基百科

愛因斯坦於該年 11 月,發表了完整的重力方程式。由於希爾伯特也幾乎是同一時間提出了重力方程式,對於第一個找出重力方程式的人究竟是誰,也引起了許多討論。但可以確定的是,希爾伯特在數學上提供的協助,是重力方程式能成功誕生的一大關鍵。

哥丁根街上任何一個小孩對於四維幾何的了解都要強過愛因斯坦,儘管如此,做出廣義相對論的是愛因斯坦,而非數學家!——希爾伯特

從格羅斯曼到希爾伯特,幾何學一直在愛因斯坦研究重力方程式的過程中,擔任關鍵且不可或缺的角色。身為數學家的鄭日新,對於數學時常在物理研究提供重要協助,有怎樣的看法呢?

鄭日新,中研院數學所研究員,在 2019 年院區開放日的科普演講「幾何學–重力研究的好幫手」之中,與民眾暢談愛因斯坦重力方程式背後幾何學家的重大貢獻! 攝影/林洵安

您會怎麼形容幾何學在宇宙中所扮演的角色?

幾何學有點像宇宙的「法身」,這是宗教的用語,就是描述這個真正世界背後的道理,用的是數學的語言。我們看得見這個世界,但我們看不見數學語言,幾何學就是這樣隱藏在宇宙的道理之中。

許多數學概念最初只是純理論,後來卻在真實世界找到應用,您怎麼看?

因為如此,所以我們做理論的,有時候不太相信那些從數學公式推導出來的東西真的有物理意義。像重力波一開始被提出時,許多人都保持懷疑的態度,總覺得是從數學公式預測出來的,雖然理論上只要愛因斯坦的重力方程式是對的,應該可以測得到重力波。

但在真實的物理世界是不是真的有意義?真的有這樣的東西存在呢?我們無法確定。

後來天文觀測慢慢發現,宇宙中有許多中子星、黑洞等大質量天體,有些是以雙星的系統彼此繞行,才讓我們漸漸相信可能檢測得到重力波,後來也真的偵測到重力波的存在。

站在數學家的視角,您覺得宇宙是什麼樣子?

現在一般天文學家相信宇宙是膨脹的,無限且沒有邊界,但我喜歡「宇宙是有限但沒有邊界」這樣的說法。就像一個三維的球,也可以膨脹,它沒有邊界,但是有限的。

在數學上如果曲率夠大,是可以推論出宇宙是「有限無邊」的。而我們知道幾何學上的曲率,可以從愛因斯坦的重力方程式解釋成物理上的質量分布。

所以,如果我們能夠觀測到宇宙深處有很多稠密的質量分布,很可能宇宙真的是有限無邊的。

對於近代的科學研究中,數學或幾何學是否也可能扮演愈來愈重要的角色?

幾何學或數學不會只對重力有幫助,尤其是幾何學,它的核心是希望有一個觀念可以應用廣泛,或是統一解釋各種不同的現象。我覺得幾何學對生命科學也可能有幫助,只是生命科學的發展可能還很零散。

不過,就像早期科學家對於各種電、磁的現象也是零散的發現、研究,後來才慢慢統合成馬克士威方程式,或許未來生命科學的研究也會慢慢綜合起來,然後有人看出裡面好像有某個數學觀念,可以做為基礎來建立一個統一的理論。

如果是這樣,很可能那個「好的觀念」在數學裡已經有人建立了,正在靜靜等待下一個愛因斯坦來發現。

本文轉載自中央研究院研之有物,原文為〈幾何學-愛因斯坦重力研究的好幫手〉泛科學為宣傳推廣執行單位

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研之有物│中央研究院_96
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鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2022/11/01 ・2113字 ・閱讀時間約 4 分鐘

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在完成環球航行之前,人類是如何計算出地球周長的?——《數學就是這樣用:找出生活問題的最佳解》
天下文化_96
・2022/12/03 ・1906字 ・閱讀時間約 3 分鐘

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十六世紀初的環球航行

既然史上第一次環球航行到十六世紀初才完成,埃拉托斯特尼在公元前 240 年又是用什麼方法,這麼準確估算出地球周長呢?他顯然不可能用捲尺繞地球一圈。他的替代做法是先測量地球表面上的一小段距離,再利用一些巧妙的數學運算,省去必須測量整段長度的麻煩。

埃拉托斯特尼在公元前 240 年又是用什麼方法,這麼準確估算出地球周長呢?圖/pexels

埃拉托斯特尼掌管古代最好的亞歷山卓圖書館,在幾個科學領域都有極有趣的貢獻,包括數學、天文學、地理學、音樂等等。不過,儘管他有新穎的工作成果,同時代的人卻瞧不起他的能力,還給他「第二名」(Beta)這個綽號,暗示他不是第一流的思想家。

質數表的誕生

他提出的聰明想法之一是,用有系統的方式產生一系列質數。為了找出從 1 到 100 之間的所有質數,埃拉托斯特尼提出以下的程序。從 2 這個數開始,刪掉隨後所有 2 的倍數,只要在數字表中刪除每走 2 步遇到的整數就行了。接著走到 2 以後還沒刪掉的下一個整數,顯然是 3,現在要有系統的刪除每走 3 步遇到的所有數字,就刪掉了 3 的所有倍數。這個方法在此刻開始顯出自己的本領。整數表中還沒有刪掉的下一個數是 5,重複我們在前面兩個數所用的方法,把每走 5 步遇到的數字全部淘汰掉。

這個程序的要訣是:移到下一個還保留著的數字,然後往後面刪掉這個新數字的所有倍數。如果你做得很有系統,把 7 的倍數都淘汰之後,就會產生一個小於 100 的質數表。

埃拉托斯特尼篩法是個找出在一特定整數以下的所有質數之簡單演算法。圖/wikipedia

這個程序極為聰明,省去了必須考慮很多的麻煩,非常適合電腦執行,但若要大量產生質數,它的問題是很快就會變得效率低落。它是思考的捷徑,可以讓你像機器般產生質數表,但這不是我想在本書裡頌揚的那種捷徑。我想要的是發掘質數的聰明策略。

利用太陽的位置計算地球周長

不過,我要給埃拉托斯特尼的地球周長計算工作打高分,因為太巧妙了。他聽說斯溫尼特(Swenet)城裡有一口井,太陽每年會有一天在它的天頂。太陽在夏至正午直射井底,不會在井邊投下任何影子。斯溫尼特就是今天的亞斯文(Aswan),離北回歸線不遠,北回歸線位於北緯 23.4 度,是我們發現太陽能夠從頭頂直射的最遠位置。

太陽在夏至正午直射井底,不會在井邊投下任何影子。圖/pexels

埃拉托斯特尼知道可以利用這個和太陽位置有關的資訊,在夏至這天進行實驗,讓他算出地球的周長。雖然這樣他就不必用捲尺繞地球一圈,但這項實驗還是需要走走路。他相信亞歷山卓位於斯溫尼特的正北方,於是在夏至那天,他在亞歷山卓豎起一根竿子。兩地的經度實際上差了 2 度,雖然沒有百分之百準確,不過我要為他的實驗精神鼓掌。

那天,太陽直射斯溫尼特,沒在那口井投下影子,但卻讓亞歷山卓的竿子產生一道影子。埃拉托斯特尼測量了影子長度和竿子長度,就能畫出一個具同樣比例的三角形,然後量出角度,這會告訴他亞歷山卓在地球周長上與斯溫尼特距離多遠。他量出的角度是 7.2 度,也就是一整個圓的 1/50,現在他只須知道亞歷山卓到斯溫尼特的實際距離。

他沒有親自走到斯溫尼特,而是雇了一位專門丈量距離的人員,稱為測距員(bematist),他們會在兩座城鎮之間走直線,當中只要有任何偏差都會把估算搞砸。丈量結果會用更大的計量單位來記錄:斯塔德。結果,亞歷山卓在斯溫尼特以北 5,000 斯塔德,倘若這是繞地球一整圈的 1/50,那麼地球的周長就會等於 250,000 斯塔德。

今天我們並不確定,埃拉托斯特尼所雇的測量員到底是用多少步來計量他的斯塔德,但就如我在前面解釋過的,這個丈量結果好極了。用一點幾何學,他就省去了雇人走地球一圈的需求。

用一點幾何學,他就省去了雇人走地球一圈的需求。圖/pexels

幾何學的英文字 geometry 正源自這個實驗,因為拆解之後,它是意指「丈量地球」的希臘文:geo=地球,metry=丈量。

——本文摘自《數學就是這樣用:找出生活問題的最佳解》,2022 年 11 月,天下文化出版,未經同意請勿轉載。

天下文化_96
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天下文化成立於1982年。一直堅持「傳播進步觀念,豐富閱讀世界」,已出版超過2,500種書籍,涵括財經企管、心理勵志、社會人文、科學文化、文學人生、健康生活、親子教養等領域。每一本書都帶給讀者知識、啟發、創意、以及實用的多重收穫,也持續引領台灣社會與國際重要管理潮流同步接軌。

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愛因斯坦是第一個發現狹義相對論的物理學家嗎?
賴昭正_96
・2022/10/21 ・7324字 ・閱讀時間約 15 分鐘

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  • 文|賴昭正/前清大化學系教授、系主任、所長;合創科學月刊

自從數學家入侵(狹義)相對論後,我自己也搞不懂了。
——愛因斯坦(Albert Einstein),1921 年諾貝爾物理獎得主

在「畢業求職碰壁,在伯爾尼專利局思索的愛因斯坦」裡,筆者提到了 1905 年愛因斯坦在專利局一口氣寫了五篇諾貝爾獎級的論文,投到德國名雜誌《物理年鑑》(Annalen der Physik),創造了理論物理界的一個「奇蹟年」。愛因斯坦曾希望他在《物理年鑑》這傑出期刊上的大量論文能夠讓他擺脫默默無聞的三流專利審查員,獲得一些學術認可,甚至找到一份學術工作;但是事與願違,反應卻是非常冷淡。

正在絕望之際,愛因斯坦於 1906 年 3 月突然收到了一位物理學家的反應;令他驚奇的是:這位物理學家竟然不是別人,而是當時歐洲受人尊敬的理論物理學大師普朗克(Max Planck)!

馬克斯.普朗克(Max Planck)。圖/維基百科

普朗克寫信告訴他說那篇題爲「關於運動物體的電動力學」(Zur Elektrodynamik bewegter Körper)論文「立即引起了我的熱烈關注」。在該論文出版後,普朗克立即在柏林大學講授相對論!由於他的影響,這個理論很快在德國被廣泛接受,並公開地為愛因斯坦理論辯護,反對一波又一波的懷疑論者,終於使這篇完全改變牛頓之時空觀念的論文與量子力學一起開創了近代物理學(詳見「除了發現量子力學,普朗克還有第二個重大發現是什麼?」)。

可是愛因斯坦真的是首位發現狹義相對論的物理學家嗎?

馬克斯威方程式:用簡單的公式解釋電磁學

在「近代物理的先驅:馬克斯威」裡,筆者提到曾被評選為有史以來第三大物理學家馬克斯威用簡潔數學方程式闡釋了當時已知的電磁現象。從那些簡潔的方程式中,他看出了原來的安培定律只適用於穩定的電流情況,因此人為地加進去一個現在稱為「位移電流」(displacement current)的項目!此「位移電流」不但解決了時變電場如何產生(誘導)磁場的問題(安培—馬克斯威定律),也讓馬克斯威看出電、磁本是一家人的對稱關係,使他成為第一位統合了自然界兩種不同作用力的科學家!也就是這一項令他在 1865 年導出電磁波的存在,並證明光事實上就是一種電磁波!

詹姆士.克拉克.馬克士威(James Clerk Maxwell)。圖/維基百科

這現在所謂的「馬克斯威方程式(Maxwell′s Equations)」事實上有一個很大的問題:與具有 300 多年歷史之牛頓力學衝突!在牛頓力學裡,速度是「相對」的;但馬克斯威方程式中卻包含與光源運動無關的「定值」光速(讀者注意到沒:牛頓第二定律公式只含加速度、沒有速度)!因此儘管後者在解釋電磁現象的成功是無可置疑的,不少理論物理學家還是想修正它使其能容於牛頓力學;其中最著名的就是眾所皆知的:認為空間充滿了絕對靜止的「以太」,「光速為定值」就是相對於這一固定的「以太」而言——這不但解決了光速問題,還使電磁波有個「機械」的基礎(像聲波需要靠空氣來傳播)。

於是實驗物理學家開始設計各種實驗來偵測這一「以太」或者地球在這一「以太」中的運動速度;不幸的是各種實驗都是空手而歸:偵測不到地球在「以太」中的運動速度(其中最著名的就是 1887 年之麥可森—莫利(Albert Michelson and Edward Morley)實驗)。於是理論物理學家就開始尋找各種理論來解釋這些失敗的原因……。

其中「最簡單的解釋」是:馬克斯威方程式適用於在「以太」中做等速運動的任何慣性系統(inertial frame)——稱為「相對性原理」(principle of relativity)。

相對性原理——伽利略

法國數學、物理、工程、哲學家龐加萊(Henri Poincaré)於 1904 年將「相對性原理」定義為:根據該原理,物理現象的定律無論是對於固定的觀察者,或等速平移運動的觀察者,都應該是相同的;所以我們沒有、也不可能有任何方法來辨別我們是否正在做這樣的運動。

事實上早在 1632 年,伽利略(Galileo Galilei)在「關於兩個主要世界系統的對話」(Dialogue Concerning the Two Chief World Systems)中,即已明確地闡述這一原理。正是因為這一個原理,所以我們沒有感覺到地球自轉及圍繞太陽運行(加速不夠快,所以大約是一個慣性系統);因此不管你什麼時候在台北或北京做實驗,所得到的結果或定律都應該是一樣的。

伽利略.伽利萊(Galileo Galilei)圖/維基百科

到了 19 世紀末、20 世紀初,物理學家已經完全接受這一原理。在數學上,他們謂牛頓力學定律必須符合「伽利略坐標轉換」(Galilean transformation)公式:物理定律不應因從甲坐標轉換到另一慣性系統之乙坐標而改變。馬克斯威方程式不符合這一坐標轉移,因此上面所提到的「最簡單的解釋」顯然不對!所以光速為定值還是一個謎。

洛倫茲與龐加萊

洛倫茲(Hendrik Lorentz, 1902 年諾貝爾物理獎得主)毫無疑問是十九世紀下半葉和二十世紀上半葉最偉大的物理學家之一。由於測不出地球在以太中的運動,洛倫茲提出理論謂:設備通過以太時,可能導致設備在運動方向上沿其長度方向收縮(空間收縮)。他進一步假設運動系統的「局部虛擬」時間[註1]也必須相應地改變(時間膨脹),導出了馬克斯威方程式必須符合的「洛倫茲(坐標)轉換」(Lorentz transformation)公式。

事實上龐加萊在 1898 年時即已意識到:「科學家必須將光速的恆定性作為一個假設,才能為物理理論提供最簡單的形式。」在相對性原理或洛倫茲轉換的物理解釋,龐加萊的貢獻至少比愛因斯坦早了 5 年;而在其它方面,他們的許多貢獻則可以說是同時發生的:例如不少科學家認為龐加萊 1905 年 6 月在法國科學院所宣讀的「關於電子動力學(Sur la dynamique de l’électron)」)刪節版,似乎「預見」了愛因斯坦 1905 年的相對論。

朱爾·亨利.龐加萊(法語:Jules Henri Poincaré) 圖/維基百科

愛因斯坦

1905 年,愛因斯坦在題為「關於運動物體的電動力學」的論文引言裡,開宗明義地謂「不要爭辯」光速了:

我們建議將「相對性原理」這個猜想(conjecture)提升到一個公設(postulate)的地位,並引入另一個表面上與前者不調和(irreconcilable)的公設,即光是在真空中的傳播速率為一與發射體運動狀態無關的定值 c[註2]。 這兩個假設足以(讓我們)透過適用於靜止物體(狀態)之馬克斯威理論,導出一個簡單且不矛盾(consistent)的電動力學理論。

然後開始討論「運動學」,以光在任何等速坐標中都相同為出發點,用簡單的數學討論同時性的定義、關於長度和時間的相對性、從一個固定系統到另一個系統的時間與空間之坐標轉換理論、運動剛體和運動時鐘方程的物理意義、及速度的組成(相對運動的速度相加)。在這一章節裡愛因斯坦不需任何極端近似,就能推導出「洛倫茲轉換方程式」、時間膨脹(time dilation)、「洛倫茲—傅玆久拉空間收縮」Lorentz-FitzGerald contraction)等等學物理的都耳熟能詳想的的觀念。

第二章「電動部分」所用的數學就複雜多了。愛因斯坦在這裡將新的空間和時間理論應用於馬克斯威電動力學,證明電場與磁場是一物的兩面,因運動者的觀點而不同;馬克斯威實際上是遵循慣性運動的相對性原理:但因為我們一直認為空間和時間具有牛頓性質,而不是狹義相對論,故我們沒有注意到它而已。

狹義相對論的關鍵是同時性的相對性,只有在相對運動速度很小的情況下,牛頓的絕對時間和空間觀念才能(近似地)適用。所以原來是牛頓力學,而不是「馬克斯威方程式」錯了!所以愛因斯坦在該論文的最後一節裡「修正」牛頓第 2 運動定律,得到電子[註3]的動能:

式中 v 為電子的運動速度,m0 為電子的質量。愛因斯坦只指出「(所以)大於光速的速度……,沒有存在的可能性」[註4]

所以,到底是誰發現相對論?

德國物理學家郭夫曼(Walter Kaufmann)可能是第一個注意到愛因斯坦這篇論文之一的人:1905 年,他比較了洛倫茲和愛因斯坦的理論,謂大部分的物理學家可能會較喜歡後者的方法,但他認為這兩種理論在觀察上是等價的,因此他把相對性原理稱為「洛倫茲—愛因斯坦理論」。

這算是客氣的了!1953 年,英國數學、物理、歷史學家魏達克爾(Edmund Whittaker)爵士在總體評價上是正面的「以太和電理論史」(A History of the Theories of Aether and Electricity)一書中聲稱:相對論是龐加萊和洛倫茲的創造,愛因斯坦的貢獻並不大。

「以太和電理論史」(A History of the Theories of Aether and Electricity)一書出版於 1910 年。圖/維基百科

事實上我們應該放棄優先權的無意義爭論,探討不同方法之間的異同才能看出愛因斯坦的貢獻。愛因斯坦徹底消除了在物理學中沒有任何作用的以太,以光在任何等速坐標中都相同為出發點,探討了「同時」、空間、和時間的相對性。相比之下,龐加萊認為以太是一種定義了「真實」空間和時間的特殊參考系統,其它框架中測量的空間和時間則只是「表面的」。 愛因斯坦從他的兩個假設,用最少的數學知識,導出了當時需要幾個極端近似的洛倫茲轉換式;而龐加萊則因這樣的轉換可使馬克斯威方程式保持不變,而「被動地」反向導出這些轉換。愛因斯坦的論文不是因為要解釋實驗結果而東拼西湊出來的,它是「從公理開始,然後從中進行推論……」的美麗又簡單的理論。從他的假設中準確地推導出了當時需要幾個極端近似才能得到的結果。

洛倫茲在十年後終於完全意識到他自己的論點和愛因斯坦的論點之間的區別,謂「如果我現在必須寫最後一章,我當然應該給愛因斯坦的相對論一個更突出的位置……。(他的)運動電磁現象理論系統具有我無法達到的簡單性。」儘管如此,洛倫茲(1853~1928)從未接受愛因斯坦的相對論觀點——這讓愛因斯坦非常傷心,因為洛倫茲是他最敬佩的四位物理學家之一(其他三位是伽利略、牛頓、馬克斯威)。

愛因斯坦與洛倫茲於 1921 年的合影。圖/維基百科

閔可夫斯基時空

愛因斯坦在那篇論文裡一共提了 15 次的「空間」,但從來沒有將它和「時間」連在一起,所以他當時應該沒想到在他的新運動學裡,空間和時間處於完全相同地位。將時間和空間組合成一個現在稱為「閔可夫斯基時空(Minkowski space或spacetime)」之嶄新觀念的功勞歸於他在蘇黎世聯邦理工學院就讀時的數學老師閔可夫斯基(Hermann Minkowski)。這一新觀點奠定了相對論的數學基礎,完成了近代物理學家所熟悉之(狹義)相對論形式[註5]

愛因斯坦在理工學院就讀時,常常表現出一副無所不知的態度,不但很少注意閔可夫斯基的課,也常翹課,因此閔可夫斯基稱他為「懶狗 (lazy dog)」。愛因斯坦發表相對論後,閔可夫斯基評論道「我真不敢相信他能做到」。而愛因斯坦則一開始就反對閔可夫斯基所提之時空為一體的新觀念;在他第一次聽到它時甚至貶低它,謂那是「多餘的博學」,並抱怨「自從數學家入侵相對論後,我自己也搞不懂了」!誰又想到如果不是這一新觀念及其數學,他後來的廣義相對論將永遠發展不出來!

1908 年 9 月 21 日,閔可夫斯基(已經被挖角到德國哥廷根大學)在第 80 屆德國自然科學家和醫師大會上的演講謂:

……,擺在你們面前的空間和時間觀是從實驗物理學的土壤中產生的,因此蘊含著它們的力量。它們是革命性的(radical)。 從此,空間本身和時間本身注定要消逝於虛無之中,唯有兩者的某種結合才能保持獨立的現實。

在閔可夫斯基時空裡,單獨的空間和時間都不再是絕對的,而是因觀察者的運動狀態而異;但一體的時空則還是絕對的(詳見「牛頓的水桶」),比如所有觀察者測量得到的「兩點時空之距離」都是相同的。

有兩件事似乎說明了閔可夫斯基獨立地得出了愛因斯坦的狹義相對論和時空概念:

  1. 閔可夫斯基不可能那麼快的就於 1908 年報告、並發表 59 頁的成熟四維時空物理學,其內容充分地顯示了他對所有實驗都未能檢測到相對於絕對空間之均勻運動的原因有最深刻的理解;
  2. 他的學生玻恩(Max Born,1954 年諾貝爾物理獎得主)的回憶也證實閔可夫斯基獨立地在思考平面時空物理學。玻恩回憶說:在 1905 年初夏的一次內部研討會上,閔可夫斯基「偶爾提到」他的時空研究;「(但)因為他希望先弄清楚其所有輝煌的數學結構,因此沒有(提早)發表它們」,而讓愛因斯坦搶得先機。」

結論

從上面的分析看來,愛因斯坦那篇文章所討論到的幾乎都「古已有之」[註7];因此像普朗克波思(Satyendra Bose)一樣,愛因斯坦可能根本沒想到該篇電動力學論文是「革命性的」。知己莫若己,1905 年,在寫給好友哈比希特(Conrad Habicht)的信中,他只說「第一篇涉及輻射和光的能量特性,非常具有革命性:……第四篇論文現在還只是一個粗略的草稿,它是對時空理論進行修改之運動體的電動力學。」以「馬後砲」之明來看,第一篇光量子的假設只是量子力學發展中(或許是很重要)的一個螺絲而已,但第四篇相對論則是一下子推翻了三百多年古典物理中的時空觀念,讀者說那個具有革命性呢?所以愛因斯坦真的知道他發現了革命性的相對論嗎?

愛因斯坦解釋廣義相對論的手稿。圖/維基百科

後記

1915 年,愛因斯坦又發表了後來讓他一夜成名的廣義相對論,改寫了牛頓萬有引力理論;但也好事多磨,曾發生與非常傑出的數學物理學家、閔可夫斯基好友希爾伯特(David Hilbert)[註6]爭吵發現廣義相對論之頭銜。愛因斯坦也沒有因廣義相對論而獲得諾貝爾獎;他之獲得諾貝爾獎主要還是因他那自認為「非常具有革命性」的論文。

爭論如此之多,愛因斯坦為什麼要發表相對論呢?知己莫若己,且聽他道來:「我有時會問自己,我是如何發展相對論的。我認為其原因是:一個正常的成年人從不去思考空間和時間的問題——這些都是他小時候就想到的;但我的智力發育遲緩,因此長大後才開始思考空間和時間。」什麼?愛因斯坦發育遲緩?怪不得筆者曾為文謂愛因斯坦其實沒那麼神?反觀筆者自己,小時候從沒想過空間和時間,長大後也只知「生活空間」及「善用時間」而已,真是白痴一個!

註解

  1. 在愛因斯坦發表相對論之前,一般物理學家都認為只有一個絕對的時間。
  2. 愛因斯坦從來沒有說明為什麼要第二個光速為定值的假設,因為這似乎是多餘的:如果馬克斯威理論謂光速在一(靜態)體系內為 c,那麼依照第一個「相對性原理」的假設,在任何其它慣性坐標體系內的光速不應也是 c 麼?在網絡上有許多猜測與討論,但筆者認為是因為當時馬克斯威理論尚不容於古典之故。又,光速是一個實驗可以測出來的物理量,怎麼可以「假設」呢?
  3. 因為可以假設物體帶有非常微量的電荷,所以愛因斯坦大膽地認為其結論適用於「所有物體」。
  4. 當電子的運動速度比光速小多時,該公式就得回牛頓的動能公式。該公式暗示電子的質量會因運動而增加,因此在網路上可以看到許多誤認為該文提出了「質能相等」的觀念(洛倫茲等人也早就「暗示」了)。事實上愛因斯坦在該文中從未提及這些字眼;而在幾個月後又發表了一篇短文,從該公式推導出「物體的質量是其能量含量的量度:如果能量變化為 L,則質量在相同意義上的變化為 L/c2」,但也沒提及「質能相等」的觀念——儘管如此,物理學家還是將提出 E=mc2 的功勞歸於愛因斯坦(詳見「愛因斯坦其實沒那麼神?」)。這篇短文事實上一開始就在邏輯上受到批評,而第一位批評的不是別人,竟然正是「發掘」他的普朗克!
  5. 正像波爾(Niels Bohr)等人在普朗克及愛因斯坦之後完成了近代物理的量子力學一樣(詳見《量子的故事》)。
  6. 正是他將閔可夫斯基挖角到德國哥廷根大學,使得該校成為當時全世界之數學物理學重鎮。可惜閔可夫斯基英年早逝,1909 年元月,正當相對論起飛時死於急性盲腸炎,時年才 45 歲。
  7. 不少物理學家及歷史學家都認為如果要發諾貝爾相對論獎,則除了愛因斯坦外,也應該包括洛倫茲及龐加萊。

延伸閱讀

賴昭正_96
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成功大學化學工程系學士,芝加哥大學化學物理博士。在芝大時與一群留學生合創「科學月刊」。一直想回國貢獻所學,因此畢業後不久即回清大化學系任教。自認平易近人,但教學嚴謹,因此穫有「賴大刀」之惡名!於1982年時當選爲 清大化學系新一代的年青首任系主任兼所長;但壯志難酬,兩年後即辭職到美留浪。晚期曾回台蓋工廠及創業,均應「水土不服」而鎩羽而歸。正式退休後,除了開始又爲科學月刊寫文章外,全職帶小孫女(半歲起);現已成七歲之小孫女的BFF(2015)。首先接觸到泛科學是因爲科學月刊將我的一篇文章「愛因斯坦的最大的錯誤一宇宙論常數」推薦到泛科學重登。