愛因斯坦建構重力方程式,背後的「藏鏡人」是幾何學家?

本文轉載自中央研究院研之有物,泛科學為宣傳推廣執行單位

  • 採訪編輯/郭雅欣,美術編輯/林洵安

愛因斯坦的廣義相對論中,以重力方程式來描述時空中的物質如何影響整個時空的幾何,顛覆了牛頓的古典時空概念,並成為廣義相對論的核心。科學家用重力方程式預測了黑洞存在、宇宙膨脹、重力波等等現象,後來一一獲得驗證。

不過,在愛因斯坦建構重力方程式的過程,幾何學家在背後擔任著「藏鏡人」的角色……中研院數學所研究員鄭日新,在 2019 年院區開放日的科普演講「幾何學–重力研究的好幫手」,跟民眾暢談愛因斯坦與幾何學家的故事。

先別管相對論了,你真的懂幾何學嗎?

大家都聽過「一個成功的男人,背後一定有個偉大的女人。」但你應該沒想過,一個成功的物理學家,背後可能有著好幾個偉大的幾何學家──愛因斯坦在重力方程式上的成功,就是一個經典的例子。2

愛因斯坦「驚人」的重力方程式,是建立在度規張量、最小變分方法等等幾何學成就之上。 圖說設計/黃曉君、林洵安 圖片來源/維基百科

「幾何學,不就是數學課上教過的那些三角函數、充滿各種性質的各種圖形?怎麼會跟相對論扯上關係呢?」

我們一般認知的幾何屬於「歐氏幾何」,是以西元前 330~275 年古希臘數學家歐幾里德所撰寫的《幾何原本》做為基礎,歐氏幾何的一切性質都是建立在平面上的。但近代許多數學家紛紛找出不同的幾何,例如:建立在球面上的正曲面幾何、馬鞍形狀曲面上的負曲面幾何等等。其中一個突破性的概念,就是黎曼於 19 世紀中葉提出的「黎曼幾何」。

黎曼幾何中,所有度量的幾何量和選取的座標無關,例如兩點間的「長度」,是存在於黎曼幾何的內在性質,而不是我們一般認為的從外觀去判斷、測量而得。

黎曼幾何這個「和座標無關」的特性,後來成為愛因斯坦重力方程式誕生的重大關鍵。

伯恩哈德·黎曼 (Bernhard Riemann,1826~1866) 年德國數學家,黎曼幾何學創始人。黎曼幾何中,所有度量的幾何量和選取的座標無關,成為愛因斯坦發展廣義相對論最重要的數學工具之一。 圖片來源/維基百科

不受座標影響的重力

愛因斯坦在 1905 年完成狹義相對論後,便一直想解決重力的問題。在牛頓所發展的古典力學中,空間中的質量分布會產生重力場,也就是一旦知道了空間中每一點的質量分布,就能找出每一點的重力位能。

然而,如果將愛因斯坦的狹義相對論加入考量,立刻產生問題。狹義相對論為了解決光速恆定,推導出質量會隨著速度而改變,這意味著,當兩個人所在的慣性座標不同——例如一人靜止於地面,另一人在等速前進的火車上,兩人看待的物體質量也會不同。

那麼,宇宙中的質量分布及重力場,不就會受到座標的不同影響了嗎?

由於在愛因斯坦發展重力理論之前,著名的數學物理學家馬克士威 (James Clerk Maxwell) 已經在 19 世紀中葉提出完整的電磁學理論──馬克士威方程式組。這組方程式不論在任何慣性座標下,數學形式都不會改變,稱為符合「勞倫茲轉換」(Lorentz transformation)。

因此愛因斯坦深信,重力理論一定也有符合某種廣義的勞倫茲轉換的方程式,不會因為座標改變而不同。於是,愛因斯坦踏上了尋找重力方程式的路程。

重力場和因電磁感應而產生的電場類似,其存在只有相對的意義。因為對於一名從屋頂自由落下的觀測者而言,至少在他的附近,重力場並不存在。——愛因斯坦

黎曼幾何裡的寶藏

愛因斯坦以一個二階張量來描述質量分布,此二階張量是一個四乘四的對稱矩陣,包含了 10 個分量,速度、動量等等項目都能含括進去,才能完整的描述質量分布。

牛頓古典力學中,質量分布是重力場(位能) 二次微分的結果,所以愛因斯坦希望能找到另一個(也必須是二階) 張量,其二次微分可以得到描述質量分佈的張量,此外又符合某種廣義的勞倫茲轉換。

他找了自己的大學同學格羅斯曼 (Marcel Grossmann) 幫忙,格羅斯曼的研究專長是黎曼幾何。如之前所說,黎曼幾何的一大特點便是度量與座標無關,建立在稱為「度規張量」的基礎上。

因此,如果能從黎曼幾何中找到符合所需的張量,或許就能完成愛因斯坦想要的「不隨座標改變的重力方程式」。

你一定要幫我,不然我要瘋了!——愛因斯坦給格羅斯曼的信

馬塞爾·格羅斯曼 (Marcell Grossmann,1878~1936 年),猶太數學家,愛因斯坦的大學同窗和好友,專長是黎曼幾何,建議愛因斯坦將黎曼幾何中的里奇曲率張量納入重力方程式。 圖片來源/維基百科

格羅斯曼翻閱圖書館的資料後,發現在黎曼幾何中有一個「里奇曲率張量」(Ricci curvature tensor),剛好符合愛因斯坦的需求。於是愛因斯坦把它納入方程式,於 1912、1913 年和格羅斯曼共同發表,並試著以這個方程式解決當時困擾科學家許久的「水星近日點進動之謎」。

行星是以橢圓軌道在繞行太陽的,太陽就位於橢圓軌道的其中一個焦點,而軌道上最靠近這個焦點的位置,就是行星的近日點。

不過行星的軌道並非完全穩定的,軌道本身也會慢慢的旋轉,也就是近日點的位置會一點點的改變,每一次行星繞到近日點時,位置都會和上一次有些許不同,稱為「進動」。

相較於多數行星的進動幅度都在每一百年 10 角秒以內,水星的近日點進動的幅度多達每一百年 43 角秒,牛頓所發展出的天體運動學一直無法解釋這個現象。

「當時的重力方程式雖然還沒有完整,但已經可以解決水星近日點進動之謎。」鄭日新繼續說故事:「不過,愛因斯坦當時並沒有成功解釋,可能是……他算錯了。」

總之,愛因斯坦的方程式還未完整,旅程還沒有結束。

重力方程式的最後一塊拼圖

原來,雖然找到了里奇曲率張量,但它可能只是用來描述重力場的方程式的最高項而已。後面應該還要加上其他項,才能讓方程式完整。

1915 年,愛因斯坦受邀到哥廷根科學院演講,邀請他的是一位幾何學專家希爾伯特 (David Hilbert),在那次見面交流的過程中,希爾伯特得知了愛因斯坦正在推導重力方程式。

接下來,希爾伯特也投入了尋找重力方程式的工作,並在一次信件往返中,向愛因斯坦提出可以利用變分方法最小作用量原理,來推導出完整的重力方程式。

大衛·希爾伯特 (David Hilbert,1862~1943年),德國數學家,19 世紀和 20 世紀初最具影響力的數學家之一,建議愛因斯坦以變分方法和最小作用量原理,推導完整的重力方程式。 圖片來源/維基百科

愛因斯坦於該年 11 月,發表了完整的重力方程式。由於希爾伯特也幾乎是同一時間提出了重力方程式,對於第一個找出重力方程式的人究竟是誰,也引起了許多討論。但可以確定的是,希爾伯特在數學上提供的協助,是重力方程式能成功誕生的一大關鍵。

哥丁根街上任何一個小孩對於四維幾何的了解都要強過愛因斯坦,儘管如此,做出廣義相對論的是愛因斯坦,而非數學家!——希爾伯特

從格羅斯曼到希爾伯特,幾何學一直在愛因斯坦研究重力方程式的過程中,擔任關鍵且不可或缺的角色。身為數學家的鄭日新,對於數學時常在物理研究提供重要協助,有怎樣的看法呢?

鄭日新,中研院數學所研究員,在 2019 年院區開放日的科普演講「幾何學–重力研究的好幫手」之中,與民眾暢談愛因斯坦重力方程式背後幾何學家的重大貢獻! 攝影/林洵安

您會怎麼形容幾何學在宇宙中所扮演的角色?

幾何學有點像宇宙的「法身」,這是宗教的用語,就是描述這個真正世界背後的道理,用的是數學的語言。我們看得見這個世界,但我們看不見數學語言,幾何學就是這樣隱藏在宇宙的道理之中。

許多數學概念最初只是純理論,後來卻在真實世界找到應用,您怎麼看?

因為如此,所以我們做理論的,有時候不太相信那些從數學公式推導出來的東西真的有物理意義。像重力波一開始被提出時,許多人都保持懷疑的態度,總覺得是從數學公式預測出來的,雖然理論上只要愛因斯坦的重力方程式是對的,應該可以測得到重力波。

但在真實的物理世界是不是真的有意義?真的有這樣的東西存在呢?我們無法確定。

後來天文觀測慢慢發現,宇宙中有許多中子星、黑洞等大質量天體,有些是以雙星的系統彼此繞行,才讓我們漸漸相信可能檢測得到重力波,後來也真的偵測到重力波的存在。

站在數學家的視角,您覺得宇宙是什麼樣子?

現在一般天文學家相信宇宙是膨脹的,無限且沒有邊界,但我喜歡「宇宙是有限但沒有邊界」這樣的說法。就像一個三維的球,也可以膨脹,它沒有邊界,但是有限的。

在數學上如果曲率夠大,是可以推論出宇宙是「有限無邊」的。而我們知道幾何學上的曲率,可以從愛因斯坦的重力方程式解釋成物理上的質量分布。

所以,如果我們能夠觀測到宇宙深處有很多稠密的質量分布,很可能宇宙真的是有限無邊的。

對於近代的科學研究中,數學或幾何學是否也可能扮演愈來愈重要的角色?

幾何學或數學不會只對重力有幫助,尤其是幾何學,它的核心是希望有一個觀念可以應用廣泛,或是統一解釋各種不同的現象。我覺得幾何學對生命科學也可能有幫助,只是生命科學的發展可能還很零散。

不過,就像早期科學家對於各種電、磁的現象也是零散的發現、研究,後來才慢慢統合成馬克士威方程式,或許未來生命科學的研究也會慢慢綜合起來,然後有人看出裡面好像有某個數學觀念,可以做為基礎來建立一個統一的理論。

如果是這樣,很可能那個「好的觀念」在數學裡已經有人建立了,正在靜靜等待下一個愛因斯坦來發現。

本文轉載自中央研究院研之有物,原文為〈幾何學-愛因斯坦重力研究的好幫手〉泛科學為宣傳推廣執行單位


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關於作者

研之有物│中央研究院

研之有物,取諧音自「言之有物」,出處為《周易·家人》:「君子以言有物而行有恆」。探索具體研究案例、直擊研究員生活,成為串聯您與中研院的橋梁,通往博大精深的知識世界。 網頁:研之有物 臉書:研之有物@Facebook

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