歐氏幾何學的啟示

無需證據就能肯定的事情，同樣也可以無需證據就能否定。

-歐幾里德（Euclid）古希臘數學和邏輯學家

當筆者還是一位教書匠時，時常鼓勵學生應該多讀數學，不是因為數學的實用性，而是因為它是訓練邏輯的基礎。愛因斯坦（A. Einstein）曾經說過：「就其方式而言，純數學是邏輯思想的詩歌。」而26歲時就提出了反物質的存在、奠定了量子電動力學基礎的狄拉克（Paul Dirac）更認為數學幫助他了解物理定律（宇宙）。我們不是大物理學家，在這裡只能介紹一個簡單的、 2300年前的數學━幾何（geometry），看它如何能幫助我們了解我們日常生活中的邏輯。

歐幾里德

歐幾里德（Euclid）大約於西元前 300 年生於埃及亞歷山大。我們對歐幾里德的生平知之甚少，只有希臘哲學家普羅克洛斯（Proclus，410-485 年）在其《希臘著名數學家》總結中提到：歐幾里德在托勒密一世（Ptolemy I Soter，公元前 323 年至公元前 285 年）統治時期在亞歷山大任教。儘管如此，雖然歷史上有過更偉大的數學家，也有過更重要的數學家，但如果說數學界有家喻戶曉的名字，那非「歐幾里德」莫屬！歐幾里德對人類文明的長期影響可以說非常深遠：幾個世紀以來，數學和歐幾里德在整個西方世界幾乎是同義詞。

歐幾里德的《幾何原本》（The Element of Geometry，通常縮寫為 Elements）是有史以來最著名數學著作之一。印刷術發明後，這部著作是最早以印刷形式出現的書籍之一：它出版了超過一千種不同的版本，只有《聖經》比它多。《幾何原本》通常被描述為一本幾何書，但它事實上也涉及數論和一種以幾何形式呈現的原型代數。

歐氏幾何

歐幾里德有兩大創新。其一是「證明」的概念：除非是從已知為真的命題中推導出來，歐幾里德拒絕接受任何數學命題為真。第二項創新是認識到任何事物都要始於無法被證明的某些「假設」。因此，歐幾里德預先提出了五個基本假設作為其所有推論的基礎：兩點可以用一條線連接；任何有限的線都可以延伸；可以以任意圓心和任意半徑畫一個圓；所有直角都相等；及兩條直線可以平行永不相交。

對歐幾里德來說，邏輯證明是幾何學的本質特徵，而「證明」至今仍是數學事業的基石。缺乏證明的命題無論有多少間接證據支持它、或蘊含意義多麼重要，都會被（合理地）懷疑。歐幾里德公理━他精心挑選的邏輯推論鏈━的影響極為深遠。例如，他用當時被認為無可挑剔的邏輯證明了：一旦同意他的公理，你就必然得出不能理解之「無理數」存在的結論！

嚴格的邏輯證明

「無理數」是不能用兩個整數相除來精確表達的實數。所以要證明x不是一個無理數，我們只要能找出兩個實數來表達它即可。例如利用高速電腦或人腦，我們發現可以用 40/99 表達 1.212121……，所以 1.212121…… 不是無理數。可是如果我們也同樣地想利用高速電腦來證明 \(\sqrt{2}\) = 1.4142135……呢？我們可以在一秒鐘內完成成千上萬的嘗試；但如果在數年後，我們還是找不到一組整數來表達\(\sqrt{2}\) 時，我們能下結論說 \(\sqrt{2}\) 是無理數嗎？不能，因為對歐幾里德來說，這不是嚴格的邏輯證明（註一）！

同樣地，費馬（Fermat）大定理於 1637 年提出，謂若 n 大於 2（n>2），則沒有任何三個整數 a,b,c 可滿足 aⁿ+bⁿ=cⁿ 方程式。隨著時間的推移，這個簡單的定理成為數學界最著名的未證命題之一。許多數學家和業餘愛好者要麼適用於所有 n>2 的值，要麼針對特定情況，試圖證明這一命題，推動了數論領域全新的發展。最初是手工證明，後來是計算機證明，找到了最高可達 400 萬的所有 n 值；儘管如此，因為不是嚴格的邏輯證明，數學家還是不能肯定該定律的正確性。

英國數學家懷爾斯爵士（Sir Andrew Wiles）於 1993 年 6 月 23 日首次公佈了他的證明，不幸地該證明在三個月後被發現含一個錯誤。一年後的 1994 年 9 月 19 日，懷爾斯在其自謂為「職業生涯中最重要的時刻」時偶然發現了一個啟示，使他能夠修正該錯誤，於 1995 年令歐幾里德、數學界滿意地嚴格證明了費馬大定理的正確性。

又雖然早在公元五百年左右就有印度數學家懷疑圓周率 π 是無理數；但兩千年過去了，雖然還是找不到一組整數來表達它，還是沒有任何數學家敢說π是無理數。1761 年法國數學家蘭伯特 (Johann Heinrich Lambert) 終於首次嚴格地證明了π 為一無理數！

非歐幾里德幾何學

歐幾里德之五個初始、無法被證明的命題似乎都是大家很容易認定或接受的日常生活經驗。但事實上，歐幾里德的第五公設「兩條直線可以平行永不相交」遠非那麼合理明顯。因此許多數學家一直在懷疑可以從其它四個假設中推導出來（刪除它），或者能用更簡單、與其它一樣明顯的東西代替。但到了十九世紀，數學家們終於證明了它不能從其它四個假設中推導出來，明白了歐幾里德加入第五個公設是絕對正確的！

我們之所以認為「兩條直線可以永不相交」是合理的是因為我們生活在平面宇宙中：例如如果宇宙是二維空間，那我們就是生活在一張無限大的平面白紙上。但如果我們是生活在一個圓球的表面上呢？事實上我們不正是生活在一個圓球的地球表面上嗎？！但因我們的生活圈太小了，故整個周圍看起來好像一平面上而已。如果在地球表面上我們將兩「平行線」（註二）往同一方向延長不到一萬公里，它們是會相交於一點的（如果該兩點是在赤道上，那麼垂直於赤道的兩「平行線」將相交於北極或南極）。所以「兩條直線可以永不相交」在地球上不但不合理，根本完全是錯誤的假設━它只適用於日常生活中。

這些合理的懷疑歐幾里德之第五公設並沒有付諸流水。1854年，黎曼（Bernhard Riemann）在一次著名的演講中建構了無限多的非歐幾里德幾何族，為非歐幾里德幾何學邁出了決定性的一步。其中最簡單的一族缺乏平行線的公設，被稱為「非歐幾何」（non-Euclidean Geometry）。

在歐幾里德幾何裡，兩點之間的最短距離是一條直線；在非歐幾里德幾何球體表面上，兩點之間的最短距離則是沿著球體表面的大圓弧路徑(稱為測地線，註三）。在歐幾里德幾何裡，三角形內角總和為180度；但在非歐幾里德幾何球體表面上，由三個大圓弧組成的球體表面三角形內角總和則大於180度。

非歐幾何與物理

非歐幾何的發展對數學和物理學產生了深遠的影響。它顯示歐幾里德幾何並非唯一邏輯一致的體系，為愛因斯坦的相對論鋪平了道路。

牛頓物理學從根本上來說是使用平坦的歐幾里德空間和通用時間的概念來描述運動，因此當地球不沿著直線運動時，牛頓必須用重力來解釋。愛因斯坦的相對論運用非歐幾何來描述彎曲時空，謂重力並非一種力，而是時空曲率的表現：巨大的太陽彎曲了其附近時空，地球只是沿著這一彎曲時空中之「最直」的路徑（測地線）運動而已。

同樣地，牛頓物理學假設重力只對有質量的物體施加力，而光是無質量的，因此光應該永遠沿著直線傳播。但愛因斯坦廣義相對論將重力描述為時空的彎曲(不是力)，光將在這彎曲的時空沿著「直線」（測地線）傳播，但我們觀察到的將是「光不沿著直線傳播」！愛因斯坦的這一成功預測使他「瞬間」成為家喻戶曉的科學家（「延伸閱讀1」）。

歐幾里德幾何的社會邏輯

人類可能是唯一知道死是怎麼一回事的動物，因此很早就在尋找生命的目的，很難接受霹靂一聲、無中生有地出現了時間、空間、及能量的近代宇宙觀（「延伸閱讀2」）。因此許多人認為我們來到這個世界是有目的的，我們是「上帝」（註四）創造出來的。因此「上帝」存在成了一個大家能接受、不需要證明的合理「公設」。對信教的人來說，它解釋了日常生活中的所有現象。對愛因斯坦及一些科學家來說：如果不是超人的「上帝」，為什麼我們看到的宇宙能不可思議地依循某些定律井然有序地運轉，但我們只是朦朧地了解這些定律？

在「延伸閱讀3」裡，筆者提到了要證明上帝的存在是很困難的，但要證明上帝不存在更加困難！因此「上帝不存在」也是屬於「不能證明、不需要回答的合理假設」，所以在民主國家裡人人有宗教信仰或不信仰的自由。

在社會上要證明某人沒有博士學位很困難甚或不可能（註五），因此能被接受、不需要證明之唯一合理假設應該是「人人沒有博士學位」。在這前提下，如果你說你有博士學位，則證明有博士學位的責任應該落在你身上，而不是檢察官或具告人!

同樣地，因為證明我們沒有犯罪很困難甚或不可能，所以「我們沒有犯罪」應該是唯一的不需要證明之合理假設；如果你控告我犯罪，那法庭應該要你（告訴人或檢察官）提出不被懷疑及合理質疑的證據。這事實上正是民主國家所採取的法律制度。

結論

歐幾里德的專著《幾何原本》為幾何學提供了一個系統而公理化的方法：他從一組不證自明的真理（公理和公設）出發，運用演繹推理推導出定理和證明，為數學的嚴謹性和邏輯推理確立了標準，塑造了數學家和科學家解決問題和建構理論的方式，甚至影響了數學以外的各個領域如法律和政治思想，在人類社會發展中發揮了基礎性作用。例如美國傑斐遜（Thomas Jefferson）和其他開國元勳們就是運用歐幾里德演繹法構建了《獨立宣言》：他們從類似於歐幾里德幾何的「不證自明」的真理━公理━入手，建立邏輯論證，以證明革命和建立新政府的必要性。因為這些基本原則被普遍接受，無需進一步證明，因此賦予了《獨立宣言》強大而不可否認的力量。

我們在這裡探討了日常生活中所碰到的宗教信仰、學位真假、與犯罪判決的爭論與判斷，得到結論：人人有宗教信仰或不信仰的自由，確定犯罪的責任在檢察官身上，證明有學位的義務則落在當事人身上!

註釋

• （註一）嚴格地證明 \(\sqrt{2}\) 是無理數很簡單，有興趣的讀者可參考「延伸閱讀3」。
• （註二）原則上必須是趨近於零的短線。
• （註三）大圓弧是球體上任何圓心與球心重合的圓（例如赤道）。但是因為天氣、急流和空域限制等因素，航班並不沿著大圓弧路徑飛行，例如台北到舊金山的實際航線比大圓弧長了約10%。
• （註四）這裡指的「上帝」是抽象的、廣泛的超人造物主。
• （註五）在「延伸閱讀4」一文裡，筆者提到了要證明有博士學位應該是非常簡單的，如拿出正式的畢業證書或學校出證明；但要外人證明你沒有博士學位，則將與證明上帝不存在一樣更加困難：因為即使我們找遍全世界所有的地方，都沒發現你的論文或證書，我們還是不能說你沒有博士學位的博士學位━因為這不是「嚴格的邏輯證明」！

延伸閱讀

1. 「抱歉了愛因斯坦，但我真的沒辦法給那個酷理論——為何相對論與諾貝爾獎擦身而過？」，泛科學，2021/07/28。
2. 「思考的極限：宇宙創造出「空間」與「時間」？ ——宇宙觀的發展史（下篇）｜20 世紀後」，泛科學，2023/05/17。
3. 「愛因斯坦相信的上帝，是你以為的那位上帝嗎？」，泛科學，2018/03/30。
4. 「要被接受，需有不被合理質疑的證據–從科學與蔡博士學位事件討論起」，科技報導，2020/02/01。
5. 「從圓周率與無理數，談數學也有其無法理解、不精確、與不確定性」，泛科學，2019/06/03。