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愛因斯坦相信的上帝,是你以為的那位「上帝」嗎?

賴昭正_96
・2018/03/30 ・5354字 ・閱讀時間約 11 分鐘 ・SR值 554 ・八年級

「科學沒有宗教是乏力的,宗教沒有科學是盲目的。」
──愛因斯坦

愛因斯坦毫無疑問是自牛頓以來最家喻戶曉科學家, 縱然他也會像常人一樣犯錯1,人們還是常常將他「神化」,對他的一舉一動、一言一行,當成我們一般人的言行準則:如果他相信上帝的存在,那麼上帝便似乎應該存在;如果他贊成你的觀點,那你看法大抵是錯不了的……。

愛因斯坦相信上帝存在嗎?因為他被「神化」的地位,這個問題的答案對世界似乎十分重要? 圖/ParentRap @Pixabay

大約是兩年前吧(時間過得真快),在一位老朋友家中與其他兩對夫妻聚餐,除了筆者之外,其他都是教會教徒;因此在閑談中他們免不了想找機會感化筆者。看到筆者似乎都不動心後,其中一位突然想到筆者是學物理的,要說服我哪有比動用愛因斯坦更有力,因此突然冒出「愛因斯坦曾經說過:要證明上帝的存在是很困難的,但是要證明上帝不存在更加困難!

證明「上帝不存在」比證明「上帝存在」更難?

筆者不太相信愛因斯坦曾說過這句話,但想利用他的號召力來說服對方的事情卻似乎屢見不鮮!導致愛因斯坦曾抱怨說:

用我有限的人類智慧只能領悟到些許的宇宙奧妙,卻還有人說上帝是不存在的;而真正讓我生氣的是這些人引用我的話來支持他們的觀點。

筆者當時是一笑置之,但現在想起來,那位朋友說「要證明上帝不存在」的一番話事實上是非常有道理、完全合乎邏輯的!想一想:世上只要有一人看到上帝(口說無憑、需要有更有力的證據),那便是證明了上帝的存在;可是要證明祂不存在呢?即使全世界幾十億的人、幾千年來都沒見過祂,我們還是不能說祂不存在的!

這種證明法事實上是完全適用於「科學之王」的物理學。例如只要找到一個違反牛頓萬有引力定律的例子,我們便可以推翻牛頓的萬有引力學說;但即使 300 年來科學家一直找不到這麼一件現象,他們還是只能說萬有引力只是一種理論,隨時可被推翻的2。所以我們可以說:「要推翻牛頓萬有引力是很困難的,但要證明它的正確性更加困難」。不錯,當萬有引力不能解釋水星橢圓軌跡主軸之「旋進」(編按:又稱進動)、而廣義相對論能解釋時3,我們終於推翻了牛頓的萬有引力定律(事實上是知道了它的適用範圍)。

1998 年美國加州大學伯克來分校(University of California, Berkeley)的波米特兒(S. Perlmutter)與澳洲國家大學(Australia National University)的思密特(B.P. Schmidt)相繼宣佈超級新星 la 型的數據顯示,在大霹靂後的 70 億年,宇宙的膨脹率不但不減、反而又再次加速了!美國約漢哈普斯金大學(Johns Hopkins University)的雷斯(A. G. Riess)於 2006 年再次肯定了這些觀察結果。此一發現再次重寫了人類對宇宙演化的看法,因此諾貝爾獎委員會決定將 2011 年的物理獎發給這三位科學家。

但牛頓重力只有相吸的作用,無法解釋宇宙的加速膨脹,許多物理及天文學家因此主張宇宙中充滿著一種稱為「暗能量」的不明異物4!同樣的道理,只要有一位天文學家發現一點點「暗能量」,我們便可以說暗能量確是存在的;但雖然二十年來還是沒有人看到,我們還是不能說暗能量不存在的!雖然已有科學家提出不需要「暗能量」的新理論來解釋此一加速膨脹;但暗能量的研究還是方興未艾,很容易申請到研究經費的!

暗能量是否存在,至今難以證明。 圖/Free-Photos @Pixabay

愛因斯坦所相信的「斯賓諾沙的上帝」是?

在談到愛因斯坦對上帝的看法之前,我們必須在這裡先對「上帝」下個定義。

印度及中國的佛教裡,似乎沒有一位創造了宇宙之「上帝」。佛教勸人苦行修業績,以便成神,所以宇宙根本不可能由某一神所造:佛教認為虛幻不實的宇宙乃是我們一念的妄想所致。在中國的傳說裡,則有盤古開天闢地之說:盤古頂天立地花了一百八十萬年的時間將天地分開後,他終於微笑地倒了下去,把自己的身體奉獻給大地(身體變成地球上的萬物,例如陽根化為伏羲,雙乳化為女媧)!

但從本文之引言裡看來,相信讀者應該已經猜想到,這裡所談的上帝既不是神也不是盤古,而是廣義基督教的上帝:祂創造了宇宙及人類;祂認為人類有罪,因此派耶和華到地球上來拯救我們;祂能聽到我們的祈禱,幫助我們實現願望;只要相信祂便能得救……。

在許多書信與訪談中,愛因斯坦均表態他「無法想像一位能直接影響個人行為、或坐在那裡審判祂自己所創造出來之人類的個人上帝(personal God)」。因此 1929 年 5 月 13 日時報雜誌(Time)刊了一篇波士頓主教歐康諾(W. H. O′Connell)攻擊愛因斯坦之文章謂:「我真的非常懷疑愛因斯坦知道自己在說什麼…… 。此一疑惑以及他對時間及空間令人迷惑的猜測後面,隱藏著的是無神論的驚人幽靈。」看到那篇文章後,一位紐約滿有名氣之猶太教祭司郭斯坦(H. S. Goldstein)乾脆直接電報愛因斯坦,謂願意付錢請他在 50 字內回答「你相信上帝嗎」這一個問題。

愛因斯坦只用了一半的字數回答:

「我相信斯賓諾沙5的上帝⎯⎯因所有存在物質之井然有序顯示出了祂的存在。但我不相信將自己獻身於人類命運及生活的那位上帝。」

從上面非常肯定的答覆裡,我們應該非常清楚愛因斯坦對上帝的看法;但不管是信上帝或不信上帝的許多群眾,還是常斷章取義地用愛因斯坦的看法來支持他們的觀點。例如無神論者會說愛因斯坦不信上帝(實際上是不信「個人」上帝);事實上愛因斯坦曾多次強調:「我不是無神論者」。但這又成了信上帝者的工具:「證明」了愛因斯坦也信上帝的存在(實際上是信「泛」上帝的存在)!

愛因斯坦受斯賓諾莎的理論影響甚篤,沿著斯賓諾沙「神是決定論宇宙的一環」的概念,愛因斯坦認為萬物都是根據一套嚴格的法則運行。 圖/wikipedia

這世界井然有序到不可思議,驅使我們探索

為什麼愛因斯坦會相信「冥冥中」有一上帝存在呢?事實上筆者認為任何學科學的人都會碰到這個問題:不管科學多麼進步,我們最後總會碰到一個無法回答的邏輯問題。例如我們知道物質是由分子組成的,分子是由原子組成的,原子是由質子、中子、及電子組成的,質子及中子是由夸克組成的;夸克及電子是基本粒子,不再是由任何更基本之東西組成的,可是他們哪裡來的呢?不管人類多麼聰明,我們終將碰到這麼一個無法解決的邏輯問題6

還有,往大的方面看也會碰到相同的難題。在發表其嘔心瀝血之巨著廣義相對論後,愛因斯坦當然也開始思考著宇宙的問題。一個靜止而充滿著星球的無限宇宙,除了在邏輯上有問題(任何一點均應感受到無限大的重力以及天空不應是黑暗的7 )外,你能想像一個永遠沒有邊界的宇宙是什麼樣子嗎?可是一個懸掛在「空間」的有限宇宙也有問題:宇宙外的「空間」又是什麼呢?

左思右想,愛因斯坦於 1917 年 2 月提出了一個他自己都認為可能被關到「瘋人院」的第三個宇宙結構:沒有邊界的有限宇宙。這確是一個非常奇怪的想法:有限的空間怎麼會沒有邊界呢?愛因斯坦舉的例子就是生活在二度球面上的怪人:它們生活的球面是有限的,但卻沒有邊界(上下對它們來說是沒有意義的)。這種宇宙觀雖然奇怪,但在數學上完全可能!可是我們不是生活在數學上呀:此一宇宙外的「空間」又是什麼呢?……現在我們知道宇宙是在不斷地膨脹及「製造」出新的空間8,可是往哪裡膨脹呢?如果膨脹前端的外面不是空間,那是什麼呢?

宇宙加速擴張的想像圖。 圖/Alex Mittelmann, Coldcreation [CC BY-SA 3.0] via wikipedia

這些問題遠超過人類的想像力;在物理學上,這也是永遠無法回答的問題(將來或許會有答案,但伴隨著的將是另一些無法回答的問題);因此大部分的物理學家都會告訴你「那不是物理學的範圍」。但愛因斯坦卻在那裡找到了「宗教信仰」── 1930 年夏天,在一個寧靜的德國小鎮卡布特(Caputh)度假時,愛因斯坦撰寫了一篇約 1000 字左右的「信條」短文「我的信仰(What I Believe)」,闡釋了他對人生、社會、政冶、宗教等的看法,以及為什麼他可以說是一位教徒:

我們能感受到的最美麗情緒是「不可思議」。它是所有真正之藝術與科學搖籃裡的原始情緒。一位對此情緒陌生、或不能再感到驚奇與痴迷般敬畏的人,實在是與死人或一根熄滅的蠟燭無異。能感受在我們可親身經驗到之任何事物後面,尚有我們(大腦)無法理解、但能間接地將其美麗及崇尚傳達給我們的東西:這就是宗教!就是依這個觀點,也只有依這個觀點來說,我是一位虔誠的教徒。

1936 年,當一位紐約小學六年級的女孩子問他「科學家祈禱嗎」,愛因斯坦回答說:一切事物⎯⎯包括人類行為⎯⎯的發生都是肇因於自然定律;因此科學家不太可能相信祈禱可以因超自然的希望而改變事情的過程。但他接著又說:

但是我們得承認我們對這些力量的真正了解是不完全的,因此我們最後之認為某種終極精靈(spirit)的存在,完全是基於一種信仰(faith)6。即使在今日科學之成就下,此一信仰還是很普遍的。

結論:愛因斯坦相信有上帝存在,科學定律就是祂的思考

愛因斯坦「深信」(信仰)有一超人理性的力量或精靈──上帝?──存在;「我們看到宇宙不可思議地井然有序,依循某些定律運轉,但我們只是朦朧地了解這些定律」。科學研究的目的就是要發掘這些不變的定律:「我想知道上帝如何創造這世界。我對這個或那個現像、這個或那個元素的光譜沒興趣。我想知道祂的思考,其它的都是細節。」

正是此一宗教式的信仰推動了愛因斯坦的科學:花了 10 年的時間將重力導入等速運動的相對論中、下輩子獻身於統合相對論與電磁理論、不肯接受「上帝玩骰子」的量子物理解釋9

東方的《老子》說:有物混成,先天地生。寂兮寥兮,獨立而不改,周行而不殆,可以為天下母。西方的愛因斯坦說:我們看到宇宙不可思議地井然有序,依循某些定律運轉,但我們只是朦朧地了解這些定律。關於這世界的運行規則,千年來人類從未停止追求解答。 圖/PIRO4D  @Pixabay

雖然證明上帝不存在比證明祂存在更困難,但這不代表就是證明了上帝存在。顯然地,愛因斯坦也像虔誠的教徒一樣,相信上帝的存在,但他所相信的上帝不是高高在上,想拯救人類進入永生之天堂的上帝。他曾說:「對我而言,一次生命已經夠了」。就這點來看,愛因斯坦所信仰的上帝,倒是較接近中國的盤古:在開天闢地、創造了一個有條有理的宇宙後,他就不再管人類了!愛因斯坦敬畏上帝並不是怕將來會進入地獄,而是覺得人類的渺小,只能摸索宇宙運轉的定律,無法窺知整體的奧妙!10

注解:

  1. 愛因斯坦其實沒那麼神」,泛科學,03/16/2016;「我愛科學」,第 172 頁(華騰文化股份有限公司,2017 年 12 月)。
  2. 適者生存是理論嗎」,科學月刊,2014 年 4 月號;我愛科學」,第 35 頁
  3. 暗物質與暗能量」,科學月刊,2014 年 6 月號;我愛科學」,第 170 頁
  4. 愛因斯坦的最大錯誤?— 宇宙論常數」,科學月刊,2011 年 12 月號,轉載於泛科學,12/11/2011;「我愛科學」,第 162 頁。
  5. 斯賓諾沙(Baruch Spinoza),荷蘭人,十七世紀最偉大的理性哲學家(之一),其思想啓發了 18 世紀歐洲理性(Enlightenment)運動,為第一位將心靈與肉體視為一體的哲學家。他認為上帝不是超然、統治祂自己所創造之萬物的宇宙創造者,而是自然界本身,人類只是其中依一定規則運動(決定論)一成員。
  6. 在數學上,其解決方法是將它們的存在列為不需證明的前題「假設」。在日常生活上呢?其解決方法是謂它們是上帝的創作、而上帝的存在則是不需證明的前題「假設」──俗稱「信仰」。
  7. 「近代宇宙觀中的空間與時間」,新竹市國興出版社,1981 年。
  8. 近代宇宙觀謂:「空間」是膨脹的產物,而不是早就存在那裡等膨脹來填滿的。
  9. 愛因斯坦的最後一搏⎯⎯EPR悖論」,科學月刊,2016 年 5 月號;我愛科學」,第 72 頁
  10. 曾被譽為愛因斯坦以後最偉大之理論物理學家霍金(Stephen Hawking),在其全世界非常暢銷的科普「時間簡史」(A Brief History of Time,1988;第二版,2005)上說:如果我們發現了宇宙的完全理論,「那將是人類理性的最後勝利──因為那時候我們就知道了上帝的想法」。但在2011的「豐偉之設計」(The Grand Design)一書裡,他卻改觀的認為「我們不需用上帝來點燃(鞭炮之)導火線以啟動宇宙」。霍金於今年3月14日於英國劍橋逝世,享年76歲。
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賴昭正_96
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成功大學化學工程系學士,芝加哥大學化學物理博士。在芝大時與一群留學生合創「科學月刊」。一直想回國貢獻所學,因此畢業後不久即回清大化學系任教。自認平易近人,但教學嚴謹,因此穫有「賴大刀」之惡名!於1982年時當選爲 清大化學系新一代的年青首任系主任兼所長;但壯志難酬,兩年後即辭職到美留浪。晚期曾回台蓋工廠及創業,均應「水土不服」而鎩羽而歸。正式退休後,除了開始又爲科學月刊寫文章外,全職帶小孫女(半歲起);現已成七歲之小孫女的BFF(2015)。首先接觸到泛科學是因爲科學月刊將我的一篇文章「愛因斯坦的最大的錯誤一宇宙論常數」推薦到泛科學重登。

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薛丁格的貓是死是活?再不懂點量子就落伍了!——《我們的生活比你想的還物理》
商周出版_96
・2022/12/06 ・2327字 ・閱讀時間約 4 分鐘

奧地利的物理學家薛丁格最初閱讀愛因斯坦和德布羅意的論文後,也注意到物質波的概念,並進而闡釋發展成波動力學,促成量子力學誕生。薛丁格的波動力學是後來量子力學的具體論述之一, 薛丁格波動方程式更是量子力學最重要的方程式之一,也是現代人研究發展量子電腦的重要思維。

繼續討論薛丁格的想法前,容我「插播」兩種說法,一種是「哥本哈根詮釋」,一種是「愛因斯坦悖論」。

萬物受機率支配?愛因斯坦可不這麼認為

前面提到電子的雙狹縫干涉實驗,說明在微觀世界的電子具有波動性。在電子的雙狹縫干涉實驗中,為何被觀測到的電子只有在屏幕的一點留下痕跡呢?照理說,在屏幕的任意地方都能發現電子的蹤跡。然而,當我們「觀測」到屏幕的一「質點」的電子的瞬間,電子的波函數立即「塌縮」。

物理學家解釋這是因為電子的波函數與發現機率有關,亦即觀測電子時,電子波會縮小分布範圍, 呈現電子的粒子形式。活躍於哥本哈根的波耳等人認同這種融合「波函數塌縮」和「機率詮釋」的想法,因此成為「哥本哈根詮釋」。至於「電子波為何會塌縮?」是一個未解之謎。

自然界真的受到機率的支配嗎?真的大哉問啊!

愛因斯坦儘管預言光子存在,提出光量子論,但他強烈反駁「機率論」的觀點。對於哥本哈根學派的「機率詮釋」和「波的塌縮」,愛因斯坦以「上帝不玩擲骰子的遊戲」批判哥本哈根詮釋, 完全不能接受哥本哈根學派主張「決定一切事物的上帝竟然會依照擲出骰子出現的點數決定電子的位置」。

「上帝不玩擲骰子的遊戲」批判哥本哈根詮釋。圖/GIPHY

愛因斯坦也指摘「幽靈般的超距作用」。他認為未來已經確定,反駁「自然界曖昧不明」的不確定性,進一步指出「自然界並非曖昧不明,而是量子論還不完備,無法正確闡述自然界的緣故」。以上所提,是量子力學發展歷程的觀點論戰的故事,包含 1935 年,愛因斯坦和共同研究者波多斯基(Boris Podolsky)、羅森(Nathan Rosen)聯合發表觸及量子論矛盾的「EPR 悖論」(Einstein-Podolsky-Rosen paradox)。

迄今,我們已經知道微觀世界,電子等粒子會自己旋轉,具有「自旋」的物理量,或直接用專業術語「自旋角動量」,自旋的方向依據量子論會以多個狀態同時存在,並存或疊合。

愛因斯坦等人認為,對於相距非常遙遠的電子,不可能無時間限制,瞬時互相影響;根據狹義相對論的說法,沒有任何物體的飛行速度比光速還快。觀測相距遙遠的兩粒子之一,竟然會在瞬間同時決定兩者的狀態,這樣特殊奇妙的現象,愛因斯坦稱之為「幽靈鬼魅般的超距作用」。

沒錯!又要提那隻貓了

薛丁格曾以「量子糾纏」解釋愛因斯坦論文中的悖論現象,指出互相遠離的粒子的性質,並非各自獨立,而是成組決定,無法個別決定,這個現象是 2022 年諾貝爾物理學獎得獎主題的「量子糾纏」。如果能這樣思考,那麼就不會認為粒子是瞬間傳送並影響到遠方粒子,有如「幽靈般的超距作用」。

貓同時是活和死的「疊加」。圖/維基百科

談到量子力學,「薛丁格的貓」此知名想像實驗必定會浮現在讀者的腦海中吧?此實驗探討一隻貓的狀態究竟是活或死的,而實驗結果是:貓同時是活和死的「疊加」。如果以古典物理學來思考,會顯得極其荒謬;但若以微觀世界視之,這項理論其實符合電子波粒二象性的機率概念。

根據 1927 年量子力學學派的詮釋,觀察一個量子物體時,會干擾其狀態,造成其立即從量子本質轉變成傳統物理現實。原子及次原子粒子的性質,在量測之前並非固定不變,而是許多互斥性質的「疊加」。此觀念的知名例子就是「薛丁格的貓」實驗。

在這個想像的實驗中,一隻貓被鎖在一個箱子中,並有一個毒氣瓶,在量子粒子處於某狀態下毒氣瓶會破裂,但若該粒子處於另一狀態,則毒氣瓶會完好無損。如果將箱子封閉,此粒子的量子狀態是兩種狀態「共存」的情況,也就是說,毒氣既是已從瓶中放出,又被封存在瓶中,也因此,箱中的貓同時既是活的也是死的。當箱子打開時,由於此量子疊加狀態瓦解了,因此在那瞬間,這隻貓或許被毒死,或許得以保命。

當箱子打開的瞬間,這隻貓或許被毒死,或許得以保命。圖/《我們的生活比你想的還物理

物理小教室

  • 索爾維會議

量子力學是近代物理學的重要基石,與相對論被認為是近代物理學的兩大基本支柱,許多物理學理論和科學,如原子物理學、固態物理學、核物理學和粒子物理學,都以其為基礎。物理學界往往會在物理重要會議激盪出重要的論述,例如 1927 年第 5 次索爾維會議,此次會議主題為「電子和光子」,當時世上最重要的物理學家,都聚集在一起討論新的量子理論。

1927 年第 5 次索爾維會議,此次會議主題為「電子和光子」。

——本文摘自《我們的生活比你想的還物理》,2022 年 11 月,商周出版,未經同意請勿轉載。

商周出版_96
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愛因斯坦是第一個發現狹義相對論的物理學家嗎?
賴昭正_96
・2022/10/21 ・7324字 ・閱讀時間約 15 分鐘

國民法官生存指南:用足夠的智識面對法庭裡的一切。

  • 文|賴昭正/前清大化學系教授、系主任、所長;合創科學月刊

自從數學家入侵(狹義)相對論後,我自己也搞不懂了。
——愛因斯坦(Albert Einstein),1921 年諾貝爾物理獎得主

在「畢業求職碰壁,在伯爾尼專利局思索的愛因斯坦」裡,筆者提到了 1905 年愛因斯坦在專利局一口氣寫了五篇諾貝爾獎級的論文,投到德國名雜誌《物理年鑑》(Annalen der Physik),創造了理論物理界的一個「奇蹟年」。愛因斯坦曾希望他在《物理年鑑》這傑出期刊上的大量論文能夠讓他擺脫默默無聞的三流專利審查員,獲得一些學術認可,甚至找到一份學術工作;但是事與願違,反應卻是非常冷淡。

正在絕望之際,愛因斯坦於 1906 年 3 月突然收到了一位物理學家的反應;令他驚奇的是:這位物理學家竟然不是別人,而是當時歐洲受人尊敬的理論物理學大師普朗克(Max Planck)!

馬克斯.普朗克(Max Planck)。圖/維基百科

普朗克寫信告訴他說那篇題爲「關於運動物體的電動力學」(Zur Elektrodynamik bewegter Körper)論文「立即引起了我的熱烈關注」。在該論文出版後,普朗克立即在柏林大學講授相對論!由於他的影響,這個理論很快在德國被廣泛接受,並公開地為愛因斯坦理論辯護,反對一波又一波的懷疑論者,終於使這篇完全改變牛頓之時空觀念的論文與量子力學一起開創了近代物理學(詳見「除了發現量子力學,普朗克還有第二個重大發現是什麼?」)。

可是愛因斯坦真的是首位發現狹義相對論的物理學家嗎?

馬克斯威方程式:用簡單的公式解釋電磁學

在「近代物理的先驅:馬克斯威」裡,筆者提到曾被評選為有史以來第三大物理學家馬克斯威用簡潔數學方程式闡釋了當時已知的電磁現象。從那些簡潔的方程式中,他看出了原來的安培定律只適用於穩定的電流情況,因此人為地加進去一個現在稱為「位移電流」(displacement current)的項目!此「位移電流」不但解決了時變電場如何產生(誘導)磁場的問題(安培—馬克斯威定律),也讓馬克斯威看出電、磁本是一家人的對稱關係,使他成為第一位統合了自然界兩種不同作用力的科學家!也就是這一項令他在 1865 年導出電磁波的存在,並證明光事實上就是一種電磁波!

詹姆士.克拉克.馬克士威(James Clerk Maxwell)。圖/維基百科

這現在所謂的「馬克斯威方程式(Maxwell′s Equations)」事實上有一個很大的問題:與具有 300 多年歷史之牛頓力學衝突!在牛頓力學裡,速度是「相對」的;但馬克斯威方程式中卻包含與光源運動無關的「定值」光速(讀者注意到沒:牛頓第二定律公式只含加速度、沒有速度)!因此儘管後者在解釋電磁現象的成功是無可置疑的,不少理論物理學家還是想修正它使其能容於牛頓力學;其中最著名的就是眾所皆知的:認為空間充滿了絕對靜止的「以太」,「光速為定值」就是相對於這一固定的「以太」而言——這不但解決了光速問題,還使電磁波有個「機械」的基礎(像聲波需要靠空氣來傳播)。

於是實驗物理學家開始設計各種實驗來偵測這一「以太」或者地球在這一「以太」中的運動速度;不幸的是各種實驗都是空手而歸:偵測不到地球在「以太」中的運動速度(其中最著名的就是 1887 年之麥可森—莫利(Albert Michelson and Edward Morley)實驗)。於是理論物理學家就開始尋找各種理論來解釋這些失敗的原因……。

其中「最簡單的解釋」是:馬克斯威方程式適用於在「以太」中做等速運動的任何慣性系統(inertial frame)——稱為「相對性原理」(principle of relativity)。

相對性原理——伽利略

法國數學、物理、工程、哲學家龐加萊(Henri Poincaré)於 1904 年將「相對性原理」定義為:根據該原理,物理現象的定律無論是對於固定的觀察者,或等速平移運動的觀察者,都應該是相同的;所以我們沒有、也不可能有任何方法來辨別我們是否正在做這樣的運動。

事實上早在 1632 年,伽利略(Galileo Galilei)在「關於兩個主要世界系統的對話」(Dialogue Concerning the Two Chief World Systems)中,即已明確地闡述這一原理。正是因為這一個原理,所以我們沒有感覺到地球自轉及圍繞太陽運行(加速不夠快,所以大約是一個慣性系統);因此不管你什麼時候在台北或北京做實驗,所得到的結果或定律都應該是一樣的。

伽利略.伽利萊(Galileo Galilei)圖/維基百科

到了 19 世紀末、20 世紀初,物理學家已經完全接受這一原理。在數學上,他們謂牛頓力學定律必須符合「伽利略坐標轉換」(Galilean transformation)公式:物理定律不應因從甲坐標轉換到另一慣性系統之乙坐標而改變。馬克斯威方程式不符合這一坐標轉移,因此上面所提到的「最簡單的解釋」顯然不對!所以光速為定值還是一個謎。

洛倫茲與龐加萊

洛倫茲(Hendrik Lorentz, 1902 年諾貝爾物理獎得主)毫無疑問是十九世紀下半葉和二十世紀上半葉最偉大的物理學家之一。由於測不出地球在以太中的運動,洛倫茲提出理論謂:設備通過以太時,可能導致設備在運動方向上沿其長度方向收縮(空間收縮)。他進一步假設運動系統的「局部虛擬」時間[註1]也必須相應地改變(時間膨脹),導出了馬克斯威方程式必須符合的「洛倫茲(坐標)轉換」(Lorentz transformation)公式。

事實上龐加萊在 1898 年時即已意識到:「科學家必須將光速的恆定性作為一個假設,才能為物理理論提供最簡單的形式。」在相對性原理或洛倫茲轉換的物理解釋,龐加萊的貢獻至少比愛因斯坦早了 5 年;而在其它方面,他們的許多貢獻則可以說是同時發生的:例如不少科學家認為龐加萊 1905 年 6 月在法國科學院所宣讀的「關於電子動力學(Sur la dynamique de l’électron)」)刪節版,似乎「預見」了愛因斯坦 1905 年的相對論。

朱爾·亨利.龐加萊(法語:Jules Henri Poincaré) 圖/維基百科

愛因斯坦

1905 年,愛因斯坦在題為「關於運動物體的電動力學」的論文引言裡,開宗明義地謂「不要爭辯」光速了:

我們建議將「相對性原理」這個猜想(conjecture)提升到一個公設(postulate)的地位,並引入另一個表面上與前者不調和(irreconcilable)的公設,即光是在真空中的傳播速率為一與發射體運動狀態無關的定值 c[註2]。 這兩個假設足以(讓我們)透過適用於靜止物體(狀態)之馬克斯威理論,導出一個簡單且不矛盾(consistent)的電動力學理論。

然後開始討論「運動學」,以光在任何等速坐標中都相同為出發點,用簡單的數學討論同時性的定義、關於長度和時間的相對性、從一個固定系統到另一個系統的時間與空間之坐標轉換理論、運動剛體和運動時鐘方程的物理意義、及速度的組成(相對運動的速度相加)。在這一章節裡愛因斯坦不需任何極端近似,就能推導出「洛倫茲轉換方程式」、時間膨脹(time dilation)、「洛倫茲—傅玆久拉空間收縮」Lorentz-FitzGerald contraction)等等學物理的都耳熟能詳想的的觀念。

第二章「電動部分」所用的數學就複雜多了。愛因斯坦在這裡將新的空間和時間理論應用於馬克斯威電動力學,證明電場與磁場是一物的兩面,因運動者的觀點而不同;馬克斯威實際上是遵循慣性運動的相對性原理:但因為我們一直認為空間和時間具有牛頓性質,而不是狹義相對論,故我們沒有注意到它而已。

狹義相對論的關鍵是同時性的相對性,只有在相對運動速度很小的情況下,牛頓的絕對時間和空間觀念才能(近似地)適用。所以原來是牛頓力學,而不是「馬克斯威方程式」錯了!所以愛因斯坦在該論文的最後一節裡「修正」牛頓第 2 運動定律,得到電子[註3]的動能:

式中 v 為電子的運動速度,m0 為電子的質量。愛因斯坦只指出「(所以)大於光速的速度……,沒有存在的可能性」[註4]

所以,到底是誰發現相對論?

德國物理學家郭夫曼(Walter Kaufmann)可能是第一個注意到愛因斯坦這篇論文之一的人:1905 年,他比較了洛倫茲和愛因斯坦的理論,謂大部分的物理學家可能會較喜歡後者的方法,但他認為這兩種理論在觀察上是等價的,因此他把相對性原理稱為「洛倫茲—愛因斯坦理論」。

這算是客氣的了!1953 年,英國數學、物理、歷史學家魏達克爾(Edmund Whittaker)爵士在總體評價上是正面的「以太和電理論史」(A History of the Theories of Aether and Electricity)一書中聲稱:相對論是龐加萊和洛倫茲的創造,愛因斯坦的貢獻並不大。

「以太和電理論史」(A History of the Theories of Aether and Electricity)一書出版於 1910 年。圖/維基百科

事實上我們應該放棄優先權的無意義爭論,探討不同方法之間的異同才能看出愛因斯坦的貢獻。愛因斯坦徹底消除了在物理學中沒有任何作用的以太,以光在任何等速坐標中都相同為出發點,探討了「同時」、空間、和時間的相對性。相比之下,龐加萊認為以太是一種定義了「真實」空間和時間的特殊參考系統,其它框架中測量的空間和時間則只是「表面的」。 愛因斯坦從他的兩個假設,用最少的數學知識,導出了當時需要幾個極端近似的洛倫茲轉換式;而龐加萊則因這樣的轉換可使馬克斯威方程式保持不變,而「被動地」反向導出這些轉換。愛因斯坦的論文不是因為要解釋實驗結果而東拼西湊出來的,它是「從公理開始,然後從中進行推論……」的美麗又簡單的理論。從他的假設中準確地推導出了當時需要幾個極端近似才能得到的結果。

洛倫茲在十年後終於完全意識到他自己的論點和愛因斯坦的論點之間的區別,謂「如果我現在必須寫最後一章,我當然應該給愛因斯坦的相對論一個更突出的位置……。(他的)運動電磁現象理論系統具有我無法達到的簡單性。」儘管如此,洛倫茲(1853~1928)從未接受愛因斯坦的相對論觀點——這讓愛因斯坦非常傷心,因為洛倫茲是他最敬佩的四位物理學家之一(其他三位是伽利略、牛頓、馬克斯威)。

愛因斯坦與洛倫茲於 1921 年的合影。圖/維基百科

閔可夫斯基時空

愛因斯坦在那篇論文裡一共提了 15 次的「空間」,但從來沒有將它和「時間」連在一起,所以他當時應該沒想到在他的新運動學裡,空間和時間處於完全相同地位。將時間和空間組合成一個現在稱為「閔可夫斯基時空(Minkowski space或spacetime)」之嶄新觀念的功勞歸於他在蘇黎世聯邦理工學院就讀時的數學老師閔可夫斯基(Hermann Minkowski)。這一新觀點奠定了相對論的數學基礎,完成了近代物理學家所熟悉之(狹義)相對論形式[註5]

愛因斯坦在理工學院就讀時,常常表現出一副無所不知的態度,不但很少注意閔可夫斯基的課,也常翹課,因此閔可夫斯基稱他為「懶狗 (lazy dog)」。愛因斯坦發表相對論後,閔可夫斯基評論道「我真不敢相信他能做到」。而愛因斯坦則一開始就反對閔可夫斯基所提之時空為一體的新觀念;在他第一次聽到它時甚至貶低它,謂那是「多餘的博學」,並抱怨「自從數學家入侵相對論後,我自己也搞不懂了」!誰又想到如果不是這一新觀念及其數學,他後來的廣義相對論將永遠發展不出來!

1908 年 9 月 21 日,閔可夫斯基(已經被挖角到德國哥廷根大學)在第 80 屆德國自然科學家和醫師大會上的演講謂:

……,擺在你們面前的空間和時間觀是從實驗物理學的土壤中產生的,因此蘊含著它們的力量。它們是革命性的(radical)。 從此,空間本身和時間本身注定要消逝於虛無之中,唯有兩者的某種結合才能保持獨立的現實。

在閔可夫斯基時空裡,單獨的空間和時間都不再是絕對的,而是因觀察者的運動狀態而異;但一體的時空則還是絕對的(詳見「牛頓的水桶」),比如所有觀察者測量得到的「兩點時空之距離」都是相同的。

有兩件事似乎說明了閔可夫斯基獨立地得出了愛因斯坦的狹義相對論和時空概念:

  1. 閔可夫斯基不可能那麼快的就於 1908 年報告、並發表 59 頁的成熟四維時空物理學,其內容充分地顯示了他對所有實驗都未能檢測到相對於絕對空間之均勻運動的原因有最深刻的理解;
  2. 他的學生玻恩(Max Born,1954 年諾貝爾物理獎得主)的回憶也證實閔可夫斯基獨立地在思考平面時空物理學。玻恩回憶說:在 1905 年初夏的一次內部研討會上,閔可夫斯基「偶爾提到」他的時空研究;「(但)因為他希望先弄清楚其所有輝煌的數學結構,因此沒有(提早)發表它們」,而讓愛因斯坦搶得先機。」

結論

從上面的分析看來,愛因斯坦那篇文章所討論到的幾乎都「古已有之」[註7];因此像普朗克波思(Satyendra Bose)一樣,愛因斯坦可能根本沒想到該篇電動力學論文是「革命性的」。知己莫若己,1905 年,在寫給好友哈比希特(Conrad Habicht)的信中,他只說「第一篇涉及輻射和光的能量特性,非常具有革命性:……第四篇論文現在還只是一個粗略的草稿,它是對時空理論進行修改之運動體的電動力學。」以「馬後砲」之明來看,第一篇光量子的假設只是量子力學發展中(或許是很重要)的一個螺絲而已,但第四篇相對論則是一下子推翻了三百多年古典物理中的時空觀念,讀者說那個具有革命性呢?所以愛因斯坦真的知道他發現了革命性的相對論嗎?

愛因斯坦解釋廣義相對論的手稿。圖/維基百科

後記

1915 年,愛因斯坦又發表了後來讓他一夜成名的廣義相對論,改寫了牛頓萬有引力理論;但也好事多磨,曾發生與非常傑出的數學物理學家、閔可夫斯基好友希爾伯特(David Hilbert)[註6]爭吵發現廣義相對論之頭銜。愛因斯坦也沒有因廣義相對論而獲得諾貝爾獎;他之獲得諾貝爾獎主要還是因他那自認為「非常具有革命性」的論文。

爭論如此之多,愛因斯坦為什麼要發表相對論呢?知己莫若己,且聽他道來:「我有時會問自己,我是如何發展相對論的。我認為其原因是:一個正常的成年人從不去思考空間和時間的問題——這些都是他小時候就想到的;但我的智力發育遲緩,因此長大後才開始思考空間和時間。」什麼?愛因斯坦發育遲緩?怪不得筆者曾為文謂愛因斯坦其實沒那麼神?反觀筆者自己,小時候從沒想過空間和時間,長大後也只知「生活空間」及「善用時間」而已,真是白痴一個!

註解

  1. 在愛因斯坦發表相對論之前,一般物理學家都認為只有一個絕對的時間。
  2. 愛因斯坦從來沒有說明為什麼要第二個光速為定值的假設,因為這似乎是多餘的:如果馬克斯威理論謂光速在一(靜態)體系內為 c,那麼依照第一個「相對性原理」的假設,在任何其它慣性坐標體系內的光速不應也是 c 麼?在網絡上有許多猜測與討論,但筆者認為是因為當時馬克斯威理論尚不容於古典之故。又,光速是一個實驗可以測出來的物理量,怎麼可以「假設」呢?
  3. 因為可以假設物體帶有非常微量的電荷,所以愛因斯坦大膽地認為其結論適用於「所有物體」。
  4. 當電子的運動速度比光速小多時,該公式就得回牛頓的動能公式。該公式暗示電子的質量會因運動而增加,因此在網路上可以看到許多誤認為該文提出了「質能相等」的觀念(洛倫茲等人也早就「暗示」了)。事實上愛因斯坦在該文中從未提及這些字眼;而在幾個月後又發表了一篇短文,從該公式推導出「物體的質量是其能量含量的量度:如果能量變化為 L,則質量在相同意義上的變化為 L/c2」,但也沒提及「質能相等」的觀念——儘管如此,物理學家還是將提出 E=mc2 的功勞歸於愛因斯坦(詳見「愛因斯坦其實沒那麼神?」)。這篇短文事實上一開始就在邏輯上受到批評,而第一位批評的不是別人,竟然正是「發掘」他的普朗克!
  5. 正像波爾(Niels Bohr)等人在普朗克及愛因斯坦之後完成了近代物理的量子力學一樣(詳見《量子的故事》)。
  6. 正是他將閔可夫斯基挖角到德國哥廷根大學,使得該校成為當時全世界之數學物理學重鎮。可惜閔可夫斯基英年早逝,1909 年元月,正當相對論起飛時死於急性盲腸炎,時年才 45 歲。
  7. 不少物理學家及歷史學家都認為如果要發諾貝爾相對論獎,則除了愛因斯坦外,也應該包括洛倫茲及龐加萊。

延伸閱讀

賴昭正_96
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成功大學化學工程系學士,芝加哥大學化學物理博士。在芝大時與一群留學生合創「科學月刊」。一直想回國貢獻所學,因此畢業後不久即回清大化學系任教。自認平易近人,但教學嚴謹,因此穫有「賴大刀」之惡名!於1982年時當選爲 清大化學系新一代的年青首任系主任兼所長;但壯志難酬,兩年後即辭職到美留浪。晚期曾回台蓋工廠及創業,均應「水土不服」而鎩羽而歸。正式退休後,除了開始又爲科學月刊寫文章外,全職帶小孫女(半歲起);現已成七歲之小孫女的BFF(2015)。首先接觸到泛科學是因爲科學月刊將我的一篇文章「愛因斯坦的最大的錯誤一宇宙論常數」推薦到泛科學重登。

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不用數學就可以解釋——相對論的著名想像實驗「雙胞胎悖論」
賴昭正_96
・2022/08/26 ・6632字 ・閱讀時間約 13 分鐘

國民法官生存指南:用足夠的智識面對法庭裡的一切。

  • 文/賴昭正 前清大化學系教授、系主任、所長;合創科學月刊

你聽過「雙胞胎悖論」嗎?

我有時會問自己,我是如何發展相對論的。我認為其原因是:一個正常的成年人從不去思考空間和時間的問題——這些都是他小時候就想到的;但我的智力發育遲緩,因此長大後才開始思考空間和時間。

——愛因斯坦(Albert Einstein)),1921年諾貝爾物理獎得主

1905 年,愛因斯坦在題為「關於運動物體之電動力學」的論文裡,從兩個簡單的假設,得到結論謂如果張三與李四相對運動,則張三會認為李四的手錶跑得比較慢。在證明這一稱為「時間膨脹」(time dilation)的現象後,寫道:

由此產生以下奇怪結果。如果(開始時)A 點和 B 點在(靜止坐標)K 中觀察是同步的(即同一時刻),但 A 處的時鐘以速度 v 沿 AB 線到 B,則在到達 B 時,兩個時鐘將不再是同步:移動到 B 後的 A 時鐘將落後於保持不動的 B 時鐘…。我們得出這樣的結論:如果兩個 A 處同步的時鐘,其中一個以恆定速度沿閉合曲線移動 t 秒後返回 A 處,則保持靜止的時鐘將發現剛返回的時鐘慢了 tv2/(2c2)秒(c 為光速)。

昨天才校正過的手錶,怎麼現在又慢了?難道我是在黑洞附近?或是該換新手表的時候了? 圖/作者提供

或許是怕像筆者這樣智力發育遲緩的讀者難懂,愛因斯坦於 1911 年重申並詳細說明這一現象如下:

如果我們把一個活的有機體放在一個盒子裡……我們可以安排這個有機體在經過任意長時間的飛行後,在幾乎沒有改變的情況下返回到它原來的位置。此時保持在原來位置的相應有機體已經早已讓位於新一代,但對於移動的有機體來說,只要運動以接近光速進行,漫長的旅程只是一瞬間而已。

名物理教科書作者雷斯尼克(Robert Resnick)更清楚地解讀謂:

如果靜止的有機體是一個人,而旅行的是他的雙胞胎,那麼旅行者回到家時會發現他的雙胞胎兄弟比自己老得多。但在相對論中,任何一個雙胞胎都可以將另一個視為旅行者,因此再碰面時將比他自己年輕。這在邏輯上看來是一個矛盾的現象,因此被稱為「雙胞胎悖論」(twin paradox)。

雙胞胎悖論」可以說是相對論中最著名的想像實驗,為許多教科書與通俗科學文章所討論的對象;但筆者卻發現在「泛科學」裡只有一篇書評的文章中提到它!

難道真如諾貝爾獎得主普朗克(Max Planck)所說的:「一個新的科學真理之所以勝利,不是因為說服了它的對手,讓他們看到了光明,而是因為它的對手最終會死去,而熟悉它的新一代會成長起來」?在習以為常的熏陶下,現在的「新一代」已經不再認為「雙胞胎悖論」是值得討論的悖論?

如果你不是這樣的「新一代」,那本文是為你所寫的,相信你在這裡將讀到在其它地方找不到之「雙胞胎悖論」的白話文解讀(不用任何數學)。

同步與同時的「相對性」

普朗克謂:「光速之於相對論就像基本的作用量子之於量子論:光速是相對論的絕對核心。」

可是如何測量光速呢?從甲處發一道光到乙處,將甲乙之距離除以光旅行的時間就得到光速。當然,要能精確地測得光速,甲乙兩處的時鐘必須是互相校正過的、同步(synchronized)的。如何校正甲乙的時鐘呢?相信很多人小時候就已經知道了:將兩個時鐘帶到同一處,然後像電影中之突擊隊,在出發前由隊長發命令說:「讓我們校正時間,現在是……」 。

可是愛因斯坦不知道為什麼竟然沒有想到這一點?或許真的是「智力發育遲緩」,他竟然建議在乙處放一面鏡子來反射甲處在零時刻所發的光,如果乙處接到光的時刻正是甲處光來回所需之時間的一半,我們便說甲乙兩處的時鐘同步化了。用這種方法來同步化時鐘,很顯然在邏輯上我們便不可能測單方向的光速是否為定值了,所以愛因斯坦增加了一個假設,即光是在真空中的傳播速率為一與發射體運動狀態無關的定值 c

如果我們將同步化的甲乙兩個時鐘分別放在火車月台的兩端,讓它們在同一時刻(零點)往月台中心發射一道激光,則站在月台中心的賴教授應該「同時」收到來自甲乙兩端的激光(圖 a)。

但坐在從乙往甲方向以等速 v 行駛之車廂內的李教授,卻發現甲、乙激光發射後一直在以同一速度 c 逼近賴教授(圖 c);但因賴教授在往乙方向運動,因此如果光同時到達賴教授處(任何人都同意的「事件」,否則賴教授不是說謊就是頭腦有問題),李教授將下結論謂:甲乙兩個時鐘並不同步,甲時鐘顯然先發射,因此比乙時鐘快(甲的零點比乙的零點早)!

所以「同時」將因觀察者之運動而異:賴教授說甲乙兩激光是同時發射的,李教授卻說甲激光先發射的!如果李教授坐的火車是由甲往乙方向行駛呢?他將發現乙激光是先發射的!

這似乎是很明顯的結論,為什麼要等愛因斯坦告訴我們、難道牛頓沒想到嗎?牛頓不是沒想到,而是他認為宇宙中有一獨立於任何觀察者的時鐘,稱為「絕對時間」,所以「同時」是絕對,不會因觀察者之相對運動而異。

但事實上這結論與絕對時間無關,而是因愛因斯坦之假設—光的傳播速率為一與發射體運動狀態無關的定值—造成的!如果不是這一假設,則光的傳播速率將與發射體運動狀態有關(古典力學),李教授會認為乙激光是以 c-v 逼近、而甲激光則是以 c+v 追趕以 v 速運動的賴教授(圖 b),因此兩道激光當然還是同時到達賴教授處!所以李教授和賴教授都同意時鐘是同步的。

所以很明顯地應是愛因斯坦的「同時相對性」改變了人類根深蒂固的「絕對同時性」觀念。如果我們將「發射激光」改成孿生子(雙胞胎)的「生日慶典」,則賴教授將說他們是同時出生的;但是李教授則會因其運動狀態而說甲孿生子先出生(比較老)或乙孿生子先出生。這不正是「雙胞胎悖論」的一個影本嗎?我們在這裡事實上還看到一個很重要的現象:參考坐標(運動方向)的改變,可能顛倒兩個不同事件的「先後次序」!

雙胞胎悖論

假設雙胞胎張四決定乘坐等速高速太空船去旅行。因他決定一去不回,故在旅行前與張三痛哭擁抱,答應在死前一刻依自己的時鐘將年齡紀錄下來,「寄」回地球。

依照經驗,如果兩人的生理機能完全不受外界的影響,則兩人的壽命應該一樣長;但是依照相對論,張三認為張四是在運動,其(生理)時鐘跑得較慢【稱為「時間膨脹」現象】,因此活得較長;同樣地,張四認為張三是在運動,其(生理)時鐘跑得較慢,因此活得較長!誰對呢?智力發育遲緩的筆者認為這是矛盾的,一定有一個人錯,但愛因斯坦說兩人都沒錯,要筆者耐心地等一等……。

坐上高速太空船旅行的張四,與留在地球的張三,誰活的時間比較「長」呢? 圖/envatoelements

歲月如梭,張四的信終於抵達地球了;打開一看,怎麼?他的壽命竟然與張三一樣!筆者一個頭兩個大,顯然是不應該學物理—尤其是相對論!請讀者幫幫忙吧!

假設張四離開10年(他的時間)時突然想家,於是緊急剎車,將太空船轉個方向,緊急加速到原來的速度(為了方便,我們可以假設整個過程是「瞬間」),10 年後終於又回到地球,跟雙胞胎張三重新會合,正要擁抱時卻發現張三已經比他老多了!這正是上面愛因斯坦及雷斯尼克所說的結果。

這看似矛盾的結果事實上是很容易理解的:張四在太空中的「緊急剎車、將太空船轉個方向、緊急加速到原來的速度」破壞了兩人運動的對稱性。我們雖然沒有辦法感受到自己是在靜止狀態或者是在等速運動,但我們卻可以知道自己是在加速。所以張四在太空中的急轉彎,不但破壞了兩人運動的對稱性,也應該是造成他們年齡差異的原因。我們可以從兩方面來看為什麼改變速度(加速)造成年齡差異。

從相對論來看,在去程及回程的等速運動時,張四應該一直認為張三比他年輕。但在前面的火車站實驗中,我們發現李教授的火車行駛方向改變會造成「先後次序」的顛倒,因此張四在太空急(「瞬間」)轉彎的過程中會發現張三(「瞬間」)老了許多(不怕數學讀者,可參見附錄二):多得超過了剛提到之等速運動時的年輕數,因此張四在相會時將發現張三比他老!從張三的角度來看,他從未加速,因此認為在運動的張四一直比他年輕!不止如此,他依相對論所算出來的年齡差距,也正是張四依他自己之坐標(包括等速與改速)所算出來的!

相信某些讀者要問:「老」是生理現象,張四的坐標轉換怎麼會使張三變老呢?火車站實驗中的「先後次序」顛倒,只是李教授的觀點而已,並沒有實質的物理意義,賴教授不是不同意嗎?1905年的相對論沒有回答這個問題,這答案 10 年後才在廣義相對論中出現(詳見愛因斯坦一生中最幸運的靈感-廣義相對論的助產士):加速可以視為是一種重力現象,時間在重力場中跑得比較慢【稱為「重力時間膨脹」(gravitational time dilation)】。

所以張四在太空中急速的減速及加速將造成強大的重力場,使得其(生理)時鐘變得非常慢,因此在這期間老得也非常慢(在黑洞附近的人—如果不被吸進去的話—幾乎可以長生不老)!

太空中急速的減速與加速,將造成強大的重力場,使時間變得非常慢。 圖/GIPHY

長度收縮

特殊相對論還預測一個稱為「長度收縮」(length contraction)的怪現象,謂:一位快跑健將拿著一根棍子沿著棍子方向以速度v飛跑,旁觀人會認為棍子長度變短。這一個怪現象事實上在月台的實驗上已經看到了:要決定兩點之間的距離,我們必須「同時」測兩點的坐標;李教授認為甲的零點比乙的零點早,因此必須「稍等」甲一下才能「同時」記錄甲、乙兩點的坐標,但這一「稍等」,因為甲在往乙方向運動,不是使得測得的距離變短嗎

如果讀者不怕數學,讓我們在這裡用點數學來看「長度收縮」這一怪現象,希望能幫助讀者更進一步了解。

圖二是旁觀者的坐標,顯示在 t=a 時,棍子的前端進入原點 x=0,然後沿軌跡 x=v(t-a) 繼續前進;棍子的後端則在 t=b 時進入原點,然後沿軌跡 x=v(t-b) 繼續前進。

圖二中的 bc 是棍子後端剛進入原點時,旁觀者的「同時」線,即線上每一點的時間都是 t=b(同步化)。測量棍子的長度必須「同時」觀察其前端及後端的位置,因此他測量得到的棍子長度為 be(他不知道那個時刻棍子前端事實上已經到達 d 點了)!bd 是快跑健將的同時線,其 x 坐標 (xd-xb) 則是 他測量的棍子長度,比 be 長;所以旁觀者說「棍子變短了」。

如果快跑健將的速度不快,則前、後端軌跡將趨近於成垂直,不同運動狀態的「同時」便趨近於相同,我們便又回到我們所熟知的牛頓世界了!

旁觀者測得的棍子長度因快跑健將的速度不同而異(原始長度則是快跑健將所測量道的長度,與其速度無關)。 圖/envatoelements

結論

愛因斯坦1905年的相對論中之「光傳播速率為一與發射體運動狀態無關的定值」假設徹底地毀滅了物理學中「同時」的觀念,因之產生了一些與日常經驗不符的奇怪現象,如「長度收縮」及著名的「雙胞胎悖論」。

希望本文的解釋不但能讓讀者見怪不怪,甚至發現其實不怪;了解相對論裡所有「矛盾」現象都是因為不同觀察者在「自說自話」造成的:例如在棍子的例子裡,靜止觀察者談論的是他(靜止觀察者)在某個時刻測量得到的長度,而移動觀察者談論的則是他自己(移動觀察者)在另一個瞬間測量的長度。

時間及空間是人類製造出來便利溝通的語言,如果李教授不認為甲地先發射,他沒辦法解釋為什麼賴教授同時看到甲乙兩地發射出來的光(實際經驗到的物理現象);所以「自說自話」原來是為了保持物理定律的不變性(物理定律是用來解釋我們實際經驗到的物理現象)。這些「自說自話」事實上也不是隨便說的,而是靠「洛倫茲轉換」(Lorentz transformation)連接在一起的。

附錄一:「後見之明」輕鬆地推導「洛倫茲(坐標)轉換」公式

K’ 坐標以 + v 速度相對於 K 坐標運動。如果坐標在 t=0 時重合,加上時、空的均勻性(變數沒有二次方):

…………………………………………………………(1)

β 為待解的常數。如果在 t=0 時發射一道光,則光的軌跡為 x=ct;代入上式,得

…………………………………………………………(2)

因為 K’ 坐標及 K 坐標的對稱性:

…………………………………………………………(3)

將 (3) 代入 (2) 解得

…………………………………………………………(4)

從 x = β ( x’ + vt’ ) 解 x’ ,然後代入(1),化簡可得到

…………………………………………………………(5)

公式(1) 、(5), 及(4)就是「洛倫茲(坐標)轉換」公式。長度收縮中之快跑健將棍子的同時線方程式為公式(5) :

附錄二:雙胞胎悖論的數學

假設雙胞胎甲留在地球,雙胞胎乙決定以 v 速度往太空地球 S 旅遊,則甲(x , t)、乙( x’ , t’)兩人的坐標轉換為(為了方便,將光速定為 1,所以 v 應該小於 1 ):

圖三為甲的坐標圖:太空地球 S 的位置為( xs , ts)。依照上面公式轉換,對乙來說,其坐標為( x’s , t’s )。去程時,乙在 S 時的同時線(該線上每一點的時鐘都「同步」) t1s 為:

在到達 S 時,乙瞬間改變方向,其同時線瞬間變為 t2s :

這兩個方程式的時間零點分別為 t0t3 ,因此不能直接用它們來算去程及回程的同時點 t1 及 t2 ;但因為對稱的關係,我們可以將 t1s 延長到 x=2xs 處,用  t’s=β ( t-vx ) 解得:

所以乙的回程坐標轉換一下子讓甲老了

t2 – t1 = v2xs

……舉個實際的例子:如果 v=0.6, xs=6,則 β=1.25,所以對甲來說,乙需要 10(=6/0.6) 年才能到達 S ,也需要 10 年才能回來,因此乙回來時,甲應該已經 20 歲了(為了說明方便,假設他們一出生,乙就到太空旅行)。甲的 S 坐標為(6 , 10),透過坐標轉換,乙的 S 坐標為(0 , 8);所以甲認為乙的時鐘比較慢,只要花 8 年(乙時鐘)的時間就可以到達 S,同樣地也只要花 8 年時間回來,所以乙回來時應該只有 16 歲!

透過乙在 S 時的同時線,可以解得當 x=0 時,t1=6.4。所以對乙來說,他已經 8 歲了,但甲才 6.4 歲,顯然比他年輕(老得慢)!同樣地,在回程時,乙也應該認為他老了 8 歲,但甲才老了 6.4 歲,所以乙回到老家時,乙應該已經 16 歲,但甲才 12.8 歲,比他年輕!

但前面不是說過甲應該已經 20 歲了嗎?矛盾?不!我們忘了乙坐標轉換時的「時差」 :7.2 年!將這「時差」加進去,乙也計算出甲的年齡應該是 20 歲(=6.4+7.2+6.4)!

甲、乙兩個人的結論相同,沒有矛盾!愛因斯坦沒有騙我們!

註:

要決定兩點之間的距離,我們必須「同時」測兩點的坐標;同樣地,要決定兩個事件發生的時差(時間),我們必須在「同點」測兩個事件發生的時刻。相對論不但毀滅了物理學中「同時」的觀念,事實上也摧殘了「同點」的觀念:沒有絕對的空間,「同點」因運動者而異。所以我們也應該可以在類似月台的簡單實驗上尋找到「時間膨脹」的現象(請讀者幫幫忙吧)。

延伸閱讀

愛因斯坦一生中最幸運的靈感-廣義相對論的助產士(科學月刊,2021 年 5 月號)。

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