Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/GreekAndCoptic.js

1

3
0

文字

分享

1
3
0

從圓周率與無理數,談數學也有其無法理解、不精確、和不確定性

賴昭正_96
・2019/06/03 ・3516字 ・閱讀時間約 7 分鐘 ・SR值 530 ・七年級

美妙地證明 π 是超越(自然)數有什麼好處:無理數根本不存在,為什麼要研究這這一類的問題呢?

——Leopold Kronecke 德國數學家(1823-1891)

有些派比其他的更難以下理解。圖/pixabay

自 1988 年以後,每年 3 月 14 號那天,全世界就有許多數學家以各種方式慶祝數學常數圓周率 π(希臘字母,音「派」,其值為 3.1415⋅⋅⋅⋅⋅)。10 歲的外孫女陳佳璐似乎也受到波及,但她只知道「今天是派日」,卻不知道什麼是「派」。筆者自告奮勇地想幫她開通,謂「那不是可以吃的餡餅(西式餡餅 pie,音派),而是圓周與直徑的比例;4、5千年以前人類就已經發現圓周是直徑的3.1415⋅⋅⋅⋅⋅倍,….」。

既然不能吃,陳小姐是一點興趣都沒有,可是筆者卻突然想得:如果是倍數,怎麼小數點後的位數永不停止或重複呢?

圓周率怎麼就「無理」了?

如果我們將直徑定為一公尺,並內分成 10 小格(即每小格為一公寸),則切斷之圓周的一端將落在第 3 公尺後之第 2 個小格內(在 3.1 公尺到 3.2 公尺之間);如果我們將 3.1 公尺– 3.2 公尺之空間放大,並內分成 10 小格(即每小格為一公分),則圓周的一端將落在 3.1 公尺後第 5 個小格內(在3.14公尺–3.15公尺之間);如果我們再將 3.14 公尺– 3.15 公尺之空間放大,並內分成 10 小格,則圓周的一端將落在 3.14 公尺後第 2 個小格內(在 3.141 公尺–3.142 公尺之間);……;如此繼續下去永遠沒有終止!圓周不是有固定的長度嗎?筆者很難想像這怎麼可能!

圓周與直徑都具固定的長度,當我們將直徑定為 1 單位時,圓周的長度將是 3.14⋅⋅⋅⋅⋅個單位;當我們將直徑定為 2 單位時,圓周的長度將是 6.28……個單位;……;理論上我們不是一定可以將直徑分成更小的 n 個單位、使得圓周的長度是整數 m 個單位嗎?

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

公元 1761 年,瑞士科學家兼哲學家 Johann Heinrich Lambert 證明了其答案為「不可能」:圓周與直徑無法找到一個公約單位[具「不可通約性」(incommensurability)]。

因為不可能「理解」,我們現在稱這種無法以兩個整數 m/n 來表達的「數」為「無理數」(irrational number)。

不能「理解」的無理數

事實上古希臘哲學家早就知道這種「無理數」的存在!

發現畢氏定理的畢達哥拉斯(Pythagoras,公元前 570年 – 495 年)是希臘哲學家,創建了一個後來被稱為畢達哥拉斯兄弟會(Brotherhood of Pythagoreans)的團體,致力於數學研究。他的政治和宗教教義在地方上眾所周知,深深地影響了柏拉圖、亞里士多德的哲學、以及他們以後的的西方哲學。

根據亞里士多德的說法,畢達哥拉斯人是為了神秘、而不是實際應用的原因而使用數學;他們相信世界上所有事情都是由整數組成的。因此當其哲學家西柏索士(Hippasus)透過畢氏定理發現兩邊由一個單位長度組成的正三角形,其斜邊 √2 為一無法以兩個整數 m/n 來表達時,他們認為西柏索士將此一神聖的上天秘密洩露給外人,因而將他拋棄到海上淹死懲罰。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

同場加映:證明 √2 是無理數

令 √2 =m/n ==> mn 必定有一個是奇數(否則可以用 2 約分)
兩邊平方  2=m2/n2
2n2 = m==> m, m必須是偶數

m =2x
2n2=4x2
n2=2x2 ==>n, n2必須是偶數

所以 nm 均必須是偶數,違反了當初的假設;所以當初的假設一定是錯了,所以√2 不能以 m/n 表示,√2 為一無理數。


純邏輯推理推導出的矛盾

筆者在「數理化科學裡有天才嗎?」一直強調數學是一個純邏輯的科學,因此可能有年輕的天才;可是純邏輯推理怎麼會導出一個這些讓人無法理解的數字呢?讓我們在這裡再看一個例子。{3,8,6} 在數學上稱為有三個成員的「集合」(set),在這集合裡我們可以找出八個子集(sub-set):{}、{3}、{8}、{6}、{3,8}、{3,6}、{8,6}、{3,8,6}。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

透過邏輯推斷,我們將可以得到結論謂:一個集合的子集數(8)將永遠大於其成員數(3)。

但如果我們將這一結論衍伸用到 {所有的集合},則其子集數將大於所有的集合數!可是「所有」的集合已經包含了「所有的集合」,怎麼還有比它更大的子集(集合)?

「不完備性定理」的提出,邏輯矛盾的不可避免

類似的觀念問題——「無限小」(infinitesimal)——也在微積分裡發生了,因此讓數學家感到頭大!1920 年,當時最偉大的數學家希爾伯特(David Hilbert1)終於忍受不了,提出「希爾伯特計劃」(Hilbert program),希望將數學建立在一個堅實而完整的邏輯基礎上。他要一勞永逸地從數學世界中消除這些問題,宣稱:

我們都相信每個數學問題都可以解決。畢竟,當我們將自己獻身於數學問題時,吸引我們最大的原因之一正是在我們的內心深處,我們總能聽到這樣的呼喚:這就是問題所在,你可以通過純粹的思考去尋求解決的方案⎯⎯因為在數學中沒有無知的東西。

1930 年,24 歲的年輕無名小子、維也納大學的博士生哥德爾(Kurt Gödel)在一國際會議上卻發表了一篇被認為是「現代邏輯中獨特和巨大的一座里程碑」。在「不完備性定理」(incompleteness theorem)裡,哥德爾證明了:在至少包括算術在內的任何非矛盾(consistency)之形式系統 (formal system) 裡,都不能通過自己的公理證明其完整性(completeness)。他說:

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

「人們可能會推測,這些公理和推理規則足以決定:可以在這些系統中正式表達的任何命題(待證之問題)。(我)將會證明……事實並非如此。」

哥德爾之「不完備性定理」粉碎了希爾伯特的宏偉計劃!

24歲的哥德爾用「不完備性定理」粉碎了希爾伯特意圖將數學建立在完整邏輯的「希爾伯特計劃」!圖/pixabay

「我在說謊」這句話在文法上是完全正確的,其語意也非常清楚。但是我們卻沒辦法證明它(句子本身)是否正確:如果我是在說謊(假設),那這句話便是正確的,表示我不在說謊(結論),「結論」違反了「假設」,在邏輯上我們說「假設」一定是錯了(這正是我們證明√2是無理數的方法);好吧,那我們就改一改「假設」謂我不在說謊,那上句話便是不正確的,所以我是在說謊(結論),「結論」又違反了「假設」!

對於敬畏數學的人而言,數學是確定性的範式,是完美和絕對真理的典範;因此像「我在說謊」這種不符合邏輯的「命題」,在數學上是不應該、也不會發生的!沒想到哥德爾竟然證明了「事實並非如此」!原來數學也有其無法理解、不精確、和不確定性——對數學感到恐懼的學生,現在總算有理由了(不用謝謝筆者)!

結論:現實與抽象,那些難以解決的命題

圖/pixabay

在「經驗的困境2」二文裡,筆者提到我們如果「盲目」地將日常生活中的經驗擴展到物理學上,將碰到許多難以「理解」的困境:例如光既是「波動」又是「粒子」⎯⎯兩個水火不相容的觀念!

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

物理是實驗的科學,它的目的就是要解釋我們經驗到的現象;經驗強迫我們接受一些「不合理」的解釋3。數學沒有這一個要求,它可以通過純粹的思考去尋求解決的方案;可是從上面的分析看來,數學似乎也好不到哪裡:也有解決不了的命題?!這類發現顯然證明了「在現實之外,還存在有無法用物理驗證之更深層真理的知識」。

或許正如畢達哥拉斯兄弟會所相信的:人類之外還有一個神聖的上天!愛因斯坦有一句名言是:「我想知道上帝如何創造這世界。」只是,正如人工智慧的機器能有創造它們之人類的想像力嗎?我們如果是上帝創造的,我們能有上帝的想像力嗎?我們能跳出上帝的手掌嗎?

註解

  1. 某些科學家認為希爾伯特比愛因斯坦更早提出廣義相對論之場方程式!事實上兩人曾經為這一爭論搞得很不愉快。最後愛因斯坦寫信給希爾伯特尋求和解:「在我們之間(明顯地)有一種不愉快的情緒,但我不想分析其原因。我曾經抵抗它所導致的苦澀,並已取得了相當圓滿成功。我現在再次以無瑕的友誼想到你,也求你對我這樣做。 客觀地說,如果兩個在這個破舊世界中取得了重要成就的好夥伴,但卻彼此不能從中間獲得快樂,那將是很遺憾。」希爾伯特顯然接受了和解。對數學能力極強的希爾伯特來說,找到重力場方程事實上是一件小事,因此他不認為這是一個大成就;但愛因斯坦是奮鬥了 10 年才見到曙光。做為一個數學家,希爾伯特對場方程式的物理意義的了解,當然遠遠不及愛因斯坦;所以大部分的物理學家均認為愛因斯坦是第一位提出廣義相對論之場方程式的物理學家。
  2. 我愛科學」,台北市華騰文化有限公司出版(2017年12月)。本書收集了筆者自 1970 年元月到2017年八月間在科學月刊及其他雜誌發表過的文章。
  3. 愛因斯坦不肯接受現在廣為物理學家所接受的量子力學物理觀(見註二之「愛因斯坦的最後一搏—EPR悖論」);例如他對光的看法是:「這將近五十年來對「光量子到底是什麼」的深思,並沒有使我更接近答案。現在每一個人,像張三、李四、王五等,都以為他們了解,可是他們錯了!」
-----廣告,請繼續往下閱讀-----
文章難易度
賴昭正_96
46 篇文章 ・ 59 位粉絲
成功大學化學工程系學士,芝加哥大學化學物理博士。在芝大時與一群留學生合創「科學月刊」。一直想回國貢獻所學,因此畢業後不久即回清大化學系任教。自認平易近人,但教學嚴謹,因此獲有「賴大刀」之惡名!於1982年時當選爲 清大化學系新一代的年青首任系主任兼所長;但壯志難酬,兩年後即辭職到美留浪,IBM顧問研究化學家退休 。晚期曾回台蓋工廠及創業,均應「水土不服」而鎩羽而歸。正式退休後,除了開始又爲科學月刊寫文章外,全職帶小孫女(半歲起);現已成七歲之小孫女的BFF(2015)。首先接觸到泛科學是因爲科學月刊將我的一篇文章「愛因斯坦的最大的錯誤一宇宙論常數」推薦到泛科學重登。

0

1
0

文字

分享

0
1
0
拆解邊緣AI熱潮:伺服器如何提供穩固的運算基石?
鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2025/05/21 ・5071字 ・閱讀時間約 10 分鐘

本文與 研華科技 合作,泛科學企劃執行。

每次 NVIDIA 執行長黃仁勳公開發言,總能牽動整個 AI 產業的神經。然而,我們不妨設想一個更深層的問題——如今的 AI 幾乎都倚賴網路連線,那如果哪天「網路斷了」,會發生什麼事?

想像你正在自駕車打個盹,系統突然警示:「網路連線中斷」,車輛開始偏離路線,而前方竟是萬丈深谷。又或者家庭機器人被駭,開始暴走跳舞,甚至舉起刀具向你走來。

這會是黃仁勳期待的未來嗎?當然不是!也因為如此,「邊緣 AI」成為業界關注重點。不靠雲端,AI 就能在現場即時反應,不只更安全、低延遲,還能讓數據當場變現,不再淪為沉沒成本。

什麼是邊緣 AI ?

邊緣 AI,乍聽之下,好像是「孤單站在角落的人工智慧」,但事實上,它正是我們身邊最可靠、最即時的親密數位夥伴呀。

當前,像是企業、醫院、學校內部的伺服器,個人電腦,甚至手機等裝置,都可以成為「邊緣節點」。當數據在這些邊緣節點進行運算,稱為邊緣運算;而在邊緣節點上運行 AI ,就被稱為邊緣 AI。簡單來說,就是將原本集中在遠端資料中心的運算能力,「搬家」到更靠近數據源頭的地方。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

那麼,為什麼需要這樣做?資料放在雲端,集中管理不是更方便嗎?對,就是不好。

當數據在這些邊緣節點進行運算,稱為邊緣運算;而在邊緣節點上運行 AI ,就被稱為邊緣 AI。/ 圖片來源:MotionArray

第一個不好是物理限制:「延遲」。
即使光速已經非常快,數據從你家旁邊的路口傳到幾千公里外的雲端機房,再把分析結果傳回來,中間還要經過各種網路節點轉來轉去…這樣一來一回,就算只是幾十毫秒的延遲,對於需要「即刻反應」的 AI 應用,比如說工廠裡要精密控制的機械手臂、或者自駕車要判斷路況時,每一毫秒都攸關安全與精度,這點延遲都是無法接受的!這是物理距離與網路架構先天上的限制,無法繞過去。

第二個挑戰,是資訊科學跟工程上的考量:「頻寬」與「成本」。
你可以想像網路頻寬就像水管的粗細。隨著高解析影像與感測器數據不斷來回傳送,湧入的資料數據量就像超級大的水流,一下子就把水管塞爆!要避免流量爆炸,你就要一直擴充水管,也就是擴增頻寬,然而這樣的基礎建設成本是很驚人的。如果能在邊緣就先處理,把重要資訊「濃縮」過後再傳回雲端,是不是就能減輕頻寬負擔,也能節省大量費用呢?

第三個挑戰:系統「可靠性」與「韌性」。
如果所有運算都仰賴遠端的雲端時,一旦網路不穩、甚至斷線,那怎麼辦?很多關鍵應用,像是公共安全監控或是重要設備的預警系統,可不能這樣「看天吃飯」啊!邊緣處理讓系統更獨立,就算暫時斷線,本地的 AI 還是能繼續運作與即時反應,這在工程上是非常重要的考量。

所以你看,邊緣運算不是科學家們沒事找事做,它是順應數據特性和實際應用需求,一個非常合理的科學與工程上的最佳化選擇,是我們想要抓住即時數據價值,非走不可的一條路!

邊緣 AI 的實戰魅力:從工廠到倉儲,再到你的工作桌

知道要把 AI 算力搬到邊緣了,接下來的問題就是─邊緣 AI 究竟強在哪裡呢?它強就強在能夠做到「深度感知(Deep Perception)」!

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

所謂深度感知,並非僅僅是對數據進行簡單的加加減減,而是透過如深度神經網路這類複雜的 AI 模型,從原始數據裡面,去「理解」出更高層次、更具意義的資訊。

研華科技為例,旗下已有多項邊緣 AI 的實戰應用。以工業瑕疵檢測為例,利用物件偵測模型,快速將工業產品中的瑕疵挑出來,而且由於 AI 模型可以使用同一套參數去檢測,因此品管上能達到一致性,減少人為疏漏。尤其在高產能工廠中,檢測速度必須快、狠、準。研華這套 AI 系統每分鐘最高可處理 8,000 件產品,替工廠節省大量人力,同時確保品質穩定。這樣的效能來自於一台僅有膠囊咖啡機大小的邊緣設備—IPC-240。

這樣的效能來自於一台僅有膠囊咖啡機大小的邊緣設備—IPC-240。/ 圖片提供:研華科技

此外,在智慧倉儲場域,研華與威剛合作,研華與威剛聯手合作,在 MIC-732AO 伺服器上搭載輝達的 Nova Orin 開發平台,打造倉儲系統的 AMR(Autonomous Mobile Robot) 自走車。這跟過去在倉儲系統中使用的自動導引車 AGV 技術不一樣,AMR 不需要事先規劃好路線,靠著感測器偵測,就能輕鬆避開障礙物,識別路線,並且將貨物載到指定地點存放。

當然,還有語言模型的應用。例如結合檢索增強生成 ( RAG ) 跟上下文學習 ( in-context learning ),除了可以做備忘錄跟排程規劃以外,還能將實務上碰到的問題記錄下來,等到之後碰到類似的問題時,就能詢問 AI 並得到解答。

你或許會問,那為什麼不直接使用 ChatGPT 就好了?其實,對許多企業來說,內部資料往往具有高度機密性與商業價值,有些場域甚至連手機都禁止員工帶入,自然無法將資料上傳雲端。對於重視資安,又希望運用 AI 提升效率的企業與工廠而言,自行部署大型語言模型(self-hosted LLM)才是理想選擇。而這樣的應用,並不需要龐大的設備。研華的 SKY-602E3 塔式 GPU 伺服器,體積僅如後背包大小,卻能輕鬆支援語言模型的運作,實現高效又安全的 AI 解決方案。

但問題也接著浮現:要在這麼小的設備上跑大型 AI 模型,會不會太吃資源?這正是目前 AI 領域最前沿、最火熱的研究方向之一:如何幫 AI 模型進行「科學瘦身」,又不減智慧。接下來,我們就來看看科學家是怎麼幫 AI 減重的。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

語言模型瘦身術之一:量化(Quantization)—用更精簡的數位方式來表示知識

當硬體資源有限,大模型卻越來越龐大,「幫模型減肥」就成了邊緣 AI 的重要課題。這其實跟圖片壓縮有點像:有些畫面細節我們肉眼根本看不出來,刪掉也不影響整體感覺,卻能大幅減少檔案大小。

模型量化的原理也是如此,只不過對象是模型裡面的參數。這些參數原先通常都是以「浮點數」表示,什麼是浮點數?其實就是你我都熟知的小數。舉例來說,圓周率是個無窮不循環小數,唸下去就會是3.141592653…但實際運算時,我們常常用 3.14 或甚至直接用 3,也能得到夠用的結果。降低模型參數中浮點數的精度就是這個意思! 

然而,量化並不是那麼容易的事情。而且實際上,降低精度多少還是會影響到模型表現的。因此在設計時,工程師會精密調整,確保效能在可接受範圍內,達成「瘦身不減智」的目標。

當硬體資源有限,大模型卻越來越龐大,「幫模型減肥」就成了邊緣 AI 的重要課題。/ 圖片來源:MotionArray

模型剪枝(Model Pruning)—基於重要性的結構精簡

建立一個 AI 模型,其實就是在搭建一整套類神經網路系統,並訓練類神經元中彼此關聯的參數。然而,在這麼多參數中,總會有一些參數明明佔了一個位置,卻對整體模型沒有貢獻。既然如此,不如果斷將這些「冗餘」移除。

這就像種植作物的時候,總會雜草叢生,但這些雜草並不是我們想要的作物,這時候我們就會動手清理雜草。在語言模型中也會有這樣的雜草存在,而動手去清理這些不需要的連結參數或神經元的技術,就稱為 AI 模型的模型剪枝(Model Pruning)。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

模型剪枝的效果,大概能把100變成70這樣的程度,說多也不是太多。雖然這樣的縮減對於提升效率已具幫助,但若我們要的是一個更小幾個數量級的模型,僅靠剪枝仍不足以應對。最後還是需要從源頭著手,採取更治本的方法:一開始就打造一個很小的模型,並讓它去學習大模型的知識。這項技術被稱為「知識蒸餾」,是目前 AI 模型壓縮領域中最具潛力的方法之一。

知識蒸餾(Knowledge Distillation)—讓小模型學習大師的「精髓」

想像一下,一位經驗豐富、見多識廣的老師傅,就是那個龐大而強悍的 AI 模型。現在,他要培養一位年輕學徒—小型 AI 模型。與其只是告訴小型模型正確答案,老師傅 (大模型) 會更直接傳授他做判斷時的「思考過程」跟「眉角」,例如「為什麼我會這樣想?」、「其他選項的可能性有多少?」。這樣一來,小小的學徒模型,用它有限的「腦容量」,也能學到老師傅的「智慧精髓」,表現就能大幅提升!這是一種很高級的訓練技巧,跟遷移學習有關。

舉個例子,當大型語言模型在收到「晚餐:鳳梨」這組輸入時,它下一個會接的詞語跟機率分別為「炒飯:50%,蝦球:30%,披薩:15%,汁:5%」。在知識蒸餾的過程中,它可以把這套機率表一起教給小語言模型,讓小語言模型不必透過自己訓練,也能輕鬆得到這個推理過程。如今,許多高效的小型語言模型正是透過這項技術訓練而成,讓我們得以在資源有限的邊緣設備上,也能部署愈來愈強大的小模型 AI。

但是!即使模型經過了這些科學方法的優化,變得比較「苗條」了,要真正在邊緣環境中處理如潮水般湧現的資料,並且高速、即時、穩定地運作,仍然需要一個夠強的「引擎」來驅動它們。也就是說,要把這些經過科學千錘百鍊、但依然需要大量計算的 AI 模型,真正放到邊緣的現場去發揮作用,就需要一個強大的「硬體平台」來承載。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

邊緣 AI 的強心臟:SKY-602E3 的三大關鍵

像研華的 SKY-602E3 塔式 GPU 伺服器,就是扮演「邊緣 AI 引擎」的關鍵角色!那麼,它到底厲害在哪?

一、核心算力
它最多可安裝 4 張雙寬度 GPU 顯示卡。為什麼 GPU 這麼重要?因為 GPU 的設計,天生就擅長做「平行計算」,這正好就是 AI 模型裡面那種海量數學運算最需要的!

你想想看,那麼多數據要同時處理,就像要請一大堆人同時算數學一樣,GPU 就是那個最有效率的工具人!而且,有多張 GPU,代表可以同時跑更多不同的 AI 任務,或者處理更大流量的數據。這是確保那些科學研究成果,在邊緣能真正「跑起來」、「跑得快」、而且「能同時做更多事」的物理基礎!

二、工程適應性——塔式設計。
邊緣環境通常不是那種恆溫恆濕的標準機房,有時是在工廠角落、辦公室一隅、或某個研究實驗室。這種塔式的機箱設計,體積相對緊湊,散熱空間也比較好(這對高功耗的 GPU 很重要!),部署起來比傳統機架式伺服器更有彈性。這就是把高性能計算,進行「工程化」,讓它能適應台灣多樣化的邊緣應用場景。

三、可靠性
SKY-602E3 用的是伺服器等級的主機板、ECC 糾錯記憶體、還有備援電源供應器等等。這些聽起來很硬的規格,背後代表的是嚴謹的工程可靠性設計。畢竟在邊緣現場,系統穩定壓倒一切!你總不希望 AI 分析跑到一半就掛掉吧?這些設計確保了部署在現場的 AI 系統,能夠長時間、穩定地運作,把實驗室裡的科學成果,可靠地轉化成實際的應用價值。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----
研華的 SKY-602E3 塔式 GPU 伺服器,體積僅如後背包大小,卻能輕鬆支援語言模型的運作,實現高效又安全的 AI 解決方案。/ 圖片提供:研華科技

台灣製造 × 在地智慧:打造專屬的邊緣 AI 解決方案

研華科技攜手八維智能,能幫助企業或機構提供客製化的AI解決方案。他們的技術能力涵蓋了自然語言處理、電腦視覺、預測性大數據分析、全端軟體開發與部署,及AI軟硬體整合。

無論是大小型語言模型的微調、工業瑕疵檢測的模型訓練、大數據分析,還是其他 AI 相關的服務,都能交給研華與八維智能來協助完成。他們甚至提供 GPU 與伺服器的租借服務,讓企業在啟動 AI 專案前,大幅降低前期投入門檻,靈活又實用。

台灣有著獨特的產業結構,從精密製造、城市交通管理,到因應高齡化社會的智慧醫療與公共安全,都是邊緣 AI 的理想應用場域。更重要的是,這些情境中許多關鍵資訊都具有高度的「時效性」。像是產線上的一處異常、道路上的突發狀況、醫療設備的即刻警示,這些都需要分秒必爭的即時回應。

如果我們還需要將數據送上雲端分析、再等待回傳結果,往往已經錯失最佳反應時機。這也是為什麼邊緣 AI,不只是一項技術創新,更是一條把尖端 AI 科學落地、真正發揮產業生產力與社會價值的關鍵路徑。讓數據在生成的那一刻、在事件發生的現場,就能被有效的「理解」與「利用」,是將數據垃圾變成數據黃金的賢者之石!

👉 更多研華Edge AI解決方案
👉 立即申請Server租借

-----廣告,請繼續往下閱讀-----
-----廣告,請繼續往下閱讀-----
文章難易度

討論功能關閉中。

0

1
0

文字

分享

0
1
0
【科學說文解字】才不是白色情人節!是 π DAY!公式裡常見的符號到底該怎麼寫、怎麼唸?
PanSci_96
・2024/03/14 ・779字 ・閱讀時間約 1 分鐘

各位觀眾~今天是什麼節日呢?

什麼?情人節?

嘖嘖嘖,只知道這個的話就膚淺了。

今天可是圓周率日、愛因斯坦的生日、霍金的忌日……是巧合嗎?我可不這麼認為!總之,對於科學界來說,3 月 14 日不僅僅是白色情人節,而是一個意義非凡的日子!

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

那圓周率又有什麼酷酷的地方讓科學家如此著迷,甚至有一個專門的節日呢?快點進影片,一探究竟吧!

除了 π(pi)之外,你還認得哪些希臘字母呢?從國中就認識的朋友——代表波長的 λ(lambda):

還是代表頻率,長得很像 v,常常害小編認錯的 ν(nu)?

在高中認識的 μ(mu),除了用於微米、代表摩擦係數,它還有什麼意思呢?

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

快動動你的指頭搜尋一下吧!

最後這個像蛇的符號是什麼啊?長得有點像 Z 的書寫體?

沒錯!拉丁字母的 Z 就是從 ζ(zeta)來的。

而數學上有許多 ζ 函數,其中,最為知名的便是發現質數規律的黎曼 ζ 函數。

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

歡迎訂閱 Pansci Youtube 頻道 獲取更多深入淺出的科學知識!

-----廣告,請繼續往下閱讀-----

討論功能關閉中。

6

12
2

文字

分享

6
12
2
今晚,我想來點……圓周率的派(π)!
Yi-Hsuan Lee_96
・2021/03/14 ・2391字 ・閱讀時間約 4 分鐘 ・SR值 529 ・七年級

  • 作者/李奕萱

3 月 14 日是什麼節呢?白色情……呸呸呸!身為科學愛好者今天過的是 π day 啦!

π day 訂在 3 月 14 日,並通常在下午 1 時 59 分慶祝,是取自圓周率(π)的近似值 3.14159 而來。圖/pixabay

2009 年,美國眾議院正式通過麻省理工提出將 3 月 14 日定為國家圓周率日的申請,將 3 月 14 日正式定為圓周率日(pi day)。世界各地的科學家會吃圓周率(派,pie)、喝圓周率(雞尾酒,piña colada)、玩圓周率(皮納塔,piñata)……來紀念這個科學界的重要常數── π。這些人有多喜歡 π 呢?他們甚至發明了 π 語言!

早在 1988 年物理學家 Larry Shaw 就在舊京山的科學探索館舉辦了第一次的「π」對,人們吃派和討論關於π的事物。圖/Wikipedia

什麼是π語言呢?

π語言(Pilish),是一種特殊的書寫格式,每個單詞中的字母數與π的對應數字匹配。第一個單詞包含三個字母,第二個單詞包含一個字母,第三個單詞包含四個字母,依此類推。舉例來說:How I need a drink, alcoholic in nature, after the heavy lectures involving quantum mechanics! 就是典型的π語言,How 由三個字母組成,I 由一個字母組成,並接續下去。人們利用這個格式創作 π 文章或是 π 詩,其中最有名的是邁克爾·基思(Michael Keith)發表的一首以 π 為主題的詩《piku》:

It’s a moon,

A wheel revolving on golden earth, and lotus blossoms.

Mountains embrace windmills, and it all reflects this number, pi.

這首詩不僅符合每個字母數的規定,甚至每句的音節數也符合規定:第一句 3 個音節,第二句 14 個音節,第三句 15 個音節。π 語言除了是一種創作形式,也衍伸出一種記憶技巧──圓周率文字學(Piphilology),先記憶 π 語言撰寫的故事再回復成數字的形式來背誦 π。你想不想也試著寫看看 π 詩呢?

-----廣告,請繼續往下閱讀-----
邁克爾甚至用這種語言寫了一本一萬字的書,叫做《不醒》(原文書名 Not A Wake: A Dream Embodying π’s Digits Fully For 10000 Decimals,也符合 π 語言的格式喔!)。圖/amazon

所以 π 是怎麼來的呢?π 又代表什麼呢?


π 源自於希臘語的 περίμετρος,有「周長」的意思,為一個圓的周長和其直徑的比值,看似很簡單的定義卻讓人類研究了數千年還是對她著迷不已。π 是無理數,用小數來表示的話就會形成一個無限的不循環小數,也就是你無法找出這些數字的規律,現代有超級電腦可以幫忙計算,那麼在沒有電腦甚至沒有計算機的的古代呢?

π 的計算最早要回溯到古埃及時期,以畫圓面積的方式計算出 π =3.16,雖然離更正確的 3.14159… 有一段差距,但當時可是公元前 1850 年的石器時代呢!後來曹魏時期的數學家劉徽和希臘化時期的阿基米德相繼提出了以相似多邊形逼近的來估算圓形周長的方式,而這些新方法也讓我們更加接近 π。

π 又有人稱作阿基米德常數,阿基米德晚年致力於幾何研究,相傳在羅馬戰士攻進城裡時阿基米德還在研究 π 的計算。圖/wikipedia

那麼 π 這個神秘的常數,在各個學界有什麼不一樣的地位呢?對於一般人來說,課本告訴我們計算π的時候要代近似值 3.14;對於軟體工程師來說,只要輸入指令就能直接從後台計算π;對數學家來說,近似值根本是邪教!!π 就是圓周跟直徑的比值,就是無法被窮盡的無理數。而這時工程師說話了:「那就當作 3 吧!」數學家頓時氣死在路邊……

工程師把數學裡兩大無理數:圓周率(π)代入 3、數學常數(e)代入 2,時常被做成迷因調侃。

海浪居然也跟 π 有關?


你知道嗎?海浪、聲音、電、路燈光線強度……這些看似跟圓形沒什麼關聯的事物其實都跟 π 有關係喔!還記得高中物理學過的海浪的簡諧運動嗎?當你把一塊會漂浮的木頭丟到海裡,木頭隨著海浪做上下規律的簡諧運動,當你把那塊浮木的運動軌跡記錄下來你就能得到一福完美的波浪圖,而圓型的秘密其實就藏在這幅圖裡!

-----廣告,請繼續往下閱讀-----
除了波浪有做簡諧運動,水分子本身也在做簡諧運動。圖/Daniel A. Russell from Longitudinal and Transverse Wave Motion

想像有一個圓形操場,你沿著跑道等速繞圈圈,並且有一道平行光從北邊打過來,這時你就會發現自己印在南邊牆上的影子軌跡也形成一幅一模一樣的波浪圖。也就是說海浪的起伏可以看作是等速度圓周運動的投影,這就說明了簡諧運動中的週期公式  T=2π\sqrt{\frac{m}{k_m}} 為什麼有π在裡面了!

π 還有一些有意思的故事!

世界上有一群熱愛 π 的人,那就有另一群討厭π的人,他們認為我們在計算圓的時候應該使用的常數是 τ(念 Tau,τ=2π),也就是圓周和半徑的比值,τ 的擁護者則會在 6/28 慶祝 τ day。除了科學界慶祝圓周率,影劇界也會開π的玩笑,星際爭霸戰影集在某年 3 月 14 日的劇集中將π的最後一位數當作電腦破譯密碼,但我們知道π是一個無理數,所以我們大概也就永遠無法破解那部電腦了。π 就是這麼神秘且令人著迷,甚至法國奢侈品牌紀梵希就曾經推出一款命名為π的男性香水,是專為聰明、有遠見的男人設計的木質調香。

史巴克:「我們應該都知道 π 是一個無法被解決的超越數吧!」圖/IMDb

3 月 14 日不僅是 π day 同時是愛因斯坦的生日、史蒂芬霍金的忌日,是不是也為這天蒙上更神秘的色彩呢,那麼何不一起吃個派慶祝 π day 吧!

  1. Pi – Wikipedia
  2. Larry Shaw (Pi) – Wikipedia
  3. Exploratorium – Wikipedia
  4. 阿基米德 – 維基百科,自由的百科全書
  5. Daniel A. Russell(2016). Longitudinal and Transverse Wave Motion.
  6. Longitudinal and Transverse Wave Motion
-----廣告,請繼續往下閱讀-----
所有討論 6
Yi-Hsuan Lee_96
3 篇文章 ・ 1 位粉絲
Science Communicator | 數學系畢業,跑到心理系當了一年間諜,現在是應用科學研究生。喜歡文學、古典戲劇和薏仁。立志在台灣創造一個老人小孩都能樂在其中的科普空間。