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從圓周率與無理數,談數學也有其無法理解、不精確、和不確定性

賴昭正_96
・2019/06/03 ・3516字 ・閱讀時間約 7 分鐘 ・SR值 530 ・七年級

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美妙地證明 π 是超越(自然)數有什麼好處:無理數根本不存在,為什麼要研究這這一類的問題呢?

——Leopold Kronecke 德國數學家(1823-1891)

有些派比其他的更難以下理解。圖/pixabay

自 1988 年以後,每年 3 月 14 號那天,全世界就有許多數學家以各種方式慶祝數學常數圓周率 π(希臘字母,音「派」,其值為 3.1415⋅⋅⋅⋅⋅)。10 歲的外孫女陳佳璐似乎也受到波及,但她只知道「今天是派日」,卻不知道什麼是「派」。筆者自告奮勇地想幫她開通,謂「那不是可以吃的餡餅(西式餡餅 pie,音派),而是圓周與直徑的比例;4、5千年以前人類就已經發現圓周是直徑的3.1415⋅⋅⋅⋅⋅倍,….」。

既然不能吃,陳小姐是一點興趣都沒有,可是筆者卻突然想得:如果是倍數,怎麼小數點後的位數永不停止或重複呢?

圓周率怎麼就「無理」了?

如果我們將直徑定為一公尺,並內分成 10 小格(即每小格為一公寸),則切斷之圓周的一端將落在第 3 公尺後之第 2 個小格內(在 3.1 公尺到 3.2 公尺之間);如果我們將 3.1 公尺– 3.2 公尺之空間放大,並內分成 10 小格(即每小格為一公分),則圓周的一端將落在 3.1 公尺後第 5 個小格內(在3.14公尺–3.15公尺之間);如果我們再將 3.14 公尺– 3.15 公尺之空間放大,並內分成 10 小格,則圓周的一端將落在 3.14 公尺後第 2 個小格內(在 3.141 公尺–3.142 公尺之間);……;如此繼續下去永遠沒有終止!圓周不是有固定的長度嗎?筆者很難想像這怎麼可能!

圓周與直徑都具固定的長度,當我們將直徑定為 1 單位時,圓周的長度將是 3.14⋅⋅⋅⋅⋅個單位;當我們將直徑定為 2 單位時,圓周的長度將是 6.28……個單位;……;理論上我們不是一定可以將直徑分成更小的 n 個單位、使得圓周的長度是整數 m 個單位嗎?

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公元 1761 年,瑞士科學家兼哲學家 Johann Heinrich Lambert 證明了其答案為「不可能」:圓周與直徑無法找到一個公約單位[具「不可通約性」(incommensurability)]。

因為不可能「理解」,我們現在稱這種無法以兩個整數 m/n 來表達的「數」為「無理數」(irrational number)。

不能「理解」的無理數

事實上古希臘哲學家早就知道這種「無理數」的存在!

發現畢氏定理的畢達哥拉斯(Pythagoras,公元前 570年 – 495 年)是希臘哲學家,創建了一個後來被稱為畢達哥拉斯兄弟會(Brotherhood of Pythagoreans)的團體,致力於數學研究。他的政治和宗教教義在地方上眾所周知,深深地影響了柏拉圖、亞里士多德的哲學、以及他們以後的的西方哲學。

根據亞里士多德的說法,畢達哥拉斯人是為了神秘、而不是實際應用的原因而使用數學;他們相信世界上所有事情都是由整數組成的。因此當其哲學家西柏索士(Hippasus)透過畢氏定理發現兩邊由一個單位長度組成的正三角形,其斜邊 √2 為一無法以兩個整數 m/n 來表達時,他們認為西柏索士將此一神聖的上天秘密洩露給外人,因而將他拋棄到海上淹死懲罰。

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同場加映:證明 √2 是無理數

令 √2 =m/n ==> mn 必定有一個是奇數(否則可以用 2 約分)
兩邊平方  2=m2/n2
2n2 = m==> m, m必須是偶數

m =2x
2n2=4x2
n2=2x2 ==>n, n2必須是偶數

所以 nm 均必須是偶數,違反了當初的假設;所以當初的假設一定是錯了,所以√2 不能以 m/n 表示,√2 為一無理數。


純邏輯推理推導出的矛盾

筆者在「數理化科學裡有天才嗎?」一直強調數學是一個純邏輯的科學,因此可能有年輕的天才;可是純邏輯推理怎麼會導出一個這些讓人無法理解的數字呢?讓我們在這裡再看一個例子。{3,8,6} 在數學上稱為有三個成員的「集合」(set),在這集合裡我們可以找出八個子集(sub-set):{}、{3}、{8}、{6}、{3,8}、{3,6}、{8,6}、{3,8,6}。

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透過邏輯推斷,我們將可以得到結論謂:一個集合的子集數(8)將永遠大於其成員數(3)。

但如果我們將這一結論衍伸用到 {所有的集合},則其子集數將大於所有的集合數!可是「所有」的集合已經包含了「所有的集合」,怎麼還有比它更大的子集(集合)?

「不完備性定理」的提出,邏輯矛盾的不可避免

類似的觀念問題——「無限小」(infinitesimal)——也在微積分裡發生了,因此讓數學家感到頭大!1920 年,當時最偉大的數學家希爾伯特(David Hilbert1)終於忍受不了,提出「希爾伯特計劃」(Hilbert program),希望將數學建立在一個堅實而完整的邏輯基礎上。他要一勞永逸地從數學世界中消除這些問題,宣稱:

我們都相信每個數學問題都可以解決。畢竟,當我們將自己獻身於數學問題時,吸引我們最大的原因之一正是在我們的內心深處,我們總能聽到這樣的呼喚:這就是問題所在,你可以通過純粹的思考去尋求解決的方案⎯⎯因為在數學中沒有無知的東西。

1930 年,24 歲的年輕無名小子、維也納大學的博士生哥德爾(Kurt Gödel)在一國際會議上卻發表了一篇被認為是「現代邏輯中獨特和巨大的一座里程碑」。在「不完備性定理」(incompleteness theorem)裡,哥德爾證明了:在至少包括算術在內的任何非矛盾(consistency)之形式系統 (formal system) 裡,都不能通過自己的公理證明其完整性(completeness)。他說:

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「人們可能會推測,這些公理和推理規則足以決定:可以在這些系統中正式表達的任何命題(待證之問題)。(我)將會證明……事實並非如此。」

哥德爾之「不完備性定理」粉碎了希爾伯特的宏偉計劃!

24歲的哥德爾用「不完備性定理」粉碎了希爾伯特意圖將數學建立在完整邏輯的「希爾伯特計劃」!圖/pixabay

「我在說謊」這句話在文法上是完全正確的,其語意也非常清楚。但是我們卻沒辦法證明它(句子本身)是否正確:如果我是在說謊(假設),那這句話便是正確的,表示我不在說謊(結論),「結論」違反了「假設」,在邏輯上我們說「假設」一定是錯了(這正是我們證明√2是無理數的方法);好吧,那我們就改一改「假設」謂我不在說謊,那上句話便是不正確的,所以我是在說謊(結論),「結論」又違反了「假設」!

對於敬畏數學的人而言,數學是確定性的範式,是完美和絕對真理的典範;因此像「我在說謊」這種不符合邏輯的「命題」,在數學上是不應該、也不會發生的!沒想到哥德爾竟然證明了「事實並非如此」!原來數學也有其無法理解、不精確、和不確定性——對數學感到恐懼的學生,現在總算有理由了(不用謝謝筆者)!

結論:現實與抽象,那些難以解決的命題

圖/pixabay

在「經驗的困境2」二文裡,筆者提到我們如果「盲目」地將日常生活中的經驗擴展到物理學上,將碰到許多難以「理解」的困境:例如光既是「波動」又是「粒子」⎯⎯兩個水火不相容的觀念!

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物理是實驗的科學,它的目的就是要解釋我們經驗到的現象;經驗強迫我們接受一些「不合理」的解釋3。數學沒有這一個要求,它可以通過純粹的思考去尋求解決的方案;可是從上面的分析看來,數學似乎也好不到哪裡:也有解決不了的命題?!這類發現顯然證明了「在現實之外,還存在有無法用物理驗證之更深層真理的知識」。

或許正如畢達哥拉斯兄弟會所相信的:人類之外還有一個神聖的上天!愛因斯坦有一句名言是:「我想知道上帝如何創造這世界。」只是,正如人工智慧的機器能有創造它們之人類的想像力嗎?我們如果是上帝創造的,我們能有上帝的想像力嗎?我們能跳出上帝的手掌嗎?

註解

  1. 某些科學家認為希爾伯特比愛因斯坦更早提出廣義相對論之場方程式!事實上兩人曾經為這一爭論搞得很不愉快。最後愛因斯坦寫信給希爾伯特尋求和解:「在我們之間(明顯地)有一種不愉快的情緒,但我不想分析其原因。我曾經抵抗它所導致的苦澀,並已取得了相當圓滿成功。我現在再次以無瑕的友誼想到你,也求你對我這樣做。 客觀地說,如果兩個在這個破舊世界中取得了重要成就的好夥伴,但卻彼此不能從中間獲得快樂,那將是很遺憾。」希爾伯特顯然接受了和解。對數學能力極強的希爾伯特來說,找到重力場方程事實上是一件小事,因此他不認為這是一個大成就;但愛因斯坦是奮鬥了 10 年才見到曙光。做為一個數學家,希爾伯特對場方程式的物理意義的了解,當然遠遠不及愛因斯坦;所以大部分的物理學家均認為愛因斯坦是第一位提出廣義相對論之場方程式的物理學家。
  2. 我愛科學」,台北市華騰文化有限公司出版(2017年12月)。本書收集了筆者自 1970 年元月到2017年八月間在科學月刊及其他雜誌發表過的文章。
  3. 愛因斯坦不肯接受現在廣為物理學家所接受的量子力學物理觀(見註二之「愛因斯坦的最後一搏—EPR悖論」);例如他對光的看法是:「這將近五十年來對「光量子到底是什麼」的深思,並沒有使我更接近答案。現在每一個人,像張三、李四、王五等,都以為他們了解,可是他們錯了!」
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成功大學化學工程系學士,芝加哥大學化學物理博士。在芝大時與一群留學生合創「科學月刊」。一直想回國貢獻所學,因此畢業後不久即回清大化學系任教。自認平易近人,但教學嚴謹,因此穫有「賴大刀」之惡名!於1982年時當選爲 清大化學系新一代的年青首任系主任兼所長;但壯志難酬,兩年後即辭職到美留浪。晚期曾回台蓋工廠及創業,均應「水土不服」而鎩羽而歸。正式退休後,除了開始又爲科學月刊寫文章外,全職帶小孫女(半歲起);現已成七歲之小孫女的BFF(2015)。首先接觸到泛科學是因爲科學月刊將我的一篇文章「愛因斯坦的最大的錯誤一宇宙論常數」推薦到泛科學重登。

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上網也要有「技術」!從言論、隱私到國安,你我都該懂的界線
鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2024/12/18 ・2366字 ・閱讀時間約 4 分鐘

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以為鍵盤俠天下無敵?小心一個不留神就觸法!人們常忽略「網路並非法外之地」這個重要事實。不只現實生活中的法律同樣適用於網路空間,隨著科技發展,更多應網路特性而生的法律規範也相繼出現。從基本的言論自由到隱私權保護,從智慧財產權到國家安全,法律體系正全面性地回應數位時代的種種挑戰。

在臺灣,網路上的言論自由權利源自《憲法》第 11 條的明確規定:「人民有言論、講學、著作及出版之自由。」釋字第 509 號則指出,「國家應給予最大限度之維護,俾其實現自我、溝通意見、追求真理及監督各種政治或社會活動之功能得以發揮。」網路快速傳播的特性放大了言論的影響力,而大法官的解釋將言論自由的邊際刻畫得更明確,這在數位時代裡顯得格外重要。

網路與社群媒體的快速傳播,放大了言論的影響力。圖/unsplash

網路上的性、暴力與未成年保護

顯然言論自由並非是毫無限制,2023 年 11 月的一起案件就展現其中一種界線的樣貌。當時,一名 36 歲男子將他和網友在網咖的性愛影片上傳至推特,還寫下「《網咖包廂實戰計 1》我跟某公司 OL 戰鬥」等文字。這段影片一經發布,當事女子立即採取法律行動。最終,法院依其以網際網路「供人觀覽猥褻影像」的罪名,判處該名男子拘役 30 日,得易科罰金。這個判決清楚說明了,即便在虛擬空間,散布猥褻影像仍須承擔實質的法律責任。

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特別是在保護未成年人方面,法律的規範更加嚴格。《刑法》第 235 條明文禁止散布、播送或販賣猥褻物品,無論形式是圖文、聲音還是影像。而《兒童及少年性剝削防制條例》第 36 條更進一步禁止任何形式的兒童色情製品被製造、散布和持有。2019年彰化縣曾層發生過這樣一起案件:一名陳姓中年男子將9歲女童帶往居所,不僅強迫她觀看色情影片,還對她進行猥褻行為,甚至將過程上傳至 Google 雲端。儘管他後來試圖以資助女童就學表達悔意,法院仍以加重強制猥褻等罪,判處他 4 年 4 個月有期徒刑。

不實言論的散布同樣可能觸犯法律。2021 年 9 月爆發的「台大狼師案」就是一個警示。一名女大生在網路上指控教師誘騙她發生關係並傳染性病,幾個月後又指控對方對她進行強制性行為。當她提出告訴時,檢方卻查無性侵事實,加上她反覆的說詞,不僅性侵告訴失敗,還因誹謗罪反被加重判刑。

當駭客、間諜都轉戰網路戰場

2013 年,一名退役空軍上校赴陸經商時被情治單位吸收,返台後透過人脈網絡發展組織、刺探軍事機密,並以空殼公司掩護非法報酬,這個情報網持續運作了 8 年之久。

在涉及國家安全的議題上,法律的態度更是嚴厲。根據《國家安全法》第 2 條的規定,任何人都不得為境外敵對勢力及其控制的組織、機構進行資助、主持、操縱、指揮或發展組織,更不能洩漏、交付或傳遞公務機密,違反者將面臨嚴厲的刑事處罰。《刑法》規定,意圖破壞國體、竊據國土,或以非法方法變更國憲、顛覆政府者,處7年以上有期徒刑,首謀更要判處無期徒刑。

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抄襲與轉貼的邊界在哪裡?

在智慧財產權的保護上,臺灣也經歷了數位時代的轉變。台灣第一個網路著作權相關判決,就發生在傳統出版與數位平台的碰撞之中。南方社區文化網路負責人陳豐偉等三人在中山大學 BBS 上發表的文章,未經同意就被《光碟月刊》收錄在隨刊光碟中發行。三人向台北地檢署提告後,《光碟月刊》發行人兼總經理黃俊義被判處七個月有期徒刑,緩刑三年。這個判決為數位時代的著作權保護樹立了重要典範。

臺灣首例網路著作權案判決,為數位時代智慧財產權保護樹立典範。圖/envato

近年來,影音平台的著作權爭議更趨複雜。2022 年,知名 YouTube 頻道「觸電網」就因為片商車庫娛樂檢舉七十多支未經授權的影片,導致經營 12 年的頻道被迫下架。車庫娛樂透過律師聲明,這是針對「未經合法授權影音內容」的標準處理,並表明將追究民事與刑事責任。

受害了怎麼辦?申訴管道報你知

當我們在網路上的權利受到侵害時,可以根據侵害類型尋求不同的救濟管道。最基本的言論自由權利受到侵犯時,可以先向社群平台提出檢舉。若遇到更嚴重的情況,如散布猥褻影像、非法性私密影片等,除了平台檢舉外,還可以向警方提告,或是尋求衛福部「性影像處理中心」的協助。

在面對網路霸凌、不實言論時,可以向台灣事實查核中心、MyGoPen 等組織求助,協助澄清真相。若發現有害兒少身心健康的不當內容,則可以向 iWIN 網路內容防護機構提出申訴。這個由國家通訊傳播委員會支持的組織,會在受理後進行查核、轉介業者改善或依法處理。

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智慧財產權的侵害在網路時代極為常見,就像「觸電網」遭片商檢舉下架的案例。這類情況可以透過平台既有的著作權保護機制處理,情節嚴重者也可以提起民事訴訟要求賠償。若發現可疑的廣告或不公平交易行為,則可以向公平交易委員會檢舉;若是特定領域的違規內容,則應該向各該主管機關反映,例如藥品廣告歸衛福部管轄、證券期貨廣告則由金管會負責。

網路時代的法律規範正不斷演進,從個人隱私到國家安全,從言論自由到智慧財產權,每個面向都在尋求數位環境下的最佳平衡點。作為網路使用者,我們必須理解並遵守這些法律界線,同時也要懂得運用各種救濟管道保護自身權益。唯有每個人都清楚了解並遵守這些規範,才能共同營造一個更安全、更有序的網路環境。

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當心網路陷阱!從媒體識讀、防詐騙到個資保護的安全守則
鳥苷三磷酸 (PanSci Promo)_96
・2024/12/17 ・3006字 ・閱讀時間約 6 分鐘

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本文由 國家通訊傳播委員會 委託,泛科學企劃執行。 

網路已成為現代人生活中不可或缺的一部分,可伴隨著便利而來的,還有層出不窮的風險與威脅。從充斥網路的惡假害訊息,到日益精進的詐騙手法,再到個人隱私的安全隱憂,這些都是我們每天必須面對的潛在危機。2023 年網路購物詐欺案件達 4,600 起,較前一年多出 41%。這樣的數據背後,正反映出我們對網路安全意識的迫切需求⋯⋯

「第一手快訊」背後的騙局真相

在深入探討網路世界的風險之前,我們必須先理解「錯誤訊息」和「假訊息」的本質差異。錯誤訊息通常源於時效性考量下的查證不足或作業疏漏,屬於非刻意造假的不實資訊。相較之下,假訊息則帶有「惡、假、害」的特性,是出於惡意、虛偽假造且意圖造成危害的資訊。

2018 年的關西機場事件就是一個鮮明的例子。當時,燕子颱風重創日本關西機場,數千旅客受困其中。中國媒體隨即大肆宣傳他們的大使館如何派車前往營救中國旅客,這則未經證實的消息從微博開始蔓延,很快就擴散到各個內容農場。更令人遺憾的是,這則假訊息最終導致當時的外交部駐大阪辦事處處長蘇啟誠,因不堪輿論壓力而選擇結束生命。

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同年,另一則「5G 會抑制人體免疫系統」的不實訊息在網路上廣為流傳。這則訊息聲稱 5G 技術會影響人體免疫力、導致更容易感染疾病。儘管科學家多次出面澄清這完全是毫無根據的說法,但仍有許多人選擇相信並持續轉發。類似的例子還有 2018 年 2 月底 3 月初,因量販業者不當行銷與造謠漲價,加上媒體跟進報導,而導致民眾瘋狂搶購衛生紙的「安屎之亂」。這些案例都說明了假訊息對社會秩序的巨大衝擊。

提升媒體識讀能力,對抗錯假訊息

面對如此猖獗的假訊息,我們首要之務就是提升媒體識讀能力。每當接觸到訊息時,都應先評估發布該消息的媒體背景,包括其成立時間、背後所有者以及過往的報導記錄。知名度高、歷史悠久的主流媒體通常較為可靠,但仍然不能完全放下戒心。如果某則消息只出現在不知名的網站或社群媒體帳號上,而主流媒體卻未有相關報導,就更要多加留意了。

提升媒體識讀能力,檢視媒體背景,警惕來源不明的訊息。圖/envato

在實際的資訊查證過程中,我們還需要特別關注作者的身分背景。一篇可信的報導通常會具名,而且作者往往是該領域的資深記者或專家。我們可以搜索作者的其他作品,了解他們的專業背景和過往信譽。相對地,匿名或難以查證作者背景的文章,就需要更謹慎對待。同時,也要追溯消息的原始來源,確認報導是否明確指出消息從何而來,是一手資料還是二手轉述。留意發布日期也很重要,以免落入被重新包裝的舊聞陷阱。

這優惠好得太誇張?談網路詐騙與個資安全

除了假訊息的威脅,網路詐騙同樣令人憂心。從最基本的網路釣魚到複雜的身分盜用,詐騙手法不斷推陳出新。就拿網路釣魚來說,犯罪者通常會偽裝成合法機構的人員,透過電子郵件、電話或簡訊聯繫目標,企圖誘使當事人提供個人身分、銀行和信用卡詳細資料以及密碼等敏感資訊。這些資訊一旦落入歹徒手中,很可能被用來進行身分盜用和造成經濟損失。

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網路詐騙手法不斷進化,釣魚詐騙便常以偽裝合法機構誘取敏感資訊。圖/envato

資安業者趨勢科技的調查就發現,中國駭客組織「Earth Lusca」在 2023 年 12 月至隔年 1 月期間,利用談論兩岸地緣政治議題的文件,發起了一連串的網路釣魚攻擊。這些看似專業的政治分析文件,實際上是在臺灣總統大選投票日的兩天前才建立的誘餌,目的就是為了竊取資訊,企圖影響國家的政治情勢。

網路詐騙還有一些更常見的特徵。首先是那些好到令人難以置信的優惠,像是「中獎得到 iPhone 或其他奢侈品」的訊息。其次是製造緊迫感,這是詐騙集團最常用的策略之一,他們會要求受害者必須在極短時間內作出回應。此外,不尋常的寄件者與可疑的附件也都是警訊,一不小心可能就會點到含有勒索軟體或其他惡意程式的連結。

在個人隱私保護方面,社群媒體的普及更是帶來了新的挑戰。2020 年,一個發生在澳洲的案例就很具有警示意義。當時的澳洲前總理艾伯特在 Instagram 上分享了自己的登機證照片,結果一位網路安全服務公司主管僅憑這張圖片,就成功取得了艾伯特的電話與護照號碼等個人資料。雖然這位駭客最終選擇善意提醒而非惡意使用這些資訊,但這個事件仍然引發了對於在社群媒體上分享個人資訊安全性的廣泛討論。

安全防護一把罩!更新裝置、慎用 Wi-Fi、強化密碼管理

為了確保網路使用的安全,我們必須建立完整的防護網。首先是確保裝置和軟體都及時更新到最新版本,包括作業系統、瀏覽器、外掛程式和各類應用程式等。許多網路攻擊都是利用系統或軟體的既有弱點入侵,而這些更新往往包含了對已知安全漏洞的修補。

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在使用公共 Wi-Fi 時也要特別當心。許多公共 Wi-Fi 缺乏適當的加密和身分驗證機制,讓不法分子有機可乘,能夠輕易地攔截使用者的網路流量,竊取帳號密碼、信用卡資訊等敏感數據。因此,在咖啡廳、機場、車站等公共場所,都應該避免使用不明的免費 Wi-Fi 處理重要事務或進行線上購物。如果必須連上公用 Wi-Fi,也要記得停用裝置的檔案共享功能。

使用公共 Wi-Fi 時,避免處理敏感事務,因可能存在數據被攔截與盜取的風險。圖/envato

密碼管理同樣至關重要。我們應該為不同的帳戶設置獨特且具有高強度的密碼,結合大小寫字母、數字和符號,創造出難以被猜測的組合。密碼長度通常建議在 8~12 個字元之間,且要避免使用個人資訊相關的詞彙,如姓名、生日或電話號碼。定期更換密碼也是必要的,建議每 3~6 個月更換一次。研究顯示,在網路犯罪的受害者中,高達八成的案例都與密碼強度不足有關。

最後,我們還要特別注意社群媒體上的隱私設定。許多人在初次設定後就不再關心,但實際上我們都必須定期檢查並調整這些設定,確保自己清楚瞭解「誰可以查看你的貼文」。同時,也要謹慎管理好友名單,適時移除一些不再聯繫或根本不認識的人。在安裝新的應用程式時,也要仔細審視其要求的權限,只給予必要的存取權限。

提升網路安全基於習慣培養。辨識假訊息的特徵、防範詐騙的警覺心、保護個人隱私的方法⋯⋯每一個環節都不容忽視。唯有這樣,我們才能在享受網路帶來便利的同時,也確保自身的安全!

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【科學說文解字】才不是白色情人節!是 π DAY!公式裡常見的符號到底該怎麼寫、怎麼唸?
PanSci_96
・2024/03/14 ・779字 ・閱讀時間約 1 分鐘

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各位觀眾~今天是什麼節日呢?

什麼?情人節?

嘖嘖嘖,只知道這個的話就膚淺了。

今天可是圓周率日、愛因斯坦的生日、霍金的忌日……是巧合嗎?我可不這麼認為!總之,對於科學界來說,3 月 14 日不僅僅是白色情人節,而是一個意義非凡的日子!

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那圓周率又有什麼酷酷的地方讓科學家如此著迷,甚至有一個專門的節日呢?快點進影片,一探究竟吧!

除了 π(pi)之外,你還認得哪些希臘字母呢?從國中就認識的朋友——代表波長的 λ(lambda):

還是代表頻率,長得很像 v,常常害小編認錯的 ν(nu)?

在高中認識的 μ(mu),除了用於微米、代表摩擦係數,它還有什麼意思呢?

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快動動你的指頭搜尋一下吧!

最後這個像蛇的符號是什麼啊?長得有點像 Z 的書寫體?

沒錯!拉丁字母的 Z 就是從 ζ(zeta)來的。

而數學上有許多 ζ 函數,其中,最為知名的便是發現質數規律的黎曼 ζ 函數。

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PanSci_96
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