宇宙中或許有性質與一般可見物質類似的暗物質

觀測星系時，科學家發現了「看不見的物質」

我們現在所看到的人類、太陽、星系以及星系群等等，所有東西都是由物質構成。「物質構成了宇宙的全部」這個概念長年以來深植於人類心中。

不過，後來我們了解到，宇宙中存在著許多我們人類看不到的物質，那就是「暗物質（dark matter）」。這個名稱聽起來很像科幻作品中的虛構物質，卻實際存在於宇宙中，而且暗物質在宇宙中的含量，遠多於我們看得到的「物質」。

1934 年，瑞士的天文學家茲威基（Fritz Zwicky，1898～1974）觀測「后髮座星系團」時，發現周圍星系的旋轉速度所對應的中心質量，與透過光學觀測結果推算的中心質量不符。

周圍星系的轉速明顯過快，推測存在 400 倍以上的重力缺損（missing mass）。

在這之後，美國天文學家魯賓（Vera Rubin，1928～2016）於 1970 年代觀測仙女座星系時，發現周圍與中心部分的旋轉速度幾乎沒什麼差別，並推論仙女座的真正質量，是以光學觀測結果推算出之質量的 10 倍左右。

到了 1986 年，科學家們觀測到了宇宙中的大規模結構，發現星系的分布就像是泡泡般的結構。若要形成這種結構，僅靠觀測到的質量是不夠的。

為了補充質量的不足，科學家們假設宇宙中存在「看不見的物質＝暗物質」。

看不到卻存在？暗物質究竟是什麼？

前面提到我們看不見暗物質，而且不只用可見光看不到，就連用無線電波、X 射線也不行，任何電磁波都無法檢測出這種物質（它們不帶電荷，交互作用極其微弱）。

因為用肉眼、X 射線，或者其他方法都看不到它們，所以稱其為「暗」物質。

不過，從星系的運動看來，可以確定「那裡確實存在眼見所及之上的重力（質量）」。這就是由暗物質造成的重力。

• 延伸閱讀：暗物質比先前認為的還要「暗」

看不到的能量：暗能量

事實上，科學家們也逐漸了解到，宇宙中除了暗物質之外，還存在「看不見的能量」。

原本科學家們認為，宇宙膨脹速度應該會愈來愈慢才對，不過，1998 年觀測 Ⅰa 型超新星（可精確估計距離）時，發現宇宙的膨脹正在加速中。這個結果證明宇宙充滿了我們看不到的能量「暗能量（dark energy）」。而且，暗能量的量應該比暗物質還要更多。

我們過去所知道的「物質」，以及暗物質、暗能量在宇宙中的估計比例，如下圖所示。 這項估計是基於 WMAP 衛星（美國）於 2003 年起觀測的宇宙微波背景輻射（CMB），計算出來的結果。

後來，普朗克衛星^＊（歐洲太空總署）於 2013 年起開始觀測宇宙，並發表了更為精準的數值。

歐洲太空總署（ESA）為了觀測距離我們 138 億光年的宇宙微波背景輻射（CMB）而發射至宇宙的觀測裝置（人造衛星）。可與 NASA 發射，廣視角、低感度的 WMAP 衛星互相對照。由 WMAP 衛星製成的 CMB 地圖，計算出宇宙年齡應為 137 億年左右，誤差在正負 2 億年內；普朗克衛星則製作出了更為詳細的 CMB 地圖，並以此推論出宇宙年齡應為 138 億年左右，誤差在正負 6000 萬年內，數字更為精準。  

暗物質的真面目，究竟是什麼？微中子嗎？

既然暗物質有質量，那會不會是由某種基本粒子構成的呢？也有人認為暗物質是在宇宙初期誕生的迷你黑洞（原始黑洞），而我也致力於這些研究，不過相關說明不在此贅述。

已知的基本粒子（共 17 種）以及其他未知粒子，都有可能是暗物質，在這些粒子當中最被看好的是微中子。

因為暗物質不帶電荷，不與其他物質產生交互作用，會輕易穿過其他物質。這些暗物質的特徵與微中子幾乎相同。而且，宇宙中也確實充滿了微中子。因此，微中子很可能是暗物質的真面目。

不過，目前的物理學得出的結論卻是「微中子不可能是暗物質的主要成分」。

為什麼微中子被撇除了呢？

這是因為，雖然微中子大量存在於宇宙中，質量卻太輕了。雖然科學家們現在還不確定微中子的精準質量是多少，不過依照目前的宇宙論，3 個世代的微中子總質量上限應為 0.3eV。如果暗物質是微中子，那麼 3 個世代的微中子總質量應高達 9eV 才對，兩者相差過大。

另一方面，暗物質中的冷暗物質（cold dark matter）的速度應該會非常慢才對。

宇宙暴脹時期會產生密度的擾動，進而產生暗物質的擾動（空間的擾動應與觀測到的 CMB 擾動相同），這種微妙的重力偏差，會讓周圍的暗物質聚集，提升重力，進一步吸引更多原子聚集，最後形成我們現在看到的星系。

相較於此，微中子過輕（屬於熱暗物質，hot dark matter），會以高速飛行。微中子無法固定在一處，這樣就無法聚集起周圍的原子，自然也無法形成星系。

熱暗物質、冷暗物質

這裡要介紹的是熱暗物質與冷暗物質。所謂的「熱暗物質」，指的是由像微中子那樣「以接近光速的速度飛行」的粒子組成暗物質的形式。

宇宙微波背景輻射（CMB）可顯示出宇宙初期的溫度起伏，因而得知存在相當微小，卻十分明顯的擾動，此擾動與暗物質的擾動相同。擾動中，物質會往較濃的部分聚集，並形成星系或星系團等大規模結構。

不過，如同我們前面提到的，科學家們認為以接近光速的速度運動的微中子，在程度那麼微弱的宇宙初期擾動下，很難形成現今的星系團。

於是，科學家們假設宇宙中還存在著速度非常慢的未知粒子「冷暗物質」。

冷暗物質的候選者包括「超對稱粒子（SUSY 粒子）」當中光的超伴子——超中性子（neutralino）、名為軸子（axion）的假設粒子；另外，也有人認為原始黑洞可能是「冷暗物質的候選者」，雖然黑洞並不是基本粒子。

在討論暗物質時，即使不假設這些未知粒子的存在，在標準模型的範圍內，微中子也是呼聲很高的候選者。

如同在討論熱暗物質時提到的，當我們認為微中子應該不是主要暗物質時，就表示基本粒子物理學需要一個超越標準理論的新理論，這點十分重要。

那麼，微中子真的完全不可能是暗物質嗎？

倒也並非如此。如果存在右旋的微中子，由於我們還不曉得它的質量以及存在量，所以「微中子是暗物質」的可能性還沒完全消失。不過，這樣就必須引入超越標準理論的理論才行。

在目前只有發現左旋、符合標準理論的微中子的情況下，一切都還未知。關於這點，我們將在《大人的宇宙學教室：透過微中子與重力波解密宇宙起源》第 6 章第 7 節詳細說明。

——本文摘自《大人的宇宙學教室：透過微中子與重力波解密宇宙起源》，2022 年 6 月，台灣東販，未經同意請勿轉載。

國小高年級科普文，素養閱讀就從今天就開始!!

• 作者：林彥興｜EASY 天文地科小站主編、清大天文所碩士生，努力在陰溝中仰望繁星

萬眾矚目的詹姆士韋伯太空望遠鏡，在經過半年的校準與測試後，終於公開了它拍攝到的第一批成果。這些五彩斑斕、美麗絕倫的照片究竟是什麼樣的天體，照片的背後又有哪些深藏的意義？就讓我們一起深入解密，韋伯的第一批照片吧！

韋伯望遠鏡是什麼？

詹姆士．韋伯太空望遠鏡是美國、歐洲與加拿大太空總署合作開發的新一代旗艦級紅外線太空望遠鏡，也是無數天文學家夢寐以求、能幫助人類破解許多未解天文迷團的利器。

韋伯的研發其實早從 1996 年就已經開始，但是由於開發時遇到諸多困難，導致嚴重的預算超支與進度延宕，這台耗資上百億美金的超級望遠鏡，直到去年年底才終於從法屬圭亞那發射中心，用一枚亞利安 5 號運載火箭發射升空，前往距離地球 150 萬公里的日地第二拉格朗日點。

• 延伸閱讀：為何 NASA 不惜大撒幣也要把它送上太空？——認識韋伯太空望遠鏡（一）
• 延伸閱讀：史上最大口徑的 JWST 要如何塞進火箭？——認識韋伯太空望遠鏡（二）
• 延伸閱讀：太空巨獸 JWST 升空後的 150 萬里長征 —— 認識韋伯太空望遠鏡（三）

拉格朗日點是什麼？

日地拉格朗日點一共有五個。當物體在這些點上，其受到來自太陽與地球的重力恰到好處，因此太空船只需要少量的燃料，就可以長期與地球和太陽保持穩定的相對位置，可謂是地球軌道附近的風水寶地。

而韋伯繞行的，是位於地球後方的第二拉格朗日點，簡稱 L2。之所以選擇這裡，是因為只有 L2 的位置剛好會讓地球、太陽、月亮都在同一側，而這三個星體正是天文望遠鏡的主要紅外線光害來源。位在 L2 的韋伯，就可以用它的遮陽帆一次把三顆星體全部擋住，認真凝望遠方而不受干擾，因此 L2 可以說是觀測宇宙的絕佳地點。升空的幾個月之間，韋伯已經完成一系列的儀器校準工作，一步步把望遠鏡調整到最佳狀態。

• 延伸閱讀：淺談 JWST 的科學意義：探索宇宙深處與塵埃後的外星世界！——認識韋伯太空望遠鏡（四）
• 延伸閱讀：順利升空只是開始！韋伯太空望遠鏡升空後「必須完美」的 29 天旅程

相比知名前輩「哈伯太空望遠鏡」，韋伯的優勢不只是擁有比哈伯大六倍的鏡面，更重要的是它是以紅外線為主力觀測波段。宇宙膨脹造成嚴重紅移，但哈伯望遠鏡的守備範圍主要是可見光，波長範圍是 90 – 2500 奈米，可說是鞭長莫及啊。

這時換上以波長 600 – 28500 奈米的紅外線為守備範圍的韋伯，就可以讓我們看到更遙遠、更古老的宇宙。此外，同一個天體在可見光和紅外線看起來，往往長得相當不一樣。這個強大的紅外線觀測能力，正是韋伯最引以為傲的武器。

作為深具儀式感的第一批科學影像，韋伯這次公布的影像分別對應四個主要科學主題：早期宇宙、星系演化、恆星的生命循環與系外行星。

1. 早期宇宙—— 星系團 SMACS 0723 與重力透鏡效應

畫面中心黃白色的天體，是由成百上千的星系共同組成的星系團 SMACS 0723。在韋伯之前，哈伯太空望遠鏡就曾經花費數個禮拜的時間拍攝這個星系團。然而擁有更大鏡面、更精良儀器的韋伯，僅用了 12.5 個小時就拍出了解析度更高、畫面品質更好的照片，讓我們看到許多以前難以辨識的黯淡星系。可見哈伯與韋伯在觀測能力上的差距。

對天文學家來說，圖中最令人興奮的其實不是前景壯闊的星系團，而是後方這些經過重力透鏡扭曲和放大的小小星系們。星系團龐大的質量扭曲了周圍的時空，讓整個星系團好像一塊巨大的放大鏡一樣，可以偏折和聚焦通過的星光，稱為「重力透鏡效應」。

當星系團後方更遙遠、更古老的星系發出的光線通過星系團時，就會被星系團的重力透鏡效應偏折和聚焦，形成而圖中無數弧形的扭曲影像。

這些仍在襁褓中的小小星系，往往正在快速的孕育新的恆星，或是互相合併，因此有著混沌不規則的形狀。離我們越遠的星體發出的光，需要越長的時間才能到達我們的眼中。因此研究這些遙遠且古老的星系，能幫助天文學家理解宇宙早期的模樣。

2. 星系演化——史蒂芬五重奏（Stephan’s Quintet）

上一張照片讓我們認識星系的起源，這張「史蒂芬五重奏（Stephan’s Quintet）」則可以讓天文學家更仔細地研究星系內的複雜結構，以及星系與星系之間的交互作用。

正如其名，「史蒂芬五重奏（Stephan’s Quintet）」是由五個視覺上相當靠近的星系所組成。但其實最左邊的這個星系（NGC7320）與另外四者並無關聯，只是從地球上看剛好位在天空中差不多的位置而已。

圖片中偏向黃白色，感覺如絲綢般順滑的部分是在近紅外線波段拍攝，主要顯示的是星系中恆星的分布；而醒目的橘紅色，則是來自中紅外波段的資料，展示的是星系中的高溫塵埃，以及星系中的氣體高速對撞時產生的震波（Shock wave）。

除了影像，韋伯還使用光譜儀仔細檢視了影像中右上方的星系（NGC 7319）中心，因為那裏有一顆比太陽重 2400 萬倍的超大質量黑洞，正在吸食周遭的氣體，並在過程中釋放巨大的能量。

藉由觀察光譜的細節，韋伯可以分辨出像是氬離子、氖離子或是氫分子等等化學組成，甚至知道氣體的溫度、運動速度這些從一般照片難以辨識的資訊。

史蒂芬五重奏就像一個天然的實驗場，讓天文學家研究星系演化的詳細過程。

3. 系外行星——WASP-96 b 的大氣光譜

這一張照片可能是整批影像中，視覺上最不起眼的一張，它是系外行星 WASP-96 b 的大氣光譜。

最近 20 多年來，人類對太陽系以外行星的認識越來越多。截至今日，人類已經發現超過 5000 顆系外行星。然而，以現有的觀測技術，天文學家通常只能用一些間接的方法，測量它們的質量、半徑、軌道週期等粗略的特性。想知道這個行星是否適合生命生存，就不能少了行星大氣層的化學組成和溫度資訊。

那要怎麼取得行星的大氣資訊呢？當行星通過恆星跟地球中間時，恆星的一部分星光將會通過行星的大氣層，並被行星的大氣吸收。吸收的多寡和波段，取決於行星大氣層的溫度和化學組成等特性。此時，天文學家就可以藉由分析光譜中的各種特徵，去回推行星大氣層的性質。

圖片中的白點，即是韋伯實際觀測 WASP-96 b 時取得的光譜資訊。而藍色的線，則是天文學家認為最貼合觀測數據的理論模型。

根據這個觀測結果，天文學家計算出 WASP-96 b 的大氣溫度約為 725°C，大氣中明顯有著水氣，並推測可能還有雲和霾存在。未來進一步的分析和觀測，將為世人揭開更多系外行星的神祕面紗。

4. 恆星的生命循環——「南環狀星雲」與「船底座大星雲（Carina）」

最後兩張照片都與恆星的生命循環有關。正如人會有生老病死，恆星也是一樣。

恆星一般誕生在巨大分子雲中，氣體在重力吸引下逐漸塌縮、升溫並點燃核融合，成為一顆恆星。

當小質量的恆星步入晚年，其結構容易變得不穩定，最終將自己的外層氣體拋射出去，形成美麗的行星狀星雲，也將氣體吐回到星際空間中，成為下一代恆星的養分。氣體都拋射完之後留下的核心，就是白矮星。

• 延伸閱讀：宇宙「新」光──新星、超新星與千級新星

各位現在看到的，是暱稱「南環狀星雲」的行星狀星雲，左右兩張圖分別於近紅外線與中紅外線拍攝。

我們可以看到，左圖中的影像比右圖要更清晰一些，這是因為在相同的望遠鏡口徑下，波長越短所能達到的理論解析度就越高。

有趣的是，在左圖中看起來位於星雲中心的明亮恆星，其實並不是行星狀星雲的核心。真正的核心其實是在其左下方，一顆被塵埃包裹著的黯淡白矮星。在近紅外線波段的影像中，這顆白矮星幾乎淹沒在隔壁恆星的炙烈星芒之中。

但在中紅外波段，由於恆星的亮度相對降低，包裹著白矮星的塵埃發出的光就變得清晰可見。再次展示即使是同一個天體，使用不同的波段進行觀測，往往可以看到不同的東西。

最後這片壯麗的宇宙山崖，則是位於「船底座大星雲 Carina」西北角的 NGC3324 恆星形成區。在這裡，源自星雲中無數初生恆星所發出的炙烈輻射、恆星風與噴流，吹散、游離了星雲中原有的濃密氣體與塵埃。交織出這片壯闊而複雜的結構。

這張照片一共結合了這六個不同的濾鏡的影像拍攝而成。每個濾鏡涵蓋的波段各不相同，代表的物理意義也不一樣。比如（F090W、F200W、F444W）這三個寬帶濾鏡，分別在影像中按照波長順序，以藍色、綠色和紅色這三原色呈現，為照片打下骨幹。而在此之上，照片的製作團隊又疊上青色代表氫原子的（F187N）濾鏡影像，以黃色代表氫分子的（F470N）濾鏡影像，以及用橘色代表甲烷和多環芳香烴的 （F335M） 濾鏡影像，為照片再添更多的細節。

• 延伸閱讀：用黑白相機拍出色彩繽紛的宇宙

想要將這麼多個波段的影像全部結合起來，仔細調整讓細節更加突出，最終呈現出一張如此絢麗又震撼的照片，是非常不容易的。這展示了韋伯太空望遠鏡不僅在科學上相當重要，在藝術上也價值非凡。

最後別忘了，以上只挑選介紹了第一批資料中最具代表性的幾張，更多關於五個目標的照片和光譜，可以在韋伯的官網上找到。而這批照片，又只是韋伯未來二十年服役生涯中，前兩個月的小試牛刀而已。韋伯的時代，才剛剛要開始！

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下雨天的時候走在路上，天氣涼涼的，聽著雨聲的感覺非常好。但是你有沒有想過，為什麼雨滴會從天上掉下來？

「啊！就像蘋果會掉到地面一樣，會受到重力的作用嗎？」你可能會這麼說。

好，那我們這邊就來帶大家算一下，一滴雨從高空落到地面，純粹只有受到重力時，應該是什麼樣子的感覺吧！

只有受到重力作用雨滴的運動分析

當不考慮空氣阻力時，由高空落下的物體全程會受到重力加速度值 g 的作用，而因為地表的重力加速度約為定值，以海平面且緯度 45º 為標準，其數值為 9.8m/s^{2 [1]}。因此雨滴從高空落下時，可以視為一個單純的等加速度運動，而這個運動我們又稱之為自由落體。

假設雨滴是靜止落下且受到重力加速度值 g 作用，即可根據等加速度運動公式，求得雨滴從高度 h 自由落下時的末速度值：

然而，在探討雨滴落下的末速度之前，我們必須對於雲的分類以及大致上的高度有一個基本的了解，才能比較明確地知道我們要探討的雨滴大概是從什麼樣的高度落下來的。

氣象學家 Luke Howard 於 1803 年中的著作《論雲的變形》（The Essay on the Modification of Clouds）中，按照不同雲的形狀、組成、形成原因，將雲分為 10 大雲屬，並且將這 10 大雲屬劃為三個雲族，分別為：位於距地表 6,000 至 7,000 公尺的高雲族，位於距地表 2,000 至 6,000 公尺的中雲族，以及位於距地表 0 至 2,000 公尺的低雲族^[2]。另外，則還有橫跨了三個不同雲族高度的直展雲族，常常造成短暫但是相當豐沛的降雨量^[3]。

按照國際氣象組織所提供的分類，以及 Luke Howard 的定義，天空中主要的降雨來源為積雨雲（cumulonimbus）以及雨層雲（nimbostratus），降雨來源以雨層雲較為常見，且其雲底多為 1,200 公尺以下。故我們這邊計算雨滴的高度時，便以 1,200 公尺作為高度的參考依據。

因此，當一滴雨從高空落下，代入前述自由落體公式，即可計算出雨滴理論上應該要有的末速度：

根據上述的計算式子可以知道，當雨滴從高處落下時，如果沒有任何的空氣阻力，雨滴落到地面的速度大約會是 153 m/s。

對於這個數字沒有感覺嗎？那這邊簡單地計算給你看一下，讓你有點 fu。但是在這個計算之前，首先我們要先對於雨滴的大小有個概念。

依照 2009 年的相關研究^[4]顯示，小雨滴在降落時幾乎是圓形，可是隨著體積越大，就會變得越扁平，受到空氣的影響也會越明顯。當雨滴達到特定的大小時，就會被切割為較小的雨滴，也因此最大的雨滴直徑會被限制在 6 mm 左右。

而按照另一個研究^[5]對於雨滴粒徑的分布探討，發現雨滴的直徑多數是落在 0.5 mm 至 4 mm 之間，也就是半徑 0.25 mm 至 2 mm 之間。

這邊先姑且不論雨滴本身的化學成分所帶來的密度差異，以及落下過程中的密度和質量變化。因此我們可以簡單的利用密度、質量和體積的關係式，假設有一顆雨滴的成分皆為水，密度為 1 g/cm³，半徑 2 mm，且為均勻球體的情況下，計算這顆雨滴的質量如下：

接著，我們利用牛頓第二運動定律和動量衝量的概念，來計算平均一顆雨滴所造成的衝擊力大小。這邊，我們假設你是淋雨的狀態，雨滴跟你的腦袋接觸的時間大約為 0.001 秒，且雨滴最後會完全靜止在你的腦袋上，也就是末速度為 0。

此時，造成雨滴會有速度變化的作用力有二，一為雨滴所受到的重力、二為腦袋給雨滴的正向力。根據牛頓第三運動定律，腦袋給雨滴的作用力，與雨滴給腦袋的作用力，為「作用力與反作用力」之間的關係。

那我們要怎麼知道雨滴對於腦袋的衝擊力有多少呢？

根據前面的假設，我們假設腦袋給雨滴的作用力使用變項為 N，可以列式如下：

雖然我們前面說，在計算正向力 N 時，應該要將重力納入考量，不過實際計算後會發現雨滴本身重量也不算大，相較之下，後面的重力項是可以忽略的，因此計算出來的衝擊力約為 0.52 kgw。

嗯？你說你還是沒有感覺嗎？再說白話一點好了，這個重量就差不多是一瓶 500 ml 的礦泉水壓在你身上的感覺。這只是單一顆雨滴，平常在下雨的時候絕對不可能只有一顆雨滴。一瓶礦泉水壓在身上其實是有感覺的，那很多雨滴下在身上，等同於很多很多瓶礦泉水壓在身上，那肯定也是非常有感。

修但幾勒，這個結論跟我們平常淋雨的感覺完全不同吧！那到底問題出在哪裡？

其實雨滴不只受到重力的作用

雨雲本身存在於大氣層的對流層內，而對流層內充滿很多空氣分子。當雨滴在這些空氣分子所形成的「流體」裡面移動的時候，會使得雨滴本身除了受到重力以外，還會額外受到空氣阻力（drag force）的作用。

在流體動力學中，在流體中移動的物體會受到一個和運動方向相反的阻力。這個阻力來自流體，會存在於兩個流體層之間，或者是流體與固體之間。可是，這和以往我們所學的固體和固體之間的摩擦力不同，因為物體在流體中受到的阻力其實是和物體移動的速度有關^[7][8]。

物體在流體中所受到的阻力，會受到物體大小、形狀、特性，以及流體性質的影響。阻力方程式（drag equation）概括了這些因素，描述如下^[7]：

其中，ρ 為流體的密度（如果是在空氣中，則是空氣的平均密度）、A 為物體在流體中的有效面積、v 為物體在流體中之速度；C_D 則是阻尼係數，是一個沒有因次的數字，一般來說會跟物體的形狀以及雷諾數（Reynolds number）有關。

而雷諾數則是在流體動力學之中，流體慣性力（inertial force）和黏性力（viscous force）的比值，用來預測流體狀態的無因次物理量。對於不同的流體來說，雷諾數會有很多不同的表達方式，但一般來說都會包含流體的密度（density）、黏滯性（viscosity）、流體的流速，以及特徵長度或尺寸。

最基本的雷諾數可以表示如下^[9]：

其中，ρ 為流體的密度，v 為流體的平均流速、D 為特徵長度，而 μ 則為流體的黏滯性。

雷諾數低的時候，流體會呈現層流（laminar flow）的狀態。流體分子會在每一層中平順流動，相鄰層之間就像堆疊的紙牌，鮮少或甚至幾乎沒有混合，當然也不會產生漩渦^[10]。

相反地，在雷諾數高的時候，流體則是會呈現紊流（turbulent flow）的狀態，流體的流速跟壓力沒有一定的變化規律，流體分子也沒有明顯的平行層，很常會互相混合在一起^[11]。

扯遠了扯遠了，我們還是繼續回到原本的阻力方程式。

根據實驗觀察，在雷諾數較高，也就是流體的密度較大、流速較快，而且黏滯性較小時，阻力係數可以幾乎視為定值。此時，阻力就會跟流體流速的平方成正比，公式如下：

而在雷諾數低，也就是流體密度較小、流速較慢且黏滯性較大時，阻力係數會和雷諾數的倒數成正比，因此我們結合雷諾數本身的定義以及阻力方程式，就可以知道「在雷諾數較低時，阻力與流速之間的關係為線性關係」，公式如下：

依照前面講過的阻力方程式和流速之間關係的背景知識，讓我們回到最一開始遇到的雨滴問題。

之前在分析雨滴的受力時，只有考慮到重力的作用，計算出雨滴自 1200 m 高的雨雲雲底落到頭上時，速度約為 153 m/s。在考慮到空氣阻力時，由於阻力與雨滴的運動方向恆相反，因此我們可以將雨滴的質量先以 m 作為變項，假設雨滴為正球形且半徑為 R，繪製雨滴所受到的力圖如下：

因為空氣阻力恆與物體運動的速度反向，而雨滴在落下的時候，速度一定是向下的，加速度也向下，故空氣阻力會向上。

阻力方程式中的 A 是投影的等效面積，在球形的雨滴中，即為上圖斜線部分，可以用半徑 R 和圓面積的公式來計算。此時，我們利用牛頓第二運動定律計算雨滴運動過程中所受到的加速度量值，來觀察雨滴運動的情形：

如果今天的流體狀況是屬於高雷諾數的情況（流體的密度較大、流速較快且黏滯性較小）時，則前述的式子可以下表示，並計算出加速度的關係式：

反之，如果是低雷諾數的情形（流體的密度較小、流速較慢且黏滯性較大），則前述的式子可以下表示，也順手計算出加速度的關係式：

從前面的兩條化簡式子，可以看出雨滴掉落時，不論雷諾數如何，速度漸大都將造成阻力漸大，並使得加速度漸小。當達到一定的速度時，雨滴就不再會有加速度，而是改以等速度的方式落下。此時，雨滴所具有的速度即終端速度（terminal velocity, vt）。在終端速度時，我們可以知道雨滴所受到的重力與拖曳力達到力平衡，因此可以根據不同的雷諾數而列式。高雷諾數的情況下所計算出的終端速度如下：

低雷諾數的情況下所計算出的終端速度如下：

我們這邊以高雷諾數的流體情形來考量大氣中的情況，與前面的條件相同假設，也就是雨滴為半徑是 2 mm 的正球體，雨滴密度主要成分為水，因此密度為 1000 kg/m³，而阻尼係數這邊我們根據雨滴的形狀和經驗公式簡單取 0.6 來概略估算^[14]。

利用高雷諾數的情況計算終端速度實際值時，會需要流體的密度。在這裡，我們討論的對象是空氣中的雨滴，故理想上（當然，這是很理想的情況下）可以使用理想氣體方程式來求出於 1 大氣壓、20ºC 時候的空氣密度，來代入終端速度的公式。

代入我們目前空氣的條件，也就是 1 大氣壓、20ºC 的情形，而這邊務必將所有單位都轉為 SI 制，加上理想氣體常數，此時使用的是 8.314。其中，M 為空氣的分子量，我們這邊使用 28.97 g 配合以上的條件代入計算^[15]。

將前述所得到的空氣密度數值，結合前面的其他條件，代入高雷諾數情況的終端速度公式，即可計算終端速度：

由計算結果可以知道，當考慮到空氣阻力時，雨滴會以 8.52 m/s 的終端速度落下，比起之前純粹考慮重力時，求出的 153 m/s 來說小了非常多，是原本的二十分之一。按照牛頓第二運動定律，這樣的雨滴打到腦袋時，對於腦袋瓜的正向力也會減為原本的二十分之一。如此一來，就比較像我們平常淋雨的情況了。

由前面的計算過程，我們可以明白從高空落下的雨滴不只有受到重力。能夠讓我們下雨天走在路上不被雨滴狠狠槌死的最重要因素，其實就是空氣阻力的功勞。同時，我們可以知道，造成雨滴落下的運動過程並非等加速度，而是變加速度運動。利用牛頓第二運動定律得出加速度的關係式後，也知道速度越來越大，加速度就會越來越小。在加速度為 0 時，則會以終端速度等速落下。

最後，讓我們來感謝空氣阻力，讓每一個人在下雨天的時候都能安心走在路上。

註解

• 註 1：Halliday, D., Resnick, R. and Walker, J. (2011) Fundamentals of physics. 9th Edition, John Wiley & Sons, Inc., New York.
• 註 2：Classifying clouds | World Meteorological Organization
• 註 3：中央氣象局，天空的魔術師—千變萬化的雲朵
• 註 4：Villermaux, E., Bossa, B. Single-drop fragmentation determines size distribution of raindrops. Nature Phys 5, 697–702 (2009).
• 註 5：McFarquhar, G. M. (2010). Raindrop size distribution and evolution. In Rainfall: State of the Science (pp. 49-60). (Geophysical Monograph Series; Vol. 191). American Geophysical Union.
• 註 6：Drop (liquid) – Wikipedia.
• 註 7：Drag (physics) – Wikipedia.
• 註 8：NASA (2010). What is drag?
• 註 9：Reynolds number – Wikipedia.
• 註 10：Laminar flow – Wikipedia.
• 註 11：Turbulence – Wikipedia.
• 註 12：What is Laminar Flow?
• 註 13：Viscosity – Wikipedia.
• 註 14：Drag coefficient – Wikipedia.
• 註 15：科學Online，大氣組成的檢測(Air)-上