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夭折的史上第一台機械計算器│《電腦簡史》 齒輪時代(十四)

張瑞棋_96
・2020/05/25 ・3129字 ・閱讀時間約 6 分鐘 ・SR值 498 ・六年級

天文計算涉及龐大的數目,令天文學家頭痛不已。結果竟是由納皮爾這位業餘數學家另闢蹊徑,發明對數將計算化繁為簡,才拯救了天文學家。對數幫助了克卜勒編製星表,克卜勒又激發希卡德這位毫無相關經驗的牧師,投身發明計算器,而所用的原理正是「納皮爾骨牌」。史上第一台四則運算計算器就在一連串機緣巧合中誕生,然而不幸一場大火……。

本文為系列文章,上一篇請見:神乎其技的下棋機器人,是場世紀騙局?!│《電腦簡史》 齒輪時代(十三)

第谷深陷計算地獄,納皮爾矢言伸援手

1576 年,天文學家第谷 (Tycho Brahe) 在丹麥國王的支持下,建造歐洲規模最大的天文台。雖然當時還沒發明望遠鏡,但第谷靠著自己設計的許多觀測儀器,加上極佳的視力,二十年下來,記錄了多達一千顆星星的觀測資料,精確性更大幅超越以往。

不過後續的計算工作比起觀測更加艱鉅。因為天文計算牽涉到很多位數的相乘或相除;加法和減法還能用算籌或算盤這類工具幫忙計算,但乘法和除法就完全只能靠紙筆了。因此對第谷而言,要處理這麼龐大的觀測資料,真的相當費神又耗時。

第谷身陷計算地獄之事,傳到了蘇格蘭貴族納皮爾 (John Napier) 耳中。納皮爾興趣廣泛,從神學辯論、招魂術到煉金術,都相當熱衷,甚至還著手設計一些戰爭武器,但就是還沒發表過數學著作。沒想到都已經四十幾歲的納皮爾,為了研究如何解決第谷的計算之苦,竟然就一頭栽入數學之中。經過二十年的努力,這一位半路出家的業餘數學家,還真的找出化繁為簡的解決方案——用「對數」將乘法化為加法、除法化為減法。在1614年發表的《奇妙的對數規則之描述》這本書中,納皮爾除了詳述對數的運算方式,並附有 90 頁的「對數表」,裡面的數字是他耗費多年光陰,一個一個算出來的。

 納皮爾於 1614 年出版的《奇妙的對數規則之描述》。圖\wikipedia

對數運算有巧門,乘除從此變加減

所謂對數就是某個數字所對應的指數,例如 16 是 2 的 4 次方,也是 4 的 2 次方,所以 16 以 2 為底的對數是 4 ,但若以 4 為底則對數是 2 。這裡我們用個特殊的例子來說明如何用對數簡化乘法的計算。假設對數表就是以 2 為底,現在要算 256 x 64 ,首先從對數表查到這兩個數字分別出現在第八格與第六格 (256=28、64=26) ,然後把 8 和 6 相加得到 14 (因為 28 x 26 =28+6) ,再查對數表的第十四格,裡面所載的數字 16384 便是答案。

當然,上面的例子並非真正的對數表。無論是納皮爾最初的版本,或是後來常用的以 10 或自然數 e 為底的對數表,裡面一格與一格之間的數字間距要小得多,這樣找到的近似值才會接近實際答案。不過基本上,納皮爾就是用這個原理把兩數相乘,化為它們的對數相加(相除則變成相減),讓計算變得簡單許多。天文學家從此省下大幅的計算時間,大數學家拉普拉斯 (Pierre-Simon Laplace) 就曾讚譽說:「對數的發明簡化了計算,使天文學家的壽命增加了一倍。」

除了對數與對數表,納皮爾還發明暱稱為「納皮爾骨牌」 (Napier’s bones) 的計算工具。它有一個底座與九支骨牌,底座左邊由上到下寫了 1 到 9 ;骨牌的四個面則分別刻有九九乘法表其中一欄數字。計算兩數相乘時,挑出對應被乘數的那幾支骨牌,依序擺到底座中,然後從乘數的個位數開始,寫下骨牌在那一列的數字(進位的數字須自己心算相加),接著再寫乘數十位數那列,……如此下去。這其實就是長乘法,只是利用刻好九九乘法表的骨牌加速計算。

十八世紀改良的納皮爾骨牌。圖\wikipedia

第谷與納皮爾惜未見成果,克卜勒取兩人遺緒創新局

只可惜第谷等不到納皮爾發表的全新計算工具。 1601 年,第谷參加國王的宴會,卻因為不敢中途離席而憋尿過久,導致膀胱發炎而亡。第谷臨終前把去年才聘來幫忙計算的克卜勒叫到身旁,將所有觀測資料托付給他,囑咐他一定要找出行星運行的模型。第谷最後盯著克卜勒的眼睛,吐出:「別讓我就這麼白來一遭!」才瞑目。 (第谷的死因與臨終遺言,都是來自克卜勒的片面之詞。因此歷史上一直有克卜勒為奪取觀測資料,而對第谷下毒的傳言。直到 2010 年挖出第谷的棺木,由醫學團隊徹底檢驗其遺體後,才排除中毒的可能,終止此一流言。)

克卜勒不負所托,先於 1609 年發表行星運動的第一、第二定律,再於 1619 年出版的《世界的和諧》 (Harmony of the World) 書中,發表他前一年發現的第三定律。我們不確定納皮爾的對數是否有助於他找出第三定律,但可以肯定的是,克卜勒於 1620 年出版的星曆表 (Ephemeris ,刊載星星每天特定時刻在天空什麼位置的相關資訊) 中,已經是用對數計算編製而成;克卜勒還特地在書中註明獻給納皮爾,表示感謝。不過納皮爾也來不及看到,他於 1617 年就過世了。

克卜勒編製的魯道夫星表也是用對數計算第谷的觀測資料。圖\wikipedia

1617 這一年對克卜勒也是多事之秋。他的幼女才於九月夭折,接著他的母親竟然被控是女巫,將面臨攸關生死的審判。他當時忙著編寫《世界的和諧》,另外《哥白尼天文學概要》 (Epitome of Copernican Astronomy) 這套天文學教科書的第四冊,也正在編排中。現在這些都只能擱在一旁,先趕回德國家鄉為母親辯護。(他母親後來幸運逃過死刑,「只」被判刑十四個月。)沒想到這趟返鄉之旅,竟無意中促成史上第一台加減乘計算器的發明。

克卜勒與希卡德相遇,史上首部計算機乍現

克卜勒本身是路德教派,回到家鄉後隨即拜會當地的路德教會,因而結識牧師威廉·希卡德 (Wilhelm Schickard) 。克卜勒發現希卡德對木版與銅版雕刻也都有頗深的造詣,於是便邀請他為《哥白尼天文學概要》刻製插圖。在討論時,克卜勒提及天文計算相當繁複耗時(此時他還沒看過納皮爾的著作),希卡德聽了之後,竟決定為克卜勒打造一部計算器,一如當年納皮爾想幫第谷解決計算之苦。

1623 年 9 月 20 日,希卡德寫信給克卜勒,聲稱自己已經設計出可做四則運算的計算器。隔年二月,希卡德再稍來一封信,附上計算器的草圖,詳細解釋運作方式。這部計算器其實就是加了齒輪的納皮爾骨牌。它的上半部有六根垂直的轉軸,作用相當於方形的骨牌;以及八支代表乘數的橫桿。橫桿下方有六個轉盤,原本用納皮爾骨牌須一一手寫再相加,現在用轉盤就能自動加總,加總的結果會顯示於下方的數字窗格,答案一目了然。

希卡德的計算器草圖。圖\wikipedia

不過希卡德最後在信末提及一個不幸的消息:這部機器本來已經快打造好了,待完成後就可以送給克卜勒。不料工匠的處所發生火災,機器的半成品就這麼燒毀了。

如果沒有那場大火呢? 1950 年代,有人根據希卡德信中的描述,打造出這部機器,證實可以正常運作,完成希卡德所宣稱的功能。不過在連續進位時 (例如 999 進位到 1000) ,好幾個齒輪嚙合在一起,要非常用力才能轉動轉盤,很難操作,而且輪齒也因此容易損壞。可以想見就算克卜勒真的收到這部機器,也不見得會拿來用。

無論如何,希卡德從此沒再向克卜勒提及這部機器的後續計畫。不知是因為希卡德本身財力不夠,沒錢繼續開發;或是他後來轉到大學任教,事務繁忙無暇他顧,總之這部機器就這麼胎死腹中,從未問世。事實上,當時已出現攜帶方便的對數計算尺,任何三位數之內的加減乘除,只要左右移動「滑動尺」,就可從尺上的對數刻度換算出答案。而對須要計算更多位數的天文學家而言,對數與對數表仍是最佳的計算工具。因此希卡德的計算器即使問世,也免不了大而無當、乏人問津的命運

另一方面,希卡德寫給克卜勒的信竟埋沒了三百年才被發現,也就是說在二十世紀之前,沒有其他人知道希卡德的設計,這意謂著他的發明無論是在當時或對後世,都毫無影響。下一次計算器的發明已是二十年後,與希卡德的設計毫無牽連,也無關乎天文計算,而是為了解決另一個工作的困擾。

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張瑞棋_96
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1987年清華大學工業工程系畢業,1992年取得美國西北大學工業工程碩士。浮沉科技業近二十載後,退休賦閒在家,當了中年大叔才開始寫作,成為泛科學專欄作者。著有《科學史上的今天》一書;個人臉書粉絲頁《科學棋談》。


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地球在20年間「亮度」變低了!——地球暖化讓陽光反照率直直落

Mia_96
・2021/10/23 ・2757字 ・閱讀時間約 5 分鐘

地球暖化會造成溫度升高?不稀奇!地球暖化會造成人類生活環境越來越嚴峻?也不稀奇!但你有聽過,因為地球暖化,讓我們的亮度竟然逐年遞減,地球變得越來越暗嗎?

地球亮度的改變並不是近期才出現的新興議題,關於地球亮度的變化,科學家早在 1990 年代前後便提出一種現象「全球黯化」(global dimming)去解釋為何地表獲得的太陽光能量越來越低。

當時透過資料指出,進到地球的太陽能量大幅降低,從 1950 到 1990 年入射至地表的太陽光能量,竟然平均減少 4%! 也就是身處在地球上的人類會覺得地表的亮度似乎逐漸地降低。

但入射地表能量降低的原因並非是太陽發出能量的變化,而是因為近幾年我們最常耳聞的,空污現象! (圖/pixabay

當人類使用石油、煤炭等非再生能源發電時,會在環境中產生許多氣膠微粒,而這些氣膠微粒進入大氣,微粒可以吸收、反射入射到地球的太陽光,使太陽之能量無法進到地球表面,進而造成地球亮度降低。

而全球黯化同時也影響著人們過去對於全球暖化的理解,當全球黯化造成入射到地表的太陽光減少時,代表著地球所獲得的能量並不如過往我們所想像的這麼多。換句話說,全球黯化所造成的冷卻效應竟比不上人們所造成的暖化速度!

知曉地球改變亮度的方法——地照!

近期最新研究更是顯示,1998 年到 2017 年近十年內,地球的反照率逐年下降!除全球黯化造成地表獲得太陽能量減少外,當從外太空看著地球時,地球竟然也越來越暗了!

反照率是一種常用於亮度表示的方式之一,其指的是太陽電磁波段入射至地表的總量質,除以被地表反射的量值所得出的數字。不同的地表特性即有不一樣的反射量質。因此,透過反照率的升降,科學家也可以推估氣候變遷對環境所產生的變化與影響。

計算反照率的方式十分特別,在科學中我們將其稱為「地照」!

地照現象指的為當太陽光照射到地表,地表會反射部分太陽光,而當地表反射太陽光至月球未被太陽照到的地方時,月球又會將地表所反射至月面的光線反射回地球。

看似應該沒有被太陽光照射到的月球表面,其實也會因為地球反射之陽光而產生微弱的光。而最適合觀測地照的時間通常為弦月時分。 (圖/Wikipedia

地照的變化與地表的改變息息相關。例如冰雪的反射率較高,當地表溫度較低,累積較多冰雪時,地照數據便可能會上升;而洋面的反照率較低,當地表溫度較高,造成冰雪融化成海洋,則地照數據便可能會下降。

透過地照反射的光線強弱,可以推測地球反照率的變化,進而推測地表本身變化。 (圖/Wikipedia

除了利用地照觀測地球反照率外,為使觀測更加精確,科學家利用於 2000 年發射的 CERES 儀器(Clouds and the Earth’s Radiant Energy System)觀測大氣至地表的太陽光輻射與地表放出之輻射,並進一步分析對影響地球溫度的重要因子──雲,和太陽輻射的交互關係。

CERES 主要希望可以解答雲在氣候變遷中所扮演的角色與造成的影響,是美國國家航空暨太空總署地球觀測系統(EOS)計畫中的一部分。 圖/Wikipedia

研究結果分析發現,從 2000 年到 2015 年,地球反照率曲線一直維持接近平坦的狀態,但近年,地球反照率的衰退卻日益明顯,如下圖表示:

(圖/參考資料 1

橫軸座標為年度,縱軸座標為地照反照率之異常改變(單位為每瓦/平方公尺),黑色為地照異常之數據,藍色為 CERES 觀測到異常之數據,而灰色陰影區域則為誤差範圍。從圖中可以看出,地照反照率在這幾年下降約 0.5 W/m2,而 CERES 之數據則是下降約 1.5 W/m2

十年一變──太平洋年季震盪

科學家推測,改變反照率的原因,是週期性發生在太平洋的氣候變化──太平洋年季震盪。

太平洋年季震盪指的為太平洋的海水溫度會以十年為週期尺度產生變化:當北太平洋和熱帶太平洋間的海水溫度較高時,稱作暖相位;而當北太平洋和熱帶太平洋間海水溫度較低時,稱作冷相位。

而地球亮度改變的原因,正是因為太平洋年季震盪到了暖相位,造成海面低雲減少,反照率降低!

低雲較為溫暖,其主要成分是由水滴組成,當太陽輻射照射水滴時,較多太陽反射至太空,地球的反照率較高,也造成地表溫度降低;而高雲主要成分由冰晶組成,透光性較佳,再加上高雲通常體積較低雲薄,故太陽輻射可以順利進入地表,地球反照率相對降低。

當北太平洋與熱帶太平洋間海水溫度升高時,洋面上空氣需達到飽和的水氣量相對增加,氣塊達到飽和條件較高,低層雲較難生成。(其實背後原因極其複雜,作者僅是以最簡單的方式嘗試解釋。)當低層雲減少時,反射率降低,造成較少太陽輻射至太空,地球亮度因此變得越來越暗。

雲在地球輻射能量中一直扮演著重要的角色,低雲反射太陽輻射的能力較強,高雲吸收地球輻射的能力較強,因此較多的低雲往往造成地表降溫,而較多的高雲則會造成地表增溫。 (圖/pixabay

交織纏繞的反饋機制

看完整篇文章也別急著下結論!其實地球上的現象不僅環環相扣,影響因素更是族繁不及備載,從海溫改變的原因、高低雲量多寡的變化、反照率升降的主因……,我們都很難用單純或是絕對的一段話去完整解釋自然界的現象。

科學家所能做到的,是透過原因推導、盡力的去解釋現象,所以關於地球反照率下降的趨勢原因,除了太平洋年季震盪、海溫升高、低雲變化等,或許也還有科學家尚未清楚的其他可能性。

但同時,令科學家擔心的事情是,因全球暖化造成地表的反照率降低,代表地表接收到的能量、進到地表之能量相對增加,而吸收的能量又加速全球暖化的速度,地球或許會因為這樣的回饋機制持續升溫,造成更加嚴重的溫室效應。如何去因應溫度上升造成的種種問題,也將會是我們需要不斷去思考問題。

參考資料

  1. AGU AdvancesEarth’s Albedo 1998–2017 as Measured From Earthshine
  2. science alert,《Two Decades of Data Show That Earth Is ‘Dimming’ as The Planet Warms Up
  3. Wikipedia,《Clouds and the Earth’s Radiant Energy System
  4. Wikipedia,《行星照

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Mia_96
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喜歡教育又喜歡地科,最後變成文理科混雜出生的地科老師
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